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Folha Prática - Métodos Numéricos Iterativos

A. Equações não lineares

1. Localização de raízes.

a) Verifique se as equações seguintes têm uma e uma só solução nos intervalos dados:

i) (x - 2)2 – ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4].

ii) 2 x cos(x) – (x – 2)2 = 0, em [2, 3] e [3, 4].

b) Localize graficamente as raízes reais das equações e verifique se são únicas:

i) cos(x) = x3

ii) ln(x) + x3 = 0

iii) |x| - ex = 0

iv) x3 – 3x + 1 = 0 ([-2.0, -1.5], [0.0, 0.5] e [1.5, 2.0])

c) Considere a função f(x) = x3 – x - 1. Mostre que f tem um único zero no intervalo [1, 2].

2. Método da Bissecção.

a) Use o método da Bissecção para aproximar a solução, com erro inferior a 10 -1, da equação

x + 0.5 + 2 cos( x) = 0, no intervalo [0.5,1 .0].

b) Determine o número de iterações necessárias para aproximar, pelo método da bissecção e com

uma precisão 10-1, a solução de x3 - x – 1 = 0, no intervalo [1, 2]. Determine tal aproximação

com a precisão indicada.

c) Localize graficamente as raízes da equação seguinte e determine 'um valor aproximado de uma

delas com uma casa decimal correta, utilizando o método da bissecção.

ln(x) = 3 – (3/2) x

d) Pretende-se construir um tanque cúbico com a capacidade de 25000 l. Calcule uma

aproximação para o comprimento do lado do tanque usando o método da bissecção 4

vezes/iterações e indique a precisão do resultado.

3. Método do Ponto Fixo.

a) Pretende-se determinar a raiz da equação x2 – x – 2 = 0, contida em [1.5, 2.5] recorrendo ao

método do Ponto Fixo.

i) Diga para cada uma das seguintes funções se podem ser usadas como função de iteração

do método referido, com garantia de haver convergência.

g(x) = x2 – 2

g(x) = (x + 2)

g(x) = 1 + (2 / x)

ii) Determine uma estimativa da raiz pretendida efetuando 4 iterações, com cada função de

iteração e determine estimativas do limite superior do erro absoluto.

Computação Científica 1


b) Obtenha uma aproximação xk da raiz positiva da equação x3 + 2 x2 + 10 x – 20 = 0, pela iteração

do ponto fixo, de modo que | xk – xk-1| < 0.15.

c) A excentricidade da órbita de Vénus é dada por e = 0.007. Resolva a equação de Kepler

f(x) = x - e sin(x) – z = 0 x – 0.007 sin(x) – z = 0

para z = 0.7. Resolva a mesma equação para e = 0.5 e z = 0.7.

4. Dada a equação

x4 – 3 x2 + 75 x – 10000 = 0

a) Verificar que existe alguma raiz no intervalo [-1, 8].

b) Verificar que naquele intervalo obtém-se para uma das raízes da equação, e ao fim de 24

iterações, a aproximação com o valor 1.532484 com 6 dígitos significativos (erro < 10-6).

5. Dada a equação

cos(x) – cos(3.1 x) = 0

a) Verificar que não existe alguma raiz no intervalo [0, 1].

b) Verificar que a partir do intervalo [7, 10] obtém-se para uma das raízes da equação a

aproximação com o valor 9.886003 com 6 dígitos significativos.

6. Dada a equação

x3 – 2x – 5 = 0,

a) localizar e separar os zeros da equação.

b) Calcular uma aproximação para uma das raízes usando o método da Bissecção.

c) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a raízes

diferente da anterior) usando o método da Falsa Posição.

d) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a

diferentes das anteriores) usando o método do Ponto Fixo.

e) Calcular uma aproximação para uma das raízes (se houver outras, aplique o processo a

diferentes das anteriores) usando o método de Newton-Raphson.

7. Dada a equação

x2 + x – 6 = 0,











8. Dada a equação,

x ln(x) – 1 = 0, (x > 0),

a) Verificar que tem uma raiz em [1, 2].

b) Calcular uma aproximação para essa raiz, com 4 dígitos significativos (erro ≤ 10-4), usando o

método da Bissecção. Estimar, à priori, quantos intervalos serão calculados.

c) Calcular uma aproximação para essa raiz, com 4 algarismos significativos (erro ≤ 10-4), usando o

método da Falsa Posição.

9. Dada a equação

(x – 1) ex – 2 = 0,

a) Calcular uma aproximação para a raiz real da equação usando o método de Newton-Rapson.

Estimar o erro.

b) Calcular uma aproximação para a raiz real da equação usando o método do Ponto Fixo. Estimar

o erro.

10. Dada a equação

x3 – x – 1 = 0,









11. Comparar o funcionamento dos métodos da Bissecção, Falsa Posição, Ponto Fixo e Newton-Raphson

no cálculo da raiz real de cada uma das equações

x3 – x – 1 = 0,

x – ex = 0

Testar com vários intervalos e aproximações iniciais.

12. Dada a equação

e-x - sen(x) = 0

a) Calcular uma aproximação à menor raiz positiva da equação, usando o método de Newton-

Raphson.



13. Calcular a raiz da função f(x) = x2 + x − 6 com erro a < 0.1 % :∣∈ ∣

a) Pelo método da bisseção utilizando xl = 1, xu = 3

b) Pelo método de Newton-Raphson utilizando x0 = 1.5

c) Pelo método da Secante utilizando x0 = 1.5, x1 = 1.8

d) Demonstre as iterações graficamente para cada método.

14. Utilize qualquer método para encontrar a raiz da equação

x3 − 0.165x2 + 3.993×10−4 = 0. Demonstre o desenvolvimento da sua solução.

15. Porque é que o método da bisseção não pode ser utilizado para encontra o zero de uma equação

como x2 = 0, para a qual existe uma raiz em x =0 ?

16. Que equação pode ser utilizada para encontrar a raiz quadrada de um número R qualquer pelo

método de Newton-Raphson?

17. A raiz da equação x3 = 4 foi encontrada pelo método de Newton-Raphson. Os valores resultantes

de cada iteração são dados na tabela abaixo:

Iteração Valor da Raiz Iteração Valor da Raiz

0 2,0000 3 1,5874

1 1,6667 4 1,5874

2 1,5911

Qual a primeira iteração em que podemos afirmar que pelo menos dois dígitos da resposta estão

corretos?

18. Para encontrar a raiz da equação sin(x) = 0 pelo método da secante, qual dos seguintes valores

iniciais não seria apropriado? Justifique.

1. π/4 e π/2 2. −π/2 e π/2

3. π/4 e 3π/4 4. π/3 e π/2



B. Sistemas de equações lineares

19. Considere-se o seguinte sistema de equações lineares

{4 x

1+ x

3+ x

4= 1

4 x2

+ x4

= 1

x1

+ 4 x3

= 1

x1 + x2 + 4 x4 = 1

Calcular a solução com 5 casas decimais usando

a) o Método de Jacobi

b) o Método de Gauss Seidel

20. Considere o sistema

{2x1 + x2 + x3 = 5

2x1

+ 3x2

+ x3

= 9

x1

+ x2

+ 3x3

= 6

Fazendo x(1) = (0, 0, 0)T e considerando uma precisão, em termos relativos, de e = 10-6,

a) Verifique que o método de Jacobi converge ao fim de 129 iterações.

b) Verifique que o Método de Gauss Seidel converge ao fim 14 iterações.


{6 x

1+ x

2+ 2 x

3+ x

5= 10

2x1

+ 8 x2

+ x3

+ 2 x4

+ 2 x5

= 15

x1 − 2 x2 + 8 x3 + x4 = 8

− x3

+ 9 x4

= 10

x1+ x

2− x

4+ 7 x

5= 8

Fazendo x(1) = (0, 0, 0, 0, 0)T e considerando ma precisão, em termos relativos, de e = 10-6,

a) Verifique que o método de Jacobi converge ao fim de 13 iterações.

b) Verifique que o Método de Gauss Seidel converge ao fim de 9 iterações.

22. Considere o sistema Ax = b, sendo

[1 0 0 0 0

1/6 2 /3 1 /6 0 00 1/6 2 /3 1 /6 00 0 1 /6 2 /3 1 /60 0 0 0 1

]e b = [0, -2, 1, 5, -1, 1]T.



Verifique que o método de Jacobi precsa de 14 iterações para atingir a solução, usando uma precisão

e = 10-6.

x = (0, -3.982141, 3.928569, -2.732141, 1)T


{x1 + 0.5 x2 + 0.5 x3 = 2

0.5 x1+ x

2+ 0.5 x

3= 2

0.5 x1+ 0.5 x

2+ x

3= 2

Use o método de Gauss Seidel para calcular a solução, com uma precisão igual a 10-4.

C. Interpolação polinomial

24. Considere os seguintes pontos: (−3, 1), (−2, 2), (1, −1) e (3, 10). Determine o polinómio

interpolador de Lagrange P(x) que passa por esses pontos e calcule P(0).

25. Determine aproximações de cos(π/8) usando os polinómios interpoladores de Lagrange de grau 2 e

4 no intervalo [0, π].

26. Considere os seguintes pontos: (-2,1), (-1,0), (1,-3) e (4,8). Determine o polinómio interpolador

P(x) que passa por esses pontos e calcule P(0).

27. Obtenha um valor aproximado para a raiz de uma função contínua f(x) da qual se conhece apenas

os valores apresentados na tabela seguinte:

xi -2 0 1

f(xi) -12.5 1.5 -1

28. Dada a tabela

xi 1 2 3 4

f(xi) 4 15 40 85

determine uma aproximação para f (1.5), usando interpolação de Lagrande de grau 3.

29. De uma função f conhecem-se os valores dados na seguinte tabela:

xi -3 -2 -1 0 1 2 3

f(xi) -1 -1 -1 0 1 1 1

Determine o polinómio interpolador de Lagrange nos referidos pontos.



30. Conhecem-se as coordenadas de cinco pontos de uma curva plana que representa uma região de

uma peça em corte. Determine o polinómio de Lagrange de grau 4 que interpola a referida curva

sabendo que os pontos de coordenadas conhecidas são: P1 = (1, 2), P2 = (2, 1), P3 = (3, 1), P4 = (4,

2,5) e P5 = (5, 4). Determine ainda valores aproximados para as ordenadas dos pontos cujas

abcissas são 0, 2,5 e 6.

31. Dada a tabela

xi 1 -1 -2

f(xi) 0 -3 -4

determine uma aproximação para f (0), usando interpolação de Newton de grau 2.

32. Uma função g é conhecida exclusivamente através da tabela

xi -2 -1 1 2 3

g(xi) -16 0 2 0 4

a) Calcule uma estimativa de g(1.65) usando o polinómio interpolador de Lagrange de grau 2.

b) Determine a melhor estimativa de g(1.65) que os dados permitem.

33. Na tabela seguinte encontram-se alguns valores da função f(x) = x ln(x).

xi 8 8.1 8.3 8.6 8.7

f(xi) 16.64 16.94 17.56 18.50 18.82

a) Estime f(8.45) recorrendo a um polinómio interpolador de Lagrange de grau 1. Escolha os 2

pontos mais próximos de 8.45 e de seguida repita com os pontos extremos da tabela.

b) Use polinómios interpoladores de Lagrange de grau 1, 2, 3 e 4, para determinar a melhor

aproximação de f(8.4).

34. Construa a tabela de diferenças divididas para os pontos da função g tabelados em 18.

35. Dada a tabela de valores de uma função f(x) seguinte:

xi 0.0 0.1 0.3 0.4 0.9 1.0

f(xi) 1 0 -1 0 3 4

a) Construa o polinómio interpolador de Newton de grau 3 que melhor aproxima a função, para

estimar o valor de f(0.2).

b) Use o mesmo polinómio da alínea anterior para estimar f(0.95).

c) Quantos zeros tem a função dada pela tabela no intervalo [0, 1] ?

d) Estime o melhor possível f(0.2) usando um polinómio interpolador de Newton de grau 2.



36. Dada a tabela de valores de uma função f(x) seguinte:

xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.8 1.0

f(xi) 0 1 1 2 2 3 3 4

pretende-se aproximar f(0.6) usando um polinómio de grau 3.

a) Use a fórmula interpoladora de Newton baseada em diferenças divididas.

b) Estime o erro de truncatura cometido na alínea anterior.

37. A função f(x) está definida para o seguinte conjunto de 6 pontos:

xi 40 42 45 48 49 50

f(xi) 1.60206 1.62325 1.65321 1.68124 1.69020 1.69857

Construa a tabela das diferenças divididas. Use um polinómio de grau 3 para aproximar f(47).

38. A seguinte tabela de valores é dum polinómio de grau 4.

xi 0 1 2 3 4

p(xi) 1 10 69 238 601

Construa uma tabela de diferenças divididas e calcule p(5).

39. Considere a tabela

xi -2 -1 0 1 2 3

f(xi) 4 -2-a a 5 b+3 a-32

a) Calcule os parâmetros a e b, sabendo que P é um polinómio interpolador de Newton de grau 3.

b) Determine P.

40. Dada a tabela de valores de uma função real

xi 0 1 2 4

yi 2 2 3 6

a) Determine o polinómio interpolador de Newton da função de grau 2, usando a tabela das

diferenças divididas.

b) A partir do polinómio da alínea anterior, encontre o polinómio de grau 3 que interpola a função

nos quatro pontos tabelados.

c) Indique a melhor estimativa de y(1.85) que os dados permitem.

41. Sabendo que a função f assume os valores f(0)=-0.5, f(1)=1 e f(2)=4.2, calcule uma estimativa do

zero da função existente em [0,1], utilizando a fórmula interpoladora de Newton.



D. Aproximação polinomial – método dos Mínimos Quadrados

42. Considere a seguinte tabela de valores de uma função

xi 2 4 6 8

f(xi) 2 11 28 40

Determine a recta F(x; a, b) = a + bx que melhor se aproxima de f usando o método dos mínimos

quadrados.


xi 0 1 2 3

f(xi) 2 1 1 3

Determine a parábola F(x; a, b, c) = a + bx + cx2 que melhor se aproxima de f usando o método dos

dos mínimos quadrados.


xi 1 2 3 4

f(xi) 5 3 2 3

Determine a parábola F(x; a, b, c) = a + bx + cx2 que melhor se aproxima de f usando o método dos

dos mínimos quadrados.

45. Considere a seguinte função y = f(x), dada sob a forma da seguinte tabela:

xi -8 -4 -2 -1 0 1 2 4 6 9 11

f(xi) -785 -53 13 13 7 7 25 163 517 1663 2997

a) Determine o polinómio de grau 3 que, no sentido do método dos mínimos quadrados que

melhor aproxima a tabela dada.

b) Estime: f(-2), f(5), f(-10) e f(12).

46. Considere a seguinte função (tabela):

xi -1 0 1 2 3

f(xi) -15 -10 -5 0 5

Qual o polinómio do 1º grau que, no sentido do método dos mínimos quadrados, melhor representa

a função dada.

47. Considere a seguinte função (tabela):

xi -2 -1 0 2 3 4

f(xi) 11 1 -5 -5 1 11

a) Qual o grau do polinómio que melhor se adapta à função dada?

b) Defina a reta de regressão.


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