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FLEXO TORÇÃO:

Dagoberto Dario MoriJorge Munaiar Neto

BARRAS DE SEÇÃO DELGADA ABERTA1ª Edição

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

FLEXO-TORÇÃO Barras com seção aberta e paredes delgadas

Teoria e Exemplos

yz

s = s1

s = s2

x

d1

d2

d3

linha doesqueleto

t2

t3

t1

s

DAGOBERTO DARIO MORI JORGE MUNAIAR NETO

1a Edição – Novembro de 2009

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Copyright 2009 dos autores/EESC-USP, São Carlos, SP.

Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guardada pelo sistema

“retrieval” ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, seja

este eletrônico, mecânico, de fotocópia, de gravação ou outros sem prévia

autorização, por escrito, da EESC.

1a edição.

Foto da capa: Maximiliano Malite

Suporte técnico: Nadir Minatel (secretária do SET-EESC/USP)

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento da Informação

do Serviço de biblioteca – EESC – USP

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APRESENTAÇÃO

O presente texto é fruto da experiência dos autores na vida acadêmica e de

materiais coletados no decorrer dos anos, e tem como objetivo principal

apresentar e descrever a teoria da flexo torção aplicada às barras com seção

transversal aberta e paredes delgadas, propiciando, principalmente aos alunos de

pós graduação, complementar seus conhecimentos em resistência dos materiais,

disponibilizando uma importante ferramenta para as disciplinas de instabilidade

das estruturas metálicas e similares.

A tendência em reduzir o peso das estruturas tem conduzido a barras com

paredes cada vez mais delgadas, tornando os elementos estruturais susceptíveis

aos fenômenos de instabilidade e torção. Essa tendência tem sido observada não

somente no campo da construção civil, mas também na construção de aeronaves,

navios, entre outros..

Dentre as aplicações da teoria de flexo torção se destaca, em particular, a

construção metálica, cujo desenvolvimento e disponibilidade de aços com

elevada resistência mecânica e à corrosão, bem como de aços revestidos, tem

conduzido a perfis com paredes cada vez mais delgadas e, consequentemente,

propensos aos efeitos de torção, à instabilidade global e às instabilidades

localizadas.

Esses fenômenos têm sido alvo de inúmeras pesquisas e atualmente

enfatizadas pelas normas técnicas de dimensionamento de estruturas metálicas.

O conteúdo desse material possibilitará ao aluno adquirir os conhecimentos

básicos sobre a teoria de flexo torção, permitindo-lhe avançar seus estudos na

área de estruturas.

Deve-se ressaltar que a elaboração do presente material teve como ponto

de partida a apostila intitulada “Flexo torção – barras de com seção aberta e

paredes delgadas”, de autoria de Dagoberto Dario Mori, atualmente professor

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do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC/USP, a qual foi de

fundamental importância para a transmissão das informações de interesse do

curso de engenharia civil, bem como para a elaboração do presente livro.

Pela colaboração na elaboração deste livro, merecem agradecimentos por

parte dos autores deste trabalho alguns docentes e funcionários da EESC/USP,

os quais, direta ou indiretamente, contribuíram na forma de texto ou de figuras

(fotos) para o enriquecimento das informações e ilustrações propostas neste

material. Entre eles, são mencionados: Sergio Persival Baroncini Proença,

(professor do SET), Maximiliano Malite (professor do SET), Maria Nadir

Minatel (secretária do SET) e Francisco Carlos Guete Brito (desenhista do

SET).

Críticas e contribuições serão bem recebidas, pois os autores entendem

não ser esta uma publicação conclusiva. Os autores colocam-se à disposição

para futuras sugestões ou eventuais críticas, as quais resultem em contribuições

que melhorem a transmissão deste assunto aos alunos de graduação.

DAGOBERTO DARIO MORI

JORGE MUNAIAR NETO

São Carlos - SP, Novembro de 2009.

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SUMÁRIO

z

y

CG

yzds

s

s = s2

t

D

V

V

1. CENTRO DE TORÇÃO ...................................... 01

1.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 01

1.2 TEORIA DA FLEXO TORÇÃO – BREVE ABORDAGEM ............................................... 02

1.2.1 Generalidades ................................................................................................................. 02

1.2.2 Hipóteses básicas adotadas ............................................................................................ 04

1.3 CENTRO DE TORÇÃO DE UMA SEÇÃO TRANSVERSAL ............................................ 04

1.3.1 Caso 1 - Centro de torção para seções com dois eixos de simetria ................................ 06

1.3.2 Caso 2 - Centro de torção para seções delgadas com um eixo de simetria .................... 07

1.3.3 Caso 3 - Centro de torção (D) para seções transversais assimétricas ............................ 10

B

A

sO

B"

A"

MD

N N

/2p

2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA ÁREA

SETORIAL ........................................................................................................ 21

2.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 21

2.2 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO GEOMÉTRICO

COM POLO EM D ............................................................................................................ 22

2.3 CONVENÇÕES DE SINAIS .............................................................................................. 23

2.4 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO GEOMÉTRICO

COM PÓLO PROVISÓRIO (em P) .................................................................................. 23

2.5 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exemplos resolvidos ......................................................... 28

2.6 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exemplos propostos .......................................................... 47

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Mt

12

Mt

3. TORÇÃO LIVRE OU DE SAINT-VENANT ......... 55

3.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 55

3.2 DESLOCAMENTOS CONSIDERADOS ........................................................................... 58

3.3 CONSIDERAÇÕES DE INTERESSE E CONVENÇÕES ................................................. 61

3.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – Determinação do Empenamento .................................... 62

M t

M t

m

+dM t

m = dM tdx

4. TORÇÃO NÃO-UNIFORME OU FLEXO

TORÇÃO ........................................................................................................... 73

4.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 73

4.2 DEFORMAÇÕES E TENSÃO NORMAL NA FLEXO TORÇÃO ..................................... 75

4.3 CISALHAMENTO E MOMENTO DE TORÇÃO .............................................................. 77

4.3.1 Tensões de cisalhamento ................................................................................................ 77

4.3.2 Momento de torção ........................................................................................................ 80

4.4 CONSIDERAÇÃO DA FLEXO TORÇÃO NO MOMENTO TOTAL ................................ 82

4.5 CONCEITO DO BIMOMENTO – Determinação de B .................................................... 84

4.5.1 Introdução ...................................................................................................................... 84

4.5.2 Contribuição nas tensões normais .................................................................................. 87

4.5.3 Influência nas tensões de cisalhamento da flexo torção ................................................ 87

4.6 FLEXO TORÇÃO - SOLUÇÃO POR EQUAÇÃO DIFERENCIAL .................................. 89

4.6.1 Obtenção da equação diferencial ................................................................................... 89

4.6.2 Solução da equação diferencial ...................................................................................... 90

4.7 CONVENÇÕES DE SINAIS .............................................................................................. 93

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5. ANALOGIA E CONDIÇÕES DE CONTORNO .. 95

5.1 ANALOGIA ENTRE FLEXÃO E FLEXO TORÇÃO ......................................................... 95

5.2 CONSIDERAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO ................................................ 96

5.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................... 99

5.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................... 156

ANEXO I ......................................................................................................... 169

I.1 ANALOGIA DE MEMBRANA APLICADA ÀS BARRAS DELGADAS DE PAREDES

ABERTAS .............................................................................................................................. 169

ANEXO II ....................................................................................................... 175

II.1 FLEXO TORÇÃO VIA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ................................................ 175

II.2 MOMENTO FLETOR PROVOCANDO BIMOMENTO ................................................ 177

BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 179

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

1

1. CENTRO DE TORÇÃO

z

y

CG

yzds

s

s = s2

t

D

V

V

1.1 INTRODUÇÃO

A resistência dos materiais, a partir de 1940, recebeu um considerável avanço com a

teoria proposta por Vasilii Zakharovich Vlasov, apresentado ao leitor na figura 1.1, para

barras com paredes abertas e seção delgada. A partir da teoria proposta por Vlasov, os

elementos estruturais lineares, em que uma das dimensões é predominante sobre as outras

duas, passaram a apresentar um novo grupo formado pelas barras denominadas

unidimensionais de seção transversal com paredes delgadas.

Figura 1.1 – Foto de Vasilii Zakharovich Vlasov (1906-1958) Fonte: VLASOV (1961)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

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Segundo a última referência, Vlasov nasceu em 24 de fevereiro de 1906, na Vila de

Kareevo, na antiga União Soviética. Ingressou na Faculdade de Engenharia Civil de Moscou

e, em 1930, graduou-se como Engenheiro Civil. Em 1943 foi eleito membro da Sociedade

Matemática de Moscou e, em 1953, foi eleito membro da Academia de Ciências da União

Soviética.

Dedicou boa parte de sua vida científica ao desenvolvimento da Teoria de Elementos

Estruturais Constituídos de Paredes Delgadas, visto que esses elementos são de interesse

direto em diferentes tipos de aplicações, tais como sistemas de cobertura (telhas de aço, por

exemplo), fuselagens de aeronaves (aviões) ou de submarinos, foguetes, entre outros.

Para fins de aplicação, a utilização de elemento estrutural com parede delgada é feita

com vistas a reduzir o peso próprio das estruturas, permitindo, consequentemente, a

consideração do uso de barras com paredes de espessuras reduzidas (barras com seção

delgada). Destaca-se ainda a teoria das barras de seção delgada aplicada correntemente nas

estruturas metálicas, no cálculo de elementos pré-fabricados de argamassa armada e no

cálculo de núcleos de edifícios elevados.

1.2 TEORIA DA FLEXO TORÇÃO – Breve abordagem

1.2.1 Generalidades

As barras que mais necessitam do estudo da flexo torção, tendo em vista o fenômeno

da instabilidade (não é aqui objeto de estudo), são aquelas que possuem seção delgada aberta.

Nas barras de seção delgada fechada (ou vazada) os fenômenos de instabilidade são muitos

menos pronunciados.

Para os estudos aqui de interesse, valem as seguintes definições:

a) Uma barra é considerada de seção delgada quando suas dimensões relativas satisfazem as

seguintes ordens de grandeza:

1,0d

t 1,0

d

Nas últimas relações, t é a espessura da parede, d representa uma dada dimensão de

interesse da seção, enquanto representa o comprimento da barras, conforme figura 1.2.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

3

yz

s = s1

s = s2

x

d1

d2

d3

linha doesqueleto

t2

t3

t1

s

Seção delgada abertacom trecho curvo

Figura 1.2 - Seção delgada aberta: dimensões e sistema de coordenadas.

b) A seção delgada pode ser constituída por paredes retas ou curvas e representada por uma

linha imaginária denominada “linha do esqueleto” (linha que divide a espessura t ao meio),

conforme esquematiza a figura 1.2;

c) O sistema de referência “xyz”, associado às seções aqui de interesse (figura 1.2), tem sua

origem nos centros de gravidade das mesmas e são definidos por:

x: coincidente com o eixo longitudinal da barra

y e z: são os eixos principais de inércia e contidos no plano da seção transversal

Para fins de determinação das equações de interesse, a serem apresentadas ao longo do

presente capítulo, o sistema “xyz” deverá ser sempre estabelecido (ou representado) na seção

transversal, de modo que para um observador com visão direcionada no sentido positivo do

eixo x, os eixos y e z deverão pertencer a um mesmo plano (perpendicular ao eixo x) e estar

defasados entre si por uma rotação de 90o no sentido horário.

É considerada ainda uma ordenada “s” que percorre a linha do esqueleto em sentido

arbitrário. A origem da ordenada s (definida por “Os”) e o seu sentido serão posteriormente

determinados.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

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d) A espessura t da seção transversal pode ser admitida como variável ao longo da ordenada s,

ou seja, t = t(s), em que um elemento de área dessa mesma seção é definido por:

ds.tdA (1.1)

e) A seção transversal é admitida constante ao longo da coordenada x.

1.2.2 Hipóteses básicas adotadas

Para a determinação das equações que permitirão obter a posição do Centro de Torção

em seções transversais abertas e delgadas, objeto de interesse do presente capítulo, são

admitidas como válidas as seguintes hipóteses simplificadoras:

a) Após a deformação da barra, a seção transversal se projeta indeformada no seu plano

(zy), comportando-se como se fosse rija nesse plano;

b) A superfície média da barra (perpendicular à seção transversal e que passa pela linha do

esqueleto) não sofre distorções, ou seja, = 0;

Portanto, em resposta às hipóteses adotadas, a linha do esqueleto mantém sua forma

inicial inalterada quando de sua projeção sobre o plano da seção (plano zy). Nesse caso, são

admitidas translações e rotações dos pontos pertencentes à seção transversal, com os

deslocamentos relativos desses mesmos pontos ocorrendo apenas na direção longitudinal da

peça (eixo x).

1.3 CENTRO DE TORÇÃO (D) DE UMA SEÇÃO TRANSVERSAL

Toma-se como ponto de partida uma viga carregada com forças aplicadas em posições

arbitrárias ao longo do seu comprimento (eixo x) e contidas em um único plano definido

como plano das forças. Inicialmente, admitindo que não tenha ocorrido a preocupação com a

posição do plano das forças em relação aos pontos da seção, se considera que essa mesma

viga possa estar solicitada, simultaneamente, por esforços de flexão e de torção.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

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Nessa situação mais geral, as tensões de cisalhamento () geradas na seção transversal

ocorrem com vistas a garantir o estabelecimento do equilíbrio entre forças externas aplicadas

e esforços internos, e produzem como resultantes, na forma de equivalência estática, força

cortante (V) e momento de torção (T), conforme equações 1.2.

TdA b e VdA AA

(1.2a e 1.2b)

No entanto, os estudos iniciais para barras apenas fletidas submetidas a carregamentos

transversais ao próprio eixo, tomam como ponto de partida a hipótese de que o plano do

carregamento (plano das forças) passa por um ponto da seção transversal da barra, único e

com posição particular para cada seção de interesse.

Nesse caso, ocorrerá apenas a força cortante (V), figura 1.3, como a resultante

(equivalência estática) das tensões de cisalhamento geradas ao longo da seção. O traço do

plano do carregamento coincide com a resultante das tensões de cisalhamento e o efeito da

torção é nulo, de modo a se considerar apenas a ocorrência da equação 1.2a.

VdA A

(1.3)

p (x)

x

F

V

M

Figura 1.3 – Representação do esforço solicitante cortante (V) na barra.

Existe, portanto, um ponto pertencente ao plano da seção transversal, coincidente ou

não com a região da mesma seção, denominado Centro de Torção ou Centro de

Cisalhamento, pelo qual deve passar o plano de aplicação da resultante das cargas

transversais e, conseqüentemente das forças cortantes, de modo que não ocorra torção, e sim,

apenas flexão. O Centro de Torção é uma propriedade geométrica da seção transversal.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

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Para um melhor entendimento dos conceitos referentes ao Centro de Torção (lugar

geométrico por onde deverá passar o plano de forças para que só ocorram esforços de flexão)

serão apresentadas a seguir diferentes situações, denominados Caso 1, Caso 2 e Caso 3, por

meio de ilustrações e comentários elaborados com base em PROENÇA (2001), para a

determinação da posição do Centro de Torção aqui representado pela letra “D”.

Inicialmente, parte-se de uma seção duplamente simétrica sem paredes delgadas, por

exemplo, uma seção retangular (Caso1), a qual permitirá entendimento imediato, uma vez

que suas propriedades geométricas são diretamente determinadas em função da dupla

simetria. Em seguida, se faz uma primeira particularização dos estudos para seções com um

eixo de simetria, de paredes delgadas e trechos retos, no caso, seções “T” e “C” (Caso 2).

Por fim, faz-se uma última particularização com vistas ao estudo de seções

assimétricas e constituídas por paredes delgadas com trechos retos ou curvos (Caso 3),

objeto de interesse do presente texto, cujo equacionamento passa a ser desenvolvido e

apresentado ao leitor com base na Teoria de Vlasov.

1.3.1 Caso 1 - Centro de torção (D) para seções com dois eixos de simetria

Para seções com dois eixos de simetria, tem-se a posição do Centro Geométrico (CG)

coincidente com o ponto de encontro dos dois eixos de simetria, aspecto demonstrado pela

condição de Momento Estático nulo para ambos os eixos. Para uma seção retangular, por

exemplo, admitindo que o plano de forças seja coincidente com a posição do CG, a

distribuição das tensões de cisalhamento dará origem a uma resultante (V) que passará pelo

CG e coincidirá com o plano de carregamento, conforme figuras 1.4 e 1.5.

b

h

b

h

F F

cg cgVy

z

y

z

y

Figura 1.4 – Resultante das tensões de cisalhamento (eixo de maior inércia)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

7

h

b

F

cg

h

b

F

cgVzz

y

z

y

Figura 1.5 – Resultante das tensões de cisalhamento (eixo de menor inércia)

Nota-se que para os casos apresentados nas figuras 1.4 e 1.5, o carregamento aplicado

provoca apenas flexão e, conseqüentemente, uma distribuição de tensões de cisalhamento na

seção transversal que produz como resultante (equivalência estática) apenas a cortante. Nesse

caso, o plano de carregamento e a cortante são coincidentes.

Desse modo, fica estabelecida como Centro de Torção (D) a posição na seção

transversal em que as resultantes Vy e Vz se cruzam. Portanto, para seções transversais com

dois ou mais eixos de simetria, a posição do Centro de Torção (D) é coincidente com a

posição do Centro Geométrico (CG).

1.3.2 Caso 2 - Centro de torção (D) para seções delgadas com um eixo de simetria

Para as seções com apenas um eixo de simetria, sabe-se que o Centro Geométrico

(CG) pertence a esse mesmo eixo. A seção do tipo “T”, por exemplo, possui apenas um eixo

de simetria e será aqui particularizada para o caso de paredes retas e delgadas, com vistas a

adequá-la ao contexto do presente trabalho.

Por se constituir de paredes delgadas (pequena espessura), a distribuição das tensões

de cisalhamento será admitida paralela às linhas de borda e uniformemente distribuída ao

longo da espessura, o que não implica em significativa perda de precisão dos resultados. Em

função das espessuras reduzidas das paredes, esse tipo de seção pode ser representado pela

linha do seu esqueleto.

Como análise inicial, admite-se que o plano de carregamento seja coincidente com o

eixo de simetria da seção (eixo y) e, portanto, flexão em torno do eixo z. Nesse caso,

representando a seção por meio da linha do esqueleto, obtém-se uma distribuição das tensões

de cisalhamento e sua correspondente resultante, Vy, conforme ilustrado na figura 1.6.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

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Figura 1.6 – Resultante das tensões de cisalhamento para flexão em torno de z.

Nesse caso, a parcela da resultante de na mesa do perfil T é pequena e pode ser

desconsiderada, uma vez que a seção é delgada, ou seja, t 0,1d, restando apenas a parcela de

na alma da seção, que é coincidente com o plano de carregamento, garantindo a inexistência

de torção, situação que tem correspondência direta com a equação 1.3. Portanto, um lugar

geométrico do Centro de Torção coincide com o eixo de simetria da seção T, e sua posição

fica parcialmente definida.

Como segunda análise, admite-se que o plano de carregamento seja coincidente com a

mesa da seção, com flexão em torno do eixo y. Nesse caso, obtém-se uma distribuição das

tensões de cisalhamento e sua correspondente resultante, Vz, conforme ilustrado na figura 1.7.

Utilizando o mesmo raciocínio da primeira análise, a parcela da resultante de na

alma do perfil T é desconsiderada, restando apenas tensões “” na mesa da seção e

coincidente com o plano de carregamento, garantindo novamente a inexistência de torção.

Finalmente, nota-se que o ponto de intersecção das direções das duas resultantes, Vz e

Vy, definem a posição do Centro de Torção (D). Sempre que o plano de carregamento (ou de

forças) passar por esse ponto, fica garantida a inexistência de torção e a condição apresentada

na equação 1.3 é verificada.

Para seções transversais cujos trechos que as constituem são concorrentes a um único

ponto (seções T, cantoneira ou similares), fica como regra geral que D coincidirá com o ponto

comum das linhas do esqueleto dos trechos que as formam. Essas seções são usualmente

denominadas do tipo “estrela”.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

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Figura 1.7 – Resultante das tensões de cisalhamento para flexão em torno de y.

Uma outra seção que merece análise é a do tipo “C”, também com um eixo de simetria

e posição do Centro Geométrico (CG) sobre esse mesmo eixo. Será também particularizada

para o caso de paredes retas e delgadas, com vistas a se adequar ao contexto do presente

trabalho.

Com base nos aspectos identificados para a seção “T”, sabe-se que a seção “C” terá a

posição de D situada em algum ponto pertencente ao eixo de simetria. Nesse caso, para

determinar a posição exata de D, basta considerar a ocorrência de um plano de carregamento

que seja perpendicular àquele eixo, uma vez que se sabe que a posição de D é definida pela

intersecção desse mesmo eixo de simetria com a direção da resultante de que aparece em

resposta ao referido carregamento, conforme ilustra a figura 1.8.

Figura 1.8 – Resultante das tensões de cisalhamento para seção do tipo “C”.

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Nesse caso, a distribuição de , admitida conforme idealizada na figura 1.8,

respeitadas as condições de equilíbrio, deverá representar, no conjunto das partes que

compõem a seção, sentidos que percorram a seção de uma extremidade à outra, podendo, se

desejado, ser contrário àquele indicado na mesma figura. Por equivalência estática, com

redução no ponto “o” o efeito de V, na seção, deverá ser equivalente ao efeito provocado

pelas resultantes A e B, conforme equações 1.4 e 1.5, e a posição final de D fica estabelecida.

AV 0Fv (1.4)

hA

B

V

h.Bc h.Bc.V 0Mo (1.5)

1.3.3 Caso 3 - Centro de torção (D) para seções transversais assimétricas

No presente item faz-se a determinação da posição do Centro de Torção (D) para

seções transversais assimétricas, porém, particularizadas para o caso de paredes delgadas,

retas ou curvas, com vistas a uma adequação ao objeto de interesse do presente trabalho, aqui

desenvolvido com base na Teoria de Vlasov.

Assim como no caso 2, por se considerar as paredes como delgadas (pequena

espessura), a distribuição das tensões de cisalhamento será admitida paralela às linhas de

borda e uniformemente distribuída ao longo da espessura, não implicando em significativa

perda de precisão dos resultados. Em função das espessuras reduzidas das paredes, esse tipo

de seção pode ser representado pela linha do seu esqueleto, conforme figura 1.9.

linha doesqueleto

tg

t

Figura 1.9 – Parede delgada e curva: distribuição das tensões de cisalhamento.

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Inicialmente, por meio dos conceitos da Resistência dos Materiais, para barras

fletidas, vale lembrar que a equação 1.6 permite obter valores para a tensão de cisalhamento.

I.t

VMs (1.6)

Na equação 1.6, Ms e I representam, respectivamente, o momento estático e o

momento de inércia, e consistem de propriedades geométricas da seção determinadas em

relação aos eixos principais de inércia, aqui designados por z e y.

Para o estudo que segue, parte-se de uma seção transversal qualquer, assimétrica e

constituída de paredes delgadas e retas (por simplificação) com espessura t, eixos principais

de inércia definidos por z e y, e representada pela linha do esqueleto à qual é associada uma

ordenada “s” que a percorre desde s1 até s2, conforme figura 1.10.

y

CG

yzds

s = s1

s = s2

t

D

traço do plano de cargas(lugar geométrico de D)

V

Figura 1.10 – Seção transversal qualquer com paredes delgadas e retas.

Em uma primeira análise, supõe-se um plano de carregamento (ou traço do plano de

cargas) fictício paralelo ao eixo y, também representado na figura 1.10. Nesse caso, resultam:

yVV zII (1.7 e 1.8)

ds ytdA yMs

sA

s

1

(1.9)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

12

Deste modo, obtém-se a força elementar resultante de cisalhamento, por meio de

equivalência estática em um elemento de comprimento “ds”, conforme equação 1.10.

tdsdA dF (1.10)

A condição para garantir a não ocorrência de momento de torção consiste em impor

que a resultante destas forças elementares deve ser igual, em valor (módulo) e posição, à força

cortante Vy. Uma vez garantida essa última condição imposta é possível afirma que a linha de

ação do traço do plano de cargas, ou da força cortante, é um lugar geométrico do centro de

torção (D), único e de interesse.

Fica claro, portanto, que se realizando análises para planos de carregamento em duas

direções distintas, nesse caso, em direções coincidentes com os eixos principais y e z (planos

paralelos a xy e xz), se determina a posição de D pela interseção dos traços dos planos de

carga, os quais podem ser interpretados como lugares geométricos desse mesmo ponto.

Com base na primeira análise estabelecida na figura 1.10, a condição que permite

obter um lugar geométrico da posição do Centro de Torção (D) é aquela que garante que a

resultante dos momentos das forças elementares, obtidas por “dA” em relação ao centro de

torção D por meio da integral em toda a seção, de s1 a s2, seja nula conforme equação 1.11.

0 .n ds t.ndA M2

1

s

sA

D (1.11)

Na equação 1.11, o parâmetro n é denominado “raio vetor” e definido pela distância de

D até a tangente à linha do esqueleto do trecho de interesse, conforme figura 1.11.

linha doesqueleto

tg

t

D

n

Figura 1.11 – Representação esquemática do raio vetor n.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

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Para carregamento na direção do eixo y e coincidente com a correspondente força

cortante (plano de carga paralelo ao plano xy), e considerando a validade da equação 1.6

particularizada para flexão em torno do eixo z (equações 1.7 e 1.8), tem-se:

0n.dAtI

MV

A z

sy (1.12)

Como a força cortante e o momento de inércia são constantes para uma mesma seção

transversal, e com base na equação 1.9, pela equação 1.12 resulta:

0dsnds yt I

V dstnds yt

t

1

I

V 2s

1s

s

1sz

y2s

1s

s

1sz

y

Como Vy/Iz 0, da última igualdade tem-se que:

0dsnds yt 2s

1s

s

1s

(1.13)

A equação 1.13 consiste de duplo procedimento de integração, cuja resolução é obtida

por meio de mecanismo matemático de integração por partes, expressa na sua forma geral:

dababdba

Nesse caso, para o problema em questão, definem-se:

ytdsda ds ytas

1s

ds nb ndsdbs

1s

Como produto final da integração por partes, resulta:

0 dsty ds n dsn. ds yt 2s

1s

s

1s

s

s

s

1s

s

1s

2

1

(1.14)

Page 24: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

14

Na equação 1.14, a parcela ds yt representa o momento estático da seção transversal,

que, por definição, resultará nulo quando verificado ao longo de toda a linha do esqueleto:

0 ds t y e 0 ds t y2s

1s

1s

1s

Portanto, como produto final de interesse, obtém-se:

0 dsty ds n 2s

1s

s

1s

(1.15)

O termo entre colchetes ds ns

1s é denominado Área Setorial da seção transversal,

proposto em VLASOV (1961) e representado por . Nesse caso, a área setorial e a condição

para a determinação da posição (lugar geométrico) do ponto D são escritas nas formas:

ds n s

1s (1.16)

0 dAy A

(1.17)

Em uma segunda análise, análoga à primeira, supõe-se um plano de carregamento (ou

traço do plano de cargas) fictício e paralelo ao eixo z, agora representado na figura 1.12.

z

CG

yzds

s = s1

s = s2

t

D

traço do plano de cargas(lugar geométrico de D)

V

Figura 1.12 – Plano de carregamento (fictício) coincidente com a direção z.

Page 25: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

15

Nesse caso, assim como no primeiro, resultam as seguintes igualdades:

zVV yII (1.18 e 1.19)

ds ztdA zMs

1sA

s (1.20)

Por um procedimento análogo àquele que possibilitou a determinação das equações

1.16 e 1.17, resultará a equação 1.21 como segue.

0 dAz A

(1.21)

Portanto, como condição necessária para determinar o Centro de Torção, basta

estabelecer planos de carga, nas direções dos eixos principais (por ser mais conveniente),

considerados coincidentes com as respectivas forças cortantes resultantes que aparecem em

resposta aos carregamentos aplicados. Nesse caso, tem-se como produto final, o seguinte

conjunto de equações para a determinação de D:

0 dAy A

0 dAz A

z

y

CG

yzds

s = s1

s = s2

t

D

V

V

Figura 1.13 – Planos de carregamentos (fictícios), paralelos às direções y e z.

Os termos A

dA y e A dA z são denominados Produtos Setoriais da seção

transversal, VLASOV (1961), e se referem aos eixos principais de inércia.

Page 26: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

16

Com relação às equações 1.16, 1.17 e 1.21, anteriormente apresentadas, vale aqui

mencionar alguns aspectos particulares que servirão como ferramentas de interesse para a

dedução de outras equações a serem apresentadas nos itens que se seguem, e de fundamental

importância para a presente análise:

COM RELAÇÃO À ÁREA SETORIAL

É importante ressaltar que a área setorial , quando calculada em relação a um trecho

qualquer da linha do esqueleto, de uma seção qualquer, resulta no dobro da área do setor

(figura geométrica plana) gerada pela varredura da linha que une o Centro de Torção

(admitido como pólo) e a origem s1 (adotada aleatoriamente), desde essa mesma origem s1 até

s2, do elemento ds de interesse. A figura 1.14 esquematiza o aspecto mencionado para um

segmento curvo (caso geral) de uma seção qualquer.

n

ds

tg

D

s

d /2

s1

2s

Figura 1.14 – Relação entre área setorial e área geométrica gerada para trecho curvo

O mesmo aspecto pode ser identificado se particularizarmos o caso ilustrado na figura

1.14, considerando o trecho em questão como reto, conforme ilustrado na figura 1.15, em que

se adota como origem para a ordenada “s” o ponto 2 localizado sobre a linha do esqueleto,

com integração (ou varredura) até o ponto 3, obtém-se:

n.adsnds n a

0

3

2

(1.22)

Page 27: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

17

2A 22

n.aA

(1.23)

Figura 1.15 – Relação entre área setorial e área geométrica gerada para trecho reto

COM RELAÇÃO À ORIGEM DA ORDENADA S

A posição da origem da ordenada s não influi na determinação da posição de D, uma

vez que a área setorial a ser obtida independe da escolha dessa mesma origem. Deslocando-se

a origem sobre qualquer ponto da linha do esqueleto, aparecerá um acréscimo constante em

, tal que:

k * (1.24)

A contribuição desta constante na equação 1.17 ou na equação 1.21, condições para a

determinação de D, será nula, conforme demonstrado como base na consideração de momento

estático nulo:

Page 28: flexo torcao.pdf

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18

Ad y 0.kdA y dA ykdA y dA y)k(AAAAA

Esse mesmo aspecto pode ser identificado se alterarmos a origem da ordenada s

inicialmente adotada na figura 1.15, conforme ilustra a figura 1.16, em que se adota como

origem para a ordenada “s” o ponto 1 localizado sobre a mesma linha do esqueleto, com

integração (ou varredura) desde o ponto 2 até o ponto 3, obtendo-se:

a.nb)-a(b ndsnds n ab

b

ab

b

(1.25)

Figura 1.16 – Relação entre área setorial e área geométrica gerada com origem em 1.

Como é possível perceber, apesar de as origens adotadas nas figuras 1.15 e 1.16 serem

diferentes, o resultado obtido por meio da equação 1.25 é idêntico àquele obtido por meio da

equação 1.22.

Page 29: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

19

COM RELAÇÃO À PARTICULARIDADE DA ÁREA SETORIAL

Tendo-se em vista certas aplicações futuras nos capítulos que seguem, é possível

estabelecer uma dada posição “particular” para a origem “Os”, da ordenada “s”, de modo que

a condição imposta pela equação 1.26 seja satisfeita.

0dA A

(1.26)

O termo A

dA possui analogia direta como o momento estático deduzido por meio

dos conceitos da Resistência dos Materiais, A s dAyM , e por essa razão recebe aqui o

nome de Momento Estático Setorial. Em resumo, quando a área setorial () é obtida com

pólo em D a partir de uma origem particular Os, e de modo que o momento estático setorial

em toda a seção seja nulo, essa área setorial recebe o nome de Área Setorial Principal.

COM RELAÇÃO À POSIÇÃO PARTICULAR PARA A ORIGEM Os

Para se obter a origem Os particular, mencionada anteriormente, toma-se como ponto

de partida uma área setorial , também obtida em relação a D e determinada com base em

uma origem Os para a ordenada s, arbitrariamente escolhida, e que nada mais é do que o

resultado da área setorial principal somada a uma outra área setorial de valor constante e

representada por C. Neste caso, faz-se:

C- C (1.27)

Com relação à equação 1.27, vale lembrar que é, neste caso, a área setorial obtida

com pólo em D a partir de uma origem particular Os, a qual substituída na equação 1.26,

permite obter:

0dAC -dA )( 0dA C)- ( 0dA AAAA

Finalmente, resulta a equação 1.28

Page 30: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 1 – Centro de Torção

20

dA A

1C

A (1.28)

Com o resultado obtido por meio da equação 1.28, pode-se obter a área setorial

principal, bastando que o valor da área setorial C (constante) seja somado àquela área setorial

obtida com origem Os posicionada arbitrariamente, ou seja, .

Page 31: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

21

B

A

sO

B"

A"

MD

N

/2p

2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA ÁREA SETORIAL

2.1 INTRODUÇÃO

As formas implícitas estabelecidas, equações 1.17 e 1.21 apresentadas no capítulo 1,

dificultam a aplicação direta dessas mesmas equações na determinação da localização do

Centro de Torção (D). Por outro lado, a relação direta entre área setorial e área geométrica,

conforme demonstrado no capítulo 1, permite a interpretação geométrica da área setorial

possibilitando a obtenção de equações explicitas para as coordenadas de D, representadas por

yD e zD, tomadas com relação ao Centro Geométrico (CG), conforme figura 2.1.

z

y

CG

D

A

B

MK

sO

Q L

> 0 N

/2

y

yD

0y

z

z

z

0

D

horário

Figura 2.1 – Interpretação geométrica da área setorial com pólo em D.

Page 32: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

22

2.2 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO

GEOMÉTRICO COM PÓLO EM D

A figura 2.1 esquematiza um trecho genérico de linha do esqueleto, com a origem Os

representada por yo e zo, um ponto genérico qualquer Q com coordenadas y e z, bem como o

centro de torção D com coordenadas yD e zD, tomadas com referência ao CG.

Uma primeira análise com relação à figura 2.1 permite observar a formação de vários

setores ou áreas geométricas, decorrentes da varredura da reta que une os pontos D (centro de

torção) e Os (origem da ordenada s), até um ponto Q ao longo da linha do esqueleto de um

dado trecho de interesse de seção transversal. Os setores (ou áreas) formados são as seguintes:

Área do triângulo MDOs, a qual resulta igual a área do triângulo NDOs, ambas

identificadas na figura 2.1 pela variável ;

Áreas KMOsQ e LNOsQ, identificadas figura 1.17 pelas letras A e B, respectivamente;

De acordo com a relação entre área geométrica e área setorial demonstrada por meio

da equação 1.23 (capítulo 1), pode-se impor que a área do triângulo DOsQ é igual à metade da

área setorial correspondente à mesma figura gerada, ou seja:

2Área(DOsQ)

(2.1)

Com base na equação 2.1, se tem as seguintes relações:

2BAÁrea(KDLQ) (2.2)

B2

Área(DQL) (2.3)

Por fim, com base nas equações 2.2 e 2.3, obtém-se como produto final:

B2

x 2 2BA

Page 33: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

23

Finalmente:

BA (2.4)

A equação 2.4 permite obter o valor da área setorial, parâmetro aqui de interesse, por

meio de uma subtração de valores de áreas geométricas formadas no processo, no caso, as

áreas A e B.

2.3 CONVENÇÃO DE SINAIS

O sinal da área setorial é adotado como positivo quando o raio vetor “n” é traçado

com centro em D e gira (varredura), a partir de Os para um ponto genérico Q, no sentido

horário, para um observador olhando no sentido positivo do eixo x, nesse caso, o longitudinal

da barra.

Na figura 2.1, está representado o sentido horário para obtenção da área setorial

positiva. Para giros (varreduras) no sentido anti-horário, a área setorial resultará com sinal

negativo.

2.4 OBTENÇÃO DA ÁREA SETORIAL POR PROCEDIMENTO

GEOMÉTRICO COM PÓLO PROVISÓRIO (P)

O procedimento utilizado no item 2.2 para a determinação da área setorial admite

como conhecida a posição do Centro de Torção (D), uma vez que o mesmo foi adotado como

pólo para a varredura do raio vetor.

No entanto, caso a posição de D ainda não seja conhecida e, portanto, de interesse, o

procedimento poderá ser ainda assim utilizado, desde que para isso seja adotado como pólo

um outro ponto qualquer pertencente ao plano que contenha a seção transversal de interesse

denominado de pólo provisório, representado por P e escolhido arbitrariamente.

Indicando-se com p a área setorial a ser obtida com o pólo provisório P, pode-se

escrever considerando a propriedade anteriormente demonstrada por meio da equação 2.4, em

que = A – B, a seguinte igualdade:

B''A p (2.5)

Page 34: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

24

Sendo yp e zp as coordenadas do pólo provisório P, se tem como válidas, de acordo

com a figura 2.2, as seguintes relações entre área geométricas:

y

CGzx

B

A

sO

B"

A"

y

0y

z

0z

Dz

zp

yD

pyK' M'

MKD

N N'

Q L L'

/2p

P ( y , z )p p

Figura 2.2 – Interpretação geométrica da área setorial com pólo provisório P.

''AA'A (2.6)

''BB'B (2.7)

Com as equações 2.6 e 2.7 substituídas em 2.5, obtém-se:

''-B'A'''-B'A'B-A'B'B''AA p (2.8)

A equação 2.8 pode ainda ser reescrita com base nas coordenadas de interesse da

figura 2.2, na forma:

)zz)(yy()yy)(zz( PD0PD0p

Page 35: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

25

Com o devido rearranjo:

)yy)(zz()zz)(yy( PD0PD0P (2.9)

É importante aqui ressaltar que o artifício de cálculo considerando o pólo provisório P

deve-se ao fato de, inicialmente, não se conhecer o ponto D, objeto aqui de interesse. Para

tanto, multiplica-se a equação 2.9 por y, resultando:

yyzyyzzyyzyyyzyyzyyzyzy y P0D0PDP0D0

2

P

2

DP

Ou ainda, na forma:

2

PDP y)zz(y y (termos que contem y e yz como fatores) (2.10)

Analogamente, multiplicando a equação 2.9 por z, resulta:

2

PDP z)yy(z z (termos que contem z e yz como fatores) (2.11)

Com relação às equações 2.10 e 2.11, vale aqui lembrar que os termos que contem y, z

e yz (como fatores) resultarão nulos, uma vez que:

0dA zdA yAA

(momentos estáticos).

dA yzA (momento de inércia centrífugo em relação aos eixos principais de inércia).

As equações 2.10 e 2.11, quando substituídas respectivamente nas equações 1.17 e

1.21, apresentadas no capítulo 1, permitirão obter equações explícitas para a determinação das

coordenadas de D. Nesse caso, resultam:

0dAy)zz(dA ydA y)zz(yA

2

PD

A

P

A

2

PDP

0dAz)yy(dA zdA z)yy(zA

2

PDA

PA

2

PDP

Page 36: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

26

Portanto, se obtém as equações explícitas para a determinação da posição do Centro de

Torção (D), nas formas:

dA z I

1yy

A

P

y

PD (2.12)

dA y I

1zz

A

P

z

PD (2.13)

A seguir, são comentados alguns aspectos de interesse com relação aos parâmetros

pertencentes às duas últimas equações obtidas. São os seguintes:

O cálculo da posição do centro de torção D, com base nas equações 2.12 e 2.13, resulta tão

mais preciso quanto mais delgadas forem as paredes que constituem a seção transversal de

interesse, pois a distribuição adotada para a tensão de cisalhamento ao longo da espessura t

fica mais próxima da real;

Por outro lado, em seções constituídas por paredes não delgadas, o centro de torção deve

ser determinado apenas quando se dispõe da distribuição exata das tensões de cisalhamento,

fornecida pela Teoria da Elasticidade, caminho que leva, em geral, a grandes dificuldades de

cálculo;

Uma vez que as seções são admitidas como delgadas, na determinação dos momentos

principais de inércia, Iz e Iy, os quais aparecem nas equações 2.12 e 2.13, podem ser

suprimidas as parcelas dos momentos individuais dos elementos, em que a espessura é

elevada ao cubo, ou seja,12

dst 3

;

Imagina-se uma viga com um carregamento geral que produz flexão e torção,

simultaneamente. Neste caso, as cargas devem ser separadas em dois grupos: o grupo (1)

produz apenas flexão, enquanto o grupo (2) produz apenas torção, conforme ilustrado na

figura 2.3. Nesse caso, o trabalho do grupo (2) no deslocamento produzido pelo grupo (1)

será nulo, pois na flexão não haverá rotação das seções.

Page 37: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

27

Pelo Teorema de MAWELL-BETTI pode-se concluir que o trabalho do grupo (1),

durante o deslocamento produzido pelo grupo (2), também será nulo. Essa situação só é

possível quando as rotações das seções se dão em torno do ponto D, pelo qual passam as

cargas do grupo (1). Portanto, conclui-se que o Centro de Torção (D) é também centro de

rotação das seções.

c

Dz

y

CG

(carga transversal)P

___

c

( 1 )

y

P

z D +

c

( 2 )

y

Dz

M = P.c

Figura 2.3 – Esquema dos efeitos de flexão e de torção.

Todo eixo de simetria contém o Centro de Torção (D). Esta particularidade já foi

mencionada nos itens 1.3.1 e 1.3.2 do capítulo 1, e deve aqui ser recuperada agora com

vistas à aplicação das equações obtidas por meio da Teoria de Vlasov, tomando como

exemplo a equação 2.12 aplicada à seção ilustrada na figura 2.4.

Adotando-se o pólo provisório P com posição coincidente (ou pertencente) ao eixo de

simetria, conforme figura 2.4, tem-se de imediato que yp = 0. Nesse caso, escreve-se:

dA z I

1y

A

P

y

D

Por fim, com a consideração da origem Os coincidente com o ponto em que o eixo de

simetria cruza a linha do esqueleto, figura 2.4, nota-se que a varredura que o raio vetor

realiza, desde a origem Os até a extremidade superior da seção, será igual em módulo àquela

realizada desde a mesma origem até a extremidade inferior, porém, com sinal contrário e,

portanto:

Page 38: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

28

0dA z A

P

A última igualdade é justificada, uma vez que p tem sinais contrários para as

situações em que y > 0 e y < 0, enquanto que a coordenada z resulta sempre com o mesmo

sinal. Portanto yD = 0 e o Centro de Torção (D) pertence ao eixo de simetria.

z P

y

CG

sO <0p

>0p

Figura 2.4 – Seção monossimétrica com pólo P sobre o eixo de simetria.

2.5 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exemplos resolvidos

Com o objetivo de otimizar a determinação do Centro de Torção, nos exercícios

resolvidos que se seguem, a exceção do último, será desconsiderada a determinação do CG da

seção, cujo procedimento consiste em estabelecer a diferença entre as coordenadas de D e de

P (pólo provisório), segundo as direções z e y, rearranjando-se as equações 2.12 e 2.13.

Por esse procedimento, a posição final de D ficará condicionada a uma dada distância

a ser percorrida a partir de P, e não mais a partir do CG. O procedimento em questão pode ser

inicialmente exemplificado com base em uma análise com relação aos casos ilustrados na

figura 2.5.

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29

Caso a:

Caso b:

Caso c:

Figura 2.5 – Combinações para as posições de P, do CG e de D (para zD - zP > 0).

Na última figura são consideradas combinação para as posições de P, do CG e de D,

segundo o eixo z, por exemplo, nesse caso admitido como eixo de simetria para uma seção

monossimétrica em que yD = 0. Para cada caso considerado (a, b e c) é possível se considerar

os seguintes aspectos:

Caso a: 0zz zz ; 0z ; 0z PDPDPD

Caso b: 0zz zz ; 0z ; 0z PDPDPD

Caso c: 0zz zz ; 0z ; 0z PDPDPD

Conclui-se, neste caso, que D estará localizado à esquerda de P sempre que zD - zP > 0.

Caso contrário, para zD - zP < 0, implicará que D estará localizado à direita de P, conforme

ilustra a figura 2.6.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

30

Figura 2.6 – Combinações para as posições de P, do CG e de D (para zD - zP < 0).

É possível por analogia concluir que segundo o eixo y, no caso de ser eixo único de

simetria, valerá a mesma regra em que se admite D localizado abaixo de P sempre que resultar

yD - yP > 0. Caso contrário, D estará localizado acima de P.

Por fim, ressalta-se que os resultados serão comparados com aqueles obtidos

numericamente, por meio de código computacional denominado FLEXO II.

Exercício 1: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial

principal () para uma barra com seção transversal monossimétrica na forma de U, com

espessura t constante, ilustrada na figura 2.7.

Com base nas considerações feitas no item 1.3.2 do capítulo 1 (D situado no eixo de

simetria), pode-se admitir que zd = 0, pois y é eixo de simetria. Portanto, basta apenas

determinar yd, lembrando que z e y são eixos principais de inércia.

Page 41: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

31

b

hCG

y

z

t

Figura 2.7 – Seção U monossimétrica com paredes de espessura constante t.

Para a determinação da posição do Centro de Torção serão necessárias as seguintes

equações:

dA z I

1yy

A

P

y

PD

12

)bh6(tb

12

tb

2

htb

12

tb)

2

b(ht

12

ht2I

23232

3

y

Com as posições do pólo provisório P e da origem Os definidas, conforme figura 2.8,

se obtém, para fins de resolução da equação de yD, os diagramas de p e z, nas formas:

y

z

y

z

+ _

b/2 b/2bh

+b/2

b/2

Os

( )p ( z )

// 0

//0

P

>0p

+

Figura 2.8 – Diagramas de p e z, para a seção U.

Page 42: flexo torcao.pdf

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32

Apenas para fins de análise complementar, caso as posições do pólo provisório P e da

origem Os fossem escolhidas de acordo com a figura 2.9, resultariam os seguintes diagramas:

+ _

bh/2 bh/2

y

z

P//0

//0

y

z

P Os___

<0p>0p

Figura 2.9 – Diagramas de p para a seção U, com pólo P e origem Os em posições diferentes daquelas adotadas na figura 2.8

Como continuidade, resolvendo a integral da equação de yD, com base nos diagramas

da figura 2.8 e em concordância com a figura 2.10, procede-se:

dA z I

1cyy dA z

I

1yy

A

P

y

PD

A

P

y

PD

CGz

y

D

py

Dy

c

Figura 2.10 – Simplificação para a determinação da posição de D.

Page 43: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

33

Obs: ds)z(s p : corresponde ao produto das integrais “retângulo x triângulo” = a

2

Portanto: 4

htb

2

b)bh(

2

htdszt

22

s p

Finalmente: bh6

h3

)bh6(tb

12.

4

htbc

2

2

22

(posição de D a partir do pólo P)

Uma vez conhecida a posição de D, pode-se proceder a determinação da área setorial

principal adotando-se como pólo definitivo o próprio Centro de Torção, e com uma dada

posição particular para a origem Os, conforme figura 2.11.

+ _

++

_

bc/2

bc/2c

D

h-cb ( )2

Os

B

A

> 0=bc/2 < 0=hb/2

Os

D

h-cb ( )2

A

B

D

Figura 2.11 – Diagrama de área setorial principal com pólo em D e Os particular.

A partir de no ponto A, com valor igual a +(bc)/2, a área setorial torna-se negativa

decrescendo do ponto A até o ponto B, de -(hb)/2, de modo que:

2

)hc(b

2

hb

2

bc)B(

Como c < h, tem-se:

2

)ch(b)B(

Page 44: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

34

Nota-se que, neste caso, a origem Os foi convenientemente escolhida de modo a se

obter um diagrama de antimétrico, o que garante:

0dAA

(nesse caso, é principal).

Com base na solução deste exercício, conclui-se que se a seção tiver um eixo de

simetria, o Centro de Torção o estará sobre esse eixo. E ainda, ao se adotar a origem Os

coincidentemente com o ponto em que esse mesmo eixo intercepta a linha do esqueleto, o

diagrama de área setorial será antimétrico e, conseqüentemente, a área setorial será aquela

definida anteriormente como principal. Se a seção tiver dois eixos de simetria, o pólo D e a

origem Os coincidirão com a interseção desses eixos.

Serão agora comparados os resultados obtidos anteriormente com aqueles a serem

determinados por meio do programa FLEXO II. Para fins de comparação, serão aqui

adotados, com relação à figura 2.7, os valores b = h = 10 cm e t = 1 cm. As figuras 2.12 e 2.13

apresentam os resultados do programa por meio das telas interativas.

Figura 2.12 – Seção U: Tela geral com as dimensões, CG e D.

Page 45: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

35

Figura 2.13 – Seção U: Resultados gerais e área setorial principal.

Unidade de referência: centímetro (cm)

Com base nas equações gerais obtidas, resultam:

cm 28,470

300

1010.6

10.3

bh6

h3c

22

2

)A( cm 4,21 2

28,4.10

2

bc

2

)B( cm 6,282

)28,410(10

2

)ch(b

Exercício 2: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial

principal () para uma barra com seção transversal com simetria de ponto na forma de Z, com

espessura t constante, ilustrada na figura 2.14. Vale lembrar que D está situado no CG, com

posição final já definida. Inicialmente, a origem Os é adotada coincidente com D.

Note-se que para a origem Os adotada, coincidentemente com D e com o CG, o

diagrama de (área setorial) não é a principal, pois não satisfaz a condição:

0dAA

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36

CG D___2a

a a

a

t (const)

y

z

___D CG O___ s

a2

a2

+

+

diagrama de

Figura 2.14 – Seção Z ponto-simétrica com paredes de espessura constante t.

Portanto, para se obter a origem Os particular de modo a se obter a área setorial

principal, tem-se:

C C

dA A

1C

A A = 4 a t (área da seção transversal Z)

Para tanto, procede-se:

32

sA

at2

a.a2tds tdA

4

ata

at4

1C

23

Portanto, somando-se o valor de C ao diagrama obtido e apresentado na figura 2.14,

obtém-se o diagrama de área setorial principal, conforme esquematiza a figura 2.15.

Inicialmente, é importante observar que os pontos em que a área setorial principal é nula

representam os possíveis pontos particulares a serem adotados para a origem Os.

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37

_

+

+

sO

sO

43a2

3a2

4

a2

4

a2

4

Figura 2.15 – Seção Z: área setorial principal.

Os resultados obtidos permitem concluir que no caso de barras com seção transversal

delgada, em que as ramificações da linha de esqueleto têm forma de “estrela”, isto é,

ramificações concorrentes em um ponto, conforme figura 2.16, ao se adotar esse ponto como

pólo para cálculo da área setorial, esta e os produtos setoriais serão nulos. Dessa forma, esse

ponto será o Centro de Torção (D) da seção.

PPAy

PD y0ydA z0.I

1yy PP

Az

PD z0zdA y0.I

1zz

D

D

Figura 2.16 – Seções com ramificações concorrentes em um único ponto.

Os resultados obtidos serão agora comparados com aqueles a serem determinados por

meio do programa FLEXO II. Para fins de comparação, serão adotados com relação à figura

2.14, os valores a = 10 cm e t = 1 cm. As figuras 2.17 e 2.18 apresentam os resultados do

programa por meio das telas interativas.

Page 48: flexo torcao.pdf

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38

Figura 2.17 – Seção Z: Tela geral com as dimensões, CG e D.

Figura 2.18 – Seção Z: Resultados gerais e área setorial principal.

Unidade de referência: centímetro (cm)

No caso de os valores de a e t serem substituídos no diagrama de área setorial principal

da figura 2.15, é possível recuperar os valores apresentados no diagrama da figura 2.18.

Page 49: flexo torcao.pdf

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39

Exercício 3: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial

principal () para uma barra com seção transversal monossimétrica quadrada aberta, com

espessura t constante, ilustrada na figura 2.19. Assim como no exemplo 1, vale lembrar

novamente que D está situado no eixo de simetria, de modo que apenas umas das equações já

apresentadas (2.12 ou 2.13) será suficiente para se obter D.

c a

t (const)

z D

a/2

a/2

Seção Transversal

Figura 2.19 – Seção quadrada aberta com paredes de espessura constante t.

Com base em considerações preliminares com referência à figura 2.19, pode-se

admitir que yd = 0, pois z é eixo de simetria. Portanto, basta apenas determinar zd, lembrando

que z e y são eixos principais de inércia. Portanto, para a determinação da posição do Centro

de Torção (D) serão necessárias as seguintes equações:

dA y I

1czz dA y

I

1zz

A

P

z

PD

A

P

z

PD

3

23

z ta3

2

2

aat2

12

ta2I

Com vistas à complementar as últimas informações obtidas, parte-se a construção dos

diagramas de p e y, adotando-se o pólo P provisório e origem Os conforme figura 2.20. Vale

ressaltar que o diagrama de y foi determinado apenas nos trechos da seção em que o diagrama

de p resultou diferente de zero.

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40

+a2

_

+

//0

___P Os

_

+

0//3a2

2

a22

p( ) ( z )

z

y

_a/2

a/2

a/2

Figura 2.20 – Diagramas de p e y, para a seção quadrada aberta.

Para a determinação de D, procede-se:

ta12

5a2

2

a3

2

a

6

1

2

a

2

aa

2

1a

2

a

2

a

6

1

2

a tdA y 42

22

2

A p

8

a5

12

ta5

ta2

3dAy

I

1c

4

3A p

z

Uma vez conhecida a posição de D, pode-se determinar o diagrama de principal, o

qual é ilustrado na figura 2.21:

_

_

y

z DsO

a

a/2

a/2

CG

58 a

+

+

_

+

+

a2

a2

3a2

16

163a225a

16

1625a

Figura 2.21 – Seção quadrada: área setorial principal. Unidade: cm2

Page 51: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

41

É importante observar que a condição 0dAA

é satisfeita, uma vez que o

diagrama da figura 2.21 resultou “antimétrico” , o qual corresponde à área setorial principal.

Os resultados obtidos serão agora comparados com aqueles a serem determinados por

meio do programa FLEXO II. Para fins de comparação, serão adotados com relação à figura

2.19, os valores a = 10 cm e t = 1 cm. As figuras 2.22 e 2.23 apresentam os resultados do

programa.

Figura 2.22 – Seção quadrada aberta: Tela geral com as dimensões, CG e D.

Figura 2.23 – Seção Z: Resultados gerais e área setorial principal.

Unidade de referência: centímetro (cm)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

42

No caso de os valores a = 10 cm e t = 1 cm serem substituídos no diagrama de área

setorial principal da figura 2.21, é possível recuperar de modo bastante satisfatório os valores

apresentados no diagrama da figura 2.23.

Exercício 4: Determinar a posição do Centro de Torção (D) e o diagrama de área setorial

principal () para uma barra com seção transversal assimétrica, com espessura t constante,

ilustrada na figura 2.24. Nesse caso, não existem eixos de simetria, de modo que ambas as

equações 2.12 e 2.13 serão necessárias para se obter D.

12cm

3cm

8cm 4cm

zCG

y

_

_

5,88

5cm

6,615cm

t const=0,5cm

z

y

AUX

AUX

Figura 2.24 – Seção I aberta, assimétrica, com paredes de espessura constante t.

Determinação da posição do CG

cm885,550,19

5,10x5,76x6yo

cm615,650,19

6x5,78x66x6zo

Page 53: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

43

Cálculo dos momentos principais de inércia

423

23

2

z cm24,490615,45,712.6,0

9x5,0115,06

12

12x5,0885,56I

4223

23

y cm62,178)385,1(6615.05,712.8,0

12x5,0615,06

12

12x5,0I

4

3

zy

cm88,68615,0x615,4x)5,7(

8,0x6,0x12

15x5,0385,1x115,0x6615,0x885,5x6I

Nesse caso, obtém-se:

2

2

2

1 88,682

24,49062,178

2

24,49062,178

I

I

I1 = Iz= 504,8 cm4

I2 = Iy= 164,1 cm4

o

11 924,112112,062,1788,504

88,68tg

Cálculo de centro de cisalhamento ou centro de torção (D)

dAzI

1yy

A p

y

pD

dAyI

1zz

A p

z

PD

Adota-se, inicialmente o pólo provisório P, conforme figura 2.25, o que permite

construir o diagrama da figura 2.25. Na figura 2.26 se faz a construção dos diagramas de z e

y, necessários para a determinação do Centro de Torção (D).

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

44

8cm 4cm

12cm

3cm

P

BA

p

+

_

+

p( )

96

48

Figura 2.25 – Seção I aberta: construção do diagrama de área setorial.

( Y )( Z )

6,485

+4,645

7,125

+

5,256

_

Figura 2.26 – Seção I aberta: construção do diagrama de z e y.

Rotação de coordenadas dos pontos A, B e P (figura 2.25) para fins de obtenção da posição

do Centro de Torção (D).

senzcosyy

senycoszz

Page 55: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

45

cm456,5924,11sen885,5924,11cos615,6zA

cm485,6924,11sen885,5924,11cos385,5zB

cm125,7924,11sen615,6924,11cos885,5yA

cm645,4924,11sen385,5924,11cos885,5yB

cm269,6924,11sen385,1924,11cos115,6yp

cm092,0924,11sen115,6924,11cos385,1zp

Conseqüentemente:

cm657,1)]485,6x2256,5(48)485,6256,5x2(966

12

1,164

5,0269,6yD

cm 12,2)]645,4x2125,7(48)645,4125,7x2(966

12

8,504

5,0092,0zD

Cálculo de com origem Os arbitrária:

cm182,1)924,11sen(125,2)924,11cos(657,1yD

cm422,2)924,11sen(657,1)924,11cos(125,2zD

56,54

8,000

A B

( )

3,00

0

F

_

_y

_z

C

E

G

D

7,06

74,

933

1,0372,963

28,27

35,28

12,44

12,44

33,25

Figura 2.27 – Seção I aberta: construção do diagrama de , com D e Os arbitrária.

Page 56: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

46

Na figura 2.27 está indicado o diagrama de com origem Os arbitrariamente

escolhida, no caso, o ponto C. Em seguida, determinam-se as áreas DFG e DFE:

cm182,1yD cm422,2zD cm115,6yF cm385,1zF

cm115,9yG cm385,5zG cm115,0yE cm615,6zE

A área (A) de um triângulo formado por três pontos não colineares é determinada pelo

seguinte procedimento:

1yz

1yz

1yz

2

1A

22

11

oo

84,22305,20728,4266,7

1115,9385,5

1115,6385,1

1182,1422,2

69,45610,40456,9532,14

1115,6385,1

1115,0615,6

1182,1422,2

2

G cm28,3544,1284,22 2

E cm25,3344,1269,45

Por fim, faz-se a construção do diagrama de principal:

C tdsA

1dA

A

1C

sA

A = 19,5cm2

)15)25,3328,35(44,12x1227,28x454,56x8(2

5,0dst

s

Page 57: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

47

65,6dAA

1C

A 65,6

5,79

49,89

39,90

34,92

28,63

5,79

6,65

6,65

Figura 2.28 – Seção I aberta: construção do diagrama de principal (unidade: cm2).

Verificando o resultado do diagrama, por meio de integração, resulta:

15 )90,3963,28(12)65,679,5(12)92,3489,49(2

5,0dA

A

)(ok! 027,0dAA

2.6 CENTRO DE TORÇÃO (D) – Exercícios Propostos

No presente item, são propostos exercícios com vistas à determinação da posição do

Centro de Torção (D) e do diagrama de Área Setorial Principal (ω), determinados por meio

das ferramentas obtidas com base na teoria de Vlasov, para seções transversais constituídas

por paredes retas e delgadas (espessuras reduzidas).

Page 58: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

48

Exercício 1- Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.29a e 2.29b, abertas e com

paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o

diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 10 cm e t = 0,7 cm (cte).

(a) (b)

Figura 2.29 – Seções Transversais abertas e de paredes delgadas

Exercício 2- Para a seção transversal ilustrada na figura 2.30, aberta e com paredes delgadas,

pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o diagrama de área

setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 6 cm e t = 0,5 cm (cte).

Figura 2.30 – Seção Transversal aberta e de paredes delgadas.

Exercício 3- Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.31a e 2.31b, abertas e com

paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o

diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 14 cm e t = 1,2 cm (cte).

Page 59: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

49

(a) (b)

Figura 2.31 – Seções Transversais abertas e de paredes delgadas

Exercício 4- Para a seção transversal ilustrada na figura 2.32 aberta e com paredes delgadas,

pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o diagrama de área

setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 10 cm e t = 0,6 cm (cte).

Figura 2.32 – Seção Transversal aberta e de paredes delgadas

Exercício 5- Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.33a e 2.33b, abertas e com

paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o

diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 16 cm e t = 1,0 cm (cte).

Page 60: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

50

(a) (b)

Figura 2.33– Seções Transversais abertas e de paredes delgadas

Exercício 6 - Para as seções transversais ilustradas nas figuras 2.34a e 2.34b, abertas e com

paredes delgadas, pede-se determinar a posição do CG, a posição do Centro de Torção e o

diagrama de área setorial principal. Adotar para ambas as seções: a = 13 cm e t = 0,9 cm (cte).

(a) (b)

Figura 2.34 – Seções Transversais abertas e de paredes delgadas

Exercício 7 - Nas figuras seguintes são apresentados vários perfis para se determinar a

posição do centro de torção e o diagrama de área setorial. São seções que têm emprego, quer

na construção civil, em estacas, cortinas, escoras, montantes, nervuras, peças de reticulados,

seções de pontos e coberturas, quer na construção naval, quer ainda na construção mecânica,

com finalidade as mais diversas.

Nota-se que as seções transversais propostas são apresentadas sem dimensões dos

trechos e de espessura definidas, ficando a critério do leitor estabelecer as dimensões de

interesse.

Page 61: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

51

1 2 3 4 5

6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18

Figura 2.35 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :

Seção 1 até seção 18.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

52

19 20 21 22 23

24 25 26 27

28 29 30 31 32

33 34 35 36

Figura 2.36 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :

Seção 19 até seção 36.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

53

37 38 39 40 41

42 43 44 45

46 47 48 49 50

51 52 53

Figura 2.37 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :

Seção 37 até seção 53.

Page 64: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 2 – Interpretação Geométrica

54

54 55 56

57 58 59

Figura 2.38 – Seções transversais quaisquer para determinação de D e :

Seção 54 até seção 59.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

55

Mt

12

Mt

3. TORÇÃO LIVRE OU DE SAINT-VENANT

3.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior, foram estudados casos de barras em que o plano de carregamento

passa necessariamente pelo Centro de Torção (D), razão pela qual foram desconsiderados

quaisquer efeitos provenientes da torção. No presente capítulo, diferentemente do capítulo

primeiro, serão considerados casos em que ocorram apenas esforços relacionados à torção

simples, conforme ilustra a figura 3.1, particularizados ao caso da torção livre.

M ttM

dx

Figura 3.1 – Diferencial de comprimento de barra (dx) submetido à torção livre.

As condições para que uma barra fique solicitada à torção livre, conforme figura 3.1,

tendo como conseqüência direta a consideração da inexistência de tensões normais, são:

A seção transversal da barra é constante com x (x = eixo longitudinal), barras prismáticas;

O momento de torção solicitante (Mt) deve ser constante com x;

A barra não deve possuir vínculos que impeçam possíveis deslocamentos longitudinais.

Page 66: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

56

Portanto, como hipótese inicial, admite-se que a torção livre implica na ocorrência de

deslocamentos iguais, para um mesmo ponto de coordenada z e y, em todas as seções ao

longo do comprimento da barra. É o único deslocamento admitido (ou considerado), o que

permite assumir também como hipótese inicial a “indeformabilidade” da seção transversal

quando projetada sobre o seu plano.

No caso de não serem satisfeitas as condições anteriormente citadas, tem-se solicitação

à torção não-uniforme, denominada por Flexo Torção (assunto que será devidamente tratado

no Capítulo 4 com base na Teoria de Vlasov), para a qual se faz necessária a utilização de

algumas equações de interesse, usualmente obtidas pela Resistência dos Materiais, as quais

serão de interesse para o estudo da torção simples (tensões de cisalhamento e momento de

inércia à torção, por exemplo), brevemente descritas no que segue.

Tais equações são obtidas por meio da aplicação da “Analogia de Membrana”,

particularizadas às barras com seções delgadas e abertas, submetidas à torção livre, cujo

procedimento é apresentado de modo sucinto no ANEXO I, por não representar objetivo de

interesse do presente texto.

Para tanto, toma-se como ponto de partida a equação geral clássica que permite obter a

rotação (giro) da seção transversal por unidade de comprimento, obtida com base nos

conceitos da Resistência dos Materiais, se escreve na forma apresentada na equação 3.1, em

que d é o giro relativo entre duas seções, Mt é o momento de torção, G é o módulo de

elasticidade transversal do material e It é o momento de inércia à torção.

t

t

GI

M'

dx

d

(3.1)

Com base nos procedimentos descritos no ANEXO I, são obtidas como produto final

as equações 3.2 e 3.3, as quais representam o Momento de Inércia à Torção e a Tensão de

Cisalhamento para barras submetidas à torção simples e livre.

dst3

1dst

k12

p

p

k4I

s

3

s

3

t (3.2)

t

t

t

tb W

Mt

I

M (3.3)

Page 67: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

57

Nas equações 3.2 e 3.3, t é a espessura da parede da seção transversal da barra em

estudo, ao longo da qual as tensões de cisalhamento () são admitidas linearmente distribuídas

ao longo da espessura t, com valor máximo na borda (b) e nulo sobre a linha do esqueleto,

conforme esquematiza a figura 3.2.

l in h a d o

e s q u e le t o

b

b

t

Figura 3.2 – Distribuição das tensões de cisalhamento ao longo de t.

Na equação 3.3, Wt é denominado módulo de resistência à torção, e determinado no

trecho da seção em que ocorre a máxima espessura:

max

tt t

IW (3.4)

Por meio de um rearranjo com relação à equação 3.1, obtém-se a equação 3.5.

'GIM GI

M'

dx

dtt

t

t

(3.5)

Por fim, considera-se a substituição da equação 3.5 na equação 3.3, obtendo-se a

equação 3.6.

'GttI

'GI

t

tb

(3.6)

Page 68: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

58

3.2 DESLOCAMENTOS CONSIDERADOS

A ocorrência de tensões de cisalhamento, descrita pela equação 3.6 e imposta pela

consideração apenas de esforços de torção, permite admitir a existência de deslocamentos dos

diversos pontos da seção transversal de interesse, segundo as direções horizontal e vertical,

por conseqüência das rotações sofridas pelas mesmas seções ao longo do comprimento da

barra, em torno do Centro de Torção (D).

A determinação dos deslocamentos em questão faz-se com base nas seguintes

notações consideradas:

u = deslocamento na direção do eixo x (longitudinal);

v = deslocamento na direção da ordenada s (linha do esqueleto).

O conjunto dos deslocamentos longitudinais “u” causados pela rotação da seção

transversal, em torno do centro de torção D, conforme esquematiza a figura 3.3, é

denominado “empenamento da seção”.

tangente ao esqueletono ponto Q

s

-vQ

Q'

Dn

r

r

Figura 3.3 – Esquematização do giro da seção e seus respectivos deslocamentos.

Page 69: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

59

Por meio de análise com relação à última figura, é possível perceber que o ponto

representado sobre a linha do esqueleto na posição inicial Q, em resposta à rotação em

relação a D, passa a ocupar a posição final Q’. Para fins de aplicação prática na engenharia

estrutural, se considera apenas a ocorrência de pequenos deslocamentos, o que permite

admitir, por simplificação, que QQ’ = r. Neste caso, por semelhança de triângulos, resulta a

equação 3.7.

'ndx

dv- nv-

r

n

r

v

(3.7)

Admite-se inicialmente que os deslocamentos aqui considerados, u e v, ocorrem

segundo o eixo da barra e a ordenada “s” referente à linha do esqueleto, ou seja, u(s) e v(x,s).

Admite-se ainda que juntamente com os deslocamentos em questão, ocorram distorções em

correspondência às variações desses mesmos deslocamentos considerados, conforme

esquematiza a figura 3.4.

x

s

(deslocamentos v)

(deslocamentos u)

u

dx

vx dx

u dss

dxuxu+

v+ sv ds

ds

v

Figura 3.4 – Esquematização da configuração deformada do elemento.

Page 70: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

60

Além das deformações nas direções x e s, pode-se ainda considerar a deformação

transversal (variação do ângulo reto), sendo = /G, por meio da relação conhecida da

Teoria da Elasticidade, escrita na forma da equação 3.8.

s

u

x

v

(3.8)

Por meio da consideração de que os pontos pertencentes à linha do esqueleto não

sofrem deformação transversal, uma vez que pela distribuição admitida para (conforme

figura 3.4) na linha do esqueleto = 0, tem-se a equação 3.9.

0s

u

x

v

(3.9)

Lembrando que –v = n, bem como o fato de que n (raio vetor) é constante com x,

tem-se a equação 3.10.

'ndx

dn

dx

dv

(3.10)

No caso da Torção Livre, por definição, admite-se que todas as fibras (lugar

geométrico dos pontos que em cada seção da barra prismática ocupam a mesma posição

relativa) das barras sob torção uniforme (ou livre) permanecem retas após a deformação. Em

outras palavras, a torção livre é caracterizada pelo fato de que todas as seções se comportam

da mesma maneira. Conseqüentemente, o deslocamento longitudinal u não pode sofrer

variação ao longo de x, mas apenas ao longo da ordenada s. Neste caso, reescreve-se a

equação 3.9, obtendo-se a equação 3.11.

'nds

du 0

ds

du 'n (3.11)

Page 71: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

61

Integrando-se a equação 3.11 ao longo da ordenada s, desde a origem Os até o ponto

genérico Q, de interesse na presente análise, bem como utilizando a definição de área setorial

descrita no capítulo1, resulta a equação 3.12.

' dsn' dsn'uQ

O

Q

O ss

(3.12)

3.3 CONSIDERAÇÕES DE INTERESSE E CONVENÇÕES

A equação 3.12 permite obter de modo aproximado, porém, sem perda significativa de

precisão dos resultados, os deslocamentos longitudinais (na direção x) dos diversos pontos

pertencentes à seção transversal, definido anteriormente como “empenamento”. O caráter

aproximado utilizado na obtenção dos deslocamentos deve-se ao fato de a equação 3.12 ter

sido deduzida tomando como ponto de partida uma condição de contorno em que é assumida

a inexistência de tensões de cisalhamento sobre a linha do esqueleto (equação 3.9) e, portanto,

inexistência de distorções.

Apesar de ocorrerem tensões cisalhantes em posições diferentes daquela que coincide

com linha do esqueleto e, conseqüentemente, distorções, é bastante razoável adotar os

mesmos deslocamentos ao longo da espessura t, uma vez que as paredes que constituem a

seções possuirem dimensões de espessura bastante reduzidas (paredes delgadas).

Vale ressaltar que na figura 3.3 o sentido da ordenada s foi escolhido de modo a se

obter a relação –v = n . O procedimento mencionado foi adotado com vistas a obter u > 0

nos pontos com > 0 (e em correspondência a ’> 0). Em outras palavras, os deslocamentos

longitudinais serão considerados positivos quando ocorrerem no sentido positivo do eixo “x”,

conforme esquematizado na figura 3.5.

Vale lembra que barras com seções circulares fechadas, maciças ou vazadas, não

sofrem empenamento na torção. As barras de seção aberta delgada cuja linha do esqueleto tem

forma de “estrela” não sofrem empenamento nos pontos situados sobre a linha do esqueleto.

Neste caso, em função da aproximação adotada na determinação da equação 3.12, é possível

admitir por simplificação que os deslocamentos também serão nulos em pontos da seção não

coincidentes com a linha do esqueleto.

Page 72: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

62

x

y

z

Mt

Mt

= MtGIt

' =

MtGIt

Figura 3.5 – Esquematização das convenções de sinais para u, Mt e .

No que segue, serão estabelecidas algumas convenções de sinais, em concordância

com a figura 3.7, para a determinação dos parâmetros de interesse relacionados à torção livre:

Os empenamentos (u) cujos valores resultem positivos, quando da aplicação da equação

3.12, ocorrerão no sentido positivo da coordenada “x”. Caso contrário, se resultarem

negativos, deverão ocorrer no sentido negativo de “x”;

O momento de torção, representado por Mt, deve ser considerado positivo quando solicita

um parafuso direito no sentido de apertá-lo;

O giro é positivo quando ocorrer (ou for considerado) no sentido anti-horário para um

observador olhando no sentido positivo de x.

3.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – Determinação do Empenamento (u)

Exercício 1 – Determinar o empenamento relativo entre os pontos 1 e 2 indicados na seção

transversal da figura 3.6 que segue, referente ao exercício 3 do capítulo 2.

Page 73: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

63

21

a

a/2

a/2

t=const

Mt

x

12

Mt

x

Figura 3.6 – Seção retangular aberta com espessura t constante.

a-) Determinação dos empenamentos absolutos referentes aos pontos 1 e 2:

' 'u 1111 ''u 2222 GI

M'

t

t a4t3

1I 3

t

De acordo com o diagrama de área setorial apresentado na figura do exercício 3 do

capítulo 2, tem-se 1 = a2 e 2 = -a2, conforme ilustra a figura 3.7.

y

z DsO

a

a/2

a/2

CG

58 a

_

_

+

+

_

+

+

a2

a2

3a2

16

163a225a

16

1625a

Figura 3.7 – Valores (literais) para a área setorial principal.

Page 74: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

64

Neste caso, resultam os seguintes deslocamentos:

'au 2

1 'au 2

2

b-) Determinação do empenamento relativo entre os pontos 1 e 2:

Gat3

4M

a2 GI

Ma2 'a2)'a('auuu

3

t2

t

t2222

21rel

)cm :(unidade Gt2

aM3 u

3

trel

Exercício 2 – Calcular o empenamento relativo entre os pontos 1 e 2 indicados na figura 3.8,

representada por barra de seção circular

y

z

r

t

1

2

x

Mt

Mt

Figura 3.8 – Seção circular aberta com espessura t constante.

a-) Determinação da posição do Centro de Torção (D):

Como z é eixo de simetria, vale lembrar que yD = 0, bastando apenas determinar o

valor de zD para a obtenção da posição do centro de torção.

s

P

z

PA

P

z

PD ds yI

tzdA y

I

1zz

3

yz trII

Page 75: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

65

Os valores de Iz e Iy correspondem aos eixos principais de inércia. Para a aplicação da

última equação, o pólo provisório será adotado com posição coincidente com o centro de

gravidade da seção, conforme figura 3.9, de modo que zP = 0.

y

z

Osd

linha doesqueleto

r

y P

ds

Figura 3.9 – Pólo provisório (P) coincidente com CG da seção.

A determinação de zD depende da determinação das equações de ωP e y, ambas

descritas em função de r, uma vez que a varredura será feita radialmente com origem Os

indicada no CG. Neste caso, escreve-se:

senr y r

ysen

dr ds

2

0

2

sP rdrrd rds n

Um outro modo de determinar a equação da área setorial em função de α (ângulo de

varredura) refere-se ao fato de que área setorial corresponde ao dobro da área geométrica

formada pela varredura imposta à seção, neste caso, a área de um setor circular:

drdA2d dr2

1dA 2

SCP

2

SC

Portanto, resulta:

Page 76: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

66

2 x rd )sen r)(r(tr

t0z

0

2

3D

(multiplica-se por 2 em razão da simetria)

d )sen.(r2

d )sen.(tr

tr2z

003

4

D

Resolvendo a integral da última equação por partes, tem-se:

dababdba

dda a

cosb d senb dsendb

Finalmente, obtém-se:

r2r2

senr2

d coscosr2

zo

00D

b-) Determinação dos empenamentos absolutos referentes aos pontos 1 e 2:

A área setorial do ponto 2 da seção resulta igual ao dobro da diferença das áreas A-B,

ambas esquematizadas na figura 3.10, ou seja, o dobro da área do semi círculo de raio r.

y

z

1

2

r rr

sOD

A

>0 <0

z

1

2

sOD

B

Figura 3.10 – Composição de áreas geométricas para determinação de ω principal.

Page 77: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

67

Neste caso, resultam 1 = r2 e 2 = - r2. Conseqüentemente, são obtidos os

seguintes deslocamentos longitudinais:

'ru 2

1 'ru 2

2

c-) Determinação do empenamento relativo entre aos pontos 1 e 2:

GI

Mr2 'r2)'r('ruuuu

t

t2222

21rel

Lembrando que: 3

rt2dst

3

1I

3

s

3

t

3

t

3

t

2

Gt

rM3

rt2.G

3Mr2u

Exercício 3 – Calcular o empenamento relativo entre os pontos 1 e 2 indicados na figura

3.11, representada por barra composta por trechos circular e retos

zAUX

AUXy

a 2a

aaa

1

2

t const=0,1a

tM

Mt

A

B

x

Figura 3.11 – Seção aberta, com trechos reto e circular, e com espessura t constante.

a-) Determinação do CG e do Iz:

0yo a32,1a2a2a

a.a2a.)23(a

zo

Page 78: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

68

a224,012

)a2(a1,0)a95,0()a05,1(

8I

344

z

C G

a

a

2a/

b-) Determinação da posição do Centro de Torção (D):

Adotando-se a posição do pólo provisório P, conforme figura 3.12, ficam estabelecidas

as distâncias yp = 0 e zp = 1,68a. Neste caso, utilizando novamente as equações deduzidas e

apresentadas no exercício anterior, em que dp = r2 d, ds = rd e y = r sen , passa a ser

possível determinar a posição de D, somando as contribuições dos trechos circular e reto, por

meio do seguinte procedimento:

1,68a 1,32a

CGz

y

P

d

Figura 3.12 – Posição adotada para o pólo P.

Page 79: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

69

Trecho circular

2/

0

42/

o

42/

o

2

AP cossenrt2d )sen(rt2rd )senr()r(t2dA y

Na última equação, para r = a e t = 0,1a:

5

AP a2,0dA y

Trechos retos (ver diagramas esquematizados na figura 3.13)

52

AP a2,0)aa3

3

a.2(a1,0dAy

_

+

_

+

a

a

3a2

3a2

p( ) ( y )

Figura 3.13 – Diagramas de P e y para o trecho reto vertical.

Portanto, resulta:

a106,0)a2,0a2,0(a224,0

1a68,1dAy

I

1zz 55

4p

z

pD

Page 80: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

70

c-) Determinação dos valores de área setorial principal para os pontos 1 e 2.

A determinação dos valores de área setorial principal para os pontos 1 e 2, faz-se,

neste caso, por composição de áreas formadas no processo de varredura ao longo da linha do

esqueleto com relação ao ponto D, tal que da figura 3.14 resulta B = A + E – C, ou ainda, com

um rearranjo, resulta A – B = C – E. Neste caso:

222

1 a215,04

a

2

a786,12)EC(2)BA(2

Analogamente, para o ponto 2 resulta:

2

2 a215,0

1,786a

D

sOsO

2

1DA

DC

B

E

Figura 3.14 – Diagramas de P e y para o trecho reto vertical.

d-) Determinação dos empenamentos absolutos referentes aos pontos 1 e 2:

'a215,0u 2

1 'a215,0u 2

2

Page 81: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

71

c-) Determinação do empenamento relativo entre aos pontos 1 e 2:

GI

Ma43,0 'a43,0)'a215,0('a215,0uuuu

t

t2222

21rel

43

s

3

t a)a 2a (2a (0,1a)3

1dst

3

1J

2

t

4

t

2

aG

M2,179

Ga0024,0

Ma43,0u

Page 82: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 3 – Torção Livre

72

Page 83: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

73

M t

M t

m

+dM t

m = dM tdx

4. TORÇÃO NÃO-UNIFORME OU FLEXO TORÇÃO

4.1 INTRODUÇÃO

No primeiro capítulo foram estudados casos de barras cujo plano de carregamento

passava necessariamente pelo centro de torção, razão pela qual foram desconsiderados

quaisquer efeitos referentes a esforços proveniente da torção de barras. No segundo capítulo,

diferentemente do primeiro, foram considerados casos cujos carregamentos externos e suas

correspondentes condições de vinculação provocavam apenas esforços relacionados à torção

pura ou torção livre.

Vale aqui lembrar que em ambos os capítulos mencionados anteriormente os estudos

foram conduzidos com vistas à aplicação da Teoria de Vlassov para barras com seções

transversais abertas de paredes delgadas.

Finalmente, no presente capítulo faz-se uma abordagem dos casos de barras

submetidas a condições de carregamento e de vinculação que permitem considerar a

ocorrência simultânea de esforços de flexão e de torção, ou seja, torção não-uniforme ou de

flexo torção. Assim como nos capítulos 1, 2 e 3, nesse capítulo os estudos também serão

desenvolvidos com vistas à aplicação da Teoria de Vlasov para barras com seções transversais

abertas de paredes delgadas.

A ocorrência torção em barras passa a ser considerada como não-uniforme em resposta

aos seguintes aspectos considerados na análise:

Engastamento de seções de interesse: impedimento parcial ou total dos deslocamentos

longitudinais;

Variação da seção transversal ao longo do comprimento da barra;

Variação do esforço solicitante momento de torção ao longo do comprimento da barra;

Page 84: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

74

No entanto, vale ressaltar que como estão sendo consideradas apenas barras de seção

constante, a ocorrência de flexo torção fica restrita aos casos em que o momento de torção não

é constante ou àqueles casos em que ocorrem vínculos que impedem os deslocamentos

longitudinais em seções transversais de interesse.

Quando o momento de torção varia ao longo da barra, seções vizinhas tendem a

apresentar rotações diferentes, isto é, tendem a ter empenamentos diferentes. Para que a

compatibilidade de deslocamentos seja verificada, o aparecimento de tensões normais,

modificando os empenamentos, é inevitável. Essa situação será considerada no decorrer do

presente texto.

Quando uma barra engastada numa extremidade é submetida a um momento de torção

aplicado na outra, nesse engastamento o empenamento passa a ser impedido, causando como

conseqüência o aparecimento de tensões normais. Essa situação também será considerada no

decorrer do presente texto.

É importante destacar que tais tensões normais são usualmente negligenciadas nas

vigas sólidas, por serem de caráter local e de ordem de grandeza bem menor se comparadas às

tensões de cisalhamento. No entanto, nas barras de paredes delgadas, devem ser consideradas

uma vez que podem ser da mesma ordem de grandeza das tensões de cisalhamento causadas

pela torção.

Como hipóteses básicas (e simplificadora) para a análise de peças submetidas à flexo

torção (torção não uniforme) serão adotadas aquelas mesmas apresentadas no capítulo 1, e

aqui novamente descritas. São as seguintes:

a) Após a deformação da barra, a seção transversal deverá projetar-se indeformada no seu

plano (yz), comportando-se como se fosse rija nesse plano;

b) A superfície média (perpendicular à seção transversal e que passa pela linha do esqueleto)

não sofre distorções;

Como conseqüência das duas hipóteses apresentadas, uma outra hipótese básica para

analise de barras submetidas à flexo torção é admitir como também valida a seguinte equação:

' u (4.1)

Page 85: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

75

No contexto da flexo torção, diferentemente da torção livre de Saint Venant, a

derivada do ângulo de rotação () não é mais constante. Nesse caso, a amplitude do

empenamento (u) irá variar de seção para seção, de modo que ’ será função apenas da

coordenada de “x”, ou seja, com variação apenas ao longo do comprimento da barra.

Nos itens que se seguem, com base em conceitos da Resistência dos Materiais, serão

apresentadas as equações de interesse para o objeto de estudo do presente capítulo.

4.2 DEFORMAÇÕES E TENSÃO NORMAL NA FLEXO TORÇÃO

Considerando-se a ocorrência de deslocamentos longitudinais (u) variáveis com

relação à coordenada x, sabe-se, pela Resistência dos Materiais, que a deformação específica

na mesma direção é escrita na forma:

0x

ux

Neste caso, com base na equação 4.1, é deduzida uma primeira equação de interesse,

pelo procedimento:

'' )' (xx

ux

(4.2)

Pela lei de Hooke, com base na figura 4.1, sabe-se que a relação entre tensões e

deformação no estado plano de tensões é escrita na forma:

x x

s

s

dx

ds

esqueleto

dsdx

Figura 4.1 – Representação das tensões em um elemento infinitesimal da seção delgada.

Page 86: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

76

)(E

1sxx (4.3)

Na última equação, x e s representam as tensões normais nas direções do eixo da

barra e da linha do esqueleto, respectivamente, enquanto é o coeficiente de Poisson e E o

módulo de elasticidade longitudinal. Das hipóteses de cálculo adotadas, no caso, seção

transversal indeformável no seu plano (indeformabilidade da sua projeção sobre o plano yz),

tem-se s = 0. Portanto, chega-se uma relação entre ambas as tensões na forma:

xsxss 0)(E

1 (4.4)

Finalmente, substituindo a igualdade 4.4 na equação 4.3, resulta:

E

)1( x

2

x

(4.5)

A última relação pode ser reescrita na forma:

x

*

x E (4.6)

Na última equação, E* é o denominado módulo de elasticidade longitudinal reduzido,

escrito na forma:

2

*

1

EE

Nas aplicações práticas que serão aqui abordadas, despreza-se, por simplificação, o

valor 2 em comparação com a unidade, admitindo como válido que E* = E. Esta

aproximação equivale à suposição, bem aplausível para os casos em estudo, de se desprezar

todas as tensões normais, com exceção de x longitudinal. Por fim, resulta a equação:

Page 87: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

77

'' E E x

*

x (4.7)

Vale aqui ressaltar que no capítulo 2 o parâmetro ’ resulta constante e, portanto, com

base na equação 4.7, a tensão x resultará nula, fato que está em concordância com as

considerações adotadas naquele capítulo para a torção livre.

Um outro aspecto que merece destaque refere-se à proporcionalidade entre x e , que

chama a atenção para o fato de a tensão x não possuir resultantes como ocorre nos estudos de

flexão: nem força normal (N) e nem momentos fletores (Mz e My). Os aspectos mencionados

podem ser constatados pelas deduções apresentadas a seguir, com base nas igualdades

apresentadas por meio das equações 1.17, 1.21 e 1.26 do capítulo 1:

0 dA '' EdA NAA

X (4.8)

0 dA y '' EdAy MAA

Xz (4.9)

0 dA z '' EdA zMAA

Xy (4.10)

Neste caso, em razão da inexistência de resultantes, o efeito provocado pelo

aparecimento das tensões x será entendido como um novo esforço solicitante, denominado

por Vlassov como Bimomento (B), o qual será estudado no item 4.5.

4.3 CISALHAMENTO E MOMENTO DE TORÇÃO

4.3.1 TENSÕES DE CISALHAMENTO Por conseqüência da variação das tensões normais x ao longo da barra (’’’ 0) de

uma seção para outra, fato que pode ser verificado por meio da equação 4.7, ocorrerão para

fins de equilíbrio tensões de cisalhamento, aqui representadas por ft, conforme esquematiza a

figura 4.2a. De modo análogo àquele estabelecido no capítulo 1, admite-se, por simplificação,

Page 88: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

78

que ft será uniformemente distribuída ao longo da espessura t da parede da seção transversal

(Teorema de Cauchy) conforme esquematizado na figura 4.2b.

tg

Dn

ft

s

s1

R

R+dR

s ft

ft

s1

s

t

dS

dx

x

(a) (b)

Figura 4.2 – Tensões de cisalhamento (uniforme) na seção delgada.

Na figura 4.2a, R representa a força resultante obtida por meio das tensões x que

atuam no elemento de área (dA = tds) da seção transversal, escrita na forma:

ds tdARS

1Sx

Ax

Substituindo na última equação a igualdade apresentada na equação 4.7, procede-se:

dst ''' E dA ''' Edx

dR dA '' ER

S

1SAA

Por fim, considerando o equilíbrio do elemento considerado na figura 4.2, na direção

longitudinal, resulta:

ds ''' E dA t

''' E

dx

dR

t

1 dR dx)(t

S

1SAftft

(4.11)

Page 89: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

79

Na equação 4.11, a integral que aparece será aqui representada por S e denominada

“momento estático setorial”. Resulta, portanto, escrita na forma:

dst dA SS

1SA (4.12)

Por fim, reescreve-se a equação 4.11:

S

t

''' E ft (4.13)

Note-se que o valor do parâmetro S resulta do produto entre a área do diagrama de

e a espessura t, tomada até um ponto de interesse. Para definir o sinal que S assumirá, faz-se

necessário fixar uma direção para a coordenada s, ou seja, um ponto na seção transversal

como origem (s1) para a coordenada s.

Como a equação da tensão ft (equação 4.13) foi deduzida com base na

esquematização estabelecida na figura 4.2a, e como E e t serão sempre positivos, é possível

estabelecer a seguinte convenção de sinais para a mesma tensão:

Se a tensão ft resultar positiva, terá seu sentido coincidente com aquele adotado para a

coordenada s. Essa situação ocorrerá nos casos em que ’’’ e S possuirem o mesmo sinal;

Se a tensão ft resultar negativa, terá seu sentido contrário àquele adotado para a

coordenada s. Essa situação ocorrerá nos casos em que ’’’ e S possuirem sinais diferentes.

Vale aqui lembrar que com a consideração das tensões ft, fica ameaçada a base da

dedução da equação u = ’, para a qual foi admitida a inexistência de tensões de

cisalhamento na linha do esqueleto.

No entanto, no caso de seções delgadas, as tensões de cisalhamento provenientes da

torção livre () resultam, na maioria dos casos correntes da engenharia de estruturas, muito

maiores em comparação às tensões da flexo torção (ft), ou seja, >> ft, razão pela qual a

relação u = ’ pode permanecer ainda válida.

Page 90: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

80

Apesar de pequenos em comparação à tensão , os valores de ft dão uma

contribuição considerável em resposta ao aparecimento do momento de torção, pois suas

forças elementares (ftdA) são multiplicadas por distâncias (n) muito maiores que quando

comparadas àquelas que multiplicam as forças elementares provenientes da torção livre, no

caso, apenas 2/3t, conforme esquematiza a figura 4.3.

t

b

b=2/3t

( seção delgada )D

n

tg

ft

Sendo :

ft>>e

n >> b

Figura 4.3 – Representação das Tensões de cisalhamento e ft.

4.3.2 MOMENTO DE TORÇÃO

O efeito das tensões ft multiplicadas pela distância n, conforme figura 4.3, dá origem

a uma segunda parcela do momento de torção total, o qual será somado ao momento de torção

livre, aqui denominado momento de torção de flexo torção e representado por Mft. Esse

último momento resulta da contribuição de ft, transformado em forças elementares e

multiplicado por n, ao longo de toda a linha do esqueleto, de modo que:

ds)t n(n.)dA(Ms

ftA

ftft

Page 91: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

81

Da equação 4.11, substituída na última equação apresentada, sabendo que s1 e s2 são

os pontos extremos da linha do esqueleto, bem como que E e ’’’ não variam ao longo da

linha do esqueleto, resulta:

dsn t ds ''' E M2s

1s

s

1sft

(4.14)

A parcela da equação 4.14 referente às integrais consiste de duplo procedimento de

integração, cuja resolução é obtida por meio de integração por partes, expressa na sua forma

geral:

dababdba

Nesse caso, para o problema em questão, definem-se:

dAds)t(da ds t)(as

1s

ds nb ndsdbs

1s

Portanto, como produto final da integração por partes, resulta:

tds) . ( - . )ds t ( ''' E Ms2

s1

2s

1s

s

s1ft

Na última equação, referente ao momento da flexo torção, é possível notar que à

esquerda interna ao colchete resultará sempre nula, para s assumido qualquer um dos limites

de integração, no caso, s = s1 ou s = s2, uma vez que neste caso ω representa a área setorial

principal. Em resumo, tem-se:

Para s = s1: 0).0( . )ds t(s1

s1

Para s = s2: 0).0( . )ds t(s2

s1

Page 92: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

82

Portanto, com base nas últimas considerações, resulta:

dA ''' E- tds) . ( ''' E- MA

2s2

s1ft (4.15)

A integral que compõe a equação, por analogia com a Resistência dos Materiais, é

chamada de Momento de Inércia Setorial e indicada por I. Vale aqui ressaltar, apenas como

informação complementar, que com base na literatura alemã define-se I com integral de

empenamento.

dA IA

2 (4.16)

Vale mencionar que quando e A são expressos em cm (unidade geralmente utilizada

para esses parâmetros), ter-se-á a unidade de I expressa em cm6. Portanto, a parcela Mft do

momento de torção total (Mt), será escrita na forma final:

''' EI- Mft (4.17)

4.4 CONSIDERAÇÃO DA FLEXO TORÇÃO NO MOMENTO TOTAL

Para uma barra submetida a carregamentos externos, admite-se para fins de equilíbrio

a ocorrência de esforços internos dos tipos força normal (N), força cortante (V), momento

fletor (M) e momento de torção (T).

Nos capítulos 1 e 2 foram abordados casos em que se desconsiderava a existência de

torção e, portanto, a consideração apenas de esforços internos dos tipos N, V e M. Por outro

lado, no capítulo 3, foram considerados casos em que ocorriam apenas esforços de torção,

denominados por torção pura ou livre, representados pelo momento de torção livre (M).

No presente capítulo, se considera casos gerais que englobam aqueles casos estudados

nos capítulos 1, 2 e 3, de modo que a ocorrência simultânea de esforços de flexão e torção

passa a ser finalmente considerados, razão pela qual, além do momento de torção livre (M), o

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

83

momento devido à flexo torção (Mft), abordado no item anterior passa a ser considerado.

Neste caso, o momento de torção total, aqui representado por (Mt), resultará da soma direta

das duas parcelas mencionadas nesse mesmo parágrafo. Consequentemente, o mesmo deverá

ser admitido para fins de determinação do respectivo diagrama.

Em síntese, o momento de torção (Mt) será composto basicamente por duas parcelas:

uma primeira, no caso, Mft, a qual aparece em resposta à ocorrência das tensões de

cisalhamento τft, e uma segunda, M, que aparece em resposta a ocorrência das tensões de

cisalhamento da torção livre τ. Portanto, escreve-se:

MMM ftt (4.18)

No caso da torção livre:

'GIMM 0M ttft (4.19)

É importante lembrar que para os casos representativos da equação 4.19, ’ é admitido

constante. Por outro lado, no caso da ocorrência de casos de flexo torção, em que ’ não é

mais uma constante, escreve-se:

'''EIMft

'GIM t

Finalmente, a equação diferencial escrita em função do ângulo de rotação , regente

dos problemas de flexo torção, é escrita na forma final:

'''EI 'GI MMM tftt (4.20)

Uma vez obtido (ou determinado) o ângulo de rotação com base na resolução da

última equação, o problema da flexo torção fica resolvido, passando a ser possível se

determinar as grandezas envolvidas.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

84

4.5 CONCEITO DO BIMOMENTO – Determinação de B

4.5.1 INTRODUÇÃO No item 4.2, foram introduzidas as tensões normais que aparecem em resposta à

consideração de barras submetidas à flexo torção. No mesmo item 4.3, fez-se destaque à

proporcionalidade entre x e , bem como para o fato de a tensão x, na flexo torção, não

possuir resultantes como ocorre nos estudos de flexão, onde se demonstrou que N = 0, Mz = 0

e My = 0, por meio das equações 4.8, 4.9 e 4.10, respectivamente.

Buscando um melhor entendimento dos efeitos provocados pela tensão normal na

flexo torção, ou seja, inexistência de resultantes, faz-se no presente a introdução de um novo

esforço solicitante, auto-equilibrado, o qual foi denominado em VLASOV (1961) como

Bimomento, representado pelo parâmetro B, o qual será aqui apresentado.

Inicialmente, com base em uma analogia direta com a relação que exprime o equilíbrio

dos esforços externos e internos no caso de flexão simples, escreve-se:

dA y MA

xz dA z MA

xy

Em VLASOV (1961) faz-se a introdução de uma nova grandeza chamada de

Bimomento, conforme já mencionado, o qual deverá desempenhar na flexo torção o mesmo

papel que o momento fletor desempenha na flexão simples, bastando para isso considerar

novamente a correspondência direta entre y (ou z) e ω. Lembrando que na flexão valem as

igualdades M = -EIv” e = (M/I)y, pela substituição da primeira na segunda, escreve:

'' y v E- x

Da correspondência direta entre y e ω, conforme já deduzido por meio da equação 4.7,

escreve-se:

'' E x

Finalmente, como resultado direto dessa mesma correspondência entre y e ω, a

grandeza bimomento é definida, por analogia com Mz, na forma final:

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

85

dA BA

x (4.21)

Portanto, substituindo a equação de x = Eω’’ na equação 3.21, obtém-se:

dA'' EBA

2 (4.22)

Lembrando que a integral que compõe a última equação é chamada de Momento de

Inércia Setorial e indicada por I., conforme equação 4.16, reescreve-se a equação 4.22 na

forma:

'' I EB (4.23)

Com relação à tensão normal na flexo torção, escreve-se:

I

B

EI

B E'' E x (4.24)

Por meio de uma análise com relação à última equação, é possível notar novamente a

analogia da equação 4.24 com aquela utilizada nos estudo de flexão, ressaltando-se sempre

que o bimomento é um novo esforço solicitante que conduz a forças auto-equilibradas.

Quando x resultar da aplicação de uma carga concentrada axial (F), aplicadas em um

ponto discreto na barra e que provoque a ocorrência de situação de flexo torção, considera-se

a existência de um bimomento na seção de interesse, o qual é resultado da força F aplicada

multiplicada pelo valor da área setorial referente ao mesmo ponto da seção.

.FB (4.25)

Fica claro, portanto, que quando ocorrem várias forças concentradas aplicadas em

diferentes pontos da mesma seção de interesse, o valor do bimomento passa a ser escrito na

forma de somatório, tal que:

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86

i

n

1iiFB

(4.26)

Na equação 4.26, i é o valor de área setorial principal correspondente ao ponto de

aplicação da força Fi, pertencente à linha do esqueleto.

O sinal do bimomento aplicado é resultante da multiplicação algébrica da área setorial

pela carga, sendo positivo quando produzido por forças de tração (positivas) atuando em

pontos onde a área setorial é positiva.

Para um entendimento correto da forma de utilização da equação 4.26, toma-se como

ponto de partida o exemplo da figura 4.4, situação em que ocorrem várias cargas concentradas

aplicadas na mesma seção transversal.

b/2b/2

F

b/2b/2

F

F

h

F

x

< 0i

2

2b

+_

b/2

(b/2 . h/2)+

_

Figura 4.4 – Quatro forças concentradas (F) aplicadas na mesma seção.

Com relação à figura 4.4, o bimomento aplicado é dado por:

Fbh2

h.

2

bF4B

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87

É importante ressaltar novamente que as tensões normais x provenientes do

bimomento, conforme equação 4.24, “não” são constantes ao longo da barra, pois se sabe que

o bimomento (B) é função de ”, o qual sofre variação ao longo do eixo X. Essas tensões x

(equação 4.24) são consideradas positivas quando de tração.

4.5.2 CONTRIBUIÇÃO NAS TENSÕES NORMAIS No caso geral de uma barra solicitada por Força Normal (N) e Momento Fletores (Mz

e My), a tensão normal longitudinal será aqui determinada com base naquela já conhecida da

Resistência dos Materiais, considerando-se também a contribuição dos efeitos da flexo torção,

por meio do bimomento, na forma geral:

)(I

B )z(

I

M )y(

I

M

A

N

y

y

z

zx

(4.27)

A partir de agora, o bimomento, por meio da equação 4.27, passou a integrar o

conjunto dos esforços solicitantes. Porém, ressalta-se como particularidade que seu diagrama

não pode ser traçado com base apenas em considerações estáticas, por se caracterizar com

esforço auto-equilibrado.

Vale aqui destacar que a contribuição da última parcela do lado direito da igualdade da

equação 4.27 pode resultar eventualmente maior que as demais, especialmente nas seções da

barra próximas à região de engastamento.

4.5.3 INFLUÊNCIA NAS TENSÕES DE CISALHAMENTO DA FLEXO TORÇÃO No item 4.3.1, foi deduzida e apresentada a equação 4.13, referente à tensão de

cisalhamento na flexo torção, τft, naquele item escrita na forma:

S

t

''' E ft Lembrando que: dst dA S

S

1SA

No entanto, utilizando a equação do bimomento anteriormente deduzida, é possível

escrever a equação de τft de modo análogo àquele em que se apresenta a tensão de

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

88

cisalhamento na flexão, clássico da Resistência dos Materiais. Para tanto, deriva-se uma

primeira vez a equação 4.23, com relação a X, obtendo-se:

''' I E'B (4.28)

Por meio de uma comparação direta da última equação com aquela determinada para o

momento da flexo torção (Mft), no caso, equação 4.17, nota-se que:

'B''' EI- Mft (4.29)

Neste caso, com base em:

S

t

'''Eft

Obtém-se finalmente:

It

SMftft (4.30)

Ou ainda, com base na equação 4.29, obtém-se:

It

S'Bft (4.31)

Conforme já mencionado, é importante notar a analogia entre a equação 4.31 com

aquela da tensão de cisalhamento na flexão, apresentada a seguir, em que V = dM/dx possui

analogia direta com Mft = dB/dx.

It

SV z

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

89

4.6 FLEXO TORÇÃO - SOLUÇÃO POR EQUAÇÃO DIFERENCIAL

4.6.1 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Uma vez introduzidos e considerados os conceitos da flexo torção, é intuitivo admitir

que na ocorrência de momento de torção, esse será composto de duas parcelas distintas

correspondentes à torção livre (M) e à flexo torção (Mft), podendo ocorrer simultaneamente.

Neste caso, o momento de torção total (Mt) pode ser escrito como a soma das parcelas

Mft e M, obtendo-se uma nova equação diferencial regente do problema. A determinação da

equação diferencial de interesse para o problema é obtida partindo-se do conjunto de

equações:

ftt MMM '''EIMft 'GIM t

Com as substituições convenientes, obtém-se:

'B 'GI'''EI'GIM ttt

Derivando-se a última equação com relação à x e utilizando a igualdade B = E I ’’,

resulta:

"BBEI

GIM t'

t

(4.32)

Nota-se que o termo entre parênteses consiste basicamente de propriedades físicas e

geométricas, tratando-se, portanto, de uma constante com unidade de comprimento

(usualmente o centímetro). Neste caso, por simplificação, faz-se a introdução de um

parâmetro “r”, representativo do resultado do termo entre parênteses, definido como

“comprimento de comparação”:

t

t

I/I)1(2 GI

EIr

(4.33)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

90

Usando a noção de “carga de torção distribuída”, representada aqui por “m”, cujo

valor resulta da derivada de Mt com relação à x, no caso, m = Mt’, obtém-se uma outra

equação diferencial representativa do problema da flexo torção, expressa na forma:

mrB ''Br 22 (4.34)

É importante ressaltar aqui que o parâmetro m (carga de torção distribuída) permite

considerar casos práticos em que se considera a ocorrência de uma carga uniformemente

distribuída (ou plano de carga, conforme comentado no capítulo 1) aplicada de modo não

coincidente com o centro de torção, como por exemplo, telhas de cobertura apoiadas em

terças metálicas. A figura 4.5 ilustra a representação de m ao longo do eixo da barra.

-m2

m2

m

Figura 4.5 – Representação da consideração da carga de torção distribuída (m).

4.6.2 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL A solução da equação diferencial 4.34, a qual consiste uma equação diferencial linear

com coeficientes constantes, parte da consideração clássica da soma de duas parcelas que

compõem a resolução do problema, ou seja, B = Bh + Bp (homogênea + particular). O método

geral para resolver a equação homogênea (Bh) é procurar uma solução da forma:

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91

x

h eB

Derivando-se a última equação, em que é admitida como uma constante, resulta:

x2

h

x

h e''B e'B

Substituindo os resultados obtidos das derivações na equação r2 B’’– B = 0, tem-se:

0e er xx22 (4.35)

A equação 4.35 é chamada “equação característica“, associada à equação homogênea,

para a qual se faz necessário suas raízes. O procedimento consiste em estabelecer uma raiz

para a equação de interesse, por exemplo, a raiz 1. Nesse caso, se 1 é uma raiz de equação

característica, então Bh = e (1x) é a solução da homogênea, então:

1/r 1/r 1 r 01) r(e 222222x

Assim, são obtidas ou estabelecidas duas raízes características, no caso, 1 = 1/r = -1/r,

sendo essas duas raízes reais e distintas. Dessa forma, se tem duas soluções da equação

homogênea, ambas linearmente independentes, tal que:

)r/x(

2

)r/x(

1h eCeCB

As combinações lineares das soluções também são soluções, de modo que as parcelas

compostas por neperianos podem ser reescritas nas formas :

r

xsenh

2

ee r/xr/x

r

xcosh

2

ee r/xr/x

Portanto, reescreve-se a última equação de Bh na forma:

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

92

r

x coshC

r

x senhCB 21h (4.36)

Para a determinação da equação particular Bp admite-se, por simplificação, que a carga

de torção distribuída m é constante, fato que atende a quase todos os casos práticos da

engenharia de estruturas. Nesse caso, da equação diferencial 4.34 resulta:

mrB 2

p (4.37)

Portanto, a solução geral da equação diferencial regente do problema da flexo torção

resulta da soma das equações 4.36.e 4.37, e escrita na forma final:

mrr

x coshC

r

x senhCB 2

21

(4.38)

Como a incógnita fundamental, no caso da flexo torção, é o ângulo (de rotação),

torna-se conveniente obter-se uma equação diferencial que permita relacionar esse mesmo

ângulo com o carregamento externo, cujo procedimento consiste em derivar a equação 4.20,

obtém-se:

''''EI ''GI m t (4.39)

Dividindo a última equação por GIt, tem-se:

''''GI

EI ''

GI

m

tt

Considerando a equação 4.33, obtém-se:

t

2

GJ

m"""r (4.40)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

93

Por um procedimento análogo àquele adotado para a determinação da equação 4.38,

ainda considerando m constante, obtém-se:

t

2

4321 GI2

mxCxC

r

x coshC

r

x senhC

(4.41)

A partir das equações 4.38 e 4.41, o problema da flexo torção pode ser resolvido,

bastando apenas que sejam determinadas as respectivas constantes de interesse, com base em

condições de contorno previamente estabelecidas para cada caso estudado. Algumas situações

comumente de interesse serão apresentadas no capitulo 5 do presente texto.

4.7 CONVENÇÕES DE SINAIS

Com a finalidade de esclarecer qualquer dúvida a respeito das convenções adotadas, é

apresentada na figura 4.6 os sentidos considerados como positivos, por convenção, para o

momento de torção (Mt), para o momento de torção distribuído (m), para o ângulo de rotação

() e para o bimomento (B).

x

y

z

Mt

Mt

m

+dMt

dx

B>0

B>0

B<0

m = dMtdx

Figura 4.6 - Sentidos positivos adotados para Mt, m, e B.

Page 104: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 4 – Torção não-uniforme

94

Em caráter complementar, no Anexo II são apresentadas equações adicionais e de

interesse da Flexo Torção obtidas via Energia de Deformação, bem como equações que

permitem obter o Bimomento em resposta à existência de momento fletor aplicado à barra.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

95

5. ANALOGIA E CONDIÇÕES DE CONTORNO

5.1 ANALOGIA ENTRE FLEXÃO E FLEXO TORÇÃO

Nos itens anteriores, no decorrer das equações obtidas para o caso da flexo torção,

sempre existiu a preocupação de se destacar a analogia direta que ocorre entre as equações

obtidas como conseqüência da teoria proposta e apresentada em VLASOV (1961), com

aquelas obtidas por meio dos conceitos clássicos da Resistência dos Materiais.

Nesse sentido, em razão das várias analogias identificadas anteriormente, faz-se no

presente item a reunião daquelas analogias de maior interesse, organizadas na forma de tabela,

para um melhor entendimento dos conceitos propostos em VLASOV (1961) e aqui

apresentados, com vistas a aplicações futuras.

Inicialmente, vale destacar uma interessante analogia entre flexão e flexo torção,

chamando a atenção para a mesma estrutura que as equações apresentam. No caso de flexão e

da flexo torção, respectivamente, escrevem-se,:

q dx

)x(vdEI

4

4

m

dx

dGI

dx

dEI

2

2

t4

4

Uma análise com relação às duas últimas equações permite identificar que, em ambos

os casos, a igualdade se refere ao carregamento aplicado em uma dada barra de interesse, no

caso, na forma distribuída, lembrando que m foi definida com carga de torção distribuída e

admitida com constante no presente texto.

Por fim, são apresentadas na tabela 5.1 as analogias que surgem entre a teoria de

Vlasov e a Resistência dos Materiais, em que é possível notar uma correspondência direta

entre os parâmetros y e , entre os parâmetros v e , bem como entre as propriedades

geométricas Iz (ou Iy) e I.

Page 106: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

96

Tabela 5.1

ANALOGIA: TEORIA DE VLASOV x RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Propriedades ou Tensões

FLEXÃO

(Resistência dos Materiais)

FLEXO TORÇÃO

(Teoria de Vlasov)

Momento de Inércia

X

Momento de Inércia Setorial

dA y IA

2

z

dA IA

2

Momento Estático

X

Momento Estático Setorial

dA ySA

z

dst dA SS

1SA

Momentos Fletores

X

Bimomento

'' vI EM zz

ou

'' vI EM yy

'' I EB

Força Cortante

X

Momento de Flexo torção

''' vI EV zz

ou

''' vI EV yy

''' EI- Mft

Tensão Normal

yI

M

z

zx

I

B x

Tensão de Cisalhamento

It

SV z

It

S'B

It

SMftft

5.2 CONSIDERAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO

Conforme já mencionado, as equações 4.38 e 4.41 apresentadas no capitulo 4

permitem resolver o problema da flexo torção, bastando apenas que sejam determinadas suas

respectivas constantes, com base em condições de contorno previamente estabelecidas para

cada caso estudado.

As condições de contorno para casos comuns, que aparecem em situações práticas da

engenharia de estruturas, são apresentadas a seguir:

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

97

Caso 1 - Extremidade livre (sem carga axial aplicada):

A inexistência de impedimentos aos deslocamentos axiais implica, de acordo com as

hipóteses adotadas no item 3.1, na não ocorrência de tensões normais, de modo que:

0B 0 x

Caso 2 - Extremidade engastada:

Diferentemente do primeiro caso considerado, agora a existência de impedimentos aos

deslocamentos axiais implica, de acordo com as hipóteses adotadas no item 4.1, na ocorrência

de tensões normais e, portanto, do bimomento. Deve ser considerado também, em razão do

engastamento, o impedimento à rotação da seção de interesse, de modo que:

0B 0 x

0 'u 0 ' 0

Portanto, nesse caso, u será nulo para qualquer ponto pertencente à linha do esqueleto

na seção de interesse. Sendo ’ = 0, o momento livre M também será nulo, o que permite

considerar que Mt = Mft e, conseqüentemente, B’ = -Mt.

Caso 3 - Extremidade com vínculo de garfo:

Este tipo de apoio, denominado “vínculo de garfo”, é capaz de impedir a rotação

deixando livres os deslocamentos axiais (empenamento), razão pela qual a tensão normal é

nula e, consequentemente, o bimomento também. A representação estática desse vínculo é

apresentada na figura 5.1. Nesse caso, para a seção em que se tem vinculo de garfo, valem as

seguintes igualdades:

0

interesse)depontonoaplicadobimomentohaver não de caso (no 0B

Um perfil I ligado apenas pela sua alma a um pilar pode ser considerado, com vistas à

definição de esquema estático, como vinculo de garfo.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

98

Figura 5.1 – Representações do vínculo de garfo nas extremidades de barras.

Caso 4 - Seção intermediária com salto (descontinuidade) no diagrama de Mt

Essa descontinuidade é resultante da aplicação de um momento de torção externo. No

entanto, é importante ressaltar que a continuidade dos deslocamentos axiais da barra exige

que o valor da tensão normal x seja o mesmo à direita e à esquerda do ponto de aplicação do

momento de torção externo. Conseqüentemente:

B(direita))B(esquerda : para um único eixo x, representado por “ x”.

ou

B(direita))B(esquerda : para eixos x e x , representados por “ x e x”.

Caso 5 - Extremidade com tensão normal x ou carga Pi aplicada.

Neste caso, o bimomento aplicado localmente é determinado por:

dA BA x ou i

iiFB

Caso 6 - Vínculo de garfo intermediário

Este tipo de apoio, por analogia com o caso 3, também é capaz de impedir a rotação

deixando livres os deslocamentos axiais (empenamento) em pontos intermediários da barra.

No entanto, a tensão normal e o bimomento não serão nulos, uma vez que deve ser garantida a

continuidade do empenamento (u) e da derivada primeira da rotação (’). Portanto, valem:

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

99

B(direita))B(esquerda : continuidade na tensão x

A) de (direita'A)de(esquerda' A) de (direitauA) de u(esquerda

(direita)(esquerda) ..: continuidade na rotação

5.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

No que segue são apresentados alguns exercícios que representam casos práticos de

interesse, com base nos conceitos da flexo torção propostos em VLASOV (1961). Com vistas

a proporcionar um melhor entendimento da teoria de Vlasov, apresentam-se a seguir as

equações de interesse deduzidas no capítulo 4, as quais serão convenientemente aplicadas por

etapas, na medida em que se fizerem necessárias. São as seguintes:

' u dst dA SS

1SA dA I

A

2

''' EI- Mft 'GIM t MMM ftt

'' I EB i

n

1iiFB

'B''' EI- Mft

I

B'' E x )(

I

B )z(

I

M )y(

I

M

A

N

y

y

z

zx

It

SMftft

It

S'Bft

mrr

x coshC

r

x senhCB 2

21

t

t

I/I)1(2 GI

EIr

t

2

4321 GI2

mxCxC

r

x coshC

r

x senhC

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100

EXERCÍCIO 1 – Para viga indicada na figura a seguir, pede-se determinar:

a-) As equações gerais de B, Mt, Mft e M e, consequentemente, os respectivos diagramas;

b-) Com base na equações do item a, determinar os valores máximos do empenamento (u),

das tensões normais (x) e de cisalhamento ( e ft), e do giro () que ocorrem.

2

1

4

3

b

t=const

x

h

x

T

T

Figura 5.2 – Barra engastada com T aplicado na extremidade livre .

Adotar os seguintes valores como dados de interesse para a resolução:

Mt = 50 kNcm = 200 cm t = 0,8 cm h = 12cm

b = 10cm E = 21.000 kN/cm2 G = 8.000 kN/cm2

Cálculo das características geométricas da seção

É possível notar que a seção transversal apresentada na figura 5.2 possui dois eixos de

simetria, portanto, o centro de torção coincide com o centro geométrico da seção (D CG),

conforme resultados obtidos por meio do programa FLEXO II, ilustrados na figura 5.3.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

101

Figura 5.3 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.

Nesse caso, tem-se o diagrama de área setorial principal (), conforme figura 5.4:

+_

+_

bh4

bh4

bh4

bh4

(a) (b)

Figura 5.4 – Diagramas de área setorial principal (cm2): (a) Esquema e (b) FLEXO II.

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102

Determinam-se, na forma literal, os momentos de inércia à torção e setorial:

)hb2(3

t)hb2(t

3

1dst

3

1I

33

s

3

t

2 3 22 2 2

A s s

1 b bh b h tI dA t ds t ds 4t

3 2 4 24

Substituindo os valores numéricos do exemplo em questão, resultam:

4

t cm 5,46 I 6cm 4.800 I

É importante observar que os dois últimos valores são coincidentes com aqueles

apresentados na figura 5.3. Em seguida, obtém-se o comprimento de comparação:

cm 04,485,46 x 000.8

4.800 x 000.21

IG

IEr

t

Determinação das equações gerais de B, M e Mft:

No exercício em questão, o único carregamento aplicado consiste de um momento de

torção aplicado em um ponto discreto da barra, no caso, na extremidade livre. Portanto, é

intuitivo perceber a inexistência de carregamentos ao longo da barra, ou seja, m = 0, nesse

caso, resulta:

r

x coshC

r

x senhC )0(r

r

x coshC

r

x senhC B 21

2

21

A determinação das constantes de interesse fica condicionada à aplicação das

condições de contorno inerentes à barra, em particular, para os pontos de coordenadas x = 0 e

x = , tal que:

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103

livre)eextremidadna (ocorre 0 B 0x :em

fixo)engasteno (ocorre 0 u x :em

Com base na primeira condição de contorno imposta, resulta:

r

x senhC B(x) 0C 0 )0( B :se 12

Com base na segunda condição de contorno imposta, resulta:

0)(' 0 ' )(u 0 )(u :se

ftfttt MMMM 0)('GIM 0 )( ' :se

Por sua vez, como Mft = - B’, conforme definido anteriormente, reescreve-se a

igualdade na forma B’ = - Mt. Lembrando que a derivada de senh(x/r) resulta cosh(x/r)/r,

resulta a primeira constante de interesse apresentada no que segue.

r cosh

rM C M

r cosh

r

C'B t

1t1

Finalmente, substituindo C1 na equação de B(x), obtém-se:

r

xsenh

rcosh

rM )x(B t

Ainda, lembrando que permanece válida a igualdade B’= - Mft, bem como a relação

senh(x/r) = cosh(x/r)/r, resulta a equação de Mft como segue.

r

xcosh

rcosh

MM t

ft

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104

Lembrando que Mt = M + Mft, ou ainda, M = Mt - Mft, faz-se:

rcosh

r

xcosh

1Mr

xcosh

rcosh

MMM t

tt

Determinação das equações gerais de ’ e :

rcosh

r

xcosh

1GI

M

GI

M' 'GIM

t

t

t

t

Integrando-se a última equação referente à derivada do giro, obtém-se:

3

t

t C

rcosh

r

xsenh

rxGI

M

A condição de contorno que impõe para x = = 0 , permite concluir que, nesse

caso, a constante C3 resulta na forma:

r.tghr

GI

MC

t

t3

Consequentemente, obtém-se:

rcosh

r

xsenh

rr

.tghrxGI

M

t

t

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105

Pode-se também partir da equação 4.41 referente ao ângulo , apresentada no capítulo

4, se obter as mesmas equações de M, Mft e B, anteriormente deduzidas, partindo-se da

equação de , a qual é determinada com base em:

t

2

4321 GI2

mxCxC

r

x coshC

r

x senhC

Como a carga de torção distribuída é nula (m = 0), a última equação passa a ser escrita

na forma:

4321 CxCr

x coshC

r

x senhC

Novamente, faz-se a determinação das constantes C1, C2, C3 e C4 com base nas

seguintes condições de contorno:

- para x = , tem-se: = 0 e ’= 0

- para x = 0, tem-se: B = 0

- para x = , tem-se: Mft = Mt

Aplicando as condições apresentadas na última equação, obtém-se:

0C2

rcoshGI

rMC

t

t1

t

t3 GI

MC

rtgh.r

GI

MC

t

t4

Substituindo as constantes, resulta:

rcosh

r

xsenh

r r

tgh.rxGI

M

t

t

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106

Determinação dos valores numéricos:

4

t cm 5,46 I 6cm 4.800 I cm04,48r 4

max cm30

04,48

xsenh.7213,74B

04,48

xcosh5554,1Mft

146,32

r

xcosh

150M

r

xsenh494,1983,151x10.1447,1 3

146,32r

xcosh

110.1447,1' 3

Construção dos diagramas de B, Mft, M e .

Os diagramas serão construídos com base nas equações gerais obtidas para B, Mft, M

e , e apresentados a seguir para valores de coordenadas x da barra referentes à parcelas

iguais a 50 cm, de 0 a 200 cm, conforme apresentados na tabela 5.2

Tabela 5.2 – Valores de B, Mft, M e

x (cm) B (kN.cm2) Mft (kN.cm) M (kN.cm) (radianos)

0 0 1,5554 48,4446 - 0,1740

50 - 92,5911 2,4767 47,5233 - 0,1168

100 - 294,8705 6,3320 43,6680 - 0,0663

150 -846,4687 17,6886 32,3114 - 0,0217

200 - 2400,8375 50,0000 0 0

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107

(a)

_

200 150 100 50 0

x (cm)

846,4687294,8705 92,5911

2400,8375

(b)

48,4446

1,555417,6886 6,3320 2,476750,00

32,3114 43,6680 47,5233

M ftM

(c)

_

0,1740

0,11680,0663

0,0217

x (cm)

Figura 5.5 – Diagramas: (a) bimomento, com unidade em kN.cm2, (b) Mft e M, com unidade

em kN.cm e (c) giro das seções (), com unidade em radianos.

Observar que o sinal negativo na figura 5.5c indica giro horário para observador

olhando no sentido positivo de x, conforme já definido anteriormente.

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108

Determinação dos valores máximos de ’, u, x, e ft.

Para a determinação do valor máximo de ’, vale lembrar que:

146,32r

xcosh

110.1447,1' 3

Nesse caso, é intuitivo perceber que ’ será máximo na coordenada x = 0, para a qual

assumi o valor igual a ’(0) = 1,1091.10-3 radianos/cm. Em resposta a esse valor, é possível

obter u = ’ = 33,272.10-3 cm, lembrando que os sinais dependem dos valores de área

setorial para as diferentes posições da seção I, conforme mostra a figura 5.4b. Portanto, os

empenamentos dos pontos 1, 2, 3 e 4 (figura 5.2) resultam:

u1 = u4 = - 32,372 10-3 cm u2 = u3 = + 32,372 10-3 cm

Para a determinação do valor máximo para a tensão normal x, basta que essa seja

analisada para a seção com coordenada x = 200 cm, uma vez que na região do engaste o valor

do bimomento será máximo em resposta ao impedimento total ao empenamento, conforme

ilustra a figura 5.5a, cujo valor é Bmax = -2400,8375 kN.cm2. Desse modo, obtém-se:

2

x cm/kN 00,15 )30(4800

8375,0240

Para a determinação dos valores máximos referentes às tensões de cisalhamento, basta

que essas sejam analisadas em diferentes seções: na coordenada x = 200 cm para ft, uma vez

que na região do engaste o valor do momento de flexo torção será máximo, bem como na

coordenada x = 0 para , uma vez que na extremidade livre, o valor do momento de torção

livre será máximo. Ambos os casos estão ilustrados na figura 5.5b, Desse modo, obtém-se:

22

t

cm/kN 1,7 cm/kN 098,7)8,0(46,5

4446,48)t(

I

M

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109

Em caráter complementar, a figura 5.6 esquematiza a distribuição (diagrama) das

tensões normais que ocorrem na barra.

2

1

4

3

x

+

_

+

_

x

x

x

x

x

compressão

tração

compressão

Figura 5.6 – Esquematização do diagrama de tensões normais na seção.

Para a determinação do valor máximo de ft para a seção em x = 200 cm, vale lembrar

que é preciso determinar os valores, na forma de diagrama, por exemplo, do momento estático

setorial (S), uma vez que as equações de interesse são escritas nas formas:

It

SMftft figura) da área(t x ds t dA S

S

1SA

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110

Para a determinação do diagrama de S, é necessário integrar os valores de área

setorial () ao longo do esqueleto. Uma análise com relação à equação de S permite

identificar que seus valores correspondem à área da figura geométrica formada no diagrama

de área setorial principal (ilustrado na figura 5.7a) multiplicada pela espessura (t), para um

dado sentido previamente adotado para se percorrer a ordenada s da linha do esqueleto. Nesse

caso, obtém-se o diagrama de S, conforme esquematiza a figura 5.7b.

+_

+_

( )

+

( S )

60

60

30

30

s30

30 +++

_

s

s

s

(a) (b)

Figura 5.7 – Diagramas de interesse construídos:

(a) área setorial (cm2) e (b) momento estático setorial (cm4).

Nota-se pela figura 5.7b que para a determinação do diagrama de S adotou-se para a

coordenada s, tanto para a mesa superior como para a mesa inferior, sentidos da direita pra

esquerda. A alma foi desconsiderada por não apresentar valores de área setorial. Nesse caso,

foram obtidos valores com sinais positivos (mesa superior) e negativos (mesa inferior), em

resposta ao acúmulo de áreas setoriais positivas e negativas, respectivamente.

É importante mencionar que se fossem adotados sentidos de percurso para s contrários

àqueles apresentados na figura 5.7a, seriam obtidos os mesmos valores de S, porém, com

sinais contrários. Os sinais de S dependem do sentido de percurso adotado para a ordenada s,

sentido esse que pode ser considerado quaisquer, com origem (s1) e destino (s2) previamente

estabelecidos. Maiores detalhes com relação a esses aspectos serão devidamente abordados no

exercício 5.

Page 121: flexo torcao.pdf

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111

Na mesma figura 5.7b são indicados os sentidos de fluxo das tensões ft, os quais são

estabelecidos em função das regras de sentido de fluxo para a tensão de cisalhamento da flexo

torção, estabelecidas no item 4.3.1. Obtém-se, nesse caso:

4cm 602

5 x 308,0S

22

ft cm/kN 78,0 cm/kN 78125,0800.4 x 8,0

)60( x 00,50

É importante atentar para o fato, já mencionado quando das deduções das equações de

cisalhamento, de que a tensão ft é bem menor quando comparada à tensão . Neste exemplo,

identifica-se um valor máximo de ft da ordem de 1/10 quando comparado ao valor máximo

obtido para . Ainda, para o valor da rotação máxima, max = - 0,174 radianos, o sinal

negativo, de acordo com a convenção positiva adotada, indica uma rotação no sentido horário

para um observador no sentido positivo do eixo x.

EXERCÍCIO 2 – Adote a mesma viga no exercício 1, porém, aplicando-se na extremidade

livre forças concentradas nos pontos 1, 2, 3 e 4 da seção, conforme a figura 5.8. Em seguida,

determine as equações gerais de B, M, Mft, u e , admitindo agora o eixo x orientado

positivamente do engaste para a extremidade livre.

2

1

4

3

x

F

F

F

F

Figura 5.8 – Barra engastada com forças F aplicadas na extremidade livre.

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112

Determinação do bimomento aplicado

É importante ressaltar que em razão da nova orientação adotada para o eixo x, o

produto entre as forças aplicadas e os valores do diagrama área setorial principal produzirá

um bimomento localizado na mesma seção, em resposta a ocorrência de parcelas negativas

produzidas por força positiva multiplicada por área setorial negativa e vice-versa, tal que:

Fhb4

bhF4F)x( B i

n

1ii

Equações gerais de B, Mft , M e

Parte-se novamente da equação geral, desconsiderando a parcela de carga de torção

distribuída (m = 0), de modo que:

r

xsenh

r

C

r

xcosh

r

C'B

r

xcoshC

r

xsenhCB 21

21

Analisando o carregamento aplicado na barra e a solicitação na viga, é possível

considerar que o momento de torção total resulta nulo, ou seja, Mt = 0. Assim, tem-se:

MM 0MMM ftftt

No entanto, nota-se que por meio da consideração das condições de contorno, quando

para x = 0, tem-se ’ = 0. Conseqüentemente:

0(0)B' 0)0(M 0)0('GI)0(M 0)0(' ftt

Nesse caso, faz-se:

r

xcoshCB 0C

r

0senh

r

C

r

0cosh

r

C)0('B 21

21

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113

Por outro lado, quando para x = , tem-se B() = - Fhb. Nesse caso, obtém-se:

rcosh

Fhb C

rcoshCFhb)(B 22

Finalmente, a equação do bimomento resulta na forma:

r

xcosh

rcosh

FbhB

Como se sabe, M = - Mft = B’, o que permite obter:

r

xsenh

rcoshr

Fbh`BM

Sendo M = G It ’, resulta:

3

t

C r

xcosh

rcoshGI

Fbh

Com vistas à determinação da constante C3, para x = 0 tem-se = 0, de modo que:

r

xcosh1

rcoshGI

Fbh

rcoshGI

FbhC

tt

3

Page 124: flexo torcao.pdf

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114

Como cosh(x/r) resulta sempre maior ou igual à unidade, os valores de são sempre

negativos, isto é, as seções sofrem rotações no sentido horário para um observador

posicionado com visão no sentido positivo de x. Ainda, determina-se:

r

xsenh

rcoshrGI

Fbh '

t

Como ’ resulta também sempre negativo, para os pontos 1, 2, 3 e 4, tem-se:

u1 = u4 < 0

u2 = u3 > 0

Por fim, as tensões normais x são dadas por:

I

Bx

Como, nesse caso, B < 0 e I > 0, para os pontos 1, 2, 3 e 4, resultam:

x(1) = x(4) < 0

x(2) = x(3) > 0

Considerando os dados do exemplo 1, bem como F = 50 kN:

Nesse caso, sabe-se que para x = 200 cm tem-se B(200) = - 6000 kNcm2, e que quando

x = 0 tem-se B(0) = - 186,65 kN.cm2. Com base nesses valores, resultam:

2

2,x kN/cm 17,1304800

65,186)0x(

2

2,x kN/cm 50,37304800

6000)200x(

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115

Calculando-se x para os mesmos pontos da seção, com os conceitos da Resistência

dos Materiais e considerando-se as mesas trabalhando isoladamente, tem-se:

M = F.b = 50.10 = 500 kN.cm 3

4y

0,8 x 10I 66,667 cm

12

2x

500(5) 37,50 kN/cm

66,667

É importante ressaltar que este cálculo é aproximado, uma vez que para a sua

determinação considera as mesas trabalhando isoladamente e solicitadas por momento fletor

igual à F x b (binário de forças). Nesse exemplo, para x = (seção em que são aplicadas as

cargas F), os valores de x são coincidentes com aqueles obtidos pela flexo torção.

No entanto, ao se aproximar do engastamento o valor x = 37,50 kN/cm2, calculado

pela Resistência dos Materiais, permanece constante, enquanto que o valor de x calculado

pela teoria de flexo torção reduz até atingir 1,17 kN/cm2, como conseqüência da variação do

bimomento, calculado para a seção trabalhando como um todo (mesas e alma solidárias).

EXERCÍCIO 3 - Para a viga esquematizada na figura 5.9, admitindo vinculações nas

extremidades do tipo “vínculos de garfo”, pede-se determinar o máximo valor de tensão

normal (x) e o valor da rotação () da seção central (x = 0).

___D CG

10cm 10cm

20cm

t=1 cm

D

x

2,25m

2,25m

F

F

F = 200 kN

Figura 5.9 – Barra com seção transversal “Z” ponto-simétrica.

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116

Como a seção em questão é ponto-simétrica, o centro de torção coincide com o centro

geométrico da seção (D CG), conforme resultados obtidos por meio do programa FLEXO

II, ilustrados na figura 5.10. Na figura 5.11 é apresentado o diagrama de área setorial

principal, por meio do mesmo programa.

Figura 5.10 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.

Figura 5.11 – Diagrama de área setorial principal, determinado por meio do FLEXO II.

Unidade: cm2

Page 127: flexo torcao.pdf

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117

Vale lembrar que essa mesma seção já foi considerada no exercício 2 do capítulo 2,

em que foi determinado o diagrama de área setorial principal, cujos valores estão

apresentados na figura 5.12 e coincidem com aqueles determinados pelo programa FLEXO

II, conforme figura 5.11.

75+

(cm )2

75 25

25

_

Figura 5.12 – Diagramas de área setorial principal (com unidade em cm2)

Valores de interesse considerados

De acordo com a figura 5.11 (ou 5.12), considera-se = -25 cm2 como o valor da área

setorial correspondente ao ponto de aplicação da carga axial de tração F = 200 kN. Nesse

caso, são determinados os seguintes valores:

A = 40 cm2 B = 200 x (-25) = - 5000 kN.cm2

3 4t

1I 1 (4 x 10) 13,33 cm

3

2 2 2 2 6

s

10I t ds 20 x 25 2 (75 75 x 25 25 ) 41.666,67 cm

3

21.000 x 41666,67r 90,57 cm

8.000 x13,333

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118

Novamente, os últimos valores calculados são coincidentes com aqueles determinados

pelo programa FLEXO II, conforme apresentado na figura 5.10.

Escolha da solução geral

Para se resolver este exercício, pode ser considerado como ponto de partida a equação

4.41, para a qual são admitidas as seguintes condições de contorno:

a-) Para x = +/2, tem-se: = 0 e B = B* = -5.000 kN.cm2

b-) Para x = -/2, tem-se: = 0 e B = B* = -5.000 kN.cm2

Por outro lado, uma forma alternativa de se resolver o problema consiste em tomar

como ponto de partida a equação geral do bimomento, desconsiderando a carga de torção

distribuída, escrita na seguinte forma:

1 2

x xB C senh C cosh

r r

Pode ser escrita ainda na forma:

r

x senh

r

C

r

x cosh

r

C´B 21

Novamente, faz-se necessário considerar condições de contorno para a determinação

das constantes de interesse. A simetria do carregamento aplicado, responsável pelo

aparecimento de bimomentos iguais em ambas as extremidades, permite considerar, nesse

caso, que para x = 0 tem-se B’ = 0 (tangente resulta horizontal no meio da barra). Esta última

condição permite obter C1 = 0, de modo que:

1 2

xC 0 B C cosh

r

Adicionalmente, sabe-se que para x = /2 tem-se B = B* = -5.000 kN.cm2. A condição

em questão fornece:

Page 129: flexo torcao.pdf

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119

2

B*C

cosh2r

Nesse caso, obtém-se:

B* xB cosh

rcosh2r

Ainda, como se sabe, vale a igualdade Mft = - B’. Deste modo, obtém-se:

ft

B* xM senh

rr cosh2r

Determinação da rotação e da tensão normal em x = 0

A viga em estudo é vinculada, nas extremidades, por vínculos de garfo. Este vínculo

impede a rotação da seção, porém, sem interferir nos deslocamentos longitudinais (não

restringe o empenamento). Ao restringir a rotação, o vínculo de garfo pode solicitar a seção

com um momento de torção que, nesse caso, pode ser admitido intuitivamente com igual, em

módulo, porém, com sentidos contrários.

Dessa forma, é possível considerar que Mt será considerado constante ao longo do

comprimento da barra. Portanto, permanecendo válida a igualdade Mt = M + Mft, bem como

lembrando que M = G It ’, resulta:

r

xsenh

r2coshr

*B 'GIM tt

Procedendo-se a integração em x da última equação, obtém-se:

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120

3tt Cr

xcosh

r2cosh

*BxMIG

Impondo-se as condições de contorno, em que para x = /2 tem-se = 0, e em que para

x = - /2 tem-se = 0, resultam duas equações a duas incógnitas, nas formas:

0Cr2

cosh

r2cosh

*B

2M 0 3t

0Cr2

cosh

r2cosh

*B

2M0 3t

Considerando-se o fato de que cosh(-x) = cosh(x) e senh(-x) = - senh(x), se resolve o

sistema de equações, obtém-se C3 = - B* e Mt = 0. Nota-se que a nulidade obtida para o

momento de torção confirma a consideração desse esforço como constante, inicialmente

assumida.

Com relação à rotação, resulta:

1

r2cosh

r

xcosh

IG

B

t

*

Determinando-se os valores de e x para a seção em x = 0, obtém-se:

)2,24 ( radianos 0391,01038,6

1

333,13x 8000

5000)0( o

Como é positivo, a seção central gira no sentido anti-horário para um observador no

sentido positivo de x. Para a tensão normal, tem-se:

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121

)(I

B

A

N

Para a última equação, valem N = F = 200 kN, A = 40 cm2 e I = 41.666,67 cm6. Para

a determinação do bimomento, na seção x = 0 tem-se:

2cmkN. 1,828 038,6

5000)0(B

De acordo com as informações apresentadas na figura 5.12, para os pontos de área

setorial 75 cm2 e –25cm2, resultam:

2cmkN/ 51,3 )75(67,666.41

1,828

40

200)0x(

2cmkN/ 50,5 )25(67,666.41

1,828

40

200)0x(

Para a seção em x = /2, tem-se:

2cmkN/ 0,4 )75(67,666.41

5000

40

200)2/x(

2cmkN/ 0,8 )25(67,666.41

5000

40

200)2/x(

Com base na análise dos resultados de tensões normais, é possível notar que, para

seções próximas às extremidades da viga, trechos das mesas (inferior e superior) são

comprimidos com tensões normais da ordem de 4 kN/cm2 e, ao mesmo tempo, tracionados

com tensões normais da ordem de 8 kN/cm2

Por outro lado, a seção central resulta inteiramente tracionada, com valores de tensões

normais variando entre 3,51 e 5,5 kN/cm2.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

122

EXERCÍCIO 4 - Determinar os diagramas de B, Mt, Mft e M para a viga indicada a seguir na

figura 5.13. Para o exemplo em questão, adote E = 21.000 kN/cm2 e G = 8.000 kN/cm2.

6cm 6cm

12cm

24cm

0,5cmt=const

x = 4m

m=0,5 kNcm/cm

Figura 5.13 – Barra com seção transversal I com vínculos de garfo nas extremidades.

A seção bissimétrica e, nesse caso, o centro de torção coincide com o centro

geométrico da seção (D CG), conforme resultados do FLEXO II ilustrados na figura 5.14.

Figura 5.14 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

123

Na figura 5.15 é apresentado o diagrama de área setorial principal, obtido por meio do

mesmo programa.

+_

+_

72

72

72

72

Figura 5.15 – Diagrama de área setorial principal, determinado por meio do FLEXO II.

Unidade: cm2

Alguns valores de interesse

De acordo com a figura 5.15, se consideram valores iguais a = 72 cm2, para fins

de determinação do momento estático setorial e tensões normais. No entanto, em primeira

instância, faz-se necessário obter as características geométricas da seção transversal, de modo

que, inicialmente procede-se:

43

s

3

t cm 2)2412 x 2()5,0(3

1ds t

3

1I

62

s

2

A

2 cm 20.736 )72(3

16 5,0 x 4dstdAI

cm 97,1642x000.8

73620. x 000.21

I.G

I.Er

t

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124

Determinação da equação geral do bimomento (B)

Para a obtenção dos valores de interesse do bimomento, toma-se como ponto de

partida a equação geral de B escrita na seguinte forma:

mrr

xcoshC

r

xsenhCB 2

21

Novamente, se considera as condições de contorno para a determinação das constantes

de interesse. Para tanto, sabe-se que para x = 0 tem-se B = 0. Esta última condição permite

obter:

mr C 2

2

Ainda, sabe-se que para x = tem-se B = 0, tal que:

rsenh

1r

coshmr

C

2

1

Ambas as constantes, C1 e C2, substituídas em B, permitem escrever:

1r

xcosh

r

xsenh

rsenh

1r

coshmrB 2

Substituindo os valores m = 0,5 kNcm/cm, = 400 cm e r = 164,97 cm, na última

equação, tem-se:

608.13 r

xcosh 608.13

r

xsenh 395.11B

Page 135: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

125

O diagrama de bimomento, obtido por meio da aplicação da última equação para

parcelas de comprimento da barra referente a 100 cm, está esquematizado na figura 5.16.

476047606170

+ +++

Figura 5.16 – Diagrama de bimomento, a cada 100 cm. Unidade: kN.cm2

Determinação da equação geral do momento flexo torção (Mft)

Para a obtenção dos valores de interesse do momento de flexo torção, toma-se como

ponto de partida a primeira derivada da equação geral de B, anteriormente determinada, uma

vez que se sabe que B‘ = - Mft. Nesse caso, procede-se:

r

xcosh

rsenh

1r

cosh

r

xsenhrm 'BMft

Novamente, substituindo-se os valores m = 0,5 kNcm/cm, = 400 cm e r = 164,97 cm,

na última equação, resulta a equação de Mft e o correspondente diagrama (figura 5.17):

r

xcosh1,69

r

xsenh 5,82Mft

_+

69

69

29,1

29,1

Figura 5.17 – Diagrama de Mft, a cada 100 cm. Unidade: kN.cm

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126

Determinação da equação geral do momento da torção livre (M)

Vale aqui ressaltar que a determinação da equação de M pode ser feita por dois

procedimentos distintos. O primeiro procedimento consiste em determinar a equação geral de

M por meio da igualdade M = G It ’, uma vez que ’ pode ser obtido pela integração da

equação do bimomento, tal que:

Cdx BEI

1'

EI

B '' ''EIB

x

Um segundo procedimento, diferentemente do primeiro, consiste em determinar a

equação de M por meio da igualdade Mt = M + Mft, ou ainda, M = Mt - Mft. Nesse caso,

como Mft já é conhecido, basta determinar a equação de Mt, a qual pode ser obtida por meio

do equilíbrio do trecho de comprimento x, conforme figura 5.18.

+

_

x

-m2

m2100 kN .cm

100 kN .cm

Figura 5.18 – Diagrama de Mt ao longo da barra. Unidade: kN.cm

Page 137: flexo torcao.pdf

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127

Por meio do equilíbrio do trecho de comprimento x, figura 5.18, escreve-se:

mx2

mMt

Consequentemente, obtém-se a equação geral de M e o correspondente diagrama

(figura 5.19), nas formas:

r

xcosh1,69

r

xsenh5,82x5,0100Mmx

2

mM ft

_

+

31

20,9

20,9

31

Figura 5.19 – Diagrama de M, a cada 100 cm. Unidade: kN.cm

Determinação da equação geral do giro

A viga da figura 5.13 é vinculada, nas extremidades por vínculos de garfo, os quais

impedem a rotação da seção, porém, sem interferir nos deslocamentos longitudinais (não

restringe o empenamento). Vale lembrar ainda que, diferentemente do exercício anterior, a

inexistência de forças concentradas aplicadas nas extremidades vinculadas permite considerar

a inexistência de bimomento nesses mesmos pontos, conforme esquematiza a figura 5.16

Portanto, lembrando que M = G It ’, resulta:

r

x

r2r

xsenh

r

xcosh

rsenh

1r

cosh

IG

mr

IG

M'

tt

Page 138: flexo torcao.pdf

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128

Integrando-se a última equação, obtém-se:

32

2

2

t

2

Cr2

x

r2

x

r

xcosh

r

xsenh

rsenh

1r

cosh

IG

mr

Por meio da condição de contorno em que para x = 0 tem-se = 0, resulta:

t

2

3 IG

mrC

Portanto, tem-se finalmente:

1r2

x

r2

x

r

xcosh

r

xsenh

rsenh

1r

cosh

IG

mr2

2

2

t

2

EXERCÍCIO 5 - Para a viga biapoiada esquematizada na figura 5.20, com respectiva seção

transversal, pede-se determinar:

a-) Os diagramas de bimomento, momento de torção livre e momento de flexo torção.

b-) Calcular o valor máximo de tensão normal atuante na seção distante 2m do apoio A.

c-) Calcular os valores máximos das tensões tangenciais de torção livre e de flexo torção na

seção do apoio B.

Considerar que o vínculo de garfo em B sofre um recalque puramente torcional de

0,0625 radianos, no sentido anti-horário para um observador posicionado no sentido positivo

do eixo x. Considere como dados de interesse:

F (carga axial excêntrica) = 50 kN q (carga uniformemente distribuída) = 12 kN/m

(vão) = 4m E = 21.000 kN/cm2 t = 0,8 cm (cte) = 1/3 (coeficiente de Poisson)

Considere o vinculo de garfo em B como um apoio que permite restringir a translação

horizontal por meio de uma barra no CG da seção transversal.

Page 139: flexo torcao.pdf

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129

8cm

8cm

8cm

6cm 8cm

t

CORTE C-C

x

q

A BC

C

F

Fq

Figura 5.20 – Barra com seção transversal I com vínculos de garfo nas extremidades.

Cálculo das propriedades geométricas da seção

Inicialmente, faz-se a determinação dos valores dos momentos principais de inércia, os

quais são necessários para a determinação do centro de torção (D). Nesse caso, com relação à

seção esquematizada na figura 5.20, nota-se que essa é monossimétrica (possui um eixo de

simetria), razão pela qual será determinada apenas uma das coordenadas do CG da seção com

relação ao eixo que corresponde à horizontal, no caso, o eixo z.

Nesse caso, tem-se associado à seção eixos z e y, associados às direções horizontal e

vertical, respectivamente, tal que z é eixo principal de inércia (simetria), enquanto que y = 0.

Para tanto, determinam-se:

cm933,38,0)162024(

8,0)7 x 10 x 24 x 24(z

A = 60 x 0,8 = 48 cm2

Consequentemente, resultam:

423

23

z cm 3.874,13 88,0 x 1012

8 x 1212 x 8,0 x 8 2

12

24 x 8,0I

Page 140: flexo torcao.pdf

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130

2

3

2

3

2

y 067,3x10x8,012

6x333,12933,3x8x8,0

12

8x8,02)x24x(0,0678,0I

4

y cm 84,464I

Ainda, determina-se o momento de inércia à torção, pela equação:

43

s

3

t cm 24,10)201624(3

8,0ds

3

tI

Cálculo do centro de torção (D) e da área setorial principal ()

Novamente, em razão de a seção ser monossimétrica será determinado apenas uma das

coordenadas do centro de torção (D), partindo-se do CG agora conhecido. Nesse caso, com

relação ao eixo z, determina-se apenas a coordenada zd, ou d = zD - zp, uma vez que yD = 0,

pela próxima equação, bem como pelas informações da figura 5.21 :

ds yI

tdA y

I

1dZZ

sp

zAp

z

pD

_

+

+

_

12

12

4

4

12

12

_

96

24

_

96+

+

24

P O___ s

y (cm)p 2(cm )

Figura 5.21 – Diagramas de área setorial (com pólo em P) e da coordenada y.

Page 141: flexo torcao.pdf

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131

Com base nas informações da figura 5.21, procede-se:

4

sP cm 976.6 )412x2(24x

6

1x1012x96x

2

1x82ds y

cm 441,1)976.6(13,874.3

8,0dZZ pD

O sinal positivo obtido para o parâmetro d indica, conforme regra estabelecida do

capítulo 2, que o centro de torção (D) encontra-se localizado à esquerda do centro geométrico

da seção (CG), conforme esquematiza a figura 5.22. Na mesma figura, é apresentado o

diagrama de área setorial principal.

D

1,441cm

+

__

+

78,708

_

+

17,292

78,708

O s

41,294

41,294

5,764

5,764

17,292

6,559cm

2 (cm )

Figura 5.22 – Localização do centro de torção e diagramas de área setorial principal

Page 142: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

132

Os valores das propriedades geométricas da seção, bem como o correspondente

diagrama esquematizado na figura 5.22, são recuperados e confirmados por meio da utilização

do programa FLEXO II, conforme ilustrados nas figuras 5.23 e 5.24.

Figura 5.23 – Tela geral do FLEXO II: dimensões, propriedades e posição de D.

Figura 5.24 – Diagrama de área setorial principal, FLEXO II. Unidade: cm2

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133

Cálculo do momento de inércia setorial e do diagrama de momento estático setorial.

A determinação do valor do momento de inércia setorial faz-se com base nos valores

de área setorial apresentados na figura 5.22 (ou figura 5.24), por meio da equação:

ds t dA Is

2

A

2

Com a aplicação da última equação, fazendo I = I

A + IB, obtém-se as parcelas:

)292,17292,17 x 708,78708,78(3

8x8,0x2I 22A

)292,17(

3

12)764,5294,5.294,41294,41(

3

10x8,0x2I 222B

Finalmente:

6BA cm 34.355,24 III

Com os valores de momento estático setorial (S) e seu correspondente diagrama, se

obtém (ou estabelece) a distribuição das tensões tangenciais devidas à flexo torção ao longo

da linha do esqueleto da seção transversal ilustrada na figura 5.25.

(a)

h b a

g e f

d

cc1

c3

c2

Os

h b a

g e f

d

cD D

Os

1

3

d

dd2

s

s

1

2 s2

s1

(b)

Figura 5.25 – Determinação do momento estático setorial em pontos e trechos da seção.

Page 144: flexo torcao.pdf

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134

Os valores em pontos de interesse são obtidos pela aplicação da seguinte equação,

aplicada ao longo dos trechos ilustrados na figura 5.25:

ds tdst Ss

1s

s

1s

Vale aqui lembrar, conforme já mencionado no exercício 1, que os valores de S

resultam do produto da área do diagrama de pela espessura t, tomada até um dado ponto de

interesse. Vale lembrar também que para definir o sinal de S, faz-se necessário fixar uma

direção para a coordenada s, ou seja, um ponto na seção transversal como origem (s1) para a

coordenada s.

Nesse caso, adotando como origem s1 o ponto f da seção transversal da figura 5.25a,

são obtidos, para fins de exemplificação, os valores de S para os pontos e, f e g, bem como o

valor máximo para o trecho e-f:

nulo) sempre resulta S esextremidad (nas 0SS gf

4ef

max, cm 50,2062

559,6 x 708,78 8,0S

4e cm 53,1968 x 2

292,17708,78 8,0S

É interessante notar que os valores de momento estático setorial para as extremidades f

e g resultam nulos e, portanto, em analogia com o momento estático clássico dos conceitos da

flexão com base na Resistência dos Materiais. Para os valores diferentes de zero, nota-se que

os sinais estão em concordância com o valor da área setorial principal utilizada na sua

determinação, ou seja, áreas setoriais negativas acumuladas (figura 5.22) resultam em

momento estático setorial negativo.

Ainda com a origem s1 no ponto f, o valor do momento estático, para o ponto d,

porém, antes do entroncamento com o trecho g-d, ou seja, Sd,1, resulta:

Page 145: flexo torcao.pdf

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135

4e1,d cm 75,1228 x 2

764,5292,17 8,0SS

Para o mesmo ponto d, porém, após passar pelo entroncamento com o trecho g-d, ou

seja, Sd,3, faz-se necessário considerar a contribuição do momento estático setorial do trecho

em questão, no caso, Sd,2, com sentido de percurso de g para d, tal que:

42,d cm 23,18810 x 2

764,5294,41 8,0S

Assim, somando-se Sd,2 ao valor de S

d,1, resulta:

43,d cm 65,48122,75 - 23,188S

Para o ponto Os (origem adotada para a determinação da área setorial principal) da

seção da figura 5.25a, por analogia, deve ser considerada a contribuição do trecho d-Os, com

sentido de percurso de d para Os, de modo a resultar:

4Os cm 70,742

4 x 764,5 8,048,65S

A determinação dos valores de momento estático para os demais pontos da seção se

faz por procedimento análogo àquele utilizado anteriormente. Como o diagrama da figura

5.22 é antimétrico, resultam, com base na figura 5.25b, os seguintes valores:

4Os3,c cm 65,482

4 x 764,5 8,0SS

(sentido de percurso: Os c3)

0Sh

42,c cm 23,18810 x 2

764,5294,41 8,0S

(sentido de percurso: h c2)

Page 146: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

136

Consequentemente:

43,c2,c1,c cm 122,75- 65,4823,188SSS

Para os pontos a e b, e entre a e b, resultam os seguintes valores:

4b1,c1,cb cm 53,19678,7375,122SSS

4ab

max, cm 50,2069,97 - 53,196S

nulo) sempre resulta S esextremidad (nas 0 206,50 50,206Sa

Com os sentidos de percurso adotados para a ordenada s para cada trecho da seção,

foram obtidos os valores já apresentados, com os quais pode ser construído o diagrama de

momento estático setorial, esquematizado na figura 5.26a.

206,50

(cm )S 4

74,70

65,48

122,75

196,53

188,23

206,50

65,48

122,75

188,23

196,53

Figura 5.26 – Diagrama de momento estático setorial S (em cm4) obtido com base no

diagrama da figura 5.22 (ou figura 5.24).

Page 147: flexo torcao.pdf

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137

Nota-se, pela figura 5.26a, que os momentos estáticos setoriais variam ao longo das

partes retilíneas do esqueleto segundo parábolas, e os seus valores máximos absolutos

ocorrem nos pontos em que o diagrama de área setorial principal se anula.

Adicionalmente, os sentidos das tensões de cisalhamento estão representados na figura

5.26b, por meio de vetores ao longo do esqueleto. A resultante das parcelas de ft é o

momento de flexo torção Mft e, como tais tensões não equilibram nenhuma força cortante, sua

resultante de força na vertical (e na horizontal) deve ser nula, conforme identificado na figura

5.26b. É importante lembrar que os sentidos de fluxo das tensões ft, indicados na mesma

figura, são definidos em função das regras de sentido de fluxo para a tensão de cisalhamento

da flexo torção, estabelecidas no item 4.3.1 do capitulo 4.

É importante ressaltar que todos os valores obtidos para área setorial adotaram como

origem s1 o ponto f. Porém, é importante mencionar que se a origem s1 fosse considerada no

ponto a da figura 5.25, por exemplo, seriam obtidos os mesmos valores anteriores, porém,

com sinais contrários em alguns dos trechos.

É possível perceber que para a determinação dos valores de momento estático e,

consequentemente, do diagrama, faz-se necessário adotar-se um sentido de percurso para

todos os trechos da seção, o qual é fixado para cada tipo de perfil considerado. Portanto, os

sinais de S dependem do sentido adotado para a ordenada s.

Um outro aspecto de interesse com relação à escolha da origem da ordenada s, refere-

se ao fato de que s1 (ponto de partida) e s2 (ponto de chegada) podem ser adotados

arbitrariamente para uma dada seção transversal de interesse. Essa escolha não modificará os

resultados em módulo do diagrama de S, apenas os sinais, razão pela quais os valores das

tensões de cisalhamento da flexo torção permanecerão os mesmos.

Para a seção da figura 5.25, poderiam ser adotados pontos para s1 e s2 diferentes

daquele último utilizado para a determinação de S, no caso, f e d c b a.

Podem ser adotados, por exemplo, os seguintes percursos para a ordenada s:

- PERCURSO 1: a b c d e f

Nesse caso, trata-se, como já comentado anteriormente, de um percurso com sentido

inverso àquele adotado para a obtenção dos valores apresentados na figura 5.26.

Porém, conduz aos mesmos resultados, em módulo, devendo-se também considerar as

contribuições dos trechos não inseridos no percurso considerado, ou seja, a contribuição do

Page 148: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

138

valor de S do trecho c-h (com sentido de h para c) ao passar por c em direção a d , bem como

a contribuição do valor de S do trecho d-g (com sentido de g para d) ao passar por d em

direção a e, conforme ilustra a figura 5.27a.

A figura 5.27b esquematiza o diagrama de momento estático setorial obtido para o

percurso em questão.

Os

h b a

g e f

c

Dd

s

s

1

2

206,50

(cm )S 4

74,70

65,48

122,75

196,53

188,23

206,50

65,48

122,75

188,23

196,53 (a) (b)

Figura 5.27 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) diagrama de momento estático

setorial obtido.

PERCURSO 2: a b c d g

Este percurso também conduzirá aos mesmos resultados da figura 5.26a, em módulo,

porém, considerando as contribuições dos trechos não inseridos no percurso adotado, ou seja,

a contribuição do valor de S do trecho c-h (com sentido de h para c) ao passar por c em

direção a d, bem como a contribuição do valor de S do trecho d-e-f (com sentido de f para d)

ao passar por d em direção a g, conforme ilustra a figura 5.28a.

A figura 5.28b esquematiza o diagrama de momento estático setorial obtido para o

percurso em questão.

Page 149: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

139

O s

h b a

g e f

c

Dd

s

s

1

2

206,50

(cm )S 4

74,70

65,48

122,75

196,53

188,23

206,50

65,48

122,75

188,23

196,53

(a) (b)

Figura 5.28 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) determinação do diagrama de

momento estático setorial obtido.

PERCURSO 3: f e d c h

Conduz aos mesmos resultados da figura 5.26a, em módulo, porém, considerando as

contribuições dos trechos não inseridos no percurso adotado, ou seja, a contribuição do valor

de S do trecho d-g (com sentido de g para d) ao passar por d em direção a c, bem como a

contribuição do valor de S do trecho a-b-c (com sentido de a para c) ao passar por c em

direção a h, conforme ilustra a figura 5.29a. A figura 5.29b esquematiza o diagrama de

momento estático setorial obtido para o percurso em questão.

PERCURSO 4: h c d g

Conduz aos mesmos resultados da figura 5.26a, em módulo, porém, considerando as

contribuições dos trechos não inseridos no percurso adotado, ou seja, a contribuição do valor

de S do trecho a-b-c (com sentido de a para c) ao passar por c em direção a d, bem como a

contribuição do valor de S do trecho d-e-f (com sentido de f para d) ao passar por d em

direção a g, conforme ilustra a figura 5.30a. A figura 5.30b esquematiza o diagrama de

momento estático setorial obtido para o percurso em questão.

Page 150: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

140

(a)

Os

h b a

g e f

c

Dd

s

s

1

2

206,50

(cm )S 4

74,70

65,48

122,75

196,53

188,23

206,50

65,48

122,75

188,23

196,53(b)

Figura 5.29 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) determinação do diagrama de

momento estático setorial obtido.

(a)

Os

h b a

g e f

c

Dd

s

s

1

2

206,50

(cm )S 4

74,70

65,48

122,75

196,53

188,23

206,50

65,48

122,75

188,23

196,53 (b)

Figura 5.30 – (a) Percurso adotados para a ordenada s e (b) determinação do diagrama de

momento estático setorial obtido.

Page 151: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

141

Cabe aqui ressaltar novamente, em analogia aos aspectos considerados para o

Percurso 1, que se fossem adotados percursos com sentidos contrários àqueles estabelecidos

para os Percursos 2, 3 e 4, ou seja, trocando-se s1 por s2 e s2 por s1, seriam obtidos os

mesmos valores para cada caso considerado, porém, com sinais contrários para alguns dos

trechos.

No entanto, independentemente dos sinais de S obtidos em cada diagrama, tem-se

como produto final, com relação às tensões de cisalhamento ft, os mesmos sentidos de fluxo

apresentados na figura 5.26b, os quais devem resultar sempre os mesmos, por questões de

equilíbrio, independentemente dos sinais do momento estático setorial.

Determinação das solicitações de interesse na barra

Para a obtenção das equações gerais que permitem determinar os valores dos esforços

solicitantes (esforços internos) ao longo do comprimento da barra (eixo X), devem ser

consideradas as cargas externas que nela atuam, como por exemplo:

q = carga uniformemente distribuída ......= 0,12 kN/cm

F = carga axial concentrada e excêntrica = 50 kN

As posições que cada carga atua estão esquematizadas na figura 5.31, lembrando que a

carga q possui plano de carga não coincidente com o centro de torção, razão pela qual deverá

ser considerada também uma carga de torção distribuída.

Nesse caso, em razão da distância entre q e D determinada com base na soma das

parcelas 1,441 cm, 0,067 cm e 7,933 cm, resulta:

m = momento de torção distribuído = 0,12 x (8, 0 + 1,441) = 1,13 kN.cm/cm

Consequentemente, aparecem, por equilíbrio de um comprimento X da barra, esforços

internos, tais como:

m = 1,13 kN.cm/cm (por torção)

N = 50 kN (por tração simples).

Page 152: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

142

q

12cm

y

z DCG

6cm 8cm

7,933cm

1,441cm 0,067cm

F

Figura 5.31 – Cargas q e F consideradas atuantes na seção transversal da barra

Em resposta à solicitação por flexão oblíqua, consideram-se:

2

2

z

50 x 12 400 XM (X) q X q 22,5(X) 0,06(X)

400 2 2

(X)7584,0(X) 400

067,6 x 50M y

Com relação à solicitação por bimomento, vale lembrar a existência de uma carga

concentrada aplicada em ponto particular da seção (ponto h), conforme ilustra a figura 5.31.

Nesse caso, resulta B* (bimomento aplicado na seção transversal A), tal que:

B* = Fi,A x i,A = (50 kN) x (-41,294 cm2) = - 2064,70 kN.cm2

Ainda, resulta:

22

t

cm 677,946.8r cm587,9424,10

24,34355).3

11(2

J

J)1(2r

Page 153: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

143

Determinação das equações gerais de B, Mft , M e Mt

Para a obtenção dos valores de interesse do bimomento, toma-se como ponto de

partida a equação geral de B escrita na seguinte forma:

mrr

xcoshC

r

xsenhCB 2

21

Ou ainda, na forma:

mrr

xcoshC

r

xsenhC"IE 2

21

Integrando-se a última equação por duas vezes sucessivas, obtém-se:

3

2

21 Cx mrr

xsenh rC

r

xcoshrC'IE

43

22

2

2

2

1 CxCx2

mr

r

xcoshrC

r

xsenhrCIE

Com base nas condições de contorno referentes ao giro das seções, em que se sabe da

ocorrência de recalque rotacional do vínculo de garfo em B, tem-se que para x = 0 resulta

como giro (0) = + 0,0625 radianos. Portanto:

4

2

2 CrCIE0625,0

Por outro lado, sabe-se que em x = tem-se () = 0, tal que:

43

222

2

2

1 CC2

mr

rcoshrC

rsenhrC0

lembrando que: 314,34r

senh

329,34r

cosh

Page 154: flexo torcao.pdf

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144

Com relação ao bimomento, sabe-se que para x = 0 tem-se B(0) = 0. Nesse caso,

obtém-se:

mr C mrC0 2

2

2

2

Ainda com relação ao bimomento, para x = tem-se B() = - 2064,70 kNcm2.

Portanto, resulta:

mrr

coshCr

senhC70,2064 2

21

As quatro últimas equações obtidas, quando reunidas, consistem de um conjunto

constituído por quatro a quatro incógnitas. Resolvendo esse mesmo sistema de equações, se

obtém as constantes de interesse:

C2 = - r2 m = - (8.946,677) x (1,13) = - 10.109,75

Com a obtenção do valor de C2, faz-se a determinação das constantes:

C1 = [-2.064,70 + (10.109,75) x (34,329) - 10.109,75] / (34,314) = 9.759,37

C4 = 45091252,5 - 8.946,677 x (-10.109,75) = 135.539.920,3

Por fim, a determinação da constante C3:

C3 = - 2.088.493,6

Portanto, tem-se:

r

xcosh175,109.10

r

xsenh37,759.9B

Como Mft = - B’, tem-se:

Page 155: flexo torcao.pdf

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145

r

xsenh 88,106

r

xcosh 18,103Mft

Ainda, sendo M = G It ’, resulta:

3

2

21t Cxmr

r

xsenh r C

r

xcoshr C

EI

GIM

Ou ainda, na forma:

44,233x13,1r

xsenh 88,106

r

xcosh 18,103M

Finalmente, faz-se Mt = M + Mft , obtendo-se:

44,233x13,1M

Construção dos diagramas de B, Mft e M

Os diagramas serão construídos com base nas equações gerais obtidas para B, Mft e

M, e apresentados a seguir na figura 5.32 para valores de coordenadas x da barra referentes à

parcelas iguais a 100 cm, de 0 a 400 cm, conforme apresentados na tabela 5.3

Tabela 5.3 – Valores de B, Mft e M

X (cm) senh(x/r) cosh(x/r) B (kNcm2) M (kNcm) Mft (kNcm)

0 0 1 0 -130,2 -103,2

100 1,2655 1,6129 6154,2 -89,2 -31,2

200 4,08822 4,2029 7459,2 -10,1 2,7

300 11,5028 11,9448 5514,6 65,9 39,7

400 34,3139 34,3285 -2060,8 93,1 125,5

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146

_

_

_

+

+

+

_

400300 200 100 0

x (cm)

M (kNcm)ft

B (kNcm )2

M (kNcm)t

M (kNcm)

6154,27459,2

2060,8

5514,6

93,1

65,9

10,189,2

130,2

103,2

31,2

39,7

2,7

125,5

218,6 105,6

120,4233,4

7,4

++

Figura 5.32 – Diagramas de B, Mft, M e Mt, com respectivas unidades.

Determinação da tensão normal

O cálculo de tensão normal na seção transversal distante 2m do vínculo do garfo A,

faz-se com base na equação geral escrita na forma:

I

Bz

I

My

I

M

A

N

y

y

z

z

Page 157: flexo torcao.pdf

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147

Inicialmente, vale lembrar que:

2

zM 22,5(X) 0,06(X) (X)7584,0M y

r

xcosh175,109.10

r

xsenh37,759.9B

Na coordenada da barra em que x = 200 cm e lembrando que r = 94,587 cm, resultam,

com base na figura 5.33, os seguintes valores:

kNcm 2100Mz kNcm 151,68M y 2kNcm 7459,2 B

y

zN

h b a

c

g e f

zM

yM

sO

d

Figura 5.33 – Representação dos esforços solicitantes de interesse na seção.

Portanto, com base em Mz = 2100 kNcm, My = 151,68 kNcm, B = 7459,2 kNcm2, bem

como lembrando que N = 50 kN, obtém-se:

24,34355

2,7459z

84,464

68,151y

13,3874

2100

48

50

217,0z326,0y542,0042,1

Page 158: flexo torcao.pdf

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148

Os valores das tensões normais em cada pontos da seção transversal estão

apresentados na tabela 5.4, bem como esquematizados no diagrama da figura 5.34.

Tabela 5.4 – Valores de Tensões Normais na seção

Ponto y (cm) z (cm) (cm2) (kN/cm2)

a -12 -7,933 +78,708 9,03 b -12 0,067 -17,292 - 9,19

h -12 6,067 -41,294 - 12,45

g 12 6,067 41,294 18,48

12 0,067 17,292 11,32

f 12 -7,933 -78,708 - 12,12

c -4 0,067 -5,764 - 2,36

0s 0 0,067 0 1,06

d 4 0,067 5,764 4,48

9 ,0 39 ,1 9

1 2 ,4 5

2 ,3 6

4 ,4 8

1 1 ,3 21 8 ,4 8

1 2 ,1 2

+

_

_

_

+

Figura 5.34 – Diagrama de tensões normais na seção de interesse, em kN/cm2.

Page 159: flexo torcao.pdf

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149

Determinação das tensões de cisalhamento

O Cálculo das tensões de cisalhamento máximas na seção do vínculo de garfo em B

(x=0) faz-se com base nos valores M = -130,24 kNcm e Mft = -103,2 kNcm, ambos

extraídos dos respectivos diagramas apresentados na figura 5.32. Nesse caso, resultam:

2

t

cmkN/ 18,10)8,0(24,10

2,130)t(

I

M

2ftft cm/kN 78,0

24,355.34 x 8,0

)50,206)(2,103(

It

SM

Finalmente, obtém-se:

2

máx cmkN/ 10,96 0,78 - 18,10

EXERCÍCIO 6 – Para a viga esquematizada na figura 5.35, com dois vínculos de garfo e

momento de torção concentrado aplicado na extremidade livre (em C), pede-se:

a-) Obter as equações gerais dos esforços solicitantes tipo Mt , M , Mft e B,

b-) Com base nas equações obtidas no item a, determinar os valores máximos da tensão

normal e da tensão de cisalhamento no vínculo do garfo B, considerando:

= 2 m E = 21.000 kN/cm2 M(aplicado) = 20 kNcm G = 8.000 kN/cm2

x /2

garfo

Seção Transversal da viga ABC :I 203 x 27,38 kg/m

M aplicado

A B C

garfo

Figura 5.35 – Esquema estático da viga com momento de torção aplicado.

Page 160: flexo torcao.pdf

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150

Determinação do valor do raio vetor r

Conforme informações constantes na figura 5.35, a seção transversal da viga de

interesse é constituída por perfil laminado I 203 x 27,38 kg/m, cujas informações necessárias

referentes às propriedades geométricas são disponibilizadas em tabelas usualmente empregada

em projeto de estruturas metálicas. Segundo essas mesmas tabelas, são obtidos alguns valores

de interesse, tais como I = 14.700 cm6 e It = 15,5 cm4. Nesse caso, tem-se:

cm 895,495,15 x 000.8

700.14 x 000.21r

Determinação das equações gerais de B, M e Mft

Para a obtenção dos valores de interesse do bimomento, toma-se como ponto de

partida a equação geral de B, escrita na forma:

mrr

xcoshC

r

xsenhCB 2

21

Vale aqui lembrar a ocorrência de um momento de torção concentrado aplicado, bem

como a inexistência de carga de torção distribuída (m = 0), o que permite reescrever a última

equação na forma:

r

xcoshC

r

xsenhCB 21

Novamente, se considera as condições de contorno para a determinação das constantes

de interesse. Inicialmente, para o intervalo 0 x , correspondente ao trecho AB, tem-se:

r

xcoshC

r

xsenhCBB 211)BA(

Analogamente, para o intervalo x 2

3, correspondente ao trecho BC, tem-se:

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151

r

xcoshC

r

xsenhCBB 432)CB(

Com base nas condições de contorno existentes, sabe-se que para x = 0 tem-se B1 = 0.

Esta última condição permite obter:

0C2

Por outro lado, sabe-se que para x = 3/2 tem-se B2 = 0. Esta última condição permite

escrever:

r2

3cosh

r2

3senh

C C 34

Ainda, para x = tem-se B1 = B2, de modo que:

rcoshC

rsenh C

rsenh C 431

r

cotgh C

rsenh

rcosh

CCC 4431

Em caráter complementar, sabendo-se que Mft = -B’, M = Mt – Mft e M = G Jt ’,

procede-se, dentro do intervalo 0 x , de modo a obter:

r

xcosh

r

CBM 1'

11,ft

Page 162: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

152

'

1t1

1,t1, IGr

xcosh

r

CMM

Por sua vez, dentro do intervalo x 2

3, tem-se:

r

xsenh

r2

3cosh

r2

3senh

r

xcosh

r

CBM 3'

22,ft

'

2t3

2,t2, IGr

xsenh

r2

3cosh

r2

3senh

r

xcosh

r

CMM

De acordo com a figura 5.35 pode-se concluir que no trecho AB (0 x ), o

momento de torção Mt,1 é constante, porém, ainda indeterminado. Por sua vez, por razões

análogas àquelas consideradas para o trecho AB, no trecho BC ( x 3/2) o momento de

torção Mt,2 também é constante, porém, conhecido e vale 20 kNcm.

Com base nos aspectos citados no último parágrafo, resultam:

511,t1t Cr

xsenhC)x(MGI

632,t2t Cr

xcosh

r2

3cosh

r2

3senh

r

xsenhC)x(MGI

A partir de agora, aplicam-se condições de contorno de interesse para a determinação

das constantes. Inicialmente, para x = 0 tem-se 1 = 0, obtendo-se:

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153

C5 = 0

Em seguida, para x = tem-se 1 = 0, obtendo-se:

rsenh

CM 1

1,t

Ainda, para x = tem-se 2 = 0, resultando:

0C

r2

3cosh

r2

3senh

rcosh

r2

3cosh

rsenh

C M 632,ft

Lembrando que senh(x – y) = senh(x) cos(y) – cosh(x) senh(y), bem como lembrando

que cosh(x – y) = cosh(x) cos(y) – senh(x) senh(y), resulta:

r2

3cosh

r2senh

C MC 32,t6

Por fim, para x = tem-se u1 = u2, ou seja, ’1 = ’2. Nesse caso:

r2

3cosh

r2cosh

r

CM

rcosh

r

CM 3

2,t1

1,t

Com base nos resultados obtidos, passa a ser possível determinar as constantes de

integração. Nesse caso, para facilitar o entendimento, serão reunidas a seguir as equações de

interesse, tal que:

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

154

r2

3cosh

r2

3senh

C C 34

rsenh

rcosh

CCC 431

rsenh

CM 1

1,t

r2

3cosh

r2senh

C MC 32,t6

r2

3cosh

r2cosh

r

CM

rcosh

r

CM 3

2,t1

1,t

Portanto, escrevem-se:

3143134 C)ab1(C bCCC e Ca C

11,t C r

senhM

36 Cd 20C

311,t eCr20r

coshCM r

Com relação às últimas equações, valem:

r2

3tanh

r2

3cosh

r2

3senh

a

rtanh

1

rsenh

rcosh

b

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

155

r2

3cosh

r2senh

d

r2

3cosh

rcosh

e

Resolvendo o sistema de equações, obtém-se:

Mt,1 = - 2,7902685 kNcm

C1 = 20,27763848

C3 = -31.294,69579

C4 = 31.294,32081

C6 = -4.558,053701

Portanto, resultam:

r

xsenh 27763848,20B1

r

xhcos 32081,294.31

r

xsenh 69579,294.31B2

Para x = 200cm, tem-se B1 = B2 = 558,05368 kNcm2 e, consequentemente:

2cmkN/ 81,1 )6,47(700.14

0537,558

I

B

r

xcosh4064058061,0M 1ft

r

xsenh9999880179,0

r

xcosh2104161,627M 2ft

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156

Para x = 200 cm, tem-se:

Mft,1 = -11,19193133 kNcm

Mft,2 = 11,59833782 kNcm

Como Mt1 = -0,27902685 tf.cm e Mt2 = 2,00 tf.cm, resultam:

M1 = - 8,401662832 kNcm

M2 = 8,401662744 kNcm

Cálculo dos valores máximos de na seção em x = = 200 cm.

2cm/kN 5854,008,15,15

41663,8

2

ft cm/kN 0958,0700.14 x 08,1

09,131 x 598338,11

Consequentemente:

222

máx kN/cm 6812,0cm/kN 0958,0cm/kN 5854,0

5.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

PROPOSTO 1 - Para as vigas indicadas na figura 5.36, pede-se determinar os diagramas de

B, Mt, Mft e M, bem como os valores máximos das tensões normais e de cisalhamento.Adote

como dados de interesse do exercício:

= 400 cm Mt = m. m = 0,5 kNcm/cm

E = 20.500 kN/cm2 G = 7.850 kN/cm2

Page 167: flexo torcao.pdf

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157

12cm

24cm

espessura = 0,5cm

M t

m

x

x x

/2 /2

M t

xM t

Figura 5.36 – Esquemas estáticos de diferentes vigas, para uma mesma seção.

PROPOSTO 2 - Para a viga esquematizada na figura 5.37, com F = 30 kN, E = 20.500

kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2, pede-se calcular os valores máximos de tensão normal de flexão,

tensão tangencial da força cortante, tensão normal de flexão-torção, tensão tangencial de flexo

torção e tensão tangencial de torção livre.

24cm

F

6cm6cm

F

2 m 2 m

1 cmt=const

Figura 5.37 – Viga biengastada com carga F excêntrica aplicada.

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158

PROPOSTO 3 – Para a viga esquematizada na figura 5.38, em que se considera a mesma

seção transversal do Exercício Proposto 1, pede-se:

a-) Determinar o máximo valor do ângulo de rotação;

b-) Traçar os diagramas de Mt, M e Mft;

c-) Determinar o máximo valor do momento de torção livre;

d-) Na seção distante 0,5 m do vínculo de garfo da esquerda (x = 300 cm), achar o máximo

valor da tensão normal

Obs: Para todos os itens, considerar F = 30 kN, E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2

FF

= 300cm x

F

F

F

F

Figura 5.38 – Viga com cargas F aplicada nas extremidades com vínculos de garfo.

PROPOSTO 4 - Para a viga esquematizada na figura 5.39, pede-se:

a-) construir os diagramas de B, Mt, M e Mft;

b-) Determinar o valor máximo da tensão normal de flexão;

c-) Determinar o valor máximo da tensão tangencial da força cortante;

d-) Determinar o valor máximo da tensão normal de flexo torção;

e-) Determinar tensão tangencial de flexo torção;

f-) Determinar o valor máximo da tensão tangencial de torção livre.

Obs: Para todos os itens, considerar E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

159

x

F = 20 kN

200cm200cm

24cm

3cm3cm

9cm 9cmF = 20 kN

1 cmt=const

Figura 5.39 – Viga com carga F aplicada e com vínculos de garfo.

PROPOSTO 5 – Para a viga esquematizada na figura 5.40, pede-se determinar os valores

máximos de tensão normal atuante na seção do engastamento, da tensão tangencial de torção

livre e do ângulo de rotação. O garfo em B restringe apenas a rotação e a seção transversal é

constituída por um perfil I 457 x 81,4 kg/m, com E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2.

A B

200cm 100cm

C

F = 200 kN

F = 200 kN

Figura 5.40 – Viga com: carga F aplicada, vínculo de garfo e engaste

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

160

PROPOSTO 6 - Para a viga esquematizada na figura 5.41, pede-se determinar os diagramas

de B, M e Mft. A seção transversal é um perfil H 152 x 37,2 kg/m e o carregamento é um

bimomento aplicado na extremidade C da viga.

Considerar: E = 20.500 kN/cm2 e G = 7.850 kN/cm2.

A C

3 m

garfo

aplicadoB = 50.000 kNcm2

Figura 5.41 – Viga com: B aplicado em C, vínculo de garfo e engaste

PROPOSTO 7 - Para a viga esquematizada na figura 5.42, cuja seção transversal viga é

constituída por um perfil I 305 x 30,81, pede-se:

a-) Traçar os diagramas de B, Mft e M .

a-) Determinar os valores máximos de tensão normal ();

b-) Determinar os valores máximos de tensão tangencial ();

c-) Determinar os valores máximos do ângulo de rotação ();

Obs: Para os itens: Baplicado = 40.000 kN/cm2, E = 21.000 kN/cm2 e G = 8.000 kN/cm2

x 120cm180cm

Baplicado

Figura 5.42 – Viga com: B aplicado na extremidade livre e vínculos de garfo.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

161

PROPOSTO 8 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.43, com respectiva seção

transversal, pede-se:

a-) Construir os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;

b-) Construir o diagrama de tensões normais (x) atuantes na seção distante 1,5 metros do

apoio (vinculo de garfo) em A;

c-) Determinar as tensões de cisalhamento causadas pelo momento de torção livre () e pelo

momento de flexo torção (ft), bem como a máxima tensão de cisalhamento, todas na seção

distante 1,5 metros do apoio em A;

a = 12 cm t = 0,8 cm (cte) E = 20.500 kN/cm2

= 0,30 F = 150 kN

Figura 5.43 – Viga com cargas F aplicadas nas extremidades com vínculo de garfo.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

162

PROPOSTO 9 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.44, com respectiva seção

transversal, pede-se:

a-) Construir os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;

b-) Determinar o valor da máxima tensão normal atuante;

c-) Determinar o valor da máxima rotação.

a = 16 cm t = 0,5 cm (cte) E = 20.500 kN/cm2

= 0,30 B = 8.000 kN/cm2

Figura 5.44 – Viga com B aplicado na extremidade livre.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

163

PROPOSTO 10 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.45, com respectiva seção

transversal, pede-se:

a-) Os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;

b-) O valor da máxima tensão normal (x) atuante na seção distante 2,0 metros do apoio A;

c-) Os valores máximos das tensões de cisalhamento causadas pelo momento de torção livre

(l) e pelo momento de flexo torção (ft), na seção do apoio em B;

a = 6 cm t = 0,4 cm (cte) E = 20.500 kN/cm2

= 0,30 F = 40 kN ; q = 10 kN/m

Obs: Considere em B um recalque puramente torcional de 0,05 rad, no sentido anti-horário,

para um observador no sentido positivo do eixo x.

Figura 5.45 – Viga com cargas F e distribuída q aplicadas.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

164

PROPOSTO 11 - Para a viga ilustrada a seguir na figura 5.45, considere E = 20.500 kN/cm2,

= 0,30, B = 4.000 kNcm2, bem como as seções transversais, para as quais pede-se:

a-) Os diagramas dos esforços solicitantes B, M, Mft e ;

b-) O valor da máxima tensão normal (x) atuante na seção em x = 1,5 m;

c-) Os valores máximos das tensões de cisalhamento e ft, na seção em x = 1,5 m;

Seção I: a = 15 cm e t = 0,2 cm Seção II: a = 14 cm e t = 0,4 cm

Seção III: a = 10 cm e t = 0,3 cm Seção IV: a = 12 cm e t = 0,7 cm

(I) (II)

(III) (IV)

Figura 5.46 – Viga com B aplicado e respectivas seções transversais.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

165

PROPOSTO 12 - Para a viga-calha da argamassa armada representada na figura 5.47, pede-se

determinar o valor máximo que a carga p (uniformemente distribuída) pode assumir, supondo

essa mesma carga aplicada na viga com uma excentricidade (e) em relação ao centro de torção

igual a 13 cm. Os valores admissíveis considerados para as tensões de interesse do material

que constitui a viga, admitido homogêneo, são:

= 1 kN/cm2 (tração ou compressão) = 0,12 kN/cm2 (cisalhamento)

= 1/6 (coeficiente de Poisson)

Observação: Deve-se primeiramente desprezar o efeito da flexo torção na determinação de p.

Em seguida considera-se esse efeito no cálculo de p e, pela comparação dos resultados,

escreva suas conclusões. Caso os apoios nas extremidades fossem constituídos por

engastamentos fixos, as conclusões seriam as mesmas?

30 cm

24 c

m

3 cm

3 cm

4,5cm

4cm 11 cm 11 cm 4cm

22,7

5 cm

21 c

m

1,7cm

SEÇÃO TRANSVERSAL ESQUELETO

p

p13cm

450 cm

Figura 5.47 – Viga com carga p uniformemente distribuída e vínculos de garfo.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

166

PROPOSTO 13 - A viga, figura 5.48, tem seção transversal tipo I (esquema I). Sabendo-se

que devido a causas externas o vínculo de garfo em A sofreu uma rotação = 0,0625 radianos

(anti-horário para um observador no sentido positivo de x), pede-se calcular o valor do

momento de torção Mt,I que passou a solicitar a viga. Pede-se ainda:

a-) O valor da dimensão “a” indicado na seção transversal em forma de cantoneira (esquema

II), para que esta seção tenha o mesmo momento de inércia à torção da seção do esquema I;

b-) Para a viga AB, agora com seção transversal em forma de cantoneira, calcular o momento

torçor Mt,II nas mesmas condições anteriores (rotação no garfo A). É oportuno lembrar que, de

acordo com a equação B” – B = -r2m, para r = 0 tem-se B = 0.

A B

2m

16cm

18cm

2cm

1cm

2cm

16cm

a

a

2cm

2cm

E = 20500 kN/cm2G = 7850 kN/cm2

= 0,0625 radianos

ESQUEMA I ESQUEMA II

Figura 5.48 – Viga com carga p uniformemente distribuída e vínculos de garfo.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

167

PROPOSTO 14 - A viga indicada na figura 5.49 é solicitada pelas cargas: F (transversal) e

20F (axial excêntrica), ambas aplicadas de acordo com o esquema da mesma figura. Nesse

caso, para E = 2100 kN/cm2 e G = 900 kN/cm2, pede-se:

a-) O valor admissível de F para = 1 kN/cm2;

b-) Com o valor de F do item a, construir os diagramas de M, Mft e B;

c-) Com o valor F do item a, determinar as tensões de cisalhamento máximas causadas por M

e Mft.

20 F

F

4 m

20 F

F

F32

14

65

1,5 cm

1cm

10cm 10cm

60cm

20cm

20cm 20cm 15cm15cm

20F

Figura 5.49 – Viga com cargas F e 20F aplicadas na extremidade livre.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Capítulo 5 – Analogia e Condições de Contorno

168

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I

169

ANEXO I

I.1 ANALOGIA DE MEMBRANA APLICADA ÀS BARRAS DELGADAS DE

PAREDES ABERTAS

Conforme apresentado no capítulo 3, a equação geral clássica que permite obter a

rotação (giro) da seção transversal por unidade de comprimento, obtida com base nos

conceitos da Resistência dos Materiais, se escreve na forma apresentada na equação AI.1, em

que d é o giro relativo entre duas seções, Mt é o momento de torção, G é o módulo de

elasticidade transversal do material e It é o momento de inércia à torção.

t

t

GI

M'

dx

d

(AI.1)

A Analogia de Membrana aplicada ao estudo da torção simples, PROENÇA (2001),

consiste em representar a seção transversal de uma barra qualquer por meio de uma superfície

(lâmina), com rigidez nula na direção transversal ao seu plano, submetida a uma pressão p e

com resistência apenas a esforços de tração, conforme esquematiza a figura AI.1 extraída da

última referência.

Figura AI.1 – Membrana deformável submetida a uma dada pressão p.

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I

170

Na última referência, faz-se a consideração do equilíbrio de um elemento infinitesimal

de área dA = dz.dy, o que permite determinar a equação diferencial fundamental do problema

do equilíbrio da membrana, conforme descreve a equação AI.2.

k

p

dz

)y,z(h

dy

)y,z(h2

2

2

2

(AI.2)

Na equação AI.2, y e z são coordenadas da seção transversal da barra, h(y,z) é a

função de forma da membrana, p a pressão exercida na superfície da membrana e k a tração

por unidade de comprimento da membrana. Ressalta-se que h(z,y) = 0 nos pontos do

contorno. Vale aqui lembrar a equação clássica obtida no estudo da torção, que estabelece

como condição para a distribuição de tensão de cisalhamento a equação AI.3

0dzdy

xzxy

(AI.3)

Para a última equação, admite-se a existência de uma nova função (z,y) para a qual

valem xy = - /z e xz = /y, as quais permitem obter a equação AI.4.

'G2dz

)y,z(

dy

)y,z(2

2

2

2

(AI.4)

Uma analogia entre as equações AI.2 e AI.4, conforme proposto em PROENÇA

(2001), permite estabelecer como válida a função (z,y) a qual assume a forma apresentada

na equação AI.5.

)y,z(hp

k'G2)y,z(

(AI.5)

Por meio da equação AI.5 se obtém as equações AI.6 e AI.7.

zxy h p

k '2G

z

)y,z(h

p

k '2G

z

(AI.6)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I

171

yxz h p

k '2G -

y

)y,z(h

p

k '2G -

y

(AI.7)

Nas equações AI.6 e AI.7, hz e hy correspondem às inclinações da membrana com

relação às direções z e y, respectivamente, lembrando que zy = 0, em concordância com a

hipótese de indeformabilidade da seção (zy = 0) anteriormente adotada. Por fim, procede-se o

equilíbrio na seção por meio da equação AI.8.

dA)z. y.( M xyA

xzt (AI.8)

Da última igualdade, se obtém, por meio de procedimentos que não serão aqui

demonstrados, as equações de interesse para o estudo em questão, escritas nas formas

apresentadas por meio das equações que seguem.

kV4

p

G

M' V

p

'Gk4M t

t (AI.9 e AI.10)

ztt

xy h 2V

M

z

)y,z(h

2V

M

(AI.11)

ytt

xy h 2V

M-

y

)y,z(h

2V

M-

(AI.12)

Nas equações AI.9, AI.10, AI.11 a AI.12, V é o volume deslocado da membrana.

Nota-se que o problema da torção, por Analogia de Membrana, fica condicionado à

determinação do volume deslocado e da inclinação da membrana. A equação AI.10, quando

comparada à equação AI.1, permite estabelecer que o termo entre parênteses corresponde ao

momento de inércia à torção (It), escrito na forma proposta na equação AI.13.

p

kV4It (AI.13)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I

172

Finalmente, procede-se a particularização das equações AI11, AI.12 e AI.13 para o

caso de barras com seções transversais abertas e com paredes delgadas, tomando como

referência a figura AI.2.

Figura AI.2 – Seção de parede de espessura t, representada por membrana deslocada e

submetida a uma pressão p. Fonte: PROENÇA (2001)

Com base na configuração deslocada da membrana esquematizada na última figura,

por conseqüência de uma pressão p exercida (de baixo para cima) e adotada na forma de

parábola, se faz:

ft3

2dy )y(hA

t

yy

t

f4)y(h

t

0

2

(AI.14 e AI.15)

dst 12k

pds AV

2s

1s

32s

1s (AI.16)

Substituindo a equação AI.16 nas equações AI.12 e AI.13, se obtém:

dst3

1dst

k12

p

p

k4I

s

3

s

3

t (AI.17)

t

t

t

tb W

Mt

I

M (AI.18)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I

173

Nas equações AI.17 e AI.18, t é a espessura da parede da seção transversal da barra em

estudo, ao longo da qual as tensões de cisalhamento () são admitidas linearmente distribuídas

ao longo da espessura t, com valor máximo na borda (b) e nulo sobre a linha do esqueleto,

conforme esquematiza a figura AI.3.

l i n h a d o

e s q u e l e t o

b

b

t

Figura AI.4 – Distribuição das tensões de cisalhamento ao longo de t.

Page 184: flexo torcao.pdf

Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I

174

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I

175

ANEXO II

II.1 FLEXO TORÇÃO VIA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Para um elemento infinitezimal (dx, dy, dz) da barra, a energia de deformação dU é

igual ao trabalho das tensões ( e ) atuantes. Nesse caso, escreve-se:

dzdydx 2

1dU xx (AII.1)

Com base na Lei de Hooke, tem-se:

dUdUdzdydx G2

dzdydx E2

dU22

x (AII.2)

Nota-se, pela equação AII.2, a existência de parcelas distintas de energia referentes à

tensão normal e a tensão de cisalhamento, dU e dU, respectivamente. Com base na parcela

referente à tensão normal, no caso, dU, procede-se:

dx dAE2

1 dzdydx

E2

1U

o A

2

x

2

x

(AII.3)

Ainda, conforme já apresentado por meio da equação 4.27 do capítulo 4, sabe-se que:

)(I

B )z(

I

M )y(

I

M

A

N

y

y

z

zx

Elevando a última equação ao quadrado obtém-se:

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I

176

2

2

22

2

y

2

y2

2

z

2

z

2

22

x I

Bz

I

My

I

M

A

N(termos que contem: y, z, , yz, y, ou z)

Todos esses termos mencionados entre parênteses se anulam ao serem integrados na

área da seção transversal, resultando:

dx I

B

I

M

I

M

A

N

E2

1U

0

2

y

2

y

z

2

z2

(AII.5)

Em comparação com aquela equação obtida pela Resistência dos Materiais, nota-se

que foi acrescentado apenas o último termo dentro do colchete da equação AII.5, o qual

correspondente ao efeito da flexo torção.

Para o cálculo da parcela dU é usual não se levar em conta a tensão ft proveniente da

flexo torção tendo-se em vista que as tensões da torção livre são, na maioria dos casos

práticos da engenharia de estruturas, muito superiores quando comparadas com as tensões ft.

Dessa forma, como Mt = M, a tensão de cisalhamento é escrita na forma:

tI

M

t

Portanto, no caso da parcela dU nada irá diferir daquela já conhecida pela Resistência

dos Materiais que, a qual, além do efeito do momento de torção, passa a incluir também o

efeito da força cortante. A energia total da deformação é dada por:

dx GI

M

GA

cQ

EI

B

EI

M

EI

M

EA

N

2

1U

0 t

222

y

2

y

z

2

z2

(AII.6)

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I

177

I.2 MOMENTO FLETOR PROVOCANDO BIMOMENTO

Ao se aplicar um momento fletor contido em um plano que não passa pelo centro de

torção da seção transversal, faz-se com que essa mesma seção passe a ser solicitada por um

bimomento. Para se calcular esse bimomento se idealiza o momento fletor (M) aplicado por

meio de um binário na forma F.s, conforme ilustrado na figura AII.1.

Os pontos de aplicação das cargas F, que produzem o binário F.s, têm áreas setoriais

(s) e (s + s). Dessa forma, escreve-se:

s

MF

linha doesqueleto

D

n

traço

do p

lano de ca

rga

s

s

MF

F

Figura AII.1 – Momento fletor contido em um plano que não passa pelo centro de torção.

Portanto, tem-se:

ds

dM

s0s

im M)ss(

s

M)s(

s

M

0s

imB

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Flexo Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Anexo I I

178

O limite anteriormente deduzido nada mais é que a derivada da área setorial em

relação à linha do esqueleto. Por fim, já se sabe que:

nds

d ds

s

Portanto, o bimomento resultante e de interesse é escrito na forma final:

MnB (AII.8)

Page 189: flexo torcao.pdf

Flexo-Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Bibliografia

179

BIBLIOGRAFIA

LANGENDONCK, T. V. (1959) Torção de peças de secção delgada., Rio de Janeiro, 3 (13):

pp.49-73.

MORI, D. D. (1978) Flexo-torção: teorias de 1a e 2a ordens para automatização do cálculo.

São Carlos, EESC-USP, Dissertação de mestrado – EESC-USP, 171p

PROENÇA (2001) Curso de resistência dos materiais – Notas de Aula, v.1, São Carlos.

Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 235p.

PROENÇA (2001) Curso de resistência dos materiais – Notas de Aula, v.2, São Carlos.

Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 437p.

PROENÇA (2009) Mecânica das estruturas aeronáuticas – Notas de Aula, v.1, São Carlos.

Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 212p.

PROENÇA (2009) Mecânica das estruturas aeronáuticas – Notas de Aula, v.2, São Carlos.

Apostila, Publicações, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, 446p.

RACHID, M. (1969) Características de perfís para o cálculo de flexo-torção e estabilidade.

R. Esc. Eng. UFMG, 8 (12), pp.93-110.

RACHID, M. (1975) Instabilidade de barras de seção delgada. São Carlos, EESC-USP,

119p. Tese de doutorado.

SANTOS, S. M. G. (1967) Estudos das hastes de paredes delgadas com secção aberta. Rio

de Janeiro, PCU-RJ.

SOUZA, J. M. (1975) Torção de perfis abertos. Rio de Janeiro, PUC/RJ-USIMINAS, 83p.

(Fascículo no. 12).

Page 190: flexo torcao.pdf

Flexo-Torção: Barras com seção aberta e paredes delgadas Bibliografia

180

VLASOV, V.Z. (1961) Thin-walled elastic beams. The National Science Foundation,

Departament of Commerce, USA, 2d. Edition, S. Monson Press, 493p.

VLASOV, V.Z. (1962) Piéces longues em voiles minces. Trad. G. Smirnoff, 10.ed. Paris,

Editora Evrolles, 665p.