Frações Parciais-1

5/10/2018 Fra es Parciais-1

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D.J

Antes de apresentannos a abordagem do MATLAB para a expansao em fracces parciais dasfuncoes de transferencia, vamos discutir 0metodo manual para essa expansao.Expansao em fracoes parciais quando F(s) envolve somente polos distintos. Conside-remos F(s ) escrito na forma fatorada

F(s ) = B(s ) = K (s + Z I ) ( S + Z 2 ) " ( s + zm ) para m < nA (s) (s + Pl)(S + p z) .. (s +P n ) ,onde P I,P Z , . ,P n e ZI, Zz, ... , Zm podem ser quantidades reais ou complexas, mas para cada com-plexo Pi ou Zj existe 0correspondente complexo conjugado dePi ou Zj' respectivamente.Se F(s)possuir somente polos distintos, entao ela podera ser expandida em uma soma de fracoes parciaissimples, como esta indicado a seguir:

B(s ) a a2 aF(s)=--= _I~+ __ +...+ __ n_A (s) s + P I S + P z s + P n (B.l)onde ak (k = 1,2, ... , n) sao constantes. 0 coeficiente ak e chamado residuo do polo em s = -Pk'o valor de a, pode ser encontrado ao se multiplicar ambos os lados da Equaeao B.l por (s +P k)e ao fazer s == P 0que resulta em:

[ ( S + P k ) ~ g ~- p , = [s : I p i (s + P k ) + s :zP z (s + P k )+ ... + ___!!!__(s + P k) + ... + ~ (s + Pk) ls + P s + P n . =-P.

Vemos que todos os termos expandidos sao eliminados, com excecao de ak. Assim, 0residuoa k e determinado por:

Note que, comofit) e uma funcao real de tempo, seP I e pz forem complexos conjugados, entaoos residuos a) e a2 tambem serao complexos conjugados. Somente urn dos complexos conjugados,aJ ou a2, deve ser calculado, porque 0 outro e conhecido automaticamente.


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Como

fit) e obtido como:

. E x emp lo B.l Determine a transfonnada inversa de Laplace deF (s) - ... s + 3- (s + 1)(s + 2)

A expansao em fracoes parciais de F(s ) e:F(s ) = 8+ 3 =__E!_ + __!!L_(s + 1)(s + 2) s + 1 s + 2

onde a1 e a2 sao detenninadas comoa - [ ( s + 1) s + 3 ] - [s + 3] - 21- (s+ 1 )(s+ 2L=_1 - s+ 2 s=-l -a 2 = [ ( 8 + 2). s + 3 J = [ s + 3 1 = -1(8 + 1)(8 + 2) 5=-2 s + 2 s=-2

Assim,fit) =X-1 [F(s)]

= X-1 [ _ 2 J + :k [ - - - - = L _ Js+1 s+22 -/ -2/= e - e , para t 2: 0

E xemp lo B .2 Obtenha a transfonnada inversa de Laplace deG(s)= S3 + 582 + 98+ 7

(s + l)(s + 2)Nesse caso, como 0grau do polinomio do numerador e maior que 0do polinomio do denominador,devemos dividir 0numerador pelo denominador:

G(s)=s+2+ (8+81)(:+2)Observe que a transfonnada de Laplace da funcao impulso unitario o C t ) e 1 e que a transformadade Laplace de dO(t)ldt e s.0terceiro termo do Iado direito da ultima equacao e F(s ) no ExemploB.I. Assim, a transformada inversa de Laplace de G(8) e dada por:

g(t) =~ o(t) + 20(t) + 2e - t - ", para t 2: 0--ExempJo B .3 Encontre a transformada inversa de Laplace de

F(s ) = 28 + 12S2 + 28 + 5

Observe que 0polinomio do denominador pode ser fatorado da seguinte mane ira:82 + 2s + 5 "" (8 + 1 +j2)(s + 1 - j2)

Se a funcao F(s ) inc1uir urn par de polos complexos conjugados, nao e conveniente expandirFes) do modo usual em fracoes parciais, mas fazer a expansao na soma de uma funcao senoidalamortecida e uma funcao cossenoidal amortecida.Observando-se ques" + 2s + 5=8 + 1)2 + 22 e tendo como referencia a transformada de Laplacede e " sen wt e e-((i cos Wi, podemos reescrever da seguinte maneira:


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~ [e--Qls en U)t ]= U)(s + a 'f + U)2~ [e--Qt cos U)t ] = s + a(s + a 'f + U)2

a funcao F(s) pode ser escrita como a funcao senoidal amortecida e a funcao cossenoidal amor-tecida

F(s) = 28 + 12 = 10 + 2(8 + 1)s2+ 28+ 5 (8+ 1 '1+ 22=5 2 +2 8+1(s+ 1 '1+ 22 (s+ 1 '1+ 22

Segue-se que:fit) = ~-I [F(s)]

= 5~-1 r c s + 1~2+ 22]+ 2~-1 [ ( s +s 1 1 ~ 2 2 1=5e-1 sen2t + 2e-1 cos2t, para t ~ 0

Expansao em f rac ,; oesparciais quando F(s) in du i p olo s multiples, Em vez de discutirmosurn caso generico, utilizarernos urn exernplo para rnostrar como obter a expansao em fracoes, parciais de F(s) .

Consideremos a seguinte F(8): P ( s) = S2 + 2s + 3(s + ItA expansao em fracoes parciais dessa F ( s ) envolve tres termos,

F ( s ) = B ( s ) = _ _ j } _ _ + b1 + b3A ( s ) S+ 1 (s+ 1 '1 (s+ Itonde b 3 , b 2 e b , sao determinados a seguir. Par meio da multiplicacao de ambos os lados dessaultima equacao por (s + Ii, teremos:

(s + 1y ~ g~= b , (s + 1r + b 2 (s + I) + b 3 (B.2)Se s = -1, a Equacao B.2 dara:

[(s + I Y B ( S ) ] = bA ( s ) s=-I 3Alem disso, a diferenciacao de ambos os lados da Equacao B.2 referente a s resulta em:

d r B ( S ) ]ds (s + It A ( s ) = b 2 + L b, (s + 1) (B.3)Se definirmos s =-1na Equacao B.3, entao

d r B ( S ) jds l( s + It A(s ) s=-I = b2Pela diferenciacao de ambos os lados da Equacao B.3 em relacao a s, 0 resultado e:

d2 [ B ( S ) ] _ds2 (s + It A (s ) - 2b]Pela analise precedente, pode-se constatar que as valores de b3 , b, e b , sao determinadossistematicamente como:


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b3 = r e s + It ~ i ; ~- I= ( S 2 + 2s + 3),=-1=2

b2 = {~ [ ( S + It ~ ~ ; m S = - l=[~ ( S 2 + 2s + 3)L_I= (2s + 2)s=_1=0

b l = i ! { ~ 2 2 [ ( s + It ~i;ms=-I= _1 [ d 2 (S2 + 2s + 3) j2! ds' s=-I

Desse modo, obteremos:fit) = :-1 [F(s)]

= :-1 [ sl+ :-1 [ ( S 2 1 1 ] + :-1 r ( s ; ItJComentarios, Para as funcoes de grande complexidade, com denominadores que envolvernpolinomios de ordem elevada, a expansao em fracoes parciais pode consumir muito tempo. Nessescasos, 0usa do MATLAB e recomendado.Expansao em fracoes parciais com 0MATLAB . 0 MATLAB tern um comando para obter aexpansao em fracoes parciais de B(s)/A(s). Considere a seguinte funcso B(s)/A(s):

B ( s) num h o sn + hls"_] + + h nA ( s) = den = s n + a ls"_ l + + a nonde alguns dos a, e b, podem ser nuIos. No MATLAB, os vetores linha num e den sao formadospelos coeficientes do numerador e do denominador da funcao de transferencia, Ou seja,

n u m = [ b o b , . . b . ]d e n = [ 1 a j a Jo comando

[ r , p , k ] = r e s i d u e ( n u m , d e n )determina os residues (r), os polos (p) e os termos diretos (k) da expansao em fracoes parciaisda relacao entre dois polinomios R(s) e A(s).

A expansao em fracoes parciais de B(s ) /A ( s ) e dada por:B(s ) = rei) + r(2) + ... + r(n ) + k sA(s) s-p(l) s-p(2) s-p(n) () (BA)


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Comparando as equacoes B.I e BA, notamos quep(1) =-p},p(2) =-P2' ... ,p(n) =i-p.; r(I) =aI' r(2) = a2' ... , r(n) = an ' [k(s) e urn termo direto.]

Exemp lo B .4 Considere a seguinte funcao de transferencia:B(s) _ 2s3 + 5s2 + 3s + 6A(s) - s3+6s2+ l1s+6

Para essa funcao, n u m = [ 2 5 3 6 ]d e n = [1 6 11 6]

o comando[ r , p , k ] = r e s i d u e ( n u m , d e n )

apresenta 0 seguinte resultado:

- 6 . 0 0 0 0- 4 . 0 0 0 03 . 0 0 0 0

[ r , P r k ] = r e s i d u e ( n u m , d e n )r =

p = - 3 . 0 0 0 0- 2 . 0 0 0 0- 1 . 0 0 0 0

k =2

(Note que os residuos retornam na coluna vetor r, 0 lugar dos polos, na coluna vetor p , e 0 termodireto, na linha vetor k.) Esta e a representacao em MATLAB da seguinte expansao em fracoesparciais de B(s)/A(s):

B(s) _ 2s3 + 5s2 + 3s + 6A(s) - S3 + 6s2 + lIs + 6=" -=--L + - - - = - - 1 . _ + _3 _ + 2s+3 s+2 s+1

Observe que, se pU) = pU + 1) = '" =pU + m - 1) [isto e, pj = P j + ! = ... = P j+m-t ] , 0polo p(j) eurn polo de multiplicidade m. Nesses casos, a expansao inclui termos como segue:

r(j) rU + 1) r(j + m - I)s = p(j) + [ s - p(j)Y + ... + [ s - pu)]m

Para obter mats detalhes, veja 0Exemplo B.5.E xemplo B .5 Expanda a seguinte B(s)/A(s) em fracoes parciais com MATLAB:

B ( s) = S2 + 2s + 3 = S2 + 2s + 3A(s) (s + It S3 + 3s2 + 3s +1

Para essa funcao, ternos:n u m = [ 1 2 3 ]

d e n = [ 1 3 3 1 ]Ocomando

[ r , p . k ] = r e s i d u e { n u m , d e n )apresenta 0resultado mostrado a seguir:


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[]

n u m = [ 1 2 3 ] ;d e n = [ 1 3 3 1 ] ;[ r , p , k ] = r e s i d u e ( n u m , d e n )r =

1 . 0 0 0 00 . 0 0 0 02 . 0 0 0 0

p =- 1 . 0 0 0 0-1.00001.0000

k =

Esta e a representacao em MATLAB da seguinte expansao em fracoes parciais de B(s) /A(s) :_B(_s ) = _ 1 _ + 0 + - - - - = 2 = _ _ _ _ _ _ _ _ = _A(s) s+ 1 (s+ I? (s+ I Y

Note que 0termo direto k e zero.

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