Formulario Eletromagnetismo .pdf
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Formulário de Eletromagnetismo I
v. 0.0.0
ETE 212
2010
1
Sumário
1 Eletrostática 51.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Densidade de Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . 61.4 Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Pontencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Densidade de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Resistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Lei de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.12 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . 81.13 Equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 81.14 Equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 91.15 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.16 Energia Potencial Eletrostática . . . . . . . . . . 9
2 Magnetostática 92.1 Analogia entre campo eletrostático e magnetos-
tático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Campo Magnético Resultante . . . . . . . . . . . 102.4 Lei Circuital de Ampère . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Densidade de Fluxo Magnético . . . . . . . . . . 122.7 Fluxo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
2.8 Equações de Maxwell para Campos Estáticos . . 122.9 Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.10 Momento de Dipólo . . . . . . . . . . . . . . . . 132.11 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.12 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . 142.13 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.14 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.15 Energia Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . 142.16 Circuitos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Campos Dinâmicos 153.1 Equação da Continuidade da Corrente . . . . . . 153.2 Variação da Densidade de Carga com o Tempo . 153.3 Tempo de Relaxação . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Densidade de Corrente de Dispersão (Desloca-
mento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Equações de Maxwell Gerais . . . . . . . . . . . . 173.7 Representações de Campo Harmônico . . . . . . 173.8 Equações de Maxwell na Forma Fasorial Diferencial 183.9 Relações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . 183.10 Equações Fundamentais do Eletromagnetismo . . 19
4 Ondas Planas 194.1 Equações de Onda de Helmholtz . . . . . . . . . 194.2 Relação entre Ondas Propagantes, em Fasores . . 204.3 Constantes e Impedância Intrínseca . . . . . . . . 20
4.3.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.2 Dielétricos com baixas perdas ( σωε 1) . 21
3
4.3.3 Bons condutores ( σωε 1) . . . . . . . . . 224.4 Velocidade de Propagação . . . . . . . . . . . . . 224.5 Comprimento de Onda . . . . . . . . . . . . . . . 224.6 Permissividade Complexa . . . . . . . . . . . . . 224.7 Condutividade Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . 224.8 Tangente de Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.9 Efeito Pelicular (em bons condutores) . . . . . . 234.10 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . 234.11 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.12 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.13 Incidência de Um Meio para Outro . . . . . . . . 24
4.13.1 Características da Incidência Normal . . . 244.13.2 Características da Incidência Oblíqua . . 25
5 Linhas de Transmissão 265.1 Parâmetros Distribuídos . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Equações Gerais de Linha de Transmissão (Equa-
ções Telegrácas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Equações de Onda Harmônicas no Tempo . . . . 275.4 Constantes de Propagação, Atenuação e de Fase 285.5 Impedância Característica . . . . . . . . . . . . . 285.6 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.7 Coeciente de Reexão . . . . . . . . . . . . . . . 295.8 Taxa de Onda Estacionária de Tensão . . . . . . 295.9 Impedância de Entrada . . . . . . . . . . . . . . 29
A Denições Gerais 30
B Constantes 33
4
C Conversões 33
D Propriedades de Alguns Materiais 34
E Produção 36
F Licensa 36
G Onde Adquirir Este Material 38
Referências 39
5
1 Eletrostática
1.1 Lei de Coulomb
~F12 =Q1Q2
4πεR212
~a12 (1)
1.2 Campo Elétrico
~E1 =~F12
Q2(2)
~E =Q
4πεR2~aR (3)
• De distribuição contínua de cargas:
~E =
dQ
4πεR2~aR (4)
• De uma carga pontual na origem:
~E =Q
4πεr2~ar (5)
• De uma linha innita em z carregada com ρL:
~E =ρL
2περ~aρ (6)
• De uma lâmina innita carregada com ρS :
~E =ρS2ε~aN (7)
6
1.3 Densidade de Fluxo Elétrico
~D = ε ~E (8)
1.4 Fluxo Elétrico
• Que atravessa uma superfície:
Ψ =
~D · d~S (9)
• Que atravessa uma superfície fechada:
Ψ =
~D · d~S (10)
1.5 Teorema da Divergência~D · d~S =
∇ · ~Ddv (11)
1.6 Lei de Gauss
• Forma integral:
~D · d~S = Qenv = Ψresultante (12)
~D · d~S =
ρvdv (13)
• Forma diferencial:
∇ · ~D = ρv (14)
7
1.7 Pontencial Elétrico
• Diferença de pontencial elétrico:
Vba = − b
a
~E · d~L = Vb − Va (15)
• Pontencial com referência no innito:
V =
dQ
4πεr(16)
• Campo elétrico a partir de função potencial:
~E = −∇V (17)
1.8 Densidade de Corrente
~J = σ ~E (18)
1.9 Corrente
I =
~J · d~S (19)
1.10 Resistência
R =−~E · d~L
σ ~E · d~S(20)
8
1.11 Lei de Joule
P =
~E · ~Jdv (21)
1.12 Condições de Fronteira
• Entre par de dielétricos:
~ET1 = ~ET2 (22)
~a21 · ( ~D1 − ~D2) = ρs (23)
• Entre par de dielétricos, se ρs = 0:
~ET1 = ~ET2 (24)~DN1 = ~DN2 (25)
• Entre condutor e dielétrico:
~ET = 0 (26)~DN = ρs (27)
1.13 Equação de Poisson
∇2V = −ρvε
(28)
9
1.14 Equação de Laplace
∇2V = 0 (29)
1.15 Capacitância
• Denição geral:
C =dQ
dV(30)
• Para capacitor de placas paralelas, desprezando-se efeitosde borda:
C =εS
d(31)
1.16 Energia Potencial Eletrostática
WE =12
~D · ~Edv =
12
εE2dv =
12CV 2 (32)
2 Magnetostática
2.1 Analogia entre campo eletrostático e mag-netostático
Vide tabela 1.
10
Tabela 1: Analogia entre campo eletrostático e magnetostático.Campos elétricos Campos magnéticos~E(V/m) ~H(A/m)~D(C/m2) ~B(Wb/m2)Ψ(C) Φ(Wb)ε(F/m) µ(H/m)~D = ε ~E ~B = µ ~H
∇ · ~D = ρv ∇ · ~B = 0∇× ~E = 0 ∇× ~H = ~J
Ψ =~D · d~S Φ =
~B · d~S
~F = Q~E(N) ~F = Q~u× ~B(N)WE = 1
2
~D · ~Edv(J) WM = 1
2
~B · ~Hdv(J)
2.2 Lei de Biot-Savart
d ~H2 =Id~L1 ×~a12
4πR212
(33)
2.3 Campo Magnético Resultante
• Em termos de elementos diferenciais:
~H =Id~L×~aR
4πR2(34)
• Em termos de densidades de corrente supercial:
~H = ~KdS ×~aR
4πR2(35)
11
• Em termos de densidades de corrente volumétrica:
~H = ~Jdv ×~aR
4πR2(36)
• Devido a linha innita de corrente:
~H =I~aφ2πρ
(37)
• Devido a um solenóide:
~H =NI
h~az (38)
• Devido a uma lâmina innita de corrente:
~H =12~K ×~aN (39)
2.4 Lei Circuital de Ampère
• Forma integral: ~H · d~L = Ienv (40)
• Forma diferencial:
∇× ~H = ~J (41)
2.5 Teorema de Stokes~H · d~L =
(∇× ~H) · d~S (42)
12
2.6 Densidade de Fluxo Magnético
~B = µ ~H (43)
2.7 Fluxo Magnético
• Que atravessa uma superfície:
Φ =
~B · d~S (44)
• Que atravessa uma superfície fechada:
~B · d~S = 0 (45)
2.8 Equações de Maxwell para Campos Está-ticos
• Forma integral:
~D · d~S = Qenv
~B · d~S = 0
~E · d~L = 0
~H · d~L = Ienv
13
• Forma diferencial:
∇ · ~D = ρv
∇ · ~B = 0∇× ~E = 0∇× ~H = ~J
2.9 Força
• Força de Lorentz:
~F = q( ~E + ~u× ~B) (46)
• Força de Campo Magnético sobre Linha de Corrente:
~F12 =I2d~L2 × ~B1 (47)
2.10 Momento de Dipólo
~m = NIS~aN (48)
2.11 Torque
~τ = ~m× ~B (49)
14
2.12 Condições de Fronteira
~BN1 = ~BN2 (50)
~a21 × ( ~H1 − ~H2) = ~K (51)
2.13 Indutância
• Denição geral:
L =λ
I= N
ΦtotI
(52)
• Para uma bobina com núcleo:
L =µN2πa2
h(53)
• Para um cabo coaxial:
L
h=
µ
2πlnb
a(54)
2.14 Indutância Mútua
M12 =λ12
I1=N2
I1
~B1 · d~S2 (55)
2.15 Energia Magnetostática
WM =12
~B · ~Hdv =
12LI2
15
2.16 Circuitos Magnéticos
• Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos: vide ta-bela 2
Tabela 2: Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos.Circuitos elétricos Circuitos magnéticosForça eletromotriz (V) V Vm Força magnetomotriz (Aesp)
Corrente (A) I Φ Fluxo magnético (Wb)
Resistência (Ω) R < Relutância (Aesp/Wb)
Condutividade (S/m) σ µ Permeabilidade (H/m)
Lei de Ohm V = RI Vm = <Φ Lei de Ohm para circ. mag.
3 Campos Dinâmicos
3.1 Equação da Continuidade da Corrente
∇ · J = −∂ρv∂t
(56)
3.2 Variação da Densidade de Carga com oTempo
ρv = ρ0e−t/τ (57)
16
3.3 Tempo de Relaxação
τ =ε
σ(58)
3.4 Lei de Faraday
• Forma geral:
Vfem = −∂λ∂t
(59)
• Para circuito de uma única espira:
Vfem =
~E · d~L = −∂Φ∂t
= − ∂
∂t
~B · d~S (60)
• Forma diferencial:
∇× ~E = −∂~B
∂t(61)
• Para circuito com movimento e campo magnético cons-tante:
Vfem =
(~u× ~B) · d~L (62)
3.5 Densidade de Corrente de Dispersão (Des-locamento)
~Jd =∂ ~D
∂t(63)
17
3.6 Equações de Maxwell Gerais
• Forma integral:
~D · d~S = Qenv (64)
~B · d~S = 0 (65)
~E · d~L = − ∂
∂t
~B · d~S (66)
~H · d~L =
~J · d~S +
∂
∂t
~D · d~S (67)
• Forma diferencial:
∇ · ~D = ρv (68)
∇ · ~B = 0 (69)
∇× ~E = −∂~B
∂t(70)
∇× ~H = ~Jc +∂ ~D
∂t(71)
3.7 Representações de Campo Harmônico
• No domínio do tempo:
~E(x, y, z, t) = ~E(x, y, z) cos(ωt+ φ) (72)~H(x, y, z, t) = ~H(x, y, z) cos(ωt+ φ) (73)
18
• No domínio da freqüência:
~Es = ~E(x, y, z)ejφ (74)~Hs = ~H(x, y, z)ejφ (75)
• Conversão do domínio da freqüência para o domínio dotempo:
~E(x, y, z, t) = Re[ ~Esejωt] (76)~H(x, y, z, t) = Re[ ~Hse
jωt] (77)
3.8 Equações de Maxwell na Forma FasorialDiferencial
∇ · ~Ds = ρvs (78)
∇ · ~Bs = 0 (79)
∇× ~Es = −jω ~Bs (80)
∇× ~Hs = ~Js + jω ~Ds (81)
3.9 Relações Constitutivas
~D = ε ~E~B = µ ~H~J = σ ~E
19
3.10 Equações Fundamentais do Eletromagne-tismo
São dadas por:
• Equações de Maxwell
Lei de Gauss
Lei de Gauss para Campos Magnéticos
Lei de Faraday
Lei Circuital de Ampère
• Equação da Força de Lorentz
• Equação da Continuidade da Corrente
• Relações Constitutivas
4 Ondas Planas
4.1 Equações de Onda de Helmholtz
• No domínio do tempo:
∇2 ~E = µσ∂ ~E
∂t+ µε
∂2 ~E
∂t2(82)
∇2 ~H = µσ∂ ~H
∂t+ µε
∂2 ~H
∂t2(83)
20
• No domínio da freqüência (campos harmônicos):
∇2 ~Es − γ2 ~Es = 0 (84)
∇2 ~Hs − γ2 ~Hs = 0 (85)
• Solução das equações de onda de Helmholtz, para casogeral:
~E(z, t) = E+0 e−αz cos(ωt− βz)~ax (86)
+E−0 eαz cos(ωt+ βz)~ax (87)
~H(z, t) = H+0 e−αz cos(ωt− βz)~ay (88)
+H−0 eαz cos(ωt+ βz)~ay (89)
4.2 Relação entre Ondas Propagantes, em Fa-sores
~Hs =1η~aρ × ~Es (90)
~Es = −η~aρ × ~Hs (91)
4.3 Constantes e Impedância Intrínseca
4.3.1 Caso geral
• Constante de propagação:
γ =√jωµ(σ + jωε) = α+ jβ (92)
21
• Constante de atenuação:
α = ω
√µε
2
(√1 +
( σωε
)2 − 1
)(93)
• Constante de fase:
β = ω
√√√√µε
2
(√1 +
( σωε
)2
+ 1
)(94)
• Impedância intrínseca:
η =
√jωµ
σ + jωε(95)
4.3.2 Dielétricos com baixas perdas ( σωε 1)
α ≈ σ
2
õ
ε(96)
β ≈ ω√µε (97)
η ≈√µ
ε(98)
22
4.3.3 Bons condutores ( σωε 1)
α ≈√πfµσ (99)
β ≈√πfµσ (100)
η ≈√ωµ
σej45
≈√
2α
σej45
(101)
4.4 Velocidade de Propagação
up =ω
β(102)
4.5 Comprimento de Onda
λ =upf
(103)
Nota: não confundir o símbolo λ do comprimento de ondacom o do uxo concatenado na subseção 2.13, pois referem-se agrandezas distintas.
4.6 Permissividade Complexa
εc = ε′ − jε′′ (104)
4.7 Condutividade Efetiva
σef = σ + ωε′′ (105)
23
4.8 Tangente de Perdas
tg δ =σ + ωε′′
ωε′=σefωε′
(106)
Nota: não confundir o símbolo δ da tangente de perdas com oda profundidade pelicular, pois referem-se a grandezas distintas.
4.9 Efeito Pelicular (em bons condutores)
• Profundidade pelicular:
δ =1α
(107)
• Resistência pelicular:
Rpelicular =1
σδ(1− e−t/δ
) (108)
4.10 Teorema de Poynting
~E × ~H · d~S = −
~J · ~Edv − ∂
∂t
12εE2dv − ∂
∂t
12µH2dv
(109)
4.11 Vetor de Poynting
~P = ~E × ~H (110)
24
4.12 Potência
• Potência média temporal:
~Pave =12
Re[ ~Es × ~Hs∗] (111)
• Quantidade de potência que atravessa uma superfície:
P =
~Pave · d~S (112)
4.13 Incidência de Um Meio para Outro
4.13.1 Características da Incidência Normal
• Coeciente de reexão:
Γ =Er0Ei0
=η2 − η1η2 + η1
(113)
• Coeciente de transmissão:
τ =Et0Ei0
=2η2
η2 + η1(114)
• Relação entre os coecientes de reexão e transmissão:
τ = 1 + Γ (115)
• Taxa de onda estacionária (ROE, COE, TOE, VSWR):
ROE =EmaxEmin
=VmaxVmin
=1 + |Γ|1− |Γ|
(116)
25
4.13.2 Características da Incidência Oblíqua
• Coeciente de reexão:
ΓTE =Er0Ei0
=η2 cos θi − η1 cos θtη2 cos θi + η1 cos θt
(117)
ΓTM =Er0Ei0
=η2 cos θt − η1 cos θiη2 cos θt + η1 cos θi
(118)
• Coeente de transmissão:
τTE =Et0Ei0
=2η2 cos θi
η2 cos θi + η1 cos θt(119)
τTM =Et0Ei0
=2η2 cos θt
η2 cos θt + η1 cos θi(120)
• Leis de Snell da reexão e da refração:
θi = θr (121)β1
β2=
sen θtsen θi
(122)
• Ângulo de Brewster para polarização TM:
sen θBA =
√β2
2(η22 − η2
1)η22β
21 − η2
1β22
(123)
26
5 Linhas de Transmissão
5.1 Parâmetros Distribuídos
• Para cabos coaxiais:
R′ =1
2π
(1a
+1b
)√πfµ
σc(124)
L′ =µ
2πln(b
a
)(125)
G′ =2πσd
ln(b/a)(126)
C ′ =2πε
ln(b/a)(127)
• Para cabos de condutores gêmeos:
R′ =1a
√fµ
σc(128)
L′ =µ
πcosh−1
(d
2a
)(129)
G′ =πσd
cosh−1(d/2a)(130)
C ′ =πε
cosh−1(d/2a)(131)
27
5.2 Equações Gerais de Linha de Transmissão(Equações Telegrácas)
• No domínio do tempo:
− ∂v(z, t)∂z
= i(z, t)R′ + L′∂i(z, t)∂t
(132)
−∂i(z, t)∂z
= v(z, t)G′ + C ′∂v(z, t)∂t
(133)
• No domínio da freqüência (para ondas harmônicas):
dVs(z)dz
= −(R′ + jωL′)Is(z) (134)
dIs(z)dz
= −(G′ + jωC ′)Vs(z) (135)
5.3 Equações de Onda Harmônicas no Tempo
• No domínio do tempo:
v(z, t) = V +0 e−αz cos(ωt− βz) + V −0 e+αz cos(ωt+ βz)(136)
i(z, t) = I+0 e−αz cos(ωt− βz) + I−0 e
+αz cos(ωt+ βz)(137)
• No domínio da freqüência:
Vs(z) = V +0 e−γz + V −0 e+γz (138)
Is(z) = I+0 e−γz + I−0 e
+γz (139)
28
ou
Vs(z) = V +0 e−αze−jβz + V −0 e+αze+jβz (140)
Is(z) = I+0 e−αze−jβz + I−0 e
+αze+jβz (141)
5.4 Constantes de Propagação, Atenuação ede Fase
γ =√
(R′ + jωL′)(G′ + jωC ′) = α+ jβ (142)
5.5 Impedância Característica
Z0 =V +
0
I+0
= −V−0
I−0=
√R′ + jωL′
G′ + jωC ′(143)
5.6 Potência
• Potência média em linha sem perdas:
P+ave(z) =
(V +0 )2
2Z0(144)
• Ganho de potência:
G(dB) = 10 log(PoutPin
)(145)
• Relação entre decibéis e neper:
1Np = 8, 686dB (146)
29
5.7 Coeciente de Reexão
• Na carga:
ΓL =V −0V +
0
=ZL − Z0
ZL + Z0(147)
• Em qualquer ponto:
Γ =V −0 e+γz
V +0 e−γz
= ΓLe+2γz (148)
• Exemplo → Γ em z = −`:
Γ = ΓLe−2γ` (149)
5.8 Taxa de Onda Estacionária de Tensão
ROTE =1 + |ΓL|1− |ΓL|
(150)
5.9 Impedância de Entrada
• Para o caso geral:
Zin = Z0ZL + Z0tgh (γ`)Z0 + ZLtgh (γ`)
(151)
• Para linha sem perdas:
Zin = Z0ZL + jZ0tg (β`)Z0 + jZLtg (β`)
(152)
30
A Denições Gerais
• Vetores em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas:
~Acart = Ax~ax +Ay~ay +Az~az (153)~Acil = Aρ~aρ +Aθ~aθ +Az~az (154)~Aesf = Ar~ar +Aθ~aθ +Aφ~aφ (155)
• Produto Escalar (em coordenadas cartesianas):
~A ~B =∣∣∣ ~A∣∣∣ ∣∣∣ ~B∣∣∣ cos θAB = AxBx +AyBy +AzBz (156)
• Operador Nabla:
∇ =∂
∂x~ax +
∂
∂y~ay +
∂
∂z~az (157)
• Divergência:
Coordenadas Cartesianas
∇ · ~A =∂Ax∂x
+∂Ay∂y
+∂Az∂z
(158)
Coordenadas Cilíndricas
∇ · ~A =1ρ
∂
∂ρ(ρAρ) +
1ρ
∂Aφ∂φ
+∂Az∂z
(159)
Coordenadas Esféricas
31
∇ · ~A =1r2
∂
∂r(r2Ar) +
1rsen θ
∂
∂θ(Aθsen θ) +
1rsen θ
∂Aφ∂φ(160)
• Gradiente:
Coordenadas Cartesianas
∇V =∂V
∂x~ax +
∂V
∂y~ay +
∂V
∂z~az (161)
Coordenadas Cilíndricas
∇V =∂V
∂ρ~aρ +
1ρ
∂V
∂φ~aφ +
∂V
∂z~az (162)
Coordenadas Esféricas
∇V =∂V
∂r~ar +
1r
∂V
∂θ~aθ +
1rsen θ
∂V
∂φ~aφ (163)
• Rotacional:
Coordenadas Cartesianas
∇× ~A =
∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az∂∂x
∂∂y
∂∂z
Ax Ay Az
∣∣∣∣∣∣ =
(∂Az∂y− ∂Ay
∂z
)~ax +
(∂Ax∂z− ∂Az
∂x
)~ay +
(∂Ay∂x− ∂Ax
∂y
)~az
(164)
32
Coordenadas Cilíndricas
∇× ~A =[1ρ
∂Az∂φ− ∂Aφ
∂z
]~aρ +
[∂ρ
∂z− ∂Az
∂ρ
]~aφ +
1ρ
[∂(ρAφ)∂ρ
− ∂Aρ∂φ
]~az
(165)
Coordenadas Esféricas
∇× ~A =
1rsen θ
[∂(sen θAφ)
∂θ− ∂Aθ
∂φ
]~ar+
1r
[1
sen θ∂Ar∂φ− ∂(rAφ)
∂r
]~aθ+
1r
[∂(rAθ)∂r
− ∂(Ar)∂θ
]~aφ (166)
• Laplaciano:
Coordenadas Cartesianas
∇2V =∂2V
∂x2+∂2V
∂y2+∂2V
∂z2(167)
Coordenadas Cilíndricas
∇2V =1ρ
∂
∂ρ
(ρ∂V
∂ρ
)+
1ρ2
∂2V
∂φ2+∂2V
∂z2(168)
33
Coordenadas Esféricas
∇2V =
1r2
∂
∂r
(r2∂V
∂r
)+
1r2sen θ
∂
∂θ
(sen θ
∂V
∂θ
)+
1r2sen 2θ
∂2V
∂φ2
(169)
B Constantes
Na tabela 3 as constantes físicas de interesse em eletromagne-tismo.
Tabela 3: Constantes físicas.Constante Valor Unidade
ε0 8.854× 10−12 ≈ 10−9
36π F/mµ0 4π × 10−7 H/mη0 120π ≈ 377 Ωq −1.602× 10−19 Cc 2.998× 108 m/sg 9.78 m/s2
h 6.63× 10−34 Jsk 1.38× 10−23 J/KNA 6.02× 1023 átomos/mol
C Conversões
1Np = 8, 686dB
34
D Propriedades de Alguns Materiais
Nas tabelas 4, 5, 6 e 7, listam-se propriedades de alguns mate-riais.
Tabela 4: Condutividade aproximada de alguns materiais.Note-se que esta condutividade depende de impurezas, umidadee temperatura.
Material σ(S/m)Alumínio 3.8× 107
Carbono 3× 104
Cobre 5.8× 107
Ouro 4.1× 107
Grate 7× 107
Ferro 1× 107
Chumbo 5× 106
Nicrômio 1× 106
Níquel 1.5× 107
Prata 6.2× 107
Solda 7× 106
Aço inoxidável 1.1× 106
Estanho 8.8× 106
Tungstênio 1.8× 107
35
Tabela 5: Propriedades para alguns dielétricos. Note-se quepara condutores, normalmente, εr = 1.Dielétrico εr Ebr(V/m) tg δ em 1MHz σ(S/m)Ar 1.0005 3× 106 ≈ 0 ≈ 0Vidro 10 30× 106 0.004 ≈ 10−12
Gelo 4.2 0.12 10−15
Mica 5.4 200× 106 0.0003Silício (puro) 11.8 - 4.4× 10−4
Solo (seco) 34 0.017 2× 10−3
Teon 2.1 60× 106 < 0.0002 10−15
Água (destilada) 81 0.04 10−4
Água do mar 72 0.9 5
Tabela 6: Permeabilidade relativa para alguns materiais fer-romagnéticos. Note-se que a permeabilidade dependerá forte-mente da pureza dos materiais. Ainda, lembra-se que a curvaB ×H não é linear, na grande maioria dos materiais ferromag-néticos.
Material µrCobalto 250Níquel 600Ferro silício 3500Ferro 5000Mumetal 105
Supermalloy 106
36
Tabela 7: Condutividade e permissividade complexa de algunsmateriais.
Material σ(S/m) ε′r ε′′rCobre 5.8× 107 1 0Água do mar 5 72 12Vidro 10−12 10 0, 010
E Produção
Autor: Marcelo Porto Trevizan
Editor: Marcelo Porto Trevizan
Revisores: Marcelo Porto Trevizan, Arnaldo Megrich
Livro de Referência: Wentworth [2007]
F Licensa
Este documento é disponibilizado sob a licensa abaixo descrita.
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37
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Notas
Para compilar o material a partir do código-fonte, deve-se ins-talar o LYXhttp://www.lyx.org/Download,os estilos LATEX unidades.sty e misc.sty do projeto `efmt'http://code.google.com/p/efmt/source/browse/#svn/trunk/latexe o estilo LATEX siunitx.styhttp://mirror.ctan.org/macros/latex/contrib/siunitx.zip.
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Referências
Stuart M. Wentworth. Eletromagnetismo Aplicado. Bookman,2007. ISBN 978-85-7780-290-6.