FRAÇÕES

Podemos concluir que o surgimento do

número fracionário veio da necessidade de

representar quantidades menores que

inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro,

mas se comermos um pedaço, qual seria a

representação numérica que esse pedaço e

o resto do bolo representaria? Foi a

necessidade de criar uma representação

numérica para as partes de um inteiro que

proporcionou o surgimento dos números

fracionários.

Fração é a representação da parte de um

todo (de um ou mais inteiros), assim,

podemos considerá-la como sendo mais uma

representação de quantidade, ou seja, uma

representação numérica, com ela podemos

efetuar todas as operações como: adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação,

radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser

representada em uma reta numerada, por

exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um

inteiro foi considerada apenas a sua metade,

portanto, podemos dizer que em uma reta

numerada a fração 1/2 estará entre os

números inteiros 0 e 1.

Por ser uma forma diferente de representação

numérica, a fração irá possui uma

nomenclatura específica e poderá ser escrita

em forma de porcentagem, números decimais

(números com vírgula) e números mistos.

NOMENCLATURA

• As frações possuem dois tipos de representação,

uma geométrica (desenho) e outra na forma de

expressão matemática. É importante lembrar que

fração é uma representação da parte de um todo.

Para termos uma representação fracionária

devemos primeiramente constituir todo o inteiro.

• Sabendo que uma fração deve ser representada

por um numerador e um denominador, fica fácil

compreendermos a sua nomenclatura. A leitura

de uma fração irá depender do seu denominador.

• A nomenclatura de uma fração pode ser

dividida em dois grupos:

– o primeiro compreende os denominadores

iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000.

– o segundo compreende os denominadores que

não pertencem ao primeiro grupo, como 12,

20, 51.

• Para denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10, 100, 1000, a leitura das frações

fica da seguinte forma:

• Segundo grupo: considerando que o

denominador seja qualquer outro número,

acrescentamos na sua leitura a palavra

“avos”.

Tipos de Fração

• Fração própria

Toda fração que for considerada própria

deverá ser menor que um inteiro, ou seja, seu

numerador é menor que seu denomi-

nador. Ex: 5

8

• Fração imprópria

As frações impróprias são maiores que um

inteiro, ou seja, o seu numerador é maior que

o denominador. Ex: 11

8

• Fração aparente

Fração aparente é um tipo de fração imprópria,

sendo que os numeradores são múltiplos dos

denominadores, ou seja, ao dividirmos o

numerador pelo denominador iremos obter

valor inteiro como resposta. Ex: 16

8

• Fração misto

Toda fração imprópria pode ser escrita na

forma de número misto. Esse tipo de número

é formado por uma ou mais partes inteiras

mais uma parte fracionária. Ex: 19

8 = 2

3

8

• Fração irredutível

Fração irredutível é a fração onde o numerador

e o denominador são primos entre si, não

permitindo simplificação. Ex: 7

3

• Fração Unitária

É a fração cujo numerador é igual a 1 e o

denominador é um inteiro positivo. Ex: 1

3

• Fração Composta

É a fração cujo numerador e o denominador

são frações. Ex: 1

3 /

2

5

• Fração Algébrica

É a fração onde no denominador há uma

incógnita. Ex: 3

𝑥 −1

• Fração Equivalentes

Dizemos que uma fração é uma parte de um

inteiro que pode ser representada

geometricamente ou numericamente.

Podemos dividir o inteiro em diversas partes,

as quais representarão quantidades diferentes

e outras que representarão uma mesma

quantidade.

No caso de frações diferentes que representam a

mesma quantidade, damos o nome de frações

equivalentes. A única condição para que existam

frações equivalentes é que elas pertençam ao

mesmo inteiro.

Ex:

Para identificarmos se duas ou mais frações

são equivalentes, basta aplicarmos os

princípios de simplificação conhecidos, isto é,

dividir o numerador e o denominador pelo

mesmo número, reduzindo a fração à forma

irredutível. Se as formas irredutíveis forem

idênticas, dizemos que as frações são

equivalentes.

SIMPLIFICAÇÃO

Simplificar uma fração consiste em reduzir o

numerador e o denominador através da divisão

pelo máximo divisor comum aos dois números.

Uma fração está totalmente simplificada quando

verificamos que seus termos estão totalmente

reduzidos a números que não possuem termos

divisíveis entre si. Uma fração simplificada sofre

alteração do numerador e do denominador, mas

seu valor matemático não é alterado, pois a

fração quando tem seus termos reduzidos se

torna uma fração equivalente.

• Exemplos:

Ou você pode simplificar a fração uma única vez.

Para isso, você deve identificar o máximo divisor

comum aos dois termos.

Portanto, para que uma fração se torne irredutível,

devemos dividir o numerador e o denominador pelo

maior divisor comum ou realizar a simplificação por

partes. Lembre-se de que toda fração irredutível

possui inúmeras frações equivalentes.

REDUÇÃO DE FRAÇÃO AO MESMO DENOMINADOR

• Podemos transformar duas frações que

representam quantidades diferentes de um mesmo

inteiro, por exemplo, 1

2 e

2

5 em frações com

denominadores iguais. Esse processo é conhecido

como redução de fração ao mesmo denominador.

• Para reduzir as frações 1

2 e

2

5 ao mesmo

denominador devemos encontrar as frações

equivalentes a cada uma delas, ou seja, frações

diferentes, mas que representam a mesma

quantidade.

• Para 1

2 temos:

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10

• Para 2

5 temos:

2

5 =

4

10 =

6

15

• Como as frações equivalentes a 1

2 e

2

5 foram

encontradas levando em consideração o

mesmo inteiro, podemos dizer que as

frações 1

2 e

2

5 transformadas em um mesmo

denominador ficariam respectivamente

iguais a 5

10 e

4

10.

• Uma maneira mais prática de reduzir as frações

ao mesmo denominador é encontrar o mínimo

múltiplo comum (menor múltiplo comum) dos

números que representam os denominadores, por

exemplo: As frações 3

20 e

5

6 possuem os números

20 e 6 como denominadores e o menor múltiplo

comum (mmc) entre eles é 60. Assim, o

denominador comum das frações 3

20 e

5

6 será 60.

• Depois de encontrar o “novo denominador” temos

que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar o resultado

pelo numerador, devemos fazer sempre esse

processo, pois se mudamos o denominador temos

que encontrar um numerador proporcional.

• Depois de encontrar o “novo denominador”

temos que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar

o resultado pelo numerador, devemos fazer

sempre esse processo, pois se mudamos o

denominador temos que encontrar um

numerador proporcional.

Comparação de frações

• Podemos comparar frações utilizando a

representação numérica através de algumas

técnicas e propriedades. Comparar significa

analisar qual representa a maior (>) ou menor

(<) quantidade ou se elas são iguais (=).

• 1ª Situação

Quando os denominadores são iguais, basta

compararmos somente o valor dos numeradores.

1

2 <

3

2 ou

3

5 >

2

5

• 2ª Situação

Quando os denominadores são diferentes,

devemos realizar operações no intuito dos

denominadores se tornarem iguais. Quando

eles se tornam iguais aplicamos as

definições da 1ª situação. O processo que irá

transformar os denominadores em valores

iguais é o de redução, visto anteriormente.

Por exemplo: 5

6 e

8

3

• As frações dadas possuem denominador 6

e 3, respectivamente. Vamos multiplicar os

membros da 1ª equação por 3 e multiplicar

os membros da 2ª equação por 6. Veja:

5∶3

6∶3 =

15

18 e

8∶6

3:6 =

48

18

• Note que: 48

18 >

15

18 ou seja,

8

3 >

5

6

• Observe que multiplicamos os membros da

1ª equação pelo denominador da 2ª

equação e os membros da 2ª equação pelo

denominador da 1ª equação.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

• As operações de adição e subtração com fração

dependem unicamente do denominador, ou seja,

dependem da quantidade de partes que um

inteiro foi dividido. Podendo ser iguais ou

diferentes, assim diferenciando a resolução.

• Quando os denominadores forem iguais devemos

somar ou subtrair as partes consideradas dos

numeradores e conservar as partes dos

denominadores.

1

5+

3

5=

4

5 ou

3

4−

2

4=

1

4

• Quando os denominadores forem diferentes é

preciso torná-los iguais antes de resolver a

operação de adição ou subtração, utilizando

as técnicas que a redução de uma fração ao

mesmo denominador. É preciso que

encontremos o mmc de 5 e 7 que é o 35. logo

encontraremos as respectivas frações

equivalentes com as quais efetuamos a soma:

2

5+

4

7=

35:5 .2

35+

35:7 .4

35=

14

35+

20

35=

34

35

• Na operação de subtração o processo é o

mesmo, só irá diferenciar-se ao operar.

MULTIPLICAÇÃO

• A multiplicação é uma operação básica que

surge para simplificar a soma de parcelas

iguais. A operação da multiplicação é

aplicada a qualquer conjunto numérico, dos

Naturais aos Reais. No caso dos racionais,

principalmente os números fracionários, a

multiplicação deve ser utilizada respeitando

algumas regras básicas: multiplicar

numerador por numerador e denominador

por denominador.

• Na multiplicação de números fracionários,

é valido o jogo de sinal entre os fatores.

Observe tabela de jogo de sinais:

(+) . (+) ou (-) . (-) resulta em valor (+)

(+) . (-) ou (-) . (-) resulta em valor (-)

• Observe que multiplicação de sinais iguais

dá positivo e multiplicação de sinais

diferentes dá negativo!

• Você também pode simplificar a fração

antes de iniciar as contas ou mesmo após

terminá-las.

• Exemplos:

1.2

5.

3

4=

2.3

5.4=

6

20=

3

10

2.(−1)

3.

4

7=

(−1).4

3.7=

−4

21

3.8

2.

11

3=

4

1.

11

3=

4.11

1.3=

44

3

4.7

9.

4

5=

7.4

9.5=

28

45

5.(−2)

15.

8

(−3)=

(−2).8

15.(−3)=

−16

−45=

16

45

DIVISÃO

• A resolução da operação de divisão envolvendo

frações pode ser resolvida de forma simples. Basta

lembrar que o quociente de duas frações é o

produto da primeira pelo inverso da segunda.

• Exemplos:

1.2

5:

11

5=

2

5.

5

11=

2.5

5.11=

10

55=

2

11

2.(−3)

8:

7

2=

(−3)

8.

2

7=

−3 .2

8.7=

−6

56=

−3

28

3.(−12)

3:

(−5)

11=

(−12)

3.

11

(−5)=

−12 .11

3.(−5)=

−132

−15=

132

15=

44

5

POTENCIAÇÃO

• A potenciação de frações algébricas utiliza o

mesmo processo das frações numéricas, o

expoente precisa ser aplicado ao numerador

e ao denominador, considerando o valor do

denominador diferente de zero. Após o

desenvolvimento da potenciação, se for o

caso, simplifique a fração.

• Ex: (2

3)2 =

22

32 = 2.2

3.3=

4

9

• O exemplo anterior trata-se de uma fração

numérica. No entanto para frações

algébricas o raciocínio é o mesmo.

Ex:

1. (2𝑎

5𝑏)2 =

2𝑎 2

5𝑏 2 =22.𝑎2

52.𝑏2 =2.2 . 𝑎.𝑎

5.5 . 𝑏.𝑏=

4𝑎2

25𝑏2

2. (𝑎+𝑏

3𝑎)−2 = (

3𝑎

𝑎+𝑏)2 =

3𝑎 2

𝑎+𝑏 2 =32.𝑎2

𝑎+𝑏 . 𝑎+𝑏=

9𝑎2

𝑎2+2.𝑎.𝑏+𝑏2

FRAÇÃO E PORCENTAGEM

• A palavra porcentagem apresenta

ligações estreitas com a ideia de fração,

uma vez que significa partes de 100. Ora,

se é parte de um todo então é uma fração.

Vamos compreender melhor a relação

entre porcentagem e as frações.

• Definição de porcentagem: Se x é um

número real, então x% representa a

fração 𝑥

100.

• Ou seja:

5% = 5

100; 32% =

32

100; 78% =

78

100

e assim por diante.

• Como a porcentagem pode ser escrita na

forma de fração, podemos realizar

facilmente cálculos que envolvam essas

ideias. Veremos alguns exemplos de como

isso pode ser feito.

• Exemplo 1: Sabe-se que 55% dos

estudantes de uma sala são do sexo

feminino. Como na classe há 40

estudantes, quantas meninas há nessa

sala?

Solução: 55% = 55

100

55

100.40 =

55.40

100=

2200

100= 22

Logo, há 22 meninas na sala.

• Além disso, podemos escrever a

porcentagem na forma decimal, também a

fim de facilitar os cálculos na resolução de

problemas.

• Exemplos:

25% = 0,25

30% = 0,3

16% = 0,16

217% = 2,17

1154% = 11,54

E assim por diante.

PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS FRACIONÁRIOS

• A maneira como resolvemos uma situação

problema é sempre a mesma, o que pode ser

diferente é a estratégia de resolução, pois cada

uma delas envolve um conteúdo diferente.

• Levando em consideração os problemas

matemáticos que envolvem números

fracionários, podemos utilizar como estratégia

na sua resolução a construção de figuras que

representem os inteiros ou partes deles

(fração).

• Veja o exemplo de situação problema

envolvendo números fracionários.

Uma piscina retangular ocupa 𝟐

𝟏𝟓 de uma área

de lazer de 300m2. A parte restante da área de

lazer equivale a quantos metros quadrados?

Resolução: Considere o retângulo abaixo como

sendo a área de lazer completa.

• Para representarmos 2/15 (área ocupada

pela piscina) na região retangular que está

representando a área de lazer, basta dividir

esse retângulo em 15 partes iguais e

considerar apenas duas como sendo

ocupadas pela piscina.

• Observando a figura acima percebemos

que a fração que irá corresponder à parte

restante da área de lazer é 13/15, dessa

forma:

13

15. 300 =

13.300

15=

3900

15= 260

Logo, a área de lazer restante é de 260m2.

E UM ÓTIMO DOMINGO!