Formulas mat

download Formulas mat

of 14

  • date post

    09-Aug-2015
  • Category

    Education

  • view

    40
  • download

    6

Embed Size (px)

Transcript of Formulas mat

  1. 1. ndice lgebra Elementar e Conjuntos 5 Funes 6 Logaritmos 7 Trigonometria 8 Progresses 14 Matrizes e Determinantes 16 Sistemas Lineares 22 Anlise Combinatria 23 Binmio de Newton 24 Nmeros Complexos 26 Polinmios 29 Geometria Analtica 32 Geometria Espacial 39 Geometria Plana 43 lgebra Elementar Simbologia (e) (pertence) (ou) (nopertence) |(talque) (contm) $(existe) (nocontm) $(noexiste) (contido) "(qualquerqueseja) (nocontido) (vazio) Conjuntos Interseo AB = { x | xA xB } Unio AB = { x | xA xB } Diferena A-B={x|x A xB } Complementar B se BA ento C = A-BA onde: a, b, x R a > 0 e a 1 e b > 0 Decorrncias da definio log 1 = 0 ( 0 < a 1)a log a = 1 ( 0 < a 1)a a = b (0 < a 1 e b > 0) log b = log c b = c (0 < a 1, b > 0 e c > 0)a a Propriedades operatrias Mudana de base " " Logaritmos log b = xa x a = b log b + log c = log bca a a log b - log c = loga a a b ca log b = a . log ba a log b = . log ba aa 1 a log b =a log bc log ac log ab 5 7 Fernando H. Ferraz Exatas Handbook
  2. 2. Estudodafuno Uma relao R: A B ser uma funo de Aem B, se e somente se: - D(R) = A - Cada elemento x A se relaciona (forma par) com um nico elemento B. Notao: f : A B ou y = f(x) Funo do 2 grau 2 - f: R R, definida por f(x) = ax + bx + c - D(f) = R - Coordenadas do vrtice: - Se a > 0, valor mnimo = y .v - Se a < 0, valor mximo = y .v Funes V =( )-b ; -D 2a 4a Trigonometria Razes Trigonomtricas Seja um tringulo retngulo, fixando um ngulo agudo a, temos: seno - a razo entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa: cosseno - a razo entre o cateto oposto ao ngulo e ahipotenusa: tangente- a razo entre o cateto oposto ao ngulo e ocatetoadjacenteaongulo: a a c b sena = b a tga = b c cosa = c a 8 6
  3. 3. Para lembrar... Lembre-se da frase: Corri, ca e tomei uma coca. corri - co/hip (cateto oposto/hipotenusa) = seno ca - ca/hip (cateto adjacente/hipotenusa) = cosseno coca - co/ca (cateto oposto por adjacente) = tangente Valores notveis 30 45 60 sen cos tg 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 2 1 Radianos - Graus 180 = p rad y = x rad x = y p 180 De1temos: De2temos: 2 2 sen a + cos a = 1 2 2 cotg a + 1 = cossec a 2 2 tg a + 1 = sec a tga = sena cosa cotga = cosa sena seca = 1 cosa cosseca = 1 sena Tringulos Quaisquer ab Sejaumtringuloabc,qualquer: LeidosSenos: LeidosCossenos: a = b + c - 2bc.cosA b = a + c - 2ac.cosB c = b + a - 2ab.cosC c C A B a senA = b senB c senC = 1111 Transformao de Arcos Arcos negativos: sen(-a)= -sena tg(-a)= -tga cos(-a)=cosa Adio/Subtrao de arcos: sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa sen(a -b)=sena.cosb -senb.cosa cos(a+b)=cosa.cosb -sena.senb cos(a -b)=cosa.cosb+ sena.senb tg(a + b) = tg a + tg b 1 - tg a . tg b tg(a - b) = tg a - tg b 1 + tg a . tg b Arco dobro: sen(2a)=2.sena.cosa cos(2a)=cosa -sena Arco metade: sen(x/2) = 1 - cos x 2 cos(x/2) = 1 + cos x 2 tg(x/2) = 1 - cos x 1 + cos x tg(2a) = 2tga 1 - tga PG (Progresses Geomtricas) Termogeral n - 1 a = a . qn 1 Soma dos termos PG infinita (-1 < q < 1) Mdia da PG Seja uma PG(...,a,b,c,...) b = a . c Escrevendo 3 termos consecutivos -1 (...,xq ,x,xq) S =n a - a . q1 n 1 - q S =n n a . (1 - q )1 1 - q S = a1 1 - q 9 1513 11
  4. 4. Relaes Trigonomtricas Fundamentais sena cosa tga cotga seca cosseca 1 A partir desse hexgono, podemos retirar todas as relaes trigonomtricas fundamentais. Notemos as seguintes propriedades: 1) Somamos o quadrado de dois vrtices dos tringulos azuis (tendo que a reta base do segmento de reta formado por esses dois vrtices deve ser paralela ao eixo tg-cotg) e igualamos ponta do tringulo. 2) Seguindo as setas, igualamos o primeiro vrtice razo dos dois vrtices seguintes. 1010 Ciclo Trigonomtrico cosseno seno tangente 2p (360) 0 (0)(180) p 3p/2 (270) p/2 (90) p/3 (60) p/4 (45) p/6 (30) (120) 2p/3 (135) 3p/4 (150) 5p/6 (210) 7p/6 (225) 5p/4 (240) 4p/3 11p/6 (330) 7p/4 (315) 5p/3 (300) 3 3/3 1 -1 -3/3 -3 1-1 3/22/21/2-1/2-2/2-3/2 1/2 2/2 3/2 -1/2 -2/2 -3/2 -1 1 Progresses PA (Progesses Aritmticas) Termo geral a = a + (n - 1) . rn 1 Soma dos termos Mdia da PA Tendo-se uma PA(...,a,b,c,..) Reescrevendo 3 termos consecutivos PA(...,x - r, x, x + r) S =n (a + a ) . n1 n 2 a + c 2 b = Matrizes Matriz m x n uma tabela de nmeros reais, dispostos emm linhas encolunas. Onde a indica a posio de cada elemento, sendo i =ij linha e j = coluna. Casos Especiais Matriz quadrada: m = n Matriz linha: m = 1 Matriz coluna: n = 1 Matriz nula: a = 0, i, j.ij Adio de matrizes Tendo as duas matrizes o mesmo nmero de linhas e colunas, soma-se cada elemento um a um. Propriedades associativa: (A + B) + C =A + (B + C) comutativa: A+ B = B + A elemento neutro: A+ O = 0 + A= A " M = [ [a11 a12 a13 a1n... a21 a22 a23 a2n... ... ... ... . . . . . . .. . . . ... . am1 am2 am3 amn... 16 14 12 10
  5. 5. elemento oposto: A+ (-A) = O. Multiplicao de um numero real por uma matriz Multiplica-se todos os elementos da matriz pelo nmero real. Multiplicao de duas matrizes Dadas duas matrizes Ae B, o produto AB s existe se o nmero de colunas de Afor igual ao nmero de linhas deB,poisAdotipom xneBdotiponxp. O produto AB uma matriz que tem o nmero de linhas de Ae o nmero de colunas de B, pois C = AB dotipom xp. Ainda pela definio, deve-se obter cada elemento cik da matriz AB da seguinte forma: (I) Toma-se a linhaidamatrizA. (II)Toma-seacolunakdamatrizB. (III) Coloca-se a linha i de A na vertical ao lado da colunakde B. (IV) Calcula-se os n produtos dos elementos que ficaramladoalado. (V)Somam-seessesnprodutos,obtendoc .ik Propriedades associativa:(AB).C =A.(BC) distributivadir.:(A+B).C=AC+AB distributivaesq.:A.(B+C)=AB+AC Transpostadeumamatriz Determinantes Determinante de matriz de ordem 2 Determinante de matriz de ordem 3 Repetimos as duas primeiras colunas ao lado do determinante e a seguir multiplicamos os elementos na direo das flechas. Os produtos dos elementos indicados pelas flechas azuis so somados e os dos elementos indicados pelas flechas vermelhas so subtrados. Est a regra de Sarrus, s vlida para determinantesdeordem3. Menorcomplementar Se a um elemento da matriz A de ordem n, ento oij menor complementar do elemento a o determinanteij que se obtm retirando-se a linha i e a coluna j da matriz A. Indicamos o menor complementar do elemento a porij M .ij Complementoalgbricooucofator Indica-seporA edadopor:ij i+j A = (-1) . Mij ij a b c d = ad - bc a a a a a11 12 13 11 12 a a a a a21 22 23 21 22 a a a a a31 32 33 31 32 Determinantes do produto de matrizes Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem ento: det(A.B) = detA . detB Determinante de inversa de uma matriz: Obs.: uma matriz A s inversvel se, e somente se, detA 0. -1 detA = 1 detA Anlise Combinatria Fatorial n! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1 n . (n - 1)! 1! = 1 0! = 1 Princpio multiplicativo Se um evento Apode ocorrer de m maneiras distintas e a seguir, um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, ento o nmero de probabilidades de ocorrer A seguido de B m vezes n. Arranjos simples So agrupamentos onde a ordem com que os elementos participam considerada e no existe repetio de elementos. dado pela frmula: Permutaes simples So arranjos onde n = p. Combinaes simples So agrupamentos onde no importa a ordem dos elementos. A =n,p n! (n - p)! P = n!n C =n,p (n - p)! p! n! 21 23 1917
  6. 6. Sendo A uma matriz do tipo m x n, a transposta de A, t que se indica por A, a matriz do tipo n x m que se obtm trocando as linhas por colunas da matriz A. Isto t t , a 1 linha de A igual 1 coluna de A, a 2 linha de A iguala2colunadeAeassimsucessivamente. Propriedades t t (A) =A t t t (A + B) = A + B t t (a. A) = a. A t t t (AB) = B . A Matriz Identidade I = (a ) onde a = 1 (se i = j) e a = 0 (se i j)n ij nxn ij ij Propriedade A . I = I . A= An n Inversodematrizes A matriz inversa da matriz quadradaA, se existir, ser -1 indicadaporA esertalque: -1 -1 A .A = A . A= In Propriedades -1 -1 (A ) = A t -1 -1 t (A) = (A ) -1 -1 -1 (AB) = B . A Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada de ordem n(n>1), igual soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Propriedades dos determinantes t - detA = detA - Trocando-se a posio de duas filas paralelas de uma matriz, seu determinante no se altera em mdulo, apenas trocando de sinal. - Se duas filas paralelas de uma matriz so iguais, ento seudeterminantenulo. - Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma fila qualquer de uma matriz por um nmero, seu determinante fica multiplicado(oudividido)poressenmero. - Sendo A, uma matriz quadrada de ordem n, e a o um nmeroreal,ento: n det(a . A) = a . det A - Se uma fila de uma matriz formada por somas de duas parcelas, ento seu determinante igual soma de outros dois determinantes: o primeiro formado com as primeiras parcelas e o segundo formado com as segundasparcelas,inalteradasasdemaisfilas. - Teorema de Jacobi: um determinante no se altera quando se soma a uma de suas filas uma outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante. Sistemas lineares Todo sistema com uma ou mais equaes do tipo: a x + a x + a x + ... + a x = b11 1 12 2 13 3 1n n Regra de Cramer Um sistema linear de n equaes a n incgnitas pode ser resolvido pela regra de Cramer: Classificao - Se D 0, sistema possvel e determinado. - Se D = D = D = ... = D = 0, sistema possvel ex1 x2 xn indeterminado - Se D = 0 e (D 0 ou D 0 ou ... D 0) ox1 x2 xn sistema impossvel. Sistemas lineares homogneos o sistema linear que possui os termos independentes de todas as suas equaes iguais a zero. Para um sistema linear homogneo teremos: - Se D 0, o sistema admitir uma nica soluo que ser(0;0;0;...;0),chamadasoluotrivial. - Se D = 0, o sistema ser possvel e indeterminado admitindoinfinitassolues. x =1 Dx1 D , x =2 Dx2 D , ..., x =n Dxn D Binmio de Newton Nmerobinomial Binomaiscomplementares Igualdadedebinomiais TringulodePascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Propriedades - Asoma dos binomiais de u