Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadoPropriedades de um campo vetorial: O fluxo de qualquer função vetorial e a circuitação dessa função através de um caminho fechado nos dá informação sobre essa função vetorial. No entanto, essa informação representa uma média no volume definido pela superfície por onde o fluxo atravessa, ou uma média na superfície que é determinada pelo caminho de integração. Portanto, através da redução gradual do volume ou da área superficial delimitada pela circuitação se pode chegar as características desta função no ponto. Supondo que nos é dado o vetor velocidade de um fluido incompressível, portanto o fluxo do vetor velocidade através de uma superfície nos dá informação sobre o volume desse líquido que atravessa a superfície por unidade de tempo. Vamos tomar ao redor do ponto P da figura abaixo uma superfície imaginária fechada S. Se no volume V, determinado pela superfície S o líquido não desaparece, nem é criado, então o fluxo do vetor velocidade através desta superfície é nulo. Caso o fluxo seja diferente de zero isto significa que no interior da superfície existe uma fonte que produz ou

Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadodestrói o líquido. Superfície S

O fluxo pode ser então entendido como a soma algébrica das potências de produção ou destruição do líquido.Obs: Se o fluxo é positivo então o líquido é criado no interior da superfície e se é negativo ele é destruído.Podemos então definir a potência média de criação do líquido em um certo volume V por:

Quanto menor for o volume V que contém o ponto P tanto mais esse valor médio se aproxima do valor real da potência no ponto. No limite qdo a expressão acima nos fornecerá a potência efetiva de criação do líquido exatamente no ponto P. Esse limite recebe o nome de divergente do vetorou seja:

Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadoDe forma geral, se define o divergente de qualquer vetor como:

onde a integral é tomada sobre qualquer superfície fechada S que determina o volume V.

Obs1: O divergente caracteriza a densidade volumétrica do fluxo de um vetor através de uma superfície fechada.

Obs2: O divergente nos dá informação sobre a existência de fontes ou sumidouros da grandeza vetorial A.

Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadoDivergente do vetor em coordenadas cartesianas:

Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadoPotencialidade de uma função e rotacional: No curso de mecânica foi dito que se o trabalho de uma força realizado para deslocar um objeto do ponto A até o ponto B só depende das posições inicial e final (não depende da trajetória) então, essa força é chamada de conservava e se diz que ela é uma função potencial. Em geral, a força será uma função potencial toda vez que o trabalho sobre uma trajetória fechada for igual a zero. Esta definição pode ser ampliada para qualquer função de modo que uma função será potencial toda vez que:

Se então as linhas que formam o vetor A apresentam vorticidade. Portanto, a circulação de um vetor A qualquer ao longo de uma trajetória fechada nos da informação sobre o campo vetorial. Vamos agora supor que a trajetória T define uma superfície que é atravessada por um líquido e vamos calcular a integral de linha de A que define um parâmetro qualquer do líquido, por exemplo sua velocidade.

Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadoEntão:

Onde: recebe o nome de circuitação do vetor A ao longo da trajetória T sendo o valor médio da projeção do vetor A sobre o vetor dl e é o comprimento da trajetória T. Se pode pensar que para a integral de linha ser diferente de zero é necessário que as linhas de fluxo devem ser fechadas, porém isto não é verdade e para esclarecer isto vamos examinar o movimento laminar da agua em um rio. Neste tipo de exemplo a velocidade da agua é igual a zero no leito e cresce a medida que caminhamos para a superfície. Como se pode observar a partir da figura abaixo as linhas do vetor velocidade são linhas retas porém a circulação do vetor velocidade é diferente de zero.

Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadoA circulação do vetor A ao longo de T nos fornece o valor médio de A ao longo da trajetória e para obter as propriedades do vetor A no ponto P temos que diminuir o tamanho da trajetória. Vamos portanto, tomar o limite da razão da integral de linha pela área definida pela trajetória qdo essa área tende a zero, ou seja:

No entanto, ao obter este limite encontramos a seguinte dificuldade. Este limite não depende somente das propriedades da função A ao redor do ponto P, mas também da orientação da trajetória T no espaço. Em outras palavras, depende da orientação do vetor (versor) que é sempre normal a superfície definida pela trajetória, onde a orientação é positiva se o sentido de integração é anti-horário. Ao resolver o limite acima para diferentes direções de se obtém diferentes valores para esse limite. Portanto, para uma certa orientação de o valor obtido é máximo de forma que este limite se comporta como a projeção de um certo vetor na direção do vetor normal a superfície sobre a qual se toma a integral de linha.

Fluxo de um vetor através de uma superfície e circuitação de um vetor ao

longo de um caminho fechadoO valor máximo do limite define o valor do módulo desse vetor e a direção positiva da normal para a qual é obtido o máximo do limite, define a direção desse vetor. Este vetor recebe o nome de rotacional do vetor A. Portanto temos que:

A fórmula acima é a definição de rotacional que não depende do sistema de coordenada.Obs: O rotacional de um vetor caracteriza o grau de vorticidade desse vetor. Isso significa que se o rotacional é diferente de zero, então esse campo vetorial apresenta tendência a rotação, dai a origem da palavra rotacional.

Exemplo de aplicação do rotacional

Seja um corpo rígido que gira com velocidade angular que é paralela ao vetor . Obter o rotacional do vetor velocidade na direção do eixo de rotação

Rotacional em coordenadas cartesianas

Vamos obter uma expressão para o rotacional no sistema de coordenadas cartesianas na direção eixo Z.

Vamos tomar como trajetória de integração um quadrado de lados onde os lados do quadrado podem ser pequenos o quanto se queira de modo que, a integral de linha ao longo do quadrado por ser obtida de acordo com a expressão:

Por outro lado temos que:

e

dai temos que:

Rotacional em coordenadas cartesianas

Aplicando a definição de rotacional obtemos que:

Portanto temos que:

De modo semelhante obtemos que:

e:

Finalmente:

Representação vetorial para o gradiente divergente e rotacional

Gradiente

Divergente

Rotacional

Teorema de StokesO teorema de Stokes relaciona a integral de linha sobre um trajetória fechada com o fluxo do rotacional através da superfície determinada pela trajetória de integração. Para obter essa relação vamos calcular o fluxo do rotacional através da superfície S que é limitada pela trajetória de integração. Vamos, para tanto, dividir a área desta superfície em um número grande de pequenas áreas . Portanto,

Como

portanto,

onde: é a trajetória que determina a área . Portanto, podemos escrever que:

Teorema de StokesAo efetuar a soma cada lado do pequeno quadrado é somado duas vezes porém, estes resultados se cancelam mutuamente porque as integrais possuem sinais contrários. Como resultado só sobra a parte externa da trajetória, dai temos que que:

Equações de Maxwell: A descoberta da corrente de deslocamento permitiu a Maxwell criar uma teoria única sobre os fenômenos elétricos e magnéticos. Esta teoria explica todos os fatos experimentais conhecidos na época e permitiu ainda prever uma série de novos fenômenos que foram posteriormente comprovados experimentalmente. A mais importante consequência dessa teoria foi a previsão da existência das ondas eletromagnéticas que se propagam com velocidade da luz. As equações de Maxwell desempenham um papel tão importante nos estudos dos fenômenos elétricos e magnéticos assim como as leis de Newton desempenham nos fenômenos da mecânica.

Teorema de Stokes

Equações de MaxwellAs duas primeiras equações são as seguintes:

Equações de Maxwell: A primeira equação é chamada de lei da indução de Faraday e relaciona o campo elétrico com a variação temporal do campo magnético. Esta equação exprime o fato de que as fontes para o campo elétrico são as variações temporais do fluxo magnético. A segunda equação nos diz que o fluxo do campo magnético através de uma superfície fechada é nulo. Isto é consequência do fato de que es linha de B são fechadas. O significado físico dessa equação é que na natureza não existe monopólios magnéticos.

Equações de MaxwellAs outras duas equações são as seguintes:

onde I é a corrente de condução e é a corrente de deslocamento. O termo J na terceira equação representa a densidade de corrente de condução. A terceira equação diz respeito as fontes de campo magnético. Essas fontes são as correntes de condução e a corrente de deslocamento.

Equações de MaxwellA quarta equação relaciona o fluxo de D com a densidade volumétrica de cargas e como o fluxo é diferente de zero, isto significa que existem fontes para o campo eletrostático e essas fontes são as cargas elétricas. Outra conclusão que podemos tirar dessa equação é que as linhas de E devem ser abertas. As equações de 1-4 representam as equações de Maxwell na forma integral. Para obte-las na forma diferencial faz-se uso do teorema de Gauss e Stokes.

Teorema de Stokes:

Teorema de Gauss:

Equações de MaxwellTeorema de Stokes:

A integral acima deve ser nula para qualquer superfície e isto só acontecerá qdo o integrando for igual a zero. Portanto isto justifica a última relação. Aplicando novamente o teorema de Stokes obtemos mais uma relação que é:

A equação (1a) é a equivalente da equação (1) na forma diferencial, já a equação (3a) é a equivalente da equação (3).

Equações de MaxwellTeorema de Gauss:

Usando novamente o teorema de Gauss obtemos :

Da mesma forma a equação (2a) é a representação diferencial da equação (2) assim como a equação (4a) é a representação diferencial da(4).Obs: Ao resolver estas equações temos que levar em conta as relações entre as grandezas D e E, B e H, J e E ou seja:

Este grupo de 7 equações é a base da eletrodinâmica dos meios em repouso.

Equações de Maxwell

Forma integral Significado físico Forma diferencial

Fontes de campo elétrico (Lei da indução

de Faraday)

Linhas de B são fechadas, não existe

monopolos

Fontes de campo magnético (Lei de Ampere-Maxwell)

Fontes de campo eletrostático (Lei de

Gauss)

Equações de MaxwellTeoria de Maxwell e a sua importância para a física em geral: A teoria de Maxwell teve um papel fundamental no desenvolvimento do nosso conhecimento sobre a eletricidade. Para compreender melhor o seu papel vamos rever alguns fatos históricos que ocorreram no desenvolvimento da eletricidade e do magnetismo. As pesquisas quantitativas sobre os fenômenos elétricos e magnéticos começaram com o trabalho de Coulomb sobre a lei de interação das cargas elétricas em 1785.

Em 1820 Oesterd observou que qdo um condutor transporta uma corrente elétrica, em torno dele surge um campo magnético.

Com isto, Oesterd provou que existe uma ligação e n t r e o s f e n ô m e n o s elétricos e magnéticos.

Equações de MaxwellTeoria de Maxwell e a sua importância para a física em geral:

Após a descoberta de Oesterd, muitos físicos tentaram obter o equivalente da lei de Coulomb para a interação magnética, porém este problema pareceu ser mais complicado do que o esperado. Foi Ampere, que após estudar os trabalhos de Biot, Savart e Laplace e realizar inúmeras experiências com condutores transportando correntes, conseguiu estabelecer a lei de interação magnética.

O próximo passo importante foi dado por Faraday que acreditada na simetria dos f e n ô m e n o s e l é t r i c o s e magnéticos, em outras palavras, se uma corrente pode gerar um campo magnético, então o campo magnético também deve gerar corrente elétrica.

Em 1831 Faraday estabeleceu a lei da indução magnética. Essa lei estabelece que a variação temporal do fluxo magnético produz uma força eletromotriz.

Equações de MaxwellTeoria de Maxwell e a sua importância para a física em geral:

Este resultado fortaleceu ainda m a i s a c o n e x ã o e n t r e a eletricidade e o magnetismo.

Outra grande contribuição de Faraday para a compreensão dos fenômenos elétricos e magnéticos diz respeito a hipótese de que para que ocorra a interação, seja ele de natureza elétrica ou magnética, é necessário um agente externo que é o campo. Segundo Faraday, o campo muda as propriedades físicas do espaço permitindo com isto que a interação entre os corpos ocorra.

Maxwell foi capaz de desenvolver mais ainda a hipótese de Faraday e deu a ela um formalismo matemático extremamente rigoroso. Maxwell, assim como Faraday, acreditava na simetria dos campos elétricos e magnéticos. Portanto, se a variação temporal do campo magnético da origem a um campo elétrico, ( ,lei de Faraday), então a variação temporal do campo elétrico também deve produzir um campo magnético ( lei de Ampere-Maxwell).

Equações de MaxwellTeoria de Maxwell e a sua importância para a física em geral:Maxwell introduziu um novo termo na lei de Ampere e que passou a ser chamada de Ampere-Maxwell que foi a corrente de deslocamento. Maxwell escreveu então 4 equações que sintetizam todos os fenômenos elétricos e magnéticos observados até então. Com essas 4 equações, Maxwell foi capaz de descrever não só os fenômenos existentes, mas também foi capaz de prever novos fenômenos que foram posteriormente comprovados experimentalmente. Entre estes fenômenos está a previsão da existência das ondas eletromagnéticas, ou seja campo eletromagnético variável no tempo é capaz de se propagar no espaço com um velocidade finita. Essa teoria levou a criação de uma teoria óptica que explicava a propagação da luz e outros fenômenos ópticos com a interferência e a difração etc. Finalmente com a teoria eletromagnética de Maxwell foi possível explicar não só os fenômenos eletromagnéticos que eram conhecidos na época, mas foi capaz de criar uma teoria para explicar esses fenômenos.

Ondas eletromagnéticasOndas e a descrição matemática de sua propagação: Vamos considerar uma função g=f(x) representada pela curva da figura abaixo. Se substituirmos x por x-a obtemos a função g=f(x-a). É evidente que a forma da curva não mudou. Os mesmos valores de g se obtém se somarmos ou subtrairmos a aos valores de x. A única diferença que observamos é que a função se desloca ou para esquerda, qdo somamos a aos valores de x, ou para a direita, qdo subtraímos a dos valores de x. Se a=vt, onde t é o tempo, então obtemos uma curva que se desloca no tempo, ou seja g=f(x-vt) irá representar o gráfico de uma função que se desloca para a direita com velocidade v, chamada de velocidade de fase. Do mesmo modo, g=f(x+vt) representa uma curva que se desloca para a esquerda com velocidade v. Concluímos então que a expressão matemática

é adequada para descrever f e n ô m e n o s f í s i c o s q u e s e propagam (se deslocam no espaço) sem deformação.

Ondas eletromagnéticasOndas e a descrição matemática de sua propagação:Fenômenos como estes recebem o nome de movimento ondulatório. A função g=f(x,t) pode representar muitas grandezas físicas como deformação de um sólido ou de uma corda, pressão de um gás, campo elétrico ou magnético, etc. Se a perturbação física, que é descrita pela função f se desloca tanto para a esquerda como para a direita então:

a forma da função f1 e f2 é determinada pelas condições iniciais do problema. Se pode também, obter uma equação que não dependa das condições iniciais do problema e portanto, essa equação pode-se aplicar a qualquer tipo de perturbação que se propaga no espaço. Para obter essa equação vamos diferenciar a função g(x,t)=f(x-vt) em relação a x e depois em relação a t. Porém, antes vamos recordar a regra de derivação em cadeia. Se temos y=f(u) onde u=u(x) então: . No nosso caso podemos chamar u=x±vt de modo que g=f(u). Portanto,

e

Ondas eletromagnéticasOndas e a descrição matemática de sua propagação:Tomando agora a segunda derivada obtemos que:

combinando essas duas equações obtemos que:

e

Essa equação, por ser diferencial, não depende das condições iniciais, ela recebe o nome de equação de onda. Ela é válida para qualquer tipo de perturbação que se propaga na direção x. Se a perturbação se propaga no espaço, então a equação assume a forma:

Ondas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo: Vamos iniciar o estudo das ondas eletromagnéticas tomando como referecia a onda mais simples do ponto de vista matemático. Embora este modelo de onda plana e monocromática seja uma idealização, ele é bastante útil na descrição das ondas reais. Esta onda aparece como uma das soluções das equações de Maxwell.

Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo: Porém, antes de iniciar vamos escrever as equações de Maxwell para o vácuo lembrando que o operador nabla tem a seguinte forma:

Supondo que e então, as equações de Maxwell podem ser escritas como seguem: Vamos mostrar que essas equações

possuem solução do tipo onda. Para tanto, vamos utilizar as equações (2) e (4) para isolar dessas equações o campo elétrico. Porém antes vamos fazer o produto vetorial da equação (4) pelo operador nabla, ou seja:

Lembrando que o produto vetorial duplo tem a seguinte forma:

Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo: Portanto, a equação acima pode ser reescrita da seguinte forma:

onde: Portanto temos que:

Para desaparecer com o termo do lado direito da equação acima vamos derivar a equação (2) em relação ao tempo e trocar a ordem da diferenciação com o produto vetorial, ou seja:

Finalmente temos que:

Equação de onda para o campo elétrico, onde a velocidade de propagação é:. De forma análoga obtemos a equação de onda para o campo magnético, ou seja:

Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo: A solução da equação acima tem a forma de uma onda caminhante que se propaga com velocidade de fase igual a:

Desta forma a velocidade de fase da onda eletromagnética, no vácuo coincide com a velocidade da luz. Vamos agora, com base nas equações de Maxwell, examinar as propriedades da onda eletromagnética caminhante plana monocromática. Em tais ondas, a dependência de todas as componentes dos campos E e B com relação ao espaço e tempo tem a mesma forma que é uma onda harmônica do tipo:

onde E(r,t) pode ser qualquer uma das componentes dos vetores E e B. A amplitude E0 e a fase inicial da onda plana e monocromática não dependem nem de r e nem de t, ou seja são iguais em todos o espaço e em todo o tempo (onda homogênea). É claro que nenhuma onda real possui essas características e é por isto que a onda plana e monocromática é uma idealização. As condições para a utilização dessa idealização depende

Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo: do problema em particular que está sendo resolvido. No entanto, é importante dizer que o estudo das ondas planas e monocromáticas é importante porque qualquer onda eletromagnética pode ser representada através da soma dessas ondas simples pois, graça ao comportamento linear das equações de Maxwell a soma de quaisquer solução também é uma solução. O argumento da última equação recebe o nome de fase da onda. A equação da superfície de fase constante define no espaço um plano que é perpendicular ao vetor k, que recebe o nome de vetor onda. Esse plano se movimenta no espaço na direção de k com velocidade onde k é o módulo do vetor onda e recebe o nome de número de onda. A velocidade de propagação da superfície de fase constante no espaço recebe o nome de velocidade de fase da onda. O período de mudança da intensidade do campo no espaço recebe o nome de comprimento de onda :

Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo: ou seja, o comprimento de onda representa a distância que se desloca a superfície de fase constante durante um intervalo de tempo igual ao período da onda T. É conveniente representar a intensidade do campo de uma onda no espaço e tempo na forma complexa, ou seja:

onde Eo representa a amplitude complexa da onda e é igual a onde o módulo desse número complexo é igual a amplitude e o argumento representa a fase inicial da oscilação no ponto r=0. A utilização do formalismo complexo para descrever uma onda é muito conveniente porque ao efetuar uma diferenciação do campo em relação ao tempo ( ), como pode ser visto a partir da expressão acima, é o mesmo que multiplicar essa expressão pelo termo . O produto que aparece no expoente pode ser representado da seguinte forma:e portanto uma diferenciação da função E(r,t) em relação a coordenada x se resume a multiplicar a função E(r,t) por ikx. Portanto, para uma onda plana e monocromática onde os vetores E(r,t) e B(r,t) são representados na forma complexa e as equações de (1) a (4) assumem a seguinte forma:

Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo:

A partir dessas fórmulas fica claro a propriedade de perpendicularidade da onda plana. A partir das equações (1a) e (3a) fica claro que os vetores E e B são perpendiculares ao vetor k que representa a direção de propagação da onda e a partir das equações (2a) e (4a) fica claro o fato que os vetores E e B são perpendiculares entre si e formam, junto com o vetor k uma base ortonormal direita. Para definir a velocidade de fase da onda

monocromática é preciso encontrar a ligação entre a frequência e o módulo do vetor k. Para isto basta substituir B da equação (4a) na equação (2a) e obtemos:

Ondas eletromagnéticasOndas eletromagnéticas planas e monocromáticas no vácuo:

Como obtemos que:

Isto significa que a velocidade de fase da onda monocromática no vácuo é igual a velocidade da luz . A partir das equações de Maxwell é possível mostrar que em uma onda eletromagnética os módulos dos vetores E e B estão relacionados entre si. Se substituirmos o valor de k da equação acima na equação (4a) obtemos que:

Ondas eletromagnéticasEnergia da ondas eletromagnética: A onda eletromagnética nada mais é do que uma perturbação dos campos elétricos e magnéticos que se propaga no espaço. Como esses campos possuem energia, podemos concluir que a onda eletromagnética ao se propagar no espaço realiza o transporte de energia. Vamos tentar quantificar esse fenômeno com base nas equações de Maxwell escritas abaixo que descrevem o campo eletromagnético no vácuo.

Foi visto em aulas passadas que a densidade volumétrica da energia do campo elétrico pode ser escrita como segue: e a densidade volumétrica da energia do campo magnético como:

Para obter a variação temporal da densidade de energia vamos derivar as duas últimas expressões em relação ao tempo, lembrando que a energia eletromagnética total pode ser expressa através da soma das energias dos campos E e B, ou seja:

Ondas eletromagnéticasEnergia da ondas eletromagnética: Dai temos que:

Vamos multiplicar por E e B as equações (2) e (4) respectivamente.

É fácil verificar que a expressão acima representa o divergente do produto vetorial pois como o divergente é uma operação de diferenciação, para diferenciar o produto acima usamos a regra de diferenciação do produto de duas funções, ou seja:

Subtraindo uma equação da outra obtemos:

Com a ajuda dessa expressão se pode escrever a equação da energia no mesmo formato que foi dado a equação da continuidade, ou seja:

Ondas eletromagnéticasEnergia da ondas eletromagnética: onde: recebe o nome de vetor de Poyting e representa a densidade de fluxo da energia do campo eletromagnético. A equação representa a lei da conservação da energia para o campo eletromagnético . Para termos certeza de que isto é correto vamos integrar a expressão acima em um volume V que é definido pela superfície fechada S, ou seja;

Essa equação representa a forma integral da equação da conservação da energia do campo eletromagnético e que significa que a variação temporal da energia eletromagnética em um volume V que não contem nem corrente nem carga é igual ao fluxo dessa energia que entra no volume V através da superfície S. Na onda caminhante portanto, ocorre o transporte de energia do campo eletromagnético para o espaço. A direção e a intensidade do transporte de energia é caracterizado pelo vetor de Poyting. Como foi visto por nós, para uma onda plana, os vetores E, B e k são ortogonais e portanto, para esse tipo de onda o vetor de Poyting, que

Ondas eletromagnéticasEnergia da ondas eletromagnética: caracteriza a direção de propagação da energia, coincide com a direção do vetor k, ou seja, a energia é transportada na direção perpendicular a frente de onda. Como na onda plana os vetores E e B são perpendiculares então podemos escrever que:

porém B=E/c, isto implica que:

Como e . Portanto temos que: ou seja:

Na onda monocromática a dependência do campo elétrico em relação ao espaço e tempo tem a seguinte forma:

Ondas eletromagnéticasEnergia da ondas eletromagnética: Por outro lado temos que: portanto, podemos escrever que:

Para a região visível do espectro e portanto, as oscilações do fluxo de energia da onda eletromagnética em um ponto qualquer do espaço, que ocorrem com uma frequência de são difíceis de serem medidas e portanto só tem interesse no valor médio no tempo da grandeza S e que recebe o nome de intensidade luminoza. Calculando o valor médio no tempo da última expressão obtemos que:

onde o símbolo <> representa a média temporal. Da mesma forma podemos escrever que:

Portanto,

Ondas eletromagnéticas