FORMA POLAR DE UM RADICAL (INTRODUÇÃO)

Neste texto faremos uma abordagem sobre como transformar um radical do tipo: a ±√b na forma polar. Como o número r=a±√b é real, usaremos a trigonometria hiperbólica para obter a sua forma polar.

A trigonometria hiperbólica é baseada em uma hipérbole equilátera cuja equação é do tipo: x2− y2=1 e cujo gráfico é mostrado a seguir:

Figura 01: Hipérbole equilátera, centrada na origem.

Tomando um ponto A qualquer sobre a curva desta equação, podemos obter as projeções ortogonais nos eixos “x” e “y” e seus respectivos valores, de acordo com figura abaixo:

Figura 02: Projeções do segmento AO sobre os eixos coordenados

Na trigonometria hiperbólica, define-se:

senh β= eβ−e−β

2 (I)

cos h β= e β+e−β

2 (II)

(cos h α )2−(sinh α)2=1 (Relação fundamental) (III)

Como a equação da curva é x2− y2=1, tomemos x=cos h β ( IV ) e y=sinh β (V ) . De acordo com a figura, o valor do segmento azul (projeção do segmento OA sobre o eixo das abscissas) pode ser obtido pela seguinte relação trigonométrica:

x=cos α ×√x2+ y2 (VI)

Analogamente, o valor do segmento em vermelho (projeção do segmento OA sobre o eixo das ordenadas) pode ser obtido pela seguinte relação trigonométrica:

y=senα ×√ x2+ y2 (VII)

Observação: Note que os ângulos α e β são diferentes, pois o segundo é o ângulo hiperbólico, já o primeiro é o ângulo formado pelo segmento OA com o eixo horizontal do plano cartesiano.

a) Relação entre os ângulos α e β:

De acordo com as relações (II), (IV) e (VI), temos que:

cos h β= e β+e−β

2 (II)

x=cos h β (IV)

x=cos α ×√x2+ y2 (VI)

Igualando as três relações, obtemos que:

eβ+e−β

2=cos α ×√x2+ y2

Isolando o valor de cos α, temos que:

cos α= eβ+e−β

2√ x2+ y2 (VII)

Como x2− y2=1, então:

x2= y2+1

Somando x2 aos dois membros da equação, temos:

x2+ x2=x2+ y2+1

Daí:

x2+ y2=2 x2−1

Substituindo em VII, vem:

cos α= eβ+e−β

2√2 x2−1

Analogamente, podemos obter uma fórmula similar com a outra relação trigonométrica:

senα= e β−e−β

2√2 y2−1

Utilizando a trigonometria hiperbólica, é possível transformar qualquer radical da forma a ±√b em uma forma “polar”, utilizando as próprias funções trigonométricas hiperbólicas. Para tal feito, iremos definir a norma do radical

r=a±√b como sendo τ=√a2−b. Além disso, vamos definir os seguintes

quocientes:

x= a

√a2−b

y= √b

√a2−b

Observe que as duas relações satisfaz: x2− y2=1. Assim, podemos dizer que:

cos h β= a

√a2−b

senh β= √b

√a2−b

Como r=a±√b , podemos dividir os dois membros desta equação por √a2−b:

r=a±√b r

√a2−b= a

√a2−b± √b

√a2−b

Daí:

r

√a2−b=cosh β ± senh β

Isolando “r”, obtemos finalmente a expressão polar para o referido radical:

r=√a2−b (cosh β ± senh β )

Ou simplesmente:

a ±√b=τ (cos h β ± se nh β)

Onde:

cos h β= a

√a2−b

senh β= √b

√a2−b

τ=√a2−b

RAÍZES ENÉSIMAS DE R

Neste tópico iremos determinar uma expressão polar para as raízes enésimas de r, ou seja:

n√r= n√a ±√bBaseada na fómula de Moivre dos números complexos, pode-se demonstrar que:

n√r= n√a ±√b=n√τ [coshβn

± senhβn]

Ou simplesmente:

n√a±√b=2 n√a2−b[coshβn

± senhβn]

Onde:

β=arcCosh( a

√a2−b ) Ou:

β=arcCosh( √b

√a2−b ) Este procedimento faz com que todo radical escrito na forma n√a±√b pode ser

decomposto em uma soma de radicais simples. Observe os exemplos abaixo:

Exemplo 01: Determine o valor de x=3√9√3+11√2 e escreva o resultado na

forma polar.

Solução:Seja r=a±√b.Observe que:

a=9√3

√b=11√2→ b=242Cálculo da norma de r:

τ=√a2−b=√1=1

Cálculo de β :

β=arcCosh( a

√a2−b )=arcCosh ( 9√3 )=3,438647504

Cálculo da raiz:

3√r= 3√9√3+11√2= 3√1[cosh3,438647504

3+se nh

3,4386475043

]

Portanto, a fórmula polar de x=3√9√3+11√2 é:

x=3√9√3+11√2=3√1[cosh(1,146215835)+senh (1,146215835)]

Forma algébrica de “x”:

cos h (1,146215835 )=√3

senh(1,146215835)=√2Portanto:

x=√3+√2