Universidade Federal de São João del-Rei

Sistemas Elétricos de Potência II

Prof. Dr. Luiz Carlos do Nascimento

SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA II

Fluxo de Potência – Representação de Controles e

Limites

DEPEL

São João del-Rei, Fevereiro de 2014

2

Universidade Federal de São João del-Rei - UFSJ

Trabalho de Sistemas Elétricos de Potência II

FLUXO DE POTÊNCIA – CONTROLE DE LIMITES E

ESTABILIDADE

DEPEL

José Felipe Condé Furtado de Lima

Pedro Henrique Lopes de Menezes

Alunos do curso de Engenharia Elétrica Integral

UFSJ, São João del Rei – MG

Luiz Carlos do Nascimento

Professor da disciplina de Sistemas Elétricos II.

Doutorado em Engenharia Elétrica – UNIFEI

Professor Adjunto na Universidade Federal de São João del-Rei – UFSJ

UFSJ, São João del-Rei – MG

São João del-Rei, Fevereiro de 2014

3

1. INTRODUÇÃO

O cálculo do Fluxo de Potência em um SEP representa uma etapa fundamental

para os projetos relacionados a essa área. Por meio dessa ferramenta pode-se conhecer o

desempenho de sistemas sob o ponto de vista de operação e planejamento. O

funcionamento de uma rede de energia elétrica é considerado adequado quando os

limites de potência e tensão permanecem dentro de uma faixa pré-estabelecida. Um

algoritmo de fluxo completo deve ser capaz de contemplar todos esses aspectos

práticos.

De acordo com [1], as barras de um sistema elétrico de potência podem ser

definias em três tipos:

- PQ: são dados e , e calculados e ;

- PV: são dados e , e calculados e ;

- (Referência): são dados e , e calculados e ;

As barras dos tipos PQ e PV são utilizadas para representar, respectivamente,

barras de carga e barras de geração. Já a barra , ou barra de referência, tem a função

de fornecer uma referência angular ao sistema e também são utilizadas para fechar o

balanço de potência do sistema, levando em conta as perdas de transmissão não

conhecidas antes da solução final do problema.

Nesse trabalho pretende-se atribuir a um algoritmo de Fluxo de Potência

completo a capacidade de serem considerados os limites de potência reativa de uma

barra definida inicialmente como PV. A rotina foi desenvolvida com base no método de

Newton Raphson e a princípio despreza qualquer tipo de limite e controle associado às

unidades geradoras, linhas de transmissão e transformadores. De um modo particular

será atribuído ao modelo a capacidade de analisar os extremos de potência reativa de

uma barra PV. Dessa forma, caso ocorra extrapolação dos limites de potência reativa,

uma barra que a princípio é PV deve ser convertida em PQ e consequentemente sua

tensão estará em um valor diferente do que foi estipulado inicialmente. Por outro lado,

caso a tensão de uma barra que foi convertida de PV para PQ voltar ao valor que foi lhe

atribuída no início do processo iterativo, essa barra poderá então ser novamente

convertida em PV, desde que a potência reativa esteja dentro dos limites pré-

estabelecidos para essa barra.

4

2. SISTEMA IEEE 30-BUS

O estudo do algoritmo desenvolvido para o fluxo de potência considerando o

limite de potência reativa na barra PV será fundamentado no mesmo sistema adotado

para o trabalho anterior. Essa rede de energia trata-se do IEEE 30-bus e possui

originalmente 41 linhas distribuídas ao longo de 30 barras. Os dados relativos a esse

SEP foram obtidos em [2] e [3]. A disposição dos elementos ao longo do sistema

também pode ser averiguada por meio da Figura 1.

Figura 1: Sistema IEEE 30-Bus

5

Já a Tabela 1 e a Tabela 2 retratam os dados relativos às unidades de geradoras e

às cargas, respectivamente.

Tabela 1: Dados relativos às unidades geradoras

Tabela 2: Dados relativos às cargas

3. METODOLOGIA

3.1. Fluxo de Potência Completo – Método de Newton-Raphson

A determinação do fluxo de potência em um SEP com base no método de

Newton-Raphson é uma técnica bastante difundida pela literatura. As equações que

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caracterizam o problema são obtidas a partir da Lei de Kirchhoff das correntes aplicadas

a todo o conjunto de barras em análise. De modo geral tem-se que:

∑

∑

Em que,

- k = 1 até o número de barras da rede (NB);

Inicialmente define-se o tipo e os dados relativos a cada uma das barras. O

problema então pode ser subdivido em duas partes:

i. Subsistema 1:

Nesse caso são dados os valores de e para as barras PQ’s e e nas

barras PV’s. Pretende-se calcular e em todas as barras PQ’s e nas barras PV’s.

Em outras palavras trata-se de um sistema de 2.NPQ + NPV equações algébricas não

lineares com o mesmo número de incógnitas, em que NPQ é o número de barras PQ e

NPV é o número de barras PV’s, ou seja:

∑

para barras PQ e PV

∑

para barras PQ

ii. Subsistema 2:

Com a resolução do Subsistema 1 tornam-se conhecidos e para toda as

barras. Deseja-se assim calcular e na barra de referencia e nas barras PV’s.

Trata-se, portanto, de um sistema de NPV + 2 equações algébricas não lineares com o

7

mesmo número de incógnitas, no qual todas as incógnitas aparecem de forma explícita,

o que torna trivial o processo de resolução. O mesmo não ocorre para o Subsistema 1,

em que as incógnitas são implícitas, fato que exige um processo iterativo de resolução.

As incógnitas do Subsistema 1 podem ser agrupadas em um vetor dado por:

[ ]

Sendo as dimensões de e representadas por:

Além disso, as expressões obtidas para o Subsistema 1, também podem ser

reescritas da seguinte forma:

para barras PQ e PV

para barras PQ

Podemos denotar um termo com sendo o vetor formado por e

tem-se então que:

[

]

Em que as dimensões de e representadas por:

Dessa forma, com base nas relações desenvolvidas anteriormente verifica-se

assim que:

8

A partir das premissas desenvolvidas anteriormente, o método de Newton-

Raphson consiste nas seguintes etapas:

i. Fazer n = 0 e escolher uma solução inicial ;

ii. Calcular o valor da função no ponto ;

iii. Comparar o valor calculo de com a tolerância especificada : se

| | , então será a solução procurada dentro da faixa de

tolerância , se | | , o algoritmo deverá prosseguir.

iv. Linearizar a função em torno do ponto ( ) por intermédio da série

de Taylor:

Sendo

, ou seja, esse passo se resume basicamente ao cálculo da

derivada .

v. Resolver o problema linearizado, isto é, encontrar tal que:

Isso significa que a estimativa de passa a ser:

Sendo,

vi. Fazer n = n+1 e retornar ao passo “ii”;

O processo de linearização descrito em “iv” está evidenciado pela Figura 2.

9

Figura 2: Método de Newton-Raphson

Portanto, a resolução do sistema , segue todos os passos

descritos das etapas “i” até “iv”. No entanto, deve-se ressaltar que para o caso de n-

dimensões a derivada de será dada por uma matriz de derivadas. Nesse caso essa

matriz é denominada como matriz jacobiana e tem o seguinte formato:

[

]

Com isso, o vetor de correção para um sistema de n-dimensões é calculado

impondo-se que:

3.2. Consideração dos Limites de Potência Reativa em uma barra PV

Em barras de geração e em barras que possuem compensadores síncronos, a

tensão pode ser controlada por ajustes da corrente de campo das máquinas síncronas,

essas que por sua vez podem operar sub ou sobrexcitadas, injetando ou absorvendo

reativo da rede.

10

Na formulação básica de problemas resolvidos a partir de programas de fluxo de

potência, já está representado o controle da tensão nas barras PV. A magnitude da

tensão nesse tipo de barras é mantida em seu valor especificado e a injeção de potência

reativa não é calculada no subsistema 1.

Para controlar os limites de potência reativa injetada em barras PV, deve-se

analisar não apenas o subsistema 1, mas também o subsistema 2 a cada iteração do

programa de fluxo de potência, a partir disso, pode-se definir a necessidade de mudança

de características das barras que violaram algum limite pré-estabelecido.

A Figura 3 mostra de forma geral a representação dos limites de potência reativa

injetada em uma barra PV.

Figura 3: Representação do Limite de Injeção de Reativo nas Barras PV

3.3. Mudança de uma barra PV para PQ

Considere uma barra PV, onde

e

. Considere

que em cada iteração verifica-se uma diminuição da potência reativa necessária

para conservar a tensão em seu valor especificado até que o limite seja

alcançado.

11

A partir desse ponto a tensão tenderá a aumentar em consequência da

insuficiência de suporte de potência reativa. Isso é válido no caso em que o limite

é atingido, onde a tensão tenderá a diminuir.

Portanto, como citado anteriormente, as injeções de potência reativa nas barras

PV devem ser recalculadas no final de cada iteração do programa, fazendo o uso dos

valores atualizados das variáveis de rede, para analisar se tais valores pertencem aos

limites estabelecidos. Quando se encontrar fora de um desses limites, a barra do

tipo PV onde isso foi verificado passará a ser do tipo PQ. No momento em que isso

acontece, a especificação de potência nessas barras assume o valor do limite violado

ao mesmo tempo em que as magnitudes das tensões nessas barras

passam a ser calculadas em cada iteração. Essa mudança provoca também alterações na

matriz jacobiana.

3.4. Mudança de uma convertida em PQ para PV

Após a transformação de uma barra PV em PQ, é necessário testar, para cada

iteração subsequente, a possibilidade de tal barra voltar a seu tipo original PV.

Como exemplo, considere o caso em que a injeção de reativo permaneça fixada

no limite mínimo, ou seja,

. Nesse caso, o valor referente à magnitude da

tensão recalculada em cada iteração, poderá ser maior, menor ou a mesmo que o

valor especificado

.

Se

, nada é alterado, pois, para que se diminua a magnitude da

tensão é necessária uma diminuição de reativo na barra, o que irrealizável, pois

. No entanto, se

, para um aumento na magnitude da tensão, basta que

a injeção de reativo seja aumentada, o que é possível, pois

. Concluindo

que se

, a barra poderá voltar a seu tipo de origem. Analogamente, pode-se

chegar a conclusão que isso possível quando

e

.

12

4. RESULTADOS

A partir das premissas o e conceitos abordados ao longo da seção 3 foi

desenvolvido um algoritmo no . Esse programa levou em consideração o

cálculo do Fluxo de Potência com a representação dos limites de reativo nas barras

PV’s. A rotina desenvolvida está demonstrada no anexo desse trabalho.

Em prol de se demonstrar a conversão de uma barra PV em PQ e fazer com que

a mesma se torne PV novamente ao longo do processo iterativo, definiu-se os estados

iniciais das barras PV ‘s conforme demonstrado pela Tabela 3. Já as demais barras do

sistema foram inicializadas com tensão de 1 pu e ângulo nulo. Em relação ao sistema

original também houve um aumento do limite mínimo de potência reativa na Barra 2,

que passou de -0,20 pu para -0,30 pu.

Tabela 3: Valores iniciais definidos para as barras PV's

ESTADO INCICIAL DAS BARRAS PV's

Nº Barra Estado Inicial

V [pu] Theta [°] Q min [pu] Q max [pu]

2 0,9900 0 -0,3000 1,0000

5 1,0000 0 -0,1500 0,8000

8 1,0000 0 -0,1500 0,6000

11 1,0000 0 -0,1000 0,5000

13 1,0000 0 -0,1500 0,6000

O sistema convergiu em 3 interações para uma tolerância de 0,1%. Os resultados

obtidos para 1ª, 2ª e 3ª iteração estão evidenciados na Tabela 4, Tabela 5 e Tabela 6,

respectivamente.

Tabela 4: Valores obtidos após a 1º Iteração

RESULTADOS APÓS A 1º ITERAÇÃO

Nº Barra Resultados

V [pu] Theta [°] Q cal [pu] Tipo

2 0,9900 -0,75 -0,3201 PQ

5 1,0000 -5,63 0,3137 PV

8 1,0000 -3,67 0,3339 PV

11 1,0000 -0,24 0,1273 PV

13 1,0000 -1,08 0,1662 PV

13

Tabela 5: Valores obtidos após a 2º Iteração

RESULTADOS APÓS A 2º ITERAÇÃO

Nº Barra Resultados

V [pu] Theta [°] Q cal [pu] Tipo

2 0,9898 -0,86 -0,2953 PV

5 1,0000 -5,86 0,3279 PV

8 1,0000 -3,90 0,3890 PV

11 1,0000 -0,36 0,1500 PV

13 1,0000 -1,33 0,1966 PV

Tabela 6: Valores obtidos após a 3º Iteração

RESULTADOS APÓS A 3º ITERAÇÃO

Nº Barra Resultados

V [pu] Theta [°] Q cal [pu] Tipo

2 0,9900 -0,85 -0,2951 PV

5 1,0000 -5,87 0,3277 PV

8 1,0000 -3,91 0,3886 PV

11 1,0000 -0,37 0,1502 PV

13 1,0000 -1,33 0,1968 PV

Já na Tabela 7 está demonstrado os valores obtidos para o Subsistema 1 após a

convergência do método. Nessa tabela foi representado as tensões e ângulos para todas

as barras do sistema.

14

Tabela 7: Resultados obtidos para o Subsistema 1 após a convergência

RESULTADOS APÓS A CONVERGÊNCIA

Nº Barra V [pu] Theta [°] Tipo

1 1,0000 0,0000 SW

2 0,9900 -0,8581 PV

3 0,9873 -2,5661 PQ

4 0,9848 -3,0540 PQ

5 1,0000 -5,8667 PV

6 0,9866 -3,7114 PQ

7 0,9832 -5,1222 PQ

8 1,0000 -3,9068 PV

9 0,9708 -4,0534 PQ

10 0,9488 -6,2950 PQ

11 1,0000 -0,3680 PV

12 0,9741 -4,6271 PQ

13 1,0000 -1,3312 PV

14 0,9576 -5,7834 PQ

15 0,9516 -5,9882 PQ

16 0,9552 -5,6401 PQ

17 0,9448 -6,3453 PQ

18 0,9438 -6,8497 PQ

19 0,9237 -7,3846 PQ

20 0,9291 -7,1832 PQ

21 0,9354 -6,8426 PQ

22 0,9361 -6,8284 PQ

23 0,9360 -6,7320 PQ

24 0,9245 -7,3270 PQ

25 0,9312 -7,9137 PQ

26 0,9119 -8,4163 PQ

27 0,9452 -7,9468 PQ

28 0,9829 -4,1013 PQ

29 0,9235 -9,3935 PQ

30 0,9110 -10,4379 PQ

Nº DE ITERAÇÕES

3

Por meio dos valores obtidos na Tabela 7 fica claro que a Barra 2 apesar de ter se

tornado PQ ao longo do processo iterativo, seu estado final se manteve como PV.

15

5. CONCLUSÕES

A consideração dos limites de potência reativa nas barras PV’s faz com que o

cálculo do fluxo de potência seja adaptado para situações mais realísticas. Em

programas dedicados como, por exemplo, o ANAREDE é comum que todas as técnicas

de limites e controle sejam representadas ao longo do processo iterativo. Nesse trabalho

foi feito a implementação de uma dessas técnicas. Ao se estabelecer as condições

iniciais adequadas para o sistema foi possível comprovar que a Barra 2 que inicialmente

era PV foi convertida em PQ logo na 1ª iteração. No processo seguinte, a potência

reativa voltou para os limites estabelecidos para essa barra e a tensão foi novamente

reduzida. Isso fez com que a Barra 2 voltasse novamente a ser PQ.

Portanto, com base nos resultados e na escolha dos valores iniciais foi possível

comprovar a transição do tipo de barra do sistema. Nesse casso em especial foi feita a

analise a partir da Barra 2. Os valores apresentados após a convergência se mostraram

coerentes com os valores reais que são comumente observados na prática.

6. REFERÊNCIAS

[1] MONTICELLI, Alcir José – Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica, Editora

Edgard Blucher LTDA – 1983;

[2] M. N. Suharto, M. Y. Hassan, M. S. Majid, M. P. Abdullah, F. Hussin – Optimal

Power Flow Solution Using Evolutionary Computation Techniques – IEEE TECON

2011;

[3] 0. Alsac, B. Stott – Optimal Load Flow With Steady-State Security, 1974

[4] Notas de Aula do Prof. Luiz Carlos do Nascimento (disponível em

https://dl.dropboxusercontent.com/u/37961911/index.htm )

16

ANEXO

Algoritmo de Fluxo de Potência com consideração de limite de potência reativa nas

barras PV’s:

%% *****************TERCEIRO TRABALHO DE SEPII************************ %*****FLUXO DE POTÊNCIA COM REPRESENTAÇÃO DE CONTROLES E LIMITES******

%% Alunos: % José Felipe Condé Furtado de Lima - 0909554-3 % Pedro Henrique Lopes de Menezes - 100950013

%% Professor: Luiz Carlos do Nascimento

%% Inicialização do programa clear all; close all; clc;

%% Entrada de dados iniciais do Sistema %Tolerancia admitida Tolerancia = 0.001; %Potência base em MVA S_base = 100;

%% Dados referentes as barras e suas respectivas configurações %[ PG_min | PG_max | QG_min | QG_max | P_Load | Q_Load |Tipo |

V_inicial | Theta_inicial [rad/s]] %OBS: % Tipos de barras para um sistema: % Tipo 1: Barra de referência (SW) % Tipo 2: Barra de geração (PV) % Tipo 3: Barra de carga (PQ)

System = [50 200 -20 250 00.0 00.0 1 1.00 0; 20 080 -30 100 21.7 12.7 2 0.99 0; 00 000 000 000 02.4 01.2 3 1.00 0; 00 000 000 000 07.6 01.6 3 1.00 0; 15 050 -15 080 94.2 19.0 2 1.00 0; 00 000 000 000 00.0 00.0 3 1.00 0; 00 000 000 000 22.8 10.9 3 1.00 0; 10 035 -15 060 30.0 30.0 2 1.00 0; 00 000 000 000 00.0 00.0 3 1.00 0; 00 000 000 000 05.8 02.0 3 1.00 0; 10 030 -10 050 00.0 00.0 2 1.00 0; 00 000 000 000 11.2 07.5 3 1.00 0; 12 040 -15 060 00.0 00.0 2 1.00 0; 00 000 000 000 06.2 01.6 3 1.00 0; 00 000 000 000 08.2 02.5 3 1.00 0; 00 000 000 000 03.5 01.8 3 1.00 0; 00 000 000 000 09.0 05.8 3 1.00 0; 00 000 000 000 03.2 00.9 3 1.00 0; 00 000 000 000 09.5 03.4 3 1.00 0; 00 000 000 000 02.2 00.7 3 1.00 0; 00 000 000 000 17.5 11.2 3 1.00 0; 00 000 000 000 00.0 00.0 3 1.00 0;

17

00 000 000 000 03.2 01.6 3 1.00 0; 00 000 000 000 08.7 06.7 3 1.00 0; 00 000 000 000 00.0 00.0 3 1.00 0; 00 000 000 000 03.5 02.3 3 1.00 0; 00 000 000 000 00.0 00.0 3 1.00 0; 00 000 000 000 00.0 00.0 3 1.00 0; 00 000 000 000 02.4 00.9 3 1.00 0; 00 000 000 000 10.6 01.9 3 1.00 0];

%Vetor de P_inj e Q_inj P_inj = (1/S_base)*(System(:,2)-System(:,5)); Q_inj = (1/S_base)*(System(:,3)-System(:,6));

%Criação de um vetor para agrupar QG_min e QG_max QG = (1/S_base)*[System(:,3) System(:,4)];

%% Entrada dos elementos da Y_bus (pu) N = length(System); Y_bus = zeros(N,N);

%OBS: Entrar apenas com elementos em que a linha é menor que a coluna. Y_bus(1,2) = -1/(0.0192 + 0.0575i); Y_bus(1,3) = -1/(0.0452 + 0.1852i);

Y_bus(2,4) = -1/(0.0570 + 0.1737i); Y_bus(2,5) = -1/(0.0472 + 0.1983i); Y_bus(2,6) = -1/(0.0581 + 0.1763i);

Y_bus(3,4) = -1/(0.0132 + 0.0379i);

Y_bus(4,6) = -1/(0.0119 + 0.0414i); Y_bus(4,12) = -1/(0.2560i);

Y_bus(5,7) = -1/(0.0460 + 0.1160i);

Y_bus(6,7) = -1/(0.0267 + 0.0820i); Y_bus(6,8) = -1/(0.0120 + 0.0420i); Y_bus(6,9) = -1/(0.2080i); Y_bus(6,10) = -1/(0.5560i); Y_bus(6,28) = -1/(0.0169 + 0.0599i);

Y_bus(8,28) = -1/(0.0636 + 0.2000i);

Y_bus(9,10) = -1/(0.1100i); Y_bus(9,11) = -1/(0.2080i);

Y_bus(10,17) = -1/(0.0324 + 0.0845i); Y_bus(10,20) = -1/(0.0936 + 0.2090i); Y_bus(10,21) = -1/(0.0348 + 0.0749i); Y_bus(10,22) = -1/(0.0727 + 0.1499i);

Y_bus(12,13) = -1/(0.1400i); Y_bus(12,14) = -1/(0.1231 + 0.2559i); Y_bus(12,15) = -1/(0.066 + 0.1304i); Y_bus(12,16) = -1/(0.0945 + 0.1987i);

Y_bus(14,15) = -1/(0.2210 + 0.1997i);

18

Y_bus(15,18) = -1/(0.1070 + 0.2185i); Y_bus(15,23) = -1/(0.100 + 0.2020i);

Y_bus(16,17) = -1/(0.0824 + 0.1932i);

Y_bus(18,19) = -1/(0.639 + 0.1292i);

Y_bus(19,20) = -1/(0.0340 + 0.0680i);

Y_bus(21,22) = -1/(0.0116 + 0.0236i);

Y_bus(22,24) = -1/(0.1150 + 0.1790i);

Y_bus(23,24) = -1/(0.1320 + 0.2700i);

Y_bus(24,25) = -1/(0.1885 + 0.3292i);

Y_bus(25,26) = -1/(0.2544 + 0.3800i);

Y_bus(25,27) = -1/(0.1093 + 0.2087i);

Y_bus(27,28) = -1/(0.3960i); Y_bus(27,29) = -1/(0.2198 + 0.4153i); Y_bus(27,30) = -1/(0.3202 + 0.6027i);

Y_bus(29,30) = -1/(0.2399 + 0.4533i);

%Determinação dos Elemetnos da Diagonal Principal e Triangular

inferior for(j = 1:N) for(l = 1:N) if(l < j) Y_bus(j,l) = Y_bus(l,j); end if(l~=j) Y_bus(j,j) = Y_bus(j,j) - Y_bus(j,l); end end end

%Cálculo de G_bus e B_bus G_bus = real(Y_bus); B_bus = imag(Y_bus);

%% Resolução do Subsistema 1 %Inicialiazação dos valores iniciais e dos contadores CP = 0; CONV = 0; V = System(:,8); Theta = System(:,9); Q_PV = zeros(N,1); V_PV = zeros(N,1);

while(CP < 1) %Cálculo de x[Ang | Tensao] e g[Delta_P | Delta_Q] %Iniciaçização de P e Q P = 0;

19

Q = 0; for(j = 1:N) P_cal = 0; Q_cal = 0; if(System(j,7)~=1) P = P + 1; Ang(P,1) = Theta(j,1); for(k = 1:N) P_cal = P_cal + V(k,1)*((G_bus(j,k)*cos(Theta(j,1)-

Theta(k,1))+ B_bus(j,k)*sin(Theta(j,1)-Theta(k,1)))); end P_cal = V(j,1)*P_cal; Delta_P(P,1) = P_inj(j,1) - P_cal; end if(System(j,7)==3) Q = Q + 1; Tensao(Q,1) = V(j,1); for(l = 1:N) Q_cal = Q_cal + V(l,1)*((G_bus(j,l)*sin(Theta(j,1)-

Theta(l,1))- B_bus(j,l)*cos(Theta(j,1)-Theta(l,1)))); end Q_cal = V(j,1)*Q_cal; Delta_Q(Q,1) = Q_inj(j,1) - Q_cal; end end

x = [Ang; Tensao]; g = [Delta_P; Delta_Q];

%Avaliação do Erro Erro = max(abs(g)); if(Erro <= Tolerancia) CP = 1; end

if(CP < 1) %% Cálculo do Jacobiano H = zeros(P,P); L = zeros(Q,Q); R = zeros(Q,P); S = zeros(P,Q);

%Determinação dos parâmetros da submatriz H CT_01 = 0; for(j = 1:N) if (System(j,7)~=1) CT_01 = CT_01 + 1; CT_02 = 0; for(k = 1:N) if (System(k,7)~=1) CT_02 = CT_02 + 1; if (j~=k) H(CT_01,CT_02) =

V(j,1)*V(k,1)*(G_bus(j,k)*sin(Theta(j,1)-Theta(k,1)) -

B_bus(j,k)*cos(Theta(j,1)-Theta(k,1))); else V_aux = 0; for(l = 1:N) V_aux = V_aux +

V(l,1)*(G_bus(k,l)*sin(Theta(k,1)-Theta(l,1)) -

B_bus(k,l)*cos(Theta(k,1)-Theta(l,1)));

20

end H(CT_01,CT_02) = -V(j,1)^2*B_bus(j,j) -

V(j,1)* V_aux; end end end end end

%Determinação dos parâmetros da submatriz S CT_01 = 0; for(j = 1:N) if (System(j,7)~=1) CT_01 = CT_01 + 1; CT_02 = 0; for(k = 1:N) if (System(k,7)==3) CT_02 = CT_02 + 1; if (j~=k) S(CT_01,CT_02) =

V(j,1)*(G_bus(j,k)*cos(Theta(j,1)-Theta(k,1)) +

B_bus(j,k)*sin(Theta(j,1)-Theta(k,1))); else V_aux = 0; for(l = 1:N) V_aux = V_aux +

V(l,1)*(G_bus(k,l)*cos(Theta(k,1)-Theta(l,1)) +

B_bus(k,l)*sin(Theta(k,1)-Theta(l,1))); end S(CT_01,CT_02) = V(j,1)*G_bus(j,j) +

V_aux; end end end end end

%Determinação dos parâmetros da submatriz R CT_01 = 0; for(j = 1:N) if (System(j,7)==3) CT_01 = CT_01 + 1; CT_02 = 0; for(k = 1:N) if (System(k,7)~=1) CT_02 = CT_02 + 1; if (j~=k) R(CT_01,CT_02) = -

V(j,1)*V(k,1)*(G_bus(j,k)*cos(Theta(j,1)-Theta(k,1)) +

B_bus(j,k)*sin(Theta(j,1)-Theta(k,1))); else V_aux = 0; for(l = 1:N) V_aux = V_aux +

V(l,1)*(G_bus(k,l)*cos(Theta(k,1)-Theta(l,1)) +

B_bus(k,l)*sin(Theta(k,1)-Theta(l,1))); end R(CT_01,CT_02) = -V(j,1)^2*G_bus(j,j) +

V(j,1)* V_aux; end end

21

end end end

%Determinação dos parâmetros da submatriz L CT_01 = 0; for(j = 1:N) if (System(j,7)==3) CT_01 = CT_01 + 1; CT_02 = 0; for(k = 1:N) if (System(k,7)==3) CT_02 = CT_02 + 1; if (j~=k) L(CT_01,CT_02) =

V(j,1)*(G_bus(j,k)*sin(Theta(j,1)-Theta(k,1)) -

B_bus(j,k)*cos(Theta(j,1)-Theta(k,1))); else V_aux = 0; for(l = 1:N) V_aux = V_aux +

V(l,1)*(G_bus(k,l)*sin(Theta(k,1)-Theta(l,1)) -

B_bus(k,l)*cos(Theta(k,1)-Theta(l,1))); end L(CT_01,CT_02) = -V(j,1)*B_bus(j,j) +

V_aux; end end end end end

%Determinação do Jacobiano J = [H S; R L];

%% Calculo de Delta_x e de novos valores para x Delta_x = inv(J)*g; x = x + Delta_x;

%% Atualização dos novos valores de V e Theta CT_01 = 0; CT_02 = 0; for(j = 1:N) if(System(j,7)~= 1) CT_01 = CT_01 + 1; Theta(j,1) = x(CT_01,1); end if(System(j,7)== 3) CT_02 = CT_02 + 1; V(j,1) = x(P+CT_02,1); end end

%% Resolução parcial do Subsistema 2 (Apenas para Barras PV's) %Cálculo da Potência Reativa nas barras PV's e verificação de

limites for (j = 1:N) %Mudança de barra que se tornou PQ para uma barra PV if((System(j,7)== 3)&&(V_PV(j,1)~=0)) if(V_PV(j,1)==1)

22

if(V(j,1)<=System(j,8)) System(j,7)= 2; V(j,1) = System(j,8); V_PV(j,1) = 0;

end else if(V(j,1)>=System(j,8)) System(j,7)= 2; V(j,1) = System(j,8); V_PV(j,1) = 0; end end end %Identificação da barras PV's if(System(j,7)== 2) Q_aux = 0; for(k = 1:N) Q_aux = Q_aux +

V(k,1)*((G_bus(j,k)*sin(Theta(j,1)-Theta(k,1))-

B_bus(j,k)*cos(Theta(j,1)-Theta(k,1)))); end Q_PV(j,1) = V(j,1)*Q_aux;

%Verificação dos limites de potência reativa %Mudança de barra PV para PQ if(Q_PV(j,1)< QG(j,1)) System(j,7)= 3; V_PV(j,1) = 1; Q_inj(j,1) = QG(j,1);

elseif(Q_PV(j,1)> QG(j,2)) System(j,7)= 3; V_PV(j,1) = 2; Q_inj(j,2) = QG(j,2); end end end

%% Contador que determina o número de iterações CONV = CONV + 1

%% Apangando variaveis dinâmicas clear Delta_P Delta_Q Tensao; end

%% Avaliação da Convergência if(CONV > 100) disp(' '); disp('O processo divergiu!!!'); disp(' '); break end

end