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40

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Formulário de Eletromagnetismo I

v. 0.0.0

ETE 212

2010

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1

Sumário

1 Eletrostática 51.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Densidade de Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . 61.4 Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Pontencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Densidade de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Resistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Lei de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.12 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . 81.13 Equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 81.14 Equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 91.15 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.16 Energia Potencial Eletrostática . . . . . . . . . . 9

2 Magnetostática 92.1 Analogia entre campo eletrostático e magnetos-

tático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Campo Magnético Resultante . . . . . . . . . . . 102.4 Lei Circuital de Ampère . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Densidade de Fluxo Magnético . . . . . . . . . . 122.7 Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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2

2.8 Equações de Maxwell para Campos Estáticos . . 122.9 Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.10 Momento de Dipólo . . . . . . . . . . . . . . . . 132.11 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.12 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . 142.13 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.14 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.15 Energia Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . 142.16 Circuitos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Campos Dinâmicos 153.1 Equação da Continuidade da Corrente . . . . . . 153.2 Variação da Densidade de Carga com o Tempo . 153.3 Tempo de Relaxação . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Densidade de Corrente de Dispersão (Desloca-

mento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Equações de Maxwell Gerais . . . . . . . . . . . . 173.7 Representações de Campo Harmônico . . . . . . 173.8 Equações de Maxwell na Forma Fasorial Diferencial 183.9 Relações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . 183.10 Equações Fundamentais do Eletromagnetismo . . 19

4 Ondas Planas 194.1 Equações de Onda de Helmholtz . . . . . . . . . 194.2 Relação entre Ondas Propagantes, em Fasores . . 204.3 Constantes e Impedância Intrínseca . . . . . . . . 20

4.3.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.2 Dielétricos com baixas perdas ( σωε 1) . 21

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3

4.3.3 Bons condutores ( σωε 1) . . . . . . . . . 224.4 Velocidade de Propagação . . . . . . . . . . . . . 224.5 Comprimento de Onda . . . . . . . . . . . . . . . 224.6 Permissividade Complexa . . . . . . . . . . . . . 224.7 Condutividade Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . 224.8 Tangente de Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.9 Efeito Pelicular (em bons condutores) . . . . . . 234.10 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . 234.11 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.12 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.13 Incidência de Um Meio para Outro . . . . . . . . 24

4.13.1 Características da Incidência Normal . . . 244.13.2 Características da Incidência Oblíqua . . 25

5 Linhas de Transmissão 265.1 Parâmetros Distribuídos . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Equações Gerais de Linha de Transmissão (Equa-

ções Telegrácas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Equações de Onda Harmônicas no Tempo . . . . 275.4 Constantes de Propagação, Atenuação e de Fase 285.5 Impedância Característica . . . . . . . . . . . . . 285.6 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.7 Coeciente de Reexão . . . . . . . . . . . . . . . 295.8 Taxa de Onda Estacionária de Tensão . . . . . . 295.9 Impedância de Entrada . . . . . . . . . . . . . . 29

A Denições Gerais 30

B Constantes 33

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4

C Conversões 33

D Propriedades de Alguns Materiais 34

E Produção 36

F Licensa 36

G Onde Adquirir Este Material 38

Referências 39

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5

1 Eletrostática

1.1 Lei de Coulomb

~F12 =Q1Q2

4πεR212

~a12 (1)

1.2 Campo Elétrico

~E1 =~F12

Q2(2)

~E =Q

4πεR2~aR (3)

• De distribuição contínua de cargas:

~E =

dQ

4πεR2~aR (4)

• De uma carga pontual na origem:

~E =Q

4πεr2~ar (5)

• De uma linha innita em z carregada com ρL:

~E =ρL

2περ~aρ (6)

• De uma lâmina innita carregada com ρS :

~E =ρS2ε~aN (7)

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6

1.3 Densidade de Fluxo Elétrico

~D = ε ~E (8)

1.4 Fluxo Elétrico

• Que atravessa uma superfície:

Ψ =

~D · d~S (9)

• Que atravessa uma superfície fechada:

Ψ =

~D · d~S (10)

1.5 Teorema da Divergência~D · d~S =

∇ · ~Ddv (11)

1.6 Lei de Gauss

• Forma integral:

~D · d~S = Qenv = Ψresultante (12)

~D · d~S =

ρvdv (13)

• Forma diferencial:

∇ · ~D = ρv (14)

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7

1.7 Pontencial Elétrico

• Diferença de pontencial elétrico:

Vba = − b

a

~E · d~L = Vb − Va (15)

• Pontencial com referência no innito:

V =

dQ

4πεr(16)

• Campo elétrico a partir de função potencial:

~E = −∇V (17)

1.8 Densidade de Corrente

~J = σ ~E (18)

1.9 Corrente

I =

~J · d~S (19)

1.10 Resistência

R =−~E · d~L

σ ~E · d~S(20)

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8

1.11 Lei de Joule

P =

~E · ~Jdv (21)

1.12 Condições de Fronteira

• Entre par de dielétricos:

~ET1 = ~ET2 (22)

~a21 · ( ~D1 − ~D2) = ρs (23)

• Entre par de dielétricos, se ρs = 0:

~ET1 = ~ET2 (24)~DN1 = ~DN2 (25)

• Entre condutor e dielétrico:

~ET = 0 (26)~DN = ρs (27)

1.13 Equação de Poisson

∇2V = −ρvε

(28)

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9

1.14 Equação de Laplace

∇2V = 0 (29)

1.15 Capacitância

• Denição geral:

C =dQ

dV(30)

• Para capacitor de placas paralelas, desprezando-se efeitosde borda:

C =εS

d(31)

1.16 Energia Potencial Eletrostática

WE =12

~D · ~Edv =

12

εE2dv =

12CV 2 (32)

2 Magnetostática

2.1 Analogia entre campo eletrostático e mag-netostático

Vide tabela 1.

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10

Tabela 1: Analogia entre campo eletrostático e magnetostático.Campos elétricos Campos magnéticos~E(V/m) ~H(A/m)~D(C/m2) ~B(Wb/m2)Ψ(C) Φ(Wb)ε(F/m) µ(H/m)~D = ε ~E ~B = µ ~H

∇ · ~D = ρv ∇ · ~B = 0∇× ~E = 0 ∇× ~H = ~J

Ψ =~D · d~S Φ =

~B · d~S

~F = Q~E(N) ~F = Q~u× ~B(N)WE = 1

2

~D · ~Edv(J) WM = 1

2

~B · ~Hdv(J)

2.2 Lei de Biot-Savart

d ~H2 =Id~L1 ×~a12

4πR212

(33)

2.3 Campo Magnético Resultante

• Em termos de elementos diferenciais:

~H =Id~L×~aR

4πR2(34)

• Em termos de densidades de corrente supercial:

~H = ~KdS ×~aR

4πR2(35)

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11

• Em termos de densidades de corrente volumétrica:

~H = ~Jdv ×~aR

4πR2(36)

• Devido a linha innita de corrente:

~H =I~aφ2πρ

(37)

• Devido a um solenóide:

~H =NI

h~az (38)

• Devido a uma lâmina innita de corrente:

~H =12~K ×~aN (39)

2.4 Lei Circuital de Ampère

• Forma integral: ~H · d~L = Ienv (40)

• Forma diferencial:

∇× ~H = ~J (41)

2.5 Teorema de Stokes~H · d~L =

(∇× ~H) · d~S (42)

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12

2.6 Densidade de Fluxo Magnético

~B = µ ~H (43)

2.7 Fluxo Magnético

• Que atravessa uma superfície:

Φ =

~B · d~S (44)

• Que atravessa uma superfície fechada:

~B · d~S = 0 (45)

2.8 Equações de Maxwell para Campos Está-ticos

• Forma integral:

~D · d~S = Qenv

~B · d~S = 0

~E · d~L = 0

~H · d~L = Ienv

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13

• Forma diferencial:

∇ · ~D = ρv

∇ · ~B = 0∇× ~E = 0∇× ~H = ~J

2.9 Força

• Força de Lorentz:

~F = q( ~E + ~u× ~B) (46)

• Força de Campo Magnético sobre Linha de Corrente:

~F12 =I2d~L2 × ~B1 (47)

2.10 Momento de Dipólo

~m = NIS~aN (48)

2.11 Torque

~τ = ~m× ~B (49)

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14

2.12 Condições de Fronteira

~BN1 = ~BN2 (50)

~a21 × ( ~H1 − ~H2) = ~K (51)

2.13 Indutância

• Denição geral:

L =λ

I= N

ΦtotI

(52)

• Para uma bobina com núcleo:

L =µN2πa2

h(53)

• Para um cabo coaxial:

L

h=

µ

2πlnb

a(54)

2.14 Indutância Mútua

M12 =λ12

I1=N2

I1

~B1 · d~S2 (55)

2.15 Energia Magnetostática

WM =12

~B · ~Hdv =

12LI2

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15

2.16 Circuitos Magnéticos

• Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos: vide ta-bela 2

Tabela 2: Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos.Circuitos elétricos Circuitos magnéticosForça eletromotriz (V) V Vm Força magnetomotriz (Aesp)

Corrente (A) I Φ Fluxo magnético (Wb)

Resistência (Ω) R < Relutância (Aesp/Wb)

Condutividade (S/m) σ µ Permeabilidade (H/m)

Lei de Ohm V = RI Vm = <Φ Lei de Ohm para circ. mag.

3 Campos Dinâmicos

3.1 Equação da Continuidade da Corrente

∇ · J = −∂ρv∂t

(56)

3.2 Variação da Densidade de Carga com oTempo

ρv = ρ0e−t/τ (57)

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16

3.3 Tempo de Relaxação

τ =ε

σ(58)

3.4 Lei de Faraday

• Forma geral:

Vfem = −∂λ∂t

(59)

• Para circuito de uma única espira:

Vfem =

~E · d~L = −∂Φ∂t

= − ∂

∂t

~B · d~S (60)

• Forma diferencial:

∇× ~E = −∂~B

∂t(61)

• Para circuito com movimento e campo magnético cons-tante:

Vfem =

(~u× ~B) · d~L (62)

3.5 Densidade de Corrente de Dispersão (Des-locamento)

~Jd =∂ ~D

∂t(63)

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17

3.6 Equações de Maxwell Gerais

• Forma integral:

~D · d~S = Qenv (64)

~B · d~S = 0 (65)

~E · d~L = − ∂

∂t

~B · d~S (66)

~H · d~L =

~J · d~S +

∂t

~D · d~S (67)

• Forma diferencial:

∇ · ~D = ρv (68)

∇ · ~B = 0 (69)

∇× ~E = −∂~B

∂t(70)

∇× ~H = ~Jc +∂ ~D

∂t(71)

3.7 Representações de Campo Harmônico

• No domínio do tempo:

~E(x, y, z, t) = ~E(x, y, z) cos(ωt+ φ) (72)~H(x, y, z, t) = ~H(x, y, z) cos(ωt+ φ) (73)

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18

• No domínio da freqüência:

~Es = ~E(x, y, z)ejφ (74)~Hs = ~H(x, y, z)ejφ (75)

• Conversão do domínio da freqüência para o domínio dotempo:

~E(x, y, z, t) = Re[ ~Esejωt] (76)~H(x, y, z, t) = Re[ ~Hse

jωt] (77)

3.8 Equações de Maxwell na Forma FasorialDiferencial

∇ · ~Ds = ρvs (78)

∇ · ~Bs = 0 (79)

∇× ~Es = −jω ~Bs (80)

∇× ~Hs = ~Js + jω ~Ds (81)

3.9 Relações Constitutivas

~D = ε ~E~B = µ ~H~J = σ ~E

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19

3.10 Equações Fundamentais do Eletromagne-tismo

São dadas por:

• Equações de Maxwell

Lei de Gauss

Lei de Gauss para Campos Magnéticos

Lei de Faraday

Lei Circuital de Ampère

• Equação da Força de Lorentz

• Equação da Continuidade da Corrente

• Relações Constitutivas

4 Ondas Planas

4.1 Equações de Onda de Helmholtz

• No domínio do tempo:

∇2 ~E = µσ∂ ~E

∂t+ µε

∂2 ~E

∂t2(82)

∇2 ~H = µσ∂ ~H

∂t+ µε

∂2 ~H

∂t2(83)

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20

• No domínio da freqüência (campos harmônicos):

∇2 ~Es − γ2 ~Es = 0 (84)

∇2 ~Hs − γ2 ~Hs = 0 (85)

• Solução das equações de onda de Helmholtz, para casogeral:

~E(z, t) = E+0 e−αz cos(ωt− βz)~ax (86)

+E−0 eαz cos(ωt+ βz)~ax (87)

~H(z, t) = H+0 e−αz cos(ωt− βz)~ay (88)

+H−0 eαz cos(ωt+ βz)~ay (89)

4.2 Relação entre Ondas Propagantes, em Fa-sores

~Hs =1η~aρ × ~Es (90)

~Es = −η~aρ × ~Hs (91)

4.3 Constantes e Impedância Intrínseca

4.3.1 Caso geral

• Constante de propagação:

γ =√jωµ(σ + jωε) = α+ jβ (92)

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21

• Constante de atenuação:

α = ω

√µε

2

(√1 +

( σωε

)2 − 1

)(93)

• Constante de fase:

β = ω

√√√√µε

2

(√1 +

( σωε

)2

+ 1

)(94)

• Impedância intrínseca:

η =

√jωµ

σ + jωε(95)

4.3.2 Dielétricos com baixas perdas ( σωε 1)

α ≈ σ

2

õ

ε(96)

β ≈ ω√µε (97)

η ≈√µ

ε(98)

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22

4.3.3 Bons condutores ( σωε 1)

α ≈√πfµσ (99)

β ≈√πfµσ (100)

η ≈√ωµ

σej45

≈√

σej45

(101)

4.4 Velocidade de Propagação

up =ω

β(102)

4.5 Comprimento de Onda

λ =upf

(103)

Nota: não confundir o símbolo λ do comprimento de ondacom o do uxo concatenado na subseção 2.13, pois referem-se agrandezas distintas.

4.6 Permissividade Complexa

εc = ε′ − jε′′ (104)

4.7 Condutividade Efetiva

σef = σ + ωε′′ (105)

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23

4.8 Tangente de Perdas

tg δ =σ + ωε′′

ωε′=σefωε′

(106)

Nota: não confundir o símbolo δ da tangente de perdas com oda profundidade pelicular, pois referem-se a grandezas distintas.

4.9 Efeito Pelicular (em bons condutores)

• Profundidade pelicular:

δ =1α

(107)

• Resistência pelicular:

Rpelicular =1

σδ(1− e−t/δ

) (108)

4.10 Teorema de Poynting

~E × ~H · d~S = −

~J · ~Edv − ∂

∂t

12εE2dv − ∂

∂t

12µH2dv

(109)

4.11 Vetor de Poynting

~P = ~E × ~H (110)

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24

4.12 Potência

• Potência média temporal:

~Pave =12

Re[ ~Es × ~Hs∗] (111)

• Quantidade de potência que atravessa uma superfície:

P =

~Pave · d~S (112)

4.13 Incidência de Um Meio para Outro

4.13.1 Características da Incidência Normal

• Coeciente de reexão:

Γ =Er0Ei0

=η2 − η1η2 + η1

(113)

• Coeciente de transmissão:

τ =Et0Ei0

=2η2

η2 + η1(114)

• Relação entre os coecientes de reexão e transmissão:

τ = 1 + Γ (115)

• Taxa de onda estacionária (ROE, COE, TOE, VSWR):

ROE =EmaxEmin

=VmaxVmin

=1 + |Γ|1− |Γ|

(116)

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25

4.13.2 Características da Incidência Oblíqua

• Coeciente de reexão:

ΓTE =Er0Ei0

=η2 cos θi − η1 cos θtη2 cos θi + η1 cos θt

(117)

ΓTM =Er0Ei0

=η2 cos θt − η1 cos θiη2 cos θt + η1 cos θi

(118)

• Coeente de transmissão:

τTE =Et0Ei0

=2η2 cos θi

η2 cos θi + η1 cos θt(119)

τTM =Et0Ei0

=2η2 cos θt

η2 cos θt + η1 cos θi(120)

• Leis de Snell da reexão e da refração:

θi = θr (121)β1

β2=

sen θtsen θi

(122)

• Ângulo de Brewster para polarização TM:

sen θBA =

√β2

2(η22 − η2

1)η22β

21 − η2

1β22

(123)

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26

5 Linhas de Transmissão

5.1 Parâmetros Distribuídos

• Para cabos coaxiais:

R′ =1

(1a

+1b

)√πfµ

σc(124)

L′ =µ

2πln(b

a

)(125)

G′ =2πσd

ln(b/a)(126)

C ′ =2πε

ln(b/a)(127)

• Para cabos de condutores gêmeos:

R′ =1a

√fµ

σc(128)

L′ =µ

πcosh−1

(d

2a

)(129)

G′ =πσd

cosh−1(d/2a)(130)

C ′ =πε

cosh−1(d/2a)(131)

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27

5.2 Equações Gerais de Linha de Transmissão(Equações Telegrácas)

• No domínio do tempo:

− ∂v(z, t)∂z

= i(z, t)R′ + L′∂i(z, t)∂t

(132)

−∂i(z, t)∂z

= v(z, t)G′ + C ′∂v(z, t)∂t

(133)

• No domínio da freqüência (para ondas harmônicas):

dVs(z)dz

= −(R′ + jωL′)Is(z) (134)

dIs(z)dz

= −(G′ + jωC ′)Vs(z) (135)

5.3 Equações de Onda Harmônicas no Tempo

• No domínio do tempo:

v(z, t) = V +0 e−αz cos(ωt− βz) + V −0 e+αz cos(ωt+ βz)(136)

i(z, t) = I+0 e−αz cos(ωt− βz) + I−0 e

+αz cos(ωt+ βz)(137)

• No domínio da freqüência:

Vs(z) = V +0 e−γz + V −0 e+γz (138)

Is(z) = I+0 e−γz + I−0 e

+γz (139)

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ou

Vs(z) = V +0 e−αze−jβz + V −0 e+αze+jβz (140)

Is(z) = I+0 e−αze−jβz + I−0 e

+αze+jβz (141)

5.4 Constantes de Propagação, Atenuação ede Fase

γ =√

(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′) = α+ jβ (142)

5.5 Impedância Característica

Z0 =V +

0

I+0

= −V−0

I−0=

√R′ + jωL′

G′ + jωC ′(143)

5.6 Potência

• Potência média em linha sem perdas:

P+ave(z) =

(V +0 )2

2Z0(144)

• Ganho de potência:

G(dB) = 10 log(PoutPin

)(145)

• Relação entre decibéis e neper:

1Np = 8, 686dB (146)

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29

5.7 Coeciente de Reexão

• Na carga:

ΓL =V −0V +

0

=ZL − Z0

ZL + Z0(147)

• Em qualquer ponto:

Γ =V −0 e+γz

V +0 e−γz

= ΓLe+2γz (148)

• Exemplo → Γ em z = −`:

Γ = ΓLe−2γ` (149)

5.8 Taxa de Onda Estacionária de Tensão

ROTE =1 + |ΓL|1− |ΓL|

(150)

5.9 Impedância de Entrada

• Para o caso geral:

Zin = Z0ZL + Z0tgh (γ`)Z0 + ZLtgh (γ`)

(151)

• Para linha sem perdas:

Zin = Z0ZL + jZ0tg (β`)Z0 + jZLtg (β`)

(152)

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A Denições Gerais

• Vetores em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas:

~Acart = Ax~ax +Ay~ay +Az~az (153)~Acil = Aρ~aρ +Aθ~aθ +Az~az (154)~Aesf = Ar~ar +Aθ~aθ +Aφ~aφ (155)

• Produto Escalar (em coordenadas cartesianas):

~A ~B =∣∣∣ ~A∣∣∣ ∣∣∣ ~B∣∣∣ cos θAB = AxBx +AyBy +AzBz (156)

• Operador Nabla:

∇ =∂

∂x~ax +

∂y~ay +

∂z~az (157)

• Divergência:

Coordenadas Cartesianas

∇ · ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

(158)

Coordenadas Cilíndricas

∇ · ~A =1ρ

∂ρ(ρAρ) +

∂Aφ∂φ

+∂Az∂z

(159)

Coordenadas Esféricas

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∇ · ~A =1r2

∂r(r2Ar) +

1rsen θ

∂θ(Aθsen θ) +

1rsen θ

∂Aφ∂φ(160)

• Gradiente:

Coordenadas Cartesianas

∇V =∂V

∂x~ax +

∂V

∂y~ay +

∂V

∂z~az (161)

Coordenadas Cilíndricas

∇V =∂V

∂ρ~aρ +

∂V

∂φ~aφ +

∂V

∂z~az (162)

Coordenadas Esféricas

∇V =∂V

∂r~ar +

1r

∂V

∂θ~aθ +

1rsen θ

∂V

∂φ~aφ (163)

• Rotacional:

Coordenadas Cartesianas

∇× ~A =

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣ =

(∂Az∂y− ∂Ay

∂z

)~ax +

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)~ay +

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)~az

(164)

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Coordenadas Cilíndricas

∇× ~A =[1ρ

∂Az∂φ− ∂Aφ

∂z

]~aρ +

[∂ρ

∂z− ∂Az

∂ρ

]~aφ +

[∂(ρAφ)∂ρ

− ∂Aρ∂φ

]~az

(165)

Coordenadas Esféricas

∇× ~A =

1rsen θ

[∂(sen θAφ)

∂θ− ∂Aθ

∂φ

]~ar+

1r

[1

sen θ∂Ar∂φ− ∂(rAφ)

∂r

]~aθ+

1r

[∂(rAθ)∂r

− ∂(Ar)∂θ

]~aφ (166)

• Laplaciano:

Coordenadas Cartesianas

∇2V =∂2V

∂x2+∂2V

∂y2+∂2V

∂z2(167)

Coordenadas Cilíndricas

∇2V =1ρ

∂ρ

(ρ∂V

∂ρ

)+

1ρ2

∂2V

∂φ2+∂2V

∂z2(168)

Page 34: Formulario Eletromagnetismo .pdf

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Coordenadas Esféricas

∇2V =

1r2

∂r

(r2∂V

∂r

)+

1r2sen θ

∂θ

(sen θ

∂V

∂θ

)+

1r2sen 2θ

∂2V

∂φ2

(169)

B Constantes

Na tabela 3 as constantes físicas de interesse em eletromagne-tismo.

Tabela 3: Constantes físicas.Constante Valor Unidade

ε0 8.854× 10−12 ≈ 10−9

36π F/mµ0 4π × 10−7 H/mη0 120π ≈ 377 Ωq −1.602× 10−19 Cc 2.998× 108 m/sg 9.78 m/s2

h 6.63× 10−34 Jsk 1.38× 10−23 J/KNA 6.02× 1023 átomos/mol

C Conversões

1Np = 8, 686dB

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D Propriedades de Alguns Materiais

Nas tabelas 4, 5, 6 e 7, listam-se propriedades de alguns mate-riais.

Tabela 4: Condutividade aproximada de alguns materiais.Note-se que esta condutividade depende de impurezas, umidadee temperatura.

Material σ(S/m)Alumínio 3.8× 107

Carbono 3× 104

Cobre 5.8× 107

Ouro 4.1× 107

Grate 7× 107

Ferro 1× 107

Chumbo 5× 106

Nicrômio 1× 106

Níquel 1.5× 107

Prata 6.2× 107

Solda 7× 106

Aço inoxidável 1.1× 106

Estanho 8.8× 106

Tungstênio 1.8× 107

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Tabela 5: Propriedades para alguns dielétricos. Note-se quepara condutores, normalmente, εr = 1.Dielétrico εr Ebr(V/m) tg δ em 1MHz σ(S/m)Ar 1.0005 3× 106 ≈ 0 ≈ 0Vidro 10 30× 106 0.004 ≈ 10−12

Gelo 4.2 0.12 10−15

Mica 5.4 200× 106 0.0003Silício (puro) 11.8 - 4.4× 10−4

Solo (seco) 34 0.017 2× 10−3

Teon 2.1 60× 106 < 0.0002 10−15

Água (destilada) 81 0.04 10−4

Água do mar 72 0.9 5

Tabela 6: Permeabilidade relativa para alguns materiais fer-romagnéticos. Note-se que a permeabilidade dependerá forte-mente da pureza dos materiais. Ainda, lembra-se que a curvaB ×H não é linear, na grande maioria dos materiais ferromag-néticos.

Material µrCobalto 250Níquel 600Ferro silício 3500Ferro 5000Mumetal 105

Supermalloy 106

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Tabela 7: Condutividade e permissividade complexa de algunsmateriais.

Material σ(S/m) ε′r ε′′rCobre 5.8× 107 1 0Água do mar 5 72 12Vidro 10−12 10 0, 010

E Produção

Autor: Marcelo Porto Trevizan

Editor: Marcelo Porto Trevizan

Revisores: Marcelo Porto Trevizan, Arnaldo Megrich

Livro de Referência: Wentworth [2007]

F Licensa

Este documento é disponibilizado sob a licensa abaixo descrita.

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A versão PDF deste material poderá ser baixada de:

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Notas

Para compilar o material a partir do código-fonte, deve-se ins-talar o LYXhttp://www.lyx.org/Download,os estilos LATEX unidades.sty e misc.sty do projeto `efmt'http://code.google.com/p/efmt/source/browse/#svn/trunk/latexe o estilo LATEX siunitx.styhttp://mirror.ctan.org/macros/latex/contrib/siunitx.zip.

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Referências

Stuart M. Wentworth. Eletromagnetismo Aplicado. Bookman,2007. ISBN 978-85-7780-290-6.