Formulação Vorticidade e Função Corrente

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Formulação

Vorticidade e

Função Corrente


Fluido incompressível;

O transporte de vorticidade é modelado tomando-se o rotacional da

eq. N-S.

A pressão está desacoplada do campo de vorticidade. Uma vez

conhecida pode-se determinar a pressão.

Por definição a função corrente, , satisfaz a equação da massa.

Formulação Vorticidade-Função Corrente

Vantagens escoamentos 2D e axi-simetricos

O vetor vorticidade reduz para um único componente não nulo,

portanto uma equação escalar!

O campo de velocidade vindo da função corrente elimina a eq. da

massa pois satisfaz automaticamente a massa.

O uso de - reduz um sistema de 3 Eq. (massa, 2 Q. mov) para uma

EDO em


Plano da Aula

1. Relação entre circulação e vorticidade média;

2. A equação da vorticidade;

3. Apresentar a equação da pressão;

4. Definir circulação e o teorema de Kelvin;

5. Apresentar a definição de Função Corrente;

6. Apresentar a formulação da função corrente;


Circulação e vorticidade médiaA vorticidade definida por é igual a duas vezes a rotação

do elemento de fluido.

Uma medida da vorticidade média numa área limitada por uma curva C é igual a circulação, , como definida pelo Teorema de Stokes:

V

A circulação = -U.L

A vorticidade média é A= = -U.L = - U/H .

A vorticidade média num circuito é proporcional a vorticidade média na área circunscrita pelo circuito!

C A

V ds V ndA A C

H

Por exemplo, vamos escolher um escoamento numa Camada Limite. A curva C coincide com a parede e com escoamento externo à C.L. .

é circulação (anti-horária) em C é a vorticidade médiaA = L.H é a área limitada por C


Transporte de Vorticidade e a Equação da Pressão

Veja dedução da Eq. Transporte de

Voriticidade em: Formulação Diferencial

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS%20E%20MINI-CURSOS/EQ%20TRANSPORTE/EQ%20TRANSPORTE.pdf


Equação da Vorticidade Vamos ver que a eq. vorticidade não possui a variável Pressão! Todo odesenvolvimento a seguir aplica-se para escoamento incompressível com e constantes. A eq. N-S passa a ser:

2V PVV V gz

t

Abrindo o termo -x(Vx) = V.(.) - .(.V) - V.() + .(V) e reconhecendo que . = x.V0 para fluido incompressível, então:

2 2DV V ou V

t Dt

(1) x 0 (veja LE#1),

(2) . xV = . 0 (veja LE#1),

(3) .VV = (V2/2) – Vx

Aplicando o operador (x) e as identidades na eq. N-S :

2

0

0 0

V V V PV V gz

t 2


Equação da Vorticidade (cont.)

O termo .V não possui correspondente na Eq. N-S. Ele é um termo de geração ou destruição de ; depende se .V > 0 ou < 0.

O tensor V é decomposto em S e R. Como S = ST e R =-RT então: .V = .S, assim:

Na forma conservativa, a equação da vorticidade fica sendo:

A equação de transporte de vorticidade

Não possui termo de pressão;

Não possui termo gravitacional;

Possui um termo de produção ou destruição de vorticidade, .S;

(acesse Formulação Diferencial )

j2 ii, j

j i

uu1V onde S

t 2 x x

S

2Vt

S



A Equação da PressãoNum processo similar ao realizado para a eq. da vorticidade, ao

aplicar o operador (.) na eq. N-S (acesse Formulação Diferencial ) chega-se a:

j2 2 i

i j

u u1 1P : ou P

x x

S S

Observe que a pressão é definida por uma equação de Poisson e não depende da viscosidade!

A eq acima define o acoplamento entre o campo de pressão e de velocidades via tensor deformação e vetor vorticidade. Uma vez conhecido o campo de vorticidade pode-se determinar o campo de pressão!

Para um sistema cartesiano no plano (x,y), = (0,0, z) e usando a equação da massa: u/ x+ v/ y =0, chega-se a:

y

v

x

u2

x

v

y

u2p

1 2



Produção de vorticidade na parede, plano (x,z)

• Parede, plano x,z;

• Fluido incompressível;

• u(x,0,z) = 0 – não deslizamento;

• v(x,0,z) = 0 – sem sucção/injeção;

• w(x,0,z) = 0 – não deslizamento;

• v/ y|y=0 = 0 – continuidade;

Componentes de na parede Relação na parede

yz xy 0y 0

yx zy 0y 0

w y

u y

2V

tS

A vorticidade criada na parede é difundida e transportada peloescoamento conforme sugere os termos da equação de transporte de ;a parede passa a ser uma fonte ou sorvedouro de vorticidade!

x y 0 y 0 y 0w y v z w y

y y 0 y 0u z w x 0

z y 0 y 0 y 0v x u y u y


.S e alongamento do vetor vorticidade - I(vortex stretching)

x xx y yx z zx x xy y yy z zy x xz y yz z zzS S S i S S S j S S S k S

O termo de .S existe somente para escoamentos 3D. .S redistribui a vorticidade nas três direções! Este mecanismo é explorado no estudo de turbulência.

Produção (>0) ou extinção (<0) de vorticidade ocorre devido a .S :

Se a vorticidade está restrita a um plano, por ex. (xy), verifique que .S é sempre nulo!

x y z

x y z

x y z

u 1 v u 1 w ui

x 2 x y 2 x z

1 u v v 1 w vj

2 y x y 2 y z

1 u w 1 v w wk

2 z x 2 z y z

Sou


.S e alongamento do vetor vorticidade II(vortex stretching)

x xx y yx z zx x y zi

u 1 v u 1 w uS S S

x 2 x y 2 x z

S

A componente .Si possui três parcelas, por exemplo i = x :

• Uma parcela é normal ao plano onde atua S e coincide com (xSxx).

• As 2 parcelas outras S atuam num plano ortogonal a .

• Isto mostra que a produção/extinção de i recebe contribuições do campo 3D de e S , veja representação abaixo.

x

y

z

x xxS

x

xxSx

y

z

y yxS

yxS

y x

y

z

z

zxS

z zxS

[.S]i gera ou destroi e também redistribui nos outros planos. Este mecanismo só existe em escoamentos tri-dimensionais. Escoamentos 2D, [.S]0.


Manifestação de .S na

produção/destruição de

vorticidade

São apresentados casos ‘qualitativos’ onde:

i. O estiramento da linha de vorticidade está alinhado com a direção principal do escoamento;

ii. O estiramento da linha de vorticidade está, inicialmente normal a direção principal do escoamento.

iii. Todos os escoamentos exemplos são facilmente explicados pelo termo .S mas dificilmente explicáveis por P e u,v,w; observerm!


Escoamento com ‘swirl’ num tubo com contração de área

A velocidade do fluido tem três componentes (vr, v, vz). A direção principal é vz > 0. O fluido com rotação axial (swirl) possui vorticidade também na direção z.

Se houvesse uma expansão de área, vz/z <0 haveria uma destruição de vorticidade pois zvz/z < 0!

V SRegime permanente e próximo contração, o efeito visc. não tem tempo p/ difundir, a eq. reduz p/:

A B

A < B

r

z

O efeito da contração de área faz com que vz/z aumente.

O termo dominante do lado direito é .S = zvz/z , observa-se que (.S)A < (.S)B .

A equação pode ser aproximada por:

z zz z B B

z z

z zA A

Vd dVV 1

dz dz V

Estiramento (streching) paralelo a velocidade principal


Fluido em rotação

Tanque cilíndrico possui fluido em rotação.

Em vermelho estão representadas a linhas de

vorticidade próximo a parede.

No fundo do tanque é aberta uma saída; o

fluido é acelerado próximo da saída, há um

estiramento de linhas similar ao exempo

anterior.

Após alguns instantes é estabelecido um tubo

de vórtice na vertical devido a produção de

vorticidade devido ao termo .S .

Veja filmeTornado numa garrafa PET

c

Estiramento paralelo a velocidade principal

https://www.youtube.com/watch?v=8Ft5I8mO11Q


Vórtice Ferradura (Horseshoe Vortex)

Antes do obstáculo, há linhas de

vorticidade ortogonal ao

escoamento livre.

O obstáculo força que estas linhas

de vorticidade se curvem e se

alinhem com a direção principal do

escoamento intensificando a

vorticidades.


Video Intake Turbine Vortex

Intake Turbine Vortex

Similar ao vórtice

‘ferradura’. O escoamento

livre vem de frente ao avião.

Longe do avião as linhas de

vórtices são ortogonais a

direção principal do

escoamento.

Próximo da turbina há

estiramento (.S ) devido a

sucção.

Similar ocorre na fuselagem

do avião.

https://www.youtube.com/watch?v=0JuvarRAbfM&nohtml5=False


Escoamento numa bifurcação, uma fração do

volume segue adiante e outra é succionada no ramo

O ramo da bifurcação cria uma região dentro do tubo que define se ele irá para o ramo ou seguirá em frente. As linhas de vorticidade, longe da sucção, são anéis concentricos. A medida que estes anéis aproximam-se do ramo eles começam a ser deformados, alinhando-se com a direção principal do escoamento (similar ao vórtice ferradura).


Circulação e o teorema de Kelvin


Variação da vorticidade média numa curva

Um dos empregos desta equação é identificar os mecanismos que produzem vorticidade no escoamento quando substituir DV/Dt pela eq. N-S na expressão acima:

C C

D D DVV ds ds

Dt Dt Dt

C C C C C C

D D DV Ds DV DVV ds ds V d ds V dV ds

Dt Dt Dt Dt Dt Dt

0

2

C C

D DV Pds V U ds; onde U gz

Dt Dt

C

n

sdsA circulação dá uma medida da vorticidade média

enquanto que a D /dt dá a taxa de variação da vorticidade média seguindo o circuito C;

Prova do lado esquerdo da eq. acima:

Por que ZERO? O caminho é fechado, portanto a integral é nula


Variação da vorticidade média que cruza uma área

Avaliando cada termo eq. acima e aplicando teorema Stokes chega-se:

2

C C

D DV Pds V U ds; onde U gz

Dt Dt

C A A A

2 2 2 2

C A A A

C A

P P 1 1 1ds dA P P dA P dA

V ds V dA V dA dA

U ds U dA 0

Substituindo em D/Dt chega-se a:

2

A A

D 1 P dA dA

Dt

ou

2

2

A A

D 1 P dA dA

Dt


Quando D/Dt = 0, = constante:

condições necessárias

2

2

A A

D 1 P dA dA

Dt

Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou fluido barotrópico ρ = f(P).

Se o escoamento for irrotacional ou se vorticidade produzida na parede, ou em uma camada cisalhante (shear flow) é não é transportada por difusão; neste caso =0!

2

A

1P dA 0

2

A

dA 0

D/Dt = 0 é também conhecido por teorema de Kelvin. Válido para escoamentos irrotacionais, sem viscosidade e para fluidos barotrópicos,

Derivada total da circulação

Se D/Dt = 0 a circulação é constante portanto o produto da vorticidade média e a área contida na curva C também é constante.


Vórtice de partida de asa, D/Dt 0Asa infinita (2D)

Asa finita (3D)

Se o fluido está parado, não há vorticidade. Se uma asa desloca num fluido estacionário, observa-se o surgimento de uma circulação na asa (que dá sustentação na asa) e um segundo vórtice, com circulação igual e contrário ao da asa de modo que D/Dt = 0 (Teorema de Kelvin).

Uma asa finita possui vórtices de ponta de asa mas ainda assim D/Dt = 0. A presença do vórtice criado no início do movimento fica na pista do aeroporto. Precisa que ele seja dissipado até o próximo avião decolar.

Os vórtices de ponta criam uma corrente descendente na região da asa e fora da asa uma corrente ascendente. Pássaros em migração e aviões em formação de esquadrilhas usam estes vórtices para ganhar mais sustentação e reduzir consumo combustível.


Escoamento com variação de área, D/Dt 0

O escoamento com contração de área leva a um aumento da vorticidade após a contração devido a produção de vorticidade pelo alongamento das linhas de vorticidade

Na ausência de viscosidade e de transferência de calor,então o teorema de Kelvin expõe que:

Portanto:

A

B

A < B

r

z

D0 constante

Dt

DA

DB

A (DA2/4) = B (DB

2/4)


Quando D/Dt 0, não é constante

2

2

A A

D 1 P dA dA

Dt

2

A

1P dA 0

2

A

dA 0

Não haverá variação em desde que ρ e P sejam paralelos, ou seja, barotrópicosρ=f(P). Entretanto para aquecimento / resfriamento frequentemente ρ e P não são paralelos, veja figura.

Se houver haverá difusão de vorticidade gerada na parede pela tensão cisalhamento ou também em camadas cisalhantes. No entanto a vorticidade pode ficar confinada na camada limite se Re for elevado.


SumárioA partir da eq. N-S para fluido incompressível e viscosidade constantes

foram obtidas as equações da vorticidade e da pressão de forma

desacopladas.

2Vt

S

21P :

S S


Linha de Corrente e

Função Corrente para Regime

Permanente, /t = 0


dx

u

dy

v

dz

w

x

yV

dy

dxds

Recapitulação: as linhas de corrente são, por definição, tangentes

ao vetor velocidade a todo instante, e são expressas por:

Linha de Corrente: Conceito Cinemático

linha de corrente


Função Corrente para EscoamentoIncompressível e Bi-Dimensional

A função corrente, , é um conceito matemático, Lagrange (1731).

A hipótese de escoamento bi-dimensional reduz eq. massa para:

Definição de função corrente:

Cartesiano Polar

Mostre que a função corrente SEMPRE satisfaz a Eq. da Massa!

Uma definição mais geral de função corrente é apresentada no apêndice I. Ela

se aplica para sistemas de coordenadas cilíndricas, esféricas

https://en.wikipedia.org/wiki/Stream_function

https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange


Função Corrente: Propriedades

Uma linha definida por = cte coincide com a linha de corrente

A função depende de (x,y) ou (r,). A variação de é dada por:

d dx dy vdx udyx y

Para constante, então d = 0 e dy/dx = v/u, isto é, as linhas com

constante coincidem com a definição de linha de corrente.

Da definição acima chega-se

que a variação valor de

entre A e B é dado por:

B

A

vdx udy

dx

u

dy

v

dz

w

x

yV

dy

dxds

Linha corrente, = cte.(A)

(B)


Função Corrente: Propriedades

diferença 2 - 0 resulta na vazão Q entre as linhas de corrente

Duas linhas de corrente, 2 e 0,

definem um tubo de corrente, pois

não há velocidade normal para

linhas com constante!

1 y 1 0

2 x 2 1

Q v dA dxx

Q u dA dyy

A vazão Q que passa através de 2 e 0 pode ser calculada fazendo

um caminho e 0 1 2 de forma que criam superfícies

ortogonais a x e y, assim:

A vazão Q que passa através de 2 e 0 : 1 2 2 0Q Q

B

A

vdx udy


Nos próximos slides será abordado a relação entre função corrente e

vorticidade.


Relação função corrente e vorticidade

O conceito desenvolvido aplica para escoamentos 2D, axi-

simetricos e com simetria esférica. Será usado um campo 2D para

demonstrar a relação entre e

u e vy x

2

z

v u

x y

O campo de velocidades expresso pela função corrente:

A vorticidade:

A vorticidade é expressa pelo Laplaciano de para os casos

mencionados acima.


Formulação Vorticidade - Função Corrente

Várias soluções analíticas (ou exatas) de N-S foram obtidas usando a função corrente em escoamentos bi-dimensionais ou axi-simétricos

O uso da vorticidade elimina a variável Pressão, por sua vez a vorticidade também pode ser expressa por meio da função corrente, .

Esta substituição não só elimina a equação da massa mas também reduz a equação da vorticidade a uma única EDP não linear!

Isto possibilita em alguns casos uma solução analítica. Se não for possível ela permite simples integração utilizando Runge Kutta.


Por que Função Corrente?

A função corrente sempre satisfaz a equação da massa.

Ela é útil em cálculos analíticos e numéricos aplicados em escoamentos por reduzir o número de variáveis independentes do escoamento.

Se eu tiver um campo de velocidades expresso por uma função corrente eu não preciso resolver a equação da conservação da massa!


Formulação -, regime permanente; ex. 2D

1. O campo de velocidades (x,y), (u,v)

2. O campo de vorticidades (escalar):

3. Equação vorticidade 2D:

4. A componente z da vorticidade:

u e vy x

2

z

v u

x y

2V.

2z z

zu vx y

Resolve (4) e (2) iterativamente

2z zz

y x x y

2

z

4

2 24 2 2 2 2

2 2

4 4 4

4 2 2 4

onde é operador biharmônico;

x y

2x x y y

2 2 4

y x x y

Substitui (2) em (4) p/ obter


A solução caso 2D requer solução simultânea de 3 EDP não-linear

A formulação da função corrente reduz o sistema de equaçõesdiferenciais parciais acima para uma única EDP, não linear, em .

Redução EDPs c/ formulação

2 2 4

y x x y

2 2

2 2

2 2

2 2

u v0

x y

u u 1 P u uu v

x x x x y

v v 1 P v vu v

x x y x y

- Eq. massa

- Eq. q. mov. (x)

- Eq. q. mov. (y)

A eq. acima aplica p/ escoamentos 2D ou com axi simetria (polar, cilindrico-polar ou esférica).

Expressar a eq. N-S em função corrente é uma das formas para obter soluções exatas da eq. N-S.

Em escoamentos 3D não é possível a redução das EDPs usando a função corrente.


FIM


Apêndice I

Definições de Linha de Corrente e de Função Corrente


Existem várias maneiras de se descrever uma curva no espaço.

Para nossos propósitos, é conveniente tratar uma curva com a

intersecção de duas superfícies independentes, f e g:

Função corrente: uma linha no espaço


O vetor tangente H à linha formada pela intersecção dos planos f e g

é:

Associação:

linha da interseção: vetor tangente fxg = V linha de

corrente: V é um vetor tangente a linha de corrente

Função densidade

Função corrente: conceito matemático

H x,y,z f g

H V


A vazão mássica através de um tubo de corrente constituído por

duas superfícies f e g é expressa por:

Função corrente: conceito matemático

1 2 1 2m f f g g

V

V

V

ou através da simples relação aos valores das funções f e g nestas

superfícies.

m V n dA

dA

Veja demonstração desta propriedade

na pg 20 do doc no link assim como

referências sobre o assunto

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS%20E%20MINI-CURSOS/CINEMAT.pdf


Para escoamentos com simetria, é possível escolher g como um

conjunto de planos definidos pela variável de simetria. Isto reduz o

problema à determinação da superfície f denominada por função

corrente, f = .

Escoamentos com aplicação direta são:

• Escoamentos planos em coordenadas cartesianas ou polares e

• Escoamentos axi-simétricos em coordenadas cilíndricas ou

esféricas.

• Há outros sistemas também mas não serão tratados aqui!

Função corrente : conceito matemático


Função Corrente para Escoamento 2-D

Incompressível: Coordenadas Cartesianas

x

yz

g = z

f =

Superfícies:

Velocidade:

Vazão:

x yf x, y g = z = , ,0 g = 0,0,1

0= w; yx,v= v; yx,u=u ; gfV

uy x

; v = - ; w = 0

g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2

u v0

x y

definição satisfaz

eq. massa


Função Corrente para Escoamento 2-D

Incompressível: Coordenadas Polares

z

r

Vr

V

g = z

Superfícies:

Velocidade:

Vazão:

1

f r, g=z = , ,0 g= 0,0,1r r

r r zV f g ; v =v r, ; v =v r, ; v =0

u ; v = - ; w=0r r

g z g z1 1 2 2 10 1 ; ; Q = 2

definição satisfaz

eq. massa

rrV1 V0

r r r


Função Corrente para Escoamento Axi-simétrico

Incompressível: Coordenadas Esféricas

g g1 1 2 2 10 2 ; ; Q = 2 ( ou2 )

Superfícies:

Velocidade:

Vazão:

1 1

f r,z g= = , , g= 0, ,0r r z r

r r z z

vV f g ; v = v r,z ; =0 ; v = v r,z

vr z r r

r 1 1

; v

= 0 ; v = z

Q = 22 se 1= 0 é o eixo = 0

21


Coordenadas Esféricas e a Função Corrente de

Stokes (simetria Azimutal ), veja Panton

Superfícies

r, e g=

Os gradientes das superfícies

1 1, , e

r r rSin

1g 0,0,

rSin

r r

r 2

Velocidades :v

V g; v v r, ; v v r, ; 0

1 1 v ; v

r Sin rSin r

• Note que esta definição de

automaticamente satisfaz a massa:

2

r

2

r v Sin v1 1V 0

r r rSin

r,

g


FIM APÊNDICE

Formulação Vorticidade e Função Corrente

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