David Rodrigo García Colín Carrillo

Dialéctica en el Caos, Fractales y Razón Dorada

Tres de las más grandes revoluciones científicas del siglo XX –la Teoría de la relatividad, lafísica cuántica y la teoría del Caos- han fortalecido, cada una a su manera, la concepciónfilosófica de la naturaleza sostenida por Engels en su obra Dialéctica de la naturaleza. Setrata de la concepción del mundo con la cual Marx realizó el estudio más serio acerca de ladinámica del capitalismo. El materialismo dialéctico no es sólo un método de análisis paraestudiar al capitalismo, sino, como señalabaEngels, una concepción general del mundo: lanaturaleza, el pensamiento y la sociedad que encuentra sus raíces en el maravillosopensamiento del antiguo filósofo griego Heráclito y en el método dialéctico de Hegel.

En Razón y revolución Ted Grant y Alan Woods han puesto al día la obra de Engels, en mitexto “El materialismo dialéctico y la ciencia”, siguiendo la estela dejada por Ted Grant yAlan Woods, he tratado de mostrar cómo estas revoluciones científicas muestran ununiverso en constante cambio y movimiento, a través de contradicciones y con un desarrollode complejidad creciente. En este texto pretendo concentrarme en la teoría del Caos, losfractales y el llamado “número dorado”; temas todos vinculados y que, además deinteresantes y apasionantes, muestran la estructura contradictoria de la naturaleza y -especialmente el número áureo- parecen señalar la auto-organización de la naturaleza y laestructura subyacente espiral oculta en muchas estructuras (incluidas las fractales). Parailustrar el texto me he auxiliado - además de literatura de divulgación científica- de

imágenes, ilustraciones y videos obtenidos del internet a las cuales les debo el lado gráficode este trabajo. Espero que el tema resulte tan interesante para el lector como lo es para mí.

Teoría del Caos

La Teoría del Caos -desarrollada en los años sesenta en los trabajos de los científicossoviéticos A. Kolmogorov, V. Arnold; S. Smale y E. Lorenz en EUA; D. Ruelle yR, Thom en Francia-señala que la dinámica de los fenómenos complejos –fenómenos queinvolucran más de tres variables- no se pueden describir y entender con la matemáticaeuclidiana (es decir, con reglas, escuadras y compases), ni con la mecánica de Newton.Fenómenos como el movimiento pendular, el flujo turbulento, la dinámica del mundosubatómico, los ruidos de fondo, el goteo azaroso en la bañera, etc. son fenómenos quecombinan el caos y el orden; son impredecibles pero, al mismo tiempo están determinados.El “azar” y el orden están dialécticamente vinculados.

Esta maravillosa teoría nos enseña que el movimiento lineal y predecible se transforma másallá de cierto punto en un movimiento caótico e impredecible y que, si bien, es imposibledeterminar el comportamiento de cada partícula que conforma el movimiento caótico, esperfectamente posible predecir la estructura subyacente del Caos como un sistema. Pero estono es todo: el Caos hace posible el surgimiento de nuevos órdenes lineales que expresan unanueva etapa del desarrollo. Se trata del replanteamiento inconsciente en términos de laciencia moderna de una concepción dialéctica del mundo.

Tenemos en esta teoría todas las llamadas “leyes de la dialéctica”: Unidad y lucha decontrarios, paso de lo cuantitativo a cualitativo y viceversa, y negación de la negación.Ejemplifiquemos concretamente esta idea con el asombroso patrón de desarrollo –“Diagrama de bifurcación”-descubierto por R. May en la década de los setentas en ladinámica de población de algunos animales, insectos y bacterias. R. May encontró quecuando algunos crustáceos tenían una tasa de reproducción menor a 0.6 la poblacióndesaparece al cabo de pocos años; en este caso la tasa es menor a la capacidad de la especiepara compensar los especímenes que mueren. Cuando la tasa de población es superior a 0.6y hasta una tasa de 2.7, la población aumenta progresivamente quedando estabilizada en unacantidad determinada. Estamos ante el comportamiento de un patrón perfectamentepredecible y lineal. Pero con una tasa de crecimiento mayor a 3 el patrón lineal se bifurca endos cifras que se alternan cada año; para una tasa mayor a 3.45 la tasa población se bifurcaen 4 cifras que se alternan; en 3.569 la tasa vuelve a bifurcarse en ocho cifras, en 3.56tenemos 16 cifras y así sucesivamente con cada pequeño digito que alteremos. En este puntonos encontramos al borde del Caos, la dinámica es tan inestable que cualquier pequeñocambio provocará un salto de estado. Lorenz se refirió al pequeño cambio que provoca elcaos como “El efecto mariposa”. En dialéctica se le llama transición de cantidad a calidad.Así en 3.56999 entramos en una fase caótica de la dinámica poblacional: ya es imposibledeterminar un número exacto para la población la cual varía caóticamente dentro de cifrasen un rango que la vez está determinado. Abajo la gráfica que representa esta fascinantedinámica.

En esta gráfica podemos observar que dentro del periodo caótico del desarrollo podemosencontrar pequeñas franjas blancas que son “ventanas de orden dentro del Caos”, es decir,tasas en donde la dinámica de población vuelve a ser lineal y ordenada describiendo enpequeña escala el patrón ya descrito: se estabiliza, se bifurca y que se vuelve a bifurcar hastadar lugar a un nuevo caos. El orden genera caos, el caos tiene un orden y genera nuevosórdenes. Este, por supuesto, no es el único patrón que describe el paso del orden al caos. Lasformas obedecen al tipo de dinámica estudiada, así se conocen transiciones “casiperiódicas”, “cascadas subarmónicas”, “intermitencias”, etc.

Estos patrones no son exclusivos de la dinámica poblacional. Se han encontrado patronesequivalentes en los ritmos cardiacos cuando se vuelven inestables en las arritmias y caóticosen los ataques cardiacos; los estados mentales, el patrón del encefalograma parece ser máscaótico y fractal mientras la persona está más alerta. ¡La consciencia humana sería imposiblesin el caos y la contradicción! Es posible que esta dinámica se manifieste también en losciclos económicos que pasan de estables a inestables durante las crisis capitalistas. Ya Marxhabía señalado que la dinámica del capitalismo no es lineal, es contradictoria y está llena deinestabilidades y caos intrínseco.

La dialéctica de los fractales

Hemos señalado que el Caos tiene un orden que depende del sistema caótico de que se trate.Hemos observado, en el caso de la dinámica poblacional, que en el caos se encuentranventanas de orden que repiten la estructura inicial en pequeña escala. Esas pequeñasventanas de orden dentro del caos pueden ampliarse cuantas veces se quiera encontrando losmismo patrones una y otra vez. El caos tiene una estructura fractal: una estructurageométrica no lineal autosimilar; repite la misma estructura a cualquier escala que lamiremos. El orden del caos se puede representar por fractales, estructuras contradictorias,son un verdadero asalto a la lógica formal, verdaderos “monstruos matemáticos”. Paraexplicar hasta que punto estas estructuras son dialécticas veamos algunos de los fractalesmás famosos y conocidos.

En 1828 el botánico ingles Robert Brown describió en curioso movimiento en zigzag que seconoce en la actualidad como “movimiento browniano”. Una partícula de polen suspendidaen agua o en polvo suspendido en el aire (suspensión coloidal) describe este asombrosomovimiento irregular. Si trazamos los puntos por los que pasa una mota de polvo por elespacio en un momento determinado (1 minuto por ejemplo) y unimos los puntos de maneraimaginaria, obtendremos una estructura en zigzag como la de la imagen de abajo. Si nospreguntamos qué paso entre el punto 1 y 2 representado en nuestro dibujo por una recta,trazando el movimiento con puntos en un inérvalo de tiempo más corto (por ejemplo 1segundo) obtendremos, en ese nuevo intervalo, otra estructura en zigzag similar a la antesmencionada. El fenómeno se repite hasta el infinito para tiempos más cortos. Se trata de unfractal porque la estructura se repite en diversos intervalos de tiempo. El movimientobrowniano nos obliga a aceptar que la mota de polvo está en un tiempo finito en infinitospuntos. ¡Un movimiento infinito en un tiempo finito! Este tipo de contradicciones ya habíansido expresadas en las paradojas de Zenón, solo que Zenón las exponía para demostrar queel movimiento es contradictorio y, por tanto, no debía existir como señalaba sumaestro Parménides (precursor de la lógica formal). La única manera de resolver lascontradicciones de Zenón es aceptando la contradicción misma.

Otro de los fractales más antiguos y “sencillos” es el ideado y, al mismo tiempo, descubiertopor Cantor en 1883. Se trata de un monstruo matemático que ni el mismo Cantor creía quepudiera existir: se trata de una estructura autosimilar (fractal) que tiene infinitos puntos perocuya longitud tiende a cero. Es difícil concebir algo así. En la escuela nos enseñaron que larecta se define como la suma de los puntos, la lógica formal nos señala que mientras unalínea contenga más puntos su longitud será mayor. Se dice que el polvo de Cantor es másque una colección de puntos pero menos que una línea. Por un lado Cantor compuso estefractal, pero al mismo tiempo, estaba descubriendo, sin saberlo, la estructura fractal defenómenos como los finísimos anillos de Saturno, las fluctuaciones del precio del algodón,hasta las variaciones del nivel del río Nilo durante los últimos dos mil años1.

Posteriormente el matemático sueco H. Koch construyó en 1904 una curva infinitamenteirregular conocida como “curva de Koch”. La estructura es asombrosa porque es finita (porejemplo cabe en una hoja de papel) pero es infinita al mismo tiempo. Si intentamos medir elperímetro de esta curva encontraremos una cifra aproximada; pero si observamos con lupaobservaremos irregularidades o protuberancias que no habíamos medido, utilizando uninstrumento de medición más fino obtendremos una nueva aproximación y así, hasta elinfinito. La dimensión de esta curva es fraccional (dimensión Hausdorff), lo que quiere decirque se aproxima a un número sin llegar nunca a él. La curva de Koch está lejos de ser unasimple curiosidad para entretenerse de la misma forma en que los niños ocupan el tiempohurgando su nariz. El perímetro de nubes, continentes, grietas, fallas, la membrana celular,la membrana nasal, etc. son tan irregulares y contradictorios como la increíble curva deKoch.

La “empaquetadura de Sierpinski” descrita por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en1916, por ejemplo, es un triángulo equilátero infinitamente agujereado con espacios enblanco -en forma de triángulo invertido inserto- en el triángulo negro inicial; se repite,sucesivamente, el proceso de “agujereado” con los 4 triángulos negros que resultan en cada

operación. El resultado es una estructura cuya suma de los perímetros de los triángulosnegros es infinito, mientras que su área tiende a cero. Nuevamente se desafía a la lógicaformal puesto que en la matemática euclidiana el área aumenta en proporción al perímetro.Aquí tenemos lo contrario. A este tipo de área se le conoce como área Sierpinski.

La versión tridimensional de este monstruo es la “esponja de Menger” pirámideinfinitamente agujereada con espacios piramidales. Fue compuesta por el matemático vienésKarl Menger en 1926, cuando investigaba la “dimensión topológica” (matemática noeuclidiana). El área superficial de la pirámide es infinita mientras que el volumen tiende acero. El cerebro tiene volumen “Menger”, la Torre Eiffel es una versión tosca del mismofractal. Los átomos, por ejemplo, parecen estar al borde de la no existencia y, al mismotiempo, son uno de los niveles básicos de la existencia. De acuerdo a los maravillososprogramas sobre ciencia de Enrique Ganem, para imaginar la evanescente existencia delátomo podemos hacer la siguiente representación mental: si el átomo de hidrógeno fuera deltamaño de la Ciudad de México el núcleo de protones sería del tamaño aproximado de laplancha del Zócalo, los protones serían del tamaño de un bolón de Básquet Bol; y el electrónsería del tamaño del punto de una “i” situada a las afueras de la Ciudad, protón que está y noestá: se mueve a kilómetro y medio por segundo dentro de su nivel de energía en unmovimiento azaroso pero determinado por la constante Plank. Así de contradictoria es ladialéctica entre el ser y no ser.

Observemos un fascinante viaje al interior de una esponja de Menger. Se entiende por qué seusan las dimensiones fractales para los efectos especiales de las películas de Hollywood.

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=bO9ugnn8DbE

Durante mucho tiempo los fractales no fueron considerados más que como “casospatológicos” o curiosidades sin interés; no fue sino hasta el desarrollo de los procesadores enlos años sesenta y setenta que los científicos pudieron construir estructuras que implicabanuna sucesión infinita de operaciones matemáticas encontrando, con ello, patrones fractalesasombrosos. Terminemos la exposición de fractales con el que generó, a finales de los añossetenta, Benoit Mandelbrot, ingeniero de la IBM, estudiando las propiedades de losConjuntos de Julia; se trata de uno de los fractales más asombrosos conocidos. El fractalde Mandelbrot es un fractal mucho más complejo que los fractales “lineales” que se repitena sí mismos hasta el infinito. Se trata de un fractal irregular porque las estructuras infinitasque contiene se repiten hasta cierto punto y dan origen a nuevas estructuras y patronesinfinitos que, al mismo tiempo, siguen conteniendo de forma subordinada, en alguna de susinfinitas protuberancias, al fractal original. En dialéctica a esto se le conoce como “negaciónde la negación”.

El siguiente video es un fascinante viaje al interior del fractal de Mandelbrot.

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=G_GBwuYuOOs

La estructura fractal de Mandelbrot aparece como un microcosmos infinito encerrado en lacuriosa figura del “muñeco de nieve”. Sugiere la estructura fractal del cosmos, mismo quecontiene infinitas estructuras en infinitos niveles: cúmulos de galaxias, galaxias, sistemasestelares, cuerpos celestes, continentes, cordilleras, cuerpos, moléculas, átomos, protones,quarks, neutrinos, etc. La comparación no es forzada puesto que las galaxias mismas tienenuna estructura fractal2. Sorprendentemente la mayor parte de las estructuras del universo sonfractales, por la sencilla razón de que el universo es complejo y contradictorio, desde lo mássimple y prosaico hasta lo más sobrecogedor: los árboles, las brócolis, las coles, las nubes,las montañas, las venas, las arterias, las células, los continentes, las galaxias, la conveccióntérmica, los ojos de las libélulas, el flujo de líquidos y gases, la dinámica de la población, elclima, la música de Beethoven, etc. Los científicos siguen buscando “atractores extraños” otendencias subyacentes en fenómenos que a primera vista parecen no obedecer aleyes. Engels y Marx, después de todo, se han de estar riendo en sus tumbas. Elconocimiento de Caos promete al ser humano la posibilidad de controlar fenómenoscomplejos. Las perspectivas son asombrosas. Por lo menos la matemática fractal ya seutiliza en los efectos especiales de películas como “El señor de los anillos”. En lugar de quelos dibujantes se dediquen a diseñar cada montaña y grieta por separado, utilizan lamatemática fractal para generar patrones automáticos que copien a montañas, cuevas, etc.

El número áureo

Observemos el patrón “ramal” que se dibuja en la gráfica poblacional que expusimoscuando explicamos la teoría del caos.

Además de ser un fractal se observa que existe determinada proporción entre las ramasmayores y menores del dibujo. Así mismo en el patrón de “células de Bernard” que segenera en la convección térmica (en donde se generan patrones celulares en fractal) se ocultala misma proporción. Se trata del mismo patrón oculto en los ojos multifacéticos de lalibélula, en sus alas, en los pétalos de una margarita, en las elipses de una piña, las espiralesdel girasol, en las proporciones del cuerpo humano, en la Venus de Milo, el rostro de laMona Lisa, el Vitrubio de Da Vinci, El Partenón…. Y la música de Debussy. A esta

proporción en el arte se le conoce como “razón dorada”, “número áureo”, “razón divina”. Esinteresante, además de todo, porque expresa una de las formas en las cuales la naturaleza se“auto-organiza” mostrando el desarrollo espiral que desde Hegel ha sido el esquema clásicopara explicar el desarrollo dialéctico. Pero antes de explicar en qué consiste, partamos deuna comiquísima explicación gráfica que hemos encontrado en internet: con perdón dellector expliquemos el número áureo a partir de las proporciones corporalesdeBritney Spears.

Si dividimos la altura de esta mujer entre la distancia de su centro de gravedad -que está ensu ombligo- el piso obtenemos 1.69. Si dividimos el ancho de su ojo entre el espacio entresus ojos obtenemos 1.62. Si medimos el largo de su rostro entre la distancia de su iris a subarbilla obtenemos 1.66. El resultado se repite con la relación entre otras proporciones. Nose trata de una proporción privativa de Spears sino de las proporciones del cuerpo humano.

Es posible, no obstante, que el resultado contenga algo de arbitrariedad. Los matemáticossaben que es posible obtener cualquier cifra que uno quiera de cualquier fenómeno que sequiera, siempre que se encuentre la operación adecuada. De esto se han aprovechadocharlatanes para encontrar supuestos patrones místicos en la biblia, en las prediccionesde Nostradamus y otras estupideces por el estilo. Sin embargo el número áureo no es el casoy la razón para ello no es para nada mística sino bastante materialista. La proporción no esforzada –por lo menos no del todo- sino que expresa la estructura formal de muchosprocesos y objetos de la naturaleza.Empecemos señalando que el número dorado se obtiene de la sucesión numérica conocidacomo sucesión de Fibonacci en referencia al matemático italiano de finales de la EdadMedia que la descubrió (mucho antes había sido descubierta por matemáticos indios en el200 a.C.).

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 144 →

Es fácil percatarse de que la sucesión se obtiene sumando los dos últimos números de laserie para obtener el subsecuente. Conforme avanzamos en la serie y dividimos cualquiernúmero posterior entre el anterior nos vamos acercando a un número fraccional que tambiénes una dimensión fractal: 1.61803… el número áureo. Lo interesante de esta dimensión esque subyace a muchas estructuras naturales y artificiales. En las proporciones relativas delos huesos que conforman las falanges, la mano, el brazo, las piernas, el rostro.

El número áureo en la naturaleza

En el número de espirales del girasol (los números son parte de la sucesión de Fibonacci), elnúmero de pétalos de una margarita, la estructura de los caracoles, los cuernos de algunosanimales, algunos fractales, etc.

El siguiente video es una breve pero hermosa exposición de este hecho. Desde el punto devista de una perspectiva dialéctica llama mucho la atención que la “razón dorada” exprese ladinámica propia de las espirales que expresan gráficamente el desarrollo dialéctico,progresivo pero contradictorio. Es necesario aclarar, no obstante, que la razón dorada noagota la infinita variedad de patrones matemáticos que se encuentran en la naturaleza. Noexiste un solo fractal que agote la estructura del universo, sino infinitas formas y patrones.Sin embargo si algo revela el “número dorado” es que la naturaleza se organiza en patronescomplejos y no lineales. La razón de ello estriba en las leyes subyacentes de la naturaleza.Así, por ejemplo, los cristales suelen organizarse de acuerdo con este patrón porque lafuerza electromagnética que mantiene unidos a los cristales de hielo tiende a acomodar a lasmoléculas en modelos que optimizan el espacio… y la razón dorada es una de las manerasmás eficientes para ello. El polen de los girasoles tiende a organizarse de esta manera porquela selección natural favoreció a aquellas plantas que concentraran la mayor cantidad de

polen en el menor espacio posible y mantienen más posibilidades de sobrevivir. Lo mismosucede con las celdas que componen los ojos de algunos insectos y las celdillas de lospanales, etc. No existe nada misterioso ni místico en ello. En todo caso nos muestra laincreíble complejidad y auto-organización de la naturaleza. Hay intérpretes, sin embargo,que hablan de “la razón divina” sería la firma de Dios en su creación, un mensaje oculto dela existencia de una “inteligencia superior”; pero esta interpretación demuestra que algunaspersonas carecen de “inteligencia superior”.

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=YCG6or7sZgA

Ya Leonardo y otros artistas del renacimiento conocían la “divina proporción” que aplicabade manera consciente en sus obras. Pero otros artistas han expresado este patrón sin saberlo.Si el arte es una expresión de la naturaleza y la sociedad no es casualidad que expresefrecuentemente los mismos patrones que son tomados, muchas veces, como referentes debelleza, armonía y proporción

Notas

1. Talanquer, Vicente; Fractus, fracta, fractal, p. 26.2. Sametband, José M; Entre el orden y el caos, p. 98.

Bibliografía:

Braun, Elieser; Caos, Fractales y cosas raras, Fondo de Cultura Económica, Colección laCiencia para todos, México, 1996.

Engels, F. Dialéctica de la naturaleza, Grijalbo, México, 1981.Grant, Ted; Woods, Alan, Razón y revolución, Fundación Federico Engels, España. 2002.Hegel, G. W. Filosofía de la Lógica, Claridad, Buenos Aires, 2006.Sametband, Moisé, J; Entre el orden y el caos. La complejidad, Fondo de CulturaEconómica, Colección la ciencia para todos, México, 1999.Talanquer, Vicente; Fractus, fracta, fractal. Fractales de laberintos y espejos, Fondo deCultura Económica, colección la ciencia para todos, 1996.

Octubre de 2011

Fuente: elmilitante