Forças Distribuídas: Momentos de Inérciade Inércia - Forcas Distribuidas... · de 2ª ordem (ou...

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaCentro de Tecnologia

Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil

Disciplina: Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 Mecânica dos Sólidos 1 CódigoCódigo ECIV018ECIV018Código: Código: ECIV018ECIV018Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages

Forças Distribuídas: Momentos Forças Distribuídas: Momentos de Inérciade Inérciade Inérciade Inércia

Maceió/ALMaceió/AL

MotivaçãoMotivaçãoM

MotivaçãoMotivação

Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas

dA

y M

dA y kdF =y

xy

∫= dFR ∫=A

kydA ∫=A

ydAk

xkQ= Ayk= 0= 0y =

∫= ydFM ∫=A

2dAky ∫=A

2dAy k

MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação

Flexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigasFlexão em vigas

1 2

ConsumindoConsumindo--se um se um mesmomesmo volume de material, é volume de material, é possívelpossível modificarmodificar a a rigidezrigidez à à flexãoflexão da da estruturaestrutura..

MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação

Pressão sobre comportasPressão sobre comportasx

Pressão sobre comportasPressão sobre comportas

∫= dFR ∫ γ= ydA ∫γ= ydA

dAdF γ

A A

xQγ= Ay γ=

dAydF γ=

y

dA

∫= ydFM ∫ γ=A

2dAy ∫γ=A

2dAy A A

Momento de Inércia ou Momento de Inércia ou Momento de 2ª OrdemMomento de 2ª Ordem

y

Momento de 2 OrdemMomento de 2 Ordemy

y dAMomento de inércia ou de 2a

ordem em relação ao eixo xy

∫=A

2x dAyI

xx

A

Momento de inércia ou de 2ax

∫= 2y dAxI

ordem em relação ao eixo y

∫A

y

Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração

∫= dAyI 2 ∫= dAxI 2∫= dAyIx ∫= dAxIy

Em princípio, para quantificação dos momentos p p , p q çde 2ª ordem (ou momentos de inércia), esses são calculados a partir de integrais duplas no d míni p s nt ti d iã st d d domínio representativo da região estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de área dA de acordo com a r r mconveniência das coordenadas

de descrição da região dtratada.

Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla

( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=

d∫= dAyI 2

xy dA=dxdy ∫ ∫=

d

c

b

a

2dxdyyd

dxdy

c

[ ]∫=d

ba

2 dyxy ( )∫ −=d

2dyyab

b

c

ax

c c

( )d3yab ⎥⎤

⎢⎡

−=ba ( )c3 ⎥⎦

⎢⎣

( )( )cdab 33 −−( )( )3

cdab =

Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla

( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=

Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla

d∫= dAxI 2

yy dA=dxdy ∫ ∫=

d

c

b

a

2dxdyxd

dxdy

c

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

d b3

dy3x

∫−

=d 33

dy3

ab

b

c

ax

⎦⎣c a3 c 3d33

yab⎥⎤

⎢⎡ −

=ba

c

y3 ⎥

⎦⎢⎣

( )( )cdab 33( )( )3

cdab −−=


( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x

aby0 e ax0|yx, D


b ∫ dAyI 2

y

∫ ∫a x

ab

2dydxy

⎭⎩ a

dA=dxdyb ∫= dAyIx ∫ ∫=

0 0

dydxy

⎤⎡a xb3 a 3d

ax ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

a

0

xa

0

3

dx3y

∫=a

0

33

3

dxxa3bdx

dy

aa4

3

3

4x

3ab

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

12ab

3

=043a ⎦⎣ 12


( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x

aby0 e ax0|yx, D


b ∫ dAxI 2

y

∫ ∫a x

ab

2dydxx

⎭⎩ a

dA=dxdyb ∫= dAxIy ∫ ∫=

0 0

dydxx

[ ]a b a bd

ax

[ ]∫=0

xa0

2 dxyx ∫=0

3dxxab

dxdy

aa4

4x

ab

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4ba

3

=04a ⎦⎣ 4

Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Figuras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas ComunsFiguras Geométricas Comuns

Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias

∫= dAyI 2 ∫= eldI

Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias

∫= dAyIx

∫= dAxI 2y

∫ xdI

∫= elydI

A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo momento de inércia já é conhecido inércia já é conhecido.

Determinação dos Momentos de Determinação dos Momentos de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias

y


y

∫= dAyI 2x ∫= el

xdI(x,y(x))

∫=b

a

3

dx3

y(x)

a bdx ∫= dAxI 2y ∫= el

ydIx

∫y

∫=b

2y(x)dxx

∫ y

dx3

)x(ydI3

elx =

dx)x(yxdI 2el = adx)x(yxdIy =

Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração

ExemploExemplo::ppDetermine por integração os momentos de inércia da superfície

3ahk =

de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h.

a a

h3kx)x(y =

h

Determinação dos Momentos Determinação dos Momentos de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração

ExemploExemplo (continuação):(continuação):I ∫ ∫

a h2d d

de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãopp ( ç )( ç )

Por integração dupla=xI

⎤⎡a h3

∫ ∫0 x

ah

2

33

dydxy

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

a

0 xah

3

dx3y

33

⎞⎛a 33

a

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

a

0

99

33

dxx3ah

3h

a⎤⎡

hdxdxdydy

a

0

10

9

33

10x

3ahx

3h

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

3

33 x

ah)x(y =

10ah3

3

=( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx

ah e ax0|yx, D 3

3


∫ ∫a h

2dydxxExemploExemplo (continuação):(continuação): =I

de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração

∫ ∫0 x

ah 33

dydxxpp ( ç )( ç )Por integração dupla (cont.)

=yI

[ ]∫=a

0

hx

ah2 dxyx 33a

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

a

0

53

2 dxxahhx

hdxdxdydy

a

0

6

3

3

6x

ah

3hx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

33 x

ah)x(y =

6ha

3

=( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx

ah e ax0|yx, D 3

3


ExemploExemplo (continuação):(continuação):


Por integração de fatias ∫= xx dII

⎤⎡a 33

a ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

a

0

33

dx3

)x(y3h

⎤⎡a 933 hh

h∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

a

09

933

dxa3xh

3h

a⎤⎡

33 x

ah)x(y =

a

09

1033

a30xh

3xh

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

3

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx

ah e ax0|yx, D 3

3 10ah3

3

=




Por integração de fatias ∫= yy dIIa

a [ ]∫ −=a

0

2 dx)x(yhx

⎞⎛a h

h∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

0

33

2 dxxahhx

a63 hh ⎤⎡3

3 xah)x(y =

03

63

a6hx

3hx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

h3

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx

ah e ax0|yx, D 3

3 6ha

3

=


ExemploExemplo (continuação):(continuação):∫


Por integração de fatias ∫= xx dII

∫=h

2 dy)y(xya

∫=0

dy)y(xy

∫h 3

7

dy

hh3

1

hya)y(x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫=0 3

1 dyh

ya

h3

10y3 ⎤⎡

33 x

ah)x(y =

⎠⎝

03

1

3

h

y103a

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

3( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤≤≤≤=

31

hyax0 e hy0|yx, D

3ah103 =




Por integração de fatias ∫= yy dII

∫=h 3

dy)y(x

a∫=0

dy3

∫h 3

dyya

hh3

1

hya)y(x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫=0

dyh3y

h23ya⎥⎤

⎢⎡

33 x

ah)x(y =

⎠⎝

0h6y⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ha3

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤≤≤≤=

31

hyax0 e hy0|yx, D 6

ha =

Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia

y

Momento Polar de InérciaMomento Polar de Inércia

∫= 20 dArJ

y

y dA Ay dA

r

xx0

Presente no estudo de Presente no estudo de barras sob torçãobarras sob torção

x

Momento Polar de Inércia Momento Polar de Inércia e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inércia

y

e os Momentos de Inérciae os Momentos de Inérciay

y dA

222 xyr +=

y dA

r ( )∫ += 220 dAxyJ

xx0

( )∫A

0 y

∫∫ += 220 dAxdAyJx ∫∫ +

AA0 dAxdAyJ

0 IIJ += yx0 IIJ +

Raios de GiraçãoRaios de Giraçãoy

Raios de GiraçãoRaios de Giração

∫ 2dAI

y dA

∫=A

2x dAyI

y dA

r∫=A

2y dAxI

xx0 ∫=A

20 dArJ

x

Cada Cada raio de giraçãoraio de giração representa a distância ao representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode

A

eixo ou ponto correspondente na qual se pode eixo ou ponto correspondente na qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se tenha o mesmo momento de inércia.modo que se tenha o mesmo momento de inércia.

Raios de Giração Raios de Giração kkxxRaios de Giração Raios de Giração kkxxy

∫ 2

y dA∫=A

2x dAyI

x0

r

Axx0 Ay

=xI Ak2x

xkx

x0 AIk x

x =

Raios de Giração Raios de Giração kkyyRaios de Giração Raios de Giração kkyyy

∫ 2

y dA∫=A

2y dAxI

x0

r

Axx0 Ay

=yI Ak2y

yk

x0 AI

k yy =

Raios de Giração kRaios de Giração k00Raios de Giração kRaios de Giração k00y

∫ 2

y dA∫=A

20 dArJ

x0

r

Axx0

y=0J Ak2

0

0kx0

AJk 0

0 =

Teorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos ParalelosTeorema dos Eixos Paralelos

∫ 2dAIdA

∫ 2dAYCCC C

y ∫A

2dAy=CCI

=I

CEdyY +=

∫A

dAYCCY

dCE

=EEI

( )∫ += 2CEEE dAdyI

E E

( )∫ ++= 2CECE

2 dAdyd2y∫A

( )∫A

∫∫∫ ++=A

2CE

ACE

A

2 dAdydAd2dAy

AdII 2CECCEE +=

AAA

AdQd2I 2CECCCECC ++=

0

Momentos de Inércia de Momentos de Inércia de Superfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies CompostasSuperfícies Compostas

Quando se estiver interessado nos momentos de i é i d iõ ã id tifi d inércia de regiões que são identificadas como

composições de regiões elementares, aplicam-se essas composições nas avaliações das integrais p g

referentes às propriedades desejadas.

∫+

=21 AA

2x dAyI

Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de Inércia

ExemploExemplo::ppDetermine os momentos de inércia da superfície mostrada em relação aos eixos centroidais paralelo e perpendicular ao lado ABao lado AB.

Momentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaMomentos de InérciaExemploExemplo (continuação):(continuação):

Determinação do centróide

d C Eixo de Eixo de simetriasimetria

( ) 90455279075135135904575135d ⋅⎟⎞

⎜⎛ +⎟

⎞⎜⎛ ⋅

= -( )

25,27

375135

2275135d ⋅⎟

⎠⎜⎝

+−⋅⋅=⎟⎠

⎜⎝

−⋅

mm 70d =


Determinação dos momentos de inércia

70 mmy

xC

= - -= -

1 2 3


Determinação dos momentos de inércia Ix

=xI 75135 3⋅ 5,2290 3⋅−

125,2290 3⋅

−

4x mm 4575234,4I =

x 12 12 12


Determinação dos momentos de inércia Iy

⎤⎡ ⎞⎛ 13513575 23

=yI ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⋅ 135752

135701213575 3

⎪⎬⎫⎪

⎨⎧

⎥⎤

⎢⎡ ⋅

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ +−+

⋅−

905,225,279070905,22223

4y mm 14212968,8I =

⎪⎭⎬

⎪⎩⎨ ⎥⎦⎢⎣⎥

⎦⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

++2

5,273

7036

2

Produto de InérciaProduto de Inérciay

Produto de InérciaProduto de Inércia

y dA ∫=A

xy xydAI

MFlexão retaFlexão reta

xxM

Flexão oblíquaFlexão oblíqua

Quando pelo menos um dos eixos cartesianos é de simetria, o produto de inércia é nulo.

Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por IntegraçãoInércia por Integração

∫= xydAI ∫= xydAIxy

Em princípio, para quantificação do produto de p p , p q ç pinércia, esse é calculado a partir de integral dupla no domínio representativo da região st d d nd s d s l m nt estudada, onde se deve escrever o elemento

infinitesimal de área dA de acordo com a conveniência das coordenadas

de descrição da região tratada.

Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla

( ){ }dyc e bxa|yx, D ≤≤≤≤=

d∫= xydAIxy

y dA=dxdy ∫ ∫=d

c

b

a

xydxdyd

dxdy

c a

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

d b2

dyy2x

∫−

=d 22

ydy2

ab

b

c

ax

∫⎦⎣c a2 ∫

c 2

( ) d222 yab⎥⎤

⎢⎡ −

=

Neste caso, igual ao produto da área do

ba

c4 ⎥⎦

⎢⎣

=

( )( )cdab 2222produto da área do retângulo pelas coordenadas do

centróide do mesmo.

( )( )4

cdab −−=

Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração DuplaInércia por Integração Dupla

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= x

aby0 e ax0|yx, D


b ∫= xydAIxy

y

∫ ∫=a x

ab

xydydx

⎭⎩ a

dA=dxdyb ∫y ∫ ∫

0 0

∫⎤⎡a x

ab

2xy∫a

32bd

ax

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0 0

dx2

xy∫=0

32 dxx

a2b

a2 ⎤⎡ 22

dxdy

a a

0

42

2

x8ab

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8ba

22

=

Em geral, não é igual ao produto da área pelas coordenadas do centróide da mesma.

Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias

∫ xydAI ∫ eldI


∫= xydAIxy ∫= xydI

A idéia desta sistemática é considerar que a região de interesse é formada pela composição de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regiões cujo produto de inércia já é conhecido inércia já é conhecido.

Determinação do Produto de Determinação do Produto de Inércia por Integração de FatiasInércia por Integração de Fatias

y


y

∫= xydAIxy ∫= elxydI

(x,y(x))

∫=b

a

2

dx2

y(x)x

a bdxx

dx2

)x(yxdI2

elxy =

Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integraçãode Inércia por Integração

ExemploExemplo::ppDetermine por integração o produto de inércia da superfície

3ahk =

inércia da superfície mostrada em relação aos eixos coordenados em termos de a e h.

a a

h3kx)x(y =

h

Determinação do Produto Determinação do Produto de Inércia por Integraçãode Inércia por Integração

ExemploExemplo (continuação):(continuação):I ∫ ∫

a h

d d


Por integração dupla=xyI

⎤⎡a h2

∫ ∫0 x

ah 33

xydydx

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

a

0 xah

2

dx2yx

33

⎞⎛a 722

a

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

a

06

722

dx2a

xh2xh

a⎤⎡

hdxdxdydy

a

06

8222

16axh

4xh

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

22

33 x

ah)x(y =

16ha3

22

=( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx

ah e ax0|yx, D 3

3




Por integração de fatias ∫= xyxy dIIa

a [ ]∫ −=a

0

22 dx2x)x(yh

⎤⎡a 722 hh

h∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

a

06

722

dxa2xh

2xh

a8222 ⎤⎡3

3 xah)x(y =

a

06

8222

a16xh

4xh

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

22

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤≤≤= hyx

ah e ax0|yx, D 3

3 16ha3

22

=




Por integração de fatias ∫= xyxy dII

∫=h 2

dyy)y(x

a∫=0

dy2

∫h 3

52

dya

hh3

1

hya)y(x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∫=0 3

2 dyh2

y

h3

82ya3 ⎤⎡3

3 xah)x(y =

⎠⎝

03

2

3

h16

ya3⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

22

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤≤≤≤=

31

hyax0 e hy0|yx, D 16

ha3 22

=

Teorema dos Eixos Paralelos Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inérciapara o Produto de Inércia

∫ ′′ dAyx=′′yxI

para o Produto de Inérciapara o Produto de Inérciay'y

dA

∫ xydAx'

y'

∫A

yyx

=xyIxx'

xxx′+′=

∫A

xy

CCy

x

( )( )∫ +′+′=xy dAyyxxI

yyy +′=x

( )∫ +′+′+′′= dAyxyxyxyx( )( )∫A

xy yy ( )∫A

yyyy

∫∫∫∫ +′+′+′′=AAAA

dAyxdAyxdAxydAyx

AyxII yxxy += ′′

AAAA

AyxQxQyI xyyx +++= ′′′′

0 0

Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia PrincipaisInércia Principais

y

dAy

dA

∫

∫A

2dAy=xI

∫

∫ ′A

2dAy=′xI

∫ xydA ∫ ′′ dAyx=′′I=I

∫A

2dAx=yI ∫ ′A

2dAx=′yI

θ+θ−=′θ+θ=′ cosysinxy e sinycosxx

∫A

xydA ∫A

dAyx′′yxIxyIxx

θ

θ−θ+θ=′ 2sinIsinIcosII xy2

y2

xx

θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2

y2

xy yyy

θ+θ−

=′′ 2cosI2sin2

III xy

yxyx



y2

xx

θ+θ+θ=′ 2sinIcosIsinII xy2

y2

xy yyy

θ+θ−

=′′ 2cosI2sin2

III xy

yxyx0

A soma dos momentos de inércia independe do ângulo de giro do sistema de referência, ou seja,

IIII +=+ J=yxyx IIII +=+ ′′

Isso é fato pois a soma dos momentos de inércia leva ao momento polar de inércia, que depende apenas do ponto referenteà origem do sistema de referência que não foi modificado

0J=

à origem do sistema de referência, que não foi modificado.Vamos fazer uso dessa identidade para estabelecer Iy’sem fazer uso da expressão que depende do ângulo θ.



y2

xx

IIθ+θ

−=′′ 2cosI2sin

2II

I xyyx

yx

As equações de Ix’ e Ix’y’ definem parametricamente uma circunferência para parametricamente uma circunferência para um sistema de coordenadas retangulares com Ix’ de abscissa e Ix’y’ de ordenada, para um

l d d d valor dado de θ.


I ( )yxI ′′

xyIθ2

( )yxx I,I ′′′


y2

xx xI ′I

yIR

θ2

Iθ+θ

−=′′ 2cosI2sin

2II

I xyyx

yx

xI

xyI−

medI

JII + 2II ⎞⎛ −2J

2II

I 0yxmed =

+= 2

xyyx I

2II

R +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=e


yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′

I

xyI

Rθ2

2J

2II

I 0yxmed =

+=

xI ′

xI

yI

medI

22

2xy

2yx I

2II

R +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

AB

xyI−xy2 ⎟

⎠⎜⎝

Os pontos A e B são os que apresentam, respectivamente, o maior e o menor valor do momento de inércia, também denominados momentos principais

d i é i d d de inércia, dados por

RII RII medminmedmax −=+= e


yxI ′′ ( )yxx I,I ′′′

I

xyI

Rθ2

2J

2II

I 0yxmed =

+=

xI ′

xI

yI

medI

22

2xy

2yx I

2II

R +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

AB

xyI−xy2 ⎟

⎠⎜⎝

Ainda em relação aos pontos A e B, o produto de inércia é nulo, o que permite determinar as orientações dos eixos principais de inércia

02cosI2sin2

II 0I mxym

yxyx =θ+θ

−∴=′′

yx

xym II

I22tan

−−=θ

Eixos e Momentos de Eixos e Momentos de Inércia PrincipaisInércia Principais

ExemploExemplo::

Inércia PrincipaisInércia Principais

mmpp

Para a cantoneira em L mostrada, determine a

i ã d i

12,5

m

orientação dos eixos centroidais e principais de inércia, bem como os respectivos valores do momento de inércia.

125

mm

1

75 mm12,5 mm



Inércia PrincipaisInércia Principaispp ( ç )( ç )

12,5

mm

y mm75,18x =( ) 69,3417963,9765x25,7815,1562 +=+

mm 1 mm 75,43y =

( ) 81,488225,97656y25,7815,1562 +=+

125

m

12,5 mmx

2 4x mm 95,3692626I =

34,110880561,2583821Ix +=

4074259468264485I +75 mmx

4y mm 08,1007080I =

40,74259468,264485Iy +=

8873242194366210I4

yx mm 81,1098632I −=

88,73242194,366210I yx −−=




2,5

mm

y

4x mm 95,3692626I =

4081007080I

m12y 4

y mm08,1007080I =4

yx mm 81,1098632I −=y

4522349853I

125

mm

12 5

xC (18,75;43,75)mm

4med mm52,2349853I =

4mm 12,1734945R =4mm634084798I =

75 mm12,5 mmx

max mm63,4084798I =4

min mm 40,614908I =o6,19=θmax 6,19θ

omin 6,109=θ




4x mm 95,3692626I =

4081007080I2,5

mm

y 4y mm08,1007080I =

4yx mm 81,1098632I −=

4634084798Im12y

y

4max mm63,4084798I =

4min mm 40,614908I =

o619θ

125

mm

12 5

xC (18,75;43,75)mm

19,6º

omax 6,19=θ

omin 6,109=θ75 mm

12,5 mmx

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