Formação de Imagem - Sampling

www.dca.ufrn.br/~lmarcos/courses/visao

Visão adquirindo imagem

Visão - Formação de Imagem• Energia de uma fonte de luz é radiada

uniformemente em 4 radianos• Irradiância é a soma de toda a luz incidente na

imagem• Reflexão pode ser difusa ou especular, depende da

superfície e comprimento de onda da luz• Superfície que reflete energia eletro-magnética

modula o conteúdo do espectro, intensidade e polarização da luz incidente

• Função da intensidade radiante é projetada no plano imagem 2D, espacialmente amostrada e digitalizada a 30 fps.

Formação da imagem

• Geometria da câmera (lentes finas)– equação fundamental 1 /Z´ + 1/z´ = 1/f

• Radiometria E(p) = f(L(P))– reflexão Lambertiana L=Itn (I transposto)– ângulo sólido = A cos / r2

– equação fundamental E(p) = L(p) /4 (d/f)2 cos4

Formação Geométrica da Imagem

• Relação entre a posição dos pontos da cena com a imagem

• Câmera perspectiva

• Câmera com fraca perspectiva

Modelo perspectivo ideal

P

p

O

P

O o P1

p

p1

y x

z

yx

z

Plano imagem

Plano imagemf

f

oP1p1

Modelo ideal

Inversão de Percepção

• “Se estímulos sensoriais são produzidos de um único modo pelo mundo, então como deveria ser o mundo para produzir este estímulo?”

estimulo = f(mundo)

mundo = f-1(estímulo)

• As funções f() são apenas parcialmente conhecidas e f-1(), inversa de f não é bem condicionada (não se comporta direito).

Conhecimento e Experiência

• Adquire-se através da associação de dados sensoriais de forma eficiente

• Conseguem preencher espaços inacessíveis pelo processo de formação de imagens

• Engana o cérebro

Representação matricial

Imagem e seu gráfico

Reconstrução – Amostragem Espacial

Amostragem - resolução espacial• Variação da amostragem no espaço

– imagens com diferentes resoluções (pixels cobrem áreas diferentes)

Amostragem - quantização

• Variação da amostragem pela quantização– número de níveis de intensidade para cada pixel

varia de uma imagem para outra

Amostragem - quantização

Amostragem - quantização

Amostragem - quantização

Amostragem-resolução temporal

• Variação da amostragem no tempo– tempo de amostragem do sensor é diferente– usando sistemas de aquisição diferentes

• Influencia qualidade final de cada pixel

Propriedades espaciais

• Delta de dirac

• Esta função tem as seguintes propriedades:

Sifting property

Comentários

• A primeira propriedade sugere um tipo de máscara infinitesimal que amostra a imagem precisamente na posição (x,y)

• A segunda propriedade é conhecida como “Sifting property”.

Funções especiais

• Dirac delta (x)=0,x0

lim0 - (x)dx = 1

• Sifting property - f(x´)(x-x´)dx´=f(x)

• Scale (ax) = (x)/|a|

• Delta de Kronecker (n)=0, n0

(n)=1, n=0

• Sifting property m=- f(m)(n-m) =f(n)

Transformada de Fourier

• onde u,v é a freqüência espacial em ciclos por pixel , de modo que quando x é especificado em pixels, 2(ux+vy) é em radianos, e i=-1

Pares transformados

Pares de transformadas

Propriedade: freqüência espacial• Se f(x,y) é a luminância e x,y as

coordenadas espaciais, então 1 e 2 (ou u,v) são as freqüências espaciais que representam a mudança de luminância com respeito às distâncias espaciais. As unidades 1 e 2 (ou u,v) são recíprocas de x e y respectivamente.

• Algumas vezes as coordenadas x,y são normalizadas pela distância de visualização da imagem f(x,y). Então as unidades 1 e 2 (u,v) são dadas em ciclos por grau (do ângulo de visualização), ou por pixel.

Propriedade: unicidade

• Para funções contínuas, f(x,y) e F(1,2) são únicas com respeito uma à outra.

• Não há perda de informação se for preservada a transformada ao invés da função

Propriedade: separabilidade• O kernel da transformada de Fourier é separável,

de modo que ela pode ser escrita como uma transformação separável em x e y.

F(1,2)=f(x,y)exp(-i2x1)dxexp(-i2y2)dy

• Isso significa que a transformação 2D pode ser realizada por uma sucessão de duas transformações unidimensionais, ao longo de cada uma das coordenadas.

Teorema do deslocamento

De modo que

Convolução

• A convolução de duas funções f e g

• onde é uma variável de integração

Teorema da convolução

então

Teorema da amostragem

• Seja F()= transformada de Fourier de uma função f(t), com t(-,+ ). Assumimos que f é limitada em banda, isto é, F()= 0, para ||>c>0.

• Então, podemos formular o teorema da amostragem.

Teorema da amostragem

• A função f pode ser reconstruída exatamente para todo t(-,+ ), a partir de uma seqüência de amostras eqüidistantes fn=f(n/c), de acordo com a seguinte formula:

f(t)=-fn sin(ct-n)/(ct-n) =

-fn sinc(ct-n)

Aliasing• Uma função contínua no espaço f(x) é

amostrada pelo cálculo do produto de f(x) por g(x), uma seqüência infinita de deltas de Dirac

• Queremos determinar os efeitos da função de amostragem na energia espectral em f(x)

Aliasing• Pelo teorema da convolução, sabemos que o

produto destas duas funções espaciais é igual à convolução dos seus pares de Fourier

• Podemos escrever a função H(u) em termos de F(u):

Aliasing

Aliasing

• Deste modo, o espectro de freqüência da imagem amostrada consiste de duplicações do espectro da imagem original, distribuída a intervalos 1/x0 de freqüência.

• Seja R(u) um filtro passa-banda no domínio da freqüência.

0 caso contrário

Aliasing

• Quando os espectros replicados interferem, a interferência introduz relativa energia em altas freqüências mudando a aparência do sinal reconstruído

Teorema da amostragem (nyquist)

• Se a imagem não contém componentes de freqüência maiores que a metade da freqüência de amostragem, então a imagem contínua pode ser representada fielmente ou completamente na imagem amostrada.