Anlise Infinitesimal M217 2015/2016

Folha de exerccios 1

1. Determine a temperatura mdia de um arame que tem a forma da curva

F(t) = (t cost, t sent, 2t) , 0 2t , sabendo que a temperatura de cada ponto dada por f(x, y, z) = z.

(Sugesto: 22 ua du =

2

u 22 ua + 222

uaulog(2

a ) + C)

2. Seja c o caminho dado por c(t) = (t2, t, 3) para t [0,1]. Determine:

(a) O comprimento do caminho (b) A mdia da coordenada y ao longo do caminho

3. Um arame tem a forma de um pedao de parbola y = x

2 de (0,0) a (2,4) com densidade

(linear) dada por f(x, y) = x. Calcule a massa do arame.

4.(a) Determine a rea de uma parede erguida sobre a curva x2

+ y2

=4 (x 0, y 0) e cuja altura em cada ponto dada por f(x, y) = xy. (b) Determine as reas das projeces da parede nos planos yz e xz.

5. Um fio tem a forma da semi-circunferncia dada por R(t) = (a cos t, a sen t), 0 , com densidade dada por f(x,y) = y. Determine o centro de massa do fio. 6. Um fio tem a forma de um tringulo equiltero com vrtices nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Se a densidade for dada por f(x, y, z) = x + y + z, determine: (a) A massa do fio. (b) O centro de massa. 7. Calcule os integrais de caminho ao longo das curvas:

(a)

, ao longo da parbola y = x -

x

2 , desde (0,0) a (4,0)

(b)

, ao longo da elipse

= 1, no sentido directo

(c)

, ao longo da interseco do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano

y + z = 1, no sentido retrgrado.

8. Se C representa um pedao de arame e f(x), x IRn, a sua densidade linear (massa por unidade de comprimento), o momento de inrcia relativamente a uma linha L dada pelo integral

onde d a distncia , na perpendicular de cada ponto linha. Para o arame com a forma de uma circunferncia de raio a, centrada na origem e de densidade

dada por f(x, y) = |x| +

, determine:

(a) A massa do fio. (b) O centro de massa. (c) O momento de inrcia relativamente ao eixo dos xx. (d) O momento de inrcia relativamente ao eixo dos yy.