fórmulas (berg) - minimanual compacto.pdf

MMIINNIIMMAANNUUAALL CCOOMMPPAACCTTOO

Teoria do Ensino Fundamental e Mdio

W i l d e b e r g F e r n a n d e s S a n t o s

BERG - MATEMTICA - BERG - 2 - BERG - MATEMTICA - BERG

A B O M B A D ` A G U A Um homem estava perdido no deserto , prestes a morrer de sede

. Eis que ele chegou a uma cabana velha , desmoronando , sem janelas ,

sem teto . Andou por ali e encontrou uma pequena sombra onde se

acomodou , fugindo do calor do sol desrtico . Olhando ao redor , viu

uma velha bomba de gua , bem enferrujada . Ele se arrastou at a

bomba , agarrou a manivela e comeou a bombear , a bombear , a

bombear sem parar . Nada aconteceu . Desapontado , caiu prostrado ,

para trs . E notou que ao seu lado havia uma velha garrafa . Olhou- a ,

limpou-a , removendo a sujeira e o p , e leu um recado que dizia :

Meu Amigo , voc precisa primeiro preparar a bomba derramando sobre ela toda gua desta garrafa .

Depois faa o favor de encher a garrafa outra vez antes de partir

, para o prximo viajante . O homem arrancou a rolha da garrafa e , de fato , l estava a gua . A garrafa estava quase cheia de gua ! De

repente , ele se viu num dilema .

Se bebesse aquela gua , poderia sobreviver . Mas se despejasse

toda aquela gua na velha bomba enferrujada , e ela no funcionasse

morreria de sede . Que fazer Despejar a gua na velha bomba e esperar

vir a ter gua fresca , fria , ou beber a gua da velha garrafa e desprezar

a mensagem com relutncia , o homem despejou toda a gua na bomba .

Em seguida , agarrou a manivela e comeou a bombear . . . e a

bomba ps-se a ranger e chiar sem fim . E nada aconteceu ! E a bomba

foi rangendo e chiando . Ento , surgiu um fiozinho de gua , depois ,

um pequeno fluxo e finalmente , a gua jorrou com abundncia ! Para

alvio do homem a bomba velha fez jorrar gua fresca , cristalina . Ele

encheu a garrafa e bebeu dela ansiosamente . Encheu-a outra vez e

tornou a beber seu contedo refrescante . Em seguida , voltou a encher a

garrafa para o prximo viajante . Encheu-a at o gargalo , arrolhou-a e acrescentou uma pequena nota :

Creia-me , funciona . Voc precisa dar toda a gua antes de poder obt-la de volta . Vrias lies preciosas podemos extrair desta estria . . . Quantas vezes temos medo de iniciar um novo projeto , pois este demandar um enorme investimento de

tempo , recursos , preparo e conhecimento . Quantos ficam parados satisfazendo-se com pequenos resultados , quando poderiam

conquistar significativas vitrias .

E voc . . . O que falta para despejar esta garrafa de gua que voc guarda e est prestes a beber e conseguir gua fresca

em abundncia de uma nova fonte .

Eu , Wildeberg F. Santos , desejo a todos vocs que esto comigo nesta reviso , que estiveram , mesmo que por

algum momento , durante outras aulas neste ano decorrente , que Deus examine bem o seu corao e faa , no a sua vontade

mas sim a vontade Dele em sua vida pois o que Nosso Pai sempre quer o melhor para ns , s vezes somos ns que

atrapalhamos os Seus planos.

Durante pouco tempo que estou seguindo os caminhos que meu Pai escolheu para mim , tenho aprendido bastante e

posso falar que j me sinto um homem realizado , pois a maior riqueza que posso querer na vida o amor de Cristo ( AMOR

AGAPE ) , um amor que a tudo suporta , a tudo resiste , a tudo espera , a tudo confia e tudo , em Cristo , transforma .

Deixe Deus transformar a sua vida , pois nada melhor que viver com a paz de Cristo dentro de ns .

Espero que meu trabalho possa ter contribudo , de alguma maneira , para voc ser mais um vitorioso e que consiga ,

atravs dele , alcanar seus objetivos e ser feliz . Sei que fiz pouco , mas os agradecimentos e as glrias deste pouco , eu

destino ao meu Pai , nosso Deus , criador e salvador de nossas vidas . Somente Ele merecedor de toda honra , glria ,

louvor e exaltao . Que Deus te abenoe sempre e te faa um vencedor em Cristo Jesus .

Ainda que eu fale as lnguas dos homens e dos anjos , se no tiver amor , serei como o bronze que soa ou como o cmbalo que retine . Ainda que eu tenha o dom de profetizar e conhea a todos os mistrios e toda a cincia ; ainda que eu tenha tamanha f ,

a ponto de transportar montes , se no tiver amor , nada serei . E ainda que eu distribua todos os meus bens entre os pobres e ainda

que entregue o meu prprio corpo para ser queimado , se no tiver amor , nada disso me aproveitar .

O amor paciente , benigno ; o amor no arde em cimes , no se ufana , no se ensoberbece , no se conduz

inconvenientemente , no procura os seus interesses , no se exaspera , no se ressente do mal ; no se alegra com a injustia , mas

regozija-se com a verdade ; tudo sofre , tudo cr , tudo espera , tudo suporta . O amor jamais acaba ; mas , havendo profecias ,

desaparecero ; havendo lnguas , cessaro ; havendo cincia , passar ; porque , em parte , conhecemos e , em parte ,

profetizamos . Quando , porm , vier o que perfeito , ento , o que em parte ser aniquilado . Quando eu era menino , falava

como menino , sentia como menino , pensava como menino ; quando cheguei a ser homem , desisti das coisas prprias de menino .

Porque , agora , vemos como em espelho , obscuramente ; ento , veremos face a face . Agora , conheo em parte ; ento ,

conhecerei como tambm sou conhecido . Agora , pois , permanecem a f , a esperana e o amor , estes trs : porm o maior destes

o AMOR . ( 1 Corntios 13 : 1 - 13 )


Ser feliz , apenas o comeo da vida ; Mas , viver a vida com Deus

o grande passo para gozar a felicidade e obter o direito de viver eternamente .

1 Ensino Fundamental .

1- POTENCIAO :

an = a . a . a . ... . a , para n > 1 ;

n fatores

a1 = 1 / a , se a 0 ;

a n = 1 / an , se a 0 ;

a0 = 1 , se a 0 ;

a1 = a .

am . an = am + n

am an = am n , a 0

( a m ) n = am.n

( a . b ) m = am . bm

( a b )m = am bm , b 0

H . S . : * ( a + b ) = a + 2 . a . b + b

* ( a b ) = a 2 . a . b + b * ( a + b ) = a + 3ab + 3ab + b

* ( a b ) = a 3ab + 3ab b * ( a b ) . ( a + b ) = a b

2- RADICIAO :

n mnm

aa , com a R*+ e n N* .

nnn baba ..

nnn baba :: , com b 0

n mmn aa )(

mnn m aa .

2 Conjunto .

1- CONJUNTO DAS PARTES :

Se o conjunto A tem n elementos, ento o

conjunto das partes de A ter 2n elementos. Ou seja :

n( P(A) ) = 2n(A)

Obs1: n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

Obs2: Dois conjuntos so ditos disjuntos

quando sua interseco vazia , ou seja A B = .

2- COMPLEMENTAR :

ABquadoBACB

A ;

Obs3: Quando o complementar de A for em

relao ao Universo , escrevemos da seguinte

maneira : AUAAC CA

3- PERTINNCIA ( ) : toda relao existente de um elemento para um

conjunto ( e c ) . Ou seja , retiram-se as chaves do lado direito .

Ex.: a) 1 , 3 , 4 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

b) { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , }

c) 1 , 2 , 4 { 1 , 2 , 5 , 7 }

4- INCLUSO ( ) : toda relao existente de um conjunto para

outro conjunto ( c c ) . Ou seja , retiram-se as chaves de ambos os lados .

Ex.: a) { 1 , 3 , 4 , 5 } { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

d) { 1 , 2 , 4 } { 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }

e) { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } { 5 , 7 }

5- INTERVALOS :

Denomina-se intervalo a qualquer subconjunto

dos nmeros reais .

Obs.: *

ooo

o

o *

ooo

oo

oo

*

ooo

oo

o

o

*

ervaloR

elementosZ

elementosN

int


3 Relao Binria .

1- SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL :

Obs.: Simetria do par ordenado P(a,b) , so :

Em relao ao eixo OX , y = 0 P ( a,b )

Em relao ao eixo OY , x = 0 P ( a,b )

Em relao origem , ( 0 , 0 ) P ( a,b )

Em relao 1 bissetriz , y = x P ( b,a )

Em relao 2 bissetriz , y = x P ( b,a )

2- PRODUTO CARTESIANO :

Obs.: Cuidado com os seguintes casos :

1- Se A = ou B = , ento AxB = . 2- Se A = B , ento AxB = A x A = A = B .

3- Sendo A e B no vazios e A B , temos :

A x B B x A . 4- n( A x B ) = n( A ) . n( B )

3- REPRESENTAO GRFICA :

* Representao no plano cartesiano . 1. Elemento x Elemento = Pontos 2. Elemento x Intervalo = Segmentos Verticais 3. Intervalo x Elemento = Segmentos Horizontais 4. Intervalo x Intervalo = Regio Hachurada

4- RELAO BINRIA :

Obs.: Como a relao de A em B um

subconjunto de A cartesiano B , ento :

n [ R ( AxB ) ] = 2 n ( AxB )

4.1- DOMNIO :

o conjunto formado por todos os elementos do

conjunto de partida que esto sendo relacionados .

4.2- IMAGEM :


conjunto de chegada que esto sendo relacionados .

4.3- CONTRADOMNIO :


conjunto de chegada .

4 Funo .

1- FUNO SOBREJETORA :

Determinamos uma funo sobrejetora quando

todos os elementos do conjunto de chegada

estiverem relacionados; Ou seja, quando Im = CD .

2- FUNO INJETORA :

Determinamos uma funo injetora quando, cada

elemento do conjunto de chegada que estiver

relacionado , s poder estar uma nica vez .

3- FUNO BIJETORA :

Quando a funo for sobrejetora e injetora

simultaneamente .

Obs.: Quando uma funo no for

classificada como Sobrejetora e nem como Injetora ,

dizemos que denominada como funo simples .

4- PARIDADE DE FUNO :

4.1- Funo Par:

Qualquer que seja x D, ocorre f(x) = f(x) .

4.2- Funo mpar:

Qualquer que seja x D, ocorre f(x) = f(x) .

Obs.: Quando uma funo no for classificada

como par e nem como mpar, ento definida como

sem paridade.

5- FUNO INVERSA :

Dada uma funo f: A B , bijetora , pode-se obter uma funo de B em A invertendo-se a ordem

dos pares ordenados de f . Essa funo chamada

inversa de f e indica-se por f 1

.

Obs1: f 1

( a ) = b f( b ) = a . Obs2: Uma funo admite inversa quando for

classificada como funo bijetora .

Obs3: f 1

( f ( a ) = a

6- ESTUDO DO DOMNIO DE UMA FUNO:

6.1- Se f uma funo do tipo f(x) = g(x) , temos :

D(f) = R

6.2- Se f uma funo do tipo f(x) = g(x) , temos :

h(x)

D(f) = { x R / h(x) 0 }

6.3- Se f uma funo do tipo f(x) = n xg )( ,

temos :

R , se n for mpar. D(f) =

x R / g(x) 0 , se n for par.


6.4- Se f uma funo do tipo f(x) = n xh

xg

)(

)( ,

temos :

x R / h(x) 0 , se n for mpar.

D(f) =

x R / h(x) > 0 , se n for par.

Obs.: A imagem de uma funo igual ao

domnio da sua funo inversa ; Ou seja :

Im ( f ) = D ( f 1

)

5 Funo Polinomial do 1 Grau .

1- INTRODUO :

toda funo da forma f(x) = ax + b , com

a 0; onde a chamado de coeficiente angular e b , coeficiente linear .

2- TIPOS DE FUNO DO 1 GRAU :

2.1- FUNO AFIM :

toda funo do primeiro grau onde a 0 e

b 0 e sendo assim , f(x) = ax + b .

2.2- FUNO LINEAR :

toda funo do primeiro grau onde a 0 e b = 0 e sendo assim , f(x) = ax .

2.3- FUNO IDENTIDADE :

toda funo do primeiro grau onde a = 1 e

b = 0 e sendo assim , f(x) = x .

3- SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES :

3.1- COEFICIENTE ANGULAR ( a ) :

O valor do coeficiente angular pode ser

determinado da seguinte maneira :

a = y

x

3.1.1 Se a > 0 , a funo do 1 grau crescente . 3.1.2 Se a < 0 , a funo do 1 grau decrescente . 3.1.3 Se a = 0 , a funo constante ; ou seja ,

no uma funo do 1 grau .

* ( + ) f crescente

* ( ) f decrescente

3.2- COEFICIENTE LINEAR ( b ) :

Este coeficiente determina onde a reta corta o

eixo das ordenadas .

3.2.1 Se b > 0 , a funo toca yO

acima da origem

3.2.2 Se b < 0 , a funo toca yO

abaixo da origem

3.2.3 Se b = 0 , a funo toca yO

na origem

Obs.: Uma funo do 1 grau pode ser

determinada , atravs dos pares ordenados ( x1 ; y1 )

e ( x2 ; y2 ) , da seguinte maneira :

Y y 1 = y2 y1 X x1 x2 x1

4- ZEROS DA FUNO DO 1 GRAU :

Denomina-se zero ou raiz de uma funo

f(x) = ax + b o valor de x para f(x) = 0 .

5- INTERSECO DE DUAS RETAS :

5.1- POSIO RELATIVA ENTRE DUAS

RETAS:

Dadas as retas r1: y = a1x + b1 e r2: y = a2x + b2 .

5.1.1- PARALELAS :

As retas r1 e r2 so paralelas quando a1 = a2 e

so classificadas como:

I. Coincidentes b1 = b2

II. Distintas b1 b2

5.1.2- CONCORRENTES :

As retas r1 e r2 so concorrentes quando a1 a2 e so classificadas como:

I. Perpendiculares a1 . a2 = 1

II. Oblquas a1 . a2 1

6- ESTUDO DO SINAL :

Sinal de a Sinal de a

6 Funo Polinomial do 2 Grau .

1- INTRODUO :

toda funo da forma f(x) = ax + bx + c ,

com a R* e b , c R ; onde a , b e c so os coeficientes de f(x) .

I- SOMA DAS RAZES : S = x + x = b / a

II- PRODUTO DAS RAZES : P = x . x = c / a


2- PONTO DO VRTICE DA PARBOLA :

PV ( xV , yV )

acbondea

Y

a

bxxX

V

V

4,;4

22

"'

I- DOMNIO : Df = { x R }

II- IMAGEM : Imf = { y R /

0,

0,

aseYY

aseYY

V

V }

3- RESUMO IMPORTANTE :

1)

baixoparaforeconcavidadasea

cimaparaforeconcavidadasea

,0

,0

2)

.,0

.,0

.,0

origemnaOYemtocarfsec

origemdaabaixoOYemtocarfsec

origemdaacimaOYemtocarfsec

3)

.,0

.,0

.,0

OXemtocarnofse

vezumaOXemtocarfse

vezesduasOXemtocarfse

4)

.,0

.,0

.,0

OYsobreestivervrticeosex

OYdeesquerdaestivervrticeosex

OYdedireitaestivervrticeosex

V

V

V

5)

.,0

.,0

.,0

OXsobreestivervrticeosey

OXdeabaixoestivervrticeosey

OXdeacimaestivervrticeosey

V

V

V

6)

.0,0

.,0

.,0

V

V

V

xseb

iguaissinaistiveremxeaseb

opostossinaistiveremxeaseb

4- ESTUDO DO SINAL :

1 Caso:) > 0

Sinal de a Sinal de a Sinal de a

2 Caso:) = 0

Sinal de a Sinal de a

3 Caso:) < 0

Sinal de a

7 Funo Modular .

1- DEFINIO : Definimos como funo modular a toda funo

definida por f(x) = x , de R em R , onde :

f(x) =

0,

0,

xsex

xsex

2- EQUAO MODULAR :

1 caso : Se x = k e k um nmero real , ento :

x = k , se k > 0

x = 0 , se k = 0

no existe x , se k < 0

2 caso : Se x = k e k uma funo , ento :

x = k .

3 caso : Se x = k , ento :

x = k . Obs.: Sempre verificar as solues .

3- INEQUAO MODULAR :

1 caso : Se x > k , ento :

x > k ou x < k .

2 caso : Se x k , ento :

x k ou x k .

3 caso : Se x < k , ento :

k < x < k .

4 caso : Se x k , ento:

k x k .

8 Funo Exponencial .

1- DEFINIO :

Consideramos uma funo f como funo

exponencial a toda funo f(x) = ax + b , com

a R*+ { 1 } e x,b R ; sendo que a denominado de base da funo exponencial e b o

termo independente.

Obs.: O crescimento de uma funo

exponencial f(x) = ax determinado da seguinte

maneira :

1) Se 0 < a < 1 , denominada de decrescente .

2) Se a > 1 , denominada de crescente .


2- INEQUAO EXPONENCIAL :

Para resolvermos uma inequao exponencial

utilizamos o mesmo raciocnio de equao

exponencial sendo que devemos observar o

crescimento da funo em questo , pois :

1. se a funo for crescente , conserva-se o sinal da desigualdade .

2. se a funo for decrescente , inverte-se o sinal da desigualdade .

9 Funo Logartmica .

1- DEFINIO :

xbab ax log ( 0 < a 1 , b > 0 )

2- CONDIO DE EXISTNCIA :

f( x ) = log a b

0

1

0

b

a

a

3- CONSEQNCIAS DA DEFINIO :

A partir da definio da funo logartmica

f(x) = loga b ( 0 < a 1 , b > 0 ) , podemos afirmar que :

Ex.: * loga 1 = 0

* loga a = 1

* loga am

= m

* loga b = loga c b = c

* n

mam

a nlog

* baba log

4- PROPRIEDADES OPERATRIAS :

So as propriedades que sero teis na resoluo

de alguns clculos numricos :

P1: Logaritmo do Produto

* logc ( a . b ) = logc a + logc b

P2: Logaritmo do Quociente

* logc ( a : b ) = logc a logc b

P3: Logaritmo da Potncia

* an

ma c

m

c nlog.log

Obs.: Nos logaritmos decimais , temos :

log 2 = 0,301 log 3 = 0,477

log 5 = 0,699 log 7 = 0,845

5- COLOGARITMO :

* cologa x = loga x

6- MUDANA DE BASE :

* a

bb

c

ca

log

loglog

7- FUNO LOGARTMICA :

Consideramos uma funo f como funo

logartmica a toda funo f(x) = loga x + b , com

a R*+ { 1 } , x R*+ e b R .

Obs.: O crescimento de uma funo logartmica

f(x) = loga x determinado da seguinte maneira :

1) Se 0 < a < 1 , denominada de decrescente .

2) Se a > 1 , denominada de crescente .

8- INEQUAO LOGARTMICA :

Para resolvermos uma inequao logartmica

utilizamos o mesmo raciocnio de equao

logartmica sendo que devemos observar o

crescimento da funo em questo , pois :

1. se a funo for crescente , conserva-se o sinal da desigualdade .

2. se a funo for decrescente , inverte-se o sinal da desigualdade .

Obs.: Devemos tambm tirar a condio de

existncia de cada funo logartmica relacionada na

inequao .

10 Progresso Aritmtica ( P.A. ) .

1- RAZO :

r = an an1

( n N / n 2 )

Obs.: Se tivermos trs termos consecutivos ou

equidistantes de uma P.A. , podemos deduzir que :

2 . a2 = a1 + a3

2- FRMULA DO TERMO GERAL :

an = a1 + ( n 1 ) . r ( n N* )

an = ak + ( n k ) . r ( n , k N* e n > k )


3- SOMA DOS N TERMOS :

Sn = ( a1 + an ) . n 2

( n N* )

11 Progresso Geomtrica ( P.G. ) .

1- RAZO :

q = an an1

( n N / n 2 )

Obs.: Se tivermos trs termos consecutivos ou

equidistantes de uma P.G. , podemos deduzir que :

( a2 ) = a1 . a3

2- FRMULA DO TERMO GERAL :

an = a1 . q n 1

( n N* )

an = ak . q n k

( n , k N* e n > k )

3- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. : 3.1- P.G. FINITA :

Sn = a1 . ( qn 1 )

q 1 ( n N* )

3.2- P.G. INFINITA :

S = a1

1 q ( 0 < q < 1 )

12 Funo Trigonomtrica .

1- TRINGULO RETNGULO : todo tringulo , de lados a , b e c , que possui

um ngulo reto ; ou seja , um ngulo igual a 90 .

Sendo :

* a a hipotenusa

* b o cateto

b a * c o cateto

Com isso :

* a = b + c ( T. Pitgoras )

c

2- RAZES TRIGONOMTRICAS :

* sen = cateto oposto hipotenusa

* cos = cateto adjacente hipotenusa

* tg = cateto oposto = sen

cateto adjacente cos

Obs.: As funes seno e co-seno so

complementares ; ou seja :

sen = cos ( 90 )

cos = sen ( 90 )

3- TABELA 1 :

30 45 60

Sen 2

1

2

2

2

3

Cos 2

3

2

2

2

1

Tg 3

3

1

3

4- COMPRIMENTO DE UM ARCO :

A Logo :

R * L = . R L

B

4- TABELA 2 :

sen cos tg cosec sec cotg

0 0 1 0 existe 1 existe

90 1 0 existe 1 existe 0


270 1 0 existe 1 existe 0


5- FUNES TRIGONOMTRICAS : Dados sen cos tg

Domnio R R x 90 + k 180

Imagem [1;1] [1;1] R

Perodo 2 rad 2 rad rad

Paridade mpar Par mpar

Sinal + + + + + +

Crescim. CDDC DDCC CCCC

R

Em radianos !


Dados cosec sec cotg

Domnio x k 180 x 90 + k 180 x k 180

Imagem (;1][1;) (;1][1;) R

Perodo 2 rad 2 rad rad

Paridade mpar Par mpar

Sinal + + + + + +

Crescim. DCCD CCDD DDDD

6- REDUO AO 1 QUADRANTE :

Sendo que o arco pertence ao 2 , 3 ou 4

quadrante e pertence ao 1 quadrante . Utilizando a reduo ao 1 quadrante , temos que :

360.

180.

180.

QuadIV

QuadIII

QuadII

7- RELAES TRIGONOMTRICAS : Relaes Fundamentais :

sec x = 1 / cos x , se x 90 + k180 e k Z cosec x = 1 / sen x , se x k180 e k Z

tg x = sen x / cos x , se x 90 + k180 e k Z

cotg x = cos x / sen x , se x k180 e k Z cotg x = 1 / tg x , se x k180 e k Z

Relaes Trigonomtricas :

sen x + cos x = 1

Obs1: sen x = 1 cos x

Obs2: cos x = 1 sen x

sec x = 1 + tg x cosec x = 1 + cotg x 8- TRANSFORMAES TRIGONOMTRICAS : 8.1- FRMULAS DA ADIO :

sen ( a + b ) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen ( a b ) = sen a . cos b sen b . cos a

cos ( a + b ) = cos a . cos b sen a . sen b

cos ( a b ) = cos a . cos b + sen a . sen b

tg ( a + b ) = btgatg

btgatg

.1

tg ( a b ) = btgatg

btgatg

.1

8.2- FRMULAS DA MULTIPLICAO :

sen ( 2a ) = 2 . sen a . cos a

cos ( 2a ) = cos a sen a

tg ( 2a ) = atg

atg

1

.2

8.3- FRMULAS DA DIVISO :

sen ( a/2 ) = 2

cos1 a

cos ( a/2 ) = 2

cos1 a

tg ( a/2 ) = a

a

cos1

cos1

8.4- TRANSFORMAO EM PRODUTO :

sen a + sen b = 2 . sen ( 2

ba ) . cos (

2

ba )

sen a sen b = 2 . sen ( 2

ba ) . cos (

2

ba )

cos a + cos b = 2 . cos ( 2

ba ) . cos (

2

ba )

cos a cos b = 2 . sen ( 2

ba ) . sen (

2

ba )

9- EQUAES TRIGONOMTRICAS : 1 caso : Se tivermos duas funes reais se

igualando , utilizamos as seguintes expresses :

Se sen A = sen B , ento :

360.

360.180

kBA

kBA

Se cos A = cos B , ento :

360.

360.

kBA

kBA

Se tg A = tg B , ento :

180.kBA

2 caso : Se tivermos uma funo igualando a um

nmero real pertencente imagem da funo dada ,

determinamos a expresso dos arcos cngruos

correspondente a este nmero e igualamos ao arco

da mesma funo .

10- TRINGULOS QUAISQUER :

10.1- LEI DOS SENOS : a = b = c = D = 2R

sen sen sen


10.2- LEI DOS CO-SENOS :

a = b + c 2 . b . c . cos

10.3- TEOREMA DA REA :

S = a . b . sen 2

13 Anlise Combinatria .

1- FATORIAL :

n! = n . ( n 1 ) . ( n 2 ) . . . . 3 . 2 . 1

( com n N { 0 , 1 } )

Obs.: Em dois casos particulares , por definio

temos que :

* 1! = 1

* 0! = 1

2- ARRANJOS SIMPLES : Definimos como arranjos simples a todo

agrupamento sem repetio onde a ordem dos

elementos influncia . Representa-se : pnp

n AouA , .

!)(

!

pn

nA pn

, com n , p N e n p

3- COMBINAO SIMPLES : Definimos como combinao simples a todo

agrupamento sem repetio onde a ordem dos

elementos no influncia . Representa-se

p

nouCouC pn

p

n , .

!.!)(

!

! ppn

n

p

AC

p

np

n

, com n , p N e n p

Obs.: A partir desse raciocnio , podemos

concluir que :

10 nC nC n 1 nC nn

1 1nnC

Obs.: Atravs da definio de combinao

simples , temos que :

ban

ou

ba

CC bna

n

( n , a e b N , com n a e n b )

4- PERMUTAO SIMPLES : Definimos como permutao simples a todo

arranjo simples em que o nmero de elementos

igual ao nmero de possibilidades ( n = p ) .

Representamos como permutao simples ao termo

nP , e podemos determinar da seguinte forma :

!nP n , com n N*

5- PERMUTAO COMPOSTA : Definimos como permutao composta a toda

permutao que possui elementos repetidos .

Representamos como permutao composta ao

termo ...,,, cbanP ( n o nmero total de elementos e

a , b , c , . . . representam a quantidade em que cada

elemento est repetindo ) , e podemos determinar da

seguinte forma :

....!.!.!

!...,,,

cba

nP cban

( n,a,b,c, ... N* , com n a , n b , n c , . . . )

14 Binmio de Newton .

1- NMEROS BINOMIAIS :

!.!)(

!

ppn

n

p

n

, com n , p N e n p

2- PROPRIEDADES DOS N.os BINOMIAIS :

1.

ban

ou

ba

entob

n

a

nSe ,

2.

p

n

p

n

p

n 1

1

1

3. n

n

nnnn2...

210

3- FRMULA DO TERMO GERAL : Dado o binmio ( a + b )

n , temos :

KKn

K bak

nT )(.)(.1

Obs1: O nmero de termos de um binmio com

expoente n igual a n + 1 termos .

Obs2: S existe termo mdio em um binmio

com expoente n , quando n for par .


Obs3: O termo mdio representado por TM ,

com M = 0,5n + 1 .

Obs4: O termo independente de x

representado por TI , quando o expoente de x zero

( x0 ) .

15 Probabilidades .

1- TEORIA DAS PROBABILIDADES : a teoria que possibilita calcular as

possibilidades de ocorrer um determinado evento .

P(e) = n(p)

n(t)

16 Somatrio .

1- DEFINIO : a soma de n fatores tomados de i at j atravs

de uma funo dada . Definimos como somatrio de

uma funo qualquer a seguinte frmula :

j

ix

jfififxf )(...)1()()(

17 Nmeros Complexos .

1- O NMERO i :

As potncias para i , so :

i 0

= 1 i 1

= i i 2

= 1 i 3 = i

2- FORMA ALGBRICA :

Todo nmero complexo representado na forma

z = a + bi , com a e b R . Sendo a denominada de parte real do complexo e b a parte imaginria do

complexo .

Obs1: O nmero complexo z = a + bi

denominado de nmero real quando a parte

imaginria nula ; ou seja , b = 0 .

Obs2: O nmero complexo z = a + bi

denominado de nmero imaginrio puro quando a

parte real nula e a parte imaginria no nula ; ou

seja , a = 0 e b 0 .

3- IGUALDADE DE NMEROS COMPLEXOS :

Dizemos que os complexos z = a + bi e

w = c + di so iguais quando tiverem partes reais

iguais e partes imaginrias tambm iguais ; ou seja ,

a = c e b = d .

4- CONJUGADO DE UM COMPLEXO :

Dizemos que o conjugado do complexo z o

complexo Z com mesma parte real e parte

imaginria simtrica a de z ; ou seja , se z = a + bi

ento Z = a bi .

5- FORMA TRIGONOMTRICA :

5.1- MDULO DE UM N. COMPLEXO : A distncia do afixo at a origem denominada

de mdulo de um complexo e esse representado

por : ou z .

= ba

5.2- ARGUMENTO DE UM N. COMPLEXO : Ao representar o mdulo de um complexo no

plano cartesiano forma-se com o eixo positivo de Ox

um ngulo que argumento de um complexo e esse

representado por : ou arg(z) .

sen = b cos = a tg = b

a

Obs.: Para encontrar o argumento devemos

verificar em qual quadrante encontra-se o afixo .

5.3- FORMA TRIGONOMTRICA :

z = . ( cos + i . sen ) ou z = . CIS

5.4- OPERAES NA FORMA TRIG. :

Considerando : Z1 = 1 . ( cos 1 + i . sen 1 ) e

Z2 = 2 . ( cos 2 + i . sen 2 ) .

5.4.1- MULTIPLICAO :

Z1 . Z2 = 1 . 2 [ cos ( 1 + 2 ) + i . sen ( 1 + 2 ) ]

5.4.2- DIVISO :

Z1 : Z2 = 1 : 2 [ cos ( 1 2 ) + i . sen ( 1 2 ) ]

5.4.3- POTNCIA :

( Z ) n

= n [ cos ( n . ) + i . sen ( n . ) ]

5.4.4- RADICIAO :

n

ki

n

kZ nn

360.sen.

360.cos.

( com n N* e K N )


18 Funo Polinomial .

IGUALDADE DE POLINMIOS :

Dois polinmios A(x) e B(x) so iguais ou

idnticos quando possuem os coeficientes ,

correspondentes a varivel x , iguais . Ou seja :

A(x) = an . xn + an1 . x

n1 + . . . + a1 . x + a0 e

B(x) = bn . xn + bn1 . x

n1 + . . . + b1 . x + b0 ,

ento

an = bn , an1 = bn1 , . . . , a1 = b1 e a0 = b0

RELAES DE GIRARD :

a relao existente entre as razes com os

coeficientes da equao polinomial .

1 caso: Equao do 2 grau .

Sendo ax + bx + c , com a 0 ; Temos :

* x + x = b / a * x . x = c / a 2 caso: Equao do 3 grau .

Sendo ax + bx + cx + d , com a 0 ; Temos :

* x + x + x = b / a * x.x + x. x + x.x = c / a

* x . x . x = d / a

19 Matrizes .

1- DEFINIO : Uma matriz qualquer A , definida por

A = ( aij ) mxn ; com i , j , m e n N* e 0 i m e 0 j n . Dizemos que essa matriz de ordem m x n e possui m . n elementos .

2- MATRIZ QUADRADA :

Uma matriz dita quadrada quando o nmero

de linhas igual ao nmero de colunas . Ou seja , a

matriz A = ( aij ) mxn quadrada quando m = n e da

podemos dizer que a matriz A de ordem n .

Obs1: Denomina-se como diagonal principal

( DP ) ao conjunto dos elementos de uma matriz A

quadrada , aos elementos aij onde i = j .

Obs2: Denomina-se como diagonal secundria

( DS ) ao conjunto dos elementos de uma matriz A

quadrada de ordem n , aos elementos aij onde

i + j = n + 1 .

3- MATRIZ TRANSPOSTA :

Definimos como transposta da matriz

A = ( aij )mxn matriz AT que definida por

AT = ( aji )nxm aps substituirmos as linhas pelas

colunas e vice-versa .

Obs.: A transposta da transposta de uma matriz

a mesma matriz ; ou seja , ( AT )

T = A .

4- TIPOS DE MATRIZES :

4.1- MATRIZ NULA ( 0 m x n ) :

Definimos como matriz nula a toda matriz

A = ( aij )m x n , onde aij = 0 .

4.2- MATRIZ LINHA ( A 1 x n ) :

Definimos como matriz linha a toda matriz

que possui uma nica linha e que possui a ordem

igual a 1 x n ; ou seja , A = ( aij ) 1 x n .

4.3- MATRIZ COLUNA ( A m x 1 ) :

Definimos como matriz coluna a toda matriz

que possui apenas uma nica coluna e que possui a

ordem igual a m x 1 ; ou seja , A = ( aij ) m x 1 .

4.4- MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR :

Definimos como matriz triangular superior a

toda matriz A = ( aij ) nxn , onde aij = 0 , com i > j .

4.5- MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR :

Definimos como matriz triangular inferior a

toda matriz A = ( aij ) nxn , onde aij = 0 , com i < j .

4.6- MATRIZ DIAGONAL :

Definimos como matriz diagonal a toda matriz

que for simultaneamente matriz triangular

superior e inferior ; ou seja , A = ( aij ) nxn , onde

aij = 0 , com i j .

4.7- MATRIZ ESCALAR :

Definimos como matriz escalar a toda matriz

diagonal onde os elementos da diagonal principal

so iguais ; ou seja , A = ( aij ) nxn , onde aij = 0 ,

com i j e aij = k , com i = j .

4.8- MATRIZ IDENTIDADE ( I n ) :

Definimos como matriz identidade ou unidade

a toda matriz escalar onde os elementos da diagonal

principal so iguais a 1 ; ou seja , A = ( aij ) nxn ,

onde aij = 0 , com i j e aij = 1 , com i = j .


4.9- MATRIZ SIMTRICA :

Definimos como matriz simtrica a toda matriz

quadrada onde os elementos opostos diagonal

principal so iguais ; ou seja , aij = aji se i j .

4.10- MATRIZ ANTI-SIMTRICA :

Definimos como matriz anti-simtrica a toda

matriz quadrada onde os elementos opostos

diagonal principal so simtricos e os elementos da

diagonal principal so nulos ; ou seja , aij = aji se

i j e aij = 0 se i = j .

5- OPERAES COM MATRIZES :

5.1- ADIO E SUBTRAO :

Para adicionarmos ou subtrairmos duas

matrizes de mesma ordem , basta somar ou

subtrair os elementos de mesmo endereo ; ou seja ,

dada as matrizes A = ( aij ) mxn , B = ( bij ) mxn e

C = ( cij ) mxn , se C = A + B ento cij = aij + bij .

5.2- PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM N. :

Para multiplicarmos uma matriz por um escalar

real , basta multiplicar esse escalar por todos os

elementos dessa matriz ; ou seja , dada a matriz

A = ( aij ) mxn , se C = k . A ento cij = k . aij .

Obs.: Duas matrizes , de mesma ordem , so

opostas , quando os elementos de mesmo endereo

so opostos ; ou seja , dada a matriz A = ( aij ) mxn ,

se C = A ento cij = aij .

5.3- MULTIPLICAO DE MATRIZES :

Para multiplicarmos duas matrizes A e B

necessrio que o nmero de colunas da primeira

matriz seja igual ao nmero de linhas da segunda

matriz , e com isso a ordem da matriz resultante ter

o nmero de linhas da primeira e o nmero de

colunas da segunda . A partir da , o produto delas

ser realizado atravs do produto das linhas da

primeira matriz pelas colunas da segunda matriz ;

ou seja , dada as matrizes A = ( aij ) mxn ,

B = ( bij ) nxp e C = ( cij ) mxp , se C = A . B ento

cij = L(ai) . C(bj) .

6- MATRIZ INVERSA :

Definimos como matriz inversa da matriz A ,

quadrada de ordem n , a matriz A 1

, tal que

A . A 1

= In .

Obs.: Uma matriz quadrada denominada de

matriz inversvel quando admitir inversa .

Obs.: Uma matriz quadrada denominada de

matriz no-inversvel ou singular quando no

admitir inversa .

20 Determinantes .

1- DET. DE UMA MATRIZ DE ORDEM 1 :

O determinante de uma matriz de ordem 1 o

prprio elemento dessa matriz ; ou seja , se a

matriz A = ( aij )1x1 , ento det(A) = aij .

2- DET. DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 :

O determinante de uma matriz de ordem 2 a

diferena do produto dos elementos da diagonal

principal pelo produto dos elementos da diagonal

secundria ; ou seja , se a matriz

2221

1211

aa

aaA ,

ento det(A) = a11 . a22 a12 . a21 .

2.1- MATRIZ INVERSA DE 2 ORDEM :

Dada a matriz A de ordem 2 , podemos

encontrar a sua inversa aplicando determinante .

Para isso , segue-se os passos abaixo:

1 passo: Encontrar o determinante da matriz A .

2 passo: Invertemos a posio dos elementos da

diagonal principal .

3 passo: Invertemos o sinal dos elementos da

diagonal secundria .

4 passo: Dividimos todos os elementos da matriz

resultante pelo determinante de A .

Obs1: Dada uma matriz quadrada A de ordem

n , dizemos que o determinante da matriz inversa de

A o inverso do determinante de A , desde quando

esse determinante no seja nulo ; ou seja ,

1A = A

1 , com A 0 .


n , dizemos que A inversvel se o determinante de

A no for nulo ; ou seja , A inversvel se A 0 .


n , dizemos que A singular se o determinante de

A for nulo ; ou seja , A singular se A = 0 .


3- REGRA DE SARRUS :

Dada a matriz A de ordem 3 , podemos

encontrar o seu determinante aplicando a regra de

Sarrus . Para isso , segue-se os casos abaixo:

1 caso: Escrever a matriz A .

2 caso: Repetir , ordenadamente , as duas

primeiras colunas .

3 caso: Multiplicar as trs diagonais principais e

somar os seus resultados . ( Desce )

4 caso: Multiplicar as trs diagonais secundrias e

somar os seus resultados . ( Sobe )

5 caso: O determinante ser a diferena entre o

resultado do 3 caso e o resultado do 4

caso ; ou seja , det(A) = Desce Sobe .

Obs.: Quando multiplicarmos toda uma matriz

quadrada , de ordem n , por um escalar , ento seu

determinante ser determinado por :

(.A) = ( ) n

. A

21 Sistemas Lineares .

1- REGRA DE CRAMER :

utilizada para resolver um sistema de

ordem n .

1 Passo: Devemos encontrar o determinante

principal ( P ) desse sistema . O determinante principal de um sistema ordenado de ordem n o

determinante da matriz P definida atravs dos

coeficientes das incgnitas .

2 Passo: Devemos encontrar o determinante de

cada letra ( H ) desse sistema . O determinante de cada incgnita de um sistema ordenado de ordem n

o determinante da matriz H definida aps

substituirmos a coluna dos termos independentes no

lugar da coluna de H .

3 Passo: O valor de cada letra , encontrado

atravs da seguinte relao :

h = H .

P 2- CLASSIFICAO DE UM SIST. LINEAR :

Um sistema linear pode ser classificado de trs

maneiras : Determinado , Indeterminado ou

Impossvel .

Obs1: O sistema determinado ocorre quando o

sistema admite uma nica soluo e seu conjunto

soluo representado por S = { ( x , y , z , . . . ) } .

Obs2: O sistema indeterminado ocorre quando o

sistema admite infinitas solues e seu conjunto

soluo representado por S = R n . Obs3: O sistema impossvel ocorre quando o

sistema no admite soluo e seu conjunto soluo

representado por S = { } ou S = .

3- DISCUSSO DE UM SISTEMA LINEAR :

Atravs da classificao de um sistema linear ,

podemos discutir um sistema quando :

Obs1: O sistema for possvel e determinado

classificado como SPD . Logo , P 0 . Obs2: O sistema for possvel e indeterminado

classificado como SPI . Logo , P = 0 e H = 0 . Obs3: O sistema for impossvel classificado

como SI . Logo , P = 0 e H 0 .

22 Geometria Plana .

1- TIPOS DE NGULOS :

Os ngulos se subdividem em :

* Reto : igual a 90 ;

* Raso : igual a 180 ;

* Agudo : menor que 90 ;

* Obtuso : maior que 90 ;

* Adjacentes : ngulos consecutivos ;

* Opostos pelo vrtice : ngulos opostos

pelo vrtice .

* Bissetriz : semi-reta que corta o ngulo

ao meio com origem no vrtice do ngulo .

2- MEDIDA DE UM NGULO :

Os ngulos so medidos da seguinte forma :

* Graus ( )

* Radianos ( rad )

* Grados ( gr )

180 = rad = 200 gr

3- NGULOS PARTICULARES :

Os ngulos possuem trs casos particulares :

* ngulo complementar : x = 90

* ngulo suplementar : x = 180

* ngulo explementar : x = 180 +

* ngulo replementar : x = 360


4- NGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS

PARALELAS :

Dadas duas retas paralelas , podemos resolver

esses problemas aplicando a regra do Z .

r

r / / s

s

5- NGULOS NO CRCULO :

Os ngulos no crculo se subdividem em :

5.1- NGULO CENTRAL :

o ngulo que possui vrtice no centro e seu

valor sempre igual ao arco limitado por seus

lados .

5.2- NGULO INSCRITO :

o ngulo que possui o vrtice sobre a

circunferncia e seu valor sempre a metade do arco

limitado por seus lados .

6- NGULO EXCNTRICO :

6.1- INTERNO :

o ngulo que possui vrtice no interior da

circunferncia e seu valor a semi-soma dos arcos

limitados por seus lados .

6.2- EXTERNO :

o ngulo que possui vrtice no exterior da

circunferncia e seu valor a semi-diferena dos

arcos limitados por seus lados .

7- POLGONOS :

7.1- NGULOS DE UM POLGONO :

* Internos : Si = (n 2) . 180

ai = Si / n ( regular )

* Externos : Se = 360

ae = 360 / n ( regular )

ai + ae = 180

7.2- DIAGONAIS DE UM POLGONO :

* D = n . ( n 3 ) / 2

8- TRINGULOS :

So polgonos existentes com trs lados .

8.1- CLASSIFICAO DOS TRINGULOS :

8.1.1- QUANTO AOS NGULOS :

Acutngulo : trs ngulos agudos ;

Retngulo : um ngulo reto ;

Obtusngulo : um ngulo obtuso .

8.1.2- QUANTO AOS LADOS :

Equiltero : trs lados congruentes;

Issceles : pelo menos dois lados congruentes ;

Escaleno : trs lados diferentes .

8.2- ELEMENTOS DE UM TRINGULO :

8.2.1- MEDIANAS :

So segmentos que ligam cada vrtice do

tringulo ao ponto mdio do lado oposto .

Obs1: Definimos como Baricentro ( G ) ao

ponto de interseco entre as medianas e

encontrada da seguinte forma :

Gh = 1/3 . H

8.2.2- ALTURAS :

So segmentos perpendiculares aos lados ,

tomados a partir dos respectivos vrtices opostos .

Obs2: Definimos como Ortocentro ao ponto de

interseco entre as alturas .

8.2.3- MEDIATRIZES :

So retas perpendiculares aos lados pelos seus

pontos mdios .

Obs3: Definimos como Circuncentro ao ponto

de interseco entre as mediatrizes .

8.2.4- BISSETRIZES INTERNAS :

So segmentos que dividem os ngulos internos

em dois outros congruentes .

Obs4: Definimos como Incentro ao ponto de

interseco entre as bissetrizes internas .


9- POTNCIA DE UM PONTO NUM CRCULO :

Sendo P a interseco entre duas cordas ,

temos que :

A B

PA . PD = PB . PC P

C D

Obs.: Quando uma das cordas tangente a

circunferncia , temos que :

A

PA = PB . PC P

B

C

10- RELAES NO TRIN. RETNGULO :

Considerando o tringulo retngulo ABC abaixo :

A

b h c

m n

C a B

Onde : a = hipotenusa

b e c = catetos

m = projeo de b sobre a hipotenusa

n = projeo de c sobre a hipotenusa

h = altura relativa hipotenusa

Relaes : b = a . m e c = a . n

a . h = b . c

h = m . n

a = m + n

a = b + c ( Pitgoras )

11- REAS DAS FIGURAS PLANAS :

11.1- TRINGULOS :

S = a . h / 2 S = a.b.sen/2

S = p p a p b p c( ).( ).( ) S = l 4

3

11.2- QUADRILTEROS :

Paralelogramo S = a . b . sen Retngulo S = a . b

Losango S = D . d / 2

Quadrado S = a

Trapzio S = ( B + b ) . h / 2

11.3- HEXGONO REGULAR :

S = 6 . a 4

3

11.4- CRCULO :

S = R

11.4.1- SETOR CIRCULAR :

S = . R . / 360

23 Geometria Espacial .

1- POLIEDROS :

A + 2 = V + F

A aresta

V vertice

F face

.

1.1- PROPRIEDADE DOS POLIEDROS :

Num poliedro convexo , a soma dos ngulos de

todas as faces dada por : S = ( V 2 ) . 360 , onde V o nmero de vrtices .

2- ESTUDO DO PRISMA :

2.1- PRISMA RETO :

Dados importantes sobre o PRISMA :

1 rea da Base ( Sb ) a rea da regio poligonal da base .

2 rea da Face Lateral ( Sf ) Sf = L . h

3 rea da Lateral ( SL ) SL = n . Sf

4 rea Total ( ST ) ST = SL + 2 Sb

5 Volume ( V ) V = Sb . h .

2.2- ESTUDO DO PARALELEPPEDO :

1 Soma de todas as arestas S = 4a + 4b + 4c

2 Diagonal D = a + b + c

3 rea Total ST = 2 . ( a . b + a . c + b . c )

4 Volume V = a . b . c


2.3- ESTUDO DO CUBO :

1 Soma de todas as arestas S = 12a

2 Diagonal da Face d = a 2

3 Diagonal do Cubo D = a 3

4 rea Lateral SL = 4a

5 rea Total ST = 6a

6 Volume V = a

3- ESTUDO DA PIRMIDE :

1 rea da face Sf = L . g / 2

2 rea Lateral SL = n . Sf

3 rea da base Sb (rea do polgono da base)

4 rea Total ST = Sb + SL

5 Volume V = Sb . h / 3

3.1- Frmulas decorrentes de uma PIRMIDE :

1 g = h + m

2 a = g + ( L/2 )

3 a = r + h

4- ESTUDO DO CILINDRO :

1 rea Lateral SL = 2 . . r . h

2 rea da base Sb = . r

3 rea Total ST = SL + 2 . Sb

4 Volume V = Sb . h

5 rea da seo Meridiana SSM = 2 . r . h Obs.: Um cilindro dito regular quando a

altura igual ao dimetro da base ; ou seja , h = 2r .

5- ESTUDO DO CONE :

1 rea Lateral SL = . r . g

2 rea da base Sb = . r

3 rea Total ST = SL + Sb

4 Relao mtrica g = h + r

5 Volume V = Sb . h / 3 Obs.: Um cone dito regular quando a geratriz

igual ao dimetro da base ; ou seja , g = 2r .

6- ESTUDO DA ESFERA :

1 rea S = 4 . . r

2 Volume V = 4 . . r / 3

24 Geometria Analtica .

1- DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS :

)()( 1212 yyxxd

2- PONTO MDIO DE UM SEGMENTO :

2

2),(21

21

yyy

xxx

yxM

M

M

MM

3- BARICENTRO DE UM TRINGULO :

3

3),(321

321

yyyy

xxxx

yxG

G

G

GG

4- REA DE UM TRINGULO :

1

1

1

233

22

11

yx

yx

yx

DD

A

5- ESTUDO DA RETA :

12

12

1

1

XX

YY

XX

YY

5.1- EQUAO GERAL :

A equao geral de uma reta toda reta escrita

na forma ax + by + c = 0 . Onde a e b no so

nulos .

5.2- EQUAO REDUZIDA :

A equao reduzida de uma reta toda reta

escrita na forma y = ax + b , sendo a o coeficiente

angular ou declividade da reta e b o coeficiente

linear da reta .

5.3- EQUAO SEGMENTRIA :

A equao segmentria de uma reta toda reta

escrita na forma x + y = 1 , com p e q no nulos .

p q

6- NGULO ENTRE DUAS RETAS :

Dadas duas retas r e s , tais que

r: y = a1 . x + b1 e s: y = a2 . x + b2 , dizemos que

o ngulo agudo entre essas duas retas , indicado na figura abaixo , tal que :

12

12

.1 aa

aatg


7- DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA :

..),(

00

ba

cybxarPd

8- BISSETRIZES DE DUAS RETAS :

..

..

22

222

11

111

ba

cybxa

ba

cybxa

9- ESTUDO DA CIRCUNFERNCIA :

9.1- EQUAO REDUZIDA :

( x a ) + ( y b ) = r

9.2- EQUAO GERAL OU NORMAL :

x + y 2ax 2by + a + b r = 0

25 Estatstica .

1- DEFINIO : A estatstica trata dos mtodos cientficos para

coleta, organizao, resumo, apresentao e

anlise de dados, visando tambm a tomada de

decises.

2- DISTRIBUIO DE FREQUNCIAS :

2.1- ROL ( DADOS BRUTOS ). uma tabela de valores dispostos numa

determinada ordem. Nela, pode-se calcular

fatores importantes da estatstica, por exemplo,

a amplitude de rol ou amplitude total, que

a diferena entre o maior e o menor valor.

2.2- FREQUNCIA. o nmero de vezes que um determinado valor

se repete.

2.3- FREQNCIA RELATIVA OU PERCENTUAL ( Fr )

A freqncia de cada classe associa-se o

percentual que esta representa em relao

freqncia total.

2.4- FREQNCIA ACUMULADA ( Fa ) dada pela soma das freqncias de todas as

classes desde a primeira at a classe

considerada.

3- HISTOGRAMA : Representa uma distribuio de freqncias

sendo formado por retngulos justapostos,

sendo o nmero de retngulos igual ao nmero

de intervalos de classe.

4- OGIVA : Trata-se de um grfico de linha, onde so

consideradas as freqncias acumuladas ( Fa ).

5- GRFICO DE SETORES : Os dados so representados em setores

circulares que so proporcionais aos valores.

Fazemos corresponder a uma volta do crculo

( 360 ) o total ( 100% ) dos dados e

estabelecemos atravs de uma regra de trs o

ngulo relativo ao setor circular de acordo com

cada valor.

6- MEDIDAS DE DISTRIBUIO :

6.1- MDIA ARITMTICA ( Ma ) o quociente da diviso da soma dos valores

pelo nmero de elementos.

6.2- MDIA PONDERADA ( MP ) A mdia ponderada a mdia aritmtica com

intervalos de classe. Utiliza-se esta mdia

quando existe intervalos de classes. Esta mdia

o quociente da soma dos produtos entre cada

nota com a respectiva freqncia pela soma das

freqncias.

6.3- MODA ( MO ) A moda de um conjunto de elementos o

elemento que ocorre com maior freqncia.

Um conjunto de elementos pode ter moda, mais

de uma moda ou no ter moda.


6.4- MEDIANA ( Md ) Dispondo os elementos em ordem crescente, a

mediana o valor intermedirio ou a mdia

aritmtica dos valores intermedirios.

7- MEDIDAS DE DISPERSO :

7.1- DESVIO ( d ) O desvio de um determinado valor a diferena

que ele possui em relao mdia aritmtica.

7.2- DESVIO MDIO ( dm ) O desvio mdio de um conjunto de elementos

a mdia aritmtica de todos os desvios.

7.3- VARINCIA ( v ) a soma de todos os produtos entre cada

freqncia e o quadrado de seu respectivo

desvio, dividido pelo nmero de elementos.

7.4- DESVIO PADRO ( dp )

a raiz quadrada do valor da varincia dos

elementos de um conjuntos.

26 Lgica Matemtica .

1- PROPOSIO : Chama-se de proposio a toda sentena

declarativa que se pode classificar como verdadeira ou falsa .

1.1- NEGAO ( ) : Seja p uma proposio . Dizemos que a negativa da proposio p a proposio ~ p .

2- QUANTIFICADORES :

2.1- QUANTIFICADOR UNIVERSAL ( ) : L-se : Para todo , Para cada ou Qualquer que seja .

2.2- QUANTIFICADOR EXISTENCIAL ( ) : L-se : Existe um ou Existe pelo menos um .

Obs.: L-se : Existe somente um .

3- PROPOSIO COMPOSTA :

3.1- CONJUNO ( ) :

Colocando-se a palavra e ( representada

pelo smbolo ) entre duas proposies p e

q , obteremos uma outra proposio p q .

A proposio p q uma proposio composta formada a partir das proposies simples p e

q . A conjuno p q verdadeira quando p e q so ambos verdadeiros ; se ao menos

uma delas for falsa , ento p q falsa .

3.2- DISJUNO ( ) : Colocando-se a palavra ou ( representada

pelo smbolo ) entre duas proposies p e

q , obteremos uma outra proposio p q .

A proposio p q uma proposio composta formada a partir das proposies simples p e

q . A disjuno p q falsa quando p e q forem ambos falsos ; se ao menos uma delas

for verdadeira , ento p q verdadeira .

3.3- NEGAO : As proposies compostas Conjuno e

Disjuno , so negadas da seguinte forma :

TABELA VERDADE

P r s r s

~ P r s r s

4- CONDICIONAIS :

4.1- IMPLICAO ( ) :

Dados as proposies p e q , temos

p q . L-se : Se p ento q . A

implicao p q s falso quando p verdadeiro e q falso , caso contrrio ,

p q verdadeiro .

4.1.1- NEGAO : A proposio Implicao , negada da seguinte

forma :

TABELA VERDADE

P r s

~ P r s

4.2- BICONDICIONAL OU EQUIVALNCIA ( ) :

Dados as proposies p e q , temos

p q . L-se : p se somente se q . A

equivalncia p q verdadeiro , somente


quando p e q so ambos verdadeiros ou ambos

falsos , caso contrrio , p q falso .

4.2.1- NEGAO : A proposio Bicondicional , negada da

seguinte forma :

TABELA VERDADE

P r s

~ P ( r s ) ( r s )

5- TAUTOLOGIA : Uma proposio composta uma

TAUTOLOGIA se seu valor lgico for sempre

verdadeiro .

6- CONTRADIO : Uma proposio composta uma

CONTRADIO se seu valor lgico for sempre

falso .

7- CONTINGNCIA : Uma proposio composta uma

CONTINGNCIA se no contradio ou

tautologia .

8- VARIANTES DA CONDICIONAL (Implicao):

A condicional tem trs variantes que so

denominadas por : ( p q )

8.1- Recproca : q p

8.2- Contrria : ~p ~q

8.3- Contrapositiva ou conversa : ~q ~p

27 Matemtica Financeira .

1- GRANDEZAS PROPORCIONAIS:

1.1- RAZO:

a relao entre grandezas da mesma espcie .

Denominamos de razo entre os nmeros racionais

a e b , com b 0, o quociente dado por:

baoub

a:

1.2- PROPORO:

a sentena que indica a igualdade de duas

razes . Denominamos de proporo uma igualdade

de duas razes , isto :

dcbaoud

c

b

a::

Ex.: A proporo 3/4 = 6/8 tambm escrita

sob a forma 3 : 4 :: 6 : 8 . L-se: 3 est para 4 assim

como 6 est para 8 .

Propriedade fundamental - Em toda

proporo, o produto dos meios igual ao produto

dos extremos .

Ex.: 4 x 6 (meios) = 3 x 8 (extremos)

1.3- PORCENTAGEM:

toda razo cujo denominador 100, ou seja :

100(%)

PP

1.4- REGRA DE TRS:

o processo de clculo utilizado para

resolver problemas que envolvem duas ou mais

grandezas direta ou inversamente proporcionais .

2- MATEMTICA FINANCEIRA:

2.1- JUROS SIMPLES:

a remunerao recebida pela aplicao de um

capital durante um certo tempo .

j = C . i . t

100

Onde : * C o capital aplicado .

* i a taxa anual .

* t o tempo ( em anos ) .

Obs.: Se a taxa e o tempo forem dados em

tempos diferentes , devemos transformar o tempo

para o tempo referido na taxa .

2.1.1- MONTANTE:

a soma entre o capital e o juro . Ou seja :

M = C + j


2.2- JUROS COMPOSTOS:

o juro cobrado sobre juro , onde o juro

de todo o tempo equivalente ao montante da

aplicao .

JC = C . ( 1 + i ) T

Obs.: Se a taxa e o tempo forem dados em

tempos diferentes , devemos transformar o tempo

para o tempo referido na taxa .

28 Smbolos de Medidas .

grandeza smbolo unidade smbolo

Massa m quilograma kg

Distncia,

comprimento d, l metro m

Tempo t, , T segundo s

Corrente eltrica I ampre A

Quantidade de

matria n moles mol

Temperatura T kelvin K

Intensidade luminosa I candela cd

Densidade , quilograma por metro

cubico kg.m

-3

Carga eltrica q, Q coulomb C

Perodo T segundo s

Freqncia f hertz Hz

Velocidade v, c metro por segundo m.s-1

Velocidade angular radiano por segundo rad.s-1

Acelerao a metro por segundo ao

quadrado m.s

-2

Fora F newton N

Energia E joule J


Quantidade de calor Q joule J

Trabalho joule J

Potncia P watt W

Presso p, P pascal Pa

Calor especfico c joule por kelvin e por

quilograma J.kg

-1.K

-1

Capacidade calorfica C joule por kelvin J.K-1

Calor latente L joule por quilograma J.kg-1

Tenso eltrica U, V volt V

Resistncia eltrica R, r ohm

Resistividade ohm metro .m

Condutividade , siemens por metro S.m-1

Impedncia Z ohm ,

Campo magntico B tesla T

Fluxo magntico , weber Wb

Indutncia L henry H

Capacidade eletrica C farad F

29 Alfabeto Grego .

Alfa

Beta

Gama

Delta

Epslon

Dzeta

Ni

csi

micron

Pi

R

Sigma


Eta

Teta

Iota

capa

Lambda

Mi

Tau

psilon

Fi

Qui

Psi

mega

PP..SS.. :: LLeeiiaa ee RReefflliittaa !! !! !!

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PPoorrqquuaannttoo aa eessccrriittaa ddiizz :: TTooddoo aaqquueellee qquuee nneellee ccrr

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A N O T A E S :

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