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Análise de Sistemas de Potência (ASP)

Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 1 de 34

Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos

Formulação do problema básico

Equações básicas (para NBk ,,2,1 L= )

( )∑∈

+=Km

kmkmkmkmmkk BGVVP θθ sencos (1)

( )∑∈

−=Km

kmkmkmkmmkk BGVVQ θθ cossen (2)

NB×2 equações

NB×4 variáveis

• NB equações tipo (1) • NB equações tipo (2) • NB×4 variáveis ( kV , kθ , kP e kQ ).

Tipos de barra no fluxo de carga convencional. Tipo de barra Notação Dados Incógnitas

Barra de carga PQ kP e kQ kV e kθ Tensão controlada PV kP e kV kθ e kQ Referência Vθ kV e kθ kP e kQ

Resolvido o fluxo de carga → estado da rede ( )kkV θ, para NBk ,,2,1 L= é conhecido.



Subsistemas 1 e 2 NPQ – número de barras PQ NPV – número de barras PV

• Subsistema 1 (dimensão NPVNPQ +×2 )

Dados: iP e iQ , PQ barras∈i : esp

ii PP = espii QQ =

jP e jV , PV barras∈j : espjj PP =

espjj VV =

kV e kθ , Vθ barra∈k : espkk VV =

espkk θθ =

Incógnitas: iV e iθ , PQ barras∈i jθ , PV barras∈j Equações algébricas não-lineares (funções quadráticas e trigonométricas ). Parte das incógnitas aparece de forma implícita ( )mkkm θθθ −= .

( )( ) ( )

∈=−−

∈=+−

∑

∑

∈

∈

PQ barras0cossen

PV e PQ barras0sencos

S1 esp

esp

kBGVVQ

kBGVVP

Kmkmkmkmkmmkk

Kmkmkmkmkmmkk

θθ

θθ

• Subsistema 2 (dimensão 2+NPV ) – Resolvido após o Subsistema 1. Dados: kV e kθ , NBk ,,2,1 L=

Incógnitas: iP e iQ , Vθ barra∈i jQ , PV barras∈j

Todas as incógnitas ( )kk QP e aparecem isoladas de forma explícita.

( )( ) ( )

∈−=

∈+=

∑

∑

∈

∈

Vθ e PV barrascossen

Vθ barrasencos

S2kBGVVQ

kBGVVP

Kmkmkmkmkmmkk

Kmkmkmkmkmmkk

θθ

θθ



Características dos subsistemas que constituem o fl uxo de carga.

Variáveis Subsistema Dimensão

Especificadas Calculadas

S1 NPVNPQ +×2 iP e iQ , PQ barras∈i

jP e jV , PV barras∈j

kV e kθ , Vθ barra∈k

iV e iθ , PQ barras∈i

jθ , PV barras∈j

S2 2+NPV kV e kθ , NBk ,,2,1 L= iP e iQ , Vθ barra∈i

jQ , PV barras∈j Exemplo 1 – Considerando o sistema elétrico cujos dados encontram-se na figura a seguir, formular as equações referentes ao Subsistema 1 do fluxo de carga.

pu 011 =V

1 2

( ) pu 4,08,02 jS +=

222 θVV =

( ) pu 1,001,0 jZ LT +=

1S

12I

Sistema elétrico de duas barras.



Exemplo 2 – Empregando a notação na forma vetorial, determinar as variáveis e equações do Subsistema 1 do problema definido no Exemplo 1.

-0.14-0.12

-0.1-0.08

-0.06

0.9

0.95

1-1

-0.5

0

0.5

1

theta2V2

dP2(theta2,V2)

dQ2(theta2,V2)

dP2=dQ2



Formulação matricial

• Incógnitas Subsistema 1 agrupadas no vetor x : NPQ

NPVNPQ

Vx

+

=

θ

θ – vetor dos ângulos das tensões nodais das barras PQ e PV V – vetor das magnitudes das tensões nodais das barras PQ.

• Subsistema 1 : ( ) ( ) ( )

∈=−=∆∈=−=∆

PQ barras0,

PV e PQ barras0,S1

esp

esp

kVQQQ

kVPPP

kkk

kkk

θθ

( ) ( )( )

=−=∆=−=∆

0,

0,S1 esp

esp

θθ

VQQQ

VPPP

P – vetor das injeções de potência ativa nas barras PQ e PV Q – vetor das injeções de potência reativa nas barras PQ.

( ) ( ) NPQ

NPVNPQ

Q

Pxg

+

∆∆

=S1

( ) ( ) 0S1 =xg

• Sistema de equações não-lineares → resolvido por um número muito grande de métodos (Gauss, Newton, Desacoplado Rápido).



Exemplo 3 – Para a rede de quatro barras cujos dados estão a seguir, determinar as equações do fluxo de carga.

12Y

shjb12 shjb12

23Y

shjb23 shjb23

13Y

shjb13 shjb13

34:1 a

34Y

14:1 ϕje

14Y

1 2 3 4

1S

3S

4S

2S 1V 2V 3V 4V

shjb3



Dados das barras do sistema de 4 barras. Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu]

espQ [pu] 1 Vθ 1,05 0,0 — — 2 PQ — — – 0,4 – 0,2 3 PV 0,95 — 0,2 — 4 PQ — — – 0,8 – 0,4

Dados dos ramos do sistema de 4 barras. k m kmY [pu]

shkmb [pu] kma [pu] kmϕ [rad]

1 2 0,3 – j2,0 0,01 — — 1 3 0,3 – j2,0 0,01 1 4 – j2,0 — — 0,15 2 3 0,2 – j1,0 0,02 — — 3 4 – j1,0 — 0,95 —

+−−−+++++−−

−+++−−−−++++

=

−

3414343414

3434323133423423132313

232312231212

1413121312141312

0

0

14

14

YYYaYe

YajbjbjbYaYYYY

YjbjbYYY

YeYYjbjbYYY

Y

j

shshsh

shsh

jshsh

ϕ

ϕ

−−−

−−−−

=

0002989,0

05,02,03,0

02,05,03,0

2989,03,03,06,0

G e

−−

−−

=

395,009775,1

95,0805,312

0197,22

9775,12298,5 j

B



Equações do fluxo de carga:

( ) ( ) ( )[( )]141414144

13131313esp

312121212211111111esp

111

sencos

sencossencossencos

θθθθθθθθ

BGV

BGVBGVBGVVP esp

++++++++=

( ) ( ) ( )[ ]23232323esp

322222222221212121esp

12esp

2 sencossencossencos θθθθθθ BGVBGVBGVVP +++++=

( ) ( ) ( )[

( )]343434344

33333333esp

332323232231313131esp

1esp

3esp

3

sencos

sencossencossencos

θθθθθθθθ

BGV

BGVBGVBGVVP

++++++++=

( ) ( ) ( )[ ]44444444443434343esp

341414141esp

14esp

4 sencossencossencos θθθθθθ BGVBGVBGVVP +++++=

( ) ( ) ( )[( )]141414144

13131313esp

312121212211111111esp

111

cossen

cossencossencossen

θθθθθθθθ

BGV

BGVBGVBGVVQ esp

−++−+−+−=

( ) ( ) ( )[ ]23232323esp

322222222221212121esp

12esp2 cossencossencossen θθθθθθ BGVBGVBGVVQ −+−+−=

( ) ( ) ( )[( )]343434344

33333333esp

332323232231313131esp

1esp

33

cossen

cossencossencossen

θθθθθθθθ

BGV

BGVBGVBGVVQ

−++−+−+−=

( ) ( ) ( )[ ]44444444443434343241414141esp

14esp4 cossencossencossen θθθθθθ BGVBGVBGVVQ −+−+−=



Subsistema 1

=

4

2

4

3

2

V

V

x θθθ

( )

( )( )( )

( )( )

==∆

=−=∆=−=∆

==∆

=−=∆=−=∆=−=∆

4,2PQ barras00

0

4,3,2PV e PQ barras0

0

0

0

S1

4esp44

2esp22

4esp

44

3esp

33

2esp

22

QxQQQ

xQQQ

P

xPPP

xPPP

xPPP

Subsistema 2

( )

( ) ( )( )

=

==

==

3,1Vθ e PV barras

1Vθ barras

S2

33

11

11

xQQ

xQQ

xPP



Resolução de sistemas algébricos não lineares pelo método de Newton-Raphson

Sistema unidimensional (determinar x tal que a função ( )xg seja nula): ( ) 0=xg

Expansão em série de Taylor (em torno de 0x ) e aproximação linear

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) K+−∂

∂+−∂

∂+=20

2

020

00

!2

1

!1

1xx

x

xgxx

x

xgxgxg ( ) ( ) ( ) ( )0

00 xx

x

xgxgxg −

∂∂+≈

x0 x1

g(x)

( )0xg

( ) ( )001 xxgxg ∆+=

x

Equação da reta tangente por x0:

( ) ( ) ( )( )00

0 xxx

xgxgxg −

∂∂+=

Ponto no qual a reta tangente por x0 é nula: x1

010 xxx −=∆

( ) ( ) ( ) ( ) 0010

01 =−∂

∂+= xxx

xgxgxg

( ) ( )0

1001 xg

x

xgxx

−

∂∂−=

( ) ( ) ( )00

0000 =∆

∂∂+=∆+ x

x

xgxgxxg

( ) ( )0

100 xg

x

xgx

−

∂∂−=∆



Algoritmo do método de Newton-Raphson unidimensiona l ( ) 0=xg

i. Fazer 0=ν e escolher uma aproximação inicial 0xx =ν .

ii. Calcular o valor da função ( )xg , no ponto νxx = : ( )νxg

iii. Comparar o valor calculado ( )νxg com a tolerância especificada ε: se ( ) εν ≤xg , então νxx =

será a solução procurada (dentro da faixa de tolerância ±ε); se ( ) εν >xg , prosseguir.

iv. Linearizar a função ( )xg em torno do ponto ( )( )νν xgx , . Isto se resume na determinação da seguinte derivada:

( )x

xg

∂∂ ν

v. Calcular a correção νx∆ que resolve o problema linearizado:

( ) ( )νν

ν xgx

xgx

1−

∂∂−=∆

vi. Determinar a nova estimativa de x passa a ser: ννν xxx ∆+=+1

vii. Fazer 1+= νν e voltar para o Passo (ii).

Variante (Von Mises): considerar derivada constante → no Passo (iv) ( ) ( )

x

xg

x

xg

∂∂=

∂∂ 0ν



Exemplo 4 – Utilizando o método de Newton-Raphson, determinar a solução para a equação xx sen2 −= , considerando uma tolerância 001,0=ε .

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4

-3

-2

-1

0

1

x

g(x)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4

-3

-2

-1

0

1

x

g(x)

Processo de convergência para 00 =x e 20 =x .

Exemplo 5 – Utilizando o método de Newton-Raphson com derivada constante (Von Mises), determinar a solução para a equação xx sen2 −= , considerando uma tolerância 001,0=ε . Exercício 1 –Utilizando os métodos de Newton-Raphson e de Von Mises, determinar, com uma

tolerância 001,0=ε , o valor de x tal que 53sen 2 +−= xxe x .



Algoritmo do método de Newton-Raphson n-dimensional ( ) 0=xg

i. Fazer 0=ν e escolher uma aproximação inicial 0xx =ν.

ii. Calcular ( )xg , no ponto νxx = : ( )νxg

iii. Testar convergência: se ( ) [ ]nixg i ,1 para ∈≤ εν, então o processo convergiu para a solução

νxx = ; caso contrário, prosseguir.

iv. Linearizar a função vetorial ( )xg em torno do ponto ( )( )νν xgx , . Isto se resume na determinação da seguinte matriz de derivadas, denominada matriz Jacobiana:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

∂=

n

nnn

n

n

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xg

x

xgxJ

ννν

ννν

ννν

νν

L

MOMM

L

L

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

v. Calcular a correção νx∆ que resolve o problema linearizado: ( )[ ] ( )ννν xgxJx1−

−=∆

vi. Determinar a nova estimativa de x passa a ser: ννν xxx ∆+=+1

vii. Fazer 1+= νν e voltar para o Passo (ii).



Exemplo 6 – Utilizando o método de Newton-Raphson, determinar a solução considerando uma

tolerância 001,0== yx εε , para o seguinte sistema de equações: 62

422 =+

=+

yx

yx

Resultados parciais do processo iterativo – método de Newton-Raphson n-dimensional.

ν ν

ν

2

1

x

x ( )

( )ν

ν

xg

xg

2

1 ( )[ ] 1−− νxJ ν

ν

2

1

x

x

∆∆

0 0 3

–1 3 2,02,0

1,06,0

−−

0,9 –0,8

1 0,9 2,2

0 0,64 294,0294,0

147,0647,0

−−

0,094 –0,188

2 0,994 2,012

0 0,0354 331,0331,0

165,0665,0

−−

0,00586 –0,0117

3 0,999977 2,000046

0 0,000137

— —

Exemplo 7 – Utilizando o método de Von Mises, determinar a solução do sistema de equações do exemplo anterior. Exercício 2 –Utilizando os métodos de Newton-Raphson e de Von Mises, determinar, com uma

tolerância 001,0=ε , a solução do seguinte sistema de equações: 52

432

2

−=−

=+

yxy

xyx



Fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson

Aplicado ao Subsistema 1 (S1)

( ) ( )( )

( ) ( )

∈=−=∆∈=−=∆

⇒

=−=∆=−=∆

=PQ barras0,

PV e PQ barras0,

0,

0,S1

esp

esp

esp

esp

kVQQQ

kVPPP

VQQQ

VPPP

kkk

kkk

θθ

θθ

( )PQ

PV PQ

←+←

∆∆

= υ

υυ

Q

Pxg

PQ

PV PQ

←+←

= υ

υυ θ

Vx PQ

PV PQ

←+←

∆∆=∆ υ

υυ θ

Vx

Matriz Jacobiana

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )PQ

PV PQ

PQPVPQ

←

+←

↑+↑

∂∆∂

∂∆∂

∂∆∂

∂∆∂

=∂

∂=

υ

υυ

θ

θ

V

QQ

V

PP

x

xgxJ

→

( )( ) ( )

( ) ( )PQ

PV PQ

PQPVPQ

,,

,,

←

+←

↑+↑

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

υ

υθ

θθ

θθ

θ

V

VQVQV

VPVP

xJ



Submatrizes do Jacobiano

∆∆

=

∆∆

υ

υυ

υ

υ θVLM

NH

Q

P

( )θ

θ∂

∂= ,VPH

( )V

VPN

∂∂= θ,

( )θ

θ∂

∂=

,VQM

( )V

VQL

∂∂

=θ,

( )∑∈

+=Km

kmkmkmkmmkk BGVVP θθ sencos ou ( )∑Ω∈

++=km

kmkmkmkmmkkkkk BGVVGVP θθ sencos2

( )

( )

( )

Ω∉=

Ω∈−=∂∂

=

+−=∂∂=

∂∂=

∑Ω∈

kkl

kklklklkllkl

kkl

mkmkmkmkmmk

k

kkk

lH

lBGVVP

H

BGVVP

H

VPH

k

0

cossen

cossen

, θθθ

θθθ

θθ

( )

( )

( )

Ω∉=

Ω∈+=∂∂

=

++=∂∂=

∂∂=

∑Ω∈

kkl

kklklklklkl

kkl

mkmkmkmkmmkkk

k

kkk

lN

lBGVV

PN

BGVGVV

PN

V

VPN

k

0

sencos

sencos2

, θθ

θθ

θ



Submatrizes do Jacobiano (continuação)

( )∑

∈

−=Km

kmkmkmkmmkk BGVVQ θθ cossen ou ( )∑Ω∈

−+−=km

kmkmkmkmmkkkkk BGVVBVQ θθ cossen2

( )( )

( )

Ω∉=

Ω∈+−=∂∂

=

+=∂∂

=

∂∂

=

∑Ω∈

kkl

kklklklkllkl

kkl

mkmkmkmkmmk

k

kkk

lM

lBGVVQ

M

BGVVQ

M

VQM

k

0

sencos

sencos

,θθ

θ

θθθ

θθ

( )( )

( )

Ω∉=

Ω∈−=∂∂

=

−+−=∂∂

=

∂∂

=

∑Ω∈

kkl

kklklklklkl

kkl

mkmkmkmkmmkkk

k

kkk

lL

lBGVV

QL

BGVBVV

QL

V

VQL

k

0

cossen

cossen2

,θθ

θθ

θ



Fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson – Algo ritmo

i. Fazer 0=υ e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e PV ( )0θθθ υ == e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV == υ

.

ii. Calcular: ( )θ,VPk para as barras PQ e PV ( )θ,VQk para as barras PQ

e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) υP∆ e

υQ∆ .

iii. Testar a convergência: se Pk

kP ευ ≤∆

+∈ PVPQmax e

Qkk

Q ευ ≤∆∈ PVmax , o processo convergiu para a

solução ( )υυ θ,V ; caso contrário, continuar.

iv. Calcular a matriz Jacobiana: ( ) ( ) ( )( ) ( )

−= υυυυ

υυυυυυ

θθθθθ

,,

,,,

VLVM

VNVHVJ

v. Determinar a nova solução ( )11, ++ υυ θV , onde: υυυ

υυυ θθθVVV ∆+=

∆+=+

+

1

1

sendo υV∆ e

υθ∆ obtidos com a solução do seguinte sistema linear:

( ) ( )( ) ( )

∆∆

=

∆∆

υ

υυ

υυυυ

υυυυ

υ

υ θθθθθ

VVLVM

VNVH

Q

P

,,

,,

vi. Fazer 1+=υυ e voltar para o Passo (ii).



Solução do Subsistema 2 (S2) : trivial , após a determinação do fasor tensão de todas as barras.

( )( ) ( )

∈−=

=+==

∑

∑

∈

∈

referência e PV barrascossen

referência de barrasencos

2SkBGVVQ

kBGVVP

Kmkmkmkmkmmkk

Kmkmkmkmkmmkk

θθ

θθ

Exemplo 8 – Utilizando o método Newton, determinar a solução do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado no Exemplo 1 , considerando uma tolerância 001,0== QP εε . Incógnitas e equações do Subsistema 1:

=

2

2

Vx

θ

( ) ( )( )

=+−−−−=∆=++−−−=∆

09010,9cos9010,9sen9901,04,0

09901,0sen9010,9cos9901,08,0S1

22222

22222

VVQ

VVP

θθθθ

O Subsistema 2:

( ) ( )[ ]( )[ ]

−−=++=

11112121212211

11112121212211

cossen

sencosS2

BVBGVVQ

GVBGVVP

θθθθ



Exemplo 9 – Utilizando o método de Newton , determinar a solução do fluxo de carga da rede cujos dados se encontram a seguir. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε .

12z

shjb12shjb12

23z

shjb23shjb23

shjb1

1 2 3

1S

3S

2S1V 2V 3V

Dados das barras do sistema de 3 barras.

Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu]

shkb [pu]

1 PQ — — – 0,15 0,05 0,05 2 Vθ 1,00 0,0 — — — 3 PV 1,00 — 0,20 — —

Dados dos ramos do sistema de 3 barras. k m kmz [pu]

shkmb [pu]

1 2 0,03 + j0,3 0,02 2 3 0,05 + j0,8 0,01



shjb1

05,015,01 jS +−= 0064,02,03 jS −=1152,00469,02 jS −−=

o71,20307,11 −=V

o012 =Vo20,913 =V

1031,015,012 jS +−=

1336,01511,021 jS −=

0184,0198,023 jS +−= 0064,02,021 jS −=

0531,01 jSsh

=

1 2 3

Resultado do fluxo de carga do sistema exemplo de 3 barras (Exemplo 8).



Exercício 3 – No sistema de três barras do Exemplo 8, em função da barra de referência (Barra 2) ocupar uma posição central e de não existir ligação direta entre as Barras 1 e 3, o sistema elétrico de três barras pode ser dividido em dois sistemas de duas barras independentes, conforme mostrado a seguir.

12z

shjb12shjb12

shjb1

1 2

1S

AS 2

1V 2V 23z

shjb23shjb23

2 3

3S

BS 22V 3V

BASSS 222 +=

Sistema A Sistema B

Desta forma, as duas redes podem ser resolvidas separadamente, sendo a injeção de potência da

Barra 2 dada pela soma das injeções calculadas para as duas redes, ou seja, BA

SSS 222 += . Resolver o fluxo de carga das duas redes separadamente e comprar com os resultados do Exemplo 8 para comprovar estas afirmações. Exercício 4 – Para o mesmo sistema elétrico utilizado no Exemplo 8, determinar solução do fluxo de carga considerando os dados da Tabela e utilizando uma tolerância 001,0== QP εε .


Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu]

shkb [pu]

1 PQ — — – 0,15 0,05 – 0,05 2 PV 1,00 — – 0,0469 — — 3 Vθ 1,00 0,1605 — — —



Métodos desacoplados

Em redes de AT e EAT (≥ 230 kV):

• Fluxo Pkm muito menos sensível às mudanças em V que às mudanças nos V∠ (θθθθ).

• Fluxo Qkm muito menos sensível às mudanças V∠ que às mudanças nas V .

Sensibilidades θ∂∂P e V

Q∂

∂ mais intensas que V

P∂

∂ e θ∂∂Q

→ desacoplamento P θθθθ-QV.

Método de Newton desacoplado

Subsistema 1 (S1):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

∆+=∆+=

∆⋅+∆⋅=∆∆⋅+∆⋅=∆

+

+

PQ barras

PV e PQ barras

PQ barras,,,

PV e PQ barras,,,

Iteração 1

1

1

ννν

ννν

ννννννννν

ννννννννν

θθθθθθθθθθθ

VVV

VVLVMVQ

VVNVHVP

Desprezando N e M:

( ) ( )

( ) ( )

∆+=∆⋅=∆

∆+=∆⋅=∆

+

++

+

PQ barras

PQ barras,,QV Iteração

PV e PQ barras

PV e PQ barras,,Pθ Iteração

1

11

21

121

ννν

νννννν

ννν

νννννν

θθ

θθθθθθ

VVV

VVLVQ

VHVP



Fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado – Algoritmo i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e

PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == .

ii. Calcular ( )pqk VP θ, para as barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)

pP∆ . iii. Testar a convergência:

a) Se P

pk

kP ε≤∆

+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu:

• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV).

iv. Calcular a submatriz ( )pqVH θ, .

v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1

sendo pθ∆ obtido de ( ) ( ) ppqpqp VHVP θθθ ∆⋅=∆ ,,

vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii).

vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para as barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)

qQ∆ .

viii. Testar a convergência:

a) Se q

qk

kQ ε≤∆

∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu:

• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (ii) (Iteração Pθ).

ix. Calcular a submatriz ( )υυ θ,VL .

x. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1

sendo qV∆ obtido de ( ) ( ) qpqpqq VVLVQ ∆⋅=∆ θθ ,,

xi. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (ii).



Exemplo 10 – Utilizando o método Newton desacoplado , determinar a solução do Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de três barras utilizado no Exemplo 8 considerando uma tolerância 001,0== QP εε (vide Exemplo 8).

−−−

−=

0778,00778,00

0778,04078,033,0

033,033,0

G

−−

−=

2351,12451,10

2451,15154,43003,3

03003,32303,3

B

=

1

3

1

V

x θθ

( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]

=−+−−=∆=++−=∆=++−=∆

0cossen

0sencos

0sencos

S1

1212121221111esp11

3333232323223esp

33

1212121221111esp

11

θθθθ

θθ

BGVBVVQQ

GVBGVVPP

BGVGVVPP

=

3331

1311

HH

HHH [ ]11LL =

Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado.

p p

p

3

1

θθ ( )

( )qp

qp

xP

xP,

3

,1

∆∆

( )[ ]qpxH ,− ( )[ ] 1, −qpxH p

p

3

1

θθ

∆∆

q qV 1 ( )qpxQ ,

1∆ ( )[ ]qpxL ,− ( )[ ] 1, −qpxL qV1∆

0 0 0

–0,15 0,20 2451,10

03003,3

−−

8031,00

03030,0 –0,0455

0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320

1 –0,0455 0,1606

–0,0065 –0,0001 2415,10

03868,3

−−

8055,00

02953,0 –0,0019

–0,0001 1 1,0320 –0,0043 –3,3861 0,2953 –0,0013

2 –0,0474 0,1605

2,44×10-4

0 — — — 2 1,0307 –5,10×10-6 — — —



Normalização em relação à V

Utilizada para acelerar a convergência do FC:

=

NBV

V

V

V

L

MOMM

L

L

00

00

00

2

1

⇒

=−

NBV

V

V

V

100

01

0

001

2

1

1

L

MOMM

L

L

Equações normalizadas do fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado:

( ) ( )

( ) ( )

∆+=∆⋅⋅=∆⋅

∆+=∆⋅⋅=∆⋅

+

+−+−

+

−−

PQ barras

PQ barras,, Iteração

PV e PQ barras

PV e PQ barras,, Iteração

1

1111

21

1

11

21

ννν

νννννν

ννν

νννννν

θθ

θθθθθθθ

VVV

VVLVVQVQV

VHVVPVP

Versão normalizada

( ) ( )

( ) ( )

∆+=∆⋅′=∆⋅

∆+=∆⋅′=∆⋅

+

++−

+

−

PQ barras

PQ barras,,QV Iteração

PV e PQ barras

PV e PQ barras,,Pθ Iteração

1

111

21

1

1

21

ννν

νννννν

ννν

νννννν

θθ

θθθθθθ

VVV

VVLVQV

VHVPV



( )( )

( )

Ω∉=

Ω∈−=∂∂=

−−=+−=∂∂=

∂∂=

∑Ω∈

kkl

kklklklkllkl

kkl

kkkkm

kmkmkmkmmkk

kkk

lH

lBGVVP

H

BVQBGVVP

H

VPH

k

0

cossen

cossen

,

2

θθθ

θθθ

θθ

( )

( )

Ω∉=

Ω∈−=∂∂=

−−=+−=∂∂=

=′

∑Ω∈

−

kkl

kklklklklll

k

kkl

kkkk

k

mkmkmkmkmm

k

k

kkk

lH

lBGVP

VH

BVVQBGV

P

VH

HVH

k

0

cossen1

cossen1

'

'

'

1 θθθ

θθθ

( )( )

( )

Ω∉=

Ω∈−=∂∂=

−=−+−=∂∂=

∂∂

=

∑Ω∈

kkl

kklklklklkl

kkl

mkkk

k

kkmkmkmkmmkkk

k

kkk

lL

lBGVV

QL

BVVQBGVBV

V

QL

V

VQL

k

0

cossen

cossen2

,θθ

θθ

θ

( )

Ω∉=

Ω∈−=∂∂=

−=−+−=∂∂=

=′

∑Ω∈

−

kkl

kklklklkll

k

kkl

kkk

k

mkmkmkmkmm

kkk

k

k

kkk

lL

lBGV

Q

VL

BV

QBGVV

BV

Q

VL

LVL

k

0

cossen1

cossen1

21

'

'

2'

1 θθ

θθ



Exemplo 11 – Utilizando o método Newton desacoplado normalizado , determinar a solução do Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado nos Exemplos 8 e 9 considerando uma tolerância 001,0== QP εε (vide Exemplos 8 e 9).

′′′′

=′3331

1311

HH

HHH [ ]11LL ′=′

( ) ( )12121212211111

11111 cossencossen

1

θθθθθ

BGVBGVP

VHm

mmmmm +−=+−=∂∂=′ ∑

Ω∈

−

03

11113 =

∂∂=′ −

θP

VH 01

31331 =

∂∂=′ −

θP

VH

( ) ( )32323232233333

31333 cossencossen

3

θθθθθ

BGVBGVP

VHm

mmmmm +−=+−=∂∂=′ ∑

Ω∈

−

( ) ( )121212121

2111111

111

1

11111 cossen2cossen

12

1

θθθθ BGV

VBBGV

VB

V

QVL

mmmmmm −+−=−+−=

∂∂=′ ∑

Ω∈

−

Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado normalizado.

p p

p

3

1

θθ ( )

( )qp

qp

xP

xP,

3

,1

∆∆

( )[ ]qpxH ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxH p

p

3

1

θθ

∆∆

q qV 1 ( )qpxQ ,

1∆ ( )[ ]qpxL ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxL

qV1∆

0 0 0

–0,15 0,20 2451,10

03003,3

−−

8031,00

03030,0 –0,0455

0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320

1 –0,0455 0,1606

–0,0065 –0,0001 2415,10

02819,3

−−

8055,00

03047,0 –0,0019

–0,0001 1 1,0320 –0,0043 3,2812− 3048,0 –0,0013

2 –0,0474 0,1605

2,44××××10-4

0 — — — 2 1,0307 –5,10××××10-6 — — —



Desacoplado rápido

Simplificação do método Newton desacoplado (normalizado) com matrizes constantes . Hipóteses:

a) 1cos ≈kmθ

b) kmkmkm GB θsen>>

c) kkkk QBV >>2

Ω∉=

Ω∈−≈∂∂=

≈∂∂=

′

∑Ω∈

kkl

kklll

k

kkl

mkmm

k

k

kkk

lH

lBVP

VH

BVP

VH

H

k

0

1

1

'

'

'

θ

θ

Ω∉=Ω∈−≈

≈

′≈′

∑Ω∈

kkl

kklkl

mkmkk

lB

lBB

BB

BHk

0'

'

'

Ω∉=

Ω∈−=∂∂=

−≈∂∂=

′

kkl

kkll

k

kkl

kkk

k

kkk

lL

lBV

Q

VL

BV

Q

VL

L

0

1

1

'

'

'

pu 1≈V ⇒

Ω∉=Ω∈−=

−≈′′≈′

kkl

kklkl

kkkk

lB

lBB

BB

BL

0''

''

''

Matrizes denominadas B′ e B ′′ pois são semelhantes a matriz de susceptâncias B .



Método desacoplado rápido é dado por: ( )

( )

∆+=∆⋅′′=∆⋅

∆+=∆⋅′=∆⋅

+

+−

+

−

PQ barras

PQ barras,QV Iteração

PV e PQ barras

PV e PQ barras,Pθ Iteração

1

11

21

1

1

21

ννν

νννν

ννν

νννν

θ

θθθθθ

VVV

VBVQV

BVPV

De modo heurístico → melhor desempenho quando se desprezava kmr ( 1−−≈ kmkm xb ) na matriz B′ :

Ω∉=Ω∈−=

=

′ −Ω∈

−∑

kkl

kkmkl

mkmkk

lB

lxB

xB

Bk

0'

1'

1'

Quando existem shunts elevados → hipótese (c) pode não ser válida. Correção:

( )∑∑∑

Ω∈Ω∈

−≈

Ω∈

≈≈≈

−+−≈

−+−≈

−+−=

∂∂=

kk

km

k mkmkk

m

B

kmkmkmkkm

kmkmkmkmmkkkk

kkk BBBGBBGVBV

V

QL 2sen2cossen2

111 444 8444 76876θθθ

shk

mkm

shk

mkm

shk

mkm

mkm

shk

mkmkkkk BBBBBBBBBBB

kkkkk

−

−−=+−=−

−−=−−=′′ ∑∑∑∑∑

Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈

222

shkkkkk BBB −−=′′

shkB = soma das susceptâncias que ligam o nó k à terra.



Fluxo de carga pelo método desacoplado rápido – Alg oritmo i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras

PQ e PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == .

ii. Determinar as matrizes B′ e B ′′ .

iii. Calcular ( )pqk VP θ, para barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)

pP∆ . iv. Testar a convergência:

a) Se P

pk

kP ε≤∆

+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu:

• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV).

b) Caso contrário, prosseguir.

v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1

sendo pθ∆ obtido de ( ) ppqp BVP θθ ∆⋅′=∆ ,

vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii).

vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)

qQ∆ . viii. Testar a convergência:

a) Se q

qk

kQ ε≤∆

∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu:

• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (iii) (Iteração Pθ).

b) Caso contrário, prosseguir.

ix. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1

sendo qV∆ obtido de ( ) qpqq VBVQ ∆⋅′′=∆ θ,

x. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (iii).



Exemplo 12 – Utilizando o método desacoplado rápido , determinar a solução do Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado nos Exemplos 8, 9 e 10 considerando uma tolerância 001,0== QP εε .

′′′′

=′3331

1311

BB

BBB [ ]11BB ′′=′′

3333,33,0

11

12

1111

1

≈===′ ∑Ω∈

−

xxB

mm 013 =′B 031 =′B

25,18,0

11

23

1333

3

====′ ∑Ω∈

−

xxB

mm

( ) ( ) 1603,302,005,02303,311111 =+−−−=−−=′′ shBBB

[ ]

=

=′

−−

8,00

03,0

25,10

03333,31

1B [ ] [ ] [ ]3164,01603,3 11 ==′′ −−B

Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga desacoplado rápido.

p p

p

3

1

θθ ( )

( )qp

qp

xP

xP,

3

,1

∆∆

( )( )

3

,3

1

,1

VxP

VxP

qp

q

qp

∆

∆

p

p

3

1

θθ

∆∆

q qV 1 ( )qpxQ ,

1∆ ( )q

qp

VxQ

1

,1∆ qV1∆

0 0 0

–0,15 0,20

–0,15 0,20

–0,0450 0,1600 0 1 0,1018 0,1018 0,0322

1 –0,0450 0,1600

–0,0081 0,0006

–0,0078 0,0006

–0,0023 0,0005

1 1,0322 –0,0051 –0,0049 –0,0016

2 –0,0473 0,1605

1,8××××10-4

4,3××××10-6 — — 2 1,0307 1,9××××10-4 — —



Exercício 5 – Utilizando os métodos de Newton , Newton desacoplado (normalizado) e desacoplado rápido , determinar a solução do fluxo de carga da rede da Figura a seguir cujos dados se encontram nas Tabelas. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε .

12z

shjb12shjb12

23z

shjb23shjb23

shjb1

1 2 3

1S 3S

2S1V 2V 3V

13z

shjb13shjb13


Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu]

1 PQ — — – 0,30 0,05 – 0,05 2 Vθ 1,00 0,0 — — — 3 PV 1,00 — 0,20 — —

Dados dos ramos do sistema de 3 barras. k m kmz [pu]

shkmb [pu]

1 2 0,03 + j0,3 0,02 1 3 0,08 + j1,1 0,03 2 3 0,05 + j0,8 0,01



Controles e limites

• Verificação importante → evita que solução obtida seja não realizável .

• Verificar : Equipamentos e instalações (dentro dos seus limites de operação) Dispositivos de controle (influenciam as condições de operação)

• Exemplos de controles e limites existentes nos programas de fluxo de carga: − Controle da magnitude da tensão nodal por ajuste de tap (transformadores em fase) − Controle do fluxo de potência ativa (transformadores defasadores) − Controle de intercâmbio − Limite de injeção de potência reativa em barras PV − Limite de tensão em barras PQ − Limites de taps de transformadores − Limites de fluxo em circuitos

• Formas de representação: 1. Classificação por tipo (PQ, PV, Vθ, etc.) e agrupamento das equações em Subsistemas 1 e 2. 2. Mecanismos de ajuste executados alternadamente com a solução iterativa do Subsistema 1. 3. Incorporação de equações e variáveis adicionais ao Subsistema 1 ou substituição de

equações e variáveis deste subsistema por novas equações e variáveis.

• Limite facilmente verificado: injeção Qk nas barras PV → PV barras ,maxmin ∈≤≤ kQQQ kkk

• Inclusão dos controles provoca alterações (para pior) no processo de convergência (convergência lenta, oscilação, divergência ou soluções múltiplas).

Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos … · (Gauss, Newton, Desacoplado Rápido)....

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