São Paulo, novembro de 2019

Instituto de Matemática e Estatística - USP

Frações

Yasmin O. Sakae - nº USP: 8656584

Ivaldo Antonio dos Santos - nº USP: 1136873

Henrique de O Alves - nº USP: 7987550

Carta ao professor: Olá professor, Os nossos queridos alunos já aprenderam conceitos de frações e desta vez você terá um trabalho inovador. Este capítulo foi elaborado com um objetivo de uma didática mais prática para que os estudantes consigam compreender a utilidade de frações por meio de projetos que executarão em grupo. Os conceitos serão revisados e também haverão exercícios extras para que vocês treinem juntos e eles também, sozinhos. A ideia é ensinar de uma maneira divertida e diferente, a qual estimulará uma postura ativa no aprendizado, além de proporcionar uma união e uma colaboração entre os alunos, como também, descobrir novos talentos e habilidades, tão importantes para o desenvolvimento do indivíduo. Vamos começar? Bom trabalho. Carta ao aluno: Olá querido estudante, Você já aprendeu sobre frações, lembra? Agora, você colocará em prática! Neste capítulo serão abordados alguns projetos para que execute com seus colegas, e desta maneira, conseguirá entender como está tão presente em nosso cotidiano. Mas não se esqueça de fazer os exercícios da seção Treinando para que você consiga desenvolver um raciocínio que te ajudará no seu trabalho e na sua vida. Está preparado para aprender matemática de uma maneira diferente e divertida? Boa sorte! E vamos começar!

Revisando as frações Você sabia?

A palavra fração vem do latim fractus que significa “partido”. No antigo Egito por volta de 3.000 a.C o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores e para isso, os agrimensores, também chamados de estiradores de corda, mediam os terrenos com cordas nas quais a unidade de medida estava marcada. Para registrar a parte distribuída utilizavam-se de sinais em que o numerador era sempre oval e denominador eram os símbolos de numeração:

Fonte: https://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjl4NOozdDlAhWEB9QKHYBr Ae8QjB16BAgBEAM&url=https%3A%2F%2Fincrivelhistoria.com.br%2Fegito-antigo-historia-caracteristicas%2F&psig=AOvVaw 1tehYvjT2T_Pd_Awgkwk-7&ust=1572958528161883

Fonte: https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjLicO9rs_lAhX0HLkGHbz3ASw QjB16BAgBEAM&url=https%3A%2F%2Fpt.wikipedia.org%2Fwiki%2FFra%25C3%25A7%25C3%25A3o&psig=AOvVaw2Gy2J Lih4h3wFT4tl_s9ea&ust=1572915882945793 A razão de dois números naturais só foi criada pelos hindus com o Sistema de numeração decimal.

Representação:

Alguns exemplos:

1) A pizza que foi dividida em 8 partes de tamanhos iguais, então possui 8 pedaços,

sendo cada pedaço representado por da pizza. Sendo a pizza inteira representada por 81

, se tirarmos um pedaço dela, qual é a fração que representará a parte restante? 88 8

7

Fonte: https://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj2yqyXztDlAhVcILkGHb_8DG UQjB16BAgBEAM&url=https%3A%2F%2Fwww.todamateria.com.br%2Ffracoes%2F&psig=AOvVaw3brMdmLQUcM3C56ytfAq HC&ust=1572958693972999

2) Mas e se dividirmos uma circunferência em 5 partes iguais, se tirarmos um

pedaço dela, quanto sobrará? 54

3) Aqui temos maçãs, quantas partes essas maçãs foram divididas? 4

4) Essas são duas barras de chocolate, sendo a cor mais alaranjada o quanto tem de chocolate e a cor bege é o que já foi comido. Digamos que a barra da esquerda é quanto você tinha de chocolate hoje de manhã, mas seu amigo pediu um pedaço e o que lhe restou

foi a barra da direita. Qual a fração do seu chocolate que você deu a seu amigo? ou 424

Sugerimos que comece a discussão do quanto é o todo, se é o tamanho da barra 418

original ou o quanto o aluno tinha de chocolate naquela manhã.

Curiosidade!

Aproximadamente do nosso corpo é composto por água 43

Treinando a mente

1. Represente com desenhos as seguintes frações:

a. copo de suco 21

b. de lata de tinta 43

c. de pizza 82

d. de um saco de 10 laranjas 54

e. de bolo 61

Leitura de fração Denominador menor que 10:

Denominador igual a potência de 10:

Denominador maior que 10:

Treinando a mente Escreva como se lê as frações abaixo:

a. cinco sétimos 7

5 b. dez sextos 6

10

c. dois centésimos 2

100

d. nove treze avos 913

e. vinte e cinco sétimos 725

f. vinte e três e quarenta e cinco avos 4523

Frações maiores que um inteiro

Quando dizemos de algo, já pensamos que vamos dividir em três partes e iguais e 31

pegar uma delas:

Ou, de algo: 43

E assim, podemos pensar em diversos exemplos que você já treinou acima.

Mas e quando falamos de um número de partes maior do que a as possíveis de serem pegas na unidade referente?

Vamos para alguns exemplos:

Quero representar a fração e para isso, vou precisar de mais uma barra pois quero 7 57

partes de : 51

Para representar o , conseguimos utilizar a notação de número misto , pois temos 57 1 5

2 1 unidade e mais da mesa unidade. 5

2

Agora quero representar : 38

Podemos escrever 2 32

Treinando a mente

1. Represente as seguintes frações em sua forma de número misto:

a. 34 1 3

1 b. 59 1 5

4

c. 25 2 2

1 d. 417 4 4

1

2. Seu João foi comprar a farinha para seus bolos em um local que vendia por peso e precisava de 250 gramas. A venda tinha como medidor canecas de 100 gramas e de

150 gramas, mas Seu João não gosta de utilizar duas canetas com o mesmo cliente. Como poderia fazer a medição?

Poderíamos utilizar algumas opções:

a. Com caneca de 100g: pedirá duas canecas cheias mais meia caneca, ou seja, 2

ou . 21

25

b. Com caneca de 150g: pedirá uma caneca e de outra, ou seja, 1 ou 32

31

34

3. Para sua receita de bolo, Dona Maria precisava de 200 mL observou que no mercado

havia dois medidores: 125 mL e 75 mL. Quais formas ela pode utilizar cada medidor para ter a sua medida de leite?

Com o de 125 mL: pedirá 1 e de outra, ou seja, ou 53 1 5

358

Com o de 75 mL: pedirá 2 e ou seja, ou 31 1 3

137

Frações Equivalentes Equivalência de fração ocorre quando, embora a representação numérica seja diferente,

elas possuem um mesmo significado. Por exemplo, representa metade do todo que 21

está relacionado, como também , , . 42

63 7

14

Observe a figura abaixo:

Dizemos que uma fração está simplificada ao máximo quando o numerador e denominador já não possuem nenhum fator em comum. E para que isso ocorra temos que dividir ambos

pelos fatores em comum até não haver mais nenhum fator comum além do número 1, o que chamamos de fração irredutível. Por exemplo:

Em podemos dividir por 3 e assim, resulta em . O mesmo ocorre ao dividir o 63 2

1

numerador e o denominador da fração por 2, e também, a fração por 4. Veja 42 8

4

alguns exemplos:

1. Observe a representação da pizza abaixo e diferentes frações dela:

4

221

84

Nota-se que ambas indicam metade de uma pizza 2. Observe a representação da barra de chocolate abaixo e diferentes frações dela:

51 3

15 32

1510

Proposta ao professor: combine com seus alunos um dia de piquenique das frações e peça para que cada traga algum alimento fácil de cortar e representar frações, como por exemplo: chocolate, fruta, pão, bolo, suco. Desenvolva a ideia de fração equivalente.

Treinando a mente

1. Escreva pelo menos 3 frações equivalentes para cada número abaixo:

a. 41

b. 52

c. 76

d. 49

2. No final do livro estão anexadas as peças de um jogo de dominó de frações equivalentes. Tire uma cópia da folha e corte as peças, em seguida, junte-se com um colega ou mais e misture as peças de vocês viradas para baixo. Distribua igualmente para cada um. Após decidir quem irá começar e a ordem de jogada, cada jogador só poderá colocar uma peça unindo faces de frações equivalentes ou iguais. Caso algum não tenha, passará a vez. Se em alguma determinada jogada ninguém tiver uma fração equivalente as que estão na mesa, começará a rodada de frações maiores. Ganha quem acabar com as peças primeiro.

Professor, ajude seus alunos a entender fazendo alguma rodada teste.

Veja alguns exemplos: Supondo que na mesa se observe essa rodada:

Do lado esquerdo temos a representação de metade e do lado direito temos a de , 32

portanto poderá colocar uma peça que também haja a mesma. Veja dois exemplos de possíveis jogadas:

Iniciando os projetos Está na hora de começar nosso divertido trabalho. Sejam bem vindos à cidade Fraciones, onde a população se utiliza de frações para falar de tempo, medida, preços e muitas outras coisas. Fique atento, pois você só poderá negociar usando a linguagem com frações e o dinheiro utilizado na cidade é o fracion. Se dividam em quatro grupos, o qual cada um irá abrir sua própria microempresa. Abaixo estão as propostas. Sigam os passos que tenho certeza que terá muito sucesso! Bom trabalho! Olá professor, agora é com você. Ajude os estudantes a se dividirem em grupos e explique com exemplos como funcionará a linguagem com frações. Exemplo: Ao comprar farinha,

terá que pedir da medida e pagará com de fracion. Utilizará da medida 41 1

10 120

comprada em cada bolo. Parte 1: Devido ao crescimento populacional, a cidade Fraciones está precisando de novos comércios, e por meio de uma pesquisa com a população, surgiu uma demanda maior por:

1. venda de bolos caseiros 2. venda de marmitas 3. kits escolares 4. tortas salgadas

Junto com seus colegas decidam qual grupo será encarregado por cada comércio e, em seguida, discuta com seus parceiros qual será o nome de sua nova microempresa. Sejam criativos! Criem um logo bem legal e chamativo. Agora, vamos conhecer como funciona o sistema monetário: A moeda utilizada é o fractus, em homenagem à origem da fração. Na tabela abaixo encontramos os valores e seus significados:

Subdivisões do fractus Valor

1 fracionito 24 fractus

1 fracion 24 fracionitos

1 fracionon 24 fracion

Vamos treinar um pouco a mente para conhecer esse dinheiro melhor?

Treinando a mente

1. Determine em fração os valores abaixo: Pode utilizar as moedas do anexo para a resolução da atividade e elabore estratégias para facilitar as mudanças de unidades monetárias.

a. 50 fractus é ______ fracionito ou 2 2450

61

b. 35 fractus é ______ fracionito ou 1 2435

2411

c. 24 fractus é ______ fracion ou 24576

124

d. 240 fractus é ______ fracion ou 576240 5

12

e. 576 fractus é ______ fracionon ou 57613824

1576

f. 1152 fractus é ______ fracionon ou 115213824

2576

g. 20 fracionitos é ______ fracion ou 2420

65

h. 120 fracionitos é ______ fracion ou 5 24120

i. 180 fracionitos é ______ fracionon ou 576180

65

j. 270 fracionitos é ______ fracionon ou 576270

3215

k. 60 fracion é _______ fracionon ou 2 2460

21

l. 80 fracion é _______ fracionon ou 3 2480

31

2. Marielle foi ao Sacolão do Martim comprar 6 bananas, 5 maçãs, 1 abacate, 6

tomates e 3 cebolas. Determine: Sabendo que as medidas são:

Alimento Quantidade Valor

1 cacho de bananas 12 bananas 7 fracion

1 saco de maçãs 10 maçãs 4 fracion e 12 fracionitos

abacate 1 6 fracion e 10 fracionitos

1 saco de tomate 9 tomates 6 fracion

1 saco de cebola 8 cebolas 3 fracion e 20 fracionitos

Como Marielle terá que fazer seu pedido?

cacho de banana, saco de maçã, 1 abacate, de saco de tomate, de 21 2

1 53 5

3 saco de cebola Quanto Marielle terá que pagar em sua compra? Lembre-se da relação entre subdivisões e dê o valor reduzido ao máximo. Por exemplo: 70 fracionitos = 2 fracion e 22 fracionitos

6 bananas: fracion = 3 fracion e 12 fracionitos 3 21

5 maçãs: 2 fracion e 6 fracionitos 1 abacate: 6 fracion e 10 fracionitos 6 tomates: 4 fracion 4 cebolas: 2 fracion e 7 fracionitos Total = 18 fracion e 11 fracionitos Sabendo que Marielle pagou toda sua conta em fracion, quanto ela receberá de troco? Marielle deve ter pagado com 19 fracion e recebeu como troco 13 fracionitos, que

equivale a fracion. 2413

3. Ruan foi ao Mercado do Seu Zé e sua compra resultou em 1 fracionon, 13 fracion e 22 fracionitos, o qual entregou ao caixa 2 fracionon. Quanto ele receberá de troco? Expresse em apenas fracion.

10 fracion e 2 fracionitos = 10 112

Parte 2:

Vamos agora analisar as características de cada comércio:

1. Bolos Após muitas reuniões, foi decidido que seriam vendidos 4 sabores de bolos, 2 deles veganos e 1 sem glúten, para atender diversos públicos. Abaixo estão os ingredientes que serão utilizados em casa receita:

Bolo de Fubá:

● 3 ovos inteiros ● 200 g de açúcar ● 200 g de fubá ● 15 g de farinha de trigo ● 125 mL de óleo ● 250 mL de leite ● 5 g de fermento em pó

Bolo de cenoura vegano:

● 3 cenouras em pedaços ● suco de 2 laranjas ● 125 mL de óleo ● 130 g de açúcar ● 300 g de farinha de trigo ● 5 g de fermento em pó

Bolo de limão vegano:

● 200 g de farinha de trigo ● 130 g de açúcar ● 120 mL de óleo ● 180 mL de água ● 60 mL de suco de limão ● 10 g de raspas de limão ● 1 g de bicarbonato de sódio (ou uma pitada) ● 7 g de fermento em pó

Bolo de chocolate sem glúten:

● 240 mL de leite ● 240 mL de óleo ● 2 unidades de ovo ● 200 g de farinha de arroz ● 100 g de achocolatado em pó ● 130 g de açúcar ● 5g de fermento em pó

2. Marmita Após muitas reuniões foi decidido a venda de 4 marmitas diferentes, entre elas 2 veganas, para atender públicos diversos. Abaixo estão a composição delas: Marmita 1:

● 100g de arroz ● 150g de feijão ● 2 ovos ● duas folhas de alface ● meio tomate

Marmita 2: ● 100g de arroz ● 150g de feijão ● 100g de grão de bico cozido ● 50g de batata ● 100g de brócolis

Marmita 3: ● 200g de macarrão ● 100g de carne moída ● 100ml de molho de tomate pronto

Marmita 4: ● 200g de macarrão ● 100g de carne de soja ● 100ml de molho de tomate pronto

3. Kits escolares Após muitas reuniões foi decidido a venda de 3 kits escolares diferentes. Abaixo está descrito como serão formados: Kit 1:

● um caderno ● 2 canetas azuis ● 3 lápis ● 1 borracha ● 1 apontador ● 1 caixa de lápis de cor

Kit 2: ● 2 cadernos ● 5 lápis ● 1 borracha ● 1 apontador ● 1 caixa de lápis de cor

Kit 3: ● um caderno ● um estojo de canetinha ● 3 lápis ● 1 apontador ● 1 borracha

4. Tortas Após muitas reuniões foram definidos 4 sabores de tortas que poderão ser feitas em massa normal ou vegana. Torta 1: Palmito Torta 2: Brócolis Torta 3: Frango Torta 4: Carne

Massa:

● 210 g de farinha de trigo ● 480 mL de leite ● 240 mL de óleo ● 3 ovos ● 5 g de fermento em pó ● 1 g pitada de sal

Para a massa sem glúten, substitua a farinha de trigo pela de arroz, em mesma quantidade. Massa vegana:

● 360 mL de água ● 120 mL de óleo ● 1/2 cebola já picada ● 200 g de farinha de trigo ● 5 g de sal ● 15 g de açúcar ● 5 g fermento em pó

Recheios: Palmito:

● Meia lata de milho verde ● 1 lata de palmito ● Meio vidro de azeitonas sem caroço

● Uma cebola picadinha ● Dois tomates picadinhos ● Três dentes de alho amassados ● 15 mL de óleo ● Pimenta e Sal a gosto

Brócolis:

● Meia lata de milho verde cozido no vapor ● 1 maço de brócolis ● Uma cebola picadinha ● Dois tomates picadinhos ● Três dentes de alho amassados ● 15 mL de óleo ● Pimenta e Sal a gosto

Frango:  

● 500 g de peito de frango sem pele ● 500 mL de caldo de galinha ● 60 mL de óleo ● 1 dente de alho amassado ● 1 cebola picada ● 3 tomates sem pele e sem sementes ● Meia lata de ervilhas ● sal e pimenta-do-reino a gosto

Carne:

● 500g de carne moída ● 1 cebola ● 1 tomate ● 1 lata de ervilha ● Meia lata de azeitonas sem caroço ● 30 mL de óleo ● Pimenta e sal a gosto

Atividade :

Determine a quantidade de produtos que serão necessários semanalmente de acordo com a produção de cada comércio especificado abaixo. E calcule o faturamento diário e semanal. Caso precise de ajuda, verifique como realizar as operações com frações a seguir.

Comércio Produção diária Valor da unidade

Bolos 3 Fubá 2 Cenoura Vegano 1 Limão Vegano

fraciono 1 21

fraciono 1 43

fraciono 2 81

2 Chocolate sem glúten fraciono 2 52

Marmitas 3 Marmitas 1 3 Marmitas 2 2 Marmitas 3 2 Marmitas 4

fraciono 87

fraciono 65

fraciono 43

fraciono 21

Kits escolares 30 Kits 1 35 Kits 2 24 Kits 3

fraciono 2412

fraciono 2415

fraciono 2418

Tortas 1 Torta de palmito sem glúten 1 Torta de palmito vegana 2 Tortas de brócolis vegana 1 Torta de frango 1 Torta de frango sem glúten 2 Tortas de carne

fraciono 1 2410

fraciono 1 712

fraciono 1 84

fraciono 1 42

fraciono 1 63

fraciono 1 21

Utiliza as unidades quilogramas (kg) e litros(L), sabendo que: 1kg = 1000g e 1L = 1000mL.

Lembre-se que em Fraciones utiliza-se fração em sua linguagem.Exemplo:

1300 g é equivalente a 1kg e 300 g ou kg 1 310

50 fractus é equivalente à fracionitus. 1 61

Operações com frações

A Soma e a Subtração de fração Primeiro caso: Frações com denominadores iguais Vamos analisar a soma e a subtração de frações de divisões iguais de uma mesma unidade, ou seja, mesmo denominador:

+ : 41

42

+ = Observe que temos uma pater com mais 2 partes de resultando em 4

141

43

Observe mais exemplos:

+ = 32

32

34

+ =

Somar com : 2

18618

+ = , podemos ainda simplificar essa fração pois o numerador e o 218

618

818

denominador tem um fator 2 em comum

= = 818 (8÷2)

(18÷2) 94

Agora vamos fazer a seguinte operação:

Queremos subtrair de 51

53

Temos 3 partes de e retiramos 1 partes de resultando em 5

151

52

- = 53

51

52

Agora, suponha que tenhamos que subtrair de de algo: 61

63

Fonte: h ttps://www.estudopratico.cohm.br/adicao-e-subtracao-de-fracoes/ . Acesso em 30.10.2019

Treinando a mente Faça as seguintes operações e deixe a resposta como fração irredutível. Desenhe para representar:

a. + = 81

83

84

21

b. + = 1312 5

13 1317 1 4

13 c. + 5

152

53

d. - 54

52

52

e. - = 83

81

82

41

f. - 417

117

317

g. - = 1 710

73

77

Segundo caso: Frações com denominadores diferentes Quando as frações possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuem denominadores iguais para que seja possível a operação. Observe alguns exemplos:

Quero somar com : 32

41

Para fazer essa operação precisamos achar frações equivalentes para assim condizer com um mesmo todo relacionado. Para facilitar as contas, devemos descobrir o mínimo múltiplo comum entre os valores dos denominadores. Neste caso é o 12: 3 x 4 = 12 4 x 3 = 12 Nosso novo denominador será o 12, mas não devemos esquecer que o numerador também irá mudar na mesma proporção para que nossa fração não mude de valor, assim, multiplicamos tanto em cima quanto embaixo pelo mesmo:

x = = 32

44

3×42×4 8

12 x = = 4

133

4×31×3 3

12 Agora sim conseguimos fazer a operação:

+ = 812

312

1112

Vamos somar com : 2

143

Precisamos achar as frações equivalentes com mesmo denominador. Nota-se que o 4 é

múltiplo de 2, basta então, reescrever como : 21

= = 21

2×21×2

42

Agora podemos fazer a operação:

+ = = 1 42

43

45

41

Vamos para a subtração:

Quero fazer a seguinte operação: - : 31

61

Para fazer esta operação podemos escrever como ,pois são frações equivalentes 31 6

2

e assim, conseguimos fazer a operação:

- = - = 31

61

62

61

61

Vamos para mais um exemplo:

- : 21

81

Podemos escrever como : 21

84

- = - = 21

81

84

81

83

Agora, veja esse exemplo:

- 32

41

Para fazer a operação teremos que achar frações equivalentes para ambas frações. E para facilitar, também procuramos o menor múltiplo em comum entre os denominadores. Neste caso é o 12: 3 x 4 = 12 4 x 3 = 12 Não se esqueça que para achar a fração equivalente multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo valor escolhido para que não mude a parte representada:

= (3×4)(2×4) 8

12

= (4×3)(1×3) 3

12 Agora sim podemos fazer a operação:

- = - = 32

41 8

12312

512

Treinando a mente 1. Faça as seguintes operações, deixando a resposta em fração irredutível:

a. + = 42

81

85

b. + = 52 9

15 1 c. + = 3

154

1517

d. + = 72

98

6374

e. - = 87 1

16 1613

f. - = 1210

43 1

12 g. - = 4

3 710 1

20 2. Em uma festa, Maria comeu do bolo, Joana comeu , Marcelo e Roberto 1

10115 5

1

. Quem comeu mais? Quanto do bolo ainda sobrou? Roberto. 31 3

10 3. Em uma plantação semeia-se com milho, de soja e de trigo. Quanto da área 6

231

41

é semeada? da plantação 1112

A Multiplicação e a Divisão de fração Quando multiplicamos frações significa que estamos destacando como resultado uma parte

de outra, por exemplo, é o mesmo que dizer: de , ou seja, iremos 31 × 5

3 31 5

3

dividir o em 3 partes iguais e iremos pegar uma. Veja a representação abaixo: 53

Isso resulta em . 51

E se quiséssemos de ? 53

31

Vamos pegar uma barra de mesmo tamanho e dividir em 3 partes iguais, tomando uma:

Agora vamos pegar esse e dividir em 5 partes iguais, tomando três: 31

Ao comparar com a operação anterior, percebe-se que resulta no mesmo:

Conseguimos observar a propriedade: “A ordem dos fatores não altera o produto”. Vamos analisar outras?

Agora vamos efetuar , ou seja, queremos de . Observe a representação 52 × 3

1 52 3

1

do processo:

Se dividirmos os outros em 5 partes também, observamos que temos : 32 2

15

Para não precisar desenhar sempre que quisermos fazer as contas existe uma técnica muito simples e eficaz: basta multiplicar os numeradores e depois os denominadores, observe:

= = 31 × 5

33×51×3 3

15 Podemos ainda simplificar achando uma fração equivalente irredutível ao se dividir tanto em cima como embaixo por 3 (o fator em comum entre 3 e 15):

= = 315

(3÷3)(15÷3) 5

1

Multiplicação por números naturais Quando multiplicamos uma fração por um número natural n, significa dizer que queremos a fração n vezes. Observe:

2 : × 51

Percebe que podemos apenas representar por:

3 : × 43

Ou seja, são 9 partes de ou . 41

49

Exemplo: Sabendo que 1 fracionito vale 24 fractus, então 1 fratus vale 1/24 de fracionito

Assim 25 fractus valerá 25 x = = de fracionitos. 124 24

25×12425

A Divisão de fração Ao dividir uma fração por outra é o mesmo que dizer quanto da segunda cabe na primeira. Por exemplo:

= 8 , pois cabem 8 em 38 ÷ 3

131

38

Observe a representação abaixo:

Tenho 3 inteiros, cada um dividido em três partes, e peguei um total de 8. Ao querer dividir

os por percebe-se que isso é o mesmo que perguntar quantos há no , e a 38 3

1 31 3

8

resposta é 8. Um jeito fácil de calcular é multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Outra forma de pensar é a seguinte: se considerarmos que representa de um todo, 3

8 31

para termos um inteiro precisamos de 3 : 38

Isto representa 24 partes de tamanho , ou seja, . Podemos ainda torná-la irredutível: 31

324

= = = 8 324

(3÷3)(24÷3)

18

Ou fazer a operação direta 24 3 = 8. ÷ Vamos para mais exemplos:

Quero dividir por : 47

31

Se representa de um todo, precisamos de 3 para representar o todo: 47

31 4

7

Isso equivale a 21 , ou seja, a fração . 41

421

Existe uma técnica que facilita o cálculo: multiplique a primeira fração pela inversa da segunda, ou seja, esta terá o numerador antigo como denominador e o denominador como numerador. Mas o que significa “inversa”? O inverso de número é aquele que, ao ser multiplicado pelo o original resulta em 1. Observe alguns exemplos:

apresenta inverso pois x = = = 1 41

14

41

14

4x11x4

44

apresenta inverso pois x = = = 1 53

35

53

35

5x33x5

1515

Percebe-se que o método de multiplicação pelo inverso facilita achar a resposta sem precisar representar graficamente:

= x = = 47 ÷ 3

147

13

4x17x3

421

Quero dividir por : 52

31

Portanto, quero saber quantos cabem em 3

152

Vamos admitir que equivale de um todo, para termos o todo precisamos de 3 52

31

52

Isso equivale a . 5

6 Utilizando a técnica:

= x = = 52 ÷ 3

152

13

5×12×3

56

Muito bacana esta técnica, não acha?

Quero dividir em : 43

51

Se é então precisamos de 5 para totalizar: 43

51

Portanto temos 15 ,ou seja, . 41

415

Utilizando a técnica:

= x = = 43 ÷ 5

143

15

4×13×5

415

Potencialização de frações A potencialização de frações é da mesma forma que já foi estudado com os números

naturais, ou seja, se quisermos fazer ( )21 2 = 2

1 × 21 = 4

1 Percebeu o que foi feito? Meio elevado a segunda potência é o mesmo que multiplicar meio por meio. Mas como resolvemos um número misto elevado a alguma potência?

Por exemplo: (2 )53 3

= ( )513 3

= 513 × 5

13 × 513 = 125

2197 Para resolver potencialização de número misto é necessário transformá-lo em uma fração imprópria e em seguida realizar o número de multiplicações iguais ao número do expoente. Você se lembra? Já aprendemos que um número elevado a potência nula resulta em 1:

= 1 20 = 1 70

Com as frações não é diferente:

= 1 ( 21)0

= 1 ( 53)0

Treinando a mente

1. Utilizando o método de representação por barra e a técnica apresentada, resolva:

a. : 61

51

65

b. : = 54

21

58 1 5

3 c. : = 1 3

737

2121

d. : 712

37

4936

2. Faças as seguintes operações utilizando as técnicas e deixe na forma irredutível:

a. x 31

42

32

b. x 52

73 6

35

c. x 1 1310

1013

d. x 54

76

3524

e. = 1 65 ÷ 5

42425 1

24 f. = 4 3

2 ÷ 71

314

32

g. 95 ÷ 11

12 3320

h. 87 ÷ 3

43221

3. Para confeccionar camisetas Seu Dorival precisa de de um metro de tecido. Ele 31

pretende produzir 30 camisetas, e para isso, calcule a quantidade necessária de tecido. 10 metros

4. Para produzir um bolo de cenoura é necessário do que possui de farinha de trigo, 53

e você notou que há em sua casa kg. Quanto, em fração de quilo, será utilizado e o 21

que sobrará? Para este cálculo, faça a multiplicação de fração: x = de kilo 53

21 3

10

serão utilizados. Sobrará x = . Professor, comente sobre a parte restante 52

21 2

10

representada por 52

5. Se você gasta do seu dia dormindo, e do seu sono sonhando, quanto do seu 3

1 52

dia você sonha? Para isso, faça a multiplicação: x = do dia 31

52 2

15

6. Um jardineiro gasta de um litro de água de água para regar uma planta. Se ele 31

possui 15 L, quantas plantas poderá regar? 15 = 45 plantas ÷ 31

7. Se temos duas pizzas e meia, e iremos distribuir um oitavo para cada pessoa, quantas

pessoas podemos servir? Para isso precisamos fazer a divisão 2 = por : 21

25 8

1 25

= 20 pessoas. Neste exercício, reveja com seus alunos a leitura de fração. ÷ 81

8. O tanque de combustível de Marcela está preenchido e ela usa por dia. 52 1

10

Quantos dias ela conseguirá andar com este combustível? Para este cálculo precisamos

fazer a divisão: = 4 dias 52 ÷ 1

10

9. Resolva as seguintes potências de frações:

a. ³ ( 31) 1

27 b. ² ( 3

2) 94

c. ( 53)4 81

625

d. Desafio: x x = ( 21)3 ( 7

1)281 1

491

392

e. Desafio: x x x x = = ( 52)2 ( 4

3)2 ( 21)3 2

25916 8

1 183200

91600

Parte 3:

Chegou a hora de fazer as compras! Abaixo estão descritas os locais onde será possível comprar o que precisam, o que vendem, a medida utilizada e os valores. Não necessário comprar a medida inteira, e sim só o necessário para evitar o desperdício. Por exemplo, se

você precisa de 100 g de fubá e a medida é de 350 g , você irá pedir de fubá. Lembre-se 72

que na cidade Fraciones se utiliza a linguagem com fração.

Mercado do seu Zé:

Em sua venda há todos os produtos que necessitamos para as comidas e seu Zé dá desconto de 10% no valor final se todos os produtos forem comprados exclusivamente com ele.

Lembrando que 10% é o mesmo que , então você já sabe realizar operações com 10100

porcentagens.

Produto Quantidade Valor

ovo 12 3 fracion

açúcar 280 g 4 fracion e 10 fracionitos

fubá 350 g 7 fracion

farinha de trigo 230 g 6 fracion e 20 fracionitos

óleo 360 mL 5 fracion e 10 fracionitos

leite 420 mL 8 fracion

fermento 10 g 5 fracion e 18 fracionitos

cenoura 5 2 fracion

laranja 12 7 fracion

limão 6 6 fracion e 15 fracionitos

bicarbonato de sódio 10 g 7 fracion

farinha de arroz 200 g 9 fracion

achocolatado 100 g 7 fracion e 10 fracionitos

arroz 130 g 10 fracion e 20 fracionitos

feijão 100 g 15 fracion

alface 1 2 fracion e 5 fracionitos

tomate 10 3 fracion

grão de bico 120 g 17 fracion

batata 10 5 fracion e 10 fracionitos

brócolis 1 6 fracion

macarrão 80 g 7 fracion

carne moída 100 g 23 fracion

carne de soja 100 g 1 fracionon

molho de tomate pronto 100 mL 7 fracion

sal 160 g 8 fracion

cebola 5 3 fracion e 20 fracionitos

lata de milho verde 1 4 fracion e 10 fracionitos

palmito 80 g 11 fracion

pote de azeitona 1 10 fracion

alho (10 dentes) 1 6 fracion e 10 fracionitos

peito de frango 100 g 20 fracion

caldo de galinha rende 1 L 6 fracion

lata de ervilha 1 5 fracion

Venda de Martim:

Na venda de Martim não encontramos todos os produtos para as comidas, mas seus preços estão mais baixos. Veja abaixo:

Produto Quantidade Preço

ovo 12 2 fracion

açúcar 200 g 2 fracion

farinha de trigo 150 g 4 fracion

óleo 120 mL 1 fracion e 15 fracionitos

leite 500 mL 7 fracion

cenoura 10 3 fracion e 10 fracionitos

arroz 100 g 8 fracion

feijão 100 g 12 fracion

macarrão 100 g 7 fracion

carne moída 150 g 22 fracion

sal 150 g 7 fracion

cebola 5 3 fracionitos

lata de milho verde 1 4 fracion

lata de ervilha 1 4 fracion e 10 fracionitos

peito de frango 150 g 20 fracion

Papelaria Fractus

A dona da Papelaria Fractus é Elis e ela decidiu seguir a ideia do seu Zé e dará 12,5% de desconto no valor final se todo o material for comprado exclusivamente dela. Veja a tabela abaixo que mostra seus valores:

Produto Quantidade Valor

caderno 5 17 fracion

lápis 30 10 fracion e 15 fracionitos

borracha 4 8 fracion

apontador 5 3 fracion e 10 fracionitos

caixa de lápis de cor 1 15 fracion

estojo de canetinha 1 16 fracion

Papelaria Matemágica

Abaixo está a tabela de valores, no entanto, Charlie não dará desconto pois justifica que seus preços são menores:

Produto Quantidade Valor

caderno 5 15 fracion

lápis 25 8 fracion

borracha 4 7

apontador 5 3 fracion

caixa de lápis de cor 1 13 fracion e 10 fracionitos

estojo de canetinha 1 14 fracion e 20 fracionitos

Antes de continuar nosso projeto, vamos treinar um pouco a mente?

Veja alguns exemplos:

Na loja Franstyle está com a seguinte promoção: na compra de 4 camisetas de 20 fracions, ganhe um desconto de 20% sobre o valor final. Quanto a pessoa irá pagar se aderi-la?

Sem o desconto, o comprador pagaria 4 x 20 = 80 fracions. Para efetuar o cálculo do valor final o pronome “de” na matemática é a operação multiplicação, ou seja, 20% do valor, que

é equivalente a fração , é o mesmo que x 80 = x = = = 51 5

1 51 1

80 5×11×80 5

80 16. Quando falamos de desconto nos referimos na operação subtração do valor, portanto, o comprador irá pagar 80 - 16 = 64 fracions.

Atividade 1:

Agora que você já conhece nossas fontes de produtos, está na hora de determinar onde queremos comprar.

Os grupos 1, 2 e 4 terão que fazer dois cálculos:

Primeiro: Comprar exclusivamente do Mercado do seu Zé, e ganhar o desconto

Segundo: Comprar os produtos que disponíveis na Venda de Martim e o que falta no Mercado do seu Zé, impossibilitando o desconto.

O grupo 3 terão que fazer dois cálculos também:

Primeiro: Compra exclusivamente da Papelaria Fractus, e ganhar o desconto

Segundo: Comprar exclusivamente da Papelaria Matemágica, onde os valores de cada material é mais barato.

Agora que você já fez o cálculo, qual opção é mais vantajosa para um custo menor? Pode justificar e explicar para os outros grupos?

Atividade 2:

Chegou a hora de fazer os pedidos. Faça com seu grupo uma lista de pedidos apenas utilizando frações.

Exemplos: 3 kg de farinha de trigo 54

2 kg de sal 21

Atividade 3:

Como a cidade Fraciones está crescendo, não há um mapa completo com todos os comércios e endereços dos moradores, precisamos muito de ajuda para completar os nomes das ruas e localizar os estabelecimentos. Informações importantes foram distribuídas pelo prefeito da cidade, os quarteirões são quadrados perfeitos que geraram ruas paralelas, pode apreciar a vista de cima da cidade na imagem a seguir. Hospital Escola Igreja

Biblioteca Prefeitura Delegacia

Banco Teatro Papelaria

https://br.freepik.com/vetores-gratis/variedade-de-edificios-desenhos-animados_778350.htm #page=1&query=prefeitura&position=0

Temos informações que o ponto vermelho indica o centro da cidade, todas as ruas se referem ao centro, algumas ruas no mapa estão com os seguintes nomes:

a) Rua dois terços oeste b) Av. central norte-sul c) Rua quatro terços leste d) Rua um terço norte e) Rua cinco terços sul

Consegue perceber o padrão? E completar os nomes que faltam? Resposta pessoal Também nos deram informações sobre alguns estabelecimentos, os que estão na imagens são os mais importantes da cidade, eles ocupam todo o quarteirão, diferente das outras

casa da cidade que ocupam somente do quarteirão, sendo a esquina. 41

Em qual lugar da cidade, você colocaria seu estabelecimento? E a sua casa? Poderia me dar o endereço, ou seja, em qual esquina, o encontro de quais duas ruas? Resposta pessoal

Uma pesquisa informou que os cidadãos estavam curiosos, gostariam de saber o motivo das ruas terem o nome de terços, que foi uma decisão feita pelo prefeito e o prefeito justificou para a população que a cada 3 ruas haviam 100 metros de distância e como ele é encantado por números, não via outra forma mais elegante de dar os nomes para as ruas.

Essa informação gerou algumas curiosidades aos moradores, pois poderiam saber com muito mais facilidade a distância de suas casas aos comércios e qualquer outra distância que queiram descobrir. Mas você teria alguma ideia de como descobrir isso? Qual seria a distância da biblioteca até o banco, assumindo que saiam das esquinas mais próximas um do outro?

de 100 metros ou metros, aproximadamente 167 metros 35

3500

Saberia o quanto andaria se continuasse o caminho até a papelaria?

de 100 metros ou metros, aproximadamente 367 metros 311

31100

Alguns moradores não ficaram satisfeitos em ter que dar o nome de duas ruas para fornecer seus endereços, propuseram outra solução, numerar as casa de forma crescente em relação ao centro, mas com a notação N para norte, S para sul, L para leste, O para oeste. E os próprios moradores ou donos poderiam numerar suas casas seguindo somente uma regra, que a numeração de cada um não seja menor do que a do seu vizinho mais próximo ao centro.

Por exemplo: O endereço da igreja se tornou Rua três terços norte, O 6

7

O endereço da Papelaria se tornou Rua um terço norte, L 87

Dê o endereço dos estabelecimentos que faltam e o da sua casa também, compare com seus colegas e veja se há algum padrão nessa numeração, se todos fazem iguais ou se há uma forma de dizer seu endereço de forma mais fácil. Resposta pessoal

Atividade 4:

O quanto você conhece a sua turma? Caso queiram fazer uma festa ou planejar um evento, é bom ter informações sobre seus colegas. Por exemplo, caso queiram comemorar um aniversário com os colegas do 6º ano, como saber quais comidas comprar? Então vamos criar algumas perguntas que possam ser respondidas por cada aluno e analisadas por todos usando frações, como por exemplo:

● Prefere comer doce ou salgado? ● Qual doce doce gosta de comer? ● Qual salgado gosta de comer? ● Prefere suco ou refrigerante? ● Possui alguma alergia a algum alimento? ● Possui alguma outra restrição alimentar?

Podem incluir outras perguntas que tenham interesse e exponham as informações recolhidas de forma que possam criar um planejamento. Resposta pessoal

Anexos

Jogo de dominó

Fonte:https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjYg8v7r8_lAhXBD 7kGHVN4DHsQjB16BAgBEAM&url=http%3A%2F%2Fjogossignificativos.blogspot.com%2F2013%2F04%2Ftrab

alhar-fracoes-com-turminha-de-forma.html&psig=AOvVaw0WxLTmkxzRgpShlI2I3Iis&ust=1572916296909470

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