folhas práticas RM II 2013-2014 v07

Resistência dos Materiais II 2013/2014

Departamento de Engenharia Civil – Universidade de Coimbra 1

Folha 1 – Deformações em estruturas isostáticas

1. Determine os deslocamentos e as rotações nas secções A, B e C da seguinte viga. Utilize o método da integração da linha elástica.

2. Determine a rotação e a flecha na secção central da seguinte viga.

GPaEINPltransversaSecção

206;200:

radcmyrady

radySolução

CC

BB

AA

3

2

2

1056.7;81.1

1021.1;0

1051.1;0:

GPaEcm

cmIDados

BC

AB

2002

2140:

2

4

radcmySolução

4105;1.4:



3. Utilizando os Teoremas de Mohr, determine a rotação e o deslocamento na extremidade livre das seguintes vigas em consola

i)

4. Na seguinte estrutura, determine na secção B, o deslocamento do seu centro de gravidade e as

rotações à esquerda e à direita.

5. Utilizando a integração da linha elástica e os Teoremas de Mohr, determine a flecha na secção

central C, supondo que a viga AE é de aço (E = 200 GPa) e tem uma secção circular de 30 mm de diâmetro.

GPaEINP

206200

Secção Transversal

ii)

radcmyiiradcmyi

Solução

2

2

1053.1;6.3)1002.1;3.2)

:

EI

EI

EIy

Solução

dirB

esqB

33.363

67.266

67.746:

mmySolução

C 79.6:



6. Determine, para a viga de rigidez constante, EI , a rotação e a flecha em B. Utilize a integração da linha elástica e os Teoremas de Mohr.

7. Para a viga de rigidez EI e o carregamento indicado determine a flecha no ponto médio C.

8. Dada a viga em consola AD, determine a flecha e a rotação na extremidade da viga provocadas pelo binário Mo.

9. Na estrutura representada na figura seguinte, determine o deslocamento vertical da rótula B e a rotação na secção C.

EIpL

EIpLy

Solução

B

B

3

4

48738441

:

EIpLy

Solução

C

4

6403

:

EIaM

EIaMy

Solução

A

A

0

20

6111225

:

GPaEcmI

Dados

2002000

:4

radcmy

Solução

C

B31033.3

33.1:



10. Para a viga e o carregamento indicados determine o deslocamento horizontal do centro de gravidade

da secção C.

11. Determine os deslocamentos em A, B e C da viga representada na figura (E=206 Gpa, I=2140 cm4).

10 kN

A B C

4 m 2 m

GPaEcmI

Dados

2001000

:4

cmySolução

C 25.2:



Folha 2 – Deformações em estruturas hiperestáticas com flexão

1. Determine as reacções de apoio na seguinte estrutura hiperestática, admitindo EI constante.

2. Considere a viga AB encastrada em A e simplesmente apoiada em B. Determine as reacções de apoio e diagramas de esforços.

3. Resolva o problema anterior supondo que o apoio em B é materializado por uma viga de secção transversal rectangular (8 cm 30 cm ), disposta perpendicularmente a AB.

kNVkNVV

Solução

B

CA

5.3725.11

:

GPaEcmhcmb

2102412

Secção Transversal

mkNMkNVkNV

Solução

A

B

A

.75.3375.3325.56:

mBDBC 0.3

mkNMkNVV

kNVSolução

A

DC

A

.8.612.12

6.65:



4. Na estrutura indicada na figura seguinte determine: a) As reacções de apoio. b) Os diagramas de esforços. c) Deslocamento do centro de gravidade da secção B e a rotação da secção C

5. Considere a seguinte estrutura em aço ( GPaE 206 ). Determine as reacções de apoio e trace os diagramas de esforços.

6. Determine para a viga e carregamento indicados, a reacção no apoio A e a flecha no ponto C

42140206

cmIGPaE

.1005.6;89.0)

;37.10;.78.17;63.9):

3 radcmyckNVmkNMkNVa

Solução

CB

CAA

diâmetrodecmcomcircularBDSecçãoINPACSecção

2:180:

;4.53;.4.36;5.46:

kNVmkNMkNVSolução

DAA

44910206

cmIGPaE

mmykNVSolução

CA 62.2;8.24:



7. Calcule as reacções de apoio da seguinte estrutura, em função de EI (constante), desprezando a deformabilidade axial da barra AB.

8. Considere a seguinte estrutura em aço S235, cuja secção transversal é constituída por um perfil INP200. a) Calcule as reacções de apoio, desprezando a deformabilidade axial das barras. b) Determine o deslocamento:

i) da secção da viga AB cujo deslocamento é máximo. ii) da secção C.

kNVmkNM

kNHkNV

Solução

C

A

A

A

87.22.27.114

00.8087.22:

;78.0;47.0)

;60;.40;40;60):

cmycmybkNVmkNMkNHkNVa

Solução

cmáx

CAAA



9. Existe uma folga 0 entre a viga e o apoio B, antes da aplicação da carga concentrada. Sabendo-se que E=200 GPa, determine a dimensão da folga para a qual a reacção em B seja 14,8 kN (para cima), após a aplicação da força de 50 kN.

10. As duas vigas em consola AB e CD têm a mesma rigidez à flexão EI. Determine a flecha no ponto B devida à força P.

0

Secção transversal

mmSolução

57.0:

0

EI

Pay

Solução

B

3

813

:



11. Considere a estrutura apresentada na figura (dimensões em metros). Determine as reacções de apoio, os diagramas de esforços e o deslocamento horizontal do ponto C. O valor da carga distribuída, aplicada em [ABC] com a disposição indicada, é 10 kN/m. Despreze a deformabilidade por alongamento axial para todas as barras. Propriedades mecânicas: Material: E=210 Gpa; Barra [ABC]: I = 5696 cm4.

Q1

A B

C

4

4 3



Folha 3 – Análise elasto-plástica de estruturas à flexão

1. Considere as seguintes estruturas. Calcule as cargas p ou P, para as quais a estrutura entra em colapso (total ou parcial), usando o método estático e o método cinemático. O momento de plastificação é Mp.

2. Trace os diagramas carga-flecha ( P ) para a secção C das estruturas 1a) e 1b).

3. Determine P pelo método estático, sabendo que Mp é o momento plástico da secção.

4. Considere no tramo AB o momento

plástico pM e no tramo BC o momento plástico pM. . Determine o valor de para o qual o colapso se dá simultaneamente nos dois tramos. Use o método estático.

a) b)

d) c)

;964);9.2);8);

816)

:

222 LM

pdL

Mpc

LM

PbL

Mpa

Solução

pppp

LM

P

Solução

p4

:

693.0:

Solução



5. Considerando que para a figura representada I=2140cm2, A=2cm2 e E=200GPa:

a) Determine o esforço axial instalado na biela ao ligar este elemento à viga. b) Calcule o valor que terá de assumir uma carga concentrada, P, aplicada em B para se formar

uma rótula plástica, sabendo que Mp=90kN.m.

2mm

2m

1m 2m

EI

EA

B

1m

C

6. Considere a viga contínua representada na figura. Determine:

a) para 1P , determine os diagramas de esforços usando o Teorema dos Três Momentos.

b) supondo kNm25M pl , calcule o valor de P que provoca o colapso plástico da estrutura e os

diagramas de esforços no colapso.

1 2.5 2.5 2.5 2.5

A B C D E F

5 P 15 P 20 P

7. Considere a viga contínua representada na figura. Calcule a carga de colapso considerando que o

momento de colapso é Mp, utilizando:

a) O método estático;

b) O método cinemático.

L

p

A

L

B C



8. Para a viga contínua representada na figura, calcule a carga de colapso, considerando que o momento

de colapso é Mp, utilizando:

a) O método estático;

b) O método cinemático.

9. A viga apresentada na figura é realizada num material com comportamento elástico perfeitamente-

plástico, tendo momento plástico Mp.

a) Determine os diagramas de esforços em regime elástico usando o Teorema dos Três

Momentos.

b) Para o mecanismo de colapso apresentado na figura, determine a posição exacta da rótula

plástica de momento positivo, e calcule o respectivo valor de pcol;

c) Sem considerar qualquer outro mecanismo, verifique se este é o mecanismo real de colapso.

3 P

A

L/3

B C

L/3 L/3

2 P

D

p

A B C

8 L

p

A

7 L

B C



Folha 4 – Problemas de revisão de flexão

1. Considere a viga contínua representada na figura.

a) Determine os diagramas de esforços para o carregamento p indicado, utilizando o Teorema

dos 3 Momentos.

b) Determine a rotação da secção A para p = 200 kN/m.

c) Determine o valor da carga p que provoca a formação da 1ª rótula plástica.

2. Considere a seguinte estrutura em aço S235 (E = 206 GPa), em que a secção transversal é constituída

por um perfil INP260. Nota: Despreze a deformabilidade axial das barras.

a) Determine os diagramas de esforços da

estrutura em função do carregamento

P.

b) Calcule o deslocamento vertical da

secção C, considerando P = 40 kN.

c) Verifique se há colapso da estrutura

para P = 65 kN.

300275

INPSAço

mkNpcradb

Solução

A

/8.226)1097.6)

:4

.);75.0);2.2;7.0;;3.0):

colapsoháNãoccmybPMPVPHPVaSolução

CAEAA



3. Considere a seguinte estrutura em aço S235 ( GPaE 206 ).

a) Determine as reacções de apoio e os diagramas de esforços. b) Determine o deslocamento e a rotação da secção D.

4. Considere a seguinte estrutura em aço, em que a viga ABCD é constituída por um perfil IPE 400 (I=23130 cm4) e o pilar EB por um perfil HE 400A (I=45070 cm4). Calcule as reacções de apoio e os diagramas de esforços na estrutura. Nota: Despreze a deformabilidade axial do pilar EB.

Secção transversal ABCD

º63.0;75.1);35;110;40;5):

DDCBAA cmybkNVkNVkNHkNVaSolução

;127;72;293

:

kNVkNMkNV

Solução

C

E

E



5. Considere a seguinte estrutura em aço S235 com rigidez de flexão EI constante. Determine as

reacções de apoio e os diagramas de esforços na estrutura.

;.208;120

;28;72

:

mkNMkNH

kNVkNV

Solução

D

D

D

A



Folha 5 – Torção

1. Trace os diagramas de esforços das seguintes estruturas, admitindo mAB 00.3 e mBC 50.1 .

a) º90ˆ CBA

b) º120ˆ CBA c) º60ˆ CBA

2. Suponha que a secção transversal da estrutura 1b) é constituída por dois perfis UPN140 em aço S235.

a) Verifique a sua resistência. b) Determine o deslocamento vertical do ponto C.



3. Dimensione a barra AB submetida a um momento torçor de 50 kNm utilizando aço S235 e as seguintes secções:

a) Secção circular cheia. b) Secção circular oca.

4. Dimensione a seguinte viga em aço S 235 usando um perfil INP. Admita que as secções dos apoios estão impedidas de rodar em torno do eixo da viga. Determine, para o dimensionamento obtido, a rotação da secção C em torno do eixo longitudinal.



5. Considere a estrutura de aço S235 representada na figura, onde se define também a secção transversal

da barra AB.

a) Desenhe os diagramas dos esforços. b) Na secção A e no ponto M indicado determine as tensões actuantes. c) Determine o deslocamento do centro de gravidade da secção B e a sua rotação em torno do

eixo x.

6. Trace os diagramas dos esforços das seguintes estruturas espaciais.

a)




b)

7. Na estrutura de aço S235, representada na figura, todas as barras têm a mesma secção transversal. a) Trace os diagramas dos esforços. b) Determine, na secção A, o valor máximo da tensão normal. c) Ainda na secção A e no ponto M, determine as tensões actuantes. d) Determine a rotação da secção C em torno do eixo y.

mDEBDBC

mAB

60.0

20.1



8. Na estrutura representada, os apoios A e B impedem qualquer rotação em torno do eixo da viga AB.

a) Dimensione a viga AB em aço S275. b) Para a viga dimensionada, calcule a rotação da secção central.

9. Determine o valor máximo da carga p(kN/m) que a estrutura seguinte em aço S235 pode suportar em regime elástico.



10. Na estrutura representada na figura seguinte, o apoio no ponto D impede os deslocamentos e rotações segundo todas as direcções excepto rotações em torno do eixo Oy, enquanto que em A o apoio impede apenas translacções segundo a direcção Oz. Determine: a) As reacções de apoio para o carregamento apresentado. b) Os diagramas de esforços para o carregamento apresentado. c) Considere que a barra [BC] é formada pela secção transversal apresentada na figura; verifique se

o seu dimensionamento está correcto.

50 kN

z

y

x

O 5

4

3

A

B C

D

50 kN 10 kN

240 mm

160 mm

15 mm

Perspectiva geral da estrutura (unidade de comprimento: m) Secção transversal da barra [BC]

11. Considere a estrutura em aço S235 representada na figura. Nos pontos C e D existe apenas uma força vertical de apoio da estrutura [ABCD]. O apoio A impede todas as translacções e as rotações em torno de Oz e Ox. A secção transversal da estrutura [ABCD] é RHS 200×100×4.

a) Usando o Teorema de Castigliano para o cálculo de deslocamentos e desprezando a deformabilidade axial das barras, determine os diagramas de esforços. SUGESTÃO: considere como incógnita hiperestática a força vertical em D.

b) verifique se o dimensionamento da viga [AC] está correcto. A

B

C

D

E

x

y z

O

8.5 kN/m

4

100

200

RHS 200×100×4 (mm) Dimensões: [AB] = [BC] = 2.5m; [BD] = 2m; [CE] = 1m. Propriedades do aço: E = 210 GPa; G = 80 GPa.



12. Considere a estrutura apresentada na figura, onde estão aplicadas as forças Q em B e em C – estas forças têm a mesma intensidade e actuam no plano yOz, fazendo um ângulo de 30º com o eixo Oz, conforme indicado. O valor das forças Q é 10 kN. O apoio no ponto A impede apenas os deslocamentos segundo as direcções Oz e Ox; o apoio no ponto D impede apenas os deslocamentos segundo as direcções Oz e Oy; o apoio no ponto E impede apenas os deslocamentos segundo as direcções Oz e OyBE. O ângulo EB̂C é de 60º. Dimensões: m5BCAB , m2CDBE . a) Determine as equações de equilíbrio seguintes: i) relativa ao eixo Oz que passa por B; ii) relativa

ao eixo Oz que passa por C; iii) de forças segundo Ox; iv) eixo Oy que passa por A; v) eixo Ox

que passa por D; vi) de forças segundo Oz.

b) Para o sistema de equações da alínea a) calcule as reacções de apoio.

c) Determine os diagramas de esforços da estrutura.

d) Supondo que a secção transversal é tubolar oca de diâmetro exterior 140mm e espessura 20mm

e que a estrutura é realizada em aço (E = 210 Gpa, ν = 0.3), determine a tensão de corte máxima

devido ao momento torsor.

Q

Q

30º

30º

60º

yBE

xBE

E

A

B

C

D

x

y z

z

(2º Teste, 2005/2006)



13. Considere a estrutura em aço (E=210 Gpa, G= 80 Gpa) apresentada na figura, contida no plano xOy, e na qual estão aplicadas em B e D as forças Qvert e Qhoriz com os valores 10kN e 5kN, respectivamente. Os apoios nos pontos A, C e E impedem apenas os deslocamentos segundo as direcções indicadas pelas reacções de apoio apresentadas (as reacções HC e HE têm a mesma direcção das barras [BC] e [DE], respectivamente). Os ângulos DB̂C e ED̂B são de 60º. Dimensões:

m3BDAB , m2DEBC . a) Calcule as reacções de apoio. b) Determine os diagramas de esforços da estrutura. c) Supondo que a estrutura é formada por uma secção tubolar oca de diâmetro exterior 90mm e

espessura 10mm, determine a tensão de corte máxima em [BD]. d) Determine o deslocamento vertical da secção D e a rotação da secção A (no plano zOx) usando

o teorema de Castigliano.

60º

HA

VA HC

VC

Qvert

Qhoriz

z

x

y

VE

HE

A

B

C

D E

Qvert

60º Qhoriz

(Exame de época especial, 20/09/2006)



14. Na estrutura representada na figura seguinte, o apoio no ponto C impede os deslocamentos e rotações segundo todas as direcções excepto rotações em torno do eixo Oy, enquanto que em A o apoio impede apenas translações segundo a direcção Oz. Determine: a) As reacções de apoio para o carregamento apresentado. b) Os diagramas de esforços para o carregamento apresentado. c) Considere que a barra [BC] é formada pela secção transversal apresentada na figura; verifique se

o seu dimensionamento está correcto.

50 kN

50 kN

z

y

x

O

2,5

2,5

2

2

1,5 1,5

A

B

C

250 mm

150 mm

10 mm

Perspectiva geral da estrutura (unidade de comprimento: m) Secção transversal em B (barra [BC])

15. Considere a estrutura representada na figura em aço S275. (Exame de Recurso 2007/07/10)

d) Determine as reacções de apoio e os diagramas de esforços. e) Verifique se a adopção de uma secção rectangular ôca 160×80×3.5 é adequada para as barras

[ECD] (apresente todas as verificações aplicáveis, despreze fenómenos de encurvadura e disponha cada barra na posição mais racional).

f) Supondo que a barra [ABC] é realizada por uma secção circular ôca (Ø=150mm, e=3mm), determine o deslocamento vertical de B usando o Teorema de Castigliano.

1 kN

z

y

x

O

1.5 2

B

C D

5 kN

2 kN

3.5

A

2 2 kN

E



16. A estrutura abaixo apresentada ( m4AB , m2BC e m2BD ) é realizada em aço S235 (E=210 GPa, G=80 GPa); sabendo que no apoio A estão impedidas as rotações em torno do eixo Oz:

a) Represente os diagramas de esforços

b) Dimensione a barra [BD] com um perfil INP.

c) Dimensione a barra [AC] com uma associação de dois perfis UNP dispostos na posição mais

eficiente para resistir aos esforços a que estão sujeitos.

d) Calcule o deslocamento vertical da secção D pelo Teorema de Castigliano.

5 kN/m

10 kN

A B

C

D

x

y

z O

(Exame de época normal 2007/06/13)



Folha 6 – Encurvadura

1. Um pilar biarticulado de 3,50 m de comprimento, de aço S 235, é constituído por 2 perfis UPN100, soldados das formas indicadas nas figuras a) e b). Determine a força concentrada que poderá ser aplicada em cada um dos arranjos da figura.

2. Utilizando um perfil HEA dimensione o pilar representado na figura, em aço S235.

3. Resolver o problema anterior supondo impedido o deslocamento da extremidade B segundo x.

a) b)




235SAço

4. Considere a seguinte estrutura triangulada. Dimensione-a em aço S235.

5. Uma coluna em aço S235 com secção transversal rectangular tem um comprimento L e extremidade encastrada em B. A coluna suporta uma carga concentrada na extremidade A. Nesta extremidade existem duas placas lisas de cantos arredondados que impedem esta extremidade de se movimentar em um dos planos verticais de simetria (plano zy), mas não impedem o movimento no outro plano (na direcção z). Determine a relação b

a entre os lados da secção transversal, que corresponde à solução

de projecto mais eficiente relativamente à encurvadura.

6. Na estrutura articulada representada na figura, determine o valor máximo da carga P.

35.0

:

baSolução

kNPSolução

7.37:



7. Uma coluna ABC em aço S235 com 3 m de altura e secção transversal rectangular de dimensões cmcm 85 está travada no plano yz no ponto médio C. Determine o valor máximo da carga P que

poderá suportar.

8. Considere a coluna [ABC] representada na figura, realizada em aço S275 (E=210 GPa), e na qual as ligações entre a coluna e as vigas horizontais são rotuladas. Nos pontos A e B não existe qualquer impedimento a deslocamentos segundo a direcção Oz. O apoio C é rotulado no plano xOy e encastrado no plano yOz. Sendo a coluna realizada num perfil HEB 220 (I1=8091 cm4, I2=2843 cm4, A=91 cm2), determine a máxima força de compressão admissível P.

xglobal

yglobal

4 m

A

B

C

P

4 m

zglobal

kNPSolução

5.267:



Folha 7 - Problemas de Revisão

1. Considere a seguinte estrutura constituída por uma barra ABC horizontal, perpendicular em B, encastrada em A e apoiada em C numa biela vertical.

a) Calcule o deslocamento vertical do ponto B. b) Verifique a segurança de toda a estrutura.

2. Considere a seguinte estrutura em aço S235 ( GPaE 206 ). a) Calcule as reacções de apoio e os diagramas de esforços da estrutura. b) Determine o deslocamento vertical do ponto B.

GPaGGPaE

SAço

80206

235




3. Na viga representada na figura, indique as posições em que deve ser colocada a carga por forma a obter-se: i) O valor absoluto máximo do momento flector na secção A; ii) O valor absoluto máximo do momento flector na secção B; iii) O valor máximo da reacção de apoio em B.

L

A B C

P

L

L

A B C

p

L a)

4. Na viga representada na figura, indique as posições em que deve ser colocada a carga concentrada

por forma a obter-se: i) O valor absoluto máximo do momento flector na secção A; ii) O valor máximo da reacção de apoio em B.

2 L

A B C

P

2 L L L 5. Nas estruturas representadas nas figuras seguintes, as barras têm rigidez de flexão E I; verifique o

Teorema de Maxwell para as coordenadas indicadas.

3 L

A B

C 1

L

2

L/2

A B

1

2

L/2

2

a) b)



6. A secção transversal apresentada na figura é composta por dois materiais (Ga= 15 G, Gb= G), e está aplicado um momento torsor Mt. Determine:

a) A distribuição de tensões tangenciais ao longo da secção; b) A rotação por unidade de comprimento da peça.

100 e

120

e

e 8 e

material a

material b

7. O tabuleiro de uma ponte apresentado na figura é composto por dois materiais (Ga= 6 G, Gb= G), e está submetido a um momento torsor Mt (a cotagem da figura refere-se já à linha média da secção) Desprezando as partes ramificadas, determine:

a) A distribuição de tensões tangenciais ao longo da secção; b) A rotação por unidade de comprimento da peça.

15 e

10 e

e

60 e 10 e 20

e

7 e

15 e 15 e 15 e

material a

material b



8. A secção transversal apresentada na figura 8-a) (a cotagem refere-se às dimensões exteriores) é realizada num material cuja lei constitutiva está apresentada na figura 8-b). Determine a rotação unitária e as tensões tangenciais quando a secção está submetida a um momento torsor igual a MT =2400 e3 y.

10 e

40 e

2 e

20 e e

20 e 10 e

e

y

G0

0.1 G0

1

1

Fig. 8-a) Fig. 8-b)

9. Um de dois parafusos, de classe M5.6 (E=210 GPa, y=300 MPa, u=500 MPa), deve ser escolhido

para suportar uma carga aplicada de forma brusca. Para efectuar a escolha, é necessário determinar a capacidade máxima de absorção de energia, sob a forma de energia de deformação elástica, de cada parafuso. Os parafusos têm as seguintes dimensões:

Parafuso A (rosca reentrante): rosca=0.731 in, lrosca=0.25 in; liso=0.875 in, lliso=2.0 in Parafuso B (rosca saliente): =0.731 in, l=2.25 in

Em ambos os casos, despreze o material saliente na rosca.



10. Para as estruturas seguintes, determine a energia de deformação elástica devido ao momento flector e ao esforço transverso, usando a definição de energia e o Teorema de Clapeyron. Para cada caso, determine o erro cometido quando se despreza a deformação por esforço transverso e considere:

a adopção de perfis IPE200 e HEB200; o comprimento igual a 1m e a 5m.

L

A B

p=5 kN/m

L

A B

p=5 kN/m

a) b)

L

A B

P=30 kN

L/2

A B

P=30 kN

L/2

c) d)

11. Para as estruturas seguintes, determine as reacções de apoio e diagramas de esforços usando o Teorema de Menabrea. Para cada caso, determine o erro cometido quando se despreza a deformação por esforço transverso e considere:

a adopção de perfis IPE200 e HEB200; o comprimento igual a 1m e a 5m.

L

A B

p=5 kN/m

L

A B

p=5 kN/m

a) b)

L/2

A B

P=30 kN

L/2

L/3

A B

P=15 kN

L/3 L/3

P=15 kN

c) d)

12. Usando o Teorema de Menabrea e considerando que as estruturas estão em regime elástico linear,

resolva os problemas 3, 4, 5 e 11 da Folha 2, e os problemas 6, 7 e 8 da Folha 3.



13. Usando o Método Cinemático e o Teorema dos Deslocamentos Virtuais, determine o parâmetro de carga de colapso das estruturas seguintes considerando que as barras têm momento plástico Mp igual para momentos positivos e momentos negativos:

1 2.5 2.5 2.5 2.5

A B C D E F

5 P 15 P 20 P

a)

b) c)

2 L

A B

p

L

C 2 Mp Mp

d)

14. Para as vigas apresentadas na figura e usando o Teorema de Castigliano (na sua forma original),

verifique os valores apresentados das flechas .

a)

L/4

A B

P1

L/4 L/4 L/4

P2 P3

319384

P LEI

quando P1=P2=P3=P

b)

L/4

A B

P1

L/4 L/4 L/4

P2 P3

3196

P LEI

quando P1=P2=P3=P

c)

L

A B

P

313

P LEI



d)

L/2

A B

p

L/2

45384

p LEI

e)

A B

P1

L/3

P2

L/3 L/6 L/6

319384

P LEI

quando P1=P2= P

15. Considere a estrutura hiperestática em aço (E = 210 GPa; G = 80.792 GPa) representada na figura. A

secção transversal da estrutura é a secção RHS 200×100×4 apresentada na figura. Determine os diagramas de esforços na estrutura: a) Usando o Método das Forças e recorrendo ao Teorema de Castigliano para o cálculo de

deslocamentos. b) Usando o Teorema de Menabrea.

A

B

C

D

E

x

y z

O

4 kN

4 kN

0.75 2

2

1

4

100

200

RHS 200×100×4 (mm)

folhas práticas RM II 2013-2014 v07

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