Fotografía de página completa - Dr. Myron Evans...En el experimento de Laithwaite, un trompo en...

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3. S

oluc

ione

s nu

mér

icas

y g

ráfi

cas

de r

esul

tado

s se

lect

os.

Con

side

rare

mos

en

esta

sec

ción

tres

cas

os e

spec

iale

s de

mov

imie

nto

de g

irós

copo

. 3.

1 M

ovim

ient

o de

un

goró

scop

o en

caí

da li

bre.

C

ompu

tam

os e

l m

ovim

ient

o de

un

trom

po s

imét

rico

con

un

punt

o fi

jo, e

n do

nde

dich

o pu

nto

fijo

se

mue

ve l

ibre

men

te e

n la

dir

ecci

ón Z

. Ést

e es

un

giró

scop

o en

caí

da li

bre.

El m

odel

o de

l gi

rósc

opo

fijo

, co

n án

gulo

s de

Eul

er θ

, ϕ

, ψ

, se

ext

iend

e m

edia

nte

una

coor

dena

da R

, qu

e re

pres

enta

el

mov

imie

nto

en l

a di

recc

ión

Z,

ver

Fig

. 1.

Ent

once

s, l

a pa

rte

rota

cion

al d

el

lagr

angi

ano

es, s

egún

la E

c. (

46):

Tro

t = � �

I12

(���

sen

(θ)2

+ ���)

+ � �

I3 (�� c

os(θ

) + �� )

2 .

(7

9)

La

part

e tr

asla

cion

al d

ebe

de e

xten

ders

e m

edia

nte

un t

érm

ino �� ,

que

repr

esen

ta l

a ve

loci

dad

en la

dir

ecci

ón Z

:

Ttr

an

s = � �

(�� +

h�� se

n(θ))

2 .

(

80)

Cor

resp

ondi

ente

men

te, l

a en

ergí

a po

tenc

ial e

s

U =

mg

(hco

s(θ)

+ R

) .

(

81)

con

acel

erac

ión

grav

itac

iona

l g. E

l lag

rang

iano

es

L

=

T

rot +

Ttr

an

s – U

.

(82

) L

as

cuat

ro

ecua

cion

es

de

Lag

rang

e co

nsis

ten

en

tres

ec

uaci

ones

pa

ra

θ,

ϕ,

ψ,

com

o an

teri

orm

ente

, más

una

adi

cion

al p

ara

la c

oord

enad

a R

:

� =

sen

(θ)

+ h���

cos(

θ) −

g.

(

83)

Exi

ste

un a

copl

amie

nto

entr

e la

s de

riva

das

segu

ndas

de

R y

θ,

de m

aner

a qu

e és

ta n

o es

la

form

a ca

nóni

ca. R

esol

vien

do e

l sis

tem

a de

ecu

acio

nes

de L

agra

nge

de c

uatr

o in

cógn

itas

� , � ,

� , � d

a en

tonc

es la

s ec

uaci

ones

can

ónic

as

L

as s

oluc

ione

s nu

mér

icas

de

las

ecua

cion

es (

84-8

7) s

e pr

esen

tan

en l

as F

igs.

2-4

, pa

ra u

n co

njun

to a

decu

ado

de c

ondi

cion

es in

icia

les.

Pue

de v

erse

, a p

arti

r de

la F

ig. 2

, que

los

ángu

los

de n

utac

ión

y pr

eces

ión

(θ y

ϕ)

osci

lan

con

cam

bio

de f

ase,

mie

ntra

s qu

e el

áng

ulo

de r

otac

ión

(ψ)

aum

enta

en

form

a ap

roxi

mad

amen

te l

inea

l, es

dec

ir q

ue l

a ve

loci

dad

de r

otac

ión

es c

asi

cons

tant

e, p

ero

mod

ulad

a po

r la

s po

sici

ones

de

los

otro

s án

gulo

s. H

ay u

n im

pact

o so

bre

la

rota

ción

del

cue

rpo

rígi

do a

lred

edor

del

eje

de

su c

uerp

o. E

ste

efec

to n

o pu

ede

ocur

rir

cuan

do

sola

men

te s

e ut

iliz

an d

os á

ngul

os d

el s

iste

ma

de c

oord

enad

as p

olar

es (

θ,

ϕ),

ya

que

ento

nces

se

red

uce

un g

rado

de

libe

rtad

y f

alta

inf

orm

ació

n es

enci

al. E

l gi

rósc

opo

se e

stá

mov

iend

o en

ca

ída

libr

e, e

n un

a di

recc

ión

nega

tiva

de

Z.

Est

o pu

ede

obse

rvar

se a

par

tir

de l

a pa

rábo

la d

e ca

ída

libr

e de

R (

Fig

. 3).

En

sem

ejan

te c

aso

la v

eloc

idad

ser

ía li

neal

, per

o es

tá m

odul

ada

por

la

prec

esió

n an

gula

r. L

a cu

rva

espa

cial

del

cen

tro

de m

asa

(Fig

. 4) m

uest

ra u

na h

élic

e el

ípti

ca c

on

ángu

lo d

e to

rsió

n va

riab

le d

ebid

o a

la a

cele

raci

ón e

n la

dir

ecci

ón –

Z.

3.2

Exp

lica

ción

del

exp

erim

ento

de

Lai

thw

aite

. E

n el

exp

erim

ento

de

Lai

thw

aite

, un

trom

po e

n ro

taci

ón s

e le

vant

a de

un

mod

o ta

l que

, dur

ante

el

des

pegu

e, s

e m

ueve

el e

je d

e un

a m

aner

a qu

e la

fue

rza

de e

leva

ción

es

obvi

amen

te p

eque

ña

en c

ompa

raci

ón c

on e

l pe

so d

el t

rom

po e

n ro

taci

ón (

ver

el v

ideo

del

Lai

thw

aite

pub

lica

do e

n Y

ouT

ube)

. Pue

de q

ue s

e m

odif

ique

n la

s co

ndic

ione

s in

icia

les

de n

utac

ión,

de

man

era

tal

que,

po

r un

mom

ento

, se

cont

ract

úe la

fue

rza

grav

itac

iona

l. E

sto

sign

ific

a qu

e

� =

0

(

88)

dura

nte

este

mom

ento

. In

sert

ando

est

o en

la

Ec.

(87)

, y

supo

nien

do I

12 =

I3

por

mot

ivos

de

sim

plic

idad

, ell

o co

nduc

e a

la c

ondi

ción

g =

h���

cos(

θ) – h�� �� s

en(θ

)2 .

(89)

L

os r

esul

tado

s de

sim

ulac

ión

mue

stra

n qu

e se

mej

ante

con

dici

ón p

uede

alc

anza

rse

med

iant

e un

fu

erte

val

or in

icia

l neg

ativ

o de

�� ,

dand

o un

gol

pe a

l tr

ompo

en

rota

ción

. Ent

once

s la

pos

ició

n de

l pu

nto

fijo

(so

sten

ido

con

la m

ano)

sob

repa

sa l

a po

sici

ón i

nici

al, t

al c

omo

se o

bser

va e

n la

Fig

. 5. L

a ve

loci

dad

vert

ical

v =

�� e

s po

siti

va y

osc

ila

de u

n m

odo

rela

tiva

men

te f

uert

e du

rant

e el

mov

imie

nto

post

erio

r. L

a co

ndic

ión

de f

alta

de

peso

, la

Ec.

(89

), s

e re

pres

enta

en

la F

ig. (

6).

Se

repr

esen

tan

gráf

icam

ente

el

lado

der

echo

y e

l la

do i

zqui

erdo

de

la e

cuac

ión,

y e

l tr

ompo

de

ja d

e te

ner

peso

en

el p

unto

de

inte

rsec

ción

de

amba

s cu

rvas

. L

os d

etal

les

depe

nden

de

los

pará

met

ros

sele

ccio

nado

s. N

uest

ro c

álcu

lo e

s so

lo u

n m

odel

o de

cál

culo

, si

n el

em

pleo

de

valo

res

real

es p

ara

los

pará

met

ros,

dad

o qu

e el

lo r

eque

rirí

a un

esf

uerz

o de

inv

esti

gaci

ón

cons

ider

able

. Pod

emos

mos

trar

que

el e

xper

imen

to d

e L

aith

wai

te e

s en

pri

ncip

io p

osib

le s

obre

la

bas

e de

la d

inám

ica

clás

ica.

3.

3 T

orqu

e ex

tern

o P

uede

int

rodu

cirs

e un

tor

que

exte

rno

med

iant

e un

a fu

erza

gen

eral

izad

a en

el

mec

anis

mo

de

Lag

rang

e. D

ado

que

aquí

est

uvim

os t

raba

jand

o co

n po

tenc

iale

s, d

efin

imos

un

pote

ncia

l qu

e no

s dé

un

torq

ue c

onst

ante

Tq

o e

n la

dir

ecci

ón Z

(pa

ra e

l áng

ulo

ϕ)

med

iant

e

Tq

= −

��

(90)

con

U

q =

− T

qo ϕ

(9

1)

y su

man

do e

sto

a la

ene

rgía

pot

enci

al.

U

= m

g(h

cos(

θ)

+ R

) +

Uq .

(92

) E

ste

térm

ino

– si

se

elig

e de

mod

o ta

l qu

e no

sea

dem

asia

do p

eque

ño –

pos

ee u

n im

pact

o en

orm

e so

bre

el m

ovim

ient

o de

l gir

ósco

po. L

os r

esul

tado

s pu

eden

lleg

ar a

ser

muy

exó

tico

s en

fu

nció

n de

l va

lor

de T

qo y

de

las

cond

icio

nes

inic

iale

s. L

a F

ig.

7 m

uest

ra l

as t

res

frec

uenc

ias

angu

lare

s. H

ay u

na f

ase

inic

ial

en d

onde

la

rota

ción

ϕ p

erm

anec

e co

nsta

nte,

a p

esar

de

que

se

está

apl

ican

do u

na fu

erza

ext

erna

. Lue

go d

e es

ta fa

se, �� s

e in

crem

enta

line

alm

ente

en

prom

edio

de

bido

al

torq

ue,

com

o ha

bría

de

espe

rars

e. L

as c

orre

spon

dien

tes

tray

ecto

rias

ang

ular

es s

e re

pres

enta

n en

la F

ig. 8

. El á

ngul

o θ m

uest

ra u

na n

utac

ión.

Res

ulta

inte

resa

nte

obse

rvar

que

la

auto

-rot

ació

n de

l gi

rósc

opo

cam

bia

de d

irec

ción

lue

go d

e la

fas

e in

icia

l, pe

rman

ecie

ndo

en e

l m

ism

o si

tio

dura

nte

un m

omen

to (

cuan

do e

stá

cruz

ando

el

eje

en e

l va

lor

igua

l a

cero

). L

a ve

loci

dad

vert

ical

(F

ig. 9

) m

uest

ra f

uert

es o

scil

acio

nes,

las

cual

es in

clus

o re

sult

an d

etec

tabl

es

en e

l m

ovim

ient

o li

neal

R.

La

fase

inc

ial

es c

lara

men

te d

isce

rnib

le d

el r

esto

med

iant

e un

a in

spec

ción

de

la c

urva

esp

acia

l del

cen

tro

de m

asa

(Fig

. 10)

. Lue

go d

e al

gún

mov

imie

nto

inic

ial

irre

gula

r, d

omin

a la

rot

ació

n ϕ

.

Otr

os e

fect

os,

más

com

plej

os,

surg

en c

uand

o se

pro

voca

que

Tq t

enga

per

iodi

cida

d te

mpo

ral,

com

o po

r ej

empl

o

T

q =

Tq

o c

os(ω

t)

(93

) co

n un

a fr

ecue

ncia

tem

pora

l ω

. E

nton

ces

pued

en s

urgi

r nu

evos

efe

ctos

, com

o he

tero

dino

s en

ve

loci

dade

s an

gula

res,

tal

com

o en

el

ejem

plo

mos

trad

o en

la

Fig

. 11

. E

n es

te c

aso,

no

hay

rota

ción

con

tinu

a en

la

dire

cció

n ϕ

. M

edia

nte

cond

icio

nes

inic

iale

s ad

ecua

das,

se

vuel

ve

incl

uso

posi

ble

dete

ner

toda

s la

s ro

taci

ones

.

No

fue

posi

ble

conf

irm

ar e

l ef

ecto

de

elev

ació

n, i

nves

tiga

do e

xper

imen

talm

ente

por

S

hipo

v. M

edia

nte

la a

plic

ació

n de

un

torq

ue e

n ϕ

(es

dec

ir,

alre

dedo

r de

la

dire

cció

n Z

) un

gi

rósc

opo

debi

era

de p

erde

r pe

so.

Est

o po

dría

ser

por

un

incr

emen

to e

n m

omen

to l

inea

l, en

co

ntra

de

la f

uerz

a gr

avit

acio

nal.

Aun

cua

ndo

los

mom

ento

s pu

eden

inte

rcam

biar

se e

ntre

toda

cl

ase

de m

ovim

ient

os,

un f

orm

alis

mo

lagr

angi

ano

cons

erva

el

mom

ento

tot

al.

Est

o po

dría

ev

itar

se m

edia

nte

al a

plic

ació

n de

un

torq

ue e

xter

no, p

ero

pare

cerí

a qu

e va

rios

tipo

s de

torq

ue

debe

n de

con

ecta

rse

y de

scon

ecta

rse,

sig

uien

do u

n pa

tron

com

plej

o, a

fin

de

obte

ner

un

mov

imie

nto

line

al r

esul

tant

e en

con

tra

de l

a fu

erza

gra

vita

cion

al.

Un

sim

ple

torq

ue ϕ

no

pare

cier

a se

r ca

paz

de p

rodu

cir

sem

ejan

te e

fect

o.

Fig

ura

1: G

eom

etrí

a de

un

giró

scop

o en

caí

da li

bre,

con

un

punt

o fi

jo.

F

igur

a 2:

Tra

yect

oria

s θ(t

), ϕ

(t),

ψ(t

), p

ara

un g

irós

copo

en

caíd

a li

bre.

Fig

ura

3: V

eloc

idad

ver

tica

l v(t

) y

altu

ra R

(t)

para

un

giró

scop

o en

cai

da li

bre.

Fig

ura

4: C

urva

esp

acia

l par

a un

gir

ósco

po e

n ca

ída

libr

e.

Fig

ura

5: E

jem

plo

de v

alor

es v

(t)

y R

(t)

para

el e

xper

imen

to d

e L

aith

wai

te.

F

igur

a 6:

Am

bos

lado

s de

la E

c.(8

9), d

emos

tran

do lo

s pu

ntos

sin

pes

o.

F

igur

a 7:

Tra

yect

oria

s �� (t

), �� (t

), �� (t

), p

ara

un to

rque

ext

erno

ϕ.

F

igur

a 8:

Tra

yect

oria

s θ(t

), ϕ

(t),

ψ(t

), p

ara

un to

rque

ext

erno

ϕ.

F

igur

a 9:

Tra

yect

oria

s v(

t), R

(t),

par

a un

torq

ue e

xter

no ϕ

.

F

igur

a 10

: C

urva

esp

acia

l par

a un

torq

ue e

xter

no ϕ

.

F

igur

a 11

: V

eloc

idad

es a

ngul

ares

par

a un

torq

ue e

xter

no ϕ

var

iabl

e en

fun

ción

del

tiem

po.