Forma Integral das Equações Básicas para Volume de Controle

Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP

Forma Integral das Equações Básicas para Volume de Controle

• fluidos são capazes de distorção e de deformação contínua, assim é difícil de identificar e acompanhar certa massa de fluido

• na prática, muitas vezes estamos interessados no efeito do movimento do fluido em alguma máquina de fluxo (bombas, turbinas, compressores, etc.), num motor de combustão interna, ou numa estrutura (tubulações, bocais, asas de aeroplanos, aerofólios de carros de corrida, etc.), entre outros, e não no movimento da massa fluida em si.

Assim, muitas vezes é mais conveniente aplicar as leis básicas a um volume fixo de espaço, ao invés de a uma massa fixa e definida de fluido.

Formulação para sistema vs

Formulação para volume de controle:


As leis Básicas do Sistema (em termos de taxa de variação de uma propriedade extensiva)

1- Conservação da massa:

“A massa, M, de um sistema é constante”

VddmM

dt

dM

sistemaVsistemamassa

sistema

sistema

)( )(

:onde

0

2- Segunda Lei de Newton:

“Para um sistema movendo-se relativo a um referencial inercial, a soma de todas as forças externas atuando no

sistema é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear do sistema com o tempo”

VdVdmVP

P

dt

PdF


sistema

sistema

)( )(

linear movimento de quantidade a é onde

,


3- Primeira Lei da Termodinâmica

“Lei da conservação da energia de um sistema”

gzVue

VdeedmE

dtdEWQ

dEWQ


sistema

sistema

2 :onde

:por dada é sistema do totalenergia a onde

: taxade equação como

,

2

)( )(


Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação do Volume de Controle

N: qualquer propriedade extensiva do sistema

: propriedade intensiva (por unidade de massa) do sistema

Assim:

)( )( sistemaVsistemamassa

sistema VddmN

Portanto:

eEN

VPN

MN

então ,

então ,

1 então ,


Passagem da formulação de Sistema à Formulação de Volume

de Controle (V.C.)

• Como massa cruza as fronteiras do volume de controle, variações no tempo da propriedade extensiva N associadas ao V.C. envolvem o fluxo de massa e as propriedades transportadas (por convecção) pelo fluxo de massa.

• Uma forma conveniente de levar em conta o fluxo de massa é aplicar um processo limite envolvendo um sistema e um volume de controle coincidentes em um certo instante.

• A equação final relaciona a taxa de variação da propriedade extensiva arbitrária, N, para um sistema com as variações no tempo dessa propriedade associadas com um volume de controle.


DERIVAÇÃOConfiguração do sistema e do volume de controle

(Quadro negro)


Vista ampliada da sub-região (3)

Cont.

(Quadro negro)


Vista ampliada da sub-região (1)

Cont.

(Quadro negro)


Teorema do Transporte de Reynolds: “Relação fundamental entre a taxa de variação de

qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema e as variações dessa propriedade associadas

com um volume de controle”

SCCVsistema

AdVVdtdt

dN

- O Teorema do transporte de Reynolds foi deduzido no instante em que o sistema e o volume de controle coincidem; isto é verdade pois quando Δt → 0 o sistema e o volume de controle ocupam o mesmo volume e tem as mesmas fronteiras.

- Esta formulação é válida para volume de controle fixo e não deformável.

(1)


é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do sistema

:sistemadt

dN

:

CV

Vdt

é a taxa de variação no tempo da propriedade extensiva arbitrária, N, dentro do volume de controle:

• η é a propriedade intensiva correspondente a N (por unidade de massa)

• é um elemento de massa contido no volume de controle

• é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida dentro do volume de controle

Vd

VdCV

Interpretação Física

SC

AdV :

é a taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da superfície de controle:

• é a taxa de fluxo de massa através do elemento de área por unidade de tempo

• é a taxa de fluxo da propriedade extensiva N através da área

AdV

Ad

AdV

Ad


Avaliação da integral de superfície do Teorema do Transporte para o caso especial do Escoamento Uniforme

• Escoamento uniforme numa seção implica que as propriedades e velocidade são constantes sobre toda a área da seção.

Supondo que na seção: ρ é constante e η é um escalar e é constante na seção transversal:

nnnnnn

A

AVAVAdVn

(Quadro negro)

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