Folhas de Problemas de Matemática I Cursos de Ciências do ...

Folhas de Problemas de Matematica I

Cursos de Ciencias do Desporto,Ergonomia e Reabilitacao Psicomotora

Pedro Freitas

13 de Dezembro de 2016

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Conteudo

Introducao 31. Sistemas de equacoes lineares; metodo de eliminacao de Gauss 42. Operacoes com matrizes 53. Inversao de matrizes 84. Produto interno e norma 105. A serie geometrica 146. Estudo de funcoes 167. Primitivacao 228. Integrais definidos 24Solucoes 28

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Introducao

Nos ultimos anos tem-se assistido a um aumento da importancia da Matematica em areasonde a sua relevancia tem um longo historial. Incluem-se neste grupo as Engenharias, a Fısicae muitas outras reas onde o progresso ao longo dos anos andou muitas vezes lado a lado coma criacao e o desenvolvimento de conceitos e tecnicas matematicas para lidar com problemasoriginarios dessas areas.

Mais recentemente, essa ligacao comecou a estender-se tambem a outras areas com as quais oscontactos eram menos usuais, como sejam a Biologia, as Ciencias Sociais e a Medicina, entre ou-tras. A relacao que ate aı era quase exclusivamente feita atraves das Probabilidades e Estatıstica,passou nos ltimos anos a incluir tambem topicos em Algebra Linear, Equacoes Diferenciais, Teoriade Jogos, etc.

Estas mudancas vieram tambem alterar a importancia da Matematica em areas de forte carizmulti e interdisciplinar, nos quais se incluem as Ciencias do Desporto, a Ergonomia e a Reabi-litacao Psicomotora. Neste contexto, aquilo que poderia ate ha alguns anos atras ser consideradocomo uma serie de tecnicas que um aluno deveria dominar para poder compreender alguns con-ceitos necessarios em aplicacoes estatısticas ou de analise de sinal, por exemplo, passaram aconsistir uma mais-valia em si proprios, tendo dado origem a uma serie de aplicacoes em analisede situacoes de jogo, biomecanica, etc.

Os exercıcios incluıdos nestas folhas destinam-se a ser utilizados na unidade curricular deMatematica I dos cursos de Ciencias do Desporto, Ergonomia e Reabilitacao Psicomotora daFaculdade de Motricidade Humana da Universidade de Lisboa.

As diferentes seccoes cobrem a totalidade da materia leccionada sendo que, sempre quepossıvel, os exercıcios sao apresentados por ordem crescente de dificuldade dentro de cada topico.Isto implica que, em particular, nao e suficiente resolver apenas os primeiros exercıcios de cadagrupo para o aluno ter uma ideia se domina ou nao a materia em causa. No final encontra-seuma lista de solucoes para a grande maioria dos exercıcios, elaborada por Claudia Pascoal.

Os topicos cobertos destinam-se a proporcionar uma introducao a varios conceitos importantesnecessarios em unidades curriculares ao longo do curso e que sao relevantes para a compreensaode metodos e tecnicas que se tornaram indispensaveis ao longo dos ultimos anos nas varias areasabrangidas.

E suposto no fim do curso o aluno estar familiarizado e ser capaz de trabalhar com conceitoscomo vectores e matrizes e respectivas operacoes, a series geometrica, tracado (e interpretacao)de graficos de funcoes e conceitos basicos de calculo diferencial e integral. Para alem do aspectomais pratico associado a utilizacao destas tecnicas, nao devera ser negligenciado o papel que otipo de raciocınios utilizados tem na formacao do aluno.

Este exercıcios servirao ainda de base para a avaliacao contınua que tem lugar nas aulas aolongo do semestre.

Pedro FreitasCruz Quebrada, Setembro de 2016.

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1. Sistemas de equacoes lineares; metodo de eliminacao de Gauss

P 1.1. Resolva os seguintes sistemas pelo metodo de eliminacao de Gauss

(a)

x + y + 2z + w = 1

2x − y + 2z = 5x + y − 2z − w = −1x + 2y − 2z − w = −2

(b)

x + y − 2z + w = −3x + 2y − 2z + 3w = −4x − y − z − w = −1

2x − y + z + 2w = 1

(c)

x − y + 2z + w = −3

−2x + 2y + z = −22x + y + 2z + w = 0x + y + z + w = 1

(d)

2x − y + 2z + w = −2−2x + 2y + z = −2

2x + y + 2z + w = 0x + y + z + w = 1

(e)

2y + z − w = 34y − 4z − 2w = −12

2x + y − 2z − w = − 6−3x − 3y + 2z + 4w = 13

(f)

2x + y − 2z + w = 0x − y + w = 5

2x + y + z = 1−x + y + 3z + 2w = 4

P 1.2. Resolva, pelo metodo de Gauss, o sistema de equacoes Au = b, para os seguintes pares(A, b):

(a) A =

[1 23 4

], b =

[11

](b) A =

1 1 11 1 21 4 3

, b =

0−1−2

(c) A =

1 2 1−3 5 6

4 −1 −5

, b =

1−3

4

(d) A =

1 2 1−3 5 6

4 −1 −5

, b =

2−4

8

(e) A =

1 2 1−3 5 8

4 −1 −5

, b =

323

(f) A =

1 2 1−3 5 8

4 −1 −5

, b =

320

(g) A =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

, b =

1111

h) A =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 11 0 0 1

, b =

1111

(i) A =

1 2 −1 52 1 −1 34 −1 5 21 1 −1 3

, b =

1012

(j) A =

1 0 1 0 10 1 0 1 01 −1 1 −1 10 1 −1 1 01 1 1 1 1

, b =

11012

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P 1.3. Discuta a existencia de solucao dos seguintes sistemas de equacoes lineares, em termosdos parametros reais α, β e λ:

(a)

{2x+ y = 0

4x+ αy = 1(b)

{2x+ y = 04x+ 2y = β

(c)

{2x+ y = 0

4x+ αy = β(d)

{λx+ y = 0x+ λy = 0

(e)

{λx+ y = 0−x+ λy = 0

(f)

x+ y + z = −2x− y + z = 3x+ z = 1/2

3x− y + 3z = α

(g)

x+ 4y + 3z = 102x+ 7y − 2z = 10x+ 5y + αz = β

(h)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0

5x3 + 6x4 = 0αx3 + 6x4 = β

x2 + 7x3 + 8x4 = 1

(i)

x1 + x2 + x3 + 3x4 = 12x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2x1 + x2 + 3x3 + 14x4 = 4

2x3 + αx4 = β

(j)

x1 + x2 + x3 + x4 = 2

x1 − x2 − x3 − x4 = 0

x1 + x2 − x3 − x4 = −2

x1 + x2 − x3 + αx4 = 1

2. Operacoes com matrizes

P 2.1. Calcule, sempre que possıvel, os produtos AB e BA, quando:

(a) A =

[1 4

√2

−2 1 3

], B =

1 2 1√3 −1 2

0 1 −1

(b) A =

[π

−√

2

], B =

[1 4

]

(c) A =

[1 −4 n

√7

2 −1 3

], B =

4 2−1 10 1

(d) A =

[1 −1 1−1 1 −1

], B =

1 −1−1 1

1 −1

(e) A =

[1 −2 10 1 −1

], B =

1 11 11 1

(f) A =

[1 + i −4iαi −i

], B =

−1 i2 1−i 1

(g) A(1×n) =[

1 −1 1 . . . (−1)n+1], B(n×1) =

11...1

.P 2.2. Sendo

A =

1 0 −10 1 01 0 1

,

6

determine A4 e utilize esse resultado para calcular A16.

P 2.3. Sendo

A =

1 1 01 −1 00 0 2

,determine A3 − 2A2 − 2A+ 4I.

P 2.4. (a) Sendo

A =

[1 23 1

]e B =

[−1 4

3 −2

],

calcule AB e BA.(b) Determine A2B2 e (AB)2. O que pode concluir?(c) Sejam agora

C =

1 1 01 2 00 0 2

e D =

2 −1 0−1 1 0

0 0 2

.Determine CD e DC.

(d) Calcule, justificando, C5D5.

P 2.5. Sendo

A =

1 −2 11 −1 03 −2 1

, B =

1 1 11 2 1−1 1 −2

e C =

−1 2 30 −2 00 0 −2

determine ABC.

P 2.6. Para cada uma das seguintes matrizes obtenha uma expressao para An = A.A. . . . .A,n ∈ N (α ∈ R).

(a) A =

[1 00 1

](b) A =

[0 11 0

](c) A =

[1 00 −1

]

(d) A =

[0 1−1 0

](e) A =

[0 −1−1 0

](f) A =

[1 11 1

](g) A =

[sin(α) cos(α)cos(α) − sin(α)

](h) A =

[cos(α) sin(α)− sin(α) cos(α)

](i) A =

[0 10 0

]

(j) A =

0 1 00 0 10 0 0

(k)A = {aij} , i, j = 1, . . . ,m, onde

aij =

{1, j = i+ 1,0, j 6= i+ 1

(l) A =

[1 10 1

]

(m) A =

1 1 00 1 10 0 1

(n)A = {aij} , i, j = 1, . . . ,m, onde

aij =

{1, j = i+ 1 ou j = i,0, j 6= i+ 1

(o) A =

0 1 00 0 11 0 0

(p) A =

0 1 01 0 10 1 0

(q) A =

0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0

(r) A =

0 1 0 11 0 1 00 1 0 11 0 1 0

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P 2.7. Sempre que possıvel, de exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condicoesindicadas. Caso nao seja possıvel, justifique porque.

(a) A2 = 0 ∧A 6= 0 (b) A3 = 0 ∧A2 6= 0 (c) An = 0 ∧An−1 6= 0

(d) A2 = −I (e) A3 = −I (f) A4 = −I

(g) A4 + 8A2 + 16I = 0

P 2.8. Sempre que possıvel, de exemplos de matrizes quadradas A e B de entradas reais nascondicoes indicadas. Caso nao seja possıvel, justifique porque.

(a) AB = BA 6= 0 (b) AB 6= BA (c) AB = 0 ∧BA 6= 0

(d) (A+B)2 = A2 +B2 + 2AB (e) (A+B)2 = A2 +B2 ∧A,B 6= 0 (f) AB = I ∧BA 6= I

P 2.9. Descreva geometricamente as operacoes no plano representadas pelas seguintes matrizes.

(a) A =

[1 00 1

](b) B =

[0 11 0

](c) C =

[1 00 −1

]

(d) D =

[0 1−1 0

](e) E =

[1 −11 1

](f) F =

[1 00 0

]

As matrizes B e D comutam? O que pode concluir?

P 2.10. Mostre que se AB = B ∧BA = A, entao A2 = A. De exemplos de matrizes A e B quesatisfacam estas condicoes.

P 2.11. Seja A uma matriz 2× 2 e considere as matrizes

E1 =

[1 00 0

]e E2 =

[0 10 0

].

(a) Mostre que se A comuta com ambas as matrizes E1 e E2 (AEi = EiA, i = 1, 2), entao Ae um multiplo da matriz identidade, ou seja, A = αI para algum α ∈ R. (Nota: a umamatriz deste tipo chama–se uma matriz escalar, e sao as unicas que comutam com todasas ourtas)

(b) Exisitira alguma matriz M 2× 2 tal que se A e M comutam entao A e obrigatoriamenteuma matriz escalar?

(c) Enuncie e demonstre um resultado semelhante ao da alınea (a) para o caso n× n.

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3. Inversao de matrizes

P 3.1. Determine a inversa de cada uma das seguintes matrizes:

(a) A =

[1 12 3

](b) B =

[cos(α) − sin(α)sin(α) cos(α)

](c) C =

3 5 52 4 42 4 6

(d) D =

1 −3 33 −5 36 −6 4

(e) E =

1 1 0 02 3 0 00 0 1 10 0 2 3

(f) F =

0 0 1 10 0 2 31 1 0 02 3 0 0

(g) G =

1 0 1 11 1 1 01 0 0 01 0 0 1

(h) H =

0 0 1 0−1 1 −1 1

1 0 0 −10 0 −1 1

(i) I =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

P 3.2. Em que condicoes uma matriz diagonal n× n

D =

d1 0 · · · 00 d2 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · dn

e invertıvel, e qual a sua inversa?

P 3.3. Seja A uma matriz 2×2. Escreva, em funcao das entradas de A, uma condicao necessariae suficiente para que A seja nao singular, e determine a expressao da matriz inversa.

P 3.4. Determine os valores de α para os quais as matrizes dadas sao invertıveis.

(a) Aα =

1 1 0 02 3 α 00 0 1 10 0 2 3

(b) Bα =

1 1 0 02 3 α 00 α 1 10 0 2 3

(c) Cα =

1 0 1 11 1 1 01 0 0 α1 0 α 1

.P 3.5. Sendo A, B e C matrizes n×n invertıveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizessao necessariamente invertıveis, indicando nesses casos a expressao da matriz inversa. Nos casosem que a matriz nao seja necessariamente invertıvel, ilustre as diferentes possibilidades por meiode exemplos.

(a) AB (b) A+ 2B (c) AB−1 (d) ApB−qA−pBq (p, q ∈ N)

(e)

[A 00 B−1

](f)

[A BB−1 A−1

](g)

[A A−B0 B

](h)

[A B0 C

](i)

[A A+BA A−B

]P 3.6. Mostre que se Aj (j = 1, 2, · · · , n) sao matrizes m × m invertıveis, entao a matrizB = A1A2 · · ·An tambem o e, e determine uma expressao para B−1.

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P 3.7. Sendo

A =

1 2 10 −1 2−1 0 0

,determine A3. Utilize este resultado para calcular a inversa da matriz A.

P 3.8. Sendo

A =

0 1 0−1 0 −2

0 0 1

e B =

0 −1 −21 0 00 0 1

,determine AB e A4. Com base nos resultados anteriores, determine B−37.

P 3.9. Sendo

A =

1 −2 11 −1 03 −2 1

, B =

1 1 11 2 1−1 1 −2

, C =

−1 2 30 −2 00 0 −2

determine ABC. Utilize este resultado para calcular a inversa das seguintes matrizes:

(a) A (b) C (c) AB (d) B (e) AC .

P 3.10. Sendo

A =

1 0 11 −1 22 0 0

,determine A3 − 3A. Utilize o resultado obtido para calcular a inversa da matriz A.

P 3.11. Sejam A e B matrizes n× n de entradas reais que satisfazem a equacao A2 +A = B.

(i) Mostre que se B e invertıvel, entao A tambem o e.(ii) Se B nao for invertıvel, podera concluir alguma coisa sobre a invertibilidade da matriz

A? Justifique.

P 3.12. Sendo A e B duas matrizes quadradas n × n, sera verdade que se o produto AB seanula, entao se tem necessariamente A = 0 ou B = 0? O que pode concluir no caso em que A euma matriz invertıvel?

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4. Produto interno e norma

P 4.1. Determine o produto interno de cada um dos seguintes pares de vectores (α e β saoparametros reais):

(a) (1, 3) e (2, 1) (b) (3,−2) e (4, 6) (c) (3,−2) e (2α, 3α)

(d) (1, 2, 1) e (1, 3,−1) (e) (1, 2, 1) e (3,−1, 4) (f) (1, 2, 1) e (α, 5/2,−α)

(g) (1, 2, 1) e (1, 1,−3) (h) (1, 2, 1) e (α, β,−α− β) (i) (1, 1, 1, 1) e (1,−1, 1,−1)

(j) (1, 1, 1, 1, 1) e (1,−1, 1,−1, 1) (k) (1, 1, . . . , 1) e (1,−1, . . . , (−1)n−1)

(l) (1,−1, . . . , (−1)n−1) e (1,−1, . . . , (−1)n−1) (m) (1,−1, . . . , (−1)n−1) e (α, α, . . . , α)

P 4.2. Determine a norma de cada um dos seguintes vectores (α e β sao parametros reais):

(a) (1, 2) (b) (−1, 2) (c) (cosα, sinα) (d) (cosα cosβ, cosα sinβ, sinα)

(e) (1, 1, 1) (f) (1,−1, 1) (g) (2, 2, 2) (h) (√

2,√

3,√

4)

(i) (1, 1, 1, 1) (j) (1,−1, 1,−1) (k) (1, 0, 1, 0, 1) (l) (

√5

5 ,

√5

5 ,

√5

5 ,

√5

5 ,

√5

5 )

(m) (1, 1, . . . , 1) ∈ Rn (n) (1,−1, . . . , (−1)n−1) ∈ Rn (o) (

√nn ,

√nn , . . . ,

√nn ) ∈ Rn

P 4.3. Determine a distancia entre os pares de pontos dados:

(a) (1, 3) e (2, 1) (b) (1, 1, 1) e (1,−1, 1) (c) (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 0, 1)

(d) (1, 1, 1, 1, 1) e (1,−1, 1,−1, 1) (e) (1, 1, . . . , 1) e (1,−1, . . . , (−1)n−1)

(f) (1,−1, . . . , (−1)n−1) e (0,−1, 1, . . . , (−1)n−1) (g) (1,−1, . . . , (−1)n−1) e (1, 0, 0 . . . , 0)

P 4.4. Determine os conjuntos definidos pelas seguintes condicoes

(a) {u ∈ R3 : distancia ao ponto (1, 1, 1) e igual a 1}.(b) {u ∈ R3 : distancia aos pontos (0, 0, 1) e (1, 1, 0) sao iguais}.(c) {u ∈ R4 : distancia aos pontos (0, 0, 0, 1) e (1, 1, 0, 0) sao iguais}.(d) {u ∈ R4 : a mesma distancia dos pontos (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) e (0, 0, 1, 0)}.(e) {u ∈ R4 : a mesma distancia dos pontos (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1)}.

P 4.5. Determine o conjunto de pontos de R3 cuja distancia ao ponto (1, 1, 1) e κ vezes adistancia ao ponto (0, 1, 0), onde κ e um numero real positivo. Discuta que tipo de conjunto eque se obtem em termos do parametro κ.

P 4.6. Seja r a recta definida por y = 2x. Escreva uma expressao para a distancia do pontoP = (3, 1) a um ponto generico de r, e use essa expressao para determinar o ponto de r maisproximo de P .

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P 4.7. Seja r a recta que passa no ponto (1, 1, 0,−1) e que tem a direccao do vector (0, 1, 1, 0).Escreva uma expressao para a distancia do ponto P = (0, 0, 1, 1) a um ponto generico de r, e useessa expressao para determinar o ponto de r mais proximo de P .

P 4.8. Determine o ponto sobre a recta definida por 2x+ 3y = 1 mais proximo da origem.

P 4.9. Determine a projeccao de u sobre v em cada um dos casos seguintes (α e um parametroreal):

(a) u = (1, 3) e v = (1, 0) (b) u = (cosα, sinα) e v = (− sinα, cosα)

(c) u = (5,−1, 1) e v = (1, 0, 0) (d) u = (1, 0, 1, 3) e v = (0, 0, 0, 1)

(e) u = (1, 1,−1,−1) e v = (−1, 2, 1, 0) (f) u = (1, 3, 1, 0, 0) e v = (0, 1, 0, 1, 0)

(j) u = (1, 1, 1, 1, 1, 1) e v = (1, 1, 1, 1, 1, 1)

(k) u = (1, 1, . . . , 1) e v = (1,−1, . . . , (−1)n−1)

(l) u = (1,−1, . . . , (−1)n−1) e v = (1, 0, . . . , 0)

(m) u = (1,−1, . . . , (−1)n−1) e v = (1,−1, . . . , (−1)n−1)

P 4.10. Determine os vectores de

(a) R3 que distam√

5 do vector (1, 0, 0) e que sao perpendiculares aos vectores (1, 1, 1) e(1,−1, 1).

(b) R3 cuja projeccao sobre o vector v = (1,−1,√

2) e igual a 2v.(c) R3 com norma 2, que fazem um angulo de π/3 com o eixo dos zz e cuja projeccao sobre

o vector w = (1, 1, 0) e o proprio vector w.

(d) R3 com norma√

2 tais que a projeccao do vector (1, 0, 2) sobre v e igual a v e que sao

ortogonais ao vector (0, 1,√

3).(e) R4 cuja projeccao sobre o vector u = (1, 0, 1, 0) e igual a 2u e que sao perpendiculares ao

vector (1, 2, 1, 0).(f) R4 com norma 2 cuja projeccao sobre o vector u = (0, 1,−1, 0) e u e que sao perpendi-

culares aos vectores (1, 0, 0,−1) e (1, 0,−1, 0).

P 4.11. Determine o angulo formado pelos seguintes pares de vectores:

(a) (1, 1) e (1, 0) (b) (1, 0) e (−1, 1)

(c) (cosα, sinα) e (cosα− sinα, cosα+ sinα) (d) (cosα, sinα) e (cosβ, sinβ)

(e) (1, 1, 0, 1) e (1, 1, 1, 1) (f) (1, 1, 1, 1, 1) e (−1,−1,−1,−1,−1)

P 4.12. Determine uma equacao para o conjunto de vectores de R3 que fazem um angulo deπ/3 com a parte positiva do eixo dos zz.

P 4.13. Diga como se altera o angulo entre dois vectores nao nulos u e v quando

(a) se multiplica u por um numero real positivo;(b) se multiplica u por um numero real negativo;(v) se multiplica u e v por numeros reais negativos.

P 4.14. Mostre que ‖x‖ = ‖y‖ se e so se os vectores x− y e x+ y sao perpendiculares.

P 4.15. Mostre que ‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x− y‖2 se e so se os vectores x e y sao perpendiculares.

P 4.16. Sejam u e v dois vectores de Rn e α ≥ 0 tal que

‖u− v‖ = α‖u+ v‖.

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(i) Mostre que u e v sao perpendiculares se e so se α = 1.(ii) Se α < 1, o que pode concluir sobre o angulo formado pelos dois vectores? Justifique.

P 4.17. Sejam u1 e u2 vectores de Rn perpendiculares entre si e com norma um, e seja v =α1u1 + α2u2 nao nulo.

(a) Mostre que v esta a mesma distancia de u1 e de u2, se e so se α1 = α2.(b) Sejam θ1 e θ2 os angulos formados por v com u1 e com u2, respectivamente. Mostre que

θ1 e igual a θ2 se e so se α1 = α2.(c) Se u1 e u2 nao forem perpendiculares entre si, os resultados das alıneas anteriores conti-

nuam validos? Justifique.

P 4.18. Sejam u e v dois vectores de R2.

(a) Calcule ‖u− v‖2 em funcao das normas de u e v e do produto interno u.v.(b) Escreva o produto interno u.v em funcao das normas de u e v e do coseno do angulo

formado pelos dois vectores.(c) Conclua das alıneas anteriores que dado um triangulo de lados com comprimentos a, b e

c, se tem a2 = b2 +c2−2bc cos θ, onde θ e o angulo formado pelos lados de comprimento be c (Sugestao: considere um triangulo cujos lados tem comprimento ‖u‖ e ‖v‖ e ‖u−v‖).

P 4.19. No estudo de situacoes de jogo em varios desportos, e conveniente em alguns casosrepresentar os dados nao directamente em funcao das coordenadas da posicao dos jogadores,mas sim em funcao do angulo que e feito pelo vector das posicoes de dois jogadores com uma

1. Situacoes de um-contra-um em rugby.

linha fixa.

13

Na Figura 1 sao mostrados dois casos em situacoes de treino de um-contra-um em rugby,onde o jogador A que sai da linha superior tenta passar com a bola atraves da linha inferior, eo jogador B que sai da linha inferior tenta impedi-lo. O rectangulo representa a zona de jogoconsiderada.

No caso da figura da direita, o jogador B conseguiu forcar o jogador A a sair pela linha lateral,ao passo que na figura da esquerda o jogador A conseguiu ultrapassar o jogador B.

(a) Escreva o coseno do angulo formado pela linha que une os dois jogadores em cada instantecom a vertical, em funcao das coordenadas (xA, yA) e (xB , yB) dos dois jogadores (assumaque os eixos horizontal e vertical correspondem a x e y, respectivamente).

(b) O que sucede ao valor desse coseno na fase crıtica em que a decisao de quem ganha etomada?

P 4.20. Nalguns desportos colectivos como o futebol e o andebol, e possıvel definir-se o conceitode zona de influencia de um jogador, a qual corresponde basicamente a parte do terreno dejogo que esse jogador controla. Mais precisamente, e assumindo um terreno de jogo R, duasequipas A e B com n jogadores cada, cujas coordenadas designaremos por aj e bj , j = 1, . . . , n,respectivamente, a zona de influencia do jogador ak e definida por

Z(ak) := {P ∈ R : dist(P, ak) < minj=1,··· ,n

{dist(P, aj) (j 6= k),dist(P, bj)},

sendo Z(bk) definida de forma analoga.

(a) No caso de n = 1, determine a expressao para a zona de influencia de um jogador,ilustrando com exemplos.

(b) Assuma agora um terreno de jogo rectangular R = [−10, 10]× [−5, 5] e n = 2. Calcule aparticao de R em zonas de influencia em cada um dos casos:

(i) a1 = (−9, 0) e a2 = (−1, 2) b1 = (9, 0) e b2 = (2,−1)

(ii) a1 = (−9,−5) e a2 = (−1, 5) b1 = (9, 0) e b2 = (2,−1)

P 4.21. Considere agora a versao uni-dimensional do problema descrito em 4.20, ou seja, R eum intervalo em R, por exemplo [0, 1].

(a) Determine uma expressao para Z(ak) e Z(bk).(b) A ocupacao do terreno de jogo por cada equipa e definida como sendo a soma das zonas

de influencia dos jogadores correspondentes. Mais precisamente,

|A| = 1

|R|

n∑j=1

Z(aj)

e analogamente para |B|, onde |R| denota o comprimento do intervalo (no caso indicadoacima, 1) e, em geral, a area do terreno de jogo R. Determine expressoes para |A| e |B|.

P 4.22. Os conceitos definidos nos Problemas 4.20 e 4.21 nao tem em conta aspectos dinamicosdo jogo como o facto de um jogador estar em movimento numa certa direccao e com uma dadavelocidade. Discuta como poderia alterar esses conceitos por forma a ter em conta estes aspectos.

14

5. A serie geometrica

P 5.1. Calcule a soma das seguintes series, quando convergentes:

a)

∞∑n=0

1

2nb)

∞∑n=0

2n − 1

3nc)

∞∑n=1

7n

6n

d)

∞∑n=2

1

72ne)

∞∑n=0

23n

32nf)

∞∑n=1

32n

7n

P 5.2. Sempre que possıvel, determine a razao das seguintes series por forma a obter a somaindicada:

a)

∞∑n=0

rn = 3 b)

∞∑n=1

rn = 3 c)

∞∑n=2

rn = 3 d)

∞∑n=0

rn = 1

e)

∞∑n=1

rn = 1 f)

∞∑n=−1

rn = 1 g)

∞∑n=1

rn =1

4h)

∞∑n=2

rn =1

4

P 5.3. No tenis um jogador ganha um jogo se atingir primeiro quatro pontos, excepto se oresultado chegar a uma igualdade a tres pontos, caso em que ganha o jogo o primeiro jogadorque ganhar dois pontos consecutivos. A terminologia utilizada no jogo para contabilizar os pontosno primeiro caso e 15− 30− 40 e jogo.

Assuma que num jogo entre os jogadores A e B a probabilidade de A ganhar um ponto e p eque jogos diferentes sao independentes.

(a) Qual a probabilidade de o jogador A ganhar o jogo em cada uma das seguintes situacoes:(i) B nao marca um unico ponto;(ii) B marca um e um so ponto;

(iii) B marca dois e apenas dois pontos.(b) Mostre que a probabilidade de A ganhar o jogo fazendo quatro pontos, ou seja, dentro

dos primeiros seis pontos no total, e dada por p4(15− 24p+ 10p2).(c) Mostre que a probabilidade de se chegar a um empate a tres pontos (40 − 40) sera de

20p3(1− p)3.(d) Na hipotese de se chegar a um empate a tres pontos, o jogo sera ganho jogando um

numero par de pontos. Mostre que a probabilidade de A ganhar o jogo no oitavo pontoe dada por 20p5(1− p)3.

(e) Mostre que a probabilidade de A ganhar o jogo no decimo ponto e dada por 40p6(1−p)4.(f) Mostre que a probabilidade de A ganhar o jogo no jogo 2n + 6 (n ≥ 1) e dada por

20p3(1− p)3 [2p(1− p)]n−1 p2.(g) Mostre, finalmente, que a probabilidade de A ganhar o jogo e dada pela funcao

f(p) = p4(15− 24p+ 10p2) + 20p5(1− p)3∞∑k=0

[2p(1− p)]k .

(h) Some a serie geometrica obtida na alınea anterior para obter que a funcao f e dada por

f(p) = p4(15− 24p+ 10p2) +20p5(1− p)3

1− 2p(1− p),

15

cujo grafico pode ser visto na Figura 2.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p

fHpL

2. Probabilidade de o jogador A ganhar um jogo, em funcao da probabilidadep de ganhar um ponto.

(i) Supondo que p se refere ao caso em que e o jogador A a servir, para que valores de pe que uma melhoria na qualidade do servico se reflectira num aumento significativo naprobabilidade de ganhar o jogo?

16

6. Estudo de funcoes

P 6.1. Indique o domınio das seguintes funcoes:

a) x4 + 2x+ 3x2 − 3

b) x2 + 3x4 − 16

c)√x2 − 1 d) 1

x−√x+ 2

e) 1x+√x+ 2

f)√

6 + x− x2 g) sin(πx ) h) 1sin(πx)

i) log[x(1− x2)

]j) log

(x−√x+ 2

)k) log [cos(x)] l) log [2− e−x]

P 6.2. Seja h(x) a funcao de Heavyside definida por

h(x) =

{0, x < 0

1, x ≥ 0.

Estude cada uma das seguintes funcoes quanto a continuidade e, em cada caso, esboce o graficoda funcao dada.

a) h(x) b) h(x)− h(x− 1) c) xh(x) d) x2h(x)

e) (x− 1)h(x− 1) f) h(x) sin(x) g) [h(x)− h(x− 1)] sin(πx) h) h[sin(x)]

P 6.3. Estude cada uma das seguintes funcoes quanto a continuidade. No caso de pontos dafronteira do domınio, indique se e possıvel prolongar a funcao de modo a torna–la contınua nessespontos.

a) xex b) xex + 1

c) 1ex − 1

d) xex − 1

e) x− 3x2 − 3x+ 2

f) x− 3x2 − 4x+ 3

g)sin(x)x h) x

sin(x)

i) log(ex + 1) j) log(ex − 1) k) log[cos(x) + 1] l) cos[log(x)]

P 6.4. Diga quais das funcoes definidas em P6.3 sao

a) limitadas b) periodicas c) pares d) ımpares.

P 6.5. Esboce o grafico de cada uma das seguintes funcoes, para cada valor do parametro αdado.

a) αx2, α = −1, 1, 3 b) x2 + α, α = −1, 0, 1

c) (x− α)2, α = −1, 0, 1 d) x3 + αx2, α = −1, 0, 1

e) x4 + αx2, α = −1, 0, 1 f) x4 + αx3, α = −1, 0, 1

P 6.6. Esboce o grafico de cada uma das seguintes funcoes.

a) 1x b) 1

1− x c) 11− x2 d) x

1− x e) x+ 1x f) x2

1 + x

g) 1x2

h) 11 + x2

i) x1 + x2

j) x2

1 + x2k) x+ 1

x2l) x2 + 1

x


a) e2x b) xex c) e−x2

d) ex − e−x

2 e) ex + e−x

2 f) 2x

1 + 2x


a) log(1− x) b) log2(x) c) log(1 + x2) d) 1log(x)

e)log(x)x f) x

log(x)

17


a) sin(2x) b) sin2(x) c) sin(x) + cos(x) d) x cos(x) e) 1sin(x)

f) sin(x2)

P 6.10. Para cada uma das seguintes funcoes, indique o seu domınio de diferenciabilidade, ecalcule a sua derivada.

a) x4 − 43x

3 + 2x− 7 b) ex2−2x c) x− 2

x+ 3 d) sin(x− 2x+ 3

)e) ex [sin(x)− cos(x)] f) ex

1 + exg) arctan

(1x

)h) x [log(x)− 1]

i) x arctan(x)− 12 log(1 + x2) j) − log [cos(x)] k) log

[tan(x2 )

]l) log

[1 + x1− x

]m)√

1− x2 + x arcsin(x)

P 6.11. Determine o limite das seguintes funcoes quando x tende para zero, utilizando a regrade Cauchy.

a)sin(x)x b) e

x − 1x c)

1− cos(x)x2

d) ex − 1− xx2

e)sin(x)ex − 1

f)ex cos(x)− 1

x g)log(1− x)

x h)log(1− x) + x

x2

i)log [1 + sin(x)]

x j)log(1− x)log(1 + x)

k)log(1− x)log(1 + x2)

l) x log(x)

m)arcsin(x)

x n)arctan(x)

x o)arccos(x)− π/2

x p)arccos(1− x)√

x

P 6.12. Determine o limite das seguintes funcoes quando x tende para +∞, utilizando a regrade Cauchy.

a)log(x)x b)

log2(x)x c)

log(1 + ex)x d) x log(1 + 1

x )

e) log(x) log(1 + 1x ) f) (1 + 1

x )x g) (1 + 1x2

)x h) xe−x

i)π − 2 arctan(x)

log(1 +1

x)

j) x arcsin(

1x

)k) arcsin

(1x

)log(x) l) xarcsin(1/x)

P 6.13. Calcule os seguntes limites:

a) limx→0

x− sin(x)x3

b) limx→0+

arctan

(1

x

)− arccos(x)

x3c) lim

x→0cos(x)1/x

2

(d) limx→0

log [sin(2x) + 1]− 2xx2

(e) limx→0+

xx (f) limx→0

2x2 − 2x+ log(2x+ 1)x3

(g) limx→+∞

x1

log(x) (h) limx→+∞

(1 + 1

x + ax2

)x

18

P 6.14. Construa o grafico de cada uma das seguintes funcoes de forma tao completa quantopossıvel.

a) x3 − 4x2 b) (x− 2)2(x+ 1) c) x2 + 2/x d)√x+√

4− x

e)√x−√

4− x f)

√x

1 + x g)log xx h) x

log x

i) x log x j) log (ex + 1) k) log (e−x + 1) l)(

1− 1x

)log(1− x)

m) sin(x) sin(2x) n) x+ sin(x) o) ex cos(x) p) log[sin(x)]

q)sin(x)

2 + cos(x)r) 1

sin(x) + cos(x)s) e

x − e−x2 t) e

x + e−x

2

u) x2ex v) ex

ex + 1x) ex

ex − 1y) e

− 1x2

P 6.15. Para cada uma das seguintes funcoes, diga qual o grafico da Figura 3 que lhe corresponde:

a) e−1/x2

b) 1− e−2x/3 cos (6x) c) e−x2

d)ln(1 + x2

)x e) x lnx

1 + x4f) x

2 + x3

1 + x3

g) xe−x h) x2e−x2

i) xex

1 + xex.

-4 -2 2 4

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

G7

1 2 3 4 5

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75G8

1 2 3 4 5

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

G9

-4 -2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

G4

-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

G5

-4 -2 2 4

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

G6

-2 -1 1 2 3 4

-1.5

-1

-0.5

G1

-15 -10 -5 5 10 15

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

G2

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

G3

3. Graficos para o problema 6.15

19

P 6.16. Seja f a funcao definida por

f(x, α) = sin(αx),

onde α e um parametro real. Determine os valores de α para cada uma das funcoes fi, i = 1, . . . , 4na figura 6.16.

0 2 4 6 8 10

t

-1

-0.5

0

0.5

1

f3 HtL

0 2 4 6 8 10

t

-1

-0.5

0

0.5

1

f4 HtL

0 2 4 6 8 10

t

-1

-0.5

0

0.5

1

f1 HtL

0 2 4 6 8 10

t

-1

-0.5

0

0.5

1

f2 HtL


P 6.17. Seja f a funcao definida por

f(x, a, b) = e− (x− a)2

b ,

onde a e b sao dois parametros reais. Identifique quais os graficos da Figura 5 que correspondemaos seguintes pares (a, b):

a) (0, 1) b) (0, 2) c) (0, 3) d) (1, 2).

P 6.18. Considere a funcao f : Df → R definida por

f(x) =x sin(πx)

1 + x.

a) Diga qual o domınio de f , Df .b) Determine os limites de f nos pontos da fronteira de Df e em ±∞, caso isso faca sentido.c) Diga se existe algum ponto da fronteira de Df onde f seja prolongavel por continuidade,

indicando nesses casos o valor que o prolongamento de f deve tomar nesses pontos.d) Determine os zeros de f .e) Sem calcular f ′, o que pode dizer quanto a existecia de extremos de f?f) Estude f quanto a existencia de extremo na origem.g) Esboce o grafico de f utilizando a informacao obtida nas alıneas anteriores.

20

-4 -2 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1


P 6.19. Considere a funcao f : R+ → R definida por

f(x) =

(1 +

1

x

)x.

a) Diga, justificando, em que pontos f e contınua.b) Determine os limites de f quando x tende para 0+ e para +∞.c) Diga se f e prolongavel por continuidade a zero ou nao.d) Diga em que pontos f e diferenciavel, e calcule a sua derivada.e) Verifique que se existir um ponto x0 onde f ′(x0) se anule, se tem f(x0) < e.f) Utilize a alınea anterior para provar que se tem f(x) < e para todo o x positivo.g) Esboce o grafico de f utilizando a informacao obtida nas alıneas anteriores.

P 6.20. Considere as funcoes c, s : R→ R definidas por

c(x) =ex + e−x

2e s(x) =

ex − e−x

2.

a) Determine o domınio das funcoes c e s, indicando em que pontos sao contınuas.b) Estude c e s quanto a paridade.c) Determine os pontos onde c e s sao diferenciaveis, e verifique que c′(x) = s(x) e s′(x) =

c(x).d) Esboce os graficos das duas funoes c e s.e) Mostre que c2(x)− s2(x) = 1.f) Determine expressoes para a funcao inversa de cada uma das funcoes c e s, indicando os

respectivos intervalos de definicao.g) Determine expressoes para a derivada das funcoes inversas determinadas na alınea ante-

rior.

P 6.21. Considere uma mesa de bilhar rectangular com lados de comprimentos a e b. Assumaque uma bola pode ser considerada como sendo pontual e que quando choca com a tabela osangulos de incidencia e de reflexao sao iguais.

21

(a) Determine o angulo com que deve ser impelida a bola a partir de um ponto qualquer namesa por forma a que regresse a esse ponto depois de ter tocado nos quatro lados. Esteangulo depende do ponto de partida?

(b) Qual a distancia percorrida pela bola ate chegar ao ponto de partida?(c) Assumindo que e admissıvel um erro de 1% do comprimento do lado menor da mesa

quando a bola regressa ao ponto inicial, qual o erro percentual que pode ser cometido noangulo de partida?

P 6.22. No jogo de rugby, e em consequencia de um ensaio, uma equipa tem a possibilidadede efectuar uma conversao, que vale 2 pontos no caso de ser bem sucedida. Essa conversaocorresponde a tentar fazer passar a bola entre os postes, sendo a bola colocada num ponto aescolha do jogador, sobre a linha perpendicular a linha de ensaio que passa no ponto onde foiefectuado o ensaio.

(a) Para o caso de o ensaio ter tido lugar fora dos postes, determine a distancia da linha deensaio onde o jogador deve colocar a bola se pretender maximizar o angulo que tem comovertice esse ponto e os dois postes. Nota: desta forma, tem-se uma primeira aproximacaopara a maximizacao do intervalo possıvel para o angulo de remate.

(b) O que e que sucede na analise da alınea anterior no caso de o ensaio ter sido marcadoentre os postes?

(c) O que pode concluir das alıneas anteriores em relacao a utilizacao exclusiva deste parametropara a determinacao do ponto onde o jogador deve colocar a bola para a conversao?

22

7. Primitivacao

P 7.1. Determine uma primitiva para cada uma das seguintes funcoes.

a) 4x3 − 4x2 + 2 b) 1x+ 1 c) 1

x2d) 1

(x+ 2)3

e) e2x f) ex2−2x(x− 1) g) sin(x) h) x

1 + x

i) tan(x) j) ex

1 + exk) 1

1 + e−xl) 1x log(x)

P 7.2. Determine os seguintes integrais.

a)

∫(x− 1)(

√x+ 2)x3/2 dx b)

∫ √3x− 2 dx c)

∫(7x− 5)

3/2dx

d)

∫1

(3x+ 2)2dx e)

∫1

(3x+ 2)4dx f)

∫1

(3x+ 2)3dx

g)

∫x

(3x+ 2)2dx h)

∫ (1−√x)5

√x

dx i)

∫x+ 2x+ 3 dx

j)

∫x+ 22x+ 3 dx k)

∫sin2(x) dx l)

∫tan2(x) dx


a)

∫sinx

2 + cosx dx b)

∫3x2 + 2xx3 + x2 + 2

dx c)

∫xe−x

2

1 + e−x2 dx

d)

∫cosx sin5 x dx e)

∫x2ex

3

dx f)

∫x√x2 − 5

dx

g)

∫x

1 + x4dx h)

∫x2

1 + x6dx i)

∫ex

1 + e2xdx

j)

∫sin√x√

xdx k)

∫x

sin2(x2)dx l)

∫x√

1− x4dx

m)

∫ √1 + log xx dx n)

∫sinx− cosxsinx+ cosx dx o)

∫1

(1 + x2) arctan2 xdx


a)

∫xex dx b)

∫x2ex dx c)

∫x sinx dx

d)

∫arctanxdx e)

∫x arctanxdx f)

∫arcsinxdx

g)

∫x log xdx h)

∫x2 log x dx i)

∫log xx2

dx

j)

∫log(x+√

1 + x2)

dx k)

∫log2 x dx l)

∫log xx dx

23

P 7.5. Determine os seguintes integrais. Nas alıneas a) e b) utilize a substituicao indicada.

a)

∫1

x√x2 − 2

dx (x = 1/t) b)

∫1

ex + 1dx (x = − log t) c)

∫x(2x− 3)245 dx

d)

∫1 + x

1 +√x

dx e)

∫x√x+ 1

dx f)

∫x2√

1− x2dx

g)

∫x√

1− x2 dx h)

∫e√x dx i)

∫sin√xdx

j)

∫log (1 +

√x) dx k)

∫ √xe√x dx l)

∫e√x

√x

dx


a)

∫1

x2 − 2x− 3dx b)

∫1

x(x− 2)(x− 4)dx c)

∫1

(1 + x2)(1− x)dx

d)

∫1

(x− 1)2(x+ 1)dx e)

∫1

(x2 − 1)(x− 1)dx f)

∫x

(x− 1)2(x+ 1)dx

g)

∫x2

(x− 1)2(x+ 1)dx h)

∫1

(x− 3)(x+ 5)3dx i)

∫x2 + 1

(x− 2)2(x+ 1)2dx


a)

∫1x5

dx b)

∫1

x(1 + x2)dx c)

∫arctanxx2

dx

d)

∫ecos x sinx dx e)

∫ex sin(x) dx f)

∫sin(log x) dx

g)

∫sin(log x)

x dx h)

∫1

x2(x+ 1)dx i)

∫cos√x dx

j)

∫x log(1 + x2) dx k)

∫ex log(1 + ex) dx l)

∫1

x+ x log2 xdx

m)

∫1

4− x2 dx n)

∫arctan

√x dx o)

∫1

4 + 9x2dx

p)

∫x

(1 + x2)2dx q)

∫x arctanx2 dx r)

∫e√x

√x

dx

24

8. Integrais definidos

P 8.1. Determine o valor dos seguintes integrais.

a)

∫ 1

−1x2 dx b)

∫ π/2

0

cosxdx c)

∫ π

0

cosxdx

d)

∫ π

0

cos2 xdx e)

∫ log 2

0

ex dx f)

∫ log 2

− log 2

e−|x| dx

g)

∫ e

1

log xdx h)

∫ √2/2

0

11 + 2x2

dx i)

∫ 1/2

0

1√1− 2x2

dx

j)

∫ 1/2

0

x√1− 2x2

dx k)

∫ 1/2

0

11− x2 dx l)

∫ π

0

ex cos(2x) dx

m)

∫ π

0

ex sin2 xdx n)

∫ π

0

xex dx o)

∫ 1

0

arctanx dx

p)

∫ 3

1

x(1 + x2)2

dx q)

∫ 2

1

(x− 1) log x dx r)

∫ π

0

x sinxdx

P 8.2. Diga quais dos seguintes integrais sao convergentes, e, nos casos de convergencia, deter-mine o seu valor.

a)

∫ +∞

1

1x2

dx b)

∫ +∞

1

1x3/2

dx c)

∫ +∞

1

1√x

dx

d)

∫ +∞

e

1x log x

dx e)

∫ +∞

e

1x log2 x

dx f)

∫ +∞

−∞

11 + x2

dx

g)

∫ +∞

0

e−2x dx h)

∫ +∞

0

e−x sin(2x) dx i)

∫ +∞

0

xe−x dx

P 8.3. Diga quais dos seguintes integrais sao convergentes, e, nos casos de convergencia, deter-mine o seu valor.

a)

∫ 1

0

1x2

dx b)

∫ 1

0

1x3/2

dx c)

∫ 1

0

1√x

dx

d)

∫ 1

0

1x log x

dx e)

∫ 1

0

1x log2 x

dx f)

∫ 1

0

− log x dx

g)

∫ 1

−1

1√1− x2

dx h)

∫ 1

0

e−1/x

x2dx i)

∫ 1

0

− log x√x

dx

25

P 8.4. Determine a area dos seguintes conjuntos.

a) A ={

(x, y) ∈ R2 : 2x < y < 3− x2 ∧ x > 0}

b) B ={

(x, y) ∈ R2 : 0 < y < 1 + cosx ∧ 0 < x < π}

c) C ={

(x, y) ∈ R2 : x2 − 1 < y < 1− x2}

d) D ={

(x, y) ∈ R2 : x(1− x) ≤ y ≤ 2x(1− x)}

e) E ={

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ r2}

f) F =

{(x, y) ∈ R2 :

(xa)2

+(yb

)2≤ 1, a, b > 0

}

P 8.5. Determine α positivo tal que a area da regiao delimitada pela parabola y = x2 e a rectay = αx seja 1.

P 8.6. Determine α de modo a que a area da regiao definida por 0 < x < α, o eixo dos xx e afuncao y = e−x seja 1/2.

P 8.7. Seja

Xβ ={

(x, y) ∈ R2 : β < x < +∞∧ 0 < y < e−x/β}.

Determine β de forma a que a area de Xβ seja igual a 1.

P 8.8. Sejam

Xα ={

(x, y) ∈ R2 : 0 < x < α ∧ 0 < y < e−3x}

e

Yα ={

(x, y) ∈ R2 : α < x < +∞∧ 0 < y < e−3x}.

Determine α de forma a que a area de Xα seja o dobro da area de Yα.

P 8.9. Considere a regiao do plano{

(x, y) ∈ R2 : 0 < x ∧ 0 < y < e−3x}

decomposta nas duasregioes X1 e X2 na forma representada na Figura 6. Determine α por forma a que as areas deX1 e X2 sejam iguais entre si.

P 8.10. Calcule as derivadas das seguintes funcoes:

a)

∫ x

0

ecos t dt b)

∫ x+1

x

sin (t log t) dt (x > 0) c)

∫ x2

1

12 + sin t dt

d)

∫ √log x

1

et2

dt (x > 1) e)

∫ √x0

sin(t2) dt (x > 0) f)

∫ x+1

x

e−tt dt (x > 0)

P 8.11. Calcule os seguintes limites:

a) limx→0

∫ x

0

sin(t2) dt

x3b) lim

x→0

∫ x

0

sin t

tdt

x3c) lim

x→+∞

∫ x

0

et2

dt

ex2

26

6. Regioes X1 e X2 do problema 8.9.

P 8.12. Seja f : R→ R a funcao definida por

f(x) =

∫ x

0

sin [sin(t)] dt.

Mostre que f tem extremos se e so se x = kπ (k ∈ Z), os quais sao maximos para k ımpar emınimos para k par.

P 8.13. Determine o centro de massa das seguintes regioes do plano:

a) A ={

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x}

b) B ={

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2x}

c) C ={

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ αx, α > 0}

d) D ={

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2}

e) E ={

(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ x}

f) F ={

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ α ∧ 0 ≤ y ≤ e−x}

P 8.14. Seja Rα a regiao do plano definida por

Rα =

{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ α ∧ 0 ≤ y ≤ 1

1 + x2

},

onde α e um parametro positivo, e denote por A(α) a sua area.

(a) Determine uma expressao para A(α) em funcao de α.(b) Calcule

limα→+∞

A(α).

Conclua que a area de R∞ e finita.

27

(c) Determine a coordenada em x do centro de massa de Rα.(d) Designando a coordenada em x determinada na alınea anterior por x(α), verifique que

limα→+∞

x(α) = +∞.

O que pode concluir?

P 8.15. Considere a regiao do plano definida por

Rα ={

(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ −αx2 ≤ y ≤ 1− αx2}.

(a) Verifique que o valor da area de Rα e independente de α.(b) Calcule as coordenadas do centro de massa de Rα.(c) Determine os valores de α para os quais o centro de massa nao esta contido em Rα.

28

Solucoes

P 1.1

(a) (x, y, z, w) = (1,−1, 1,−1) (b) (x, y, z, w) = (1, 1, 2,−1) (c) (x, y, z, w) = (1, 1,−2, 1)(d) (x, y, z, w) = (1, 1,−2, 1) (e) (x, y, z, w) = (1, 2, 3, 4) (f) (x, y, z, w) = (1,−2, 1, 2)

P 1.2

(a) Sistema possıvel e determinado: (x, y) = (−1, 1)(b) Sistema possıvel e determinado: (x, y, z) = (1, 0,−1)(c) Sistema possıvel e determinado: (x, y, z) = (1, 0, 0)(d) Sistema possıvel e determinado: (x, y, z) = (1, 1,−1)(e) Sistema possıvel e indeterminado: S = {(z + 1, 1− z, z) : z ∈ R}(f) Sistema impossıvel(g) Sistema possıvel e determinado: (x, y, z, w) = (0, 0, 0, 1)(h) Sistema possıvel e determinado: (x, y, z, w) = (0, 0, 0, 1)

(i) Sistema possıvel e determinado: (x, y, z, w) =

(−2,−25

3,−4

3,

11

3

)(j) Sistema possıvel e indeterminado: S = {(1− x5, 1− x4, 0, x4, x5) : x4, x5 ∈ R}

P 1.3

(a) Sistema impossıvel: α = 2Sistema possıvel e determinado: α 6= 2Sistema possıvel e indeterminado: ∅

(b) Sistema impossıvel: β 6= 0Sistema possıvel e determinado: ∅Sistema possıvel e indeterminado: β = 0

(c) Sistema impossıvel: α = 2 ∧ β 6= 0Sistema possıvel e determinado: α 6= 2 ∧ β ∈ RSistema possıvel e indeterminado: α = 2 ∧ β = 0

(d) Sistema impossıvel: ∅Sistema possıvel e determinado: α 6= 1 ∨ α 6= −1Sistema possıvel e indeterminado: α = 1 ∨ α = −1

(e) Sistema impossıvel: ∅Sistema possıvel e determinado: λ ∈ RSistema possıvel e indeterminado: ∅

(f) Sistema impossıvel: α 6= 4Sistema possıvel e determinado: ∅Sistema possıvel e indeterminado: α = 4

(g) Sistema impossıvel: α = 11 ∧ β 6= 20Sistema possıvel e determinado: α 6= 11Sistema possıvel e indeterminado: α = 11 ∧ β = 20

29

(h) Sistema impossıvel: α = 5 ∧ β 6= 0Sistema possıvel e determinado: α 6= 5Sistema possıvel e indeterminado: α = 5 ∧ β = 0

(i) Sistema impossıvel: −3α+ β + 30 6= 0Sistema possıvel e determinado: ∅Sistema possıvel e indeterminado: −3α+ β + 30 = 0

(j) Sistema impossıvel: α = −1Sistema possıvel e determinado: α 6= −1Sistema possıvel e indeterminado: ∅

P 2.1

(a) AB=

[1 + 4

√3√

2− 2 9−√

2√3− 2 −2 −3

]Nao e possıvel efectuar BA devido a dimensao

das matrizes.

(b) AB=

[π 4π

−√

2 −4√

2

]BA=

[π − 4

√2]

(c) AB=

[8 n√

7− 29 6

]BA=

8 −18 4 n√

7 + 6

1 3 3− n√

72 −1 3

(d) AB=

[3 −3−3 3

]BA=

2 −2 2−2 2 −22 −2 2

(e) AB=

[0 00 0

]BA=

1 −1 01 −1 01 −1 0

(f) Nao e possıvel efectuar AB devido a dimensao das matrizes. BA=

−(1 + i+ α) 1 + 4i2 + (2 + α)i −9i1 + (α− 1)i −(4 + i)

(g) AB=

{0, senpar1, sen ımpar

BA=

1 −1 1 −1 · · · (−1)n+1

1 −1 1 −1 · · · (−1)n+1

......

......

......

1 −1 1 −1 · · · (−1)n+1

n×n

30

P 2.2 A4=

−4 0 00 1 00 0 −4

A16=

162 0 00 1 00 0 162

P 2.3 A3 − 2A2 − 2A + 4I=

0 0 00 0 00 0 0

P 2.4

(a) AB=

[5 00 10

]BA=

[11 2−3 4

]

(b) A2B2=

[55 −2015 40

](AB)2=

[25 00 100

](AB)r 6= ArBr.

(c) CD=

1 0 00 1 00 0 4

DC=

1 0 00 1 00 0 4

(d) C5D5=

1 0 00 1 00 0 1024

P 2.5 ABC=

2 0 00 2 00 0 2

=2I

P 2.6

(a) An=

[1 00 1

], n ∈ N

(b) An=

[0 11 0

], n ımpar; An=

[1 00 1

], n par, com n ∈ N

(c) An=

[1 00 −1

], n ımpar; An=

[1 00 1


(d) An=

[0 1−1 0

], n = 4k + 1; An=

[−1 00 −1

], n = 4k + 2; An=

[0 −11 0

], n = 4k + 3;

An=

[1 00 1

], n = 4k + 4, com k ∈ N0

(e) An=

[0 −1−1 0

], n ımpar; An=

[1 00 1


31

(f) An=

[2n−1 2n−1

2n−1 2n−1

], n ∈ N

(g) An=

[sin(α) cos(α)cos(α) − sin(α)

], n ımpar; An=

[1 00 1


(h) An=

[cos(nα) sin(nα)− sin(nα) cos(nα)

], n ∈ N

(i) A1=

[0 10 0

]; An=

[0 00 0

], n ≥ 2, com n ∈ N

(j) A1=

0 1 00 0 10 0 0

; A2=

0 0 10 0 00 0 0

; An=

0 0 00 0 00 0 0

, n ≥ 3, com n ∈ N

(k) An={aij} , i, j = 1, · · · ,m onde aij =

{1, j = i+ n0, c.c.

, n < m; An=0, n ≥ m, com

n ∈ N

(l) An=

[1 n0 1

], n ∈ N

(m) An=

1 nn(n− 1)

20 1 n0 0 1

=

(n

0

) (n

1

)n(n− 1)

2

0

(n

0

) (n

1

)0 0

(n

0

)

, n ∈ N

(n) An=

m−1∑k=0

(n

k

)Nk, m ≤ n

n∑k=0

(n

k

)Nk, m > n

, comN = {bij} , i, j = 1, · · · ,m onde bij =

{1, j = i+ 10, j 6= i+ 1

,

com n ∈ N

(o) An=

0 1 00 0 11 0 0

, n = 3k + 1; An=

0 0 11 0 00 1 0

, n = 3k + 2; An=

1 0 00 1 00 0 1

, n = 3k + 3,

com k ∈ N0

(p) An=

0 2n−12 0

2n−12 0 2

n−12

0 2n−12 0

, n ımpar; An=

2n2−1 0 2

n2−1

0 2n2 0

2n2−1 0 2

n2−1

, n par, com n ∈ N

32

(q) An=

0 2n−1 2n−1 0

2n−1 0 0 2n−1

2n−1 0 0 2n−1

0 2n−1 2n−1 0

, n ımpar; An=

2n−1 0 0 2n−1

0 2n−1 2n−1 00 2n−1 2n−1 0

2n−1 0 0 2n−1

, n par,

com n ∈ N

(r) An=

0 2n−1 0 2n−1

2n−1 0 2n−1 00 2n−1 0 2n−1

2n−1 0 2n−1 0

, n ımpar; An=

2n−1 0 2n−1 0

0 2n−1 0 2n−1

2n−1 0 2n−1 00 2n−1 0 2n−1

, n par,

com n ∈ N

P 3.1 (a) A−1=

[3 −1−2 1

](b) B−1=

[cos(α) sin(α)− sin(α) cos(α)

](c) C−1=

2 −5

20

−1 2 −1

2

0 −1

2

1

2

(d) D−1=

−1

8−3

8

3

83

8−7

8

3

83

4−3

4

1

4

(e) E−1=

3 −1 0 0−2 1 0 00 0 3 −10 0 −2 1

(f) F−1=

0 0 3 −10 0 −2 13 −1 0 0−2 1 0 0

(g) G−1=

0 0 1 0−1 1 −1 11 0 0 −10 0 −1 1

(h) H−1=G (i) I−1=I6

P 3.2 D e uma matriz invertıvel ∀di 6= 0, i = 1, · · · , n. D−1=

d−11 0 0 · · · 00 d−12 0 · · · 00 0 d−12 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · d−1n

P 3.3 A matriz A=

[a bc d

]e invertıvel (nao singular) sse ad − bc 6= 0, e neste caso a inversa

e dada por A−1=1

ad− bc

[d −b−c a

]P 3.4

(a) Aα e invertıvel para α ∈ R(b) Bα e invertıvel para α 6= 1√

3(c) Cα e invertıvel para α 6= 1

33

P 3.7 A3=

−5 0 00 −5 00 0 −5

= 5 I A−1=−1

5A2=

0 0 −12

5−1

5

2

51

5

2

5

1

5

P 3.8 AB = I =

[1 00 1

]A4 = I B−37 = A

P 3.9 ABC =

2 0 00 2 00 0 2

= 2 I

(a) A−1 =1

2BC =

−1

20

1

2

−1

2−1

1

21

2−2

1

2

(b) C−1 =

1

2AB =

−1 −1 −3

2

0 −1

20

0 0 −1

2

(c) (AB)−1

=1

2C =

−1

21

3

2

0 −1 0

0 0 −1

(d) B−1 =1

2CA =

5 −3 1−1 1 0−3 2 −1

(e) (AC)−1

=1

4AB2C =

1

44 −7

41

4

1

2−1

4

−1

41 −1

4

34

P 4.1 (a) u.v = 5 (b) u.v = 0 (c) u.v = 0 (d) u.v = 6 (e) u.v = 5 (f) u.v = 5

(g) u.v = 0 (h) u.v = β (i) u.v = 0 (j) u.v = 1 (k) u.v =

{0, senpar1, sen ımpar

(l) u.v = n (m) u.v =

{0, sen parα, sen ımpar

P 4.2 (a) ‖u‖ =√

5 (b) ‖u‖ =√

5 (c) ‖u‖ = 1 (d) ‖u‖ = 1 (e) ‖u‖ =√

3

(f) ‖u‖ =√

3 (g) ‖u‖ = 2√

3 (h) ‖u‖ = 3 (i) ‖u‖ = 2 (j) ‖u‖ = 2 (k) ‖u‖ =√

3(l) ‖u‖ = 1 (m) ‖u‖ =

√n (n) ‖u‖ =

√n (o) ‖u‖ = 1

P 4.3 (a) d =√

5 (b) d = 2 (c) d = 2 (d) d = 2√

2 (e) d =

{ √2n, senpar√2(n− 1), sen ımpar

(f) d = 1 (g) d =√n− 1, n ∈ N

P 4.4 (a) S = (x, y, z) ∈ R3 : (1− x)2 + (1− y)2 + (1− z)2 = 1 (esfera de raio 1) (b) S =

(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, x+ y − 1

2) : x, y ∈ R (c) S = (x, y, z, w) ∈ R4 : (x, y, z, x+ y − 1

2) : x, y, z ∈ R

(d) S = (x, y, z, w) ∈ R4 : (x, x, x, w) : x,w ∈ R (e) S = (x, y, z, w) ∈ R4 : (x, x, x, x) : x ∈ R

P 4.5 S ={

(x, y, z) ∈ R3 : (x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = k2(x2 + (y − 1)2 + z2

)}P 4.6 dPR =

√5x2 − 10x+ 10, R = (1, 2)

P 4.7 dPR =√

2λ2 + 7, R = (1, 1, 0,−1)

P 4.8 R

(2

13,

3

13

)

P 4.9 (a) projvu = (1, 0) (b) projvu = (0, 0) (c) projvu = (5, 0, 0)

(d) projvu = (0, 0, 0, 3) (e) projvu = (0, 0, 0, 0) (f) projvu =

(0,

3

2, 0,

3

2

)(j) projvu = (1, 1, 1, 1, 1, 1) (k) projvu =

{0×

(1,−1, 1,−1, · · · , (−1)n−1

), senpar

1

n×(1,−1, 1,−1, · · · , (−1)n−1

), sen ımpar

(l) projvu = (1, 0, · · · , 0) (m) projvu =(1,−1, 1,−1, · · · , (−1)n−1

)

35

P 4.10 (a) u = (2, 0,−2) ou u = (−1, 0, 1) (b) S ={(u1, u1 +

√2u3 − 8, u3

): u1, u3 ∈ R

}(c) u =

(2−

(1±√

2

2

), 1±

√22 , 1

)(d) v =

(1,−√

3

2,

1

2

)(e) S = {(4− v3,−2, v3, v4) : v3, v4 ∈ R}

P 4.11 (a) θ =π

4(b) θ =

3π

4(c) θ =

π

4(d) θ = β − α (e) θ =

π

6(f) θ = π

P 4.12 v21 + v22 = 3v23

P 5.1 (a) 2, serie convergente (b)3

2, serie convergente (c) serie divergente

(d)1

2352, serie convergente (e) 9, serie convergente (f) serie divergente

P 5.2 (a)2

3(b)

3

4(c)−3 +

√21

2(d) 0 (e)

1

2(f) impossıvel (g)

1

5(h)−1±

√17

8

P 6.11 (a) 1 (b) 1 (c)1

2(d)

1

2(e) 1 (f) 1 (g) −1 (h) −1

2(i) 1

(j) −1 (k) −∞ (l) 0 (m) 1 (n) 1 (o) −1 (p)√

2

P 6.12 (a) 0 (b) 0 (c) 1 (d) 1 (e) 0 (f) e1 (g) 1 (h) 0 (i) 2

(j) 1 (k) 0 (l) 1

P 6.13 (a) 16 (b) 1

2 (c) e−1/2 (d) −2 (e) 1 (f) 83 (g) e (h) 1

P 6.15 (a) G4 (b) G8 (c) G3 (d) G2 (e) G9 (f) G5 (g) G1 (h) G6

(i) G7

P 7.1 (a) x4 − 4

3x3 + 2x+C (b) ln(|1 + x|) +C (c) − 1

x+C (d) − 1

2(x+ 2)2+C

(e)e2x

2+C (f)

ex2−2x

2+C (g)− cos(x)+C (h) x−ln(|1+x|)+C (i)− ln(| cos(x)|)+C

(j) ln(1 + ex) + C (k) ln(1 + ex) + C (l) ln(| ln(x)|) + C

P 7.2 (a)x4

4+

4

7x7/2 − x3

3− 4

5x5/2 +C (b)

2

9(3x− 2)3/2 +C (c)

2

35(7x− 5)5/2 +C

(d) − 1

3(3x+ 2)+ C (e) − 1

9(3x+ 2)3+ C (f) − 1

6(3x+ 2)2+ C

(g)2

9(3x+ 2)+

1

9ln(|3x + 2|) + C (h) 2

√x − 5x +

20

3x2/3 − 5x2 + 2x5/2 − x3

3+ C ou

− 13 (1−

√x)

6+ C

(i) x− ln(|x+ 3|) +C (j)x

2+

ln(|2x+ 3|)4

+C (k)x

2− sin(2x)

4+C (l) tan(x)− x+C

36

P 7.3 (a) − ln(|2 + cos(x)|) + C (b) ln(|x3 + x2 + 2|) + C (c) −1

2ln(1 + e−x

2

) + C

(d)sin6(x)

6+C (e)

ex3

3+C (f)

√x2 − 5 +C (g)

arctan(x2)

2+C (h)

arctan(x3)

3+C

(i) arctan(ex) + C (j) −2 cos(√x) + C (k) − cos(x2)

2 sin(x2)+ C (l)

arcsin(x2)

2+ C

(m)2

3[1 + ln(|x|)]

32 + C (n) − ln(| sin(x) + cos(x)|) + C (o) − 1

arctan(x)+ C

P 7.4 (a) ex(x− 1) + C (b) ex(x2 − 2(x− 1)) + C (c) sin(x)− x cos(x) + C

(d) x arctan(x)− 1

2log(1 + x2

)+C (e)

x2 arctan(x)

2− x

2+

arctan(x)

2+C (f) x arcsin(x) +√

1− x2 + C (g)x2

2ln(|x|)− x2

4+ C (h)

x3

3ln(|x|)− x3

9+ C (i) − ln(|x|)

x− 1

x+ C

(j) x ln(|x+√

1 + x2|)− 1

2

√1 + x2+C (k) x ln2(|x|)−2x ln(|x|)+2x+C (l)

ln2(|x|)2

+C

P 7.5 (a) − 1√2

arcsin

(√2

x

)(b) − ln(1 + e−x) + C

(c) 14 (2x− 3)246

(2x− 3

247 + 182

)+ C (d)

2x3/2

3− x+ 4

√x− 4 log

(√x+ 1

)+ C

(e) 2x√x+ 1− 4

3(x+ 1)

32 + C (f)

arcsin(x)

2− 1

2x√

1− x2 + C (g) −1

3(1− x2)

32 + C

(h) 2e√x(√x−1)+C (i) −2

√x cos(

√x)+2 sin(

√x)+C (j) ln(|1+

√x|)(x−1)− x

2+√x+C

(k) e√x(4− 4

√x+ 2x) + C (l) 2e

√x + C

P 7.6 (a) −1

4ln(|x+ 1|) +

1

4ln(|x− 3|) +C (b)

1

8ln(|x|)− 1

4ln(|x− 2|) +

1

8ln(|x− 4|) +C

(c)1

4ln(x2+1)+

1

2arctan(x)− 1

2ln(|1−x|)+C (d) −1

4ln(|x−1|)− 1

2(x− 1)+

1

4ln(|x+1|)+C

(e) igual a (d) (f)1

4ln(|x− 1|)− 1

2(x− 1)− 1

4ln(|x+ 1|) + C

(g)3

4ln(|x− 1|)− 1

2(x− 1)+

1

4ln(|x+ 1|) + C

(h)1

512ln(|x− 3|)− 1

512ln(|x+ 5|) +

1

64(x+ 5)+

1

8× 2× (x+ 5)2+ C

(i)2

27ln(|x− 2|)− 5

9(x− 2)− 2

27ln(|x+ 1|)− 2

9(x+ 1)+ C

P 7.7 (a) − 1

4x4+C (b) ln(|x|)− 1

2ln(x2+1)+C (c) −arctan

x+ln(|x|)− 1

2ln(x2+1)+C

(d) −ecos(x) + C (e)ex

2(sin(x)− cos(x)) + C (f)

1

2(sin(ln(x))x− cos(ln(x))) + C

(g) − cos(ln(x)) + C (h) − ln(|x|)− 1

x+ ln(|x + 1|) + C (i) 2

√x sin(

√x) + 2 cos(

√x) + C

(j)x2

2ln(1+x2)− x

2

2+

1

2ln(1+x2)+C (k) (1+ex) ln(1+ex)−ex+C (l) arctan(ln(|x|))+C

37

(m) −1

4ln(|x−2|)+

1

4ln(|x+2|)+C (n) (1+x) arctan(

√x)−√x+C (o)

1

6arctan

(3x

2

)+C

(p) − 1

2(x2 + 1)+ C (q)

x2

2arctan(x2)− 1

4ln(1 + x4) + C (r) 2e

√x + C

38

P 8.1 (a)2

3(b) 1 (c) 0 (d)

π

2(e) 1 (f) 1 (g) 1 (h)

π

4√

2(i)

π

4√

2

(j)

√2− 1

2√

2(k)

ln(3)

2(l)

1

5(eπ − 1) (m)

2

5(eπ − 1) (n) eπ(π− 1) + 1 (o)

π

4− ln(2)

2

(p)1

5(q)

1

4(r) π

P 8.2 (a) 1, convergente (b) 2, convergente (c) +∞, divergente (d) +∞, divergente

(e) 1, convergente (f) π, convergente (g)1

2, convergente (h)

2

5, convergente

(i) 1, convergente

P 8.3 (a) +∞, divergente (b) +∞, divergente (c) 2, convergente (d) −∞, divergente

(e) −∞, divergente (f) 1, convergente (g) π, convergente (h) e−1, convergente(i) 4, convergente

P 8.4 (a)5

3(b) π (c)

8

3(d)

1

6(e) πr2 (f) πab

P 8.5 α = 3√

6

P 8.6 α = ln(2)

P 8.7 β = e

P 8.8 α =ln(3)

3

P 8.9 α = 6

P 8.10 (a) ecos(x) (b) sin(ln((x+1)(x+1)))−sin(ln(xx)) (c)2x

2 + sin(x2)(d)

eln(x)

2x√

ln(x)

(e)sin(x)

2√x

(f)e(x+1)

(x+ 1)− e−x

x

P 8.11 (a)1

3(b) +∞ (c) 0

P 8.13 (a) (2/3, 1/3) (b) (2/3, 2/3) (c) (2/3, α/3) (d) (3/4, 3/10) (e) (1/2, 2/5) (f) (1 −α

ea − 1, 1

4 (1 + e−α)

P 8.14 (a) A(Rα) = arctan(α) (b) π/2 (c)log(α2 + 1

)2 arctan(α)

P 8.15 (a) A(Rα) ≡ 1 (b) (0, 1/2− α/3) (c) |α| > 3/2

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