Formulario PSU Matemática

8/18/2019 Formulario PSU Matemática

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Luis Fauré Navarro

FORMULARIO PSU

MATEMÁTICA



Página 2

INTRODUCCIÓN

En este formulario de matemática he querido mostrar todas las fórmulas que se utilizarán en la

Prueba de Selección Universitaria, adicionalmente se ha agregado Trigonometría que no está

contemplado en el programa, pero será de gran utilidad para alumnos de Enseñanza Media.

Se dan a conocer fórmulas, teoremas y tablas y en casos que se estimó necesario se mostró algún

ejemplo.

El libro está dividido en cuatro partes: Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar al igual que

estructura la comisión organizadora de la prueba.

Números, se refiere a los conjuntos numéricos y sus propiedades, como son los naturales,

cardinales, enteros, racionales, irracionales, complejos y reales. Potencias, raíces y logaritmos.

Álgebra, contempla productos notables, ecuaciones e inecuaciones, funciones y gráfico de

funciones.

Geometría, establece generalidades de ángulos y polígonos, propiedades de los triángulos y

figuras planas, vectores, isometría, teoremas de geometría, ecuación de la recta y cuerpos

geométricos.

Datos y Azar, este ítem muestra medidas de tendencia central, tablas de frecuencias, medidas de

dispersión, distribución normal, combinatoria y probabilidades.



Página 3



Página 4

Conjuntos Numéricos

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) corresponde al menor de los números naturales, que es

múltiplo de todos los elementos a la vez. Por ejemplo, para obtener el m.c.m. de {12, 30, 45} se

descompone cada uno de los elementos: 12 = 2231, 30 = 213151 y 45 = 3251, luego, el m.c.m. es

223251 = 180.

El máximo común divisor (M.C.D.) corresponde al mayor de los números naturales que es divisor

de todos los elementos del conjunto a la vez. Por ejemplo, para obtener el M.C.D. de {90, 108,

270) se descompone cada uno de los elementos 90 = 2 13251, 108 = 2233 y 270 = 213351, luego, el

M.C.D. es 2132 = 18.

Transformación en los racionales

Para transformar un número decimal finito a fracción se escribe en el numerador todo el número

sin la coma y en el denominador una potencia de 10 que tenga tantos ceros como espacios haya

después de la coma. Por ejemplo: 2,35 .

Para transformar un número decimal periódico a fracción se escribe en el numerador todo el

número sin la coma, menos la parte no periódica, menos la parte no periódica, y en el

denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. Por ejemplo:

5,242424…5,24 − .

Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción se escribe en el numerador todo el

número sin la coma, menos la parte no periódica (incluyendo el anteperiodo), y en el

denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de

tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. Por ejemplo: 3,12666…3,126 .− . .

C

R QZ N

Q*

I



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Propiedades de radicación

√ ↔

√

√ ∙ √ √ ∙

√ √

∙ √ √ ∙

√ √

√ ∙ √ √ √

√ ∙ √ −√ − √ −

√ √ ∙ √ √ √ √ (√ √ )

Propiedades de logaritmos

1

1 0

∙

∙

√ 1 ∙



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Números Complejos

√ 1

1

1

1

+

+ 1

+

ó ||

. →

. →



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Página 9

Productos Notables

Cuadrado de binomio:

± ± 2

Cubo de binomio:

± ± 3 3 ±

Suma por diferencia:

Producto de binomios:

Cuadrado de trinomio:

222

Diferencia de cubos:

Suma de cubos:

Factorizaciones sucesivas:

Sistemas de ecuaciones de primer grado

Método de reducción: se amplifica una o ambas ecuaciones, de manera que se generen inversosaditivos en una de las incógnitas, y luego se suman para dejar una ecuación con una incógnita.

Método de igualación: se despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan las

expresiones resultantes, resolviendo la ecuación.

Método de sustitución: se despeja una de las variables en una de las ecuaciones, se reemplaza la

expresión resultante en la otra ecuación y se resuelve.



Página 10

Ecuaciones de segundo grado

, ú 0, ú . ± √ 42

> 0 la parábola se abre hacia arriba (concavidad positiva)

< 0 la parábola se abre hacia abajo (concavidad negativa)

Si a y b tienen igual signo, entonces el eje de simetría se encuentra a la izquierda del eje Y.

Si a y b tienen distinto signo, entonces el eje de simetría se encuentra a la derecha del eje Y.

Si b = 0, entonces el eje de simetría coincide con el eje Y.

∆ 4 (Discriminante)

∆> 0 tiene dos soluciones reales

∆ 0 tiene 1 solución real

∆< 0 tiene dos soluciones complejas

Vértice: − , −

Intersección con el eje y: (0,c)

Inecuaciones de primer grado

Intervalos

El intervalo < se expresa algebraicamente como ] ∞ , [ y gráficamente como

∞

Se dice que es abierto en a, es decir, que no incluye al elemento a.

El intervalo ≤ se expresa algebraicamente como ] ∞ , ] y gráficamente como

∞

a

a



Página 11

Se dice que es cerrado en a, es decir, que incluye al elemento a.

El intervalo < ≤ se expresa algebraicamente como ],] y gráficamente como

Se dice que es abierto en a y cerrado en b, es decir, que no incluye al elemento a y que incluye a b.

En los Sistemas de Inecuaciones de primer grado, la solución es la intersección.

Funciones

1. Función inyectiva o uno a uno

Caso 1:

1 52 63 74 8

Caso 2:

1 52 63 7

8

Nota: en el Rango f 2 pueden sobrar uno o más elementos.

ba

A f 1 B

A f 2 B



Página 12

2. Función epiyectiva o sobreyectiva

Caso 1:A f 1 B

1 52 63 74 8

Caso 2:A f 2 B

1 52 63 7

4

Nota: en el Rango f 2 se pueden hacer múltiples asociaciones, pero no debe sobrar ningúnelemento.

3. Función biyectiva

Se dice que una función es biyectiva si es inyectiva y además, es sobreyectiva.

Función inversa

1. Se despeja la variable x en función de la variable y.

2. Se aplica f -1(x) y se intercambia la variable y por la variable x.

Dominio y recorrido de funciones

Dominio = Preimagen = X

Recorrido = Imagen = Rango = Y

Composición de funciones

f o g = f(g(x))

g o f = g(f(x))



Página 13

Función afín

y = f(x) = mx + n

Función lineal

y = f(x) = mx

Función constante

y = f(x) = n

Función Valor Absoluto

||

|| { ≥ 0 < 0}

Función Parte Entera

[]

1 ≤ [] <

y

x

y

x



Página 15

Posiciones relativas de rectas en el plano

Si las rectas son coincidentes, los puntos de intersección son infinitos. Es decir, el sistema de

ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Las pendientes serán iguales y los coeficientes de posición

también serán iguales.

Si las rectas son paralelas, no habrá puntos de intersección. Es decir, el sistema de ecuaciones no

tendrá solución. Las pendientes serán iguales y los coeficientes de posición distintos.

Si las rectas son perpendiculares, habrá un punto de intersección. Es decir, el sistema de

ecuaciones tendrá una solución. El producto de las pendientes dará -1.

Si las rectas sólo se cruzan, habrá un punto de intersección. Es decir, el sistema de ecuaciones

tendrá una solución.

Función Exponencial

∙

, ú 1 ú 0.

a > 1 a > 1b > 0 b < 0

creciente

0 < a < 1 0 < a < 1b > 0 b < 0

decreciente

y

x

y

x

y

x

y

x



Página 16

Función Logarítmica

∙

, ú 1 ú

a > 1 0 < a < 1b > 0 b > 0

También se obtiene esta También se obtiene estaforma si 0 < a < 1 y b < 0 forma si a > 1 y b < 0

Función Potencia

∙

, ú 1 ú 0.

n par n para > 0 a < 0

n impar n impara > 0 a < 0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x



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Función Cuadrática

a < 0 a > 0a y b igual signo a y b distinto signo∆ 0 ∆> 0

c < 0 c < 0

a > 0 a > 0b = 0 a y b distinto signo∆< 0 ∆> 0 c > 0 c > 0

Función Raíz Cuadrada

∙ √

ú 0.

a > 0 a < 0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x



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Proporción Directa, Inversa y Porcentajes

Dos variables son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas en cierta

razón la otra también aumenta (o disminuye) en la misma razón y se puede desarrollar por una

regla de tres.

En el caso de porcentajes cuando se dice “el x% de y” esto es

Dos variables son inversamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas en cierta

razón la otra disminuye (o aumenta) en la misma razón y se puede desarrollar por una regla de

tres, pero cambiando de posición dos variables

Interés Simple e Interés Compuesto

Interés Simple:

1 100

Interés Compuesto:

1 100

, , é ñ. 12. í 365.



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Página 20

Ángulos

Complemento de α: 90 – α

Suplemento de α: 180 – α

Sean L1 y L2, rectas paralelas entre sí y L3 recta transversal, se cumple que:

L3

Polígonos

Polígono Lados

Triángulo 3

Cuadrilátero 4Pentágono 5

Hexágono 6

Heptágono 7Octágono 8

Eneágono 9Decágono 10

Endecágono 11

Dodecágono 12

Dado un polígono convexo (ángulos menores de 180º) de n lados, se cumple que:

La suma de sus ángulos interiores es igual a 180º2

La suma de sus ángulos exteriores es igual a 360º

El número de diagonales que se pueden trazar desde un único vértice es igual a

3

El número total de diagonales que se pueden trazar es igual a −

L1

L2

α β

γ δ

ε

ζ

η

θ



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Elementos del triángulo

1. Altura (h): es el segmento perpendicular a un lado que se prolonga por el vértice opuesto.

Todas las alturas se intersectan en el Ortocentro (H).

2.

Bisectriz (b): es el segmento que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. Todas lasbisectrices se intersectan en el Incentro (I), el cual es el centro de la circunferencia inscrita

al triángulo.

3.

Simetral: es el segmento perpendicular al punto medio de un lado. Todas las simetrales se

intersectan en el Circuncentro (O), el cual es el centro de la circunferencia circunscrita al

triángulo.

4.

Transversal de gravedad (t): es el segmento que une el punto medio de un lado con el

vértice opuesto. Todas las transversales de gravedad se intersectan en el centro gravedad

(G). El centro de gravedad divide una transversal de gravedad en dos segmentos en la

razón 2:1, donde el segmento que llega al vértice mide el doble que el segmento que llega

al lado.

5.

Mediana (m): es el segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Cada

mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. Al dibujar las tres medianas de

un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes entre sí.

El perímetro de un triángulo es la suma de todos los lados de él.

El área de un triángulo =∙

Sea un triángulo equilátero de lado a: ℎ √

Á √ 34

Según sus ángulos, los triángulos se pueden clasificar como: acutángulo si tiene los tres ángulos

agudos, obtusángulo si tiene un ángulo obtuso y rectángulo si tiene un ángulo recto.

Según sus lados, los triángulos se pueden clasificar como: equilátero si tiene los tres lados

congruentes, isósceles si tienen dos lados congruentes y escaleno si no tienen lados congruentes

entre sí.



Página 22

Congruencia de triángulos (≈

Dos figuras son congruentes cuando tienen igual forma y tamaño. Criterios de congruencia:

LLL: si dos triángulos tienen los tres lados congruentes, entonces los triángulos son congruentes

entre sí.

LAL: si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ambos es

congruente, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

ALA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entre sí, y el lado entre ambos congruentes,

entonces los dos triángulos son congruentes entre sí.

AAL: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entre sí y el lado opuesto al primero,

entonces los dos triángulos son congruentes entre sí.

Semejanza de triángulos (~

Dos figuras son semejantes si tienen igual forma, pero distinto tamaño. Para que dos triángulos

sean semejantes se cumple que sus que sus ángulos correspondientes son congruentes entre sí y

los lados homólogos son proporcionales.

LLL: si dos triángulos tienen los lados proporcionales entre sí, entonces los dos triángulos son

semejantes entre sí.

LAL: si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y congruentes el ángulo entre ambos,

entonces son semejantes entre sí.

AA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, entonces son semejantes entre sí.

Teorema de Pitágoras

h

a

b

ℎ

Cateto al cuadrado más cateto al cuadrado es

igual a la hipotenusa al cuadrado.La hipotenusa es opuesta al ángulo recto.

Los números pitagóricos son: (3 – 4 - 5), (5 – 12 - 13) y (8 – 15 - 17)



Página 23

Teorema de Euclides

b ah

p q

∙ ∙

ℎ ∙

ℎ ∙

Trigonometría

c

a

b

ℎ

cos ℎ

secα 1cos

1

1

Identidades Trigonométricas∝ ∝ 1

1 ∝ ∝

1 ∝ ∝



Página 24

0 30 o π⁄6 45 o π⁄4 60 o π⁄3 90 o π⁄2 180 o π 270 o 3 π⁄2

012

√ 22 √ 32 1 0 -1

1 √ 3

2

√ 2

2

1

2 0 -1 0

0 √ 33 1 √ 3 Indef. 0 Indef.

∝ ∝2

∝ ∝

cos∝ cos∝

∝ ∝

Teorema del Seno

∝

Teorema del Coseno

2∙cos

2∙cos Ver figura anterior

2∙cos

α β

γ

a

b

c



Página 25

El Cuadrado

Diagonal = √ 2

Perímetro = 4

Área =

El Rectángulo

Diagonal (d) = √

Perímetro = 2

Área = ∙

El Rombo

d1

d2

a a h

a

a

β

β

α

α

a

d

b

a

d



Página 26

Perímetro = 4

Área = ℎ

El Romboide

Perímetro =2

Área =

ℎ

El Trapecio

Perímetro =

2

Área = ℎ

α

α β

β

b

a h

b

a

α β

γ δ

c

a

d

b



Página 27

El Deltoide

Perímetro =

2

Área =

Circunferencia

Perímetro de la circunferencia = 2

Área de la circunferencia =

Perímetro del sector circular = 2 ∙

Área del sector circular =

∝∙

a a

b b

α α

β β

d1

d2

O

α



Página 28

Teoremas de Circunferencia

α

β

δ

γ

Ángulo inscrito y ángulo del centrocorrespondiente

2 2 2

ED

α β

C γ

B

A

Igualdad de ángulos inscritos

C

A BO

Ángulo recto en una semicircunferencia

< 9 0 º

D B C

A

Teorema del ángulo exinscrito

< 2 :



Página 29

C

B

A

Teorema del ángulo semiinscrito

<

2

:

B

D

E

A

C

Teorema del ángulo interno

<

2

α

β

δ

γ

Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

c

d

b

a

Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia



Página 30

A

P

B

Igualdad de tangentes

C

D

P

B

A

Teorema de las secantes

∙ ∙

B

A

P

T

Teorema de la tangente y la secante

∙

B

C

P

AD

Teorema de las cuerdas

∙

∙



Página 31

A

B

P

T

Teorema del ángulo exterior

<

2

A

C P

B


<

2

AD

P

C

B


<

2



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Vectores y Transformaciones Isométricas

La distancia entre dos puntos o módulo de un vector

Dados A(x1, y1) y B(x2, y2), ,

Determinación de un vector

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces ,

Ponderación de un vector

Dado un vector , ú , ∙ ∙ , ∙

Suma vectorial

Dados los vectores , , , , Resta vectorial

Dados los vectores , , , ,

Traslación en el plano

Dados un punto P y un vector traslación , , , ′ ,

Rotación en el plano con respecto al origen

Ángulo 0 90 180 270 360

Punto (x, y) (-y, x) (-x, -y) (y, -x) (x, y)

Rotación en el plano con respecto a un punto distinto del origen

Para rotar un punto P(x1, y1) con respecto a un punto distinto del origen C(x0, y0) en un ángulo α, es

equivalente a rotar el vector T(x1-x0, y1-y0) con respecto al origen en un ángulo α y luego sumar

esta rotación al punto C.

Simetría axial

Es la simetría que se realiza con respecto a una recta o al eje X o al eje Y.

Simetría central

Es la simetría que se realiza con respecto a un punto. Es equivalente a una rotación en 180º con

respecto a dicho punto.



Página 33

Homotecia

Una homotecia es una transformación geométrica, que dado un centro de homotecia O y una

razón de homotecia k, transforma todo punto P en un punto P’ tal que || ∙ , O, P y P’

colineales. Para trazar una figura:

Paso 1. Ubica el punto de homotecia.

Paso 2. Marcamos la figura dada.

Paso 3. Tomamos las medidas del punto de homotecia a los vértices de la figura.

Paso 4. Multiplicamos cada medida por la razón dada.

Paso 5. Se marcan los vértices con las nuevas medidas.

Paso 6. Se unen los vértices para crear una nueva figura.

Teorema de Thales

Caso general del Teorema de Thales: Sean L1//L2//L3, intersectadas por L4 y L5. Se cumple que:

L4 L5

L1

L2

L3

;

;

A D

B E

C F



Página 35

División de segmento y teorema de la bisectriz

División interior de un segmento: dado un trazo AB, un punto P lo divide interiormente en larazón m:n si se cumple que P pertenece al trazo AB y AP:PB = m:n.

A P B

División exterior de un segmento: dado un trazo AB, un punto P lo divide exteriormente en larazón m:n si se cumple que P pertenece a la prolongación del trazo AB (sin pertenecer al trazo) yAP:PB = m:n.

A B P

Teorema de la bisectriz: el teorema de la bisectriz establece una proporción válida en todotriángulo donde esté dibujada una bisectriz.

Sea el triángulo ABC con bisectriz interior CD. Se cumple que:

α α

C

A B

b a

u vD



Página 36

Distancia en el espacio

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Sean los puntos P0(x0, y0, z0) y P1(x1, y1, z1). La recta que pasa por ambos puntos es:

,, , , ∙ ( , , ) ú

La dirección de la recta queda determinada por el vector director:

( , , ) , ,

Fórmulas de Área y Volumen de Cuerpos Geométricos

Figura Esquema Área Volumen

Cilindro h 2ℎ ℎ

Esfera 4 43

Conog

h ℎ3

P(x1, y1, z1)

Q(x2, y2, z2)

r

r

r



Página 37

Cubo a 6

Prisma a

c b

2 2 2

Pirámide

a

hb

b 42 ℎ3

Tetraedro a √ 3 √ 212



Página 38



Página 39

Estadística

Para datos agrupados

Marca Clase Estatura(cm)

Frecuencias Absolutas Frecuencias RelativasSimple(f) Acumulada(F) Simple(h) Acumulada(H)

1,055 1,01 – 1,10 1 1 0,033 0,0331,155 1,11 – 1,20 3 4 0,1 0,133

1,255 1,21 – 1,30 3 7 0,1 0,233

1,355 1,31 – 1,40 2 9 0,066 0,2991,455 1,41 – 1,50 6 15 0,2 0,499

1,555 1,51 – 1,60 4 19 0,133 0,6321,655 1,61 – 1,70 3 22 0,1 0,732

1,755 1,71 – 1,80 3 25 0,1 0,832

1,855 1,81 – 1,90 2 27 0,066 0,8981,955 1,91 – 2,00 3 30 0,1 0,998

30 0,998

1. Media Aritmética ()

∑ ∙ =

(1∙ 1 ,055 3∙ 1 ,155 3∙ 1 ,255 2∙ 1 ,355 6∙ 1 ,455 4∙ 1 ,555 3∙ 1 ,655 3∙ 1 ,755 2∙1,8553∙1,955/30

1,525

2. Mediana

.. 2 − ∙

a: amplitud

N = 30 n/2 = 15 Fai-1 = 9 f i=6 a = 0,09 Lim. Inf. = 1,41

1,41 302 96 ∙0,09

1,410,09

1,5



Página 40

3. Moda

Se ubica en la tabla la fila de la moda.

.. −

− + ∙

1,41 6 26 2 6 4 ∙0,09

1,41 44 2 ∙0,09

1,47

Para datos no agrupados

Dados los siguientes datos

2,3,5,5,7

1. Media Aritmética

=

2 3 5 5 75

225 4,4

2. Mediana

Me = 5

3. Moda

Mo = 5



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Medidas de Dispersión

1. Rango: corresponde a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto.

2. Varianza

∑ =

3. Desviación Estándar

a. Datos no agrupados

∑ =

b. Datos agrupados

∑ ∙ =

Ejemplo

Nota f i Marca de Clase

3 – 3,9 3 3,454 – 4,9 11 4,45

5 – 5,9 10 5,45

6 - 7 6 6,5n=30

3∙ 3 ,45 11∙ 4 ,45 10∙ 5 ,45 6∙ 6 ,530

5,093≈5,1

3 ∙ 3,455,1

1 1 ∙ 4,455,1

1 0 ∙ 5,455,1

6∙6,55,1

30

35,9430 1,09



Página 42

Distribución Normal o de Gauss

N(0,1) . Una variable X con promedio 0 y desviación estándar 1.

Tabla para conocer el área bajo la curva

XÁrea

intervalo] ∞ , ] XÁrea

intervalo] ∞ , ] XÁrea

intervalo] ∞ , ] -3,1 0,0010 -1,0 0,1587 1,1 0,8643

-3,0 0,0013 -0,9 0,1841 1,2 0,8849

-2,9 0,0019 -0,8 0,2119 1,3 0,9032

-2,8 0,0026 -0,7 0,2420 1,4 0,9192

-2,7 0,0035 -0,6 0,2743 1,5 0,9332

-2,6 0,0047 -0,5 0,3085 1,6 0,9452

-2,5 0,0062 -0,4 0,3446 1,7 0,9554

-2,4 0,0082 -0,3 0,3821 1,8 0,9641

-2,3 0,0107 -0,2 0,4207 1,9 0,9713

-2,2 0,0139 -0,1 0,4602 2,0 0,9772-2,1 0,0179 0,0 0,5000 2,1 0,9821

-2,0 0,0228 0,1 0,5398 2,2 0,9861

-1,9 0,0287 0,2 0,5793 2,3 0,9893

-1,8 0,0359 0,3 0,6179 2,4 0,9918

-1,7 0,0446 0,4 0,6554 2,5 0,9938

-1,6 0,0548 0,5 0,6915 2,6 0,9953

-1,5 0,0668 0,6 0,7257 2,7 0,9965

-1,4 0,0808 0,7 0,7580 2,8 0,9974

-1,3 0,0968 0,8 0,7881 2,9 0,9981

-1,2 0,1151 0,9 0,8159 3,0 0,9987

-1,1 0,1357 1,0 0,8413 3,1 0,9990

Tipificación

Sea Z una variable estadística con distribución normal no tipificada de promedio µ y desviación

estándar , entonces se puede transformar la variable Z en una variable estadística X con

distribución normal tipificada mediante el cambio − .

-3 -2 -1 0 1 2 3



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Combinatoria

Nombre de Combinatoria Fórmula ¿Importa el orden?

Permutaciónn!

Sí

Permutación con repetición !!!!… Sí

Variación ! ! Sí

Variación con repetición Sí

Combinación!! ! No

Combinación con repetición 1!! 1!

No

Ejemplos:

Permutación: de los 5 primeros números naturales se escogen 5. 5 ! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 1 2 0 . Permutación con repetición: de 3 números naturales repetidos (2, 3, 4) se escogen tres 2, cuatro 3

y dos 4.!!∙!∙! ∙∙∙∙∙∙ 9 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 5 1 2 6 0 .

Variación: de los 5 primeros números naturales se escogen 3.

5 – 4 – 2

3 – 2 – 1

1 – 2 – 3 (donde si importa el orden)

…

5!5 3! 5 ∙ 4 ∙ 3 6 0

Variación con repetición: de 4 casillas donde se ponen en cada una los 9 primeros números

naturales.

1 – 8 – 1 – 9

1 – 1 – 9 – 8 (donde si importa el orden)

…

9 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 6 5 6 1



Página 44

Combinación: de los 5 primeros números naturales se escogen 3.

2 – 3 – 4

3 – 5 – 1

1 – 5 – 3 (no importa el orden, la secuencia se considera 1 vez)

…

5!3! 5 3! 5 ∙ 42 10

Combinación con repetición: de los 4 primeros números naturales se escogen 3.

1 – 1 – 1

2 – 1 – 1

1 – 2 – 3

3 – 2 – 1 (no importa el orden, la secuencia se considera 1 vez)

…

4 3 1!3! 4 1! 6 ∙ 5 ∙ 43 ∙ 2 20

Probabilidad

Espacio Muestral (E): es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimentoaleatorio.

Evento o Suceso: corresponde a todo subconjunto de un espacio muestral, asociado a un

experimento aleatorio.

1

∩ ∙ ∪ ó ∩

⁄ ∩

En el caso de un experimento aleatorio con 2 dados se usa la tabla de doble entrada donde se

anotan los casos favorables:



Página 45

1 2 3 4 5 61

2

34

56

En el caso de un experimento aleatorio con monedas se usa el siguiente diagrama:

1º 2º 3ºC

C SC C

S SC

C SS C

S S

1º, 2º y 3º son los lanzamientos de las monedas

Variable aleatoria continua

≥ 1 ≤

≥ ≤

≤ ≤ ≤ ≤



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Índice Analítico

Ángulo del centro, 28 Distancia en el espacio, 36Ángulo exinscrito, Teorema del, 29 Distancia entre dos puntos, 32Ángulo exterior, Teorema del, 31 Distribución de Gauss, 42

Ángulo externo, teorema del, 28 Distribución Normal, 42Ángulo inscrito, 28 Dividir complejos, 7Ángulo interno, Teorema del, 29 División de segmento, 35Ángulo recto en una semicircunferencia, 28 División exterior de un segmento, 35Ángulo semiinscrito, Teorema del, 29 División interior de un segmento, 35Ángulos, 20 Dominio de funciones, 12Área de Cuerpos Geométricos, 36 Ecuación de la recta dados 2 puntos, 14Bisectriz, teorema de la, 35 Ecuación de la recta, 14Cilindro, área del, 36 Ecuación General, 14Cilindro, volumen del, 36 Ecuación vectorial de la recta en el espacio, 36Circunferencia, área de la, 27 Ecuaciones de segundo grado, 10Circunferencia, perímetro de la, 27 Eje de simetría, 10

Circunferencia, teoremas de, 28 Esfera, área de la, 36Combinación con repetición, 43 Esfera, volumen de la, 36Combinación, 43 Espacio Muestral, 44Combinatoria, 43 Estadística, 39Composición de funciones, 12 Euclides, teorema de, 23Conjugado de un complejo, 7 Evento o Suceso, 44Conjuntos Numéricos, 4 Factorizaciones sucesivas:, 9Cono, área del, 36 Frecuencia Absoluta Acumulada, 39Cono, volumen del, 36 Frecuencia Absoluta Simple, 39Coseno, Teorema del, 24 Frecuencia Relativa Acumulada, 39Cuadrado de binomio, 9 Frecuencia Relativa Simple, 39

Cuadrado de trinomio, 9 Función afín, 13Cuadrado, área del, 25 Función biyectiva, 12Cuadrado, diagonal del, 25 Función constante, 13Cuadrado, perímetro del, 25 Función Cuadrática, 17Cuadrilátero circunscrito a circunferencia, 30 Función epiyectiva o sobreyectiva, 12Cuadrilátero inscrito en circunferencia, 29 Función Exponencial, 15Cubo de binomio, 9 Función inversa, 12Cubo, área del, 37 Función inyectiva o uno a uno, 11Cubo, volumen del, 37 Función lineal, 13Cuerdas, Teorema de las, 31 Función Logarítmica, 16Datos agrupados, 39 Función Parte Entera, 13Datos no agrupados, 40 Función Potencia, 16Deltoide, área del, 27 Función Raíz Cuadrada, 18Deltoide, perímetro del, 27 Función Valor Absoluto, 13Desviación Estándar, 41 Funciones, 11Determinación de un vector, 32 Homotecia, 33Diferencia de cubos, 9 Identidades Trigonométricas, 23Discriminante, 10 Igualdad de ángulos inscritos, 28



Página 47

Índice Analítico

Igualdad de tangentes, 30 Proporción Directa, 18Inecuaciones de primer grado, 10 Proporción Inversa, 18Interés Compuesto, 18 Radicación, propiedades de, 6

Interés Simple, 18 Rango, 41Intervalos, 10, 11 Recorrido de funciones, 12Inverso multiplicativo de un complejo, 7 Rectángulo, área del, 25Logaritmos, propiedades de, 6 Rectángulo, diagonal del, 25Máximo común divisor (M.C.D.), 4 Rectángulo, perímetro del, 25Media Aritmética, datos agrupados, 39 Rectas paralelas, 14Media Aritmética, datos no agrupados, 40 Rectas perpendiculares, 14Mediana, datos agrupados, 39 Redondeo, 5Mediana, datos no agrupados, 40 Resta vectorial, 32Medidas de Dispersión, 41 Rombo, área del, 26Método de igualación, 9 Rombo, perímetro del, 26Método de reducción, 9 Romboide, área del, 26

Método de sustitución, 9 Romboide, perímetro del, 26Mínimo común múltiplo (m.c.m.), 4 Rotación en el plano, 32Moda, datos agrupados, 40 Secantes, teorema de las, 30Moda, datos no agrupados, 40 Sector circular, área del, 27Módulo de un vector, 32 Sector circular, perímetro del, 27Módulo o valor absoluto de un complejo, 7 Seno , teorema del, 24Número decimal finito a fracción, 4 Simetría axial, 32Número decimal periódico a fracción, 4 Simetría central, 32Número decimal semiperiódico a fracción, 4 Sistemas de ecuaciones de primer grado, 9Número mixto, 5 Suma de cubos, 9Números Complejos, 7 Suma por diferencia, 9

Parábola, 10 Suma vectorial, 32Pendiente de la recta dados 2 puntos, 14 Tabla de la distribución normal, 42Permutación con repetición, 43 Tangente y la secante, teorema de la, 30Permutación, 43 Tetraedro, área del, 37Pirámide, área de la, 37 Tetraedro, volumen del, 37Pirámide, volumen de la, 37 Thales, teorema de, 33, 34Pitágoras, teorema de, 22 Transformación en los racionales, 4Polígonos, 20 Transformaciones isométricas, 32Ponderación de un vector, 32 Trapecio, área del, 26Por exceso, 5 Trapecio, mediana del, 26Porcentajes, 18 Trapecio, perímetro del, 26Posiciones relativas de rectas en el plano, 15 Traslación en el plano, 32Potencias, propiedades de, 5 Triángulo, área de un, 21Prisma, área del, 37 Triángulo, elementos del, 21Prisma, volumen del, 37 Triángulo, perímetro de un, 21Probabilidad, 44 Triángulos, clasificación de, 21Producto de binomios, 9 Triángulos, congruencia de, 22Productos Notables, 9 Triángulos, semejanza de, 22



Índice Analítico

Trigonometría, 23Truncamiento (o por defecto), 5Variable aleatoria continua, 45

Variación con repetición, 43Variación, 43Varianza, 41Vectores, 32Vértice de la parábola, 10Volumen de Cuerpos Geométricos, 36

Formulario PSU Matemática

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