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Faculdade de Engenharia FRVV – máximos e mínimos condicionados 2 2 , x y y x z

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Faculdade de Engenharia

FRVV – máximos e mínimos condicionados

22, xyyxz

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AM2

Máximos e mínimos de FRVV

localização dos extremantes:• interior de D• fronteira de D

(extremantes livres)

(extremantes condicionados)

extremantes no interior de D:• identificação

• pontos críticos• não existe

0ff

• classificação n=2• Hessiano positivo máximo ou mínimo local• Hessiano negativo ponto de sela• Hessiano nulo necessário estudar a função

• classificação usando matriz Hessiana• valores próprios com o mesmo sinal máximo ou mínimo local• valores próprios com sinal diferente ponto de sela• pelo menos um valor próprio nulo necessário estudar função

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Faculdade de Engenharia

AM2

FRVV (n=2) – Máximos e mínimos condicionados

Encontrar extremantes de com , onde

PROBLEMA:

yxf , yx,

kkyxgyx ,,:, 2

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

x

y

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Faculdade de Engenharia

AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

1. resolução “gráfica”

x

y

1c

0c

1c

(curvas de nível c de f a vermelho)

pontos de máximo e de mínimo correspondem à intersecção de com as curvas de nível que intersectam e estão associadas aos valores mais e menos elevados de c

2c

2c

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Faculdade de Engenharia

AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

1. “resolução gráfica”

x

y

(curvas de nível de f a vermelho)

2max f

2min f

1c

0c

1c

2c

2c

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AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

2. resolução por “substituição” separar em união de pontos e conjuntos abertos, substituir condições associadas na FRVV, calcular extremantes das funções resultantes, entre estes escolher valores mínimo e máximo

x

y

2

1

1P2P

2121 PP

11,1:, 221 xxyyx

11,1:, 222 xxyyx

0,11 P

0,12 P

11 Pf

12 Pf

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AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

2. resolução por “substituição” 1

x

y

2

1

1P2P

2121 PP

11,1 2 xxyem :

xhxxf 121, 11,1 2 xxx

FRVR definida em conjunto aberto e diferenciável nesse conjunto

extremantes de identificados através de xh1 0'1 xh

22

x22

y2)22,

22(max,1 fh

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Faculdade de Engenharia

em :

AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

2. resolução por “substituição” 2

x

y

2

1

1P2P

2121 PP

11,1 2 xxy

xhxxf 221, 11,1 2 xxx

FRVR definida em conjunto aberto e diferenciável nesse conjunto

extremantes de identificados através de xh2 0'2 xh

22

x22

y2)22,

22(min,2 fh

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comparando os possíveis candidatos a extremantes:

AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

2. resolução por “substituição”

x

y

2

1

1P2P

2121 PP

10,1 f

10,1 f

2)22,

22( f

2)22,

22( f

2max f

2min f

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AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

3. teorema dos multiplicadores de Lagrange

x

y

na “resolução gráfica” deste exemplo chegou-se a uma solução onde as curvas de nível de f são tangentes à curva

1c

0c

1c

2c

2c

f curvas de nível de fg

g(x,y)

extremantes quando gf //

,gf

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AM2

Máximos e mínimos condicionados – teorema dos multiplicadores de Lagrange (n=2)

Problema:

3. teorema dos multiplicadores de Lagrange

Seja

kyxgyxgyxf

,,,

Encontrar extremantes de com , onde yxf , yx,

kkyxgyx ,,:, 2

Então, se é extremante, tem-se 00 , yx

é ponto singular

ou

,,, 00 yx é solução do sistema

0000 ,0, yxyxg

procurar extremantes entre

00 , yx

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AM2

Máximos e mínimos condicionados – exemplo

Exemplo:Determine o máximo e o mínimo de sujeito a yxyxf , 122 yx

3. teorema dos multiplicadores de Lagrange

yxg 2,2

g(x,y)

1,1f

0,0,0 yxg mas 0,0 neste caso não há pontos singulares

12121

,,,

22 yxyx

kyxgyxgyxf

122 yx

yx

22

21

22

x

yx

222,

22

f

2max f

222,

22

f

2min f

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