Física 2B - canal.cecierj.edu.br

Bernard M. Marechal

Thereza Cristina L. de Paiva

Volume 1 - Módulos 1 e 22ª edição

Física 2B

Apoio:

Material Didático

ELABORAÇÃO DE CONTEÚDOBernard M. MarechalThereza Cristina L. de Paiva

COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃOAnna Maria OsborneAna Tereza de Andrade

COORDENAÇÃO DE LINGUAGEMMaria Angélica Alves

M323fMarechal, Bernard M.

Física 2B. v.1 / Bernard M. Marechal. – 2.ed. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.

220p.; 21 x 29,7 cm.

ISBN: 85-7648-115-4

1. Mecânica. 2. Oscilações. 3. Movimento harmônico. 4. Ondas. 5. Análise de Fourier. 6. Efeito Doppler. 7. Sons. I. Paiva, Thereza Cristina L. de. II. Título.

CDD: 530.1

Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.

2010/1

EDITORATereza Queiroz

COORDENAÇÃO EDITORIALJane Castellani

REVISÃO TIPOGRÁFICAEquipe CEDERJ

COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃOJorge Moura

PROGRAMAÇÃO VISUALMarcelo FreitasMirelle Nascimento Mota

ILUSTRAÇÃOEquipe CEDERJ

CAPAFabio Muniz

PRODUÇÃO GRÁFICAPatricia Seabra

Departamento de Produção

Fundação Cecierj / Consórcio CederjRua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001

Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725

PresidenteMasako Oya Masuda

Vice-presidenteMirian Crapez

Coordenação do Curso de FísicaLuiz Felipe Canto

Universidades Consorciadas

Governo do Estado do Rio de Janeiro

Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia

Governador

Alexandre Cardoso

Sérgio Cabral Filho

UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves

UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman

UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda

UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Aloísio Teixeira

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

Física 2B

SUMÁRIO

Volume 1

Módulo 1: Oscilações _____________________________ 7

Aula 1 – Oscilações: observações, conceitos e defi nições _____________________9 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 2 – O Movimento Harmônico Simples (MHS) ________________________ 17 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 3 – O oscilador harmônico simples como aproximação de osciladores reais _ 29 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 4 – Movimento harmônico simples e movimento circular uniforme ________ 49 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 5 – Superposição de movimentos harmônicos simples _________________ 61 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 6 – O movimento harmônico amortecido ___________________________ 75 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 7 – Oscilações forçadas e ressonância _____________________________ 85 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 8 – Oscilações acopladas _______________________________________ 95 Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 9 – Aula de exercícios ________________________________________ 103 Thereza Cristina L. de Paiva

Módulo 2: Ondas ______________________________ 107

Aula 10 – Ondas em uma dimensão: conceitos e defi nições ________________ 109 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 11 – Ondas em uma dimensão: a equação da onda __________________ 119 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 12 – Ondas em uma dimensão: interferência _______________________ 133 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 13 – Análise de Fourier _______________________________________ 159 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 14 – O som _______________________________________________ 167 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 15 – Sons musicais __________________________________________ 189 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 16 – Efeito Doppler e ondas de choque ___________________________ 203 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Aula 17 – Aula de exercícios _______________________________________ 211 Bernard M. Marechal / Thereza Cristina L. de Paiva

Referências bibliográfi cas - ______________________________217

Agradecimentos - _____________________________________________ 219

Modulo 1 – Oscilacoes

Apresentacao do modulo

O modulo Oscilacoes, dedicado ao estudo de sistemas oscilantes, e

de grande importancia, pois oscilacoes estao presentes sempre, em qual-

quer lugar e em qualquer escala, macro ou microscopica: o vento faz oscilar

arvores ou cabos de linhas de transmissao aereas, as moscas provocam os-

cilacoes incessantes do rabo de um boi pastando, atomos e moleculas vibram e

oscilam permanentemente...

O caminho que nos levara do concreto ao abstrato tera como ponto

de partida a observacao: teremos de olhar, ouvir, tocar, e, sempre que

possıvel, serao realizadas experiencias qualitativas e, melhor ainda, quan-

titativas. Em paralelo, conceitos importantes e definicoes serao introduzi-

dos, o que permitira entender, caracterizar, medir e finalmente modelar esses

sistemas e fenomenos.

Antes de mais nada, e interessante fazer um pequeno exercıcio de

semantica, consultando o dicionario do Aurelio Buarque de Holanda Ferreira.

Nele, voce podera encontarar, entre outras, as seguintes definicoes.

– Oscilacao:

• Fenomeno em que uma grandeza ou um conjunto de grandezas de um

sistema varia segundo uma funcao periodica do tempo.

• Variacao alternada; flutuacao; mudanca.

– Oscilar:

• Mover-se alternadamente em sentidos opostos.

• Movimentar-se em vai-e-vem.

• Mover-se, tornando a passar (ao menos aproximadamente) pelas mes-

mas posicoes.

– Oscilacao forcada:

• A que um sistema oscilante efetua sob a acao de um agente externo

que varia periodicamente.

– Oscilacao livre:

• A que e efetuada por um sistema sem a intervencao de agentes

externos.

A eficiencia da sua aprendizagem dependera da realizacao de experi-

mentos, seja na sua casa, seja nos polos, da resolucao de exercıcios e de leitu-

ras complementares indicadas nas referencias bibliograficas. Vıdeos didaticos

de videotecas ou de programas educativos de televisao serao de grande ajuda.

Um caderno para anotacoes, comentarios, resolucao de exercıcios e duvidas

que voce levara ao conhecimento dos professores e/ou tutores, devera ser seu

companheiro ao longo do curso.

Ao longo desta apostila voce encontrara referencias a varios livros, su-

gerindo que voce va a algum deles e leia um capıtulo, uma secao, faca a

revisao de uma parte da materia, etc...

Para nao escrever o nome completo de cada livro todas as vezes que o

mesmo e sugerido, nos criamos apelidos. Ao final da apostila, voce encontrara

a lista completa das referencias, com os apelidos em negrito.

Os livros, na verdade, constituem uma serie, com volumes que vao do 1

ao 4, dependendo do curso. Durante o modulo, em geral, faremos referencia

aos volumes 1 e 2, correspondendo aos cursos de Fısica 1 e 2.

Esses livros podem ser encontrados na biblioteca do polo!

CEDERJ 8

Oscilacoes: observacoes, conceitos e definicoesMODULO 1 - AULA 1

Aula 1 – Oscilacoes: observacoes, conceitos e

definicoes

Meta da aula

• Introduzir conceitos fundamentais sobre oscilacoes.

Objetivos

Ao final desta aula, voce devera ser capaz de:

• Identificar alguns sistemas oscilantes e realizar experiencias semi-quan-

titativas simples, sem necessidade de se deslocar ate o polo.

• Compreender conceitos basicos e definicoes precisas de grandezas fısicas

e de suas unidades associadas.

Introducao

Nessa fase inicial de aprendizagem, nao poderemos estudar as oscilacoes

que ocorrem em escala microscopica, como por exemplo as de atomos em

moleculas. Entretanto, poderemos focalizar nossa atencao em oscilacoes

mecanicas de sistemas macroscopicos. Embora as caracterısticas e as

leis fısicas que governam esses sistemas sejam diferentes, o formalismo ma-

tematico que descreve a grandeza que oscila e o mesmo. Antes de observar e

de fazer algumas experiencias com sistemas oscilantes reais, vamos comecar

pelo mais simples (sera ???) e realizar experiencias virtuais qualitativas.

Experiencias Virtuais (EV)

EV1 - Oscilacoes de uma massa presa a uma mola

Feche os olhos, imagine uma pequena esfera de aco pendurada a uma

mola presa num suporte. O sistema encontra-se em repouso, o centro da

esfera marcando a posicao de equilıbrio do sistema (y = 0). Continue

usando sua imaginacao e estique a mola, deslocando a esfera para baixo de

uma pequena quantidade ∆y: uma nova situacao de equilıbrio e obtida, o

centro da esfera encontrando-se agora na posicao ymax = ∆y. Ao largar a

esfera (tambem mentalmente!), essa comeca a mover-se alternadamente em

9 CEDERJ

Oscilacoes: observacoes, conceitos e definicoes

sentidos opostos em torno da sua posicao de equilıbrio, isto e, oscila ... ate

voce decidir abrir os olhos e acabar com sua primeira experiencia virtual.

Agora, vamos ver o que voce aprendeu!

• A grandeza que oscila e a posicao y(t) do centro de gravidade da

esfera, que e uma funcao do tempo t.

• Essa grandeza oscila em torno da sua posicao de repouso (ou equilıbrio)

y(0) = 0.

• Nas extremidades superior e inferior da oscilacao, a velocidade da esfera

se anula. Portanto, o modulo dessa velocidade deve passar por um valor

maximo em algum ponto entre essas extremidades.

• A repetitividade do movimento de vai-e-vem sugere o conceito de pe-

riodicidade: o tempo T necessario para um ciclo completo e chamado

perıodo da oscilacao. A unidade geralmente usada e o segundo.

• O inverso1

Tdesse perıodo e chamado frequencia, cuja unidade no

Sistema Internacional de Medidas (SI) e o hertz (Hz), em homenagem

a Heinrich Hertz (1857-1894), que foi o primeiro a observar experimen-

talmente ondas eletromagneticas.

Exercıcio 1.1

Descreva seu experimento por meio de figuras e discuta-o com seu tutor.

Vamos fechar os olhos de novo e imaginar outros sistemas oscilantes.

EV2 - Oscilacoes do pendulo de um relogio

Voce ja deve ter observado o movimento periodico do pendulo de um

relogio antigo. Imagine esse movimento, tentando acertar o valor do seu

perıodo. Para isso, meca o tempo necessario a realizacao de, por exemplo,

30 oscilacoes imaginarias: se voce for esperto encontrara um resultado da

ordem de 30 segundos e, portanto, um perıodo da ordem de 1 segundo !!!

• A novidade e que, agora, a grandeza que varia e o angulo θ entre o

braco do pendulo e a vertical.

• A posicao de equilıbrio do braco e a direcao vertical, o que corresponde

ao valor θ = 0.CEDERJ 10


• Voce deve se lembrar do carater simetrico desse movimento: as duas

posicoes, onde a velocidade do braco e nula, sao simetricas em relacao

a vertical e correspondem a angulos maximos ±θmax. O valor absoluto

θmax e chamado amplitude da oscilacao.

Exercıcio 1.2

Descreva seu experimento por meio de figuras e discuta-o com seu tutor.

EV3 - Projecao vertical das oscilacoes do pendulo de um relogio

Imagine seu pendulo oscilando de novo, e agora projete verticalmente

sua extremidade numa linha horizontal situada abaixo dele no plano da

oscilacao. O ponto que representa essa extremidade esta oscilando. De-

senhe essa experiencia, em duas ou tres dimensoes e responda as seguintes

perguntas:

• Qual e a grandeza que oscila?

• Qual e o seu ponto de equilıbrio?

• Qual e a amplitude da oscilacao?

• Qual e o seu perıodo? E igual a um segundo? Por que?

• Qual e a sua frequencia?

EV4 - Projecao horizontal das oscilacoes do pendulo de um relogio

Projete agora, horizontalmente, a extremidade desse mesmo pendulo

numa linha vertical situada, por exemplo, a sua direita no plano de oscilacao.

Desenhe de novo o que voce imaginou e responda as mesmas cinco perguntas

da experiencia EV3 anterior.

EV5 - Oscilacao da declinacao do sol ao meio-dia

A uma dada hora do dia, por exemplo ao meio dia, voce observa que

a altura aparente do sol em relacao ao horizonte, chamada declinacao, varia

ao longo do ano entre dois valores Θmin e Θmax. Imagine esse movimento

periodico e indique:

11 CEDERJ


• a grandeza que oscila;

• seu ponto de equilıbrio;

• a amplitude da oscilacao;

• seu perıodo (expresso em meses! ).

EV6 - Projecao radial do ponteiro dos segundos de um relogio

E frequente encontrar um relogio de ponteiros numa sala ou numa co-

zinha: observe o movimento do ponteiro dos segundos e imagine que esse

ponteiro emite um feixe de luz bem fino. Se o feixe luminoso incidir sobre

um plano vertical perpendicular ao plano do relogio, o ponto luminoso, assim

criado, oscilara ao longo de uma linha vertical de dimensao infinita (veja a

Figura 1.1).

Figura 1.1: Prolongamento do ponteiro dos segundos de um relogio em um planovertical, perpendicular ao plano do relogio (corte no plano do relogio).

E agora responda as questoes a seguir.

• Qual e a grandeza que oscila?

• Quando essa grandeza esta no seu “ponto de equilıbrio”, ou seja, e nula,

quantos segundos indica o relogio?


• Qual e o seu perıodo?


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• Sabendo que o angulo entre a vertical e o ponteiro dos segundos e dado

por α = 2πt/60, onde t e o tempo em segundos, escreva a equacao do

movimento do ponto luminoso em funcao do tempo.

• Esboce um grafico dessa funcao.

Antes de passar do universo virtual onde (quase!) tudo e permitido,

para o mundo real, onde modelos devem explicar e prever (por que nao?)

fatos experimentais, e importante compreender bem os conceitos basicos re-

lacionados com os sitemas oscilantes que voce acaba de estudar.

Mas uma experiencia virtual e pura imaginacao e, para progredir, voce

vai precisar realizar experiencias de verdade.

Experiencias caseiras (EC)

EC1 - Oscilacoes de uma massa presa a uma mola

Procure na sua casa uma pequena mola, bem mole, ou um elastico

suficientemente comprido (aproximadamente de 50 cm), amarre algum ob-

jeto pequeno, porem pesado (um pedaco de latao, ou melhor, um chumbo de

pescador com ganchinho), a uma extremidade e pendure o conjunto em al-

gum lugar (numa macaneta por exemplo, para nao furar nem a parede, nem

o teto!).

Realize agora, de verdade, a primeira experiencia virtual EV1,

tentando conseguir oscilacoes bem lentas para facilitar suas observacoes

e suas medidas.

• Determine o ponto de repouso e as posicoes ymax e ymin das extremi-

dades superior e inferior da oscilacao.

• Essas posicoes sao simetricas em relacao ao ponto de repouso?

• Qual e, entao, a amplitude da oscilacao?

• Meca 10 vezes a duracao τi, i = 1, 2, ..., 10 de 5 oscilacoes.

• Cada medida permite calcular o perıodo Ti do movimento:

Ti =1

5τi

13 CEDERJ


• Calcule, entao, o valor medio T do perıodo:

T =1

10

10∑i=1

Ti

• Determine a frequencia media

ν =1

T

• Apos consulta a apostila “Topicos de tratamento de dados ex-

perimentais”, mostre que as incertezas (desvios padroes) σ sobre o

conjunto de medidas Ti e σT sobre o valor medio T do perıodo, sao,

respectivamente,

σ =1

5στi

e σT =1√10

σ

onde στi≡ στ e o desvio padrao experimental sobre a duracao

de 5 oscilacoes.

• Mostre que a incerteza σν sobre o valor medio da frequencia ν e

σν =σT

T2

• Descreva a experiencia e apresente seus resultados, tentando mostrar o

que voce aprendeu.

EC2 - Oscilacoes de um pendulo simples

Nem todo mundo tem um relogio antigo em casa, alem disso, o pendulo

desse tipo de relogio e um sistema mecanico bastante complicado (corpo

rıgido), e seu movimento sera estudado mais tarde. Por isso, a sua segunda

experiencia caseira sera dedicada ao estudo de um pendulo simples, cons-

tituıdo por uma massa muito pequena, podendo ser considerada como um

ponto material, presa a um fio inextensıvel, idealmente sem massa. Com

um barbante ou um fio de nailon de 1 metro de comprimento e o pequeno

objeto da experiencia EC1 anterior, estude as oscilacoes desse pendulo sim-

ples. Para isso, afaste o pendulo da sua posicao de repouso de um angulo θ0

pequeno (menor que 20 graus) e deixe-o oscilar livremente.

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• Meca a amplitude θmax das oscilacoes e compare-a com θ0.

• Meca 10 vezes o tempo τi, i = 1, 2, ..., 10 necessario para observar

5 oscilacoes.

• Cada medida permite calcular o perıodo Ti do movimento:

Ti =τi

5

• Calcule, entao, o valor medio T do perıodo:

T =1

10

10∑i=1

Ti

• Calcule as incertezas (desvios padroes) σ sobre as medidas Ti e σT sobre

o valor medio T do perıodo.

• Refaca toda sua experiencia com um barbante de 50 cm

de comprimento.

• Descreva a experiencia e apresente seus resultados, tentando de novo

mostrar o que voce aprendeu.

Resumo

Nesta aula, voce deve ter aprendido, na teoria e na pratica, alguns

conceitos importantes como perıodo, frequencia, amplitude e posicao

de equilıbrio.

Exercıcios complementares

Vamos agora verificar se as experiencias virtuais e caseiras propostas

foram uteis. Para isso, respire fundo e realize as tarefas a seguir.

1. Sugira e descreva outros sitemas oscilantes.

2. Proponha a melhor definicao, na sua opiniao, de um sistema oscilante.

3. Examine com atencao a figura a seguir que permite ilustrar varios con-

ceitos como posicao de repouso (ou de equilıbrio), amplitude e perıodo.

• Considerando que o pendulo simples foi largado no instante t = 0,

da posicao θ0, depois de quanto tempo ele passa pela sua posicao

de equilıbrio?

15 CEDERJ




4. A figura seguinte mostra as duas posicoes onde a velocidade da massa

presa a mola e nula.



• Onde esta a posicao de equilıbrio da massa?

Auto-avaliacao

Com certeza voce conseguiu responder a todas as perguntas! Caso

contrario, volte ao inıcio desta aula e, armado de paciencia e de perseveranca,

percorra o mesmo caminho que o levara de novo ate aqui. Lembre-se: tutores

e professores estao a sua disposicao para ajuda-lo. Nao se acanhe e... Ate a

proxima aula!

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O Movimento Harmonico Simples (MHS)MODULO 1 - AULA 2

Aula 2 – O Movimento Harmonico Simples

(MHS)

Meta da aula

• Introduzir o Movimento Harmonico Simples.

Objetivos


• Identificar o Movimento Harmonico Simples.

• Definir o MHS.

• Montar a equacao que o rege e encontrar a sua solucao.

• Entender novos conceitos como: forca restauradora, frequencia

angular e fase.

• Exemplificar a transformacao entre energias cinetica e potencial.

Introducao

Ate agora, os sistemas oscilantes foram considerados somente de um

ponto de vista cinematico, sem nos preocuparmos com o aspecto dinamico

do problema. Vamos, entao, preencher essa lacuna e descobrir por que um

sistema fısico esta oscilando. A resposta e bastante natural: ha oscilacao

quando o sistema esta submetido a uma forca ou a um torque restaurador

que provoca seu retorno a posicao de repouso. As experiencias que voce

realizou durante a Aula 1 devem ter conduzido voce a prever essa explicacao!

Antes de prosseguir, devemos entender o sentido das palavras har-

monico e simples. Em geral, as vibracoes de sistemas, como atomos e

moleculas, sao muito complicadas do ponto de vista fısico, portanto, mate-

matico. Entretanto, esses movimentos podem ser descritos e analisados,

admitindo que eles resultam da superposicao de oscilacoes harmonicas

representadas por funcoes seno ou cosseno. A forca restauradora res- O fısico ingles Robert Hooke

(1635-1703) propos a Lei de

Hooke em 1660.ponsavel pelas oscilacoes de uma partıcula e dada pela Lei de Hooke,

F (x) = −kx (2.1)

17 CEDERJ

O Movimento Harmonico Simples (MHS)

onde k e a constante de Hooke e x o deslocamento da partıcula, em relacao

a sua posicao de repouso. Esta forca caracteriza um oscilador harmonico

simples e o movimento da partıcula e chamado Movimento Harmonico

Simples (MHS). Um exemplo desse movimento e o da pequena massa M

suspensa por uma mola (lembre-se da experiencia caseira EC1 da Aula 1!).

Nesse caso, k e a dureza da mola.

Essa forca restauradora e conservativa, pois ela deriva de uma energia

potencial U(x):

F (x) = −dU(x)

dx(2.2)

Exercıcio 2.1

Verifique que a energia potencial e dada por:

U(x) =1

2kx2 (2.3)

As relacoes linear forca-posicao e quadratica energia

potencial-posicao estao ilustradas na Figura 2.1 a seguir.

Figura 2.1: (a) Forca restauradora F (x) e (b) energia potencial U(x) como funcao daposicao da massa M no MHS. Nas posicoes ±xm, onde a energia potencial U(±xm) e iguala energia total E, a energia cinetica e a velocidade da massa M sao nulas.

CEDERJ 18


Equacao do MHS

Temos a forca! Como voce, com certeza, nao esqueceu a segunda Lei

de Newton, podemos agora montar a equacao do MHS,

−kx = Md2x

dt2(2.4)

onde M e a massa da partıcula ed2x

dt2sua aceleracao.

Essa equacao pode ser reescrita como:

d2x

dt2+

k

Mx = 0 (2.5)

Solucao da equacao do MHS

Observando a primeira forma da equacao do MHS (Equacao 2.4), voce

nota que a solucao x(t) e proporcional a sua derivada segunda. Voce tambem

deve lembrar (e verificar, agora, a tıtulo de exercıcio!) que as funcoes seno

e cosseno possuem essa propriedade. Portanto, podemos esperar que uma

funcao do tipo

x(t) = xm cos(ωt + ϕ) (2.6)

seja a solucao geral da equacao do MHS, onde xm e a amplitude, ω e a

frequencia angular e ϕ a fase. A dimensao da frequencia angular e a de

inverso de tempo, e a sua unidade e o rad/s.

Exercıcio 2.2

Derive duas vezes a funcao x(t) (Equacao 2.6) em relacao ao tempo t e,

usando a equacao do MHS, mostre que

ω2 =k

M(2.7)

Exercıcio 2.3

Se a funcao exponencial real e proporcional a sua derivada segunda, por

que ela nao pode ser solucao da equacao do MHS?

19 CEDERJ


Exercıcio 2.4

Mostre que

x(t) = x(t +2π

ω) (2.8)

o que prova que o perıodo do MHS e T =2π

ω.

Voce acaba de descobrir, entao, a relacao entre perıodo, massa e cons-

tante de Hooke:

T = 2π

√M

k(2.9)

A dependencia temporal da posicao x(t), da velocidade v(t) =dx(t)

dte

da aceleracao a(t) =d2x(t)

dt2esta ilustrada na Figura 2.2, a seguir. Por

simplicidade, a fase foi considerada nula nessa figura.

Figura 2.2: (a) Posicao, (b) velocidade e (c) aceleracao como funcao do tempo parao MHS.

CEDERJ 20


Exercıcio 2.5

Examine cuidadosamente a Figura 2.2 e responda as seguintes perguntas:

• Qual e a velocidade na posicao de repouso da massa M?

• Qual e a aceleracao na posicao de repouso da massa M?

• Qual e a velocidade nos pontos de deslocamento maximo?

• Qual e a aceleracao nos pontos de deslocamento maximo?

Exercıcio 2.6

A partir da Lei de Hooke, mostre que a unidade da constante k e o N/m

(Newton/metro).

Exercıcio 2.7

Calcule o perıodo de oscilacao de uma massa m = 1, 18 kg presa a uma

mola de constante k = 64 N/m.

A Energia e o MHS

Vamos ser otimistas e supor que nosso sistema oscilante nao dissipa

energia, ou, com outras palavras, que o sistema nao esta submetido a forcas

dissipativas, como por exemplo, o atrito. Neste caso ideal, a energia total E

do sistema permanece constante e ela e a soma de uma energia cinetica K

e de uma energia potencial U .

Agora pense, de novo, no seu sistema oscilante. Nos extremos das os-

cilacoes, a velocidade e nula e, consequentemente, sua energia cinetica K

21 CEDERJ


tambem. No ponto de equilıbrio, onde x = 0, e a vez da energia poten-

cial U se anular. Em qualquer outro ponto, o sistema possui tanto energia

cinetica quanto energia potencial e podemos dizer que, ao oscilar, ha troca

permanente interna de energia cinetica e potencial. Vamos ver que essas

energias tambem oscilam, embora com um perıodo diferente! De fato, se o

deslocamento da massa e dado por

x(t) = xm cos(ωt + ϕ) (2.10)

entao a velocidade e

v(t) =dx(t)

dt= −ωxm sen(ωt + ϕ) (2.11)

Exercıcio 2.8

Mostre que a aceleracao e dada por

a(t) = −ω2xm cos(ωt + ϕ) (2.12)

Logo, temos para as energias cinetica e potencial, respectivamente:

K(t) =1

2Mv2 =

1

2Mω2x2

m sen2(ωt + ϕ) (2.13)

U(t) =1

2kx2 =

1

2kx2

m cos2(ωt + ϕ) (2.14)

Agora, se voce nao se esqueceu do que ja demonstrou num exercıcio anterior,

que ω2 =k

M, voce deve provar, para se exercitar, que:

E =1

2kx2

m (2.15)

Na Figura 2.3 aparece a dependencia temporal do deslocamento e das

energias cinetica, potencial e total do nosso oscilador harmonico simples. Fica

evidente que o perıodo de oscilacao Tenegria das energias cinetica e potencial

e a metade do perıodo T do MHS.

CEDERJ 22


Figura 2.3: (a) Posicao x(t), (b) energia cinetica K(t), energia potencial U(t) e energiatotal E(t) como funcao do tempo.

Exercıcio 2.9

Lembrando um pouco de trigonometria,

cos(2x) = 1 − 2 sen2x (2.16)

mostre que voce e capaz de confirmar matematicamente o que voce observou

na Figura 2.3, ou seja,

Tenergia =T

2(2.17)

Exercıcio 2.10

Mostre que

v(t) = ±√

k

M(x2

m − x2) (2.18)

23 CEDERJ


Exercıcio 2.11

Mostre que os valores medios da energia cinetica e potencial satisfazem

K(t) = U(t) =1

2E (2.19)

O Pendulo de Torcao

Nem sempre a variavel oscilante e uma posicao x(t). Voce vai ver,

agora, que as oscilacoes do pendulo de torcao ilustrado na Figura 2.4 sao

descritas pela equacao do MHS, na qual a grandeza que oscila e um angulo

θ(t). Uma outra novidade digna de atencao e que, para obter essa equacao,

usaremos a forma angular da segunda lei de Newton, pois a causa da os-

cilacao nao e mais uma forca, e sim um torque.

�m

P

P'

O

Figura 2.4: Pendulo de torcao oscilando em torno de um eixo vertical.

O pendulo de torcao que estudaremos compoe-se de um disco rıgido e

homogeneo cujo centro O esta preso a um fio vertical, por exemplo de aco,

CEDERJ 24


muito bem esticado e cujas extremidades estao fixas. O raio OP indica a

posicao de repouso do pendulo. Se voce girar delicadamente o disco de um

angulo θm, ate que o raio OP esteja na direcao OP’, o fio de aco, ao se

torcer, vai exercer um torque restaurador τ proporcional ao deslocamento

angular, de acordo com a lei de Hooke,

τ = −κθ (2.20)

onde κ e a constante de torcao que depende do fio.

Ao largar o disco, este vai comecar a oscilar, isto sendo um fato expe-

rimental. Agora vamos entender matematicamente esse fato, aplicando ao

sistema a segunda lei de Newton,

τ = Id2θ

dt2(2.21)

onde τ e o torque aplicado, I o momento de inercia do sistema, que, no nosso

caso, e calculado relativamente ao eixo de simetria vertical representado pelo

fio de aco, ed2θ

dt2a aceleracao angular desse sistema.

Combinando as lei de Hooke e de Newton, chega-se imediatemente a

equacao do movimentod2θ

dt2+

κ

Iθ = 0 (2.22)

cuja solucao pode ser escrita como

θ = θm cos(ωt + ϕ) (2.23)

A fase ϕ depende das condicoes iniciais e a frequencia angular ω e

dada por:

ω =

√κ

I(2.24)

O perıodo T e, portanto:

T = 2π

√I

κ(2.25)

Exercıcio 2.12

Relembrando o que voce aprendeu sobre o o MHS e os exercıcios anteriores,

demonstre os dois ultimos resultados.

25 CEDERJ


O fısico ingles Henry Cavendish foi o primeiro a determinar experimen-

talmente em 1798, o valor da constante gravitacional G, usando um arranjo

experimental que era de fato um pendulo de torcao.

Aparelhos de medidas eletricas, como o galvanometro de quadro movel,

usam o princıpio do pendulo de torcao. E para ficar mais perto do seu dia-a-

dia, tente abrir um relogio mecanico (sabendo que e uma tarefa difıcil achar

esse tipo de relogio na era do digital!): voce notara a presenca de uma mola

espiral que aplica um torque restaurador ao volante, fazendo o papel do nosso

fio de aco.

Veja o Hallyday pagina 29

Resumo

Nesta aula voce foi apresentado ao movimento harmonico simples. Par-

tindo da Lei de Hooke e da segunda lei de Newton, a equacao de movi-

mento foi montada e entao uma solucao para esta equacao foi proposta.

Voce tambem estudou a transformacao de energia cinetica em potencial (e

vice-versa) neste tipo de movimento.


Voce acaba de percorrer a segunda etapa da sua primeira viagem do

concreto ao abstrato, entendendo porque e sob quais condicoes um sistema

mecanico esta oscilando. Pois bem, vamos ver, agora, se voce sabe oscilar

sem vacilar, respondendo as perguntas que seguem.

1. Qual e a unidade de frequencia angular?

2. A dinamica do MHS esta ligada ao conceito de frequencia ou ao de

fase? Por que?

3. Sabendo calcular o momento de inercia de um pendulo de torcao e

medindo seu perıodo de oscilacao, voce saberia determinar a constante

de torcao? Explique!

4. Supondo que a incerteza associada ao momento de inercia calculado

seja nula, mostre que a incerteza σκ associada a constante de torcao κ

escreve-se:

σκ = 8π2I1

T 3σT

onde σT e a incerteza experimental sobre o perıodo T.

CEDERJ 26


Auto-avaliacao

O que voce achou desta aula? Gostou? Se voce entendeu bem os

pontos que foram abordados durante a aula, deve ter conseguido responder,

sem pestanejar, as questoes acima. Se nao conseguiu, nao se assuste: tenha

paciencia e volte ao princıpio da aula, lembrando sempre que os tutores e

professores estao a sua disposicao.

27 CEDERJ

O oscilador harmonico simples como aproximacao de osciladores reaisMODULO 1 - AULA 3

Aula 3 – O oscilador harmonico simples

como aproximacao de osciladores reais

Meta da aula

• Estudar osciladores reais.

Objetivos


• Reconhecer osciladores reais e entender como, em certas circunstancias,

eles podem ser considerados osciladores hamonicos simples.

• Conhecer o pendulo simples e o pendulo fısico.

Introducao

Nem tudo na vida e perfeito e, em geral, osciladores reais nao sao

harmonicos simples. A equacao do movimento e sua solucao sao mais com-

plexas que as do MHS. Dois casos que voce estudara fazendo experiencias no

polo merecem uma atencao especial: o pendulo simples cujo movimento se

torna harmonico simples no limite de pequenas oscilacoes e o pendulo fısico

que de fato define qualquer pendulo real e que tambem oscila com um MHS

no limite de pequenas oscilacoes. Mas, cuidado, para entender bem o fun-

cionamento de um pendulo fısico, voce devera revisar o inıcio de seu curso

de mecanica.Um conselho de amigo:

revise sua materia sobre o

corpo rıgido e a inercia

rotacional!!!O pendulo simples

A Figura 3.1 define claramente o que entendemos por pendulo simples:

trata-se de uma massa M supostamente puntual suspensa a um fio inex-

tensıvel, de massa nula, comprimento e cuja outra extremidade encontra-se

presa a um suporte. As forcas que atuam sobre a massa sao a forca gravi-

tacional �P = M�g e a tensao do fio �T , como mostra a Figura 3.1. De fato,

a massa M esta submetida a um torque restaurador, em relacao ao eixo de

rotacao do pendulo−→τ =

−→ × M−→g (3.1)

29 CEDERJ

O oscilador harmonico simples como aproximacao de osciladores reais

no qual−→ e o vetor posicao da massa no seu plano vertical de oscilacao,

tomando como origem o ponto no qual o fio esta preso ao suporte.

�

P

T

�

�

�

M

Figura 3.1: Pendulo simples

Exercıcio 3.1

Mostre que o modulo do torque e dado por

τ = −Mg senθ (3.2)

Utilizando de novo a forma angular da segunda lei de Newton, �τ = I�α,

onde �α e a aceleracao angular, temos:

−Mg senθ = Id2θ

dt2(3.3)

Mas voce deve se lembrar de que o momento de inercia da massa puntual M

em relacao ao eixo de rotacao do pendulo e

I = M2 (3.4)

Portanto,

−Mg senθ = M2 d2θ

dt2(3.5)

CEDERJ 30


que podemos reescrever como

d2θ

dt2+

g

senθ = 0 (3.6)

Voce pode notar que, apesar de o pendulo ser simples, seu movimento

nao e harmonico simples, devido a presenca do termo senθ na equacao!!! A

solucao dessa equacao e longe de ser trivial, mas, para oscilacoes de pequena

amplitude, podemos considerar que

senθ � θ (3.7)

A equacao do movimento volta a ser aquela que conhecemos bem, ou

seja, a equacao do MHSd2θ

dt2+

g

θ = 0 (3.8)

cuja solucao e

θ(t) = θm cos(ωt + ϕ) (3.9)

com frequencia angular ω tal que

ω2 =g

(3.10)

O perıodo de oscilacao desse pendulo simples e, entao,

T0 = 2π

√

g(3.11)

Esse pendulo simples e surpreendente, pois seu perıodo de oscilacao

nao depende nem da massa M que oscila, nem da amplitude θm do mo-

vimento! Este ultimo fato e chamado isocronismo das pequenas os-

cilacoes. Um pouco de paciencia, pois voce vai poder observar tudo isso

experimentalmente durante sua primeira pratica no polo. Mas antes,

para os que gostam de matematica, vamos ver como encontrar o perıodo

T (θm) quando as oscilacoes nao sao mais consideradas como pequenas, isto

e, quando nao podemos fazer a aproximacao senθ � θ.

Correcao de amplitude sobre o perıodo T0

Sejam T (θm) e T0 os perıodos para oscilacoes nao tao pequenas e

pequenas, respectivamente. T0 e o limite de T (θm) quando a amplitude θm

31 CEDERJ


tende a zero. Podemos, entao, expandir em serie de MacLaurin a funcao

T (θm) em torno de θ = 0:

T (θm) = T0 + θmT′(0) +

θ2m

2T

′′(0) + ... (3.12)

onde T′(0) e T

′′(0) sao, respectivamente, a primeira e a segunda derivada de

T (θm), calculadas para θm = 0 :

T′(0) =

dT (θm)

dθm

∣∣∣∣θm=0

(3.13)

T′′(0) =

d2T (θm)

dθ2m

∣∣∣∣θm=0

(3.14)

Por simetria,

T (θm) = T (−θm) (3.15)

portanto,

θmT′(0) = 0 (3.16)

o que tambem ocorre para os termos ımpares da serie. Desprezando os

termos de ordem par superiores,

T (θm) � T0(1 + Aθ2m) (3.17)

onde

A =1

2

T′′(0)

T0

(3.18)

Voce se lembra do teorema do trabalho-energia? Vamos aplica-

lo ao nosso pendulo: o trabalho da forca da gravidade entre as posicoes

θ = θm e θ e igual a variacao de energia cinetica de rotacao da massa M

entre essas duas posicoes, ou seja, lembrando que a energia cinetica e nula na

posicao θm:

Mgl[cos(θ) − cos(θm)] =I

2

(dθ

dt

)2

(3.19)

O momento de inercia da massa pontual M e I = M2. Portanto, a

ultima equacao escreve-se:

cos(θ) − cos(θm) =1

2

g

(dθ

dt

)2

(3.20)

ou, lembrando que

T0 = 2π

√

g(3.21)

CEDERJ 32


e usando a relacao trigonometrica

cos(x) = 1 − 2 sen2(x

2

)(3.22)

dt =T0dθ

4π√

sen2( θm

2) − sen2( θ

2)

(3.23)

Exercıcio 3.2

Arme-se de coragem e de calma e deduza o resultado anterior.

Vamos agora escrever que o perıodo T (θm) e igual a 4 vezes o tempo que

a massa M precisa para ir da sua posicao de equilıbrio θ = 0 ate a posicao

extrema θ = θm:

T (θm) = 4

∫ θ=θm

θ=0

dt (3.24)

ou seja,

T (θm) =1

πT0

∫ θm

0

dθ√sen2( θm

2) − sen2( θ

2)

(3.25)

Para continuar, temos de mudar de variavel de integracao:

sen(θ

2

)= sen

(θm

2

)sen(ψ) (3.26)

o que conduz a:1

2cos

(θ

2

)dθ = sen

(θm

2

)cos(ψ) dψ (3.27)

Exercıcio 3.3

Usando x = sen(θm

2

), mostre que:

T (θm) =2

πT0

∫ π2

0

dψ√1 − x2 sen2(ψ)

(3.28)

Expandindo em serie o integrando, o que equivale a supor que x e

suficientemente pequeno, temos:

(1 − x2 sen2ψ)−12 = 1 +

1

2x2 sen2ψ +

3

8x4 sen4ψ + ... (3.29)

33 CEDERJ


Estamos chegando agora no fim da linha. So falta resolver integrais

bem conhecidas!

T (θm) =2

πT0

{∫ π2

0

dψ+1

2x2

∫ π2

0

sen2ψdψ+3

8x4

∫ π2

0

sen4ψ dψ+ ...}

(3.30)

E aqui esta o nosso resultado!

T (θm) =2

πT0

{π

2+

1

2x2 π

4+

3

8x4 3π

16+ ...

}(3.31)

Exercıcio 3.4

Mais um pouco de matematica! Encontre a expressao acima, mos-

trando que: ∫sen2ψ dψ =

1

2ψ − 1

4sen(2ψ) (3.32)∫

sen4ψ dψ =3

8ψ − 1

4sen(2ψ) +

1

32sen(4ψ) (3.33)

Nao fique angustiado, pois voce consegue calcular essas integrais facil-

mente, transformando as potencias de senψ em polinomios contendo cosseno

de multiplos de ψ. Voce sabe fazer isso? Se nao, veja a seguir!

sen2ψ =1

2(1 − cos2ψ) (3.34)

sen4ψ =1

8(3 − 4 cos2ψ + cos4ψ) (3.35)

T (θm) pode finalmente ser escrito como:

T (θm) = T0

(1 +

1

4sen2

(θm

2

)+

9

64sen4

(θm

2

)+ ...

)(3.36)

Exercıcio 3.5

Vamos agora passar da algebra a aritmetica e a fısica. Para isso, calcule o

erro relativo∆T

T0

=T (θm) − T0

T0

(3.37)

quando a amplitude da oscilacao do pendulo simples e θm = 30o.

CEDERJ 34


Agora, se for possıvel, seria muito conveniente pegar o caminho do seu

polo para (surpresa!) medir a aceleracao da gravidade g usando um pendulo

simples. Se voce for habilidoso, cuidadoso e paciente, vai ficar surpreso com

a exatidao (no sentido da linguagem sobre obtencao e tratamento de dados

experimentais) do seu resultado.

Muito bem, se voce ja chegou ao polo, vamos comecar a experiencia!

Se nao, continue estudando com a ajuda deste texto e va ate o polo o mais

cedo possıvel: sua aprendizagem agradecera!

Experiencia no Polo (EP)

Hooke propos que se medisse

g com um pendulo em 1666.EP1- Determinacao da aceleracao da gravidade

Voce deve estar agora na frente de um kit de oscilacoes com o qual

voce vai medir a aceleracao da gravidade. Como? Simplesmente usando

um pendulo simples! Antes de mais nada, voce tem de ter certeza que

o seu pendulo e realmente simples, fazendo-o oscilar com amplitude cres-

cente ate observar que o perıodo comeca a depender significativamente dessa

amplitude. Escolha um pendulo de comprimento da ordem de 1 metro.

Para obter a amplitude angular θm, basta medir o comprimento e a

distancia d da extremidade do pendulo a vertical que passa pelo ponto de

sustentacao, pois,

θm = arcsen(d

) (3.38)

Voce pode tambem escolher alguns (8 por exemplo) valores de θm entre

5 e 60 graus e calcular as distancias d correspondentes que determinarao as

posicoes de largada do pendulo.

Para cada amplitude θm, meca o tempo ∆t necessario para observar 10

oscilacoes completas. O perıodo pode, entao, ser determinado:

T =∆t

10(3.39)

Por enquanto e so desta vez, deixe de lado estimativas e propagacoes

de incertezas (coisa muito feia!!!) e construa a tabela de dados a seguir:

35 CEDERJ


d (cm) θm (graus) ∆t (s) T (s)

Agora, faca um grafico de T contra θm numa folha de papel milimetrado.

Atencao, escolha as escalas horizontal e vertical com cuidado, de maneira a

poder observar a variacao de T . Sera que o seu grafico e parecido com o da

Figura 3.2?

Figura 3.2: Perıodo normalizado como funcao da amplitude angular θm.

De posse desses resultados, voce deve estar mais tranquilo, sabendo

que, ao fazer oscilar seu pendulo com uma amplitude da ordem de 20 graus,

este sera um pendulo simples quase perfeito. A determinacao da aceleracao

da gravidade esta nas suas maos:

CEDERJ 36


• regule e meca o comprimento do pendulo;

• para cada comprimento , meca o tempo ∆t necessario para observar

10 oscilacoes;

• determine o perıodo como fez ha pouco.

Monte a tabela de dados seguinte, sem esquecer as incertezas σ� e

σ∆t sobre suas medidas de comprimento e de tempo.

l (m) σl (m) ∆t (s) σ∆t (s) T (s) σT (s) T 2 (s2) σT 2 (s2)

As regras de propagacao de incertezas, demonstradas na apostila Topi-

cos de tratamento de dados experimentais, permitem calcular as in-

certezas σT sobre o perıodo T e σT 2 sobre seu quadrado:

σT =σ∆t

10(3.40)

σT 2 = 2TσT (3.41)

Voce pode estar se perguntando por que diabo calcular T 2! A resposta

e simples (tambem!): fazendo isso, voce obtem uma forma linear

T 2 =4π2

gl (3.42)

permitindo, assim, que seus dados sejam ajustados usando o metodo de re-

gressao linear descrito na apostila Topicos de tratamento de dados ex-

perimentais.

Gostou do ambiente de um laboratorio? Conseguiu medir g com acuracia

e precisao? Muito bem, mas chega de quase realidade e vamos agora estu-

dar as oscilacoes de um pendulo fısico.

37 CEDERJ


O pendulo fısico

O pendulo fısico nada mais e que um corpo rıgido de forma qualquer

que pode oscilar em um plano vertical em torno de um eixo horizontal que

o atravesse. A Figura 3.3 permite ver como o peso−→P = M−→g aplicado no

centro de massa G do corpo rıgido produz um torque restaurador relativo ao

eixo horizotal O de rotacao, quando o corpo e afastado de um angulo θm de

sua posicao de equilıbrio.

�m

P�

G

O

d

Figura 3.3: Pendulo fısico oscilando em torno de um eixo que passa pelo ponto O. Oponto G e o centro de gravidade.

Para um deslocamento angular θ, esse torque restaurador e, como no

caso do pendulo simples :

τ = −Mgd senθ (3.43)

Em geral, a oscilacao nao sera harmonica simples, mas, de novo, no

caso de oscilacoes de pequena amplitude para as quais podemos escrever que

senθ � θ, o movimento voltara a ser do tipo MHS com perıodo

T0 = 2π

√I

Mgd(3.44)

sendo I o momento de inercia relativo ao eixo de rotacao O.

CEDERJ 38


Observe o teorema dos eixos paralelos enunciado a seguir:

Sendo I∆ a inercia rotacional (ou momento de inercia) de um corpo rıgido

qualquer de massa M em torno de um eixo arbitrario ∆, e I∆CMsua

inercia rotacional em torno de um eixo paralelo passando pelo seu cen-

tro de massa, tem-se:

I∆ = I∆CM+ Md2 (3.45)

onde d e a distancia entre os eixos.

Definindo o raio de giracao k tal que I∆CM= Mk2, temos uma nova

expressao, independente da massa do corpo e da amplitude da os-

cilacao, para o perıodo do pendulo fısico:

T0 = 2π

√d2 + k2

gd(3.46)

O centro de oscilacao do pendulo fısico

Voltando a expressao do perıodo do pendulo fısico

T0 = 2π

√I

Mgd(3.47)

e comparando-a com a do pendulo simples

T0 = 2π

√

g(3.48)

podemos deduzir facilmente que os dois pendulos oscilam com o mesmo

perıodo desde que

=I

Md(3.49)

Na posicao de equilıbrio do pendulo fısico, encontramos 3 pontos ali-

nhados verticalmente, o ponto O por onde passa o eixo de rotacao, o centro

de massa G e o centro de oscilacao C, definido por

OC =I

Md(3.50)

A Figura 3.4 ilustra a equivalencia dos dois pendulos, o fısico e o

simples, oscilando com o mesmo perıodo para oscilacoes de pequena

amplitude.

O corpo rıgido oscila em torno do eixo passando pelo ponto O como se

toda sua massa estivesse concentrada no centro de oscilacao C.

39 CEDERJ


�

P�

G

O

d

C

�

O

� =

C

I

Md—

Figura 3.4: Pendulo fısico e pendulo simples. O ponto C e o centro de oscilacao dopendulo fısico.

Exercıcio 3.6

A posicao do centro de oscilacao de um corpo rıgido e um ponto bem

determinado, como por exemplo, o centro de massa, que depende somente

do corpo? Justifique sua resposta.

Exercıcio 3.7

Qual seria o perıodo de oscilacao do nosso pendulo fısico se o eixo de rotacao

passasse pelo centro de oscilacao? Se voce nao conseguir responder e jus-

tificar sua resposta, tera de ir ate o polo para ter uma resposta experi-

mental!

Por falar em polo, acreditamos no poder didatico da experencia e

temos a certeza de que sua primeira experiencia foi um sucesso. Por isso,

sugerimos fortemente que voce volte para la para determinar o momento

de inercia de um corpo rıgido de forma complicada (Experiencia EP2) e

construir o pendulo simples equivalente a um pendulo fısico constituıdo por

um disco uniforme suspenso na borda (Experiencia EP3).

EP2- Determinacao do momento de inercia de um corpo rıgido

Muito bem! Voce esta agora no polo, incumbido por um “amigo” de

determinar o momento de inercia I∆CMde um corpo rıgido em relacao a um

CEDERJ 40


eixo ∆CM passando pelo seu centro de massa. Olhando para a complexi-

dade geometrica do corpo rıgido, voce vai imediatamente descartar a solucao

teorica que consistiria em calcular este momento. Entretanto, voce sabe

que, se este corpo rıgido de massa M oscilar em torno de um eixo ∆ paralelo

ao eixo ∆CM , o perıodo de oscilacao sera

T = 2π

√I∆

Mgd(3.51)

onde I∆ e o momento de inercia relativo ao eixo de rotacao ∆ e d a distancia

entre os dois eixos.

Voce esqueceu o teorema dos eixos paralelos? Claro que nao! Entao,

voce pode escrever que

I∆CM= I∆ − Md2 (3.52)

e, usando estas duas Equacoes, 3.51 e 3.52, mostrar que

I∆CM= M

{gdT 2

4π2− d2

}(3.53)

Perfeito! So falta realizar a experiencia, medindo a distancia d , a massa

M e o perıodo T com o auxılio de uma regua, de uma balanca de precisao e

de um cronometro, respectivamente. Meca 7 vezes o tempo ∆ti necessario

para observar 10 oscilacoes completas do pendulo fısico, obtendo, assim, 7

medidas do perıodo:

Ti =∆ti10

com i = 1, 2, ..., 7

De posse dessas medidas, construa a tabela de dados seguinte:

i 1 2 3 4 5 6 7

∆ti (s)

Ti (s)

De acordo com a Equacao (1) da apostila Topicos de Tratamento

de Dados Experimentais, o valor medio de conjunto do perıodo e

T =1

7

7∑i=1

Ti

E as incertezas? Agora voce nao escapa de estima-las e propaga-las!

No caso da distancia e da massa, voce tem de estimar, com bom senso, os

41 CEDERJ


desvios padroes σd e σM dessas medidas diretas. O caso do perıodo e um

pouco mais complicado, mas e so consultar de novo a apostila Topicos de

Tratamento de Dados Experimentais e usar a Equacao (6), que fornece

a melhor estimativa da variancia de um conjunto de medidas identicas.

Assim, voce pode obter o desvio padrao do conjunto de medidas do perıodo

σT =

√√√√1

6

7∑i=1

T 2i − 7

6T

2

e apresentar seu resultado sob a forma correta

T = (T ± σT ) segundos

A ultima tarefa consiste em propagar as incetezas para calcular o desvio

padrao do momento de inercia I∆CM. Para facilitar um pouco sua vida, voce

pode assumir que a aceleracao da gravidade g = 9, 81 m/s2 e conhecida

com uma precisao infinita, ou seja, que σg = 0 . Outrossim, nao havendo

correlacao estatıstica entre as grandezas T e d, a covariancia σTd = 0 .

Usando k =Mg

4π2, a Equacao 3.53 pode ser reescrita como

I∆CM= α(d, T ) − β(d, T ) com

α(d, T ) = kT 2d e β(d, T ) = Md2

Podemos calcular as derivadas parciais

∂I∆CM

∂d=

∂α

∂d− ∂β

∂d= kT 2 − 2Md

∂I∆CM

∂T=

∂α

∂T− ∂β

∂T= 2kTd

e, utilizando a Equacao (23) da apostila Topicos de Tratamento de Da-

dos Experimentais, obtemos finalmente

σ2I∆CM

= {kT 2 − 2Md}2 σ2d + 4k2T 2d2 σ2

T

Uma alternativa possıvel consiste em aplicar diretamente as formulas

contidas na Tabela 1 desta mesma apostila, lembrando que as funcoes α(d, T )

CEDERJ 42


e β(d, T ) sao obviamente correlatas. Portanto,

σ2I∆CM

= σ2α + σ2

β − 2 σαβ com

σ2α = k2{T 4 σ2

d + 4 T 2d2 σ2T}

σ2β = 4 M2d2 σ2

d

σαβ =∂α

∂T

∂β

∂Tσ2

T +∂α

∂d

∂β

∂dσ2

d

EP3-Pendulos simples e fısico equivalentes

Leitura aconselhada:

Secao 15.5 do RHKQuando o conceito de centro de oscilacao de um pendulo fısico foi

introduzido, voce deve ter notado que, a qualquer pendulo fısico, correspondia

um pendulo simples equivalente, isto e, oscilando com o mesmo perıodo.

Vamos entao construir um pendulo simples equivalente a um disco uniforme

oscilando em torno de um eixo passando pela sua borda. Voce esta no polo

e o disco de acrılico oscila na sua frente em torno do eixo passando pelo

ponto O, de acordo com a Figura 3.5. G0 representa a posicao de equilıbrio

do centro geometrico (e de massa) do disco e G sua posicao num instante

qualquer durante a oscilacao.

Figura 3.5: Deslocamento angular θ, a partir da posicao de repouso, do discode acrılico.

43 CEDERJ


A primeira tarefa consiste em determinar o perıodo de oscilacao desse

pendulo fısico. Maos a obra! Meca 4 vezes o tempo ∆ti necessario para

observar 5 oscilacoes completas do pendulo fısico, obtendo assim 4 medidas

do perıodo

Ti =∆ti5

i = 1, 2, 3, 4

De posse dessas medidas, construa a seguinte tabela de dados:

i 1 2 3 4

∆ti (s)

Ti (s)

Mais uma vez, de acordo com a Equacao (1) da apostila Topicos de

Tratamento de Dados Experimentais, o valor medio de conjunto do

perıodo e

TO =1

4

4∑i=1

Ti

e sua incerteza e obtida usando a equacao (6) dessa mesma apostila, que for-

nece a melhor estimativa da variancia de um conjunto de medidas identicas.

Dessa forma, o desvio padrao do conjunto de medidas do perıodo e

σTO=

√√√√1

3

4∑i=1

T 2i − 4

3To

2

Seu resultado deve ter a forma

TO = (TO ± σTO) s

Muito bem! Agora, observando com cuidado o disco de acrılico, voce

pode notar a presenca de 3 pequenos furos C, D e E. Faca, entao, osci-

lar o disco em torno desses 3 eixos e, como voce fez ha pouco, meca os

perıodos correspondentes

TC = (TC ± σTC) s

TD = (TD ± σTD) s

TE = (TE ± σTE) s

CEDERJ 44


Compare os valores dos 4 perıodos TO, TC , TD e TE e verifique que

dois deles devem ser compatıveis, considerando as incertezas experimentais

e possıveis erros sistematicos. E agora, sera que essa compatibilidade e for-

tuita? Claro que nao! Vamos tentar desvendar o misterio? Pois bem, meca

com o maximo de precisao o raio R do disco e as distancias OC, OD e OE.

Apos estimar as incertezas experimentais das suas medidas, voce deve poder

afirmar sem medo de errar que

OC =3

2R

Sera que esse ponto C e o centro de oscilacao do disco de massa M

quando o eixo de rotacao passa pelo ponto O? Usando o teorema dos eixos

paralelos, e facil mostrar que o momento de inercia do disco em relacao ao

eixo passando pelo ponto O e

IO =1

2MR2 + MR2 =

3

2MR2

Exercıcio 3.8

Demonstre o resultado anterior.

Assim, usando a Equacao 3.51, o perıodo de oscilacao TO do disco

escreve-se

TO = 2π

√IO

MgR= 2π

√3

2

R

g

e o pendulo simples equivalente, isto e, que oscila com o mesmo perıodo, tem

um comprimento

l =3

2R

precisamente igual a OC! Voce ja verificou experimentalmente que TO = TC ,

mas, sera que esse resultado podia ser previsto? De fato, o momento de

inercia do disco em relacao ao eixo passando por C e, usando de novo o

teorema dos eixos paralelos,

IC =1

2MR2 + M

(R

2

)2

=3

4MR2

e o perıodo TC escreve-se, lembrando uma vez mais a Equacao 3.51,

TC = 2π

√√√√ IC

MgR

2

= 2π

√3

2

R

g= TO

45 CEDERJ


Missao cumprida: voce provou, experimentalmente e teoricamente, que

C e o centro de rotacao do disco!

Experimento concluıdo, mais experiencia adquirida: voce esta no ca-

minho certo e vai querer voltar ao polo para aprender mais fısica, nem ex-

perimental nem teorica, somente fısica! A tıtulo de exercıcio, voce poderia

fazer a mesma experiencia, tentando determinar o centro de oscilacao de uma

regua de plastico oscilando em torno de um eixo que passa pela sua borda

menor. Isso pode ser feito na sua casa com amigos!

Resumo

Com o auxılio das experiencias que voce fez no polo, voce aprendeu

que osciladores reais se comportam, em determinadas circunstancias, como

osciladores harmonicos simples. Voce foi apresentado ao pendulo simples e

ao pendulo fısico.


Vamos agora reforcar o que voce aprendeu com esta aula, fazendo os

problemas a seguir:

1. Um aro circular fino e suspenso usando um prego. Queremos fazer

o aro realizar uma oscilacao completa com angulo pequeno, a cada 2

segundos. Qual deve ser o valor do raio do aro? O momento de inercia

de um aro delgado em torno de um eixo que passa pelo seu centro

e MR2.

2. Uma chapa quadrada de massa M e lado e colocada na vertical e

presa a um suporte em um de seus vertices. A chapa pode oscilar e

o angulo que a diagonal do quadrado faz com o eixo vertical e θ. O

momento de inercia da chapa em torno de um eixo que passa por um

dos vertices e 2M2/3.

(a) Escreva a equacao diferencial para θ.

(b) Para θ << 1, mostre que o movimento e harmonico simples.

(c) Calcule a frequencia do movimento.

(d) Calcule o perıodo do movimento.

CEDERJ 46


Auto-avaliacao

O que voce aprendeu nesta aula? Voce estudou o pendulo simples e o

pendulo fısico, tanto do ponto de vista formal e teorico, quanto do ponto de

vista experimental, indo ate um polo e realizando, na pratica, experimentos

que certamente ajudaram voce a entender os conceitos abordados. Ficou

tudo bem claro? Se voce acha que sim, siga em frente. Se ainda ficou alguma

duvida la no fundo da sua cabeca, nao desanime! Releia a aula e tire suas

duvidas com seu tutor. Com isto feito, agora sim, siga em frente e passe para

a proxima aula.

47 CEDERJ

Movimento harmonico simples e movimento circular uniformeMODULO 1 - AULA 4

Aula 4 – Movimento harmonico simples e

movimento circular uniforme

Meta da aula

• Mostrar como o Movimento Circular Uniforme gera o Movimento

Harmonico Simples.

Objetivos


• Identificar a relacao entre o movimento circular uniforme (MCU)

e o MHS.

• Utilizar numeros complexos para obter a solucao da equacao do MHS.

Pre-requisitos

• Numeros complexos.

• Movimento circular uniforme.

Relacao entre MHS e MCUSua memoria nao anda assim

tao boa? Pegue sua apostila

de Fısica 1 e de uma olhada

na Aula 9 do Modulo 1!

Voce se lembra do movimento circular uniforme que estudou em Fısica

I? Neste movimento, uma partıcula se move em uma trajetoria circular de

raio r, com velocidade e aceleracao constantes em modulo. Na Figura 4.1,

temos uma ilustracao do MCU. Uma partıcula se encontra, inicialmente, no

ponto P0 e percorre um cırculo de raio r com velocidade angular ω constante.

No instante t, a partıcula estara no ponto P , como mostra a Figura 4.1(b).

Como descrever a posicao da partıcula como funcao do tempo? Podemos

fornecer a posicao da partıcula em termos de suas coordenadas cartesianas

(x e y), ou polares (r e θ). O deslocamento angular θ e dado por

θ(t) = θ0 + ωt (4.1)

onde θ0 e a posicao angular em t = 0.

49 CEDERJ

Movimento harmonico simples e movimento circular uniforme

Figura 4.1: Movimento circular uniforme. (a) Posicao da partıcula no instante t = 0,(b) posicao da partıcula em um instante t posterior.

Voce deve estar pensando: “Ah! isso tudo eu ja sabia, mas onde e

que entra o movimento harmonico nessa historia?”. Para responder a essa

pergunta, vamos dar uma olhada na projecao de P sobre o eixo x. Ela e

dada por X como voce pode observar na Figura 4.1, de modo que

0X = x = r cos(θ) = r cos(ωt + θ0) (4.2)

Se chamarmos r de xm e θ0 de ϕ, esta equacao fica identica a solucao

do MHS (Equacao 2.6)!

Equacao 2.6:

x(t) = xm cos(ωt + ϕ)

Exercıcio 4.1

Mostre que a projecao do ponto P sobre o eixo y tambem pode ser escrita

na forma da Equacao 2.6.

Dica: lembre-se de que sen(ωt + θ0) = −cos(ωt + θ0 +π

2).

Da mesma forma que estudamos a projecao da posicao sobre o eixo x,

podemos, tambem, analisar a projecao da velocidade e da aceleracao da

partıcula sobre este eixo. Na Figura 4.2 (a), temos o vetor velocidade daLembre-se,

no MCU, v = ωr, onde r e o

raio da circunferencia.

partıcula no ponto P . Ele e tangencial a trajetoria e o seu modulo e dado

por v = rω. A projecao deste vetor ao longo do eixo x e

Equacao 2.11

v(t) = −ωxm sen(ωt + ϕ).

vx = −ωr cos(π + θ − π

2) = −ωr sen(θ) = −ωr sen(ωt + θ0) (4.3)

Comparando esta equacao com a velocidade no MHS (Equacao 2.11),

podemos ver que a projecao da velocidade no MCU ao longo do eixo x e

CEDERJ 50


a velocidade no MHS! Vamos ver o que acontece com a aceleracao. Voce

se lembra de que a aceleracao no MCU e a aceleracao centrıpeta, nao e

mesmo? Como o nome indica, o vetor aponta para o centro do cırculo, como

mostra a Figura 4.2, e tem modulo a = ω2r. A projecao ao longo do eixo x

e dada porEquacao 2.12

a(t) = −ω2xm cos(ωt + ϕ).

ax = ω2r cos(θ + π) = −ω2r cos(θ) = −ω2r cos(ωt + θ0) (4.4)

Mais uma vez, constatamos que a projecao de uma grandeza do MCU

sobre o eixo x corresponde a mesma grandeza no MHS. Desta vez, a grandeza

e a aceleracao.

Figura 4.2: (a) Velocidade no MCU e sua projecao ao longo do eico x, (b) aceleracaono MCU e sua projecao ao longo do eixo x.

Exercıcio 4.2

Mostre que as projecoes da velocidade e da aceleracao do MCU sobre o eixo

y tambem correspondem a velocidade e a aceleracao no MHS.

Vemos, portanto, que podemos considerar o MHS como projecao de um

movimento circular uniforme. A Figura 4.3 deve nos ajudar a compreender

o que isso quer dizer. Voce se lembra da EV 6? Nela, havia um relogio de

ponteiros, do tipo encontrado em uma cozinha. Imagine, agora, que este

relogio e retirado da parede e colocado no plano horizontal, sobre uma mesa,

por exemplo. Mais do que isso, o vidro do relogio e retirado e, sobre o

ponteiro dos segundos, colamos um pequeno cilindro (um pedaco de massa

51 CEDERJ


de modelar de crianca). Este cilindro estara executando um MCU. Se agora

iluminarmos, com luz paralela, o relogio com a massinha, como mostra a

Figura 4.3, poderemos observar a sombra da massinha se movendo na parede.

Quando o cilindro anda em MCU, sua sombra esta realizando um MHS!

Figura 4.3: Projecao do MCU sobre o eixo x.

Revisao: numeros complexos

Na secao anterior, descrevemos um ponto P por meio de suas coorde-

nadas cartesianas e tambem por meio de suas coordenadas polares. Agora,

vamos fazer algo semelhante com um ponto z no plano complexo. Podemos

escrever um numero complexo como

z = x + iy (4.5)

onde x e a parte real de z e y e a parte imaginaria, ou, de forma equivalente:

x ≡ Re z e y ≡ Im z (4.6)

Voce deve se lembrar de que o numero i =√−1 e chamado unidade ima-

ginaria. Tambem podemos escrever um numero complexo z em termos de

coordenadas polares

z = x + iy = r (cosθ + i senθ) (4.7)

onde r = |z| =√

x2 + y2. Para fazer uma ultima simplificacao na formula

anterior, vamos usar a famosa Formula de EulerO matematico suico

Leonhard Euler (1707-1783)

obteve este resultado em

1748.

eiθ = cosθ + i senθ (4.8)

Dessa maneira, podemos escrever senos e cossenos como exponenciais de

numeros complexos

cosθ = Re (eiθ) =1

2(eiθ + e−iθ) (4.9)

CEDERJ 52


senθ = Im (eiθ) =1

2i(eiθ − e−iθ) (4.10)

Finalmente, podemos descrever um ponto z no plano complexo como:

z = x + iy = r(cosθ + i senθ) = r eiθ (4.11)

Aplicacao ao MHS

No inıcio da aula, voce viu que a notacao complexa vai facilitar muito

a sua vida no estudo do MHS. Agora nos vamos ver como.

Vamos voltar a equacao do oscilador harmonico simples:

−kx = Md2x

dt2(4.12)

Voce se lembra de como esta solucao foi encontrada? As funcoes seno e

cosseno sao proporcionais as suas derivadas segundas, portanto, servem de

solucao para esta equacao. Voce deve se lembrar tambem do Exercıcio 2.3.

Nele, voce mostrou que funcoes exponenciais com argumentos reais nao po-

dem ser solucoes para a equacao do oscilador. Mas, e as funcoes exponencias

com argumentos complexos que acabamos de ver? Se e possıvel escrever

senos e cossenos como combinacoes lineares destas exponenciais, entao elas

tambem devem ser solucoes da equacao do oscilador.

Linearidade e princıpio da superposicao

A equacao do oscilador harmonico simples tem nome e sobrenome. Ela

e uma equacao diferencial linear ordinaria de segunda ordem. Ela

e diferencial porque envolve derivadas. E linear porque so contem termos

lineares em x e suas derivadas, ou seja, nao contem termos do tipo x2, x3,(dx

dt

)2

,(d2x

dt2

)3

, ou outros termos de ordem superior. Ela e ordinaria porque

so envolve derivadas de x com relacao a t. E, finalmente, e de segunda ordem

porque a derivada de maior ordem e uma derivada segunda.

A solucao geral de uma equacao diferencial linear ordinaria de segunda

ordem envolve duas constantes arbitrarias. Vamos analisar um exemplo bem

conhecido, um corpo que se move com aceleracao constante a:

d2x

dt2= a (4.13)

Integrando esta equacao, encontramos a velocidade

v(t) =dx

dt= v0 + at (4.14)

53 CEDERJ


Integrando novamente, encontramos x(t)

x(t) = x0 + v0t +at2

2(4.15)

Na solucao, aparecem duas constantes: x0 e v0, que sao as condicoes iniciais

do problema.

Qualquer equacao diferencial linear de segunda ordem homogenea tem

as seguintes propriedades fundamentais:

1. Se x1(t) e x2(t) sao solucoes, entao x1(t) + x2(t) tambem e solucao.

2. Se x(t) e solucao, entao C x(t), onde C e uma constante, tambem

e solucao.

Portanto, se x1(t) e x2(t) sao solucoes, entao qualquer combinacao linear

x(t) = C1 x1(t) + C2 x2(t) e solucao. Este e o princıpio da superposicao.

Se x1(t) e linearmente independente de x2(t), entao x(t) e a solucao geral,

pois depende de duas constantes arbitrarias C1 e C2 reais.

Vamos usar o que acabamos de aprender sobre equacoes diferenciais

para resolver a equacao do oscilador harmonico simples. Da Equacao 4.12

para o MHS, vemos que x deve ser proporcional a sua derivada segunda.

Fisicamente sabemos que x e real. No entanto, por simplicidade matematica,

usaremos, inicialmente, como palpite para a solucao, a funcao complexa

z(t) = ept (4.16)

onde p e uma constante que precisamos determinar.

Partindo de z(t), podemos determinar suas derivadas:

dz

dt= p ept (4.17)

d2z

dt2= p2 ept (4.18)

Vamos substituir estas derivadas na Equacao 4.12 do oscilador:

p2ept +k

Mept = 0 (4.19)

Para ept �= 0, temos

p2 +k

M= 0 (4.20)

CEDERJ 54


Esta equacao recebe o nome de equacao caracterıstica. Fazendo a

substituicao ω2 = k/M (de acordo com o que voce mostrou no

exercıcio 2.7!), temos:

p2 = −ω2 (4.21)

ou seja,

p = ±√−ω2 = ±iω (4.22)

Voltando ao nosso palpite, temos duas solucoes linearmente independentes:

z(t) = eiωt e z(t) = e−iωt (4.23)

A solucao geral complexa da equacao do oscilador e dada pela combinacao

linear das duas solucoes anteriores

z(t) = C1 eiωt + C2 e−iωt (4.24)

onde, agora, as constantes arbitrarias C1 e C2 podem ser complexas. O

nosso oscilador nao esta no plano complexo, ele e real!! Logo, devemos

impor condicoes sobre C1 e C2 para obter a solucao fısica, ou seja, real. O

exercıcio a seguir deve ajudar a refrescar a sua memoria...

Exercıcio 4.3

Mostre que a soma de dois numero complexos e real quando um deles e

o complexo conjugado do outro.

Vamos substituir as constantes arbitrarias C1 e C2 por duas novas cons-

tantes r e ϕ

C1 = r eiϕ (4.25)

C2 = r e−iϕ (4.26)

55 CEDERJ


Dessa maneira, temos

z(t) = r ei(ωt+ϕ) + r e−i(ωt+ϕ) (4.27)

ou, usando a Equacao 4.9, com θ = ωt + ϕ,

z(t) = 2r cos(ωt + ϕ) (4.28)

Fazendo uma ultima substituicao

2r = xm (4.29)

e observando que z(t), agora, e finalmente real, obtemos a solucao fısica

x(t) = xm cos(ωt + ϕ)

Voce acaba de chegar a mesma solucao para o oscilador harmonico

simples que voce encontrou na aula anterior! Isso nao deve ter surpreendido

voce nem um pouco, nao e mesmo? Afinal de contas, independentemente de

como a equacao e resolvida, o resultado deve ser o mesmo.

Na aula anterior, voce viu que xm corresponde a amplitude de oscilacao

e ϕ a fase. Essas duas constantes sao determinadas a partir das condicoes

iniciais do problema, como por exemplo, a posicao inicial e a velocidade

inicial, ou a posicao inicial e a energia cinetica inicial.

Exemplo

O uso de numeros complexos na solucao do MHS pode estar parecendo

um pouco abstrato, nao e mesmo? Vamos ver um exemplo, passo-a-passo.

Temos uma mola de constante elastica k presa a uma parede, de um lado,

e do outro lado colocamos uma pequena massa M . Este sistema esta na

horizontal, como mostra a Figura 4.4. Vamos considerar que o atrito entre

a mesa e a massa pode ser desprezado. A mola e esticada ate a posicao x0,

indicada na figura, e solta. Como a posicao da massa varia com o tempo?

CEDERJ 56


Figura 4.4: Bloco preso a uma mola, na horizontal. (a) A mola esta relaxada, (b) amola e distendida ate x0.

O primeiro passo para resolver este problema e escolher um sistema de

referencia. Vamos colocar a origem do sistema na posicao do centro da massa

quando a mola se encontra relaxada, como mostra a Figura 4.4. Vamos,

tambem, escolher o eixo x paralelo a mesa, positivo para a direita. Como o

movimento e unidimensional, nao precisamos definir os outros eixos. Quando

a mola esta relaxada, a resultante das forcas atuando sobre o sistema e nula.

Ao puxar a mola, ela se distende e puxa a massa M de volta com uma forca

proporcional a sua distensao. Como a origem do sistema de referencia esta

na posicao do centro da massa quando a mola esta relaxada, a distensao da

mola sera igual a coordenada x. Usando a segunda lei de Newton, chegamos

a equacao de movimento

F = −kx = Md2x

dt2

Fazendo ω2 = k/M , essa equacao pode ser reescrita como

d2x

dt2+ ω2x = 0

A solucao geral para esta equacao nos encontramos ha pouco:

x = xm cos(ωt + ϕ) (4.30)

Agora vamos usar as condicoes iniciais para determinar xm e ϕ. A mola foi

distendida de uma distancia x0, e solta. Assim, em t = 0, x(t = 0) = x0 e

57 CEDERJ


v(t = 0) = 0, ou seja,

x(t = 0) = xm cosϕ = x0 (4.31)

Podemos tambem encontrar a velocidade

v(t) =dx

dt= −ωxm sen(ωt + ϕ) (4.32)

tal que

v(t = 0) = −ωxm senϕ = 0 (4.33)

Para que a equacao anterior seja satisfeita, fazemos ϕ = 0. Substituindo este

valor da fase na Equacao 4.31, temos x0 = xm. Assim, finalmente, chegamos

a solucao do problema:

x(t) = x0 cosωt (4.34)

O oscilador harmonico passo-a-passo

Vamos recapitular como resolver o problema do oscilador harmonico.

• Escrever a equacao de movimento. Para tanto, voce deve identificar que

forcas atuam sobre o seu sistema e aplicar a segunda lei de Newton.

• Dar um palpite para a solucao. Como voce ja viu, a funcao z(t) = ept

e um bom palpite.

• Calcular as derivadas da sua funcao palpite.

• Substituir as derivadas na equacao de movimento para encontrar a

equacao caracterıstica.

• Resolver a equacao caracterıstica e encontrar p. Isso equivale a resolver

uma equacao de segundo grau na qual, em geral, teremos duas solucoes

p1 e p2.

• Escrever a solucao geral na forma z(t) = C1 ep1t + C2 ep2t.

• Encontrar C1 e C2 que tornem z(t) real e satisfacam as condicoes iniciais

do problema.

CEDERJ 58


Resumo

Nesta aula voce relembrou o MCU e estudou as relacoes entre este

movimento e o MHS. Voce aprendeu o princıpio da superposicao e como

aplica-lo ao MHS. Apos uma breve revisao sobre numeros complexos, voce

os utilizou para encontrar uma solucao, obtida passo-a-passo, para o oscilador

harmonico simples, com diferentes condicoes iniciais.


Voce acaba de dar mais um passo importante no estudo das oscilacoes,

compreendendo, passo-a-passo, a solucao da equacao do oscilador harmonico

simples. Reveja o exemplo que nos resolvemos juntos. Agora voce vai resol-

ver, sozinho, o mesmo oscilador ilustrado na Figura 4.4, so que com outras

condicoes iniciais.

1. Em vez de puxar a massa e soltar, considere que a massa esta em sua

posicao de equilıbrio quando leva um peteleco e ganha velocidade inicial

v0. Encontre x(t).

2. Considere, agora, as condicoes iniciais x(t = 0) = 0 e v(t = 0) = 0. O

que acontece?

Auto-avaliacao

Voce conseguiu fazer os exercıcios complementares? Se voce achou

a maior moleza, pode seguir adiante e passar para a proxima aula sem

problema. Se voce teve dificuldades, releia a aula, com muita paciencia,

e tente fazer, desta vez sozinho, o exemplo que nos resolvemos juntos. Se

tiver dificuldades, lembre-se de que tutores e professores podem ajuda-lo.

Depois de refeito o exemplo, passe aos exercıcios complementares. Uma boa

compreensao desta aula e muito importante para que voce possa acompanhar

a proxima aula sem problemas. Ate la!

59 CEDERJ

Superposicao de movimentos harmonicos simplesMODULO 1 - AULA 5

Aula 5 – Superposicao de movimentos

harmonicos simples

Meta da aula

• Mostrar o papel fundamental do Movimento Harmonico Simples.

Objetivo


• Compreender a superposicao de movimentos harmonicos simples, pa-

ralelos ou perpendiculares, de mesma frequencia ou nao.

• Reconhecer o fenomeno de batimentos.

Introducao

Como o MHS nao tem mais segredos para voce, vamos complicar um

pouco sua vida e entender o que acontece quando dois MHS, paralelos ou

ortogonais, combinam-se, gerando, assim, um movimento resultante. Mui-

tos fenomenos fısicos, como batimentos e interferencias, ocorrem em con-

sequencia dessas combinacoes, chamadas tambem superposicoes.

Ate agora, a fase do MHS nao mereceu nossa atencao, pois os fenomenos

observados e as grandezas consideradas, como por exemplo, o perıodo, nao

dependem dela. Isso vai mudar e voce vai entender a importancia e o signi-

ficado fısico dessa fase.

Superposicao de MHS perpendiculares de mesma

frequencia

Considere uma partıcula de massa M submetida a uma forca restau-

radora no plano x − y

−→F = −k−→r (5.1)

onde −→r e o deslocamento da partıcula, a partir da sua posicao de equilıbrio

que define a origem das coordenadas.

61 CEDERJ

Superposicao de movimentos harmonicos simples

Voce deve se lembrar de que a segunda Lei de Newton fornece a equacao

vetorial do movimento da partıcula:

d2−→rdt2

+ ω2 −→r = 0 (5.2)

onde

ω2 =k

M(5.3)

Voce sabe tambem que esta equacao vetorial desdobra-se em duas

equacoes escalares

d2x

dt2+ ω2x = 0 e

d2y

dt2+ ω2y = 0 (5.4)

cujas solucoes podem ser escritas

x(t) = xm cos(ωt + ϕx) e y(t) = ym cos(ωt + ϕy) (5.5)

ou, escolhendo a origem do tempo de maneira a ter ϕx = 0 ,

x(t) = xm cos(ωt) e y(t) = ym cos(ωt + ϕ) (5.6)

A fase ϕ representa, agora, a defasagem entre os dois MHS ortogo-

nais. A trajetoria da partıcula no plano x − y , inscrita num retangulo de

lados 2xm e 2ym , e obtida como segue.

Sabemos que cos(a + b) = cosa cosb − sena senb . Portanto,

y

ym= cos(ωt) cosϕ − sen(ωt) senϕ

que podemos escrever

y

ym

=x

xm

cosϕ ±√

1 − x2

x2m

senϕ

ou, ainda,

y

ym− x

xmcosϕ = ±

√1 − x2

x2m

senϕ

e, finalmente, elevando os dois membros ao quadrado,

x2

x2m

+y2

y2m

− 2xy

xmymcosϕ = sen2ϕ (5.7)

Essa e a equacao de uma elipse. Para uma fase ϕ qualquer, pode-

mos construir graficamente, ponto a ponto, a trajetoria elıptica e observar o

sentido de percurso da elipse, lembrando a Aula 4 deste Modulo na qual se

mostrou a relacao entre MHS e MCU. Basta associar dois MCUs defasados

de ϕ aos dois osciladores harmonicos, como ilustrado na Figura 5.1.

CEDERJ 62


-2 -1 1 20

1

2

-1

-2

-2 -1 1 20

1

2

-1

-2

-2 -1 1 20

1

2

-1

-2

A

B

C

D

E

F

G

H

x

t

y

t

y

x

GF

E

D

CB

A

H

�= �—4

HA

B

C

DE

F

G

Figura 5.1: Composicao de dois MHS perpendiculares e de mesma frequencia: x(t) =2cos(ωt) e y(t) = cos(ωt +

π

4). As setas indicam o sentido de percurso em funcao

do tempo.

• ϕ = 0 ou ϕ = π

Quando os dois MHS estao em fase (ϕ = 0) ou em oposicao de fase (ϕ =

π), a trajetoria elıptica se transforma em segmentos de reta ao longo

das diagonais principal ou secundaria, respectivamente, do retangulo.

De fato, a Equacao 5.7 se escreve

y =ym

xmx quando ϕ = 0

y = − ym

xmx quando ϕ = π

(5.8)

63 CEDERJ


Estas trajetorias retilıneas podem ser observadas na Figura 5.2.

Figura 5.2: Composicao de dois MHS perpendiculares e de mesma frequencia: x(t) =2cos(ωt) e y(t) = cos(ωt + ϕ). (a) ϕ = 0 e (b) ϕ = π.

• ϕ =π

2ou ϕ =

3π

2

Em ambos casos, os dois MHS estao, agora, em quadratura e a

Equacao 5.7 torna-se a de uma elipse cujos eixos principais coincidem

com os eixos de coordenadas

x2

x2m

+y2

y2m

= 1 (5.9)

A Figura 5.3 ilustra estes casos de superposicao de MHS em quadratura.

Figura 5.3: Composicao de dois MHS perpendiculares e de mesma frequencia: x(t) =2cos(ωt) e y(t) = cos(ωt + φ). A elipse percorrida no sentido horario corresponde a

ϕ =π

2e no sentodo anti-horario a ϕ =

3π

2.

CEDERJ 64


Exercıcio 5.1

Com a ajuda das Equacoes 5.6, mostre que a elipse e percorrida nos sentidos

horario, quando ϕ =π

2, e anti-horario, quando ϕ =

3π

2.

Superposicao de MHS perpendiculares de frequencias

diferentes

Quando as frequencias dos MHS sao diferentes, a obtencao da equacao

da trajetoria do oscilador bidimensional e bastante complicada. Entretanto,

a relacao entre MHS e MCU e o metodo grafico utilizado anteriormente

permitem construir a trajetoria do movimento resultante, ponto a ponto.

Dependendo da relacao entre as frequencias, o movimento resultante sera

periodico ou aperiodico.

Quando a razao entre as frequencias ωx e ωy nao e um numero

inteiro, o movimento resultante nao e periodico e a trajetoria do oscilador

nao e uma curva fechada. Em contrapartida, se esta razao for um numero

inteiro, o movimento harmonico bidimensional sera periodico e a trajetoria

uma curva fechada. Em geral, a funcao y(x) e bastante complicada! A

Figura 5.4 ilustra a superposicao de MHS perpendiculares de frequencias

diferentes nos casos ϕ =π

2e ϕ =

π

6para ωy = 3ωx.

Figura 5.4: Composicao de dois MHS perpendiculares e de frequencias diferentes:ωy = 3ωx e (a) ϕ =

π

2e (b) ϕ =

π

6.

65 CEDERJ


Todas as curvas que representam osciladores harmonicos bidimensionais

sao chamadas curvas de Lissajous e podem ser observadas facilmente com

dois geradores de ondas senoidais e um osciloscopio de dois canais x e y.

Infelizmente, a obtencao experimental de figuras de Lissajous com ondas

mecanicas e bastante complicada.

O fısico frances

Jules-Antoine Lissajous

(1822-1880) estudou as

agora chamadas Figuras de

Lissajous em 1857-1858. No

entanto, elas ja haviam sido

estudadas em 1815 pelo

matematico americano

Nathaniel Bowditch.

Superposicao de MHS paralelos de mesma frequencia

Consideremos agora dois MHS de mesma direcao e de mesma frequencia

ω , descritos pelas equacoes

x1(t) = X1 cos(ωt + ϕ1) e x2(t) = X2 cos(ωt + ϕ2) (5.10)

Qual sera o movimento resultante x(t) = x1(t) + x2(t)? Podemos res-

ponder a esta pergunta usando a representacao complexa dos MHS ou a

analogia entre MHS e MCU. Caso voce tenha esquecido esses truques, volte

um pouco atras e revise a Aula 4. Para dividir o trabalho, vamos encontrar

a resposta manipulando numeros complexos e vamos apostar que voce en-

contrara o mesmo resultado usando a analogia MHS-MCU, ou seja, com a

ajuda da geometria.

A representacao complexa dos dois MHS escreve-se

z1(t) = X1 ei(ωt+ϕ1) e z2(t) = X2 ei(ωt+ϕ2) (5.11)

e a do movimento resultante e, portanto,

z(t) = X1 ei(ωt+ϕ1) + X2 ei(ωt+ϕ2) (5.12)

que podemos reescrever como

z(t) = X1 ei(ωt+ϕ1) + X2 ei(ωt+ϕ1+ϕ2−ϕ1) (5.13)

ou, ainda,

z(t) = ei(ωt+ϕ1) {X1 + X2 ei(ϕ2−ϕ1)} (5.14)

Introduzindo uma amplitude complexa

X eiβ = X1 + X2 ei(ϕ2−ϕ1) (5.15)

obtemos:

z(t) = X ei(ωt+ϕ1+β) (5.16)

A parte real de z(t) fornece a resultante da superposicao dos dois MHS

paralelos e de mesma frequencia ω :

x(t) = X cos(ωt + ϕ1 + β) (5.17)

CEDERJ 66


Exercıcio 5.2

Calculando o modulo quadrado e a parte imaginaria da amplitude complexa

definida pela Equacao 5.15, mostre que:

X2 = X21 + X2

2 + 2X1X2 cos(ϕ2 − ϕ1)

senβ =X2

Xsen(ϕ2 − ϕ1)

(5.18)

Usando um pouco de trigonometria, podemos obter as Equacoes 5.17 e

5.18 de outra maneira. De fato, podemos escrever

x(t) = x1(t) + x2(t) = X1 cos(ωt + ϕ1) + X2 cos(ωt + ϕ1 + ϕ2 − ϕ1) (5.19)

ou

x(t) = X1 cos(ωt + ϕ1)

+X2{cos(ωt + ϕ1) cos(ϕ2 − ϕ1) − sen(ωt + ϕ1) sen(ϕ2 − ϕ1)}(5.20)

ou, ainda,

x(t) = {X1 + X2 cos(ϕ2 − ϕ1)} cos(ωt + ϕ1)

−X2 sen(ϕ2 − ϕ1) sen(ωt + ϕ1)

(5.21)

Introduzindo um modulo X e uma fase β

X1 + X2 cos(ϕ2 − ϕ1) = X cosβ

X2 sen(ϕ2 − ϕ1) = X senβ

(5.22)

obtemos

x(t) = X cosβ cos(ωt + ϕ1) − X senβ sen(ωt + ϕ1) (5.23)

que, obviamente, se escreve

x(t) = X cos(ωt + ϕ1 + β) (5.24)

67 CEDERJ


Elevando ao quadrado as Equacoes 5.22 e somando-as membro a mem-

bro, encontramos de novo a amplitude X e a fase β do movimento resultante

X2 = X21 + X2

2 + 2X1X2 cos(ϕ2 − ϕ1)

senβ =X2

Xsen(ϕ2 − ϕ1)

Exercıcio 5.3

Observe, atentamente, a Figura 5.5 na qual o paralelogramo gira com ve-

locidade angular ω no plano x − y . Usando a analogia MHS-MCU,

mostre que o movimento resultante da superposicao de dois MHS paralelos

na direcao x e de mesma frequencia angular ω e definido pelas Equacoes

5.17 e 5.18.

x

y

x2

O

x

x1

1

�

2

2- 1

� �

� �

Figura 5.5: Composicao de dois MHS paralelos.

CEDERJ 68


Superposicao de MHS paralelos de frequencias

diferentes

No caso da superposicao de MHS paralelos, a defasagem Φ entre os

dois MHS

x1(t) = X1 cos(ω1t) e x2(t) = X2 cos(ω2t + ϕ)

varia com o tempo, pois reescrevendo

x2(t) = X2 cos[ω1t + (ω2 − ω1)t + ϕ] (5.25)

verificamos que

Φ = (ω2 − ω1)t + ϕ (5.26)

Portanto, o movimento resultante x(t) = x1(t)+x2(t) nao e periodico,

a nao ser que exista um perıodo T , satisfazendo simultaneamente as equacoes

ω1T = 2n1π e ω2T = 2n2π

onde n1 e n2 sao dois numeros inteiros quaisquer.

Sendo T1 e T2 os perıodos dos MHS, e facil mostrar que o perıodo

T do movimento resultante e

T = n1 T1 = n2 T2

Exercıcio 5.4


A Figura 5.6 ilustra as superposicoes de MHS definidos por

x1(t) = X1 cos(ω1t) e x2(t) = 2X1 cos(√

2ω1t +π

6) (Figura 5.6a)

x1(t) = X1 cos(ω1t) e x2(t) = 2X1 cos(3

2ω1t +

π

6) (Figura 5.6b)

Note que, enquanto na Figura 5.6b o movimento e periodico, na Figura 5.6a

o movimento e aperiodico.

69 CEDERJ


Figura 5.6: Composicao de MHS paralelos, resultando em um movimento aperiodico(a) ou periodico (b).

Vamos, agora, estudar o caso importante da superposicao de dois MHS

paralelos e de frequencias muito proximas. O fenomeno fısico bem conhe-

cido que resulta dessa composicao e o batimento, muitas vezes observado

em acustica e utilizado para afinar instrumentos musicais.

Batimentos

Sejam os dois MHS paralelos representados por

x1(t) = X1 cos(ω1t) e x2(t) = X2 cos(ω2t) (5.27)

Sendo as fases arbitrarias, podemos considera-las nulas, o que simplifica

bastante os calculos! Supondo ω2 > ω1 , introduzimos a frequencia angular

media ω e a diferenca de frequencias ∆ω definidas por

ω =ω1 + ω2

2e ∆ω = ω2 − ω1 (5.28)

Quando as amplitudes sao iguais (X1 = X2 = X), o movimento resul-

tante e

x(t) = X{

cos(ω − ∆ω

2

)t + cos

(ω +

∆ω

2

)t

}ou ainda

x(t) = 2X cos(∆ω

2t)

cos(ω t)

CEDERJ 70


Quando as frequencias ω1 e ω2 sao muito proximas, temos ∆ω <<

ω . Assim, como pode ser observado na Figura 5.7, x(t) pode ser interpretado

como uma oscilacao de frequencia angular ω e de amplitude 2X cos(∆ω

2t),

lentamente variavel com frequencia angular∆ω

2.

Figura 5.7: Batimento obtido com a superposicao de dois MHS em fase e demesma amplitude.

E se as amplitudes dos MHS nao forem iguais, o que acontece? Nesse

caso, podemos escrever

x(t) = X1 cos(ω1t) + X2 cos(ω1 + ∆ω) t (5.29)

Para continuar, e conveniente usar a representacao complexa

z(t) = X1 eiω1t + X2 ei(ω1+∆ω) t = eiω1t {X1 + X2 ei∆ω t} (5.30)

Introduzindo a amplitude X e a fase β como segue,

X eiβt = X1 + X2 ei∆ω t (5.31)

temos, entao,

z(t) = X ei(ω1+β) t (5.32)

71 CEDERJ


Exercıcio 5.5

A partir da Equacao 5.31, mostre que

X2 = X21 + X2

2 + 2X1X2 cos(∆ω t)

X cos(βt) = X1 + X2 cos(∆ω t)

X sen(βt) = X2 sen(∆ω t)

(5.33)

O movimento resultante, dado pela parte real da expressao 5.32,

x(t) = X cos(ω1 + β) t (5.34)

e uma oscilacao rapida de frequencia angular (ω1 + β) e de amplitude

lentamente modulada com frequencia angular ∆ω. A novidade e que a

amplitude X oscila entre um mınimo nao-nulo |X1 − X2| e um maximo

X1 +X2 de acordo com a primeira das Equacoes 5.33. A Figura 5.8 a seguir

e um exemplo de batimento entre dois MHS de amplitudes diferentes.

Figura 5.8: Batimento obtido com a superposicao de dois MHS em fase e deamplitudes diferentes.

Resumo

Voce aprendeu a importancia e o significado fısico da fase, estudando

a superposicao de movimentos harmonicos simples. Voce foi apresentado aos

fenomenos de batimentos e interferencia.

CEDERJ 72



Vamos aplicar o que aprendemos nesta aula? Para isso, faca os proble-

mas a seguir!

1. Considere a superposicao de movimentos harmonicos perpendiculares

de mesma frequencia e amplitude:

x(t) = A cos(ωt) e y(t) = A cos(ωt + ϕ)

Descreva a trajetoria do oscilador para

(a) ϕ = 0;

(b) ϕ =π

2;

(c) ϕ =π

3;

2. Considere a superposicao de movimentos harmonicos paralelos

x1(t) = X1 cos(ωt) e x2(t) = X2 cos(2ωt).

(a) A trajetoria e fechada? Se for, qual e o perıodo do movimento?

(b) Faca um esboco da trajetoria quando X1 = X2.

(c) Faca um esboco da trajetoria quando X1 = 2X2.

Auto-avaliacao

O que voce achou desta aula? Tomara que voce tenha gostado e, mais

ainda, tomara que voce tenha compreendido todos os pontos abordados. Voce

acha que sim? Parabens, siga em frente! Voce ficou com alguma duvida?

Teve dificuldades no decorrer da aula ou nos problemas? Nao desanime!

Releia a aula mais uma vez, discuta as duvidas com seu tutor, seus colegas,

mande um e-mail... Nao faltam opcoes para voce. Quando estiver com tudo

claro, passe para a proxima aula.

73 CEDERJ

O movimento harmonico amortecidoMODULO 1 - AULA 6

Aula 6 – O movimento harmonico

amortecido

Meta da aula

• Introduzir o fenomeno de amortecimento.

Objetivos


• Entender como a presenca de forcas dissipativas altera o comporta-

mento de sistemas oscilantes.

EC3 - Oscilacoes de uma massa presa a uma mola

Voce ainda tem aquela mola ou aquele elastico que usou na experiencia

caseira EC1? Entao repita a mesma experiencia, so que, agora, observe o seu

sistema oscilar por um tempo bastante grande.

• Determine o ponto de repouso e as posicoes ymax e ymin das extremi-

dades superior e inferior da oscilacao.

• O ponto de repouso muda com o passar do tempo?

• As posicoes ymax e ymin mudam com o passar do tempo?

• A amplitude de oscilacao muda com o tempo?

O que se pode aprender com esta experiencia? A amplitude de oscilacao

diminui com o tempo, e, se voce tiver bastante paciencia e esperar um tempo

muito grande, vai ver o seu sistema parar de oscilar. O que esta acontecendo?

Ate agora, estavamos estudando osciladores nos quais as forcas dissipativas

podem ser desprezadas. Mas nos sabemos que na natureza, no mundo

real, as forcas de atrito estao presentes e dissipam energia do sistema. O

movimento harmonico e amortecido. No caso da nossa experiencia, este

amortecimento e devido a resistencia do ar (alem do atrito no suporte). AVeja Moyses, volume I,

secao 2.7resistencia de um fluido, como o ar, ao deslocamento de um corpo e propor-

cional a velocidade, para velocidades suficientemente pequenas.

75 CEDERJ

O movimento harmonico amortecido

Equacao do movimento harmonico amortecido

Quando temos uma partıcula submetida a acao de uma forca restaura-

dora elastica e ao atrito,

∑F = −kx − b

dx

dt(6.1)

em quedx

dte a velocidade da partıcula, b e uma constante positiva que

depende das propriedades do fluido onde a massa esta se movendo (o ar,

por exemplo) e o sinal negativo indica que a forca de atrito esta no sentido

contrario ao do movimento.

Exercıcio 6.1

Mostre que a unidade de b, no Sistema de Unidades MKSA, e kg/s.

Nos podemos, agora, da mesma forma que fizemos ao estudar o MHS,

aplicar a segunda Lei de Newton ao nosso sistema, ou seja,

−kx − bdx

dt= M

d2x

dt2(6.2)

onde M e a massa da partıcula ed2x

dt2sua aceleracao.

Passando todos os termos para o mesmo lado da equacao e dividindo

por M , temos

d2x

dt2+

b

M

dx

dt+

k

Mx = 0 (6.3)

E util definir as constantes

ω20 =

k

Me γ =

b

M(6.4)

e substituir ω0 e γ na Equacao 6.3. Fazendo isso, chegamos a equacao do

movimento harmonico amortecido:

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x = 0 (6.5)

CEDERJ 76


Solucao da equacao do movimento harmonico

amortecido

Voce deve se lembrar de que no MHS a solucao x(t) e proporcional a

sua derivada segunda. No caso do movimento harmonico amortecido, voce

pode notar, observando a equacao anterior, que a solucao x(t) e proporcional

a sua derivada segunda (como no MHS) e tambem e proporcional a sua

derivada primeira.

Quais sao as funcoes que sao proporcionais as suas derivadas e as suas

derivadas segundas? Sao as funcoes exponenciais. Podemos, entao, encontrar

a solucao para a Equacao 6.5 usando o mesmo metodo da Aula 4. Vamos

usar como palpite a funcao complexa

z(t) = ept (6.6)

na qual p e uma constante que nos queremos encontrar. Se z(t) tem a forma

anterior, entao sua derivada e sua derivada segunda com relacao ao tempo

sao dadas pordz

dt= p ept e

d2z

dt2= p2 ept (6.7)

Exercıcio 6.2

Substitua z,dz

dte

d2z

dt2na Equacao 6.5 e mostre que

p2 + γp + ω20 = 0 (6.8)

A Equacao 6.8 e a equacao caracterıstica para o movimento harmonico

amortecido. Ela e uma equacao de segundo grau em p e tem como raızes:

p = −γ

2±

√γ2

4− ω2

0 (6.9)

Ao analisar essas raızes, observamos que podemos dividi-las em tres

grupos, dependendo da relacao entre γ e ω0. Quandoγ

2< ω0, o amorteci-

mento e chamado subcrıtico, quandoγ

2> ω0, o amortecimento e chamado

supercrıtico, e paraγ

2= ω0, temos o amortecimento crıtico. Vamos estu-

dar cada um desses casos separadamente.

77 CEDERJ


(a) Amortecimento subcrıtico:γ

2< ω0

O primeiro caso que vamos estudar e o amortecimento subcrıtico. O-

lhando para Equacao 6.9, vemos que quandoγ

2< ω0 aparece a raiz quadrada

de um numero negativo. Nesse caso, podemos reescrever a Equacao 6.9 como

p = −γ

2± iω (6.10)

na qual ω e dado por:

ω =

√ω2

0 −γ2

4(6.11)

Encontramos, dessa forma, as duas raızes de nossa equacao carac-

terıstica e podemos escrever a posicao em funcao do tempo como combinacao

linear das duas solucoes particulares,

z(t) = C1 ep+t + C2 ep−t (6.12)

onde C1 e C2 sao duas constantes que a princıpio podem ser complexas e

dependem das condicoes iniciais do sistema, por exemplo, da posicao inicial

x0 e da velocidade inicial v0, e p+ e p− sao dados pela Equacao 6.10:

z(t) = C1 e−γ2t+iωt + C2 e−

γ2t−iωt (6.13)

Exercıcio 6.3

Partindo da Equacao 6.13, mostre que ela pode ser reescrita na forma a

seguir 6.14. Dica: reveja a aula sobre movimento harmonico simples e

movimento circular uniforme.

x(t) = xm e−γ2t cos(ωt + ϕ) (6.14)

CEDERJ 78


Figura 6.1: Posicao como funcao do tempo para um oscilador subamortecido.

A Figura 6.1 mostra um grafico da posicao como funcao do tempo para

um oscilador subamortecido. A linha contınua e a representacao grafica da

Equacao 6.14, onde, por simplicidade, tomamos ϕ = 0. O que se pode apren-

der analisando este grafico? Em primeiro lugar, vemos que o movimento e

oscilatorio, a posicao passa por valores negativos e positivos alternadamente,

de forma semelhante ao movimento harmonico simples nao-amortecido, que

estudamos na segunda aula. O que esta acontecendo de diferente neste caso?

A frequencia de oscilacao e diferente: ela e ω0 =√

k/M na ausencia de

amortecimento, e ω =

√ω2

0 −γ2

4no caso de amortecimento subcrıtico, ou

seja, ω < ω0. Com isso, o perıodo T do movimento amortecido subcrıtico

e sempre maior que T0, do movimento na ausencia de amortecimento. Mas

esta nao e a unica diferenca, nao e mesmo?

Exercıcio 6.4

De uma olhada no grafico da posicao em funcao do tempo no MHS, na

Figura 2.2a, e compare-a com a Figura 6.1. Qual e a principal diferenca?

79 CEDERJ


Voce deve se lembrar da experiencia EC-3, que fez no inıcio desta aula.

Voce pode observar que, quando ha amortecimento, a amplitude da oscilacao

diminui com o tempo. Quando o amortecimento e fraco, o fator xm e−γt/2

varia lentamente com o tempo. Podemos reescrever (de novo!!) a solucao do

oscilador harmonico subamortecido:

x(t) = A(t) cos(ωt + ϕ) (6.15)

Temos uma amplitude dependente do tempo, A(t), multiplicando um termo

oscilante, cos(ωt + ϕ). No caso do oscilador nao-amortecido, tınhamos uma

solucao semelhante, na qual a amplitude era constante e igual a xm. Agora,

comparando a equacao anterior com a Equacao 6.1, vemos que

A(t) = xm e−γt/2. A amplitude cai exponencialmente com o tempo. Este

decaimento pode ser observado na Figura 6.1, na qual as curvas tracejadas

(±xm e−γt/2) representam a envoltoria das oscilacoes.

(b) Amortecimento super crıtico:γ

2> ω0

O que acontece quandoγ

2> ω0? Nesse caso, a raiz quadrada que

aparece na Equacao 6.9 sera a de um numero positivo. Nos temos, entao,

duas solucoes reais que podemos escrever

p = −γ1 e p = −γ2 (6.16)

A variacao da posicao em funcao do tempo para o amortecimento super

crıtico e

x(t) = C1 e−γ1t + C2 e−γ2t (6.17)

com C1 e C2 constantes, a serem determinadas a partir das condicoes iniciais.

O que esta solucao nos diz? Quando o amortecimento e grande, ou seja,γ

2> ω0, a solucao nao e mais oscilante, ela e a combinacao linear de duas

solucoes que decaem exponencialmente com o tempo!

(c) Amortecimento crıtico:γ

2= ω0

Dizemos que o amortecimento e crıtico quando

γ

2= ω0 (6.18)

Assim sendo, temos apenas uma raiz para a equacao caracterıstica:

p = −γ

2(6.19)

CEDERJ 80


Como a Equacao 6.5 e de segunda ordem, sua solucao deve depender

de duas constantes arbitrarias. Ate agora encontramos apenas uma solucao.

Como conseguir a segunda?

Exercıcio 6.5

Mostre que, se e−γ2t e solucao da Equacao 6.5, t e−

γ2t tambem e solucao.

Assim, temos como solucao geral para o amortecimento crıtico:

x(t) = e−γ2t (C1 + C2t) (6.20)

Na Figura 6.2 podemos comparar os tres tipos de movimento amortecido.

Figura 6.2: Movimento harmonico amortecido: subcrıtico, super crıtico e crıtico.

81 CEDERJ


Resumo

Nesta aula, estudamos o movimento harmonico amortecido. Usando

funcoes exponenciais como tentativa de solucao, chegamos a equacao carac-

terıstica para esse movimento. Analisando as solucoes, vimos que o amorte-

cimento pode ser crıtico, subcrıtico ou super crıtico.


Vamos agora juntar o que voce aprendeu, nesta aula, sobre oscilacoes

amortecidas, com a solucao, passo-a-passo, da equacao do oscilador harmonico

simples. Reveja o exemplo que resolvemos juntos para o oscilador harmonico

simples da Aula 4.

Considere o mesmo sistema massa mola que vimos anteriormente, re-

petido na figura a seguir. Agora, alem da forca restauradora da mola,

ha tambem uma forca de atrito, dependente da velocidade, atuando sobre

a massa.

1. A mola e esticada ate uma distancia x0 e solta. Encontre x(t), supondo

que o amortecimento e subcrıtico.

2. Em vez de puxar a massa e soltar, considere que a massa esta em

sua posicao de equilıbrio, quando leva um peteleco e ganha velocidade

inicial v0. Encontre x(t), considerando, ainda, que o amortecimento

e subcrıtico.

CEDERJ 82


3. Considere, agora, as mesmas condicoes iniciais do primeiro item, mas

suponha que o amortecimento e crıtico. Encontre x(t).

4. Mais uma vez, considere x(t = 0) = x0 e v(t = 0) = 0, mas agora

suponha que o amortecimento e super crıtico. Encontre x(t).

Auto-avaliacao

Voce conseguiu fazer os exercıcios complementares? Eles sao mais

difıceis do que aqueles ao final da Aula 4, mas podem ser resolvidos do

mesmo modo. Se voce teve um pouco de dificuldade, volte ao inıcio da aula

e tente de novo. Se a sua dificuldade for muito grande, releia a Aula 4, es-

tude a secao “O oscilador harmonico passo-a-passo”e use-a como um roteiro

para resolver os problemas acima. Isso com certeza vai ajudar muito! Ate a

proxima aula.

83 CEDERJ

Oscilacoes forcadas e ressonanciaMODULO 1 - AULA 7

Aula 7 – Oscilacoes forcadas e ressonancia

Meta da aula

• Introduzir o fenomeno de ressonancia.

Objetivo


• Entender como a presenca de forcas externas altera o comportamento

de sistemas oscilantes.

Introducao

Ate agora, estudamos apenas oscilacoes livres, ou seja, aquelas nas

quais, apos fornecermos uma energia inicial (por meio de uma distensao ini-

cial da mola ou de uma velocidade inicial, por exemplo), deixamos o sistema

oscilar livremente. Nesse caso, atuam sobre o sistema apenas a forca res-

tauradora e, possivelmente, alguma forca dissipativa. O que acontecera se

outras forcas, tambem periodicas, atuarem sobre o sistema?

Quando voce era crianca deve ter brincado muitas vezes em uma pra-

cinha, com um balanco (Figura 7.1).

Voce sabe que quando uma crianca senta em um balanco e sua mae a

empurra, o balanco oscila algumas vezes, e a amplitude vai diminuindo ate

que o balanco pare.

Figura 7.1: Lembrancas do passado...85 CEDERJ

Oscilacoes forcadas e ressonancia

Nos podemos entender isso lembrando da aula anterior, quando es-

tudamos oscilacoes amortecidas (pelo tipo de movimento, voce diria que o

amortecimento e crıtico, super crıtico ou subcrıtico?). Mas nenhuma crianca

senta em um balanco e fica satisfeita com um unico impulso, nao e mesmo?

Ao empurrar a crianca repetidas vezes, a mae da impulsos periodicos: ela

aplica uma forca externa periodica sobre o oscilador. Este e apenas um

exemplo, entre tantos outros, de oscilacoes forcadas. Fenomenos tao dife-

rentes quanto as oscilacoes do tımpano de nossos ouvidos sob a acao de ondas

sonoras, e as oscilacoes de eletrons sob a acao de campos eletromagneticos

sao, tambem, oscilacoes forcadas.

Equacao do movimento harmonico forcado

Vamos agora encontrar a equacao do movimento harmonico forcado.

Como acabamos de ver, as forcas que atuam sobre o sistema sao: a forca

restauradora, a forca dissipativa e uma forca externa periodica∑F = −kx − b

dx

dt+ Fext (7.1)

Vamos supor que a forca externa tenha a forma

Fext = F0 cos(ω′t) (7.2)

ou seja, tenha uma amplitude F0 e oscile no tempo de forma cossenoidal com

uma frequencia ω′.

Exercıcio 7.1

Esta forca cossenoidal e uma boa descricao matematica para a forca que a

mae faz ao empurrar o balanco? Por que? Discuta com o seu tutor.

Conhecendo as forcas que atuam sobre o sistema, vamos, mais uma vez,

fazer uso da segunda lei de Newton:

Md2x

dt2=

∑F = −kx − b

dx

dt+ F0 cos(ω′t) (7.3)

Podemos reescrever a equacao anterior colocando, do lado esquerdo, todos

os termos que dependem de x e suas derivadas e, do lado direito, tudo o que

nao depende de x:

Md2x

dt2+ b

dx

dt+ kx = F0 cos(ω′t) (7.4)

CEDERJ 86


O lado esquerdo da equacao e identico ao lado esquerdo da equacao para o

movimento amortecido. A diferenca esta no lado direito que, naquele caso, e

zero, e aqui e uma funcao do tempo. Voce se lembra quando nos vimos que

as equacoes tem nome e sobrenome? Esta e uma equacao diferencial linear

ordinaria de segunda ordem nao-homogenea.

Antes de encontrar a solucao para esta equacao, vamos reescreve-la

usando as constantes γ = b/M e ω20 = k/M :

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x =F0

Mcos(ω′t) (7.5)

E importante ressaltar que existem duas frequencias envolvidas na

Equacao 7.5: ω0 e ω′. Nao devemos confundi-las; ω0 e a chamada frequencia

natural do sistema, isto e, sua frequencia de oscilacao na ausencia de forca

oscilante aplicada e de forca dissipativa. Em contrapartida, ω′ e a frequencia

da forca aplicada.

Como encontrar a solucao para a equacao anterior? A solucao mais

geral para uma equacao nao-homogenea e a soma da solucao da equacao

homogenea associada a ela e de uma solucao particular para a equacao

nao-homogenea:

x(t) = xhomogenea + xparticular (7.6)

Movimento forcado, nao amortecido

Para entender melhor o que nos vimos anteriormente, vamos estudar um

caso especial, em que temos um oscilador forcado, mas podemos considerar

que o amortecimento e desprezıvel. Nesse caso, a equacao de movimento fica:

d2x

dt2+ ω2

0x =F0

Mcos(ω′t) (7.7)

A equacao homogenea associada e

d2x

dt2+ ω2

0x = 0 (7.8)

ou seja, a equacao do oscilador harmonico simples. Neste momento voce ja

esta cansado de saber sua solucao: xhomogenea(t) = xm cos(ω0t + ϕ). Para

encontrar a solucao geral, basta agora encontrar uma solucao particular para

a equacao nao-homogenea. Mas o que e isso? Uma solucao particular e

qualquer solucao que “sirva”! Nesse caso, queremos encontrar uma funcao

87 CEDERJ


x(t) que seja uma solucao para a Equacao 7.7. Vamos usar, como tentativa,

uma funcao que tenha a mesma dependencia temporal que a forca externa,

xparticular = C cos(ω′t) (7.9)

em que C e uma constante que precisa ser determinada. Mas como? Subs-

tiuindo xparticular e sua derivada segunda na Equacao 7.7.

Exercıcio 7.2

Substitua xparticular (Equacao 7.9) e sua derivada segunda na Equacao 7.7

e mostre que

C =F0

M(ω20 − ω′2)

(7.10)

Substituindo C, encontrado no exercıcio anterior, a solucao particular

escreve-se:

xparticular =F0

M(ω20 − ω′2)

cos(ω′t) (7.11)

Agora, estamos prontos (finalmente!) para escrever a solucao geral, que

como vimos ha pouco, e a soma da solucao homogenea e da particular:

x(t) = xm cos(ω0t + ϕ) +F0

M(ω20 − ω′2)

cos(ω′t) (7.12)

Ressonancia

Qual e a interpretacao fısica da solucao que acabamos de encontrar?

Que tipo de movimento ela descreve? Voce pode notar que a solucao que

encontramos e a soma de duas funcoes que oscilam com frequencias diferen-

tes: a primeira oscila com a frequencia natural do sistema ω0 =√

k/M ,

e a segunda oscila com a frequencia da forca aplicada. O que se pode di-

zer sobre a amplitude de oscilacao de cada uma delas? Para o termo com

ω0, a amplitude de movimento e xm, ou seja, depende apenas das condicoes

iniciais. Ja para o termo com a frequencia da forca aplicada, vemos que

existe um valor de ω′ para o qual a amplitude de movimento e maxima.

Este valor corresponde a chamada frequencia de ressonancia. Neste caso,

em que desconsideramos o amortecimento, a frequencia de ressonancia e

a frequencia natural do sistema ω0 para qual a amplitude diverge (Figura

CEDERJ 88


7.2). Em sistemas fısicos reais sempre existe algum amortecimento, como

veremos a seguir. Nesses casos, a amplitude pode ser grande, porem, sera

sempre finita.

Figura 7.2: Amplitude C da solucao particular da Equacao 7.7 como funcao dafrequencia da forca aplicada.

Oscilacoes forcadas e amortecidas

Vamos voltar a considerar o caso forcado e amortecido que tem, como

equacao de movimento, a Equacao 7.5, que repetimos a seguir:

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x =F0

Mcos(ω′t)

Para resolve-la, e necessario encontrar a solucao da equacao homogenea

associada e uma solucao particular da equacao inomogenea. A equacao ho-

mogenea associada ed2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x = 0 (7.13)

e se voce tem boa memoria, vai lembrar que esta e a equacao do movimento

harmonico amortecido que estudamos na aula anterior. Sua solucao depende

de o amortecimento ser subcrıtico, crıtico ou super crıtico. Vamos supor que

seja subcrıtico. Neste caso,

xhomogenea = xm e−γ2t cos(ωt + ϕ) (7.14)

89 CEDERJ


Para encontrar a solucao geral, temos de somar a solucao homogenea uma

solucao particular da equacao nao-homogenea. A solucao particular e

xparticular =F0

M√

(ω′2 − ω20)

2 + γ2ω′2cos(ω′t − θ) (7.15)

onde

θ = arc tg( γω′

ω20 − ω′2

)(7.16)

Desta vez apresentamos a

solucao sem mostrar

passo-a-passo como ela foi

encontrada. Ao final desta

aula, voce vai encontrar esta

demonstracao, pois afinal de

contas, ninguem deve se

satisfazer de encontrar uma

solucao sem compreender de

onde ela veio...

Note que, como no caso anterior, a solucao particular da equacao nao-

homogenea tem a mesma frequencia da forca aplicada. Somando as solucoes

homogenea e particular, temos

x(t) = xm e−γ2t cos(ωt + ϕ) +

F0

M√

(ω′2 − ω20)

2 + γ2ω′2 cos(ω′t − θ) (7.17)

Neste caso, como o movimento e amortecido, a solucao da equacao ho-

mogenea decai com o tempo, por isso e chamada transiente. A amplitude

da solucao particular nao depende do tempo, por isso xparticular e chamado

solucao estacionaria.

Analisando a Equacao 7.17, vemos que a presenca de amortecimento

(γ �= 0) faz com que o denominador seja sempre diferente de zero. Dessa

forma, como pode ser visto na Figura 7.3, a amplitude nunca diverge. No en-

tanto, para pequenos amortecimentos, a amplitude pode ser bastante grande.

Figura 7.3: Amplitude da solucao estacionaria da Equacao 7.17 como funcao dafrequencia da forca aplicada, na presenca de amortecimento.

CEDERJ 90


Voltando ao exemplo da mae empurrando a crianca em um balanco, to-

dos sabemos, por experiencia propria, que, se os impulsos forem dados “com

a frequencia certa”, ou seja, com a frequencia de ressonancia, a amplitude de

oscilacao do balanco cresce cada vez mais, o que pode gerar gritos e choros!

Solucao particular do oscilador forcado e amortecido

Vamos voltar, agora, a procurar a solucao particular do oscilador forcado

e amortecido. Para tanto, vamos partir da Equacao 7.5:

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x =F0

Mcos(ω′t)

Como esta equacao envolve derivadas pares e ımpares, nao vamos fazer

como no caso do oscilador forcado e nao-amortecido e supor que

xparticular = C cosω′t

pois teremos nao apenas cossenos, mas tambem senos. Nesses casos, e mais

conveniente usarmos a notacao complexa. Voce deve se lembrar de que po-

demos escrever x(t) como a parte real de um numero complexo:

xparticular = Re z(t) (7.18)

Partindo da Equacao 7.5, vamos escrever uma equacao diferencial

para z(t):

d2z

dt2+ γ

dz

dt+ ω2

0z =F0

Meiω′t (7.19)

De posse da equacao anterior, podemos agora dar um palpite para z(t),

z(t) = C eiω′t (7.20)

em que C e uma constante que precisamos determinar. A derivada de z

fica, entao,

dz

dt= iω′C eiω′t (7.21)

e sua segunda derivada,

d2z

dt2= −ω′2C eiω′t (7.22)

91 CEDERJ


Exercıcio 7.3

Substitua z e suas derivadas na Equacao 7.19 e mostre que

C =F0

M(ω20 − ω′2 + iω′γ)

(7.23)

Com C encontrado no exercıcio anterior, temos, finalmente, z(t):

z(t) =F0

M(ω20 − ω′2 + iω′γ)

eiω′t (7.24)

Para tomar a parte real de z(t) (e entao encontrar x), vamos reescrever

a equacao anterior:

z(t) =F0

Mz1eiω′t (7.25)

Comparando as duas expressoes, vemos que:

z1 = ω20 − ω′2 + iω′γ (7.26)

Na Equacao 7.26, z1 e um numero complexo escrito na forma z1 = a + ib

com a = ω20 − ω′2 e b = ω′γ. Podemos tambem escrever z1 na forma polar

z1 = reiθ.

Exercıcio 7.4

Mostre que z1 = reiθ com

r =√

(ω20 − ω′2)2 + γ2ω′2 (7.27)

tgθ =γω′

ω20 − ω′2 (7.28)

Substituindo z1, na forma polar, na Equacao 7.25, temos

z(t) =F0

Mreiθeiω′t =

F0

Mrei(ω′t−θ) (7.29)

ou ainda, substituindo r,

z(t) =F0

M√

(ω20 − ω′2)2 + γ2ω′2 ei(ω′t−θ) (7.30)

CEDERJ 92


Vamos tomar a parte real da Equacao 7.30 para encontrar xparticular:

xparticular =F0

M√

(ω20 − ω′2)2 + γ2ω′2 cos(ω′t − θ) (7.31)

com θ dado pela Equacao 7.28.

Finalmente! Agora voce ja pode dormir sossegado, pois acaba de com-

preender como encontrar a solucao para um oscilador harmonico forcado e

amortecido. Como voce ja tinha entendido antes a interpretacao fısica de

cada um dos termos que compoem a solucao, nao falta mais nada. Podemos,

agora, passar para os exercıcios complementares.

Resumo

Nesta aula, encontramos a equacao diferencial que explica o compor-

tamento de um oscilador forcado (amortecido ou nao). Vimos que a solucao

mais geral para esta equacao e dada pela soma da solucao da equacao ho-

mogenea associada a ela com uma solucao particular da equacao nao-homoge-

nea e aprendemos a encontrar essas solucoes. Aprendemos, tambem, que

existe uma frequencia da forca aplicada para a qual a amplitude do movi-

mento e maxima. Essa frequencia e chamada de frequencia ressonancia.


Vamos colocar em pratica o que voce aprendeu nesta aula, sobre os-

cilacoes forcadas. Para resolver os problemas a seguir, lembre-se de que

a solucao geral para um oscilador forcado (ou seja, para uma equacao di-

ferencial nao-homogenea) e dada pela soma da solucao para um oscilador

equivalente nao-forcado com uma solucao particular do oscilador forcado. E

sempre uma boa ideia usar, como solucao particular, uma funcao que tenha

a mesma dependencia temporal da forca externa.

1. Um oscilador subamortecido esta sujeito a uma forca externa constante

F0. Encontre x(t).

2. Um oscilador nao-amortecido esta sujeito a uma forca que decai expo-

nencialmente com o tempo F = F0 e−αt, em que α e uma constante

positiva. Encontre x(t).

3. Um bloco de massa M esta preso a uma mola de massa desprezıvel

e constante elastica k. A mola e presa a um suporte e o sistema

93 CEDERJ


e colocado sobre uma mesa, na horizontal. O coeficiente de atrito,

cinetico e estatico, entre a mesa e o bloco e µ. O bloco e deslocado de

x0 = 10

(µMg

k

)de sua posicao de repouso, distendendo a mola e solto.

Encontre x(t). Aviso: como a forca de atrito esta sempre na direcao

contraria ao movimento, e preciso tratar separadamente o movimento

em cada direcao.

Auto-avaliacao

Esta e uma das aulas mais difıceis sobre oscilacoes. Se voce teve di-

ficuldades nos problemas ou nao entendeu alguma coisa, releia a aula mais

uma vez. Discuta com seu tutor os trechos mais difıceis. Ate a proxima aula!

CEDERJ 94

Osciladores acopladosMODULO 1 - AULA 8

Aula 8 – Osciladores acoplados

Meta da aula

• Estudar o efeito do acoplamento entre osciladores.

Objetivo


• Entender o movimento de dois osciladores harmonicos acoplados.

Introducao

Ate agora, nos estudamos sistemas oscilantes nos quais apenas um corpo

oscila, como no caso do pendulo simples, pendulo fısico ou de uma massa

presa a uma mola. Neste ultimo caso, sempre consideramos a mola presa a

um suporte fixo, ou, de modo equivalente, presa a uma massa infinita. O que

acontece se consideramos que a mola esta presa de um lado a uma massa,

como antes, mas do outro lado temos tambem uma massa finita? Este sera

o assunto abordado nesta aula.

Como voce ja pode imaginar, estudar o problema de dois corpos que

oscilam acoplados deve ser mais difıcil do que estudar apenas um corpo osci-

lando, como nos fizemos ate agora. Vamos ver, nesta aula, como transformar

o problema de dois osciladores acoplados em dois problemas de um corpo.

Ainda assim, voce deve estar se perguntando por que estudar este pro-

blema, qual o interesse em dois osciladores acoplados? Na natureza, ocorre

com frequencia o acoplamento de osciladores em que nao podemos considerar

uma das massas como infinita. Por exemplo, pense na molecula diatomica

mais simples, a de hidrogenio (H2). Ela e composta por dois atomos de hi-

drogenio, com a mesma massa. A energia potencial de interacao entre essesMolecula diatomica →molecula formada por dois

atomos

dois atomos, como funcao da distancia entre eles, pode ser aproximada por

uma parabola, para pequenos deslocamentos da posicao de equilıbrio. Dessa

maneira, podemos imaginar estes atomos como se fossem massas ligadas por

uma mola de massa nula. Mesmo quando temos moleculas diatomicas com-

postas por elementos diferentes, como por exemplo, CO ou HCl, os atomos

que as compoem tem massas comparaveis e nao podemos considerar que a

mola virtual que liga os dois atomos esta fixa em uma das extremidades.

Vamos ver agora como tratar este problema.

95 CEDERJ

Osciladores acoplados

Oscilacoes de duas partıculas

Vamos considerar dois blocos, um de massa m1 e o outro de massa

m2, ligados por uma mola de constante elastica k, comprimento , quando

relaxada, e massa desprezıvel. Os dois blocos podem se mover sobre uma

superfıcie horizontal, como mostra a Figura 8.1. Vamos escolher um ponto

fixo sobre a superfıcie como origem do sistema de referencia. Como o movi-

mento se dara ao longo da linha que une estes blocos, vamos escolher o eixo

x ao longo desta linha e orienta-lo: positivo para a direita. Vamos chamar

x1 a distancia da origem ate o centro de massa do bloco de massa m1 e x2 a

distancia da origem ate o centro de massa do bloco de massa m2.

x1

x2

m1 m2

x=0

�

Figura 8.1: Osciladores acoplados.

Lembrando que o comprimento da mola e e olhando para a figura,

vemos que, quando a mola esta relaxada, x2 − x1 = . Quando a mola nao

esta relaxada, podemos escrever a distensao ou compressao como

x = (x2 − x1) − (8.1)

onde o sinal positivo indica que a mola foi distendida e o negativo que ela

esta comprimida.

Agora que encontramos a compressao da mola, podemos escrever a

forca que atua sobre cada um dos blocos,

F1 = kx = −F2 (8.2)

o sinal indicando a orientacao das forcas, de acordo com o eixo que escolhemos

na figura. Nao deve ser supresa para voce que elas sejam iguais e opostas

(por que?).

CEDERJ 96


Vamos, mais uma vez, usar a segunda lei de Newton. Para cada um

dos blocos, temos

m1d2x1

dt2= F1 (8.3)

m2d2x2

dt2= F2 (8.4)

ou, substituindo F1 e F2, encontrados na expressao 8.2,

m1d2x1

dt2= kx = k(x2 − x1 − ) (8.5)

m2d2x2

dt2= −kx = −k(x2 − x1 − ) (8.6)

Analisando as equacoes anteriores, vemos que a aceleracao do bloco

1 depende nao so de sua posicao (x1), mas tambem da posicao do bloco 2

(x2), o mesmo acontecendo para o bloco 2. Em outras palavras, nos temos

duas equacoes diferenciais acopladas. Como resolver este problema? Em vez

de descrever o movimento do sistema usando as coordenadas de cada um

dos blocos, x1 e x2, vamos usar a coordenada relativa x, que aparece nas

expressoes 8.5 e 8.6, e tambem a coordenada do centro de massa do sistema.

Voce se lembra da coordenada do centro de massa, nao e mesmo, ja

que voce estudou o curso de Fısica I? A posicao X do centro de massa deste

sistema e dada por

X =m1x1 + m2x2

m1 + m2

(8.7)

Podemos escrever a aceleracao do centro de massa, derivando duas vezes

a Equacao 8.7,

d2X

dt2=

m1d2x1

dt2+ m2

d2x2

dt2

M(8.8)

onde M e a massa total do sistema:

M = m1 + m2 (8.9)

Exercıcio 8.1

Mostre que:d2X

dt2= 0 (8.10)

Dica: Some as Equacoes 8.5 e 8.6.

97 CEDERJ


Voce acaba de mostrar que a aceleracao do centro de massa e nula. Isto

ocorre porque o somatorio das forcas externas e nulo. Temos, entao, que a

velocidade do centro de massa V e constante, ou seja, o centro de massa do

sistema esta parado ou em movimento retilıneo uniforme.

Isto esta bem claro, para

voce? Se nao, faca uma

revisao sobre centro de

massa, no curso de Fısica 1.

Se esta claro, parabens!

Vamos ver o que acontece com a coordenada relativa x. De forma

semelhante ao que fizemos acima, vamos usar as Equacoes 8.5 e 8.6. Faca o

exercıcio a seguir!

Exercıcio 8.2

Mostre que: m1m2

m1 + m2

(d2x1

dt2− d2x2

dt2

)= kx (8.11)

Dica: multiplique a Equacao 8.5 por m2 e a Equacao 8.6 por m1 e subtraia

uma da outra.

Lembrando-se da definicao de x (Equacao 8.1), vemos que sua segunda

derivada e dada pord2x

dt2=

d2x2

dt2− d2x1

dt2(8.12)

Vemos tambem que e util definir

µ =m1m2

m1 + m2

(8.13)

Esta grandeza e chamada massa reduzida.

Exercıcio 8.3

Qual e a unidade da massa reduzida?

Vamos agora substituir a definicao de massa reduzida (Equacao 8.13) e

a aceleracao da coordenada relativa x (Equacao 8.12) na Equacao 8.11, que

encontramos no Exercıcio 8.2. Ficamos com a expressao

µd2x

dt2+ kx = 0 (8.14)

O que esta equacao nos diz? Que a coordenada relativa x se comporta como

a coordenada de uma partıcula de massa µ realizando movimento harmonico

CEDERJ 98


simples! A solucao para a Equacao 8.14 e nossa velha conhecida,

x(t) = xm cos(ωt + ϕ) (8.15)

onde agora a frequencia angular e dada por

ω =

√k

µ(8.16)

e, consequentemente, o perıodo fica

T = 2π

√µ

k(8.17)

Em resumo, nos vimos que, para descrever a oscilacao de dois corpos

acoplados, em vez de usar a coordenada de cada um dos corpos (x1 e x2),

podemos usar a coordenada do centro de massa do sistema (X) e a coorde-

nada relativa x. Vimos tambem que, quando a soma das forcas externas e

nula, o centro de massa permanece em repouso ou em movimento retilıneo

uniforme (V e constante), enquanto a coordenada relativa (x) realiza movi-

mento harmonico simples (Equacao 8.14).

Consideracoes sobre a energia

Vamos agora estudar o que acontece com a energia deste sistema.

Comecemos olhando para a energia cinetica K. Ela e a soma da energia

cinetica de cada um dos blocos:

K =1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 (8.18)

Vamos, mais uma vez, usar as coordenadas relativa e do centro

de massa. Derivando a expressao para a coordenada do centro de massa

(Equacao 8.7), encontramos a velocidade do centro de massa

V =m1v1 + m2v2

M(8.19)

Fazendo o mesmo para a coordenada relativa (Equacao 8.1), temos a veloci-

dade relativa

v = v2 − v1 (8.20)

Exercıcio 8.4

Mostre que:

v1 = V − µ

m1

v e v2 = V +µ

m2

v (8.21)

99 CEDERJ


Podemos escrever a energia cinetica em termos da velocidade do cen-

tro de massa V e da velocidade relativa v. Para isso, vamos substituir na

Equacao 8.18 as expressoes para v1 e v2 em funcao de V e v, encontradas no

exercıcio anterior:

K =1

2m1(V − µ

m1

v)2 +1

2m2(V +

µ

m2

v)2 =1

2MV 2 +

1

2µv2 (8.22)

Exercıcio 8.5

Demostre, passo-a-passo, a expressao acima.

A energia cinetica pode ser separada em dois termos: um termo devido

ao movimento do centro de massa do sistema e outro devido ao movimento

da coordenada relativa.

E a energia potencial? Podemos escreve-la em termos da compressao

da mola:

U =1

2kx2 (8.23)

A energia total do sistema e dada pela soma das energias cinetica e potencial

E = K + U =1

2MV 2 +

1

2µv2 +

1

2kx2 (8.24)

Podemos reescrever essa energia como

E = ECM + Eint (8.25)

onde

ECM =1

2MV 2 (8.26)

e a energia do centro de massa do sistema, e

Eint =1

2µv2 +

1

2kx2 (8.27)

e a energia total interna. ECM e Eint se conservam separadamente: a

translacao do centro de massa nao afeta a oscilacao da coordenada rela-

tiva. A energia de oscilacao Eint e identica a de um oscilador de massa µ e

deslocamento x.

CEDERJ 100


Resumo

Nesta aula, voce estudou o movimento de dois osciladores acoplados e

foi apresentado ao conceito de massa reduzida. Voce viu que a descricao do

movimento fica bastante simplificada se a fazemos usando a coordenada do

centro de massa e a coordenada relativa.


Vamos agora, mais uma vez, fazer alguns exercıcios sobre os conceitos

que acabamos de aprender.

1. A massa do hidrogenio e aproximadamente igual a 1 u.m.a. (unidade

de massa atomica). Determine a massa reduzida da molecula de hidro-

genio, nesta unidade.

2. Ainda utilizando a unidade de massa atomica, determine a massa re-

duzida das seguintes moleculas diatomicas: O2, CO e HCl.

3. A molecula de HCl vibra com a frequencia fundamental

ν = 8, 7×1013 Hz. Qual a constante elastica efetiva k para as forcas de

acoplamento entre o atomo de hidrogenio e o de cloro? Voce diria que

esta mola e mais dura que aquelas que voce usou em suas experiencias

caseiras e no polo?

Auto-avaliacao

Esta foi a ultima aula sobre oscilacoes. Esperamos que voce tenha

gostado! Se voce teve dificuldades em alguma parte da aula, releia a aula

mais uma vez. Discuta com seu tutor os trechos mais difıceis.

A seguir, voce podera encontrar uma lista de exercıcios que engloba

toda a materia abordada neste modulo. Ao conseguir fazer os problemas,

voce tera um bom indicativo de que compreendeu bem os pontos abordados.

101 CEDERJ

Aula de exercıciosMODULO 1 - AULA 9

Aula 9 – Aula de exercıcios

Voce vai encontrar, a seguir, uma lista com 9 problemas, que englobam

toda a materia vista no modulo de oscilacoes. Nem todos tem o mesmo grau

de dificuldade. Faca primeiro os mais faceis e, depois que compreende-los

bem, passe aos intermediarios, deixando os mais difıceis para o fim. Para que

voce possa distinguir cada um deles, os problemas com grau de dificuldade

intermediario estao identificados com • e os mais difıceis com • •. Nao se

esqueca de que os tutores poderao ajuda-lo. Bom trabalho!

1. (a) Mostre que o perıodo e a frequencia de qualquer movimento harmonico

simples linear podem ser escritos como

T = 2π

√−x

ae ν =

1

2π

√−a

x

onde a e a aceleracao linear e x o deslocamento linear.

(b) Mostre tambem que o perıodo e a frequencia de qualquer movimento

harmonico simpleas angular podem ser escritos como

T = 2π

√− θ

αe ν =

1

2π

√−α

θ

onde agora α e θ sao a aceleracao e o deslocamento angulares.

2. Um corpo oscila em movimento harmonico simples e sua posicao como

funcao do tempo e dada por

x(t) = 9 cos(3πt + π/3)

onde x e dado em metros, o tempo em segundos e os angulos em radi-

anos. Determine:

(a) a frequencia;

(b) o perıodo;

(c) a fase do movimento.

Para t = 2, 0 s, determine tambem:

(d) o deslocamento;

(e) a velocidade;

(f) a aceleracao.

103 CEDERJ

Aula de exercıcios

3. Uma partıcula de massa M = 1, 0 kg e presa a uma mola e oscila em

movimento harmonico simples. Sua posicao como funcao do tempo e

dada por

x(t) = 4 cos

(πt

2+

π

4

)onde x e dado em metros, o tempo em segundos e os angulos em radi-

anos. Determine a constante elastica da mola.

4. Prendemos duas molas de constantes k1 e k2 em uma massa M , uma

de cada lado. O sistema esta na horizontal. Prendemos, agora, a outra

extremidade de cada mola a um suporte fixo e colocamos o sistema

para oscilar, como mostra a Figura 9.1 Considere que o atrito pode ser

desprezado. Mostre que a frequencia de oscilacao e dada por

ν =1

2π

√k1 + k2

M

Voce vera em Fısica III que dois capacitores combinados em serie for-

mam um sistema eletrico analogo a este.

Figura 9.1: Massa M presa as molas k1 e k2.

5. • Prendemos uma mola de constante k1 em uma massa M e a esta mola

prendemos outra mola de constante k2. Note que, diferente do que

tınhamos no problema anterior, agora temos uma mola apos a outra,

ambas do mesmo lado da massa, mas o sistema permanece na horizon-

tal. Prendemos, agora, a outra extremidade da mola de constante k2

a um suporte fixo e colocamos o sistema para oscilar, como mostra a

Figura 9.2. Considere, ainda, que o atrito pode ser desprezado. Mostre

que a frequencia de oscilacao e dada por

ν =1

2π

√k1k2

(k1 + k2)M

Voce vera em Fısica III que dois capacitores combinados em paralelo

formam um sistema eletrico analogo a este.

CEDERJ 104


Figura 9.2: Massa M presa a mola k1, que esta presa a mola k2.

6. •• Uma esfera macica de massa M e raio R e ligada a uma mola

(de massa nula e constante elastica k) presa a um suporte. A esfera

pode rolar sem deslizar em uma superfıcie horizontal (Figura 9.3).

Inicialmente, deslocamos o sistema ate que a mola esteja distentida de

x0 e soltamos a esfera. Determine:

(a) a energia cinetica de rotacao, quando a esfera passa pela posicao

de equilıbrio;

(b) a energia cinetica de translacao, quando a esfera passa pela posicao

de equilıbrio;

(c) mostre que o centro de massa da esfera executa movimento harmonico

simples com perıodo dado por:

T = 2π

√7M

5k

Lembrete: o momento de inercia de uma esfera macica de massa M e

raio R, em trono de seu diametro, e I =2

5MR2.

Figura 9.3: Esfera macica de massa M e raio R ligada a uma mola de constanteelastica k.

7. • Uma barra de comprimento e massa desprezıvel e presa ao teto em

uma extremidade e uma massa M e suspensa em sua outra extremidade.

Uma mola horizontal, de constante elastica k, e presa ao ponto medio

da barra. Sua outra extremidade e fixa e a mola esta relaxada quando

o pendulo esta em equilıbrio, na vertical, conforme mostra a Figura 9.4.

Calcule a frequencia ν para pequenas oscilacoes no plano vertical.

105 CEDERJ

Aula de exercıcios

Figura 9.4: Massa M presa a uma barra de comprimento �. No ponto medio da barraha uma mola de constante elastica k.

8. Uma partıcula de massa M = 1, 0 kg e presa a uma mola e oscila em

movimento harmonico amortecido. Sua posicao como funcao do tempo

e dada por

x(t) = 4 e−3t cos

(4t +

π

4

)onde x e dado em metros, o tempo em segundos e os angulos em radi-

anos. Determine:

(a) a constante elastica da mola;

(b) a forca de amortecimento que atua sobre a massa M .

9. •• Um bloco de massa M = 1, 0 kg e preso a uma mola de massa

desprezıvel e constante elastica k = 10, 0 N/m. A mola e fixa em sua

outra extremidade e o sistema se encontra na horizontal. Preso a massa

esta um disco que e mergulhado em um fluido, de modo que o atrito

nao pode ser desprezado. Veja a Figura 9.5. O bloco e deslocado de

sua posicao de equilıbrio ate x0 = 10, 0 cm e entao e solto a partir do

repouso. Considerando que o atrito e proporcional a velocidade e que o

coeficiente de proporcionalidade e b = 0, 32 kg/s, determine o numero

de oscilacoes que o bloco efetua no intervalo de tempo necessario para

que a amplitude caia a um quarto de seu valor inicial.

Figura 9.5: Bloco preso a uma mola em um sistema com atrito proporcional avelocidade.

CEDERJ 106

Modulo 2 – Ondas

Apresentacao do modulo

Bem-vindo ao Modulo Ondas! Voce ja deve ter percebido que esta

sempre cercado por fenomenos ondulatorios: um som e emitido por uma

corda de violao que vibra, ondas eletromagneticas fazem parte do nosso dia-

a-dia (luz, radio, televisao, telefonia celular, ....).

Como fizemos no Modulo I, vamos consultar o dicionario do Aurelio

Buarque de Hollanda Ferreira. Nele, voce podera encontrar, entre outras, as

seguintes definicoes de uma onda:

• porcao de agua do mar, lago ou rio, que se eleva.

• perturbacao periodica mediante a qual pode haver transporte de ener-

gia de um ponto a outro de um material ou do espaco vazio.

O Aurelio define tambem varios tipos de ondas, nem sempre com ri-

gor cientıfico: caminhantes (progressivas e regressivas), estacionarias, planas,

esfericas, de gravitacao, de pressao, de choque, longitudinais, transversais,

materiais, monocromaticas, sonoras, sısmicas, portadoras, moduladas, ele-

tromagneticas etc.

Fenomenos complexos como interferencia, difracao, batimento, efeito

Doppler somente sao explicados invocando o conceito de onda. A duali-

dade onda-corpusculo e a base da Mecanica Quantica, que descreve e explica

o comportamento da materia em nıvel microscopico (moleculas, atomos e

partıculas elementares).

Trata-se aqui de fornecer a voce os conhecimentos basicos que abrirao

as portas da Fısica Ondulatoria.

Ao longo deste modulo, voce vai encontrar referencias ao Modulo I, ao

conteudo de outras Disciplinas, seja Fısica ou Matematica, a livros didaticos

e a apostila Topicos de tratamento de dados experimentais. Quando voce se

deparar com uma dessas referencias, nao perca a oportunidade de consulta-

las, de fazer uma breve revisao.

E agora ... vamos surfar nessas ondas!

Ondas em uma dimensao: conceitos e definicoesMODULO 2 - AULA 10

Aula 10 – Ondas em uma dimensao:

conceitos e definicoes

Meta da aula

• Introduzir conceitos fundamentais sobre ondas e movimento ondulatorio.

Objetivos


• Produzir pulsos longitudinais e transversais.

• Observar sua propagacao e suas reflexoes.

• Produzir e observar ondas estacionarias transversais.

• Entender os conceitos ligados a essas observacoes.

Introducao

Ate agora, observamos e estudamos sitemas oscilantes caracterizados

por grandezas fısicas variando com o tempo em torno de uma posicao de

equilıbrio, nao ocorrendo nenhuma propagacao desses sistemas ou dessas

grandezas. De fato, nenhum dos nossos pendulos passeava pelo laboratorio

durante as experiencias! Vamos dar um passo a frente e estudar um novo

e importante conceito, o de onda. De maneira talvez um pouco simplista,

podemos definir onda como uma oscilacao que se propaga no espaco.

Agora, voce ja imaginou um mundo de oscilacoes sem ondas ou de ondas sem

oscilacoes? Seria um mundo bem estranho, com barcos oscilando vertical-

mente num mar sem ondas ou com orquestras tocando sem emitir nenhum

som! A realidade e outra, com vibracoes gerando ondas que se propagam e

provocam novas vibracoes. Assim, as vibracoes da membrana de um pan-

deiro geram ondas sonoras que se propagam no espaco e, ao incidirem no

nosso tımpano, o fazem vibrar. Da mesma forma, osciladores geram on-

das eletromagneticas que viajam ate receptores, como aparelhos de radio ou

de televisao.

Embora nosso universo, macroscopico e nao relativista, esteja confinado

num espaco de tres dimensoes, as ondas podem se propagar em uma, duas

ou tres dimensoes. Obviamente, a complexidade matematica do formalismo109 CEDERJ

Ondas em uma dimensao: conceitos e definicoes

que descreve essas ondas aumenta com o numero de dimensoes considera-

das. Outrossim, nao e trivial observar ondas em tres dimensoes! Vamos

entao comecar pelo mais simples e observar ondas em uma e duas dimensoes.

As experiencias propostas a seguir, caseiras ou no polo, servirao tambem a

introducao de varios conceitos importantes em Fısica ondulatoria.

EC3 - Onda longitudinal em uma dimensao: o efeito domino

Voce deve ter um conjunto de dominos em algum lugar da sua casa.

Pois bem; coloque-os em pe, em cima de uma mesa, separados um do outro

por aproximadamente 1 cm e aplique um peteleco no primeiro domino a

esquerda da fileira. Os dominos vao cair sucessivamente da esquerda para a

direita, sem sair do lugar.

Otimo, voce acaba de produzir uma onda longitudinal progressiva,

na qual a grandeza que se propaga e um impulso, ou seja, o peteleco

que voce deu. Aplicando um peteleco no primeiro domino do lado direito, o

mesmo fenomeno e observado em sentido oposto: a onda longitudinal progres-

siva se propaga da direita para a esquerda. A palavra longitudinal deve-se

ao fato de que a direcao do impulso e paralela a sua direcao de propagacao.

Observe que nao ha transporte direto de materia, mas somente uma

propagacao do ponto de contato entre o ultimo domino que caiu e o

domino atingido por este. Sua experiencia e parecida com a da Figura 10.1

a seguir, nao e?

Figura 10.1: A queda dos dominos.

CEDERJ 110


EC4 - Onda transversal em uma dimensao: a corda vibrante

De um pulo ao armarinho vizinho da sua casa e compre cinco metros

de elastico rolico. Fixe uma das extremidades, por exemplo, na macaneta

de uma porta; segure a outra extremidade com a mao esquerda (supondo

que voce seja destro!) e recue tres metros. Com o elastico imovel, estique-o

verticalmente, aproximadamente 20 cm para cima, com sua outra mao, como

indicado na Figura 10.2 a seguir, soltando-o em seguida.

t = 0

t > 01

t > t2 1

(a)

(b)

(c)

Figura 10.2: Propagacao de um pulso transversal: (a) formacao do pulso, (b) pulsoantes da reflexao e (c) pulso refletido.

111 CEDERJ


O que voce observa?

• Voce esta notando que o pulso transversal vertical se propaga do lado

de cima do elastico ate a extremidade presa na macaneta e volta em

direcao a voce, agora do lado de baixo?

• Quando o pulso refletido atinge sua mao esquerda, voce sente um pe-

queno impacto?

• Voce ve que o pulso, apos reflexao na sua mao, esta indo, de novo, do

lado de cima do elastico em direcao a macaneta, onde sofre uma nova

reflexao, voltando do lado de baixo em direcao a voce etc., etc., etc.?

Muito bem, vamos resumir! Voce produziu um pulso transversal,

observou sua propagacao ao longo de um eixo materializado pelo elastico

e suas reflexoes com inversoes nas extremidades fixas. Voce notou tambem

que a amplitude desse pulso estava diminuindo progressivamente, carac-

terizando uma perda de energia do sistema?

Agora, com a ajuda de um amigo, voce pode passar do qualitativo

para o quantitativo. Faca de novo a experiencia; peca a seu amigo para

medir o tempo ∆t decorrido entre a producao do pulso e a quinta volta a

sua mao (o pequeno impacto nos seus dedos deve ajudar a contar o numero

de reflexoes). Medindo o comprimento L1 ± σL1 do elastico esticado, voce

pode calcular a velocidade de propagacao do pulso:

v1 =10 L1

∆t

Obviamente, sendo um fısico serio, voce vai estimar as incertezas sobre

∆t e L1, propaga-las para calcular o desvio padrao da velocidade v1 e obter

um resultado digno de ser apresentado sob a forma (v1 ± σv1)! Deu branco

na memoria? Nao ha problema; consulte sua apostila Topicos de tratamento

de dados experimentais! Tente medir v1 algumas vezes para verificar que

os resultados das suas medidas sao compatıveis com o desvio padrao σv1 que

voce determinou.

Ja que voce esta gostando da brincadeira, determine a velocidade

(vi ± σvi) de propagacao do pulso, para 3 novos comprimentos

Li = (Li−1 + 1.5) m do elatico esticado.

Aplicando a Lei de Hooke, ja enunciada na Equacao 2.1 da Aula 2 do

Modulo I, ao elastico de comprimento natural L0 , voce sabe que

Ti = −k ∆Li

CEDERJ 112


onde Ti e a tensao mecanica do elastico de constante de Hooke k , e ∆Li

seu alongamento Li − L0 .

De posse de σvi, voce sabe calcular a incerteza σv2

isobre o quadrado

da velocidade. Pois bem, voce pode, entao, construir um grafico de v2i

contra ∆Li, sem esquecer as barras de erro 2σv2i

e 2σ∆Li. Seus dados sao

compatıveis com uma dependencia linear entre o quadrado da velocidade

de propagacao do pulso transversal e o alongamento, isto e, a tensao do

elastico? Acreditamos que sim! Caso contrario, nao entre em depressao e va

ao polo para refazer esta experiencia com a ajuda de um tutor. Mas, por que

essa dependencia? Com um pouco de paciencia, voce podera satisfazer sua

curiosidade quando estudar a equacao do movimento de uma corda vibrante,

na Aula 3 deste modulo.

Chega de ondas transversais! Basta uma pequena corrida ate seu polo

para realizar uma experiencia parecida com pulsos longitudinais.

EP4 - Onda longitudinal em uma mola

Chegou ao polo a pleno vapor? Otimo! Procure um tutor, pois nesta

experiencia voce vai precisar de ajuda para medir de novo a velocidade de

propagacao de um pulso longitudinal em uma mola de comprimento L0 de

aproximadamente 2 metros.

Fixe uma das extremidades da mola na parede e estique-a horizontal-

mente ate obter um comprimento L1 = 3.5 m.

Segure firmemente a outra extremidade com, por exemplo, sua mao es-

querda; espere alguns instantes ate a mola ficar perfeitamente imovel, com-

prima uma meia duzia de espiras entre o polegar e o indicador da sua mao

direita e solte essas espiras.

O que voce observa?

• Voce esta notando que a pequena regiao onde as espiras encontram-se

comprimidas se propaga ate a extremidade presa na parede e volta em

direcao a voce? Cada espira, atingida pela volta da espira anterior a

sua posicao de equilıbrio, desloca-se ligeramente e volta tambem a sua

posicao de equilıbrio: voce esta observando um efeito domino um

pouco mais complicado que o da experiencia EC3!

• Quando o pulso refletido atinge sua mao esquerda, voce sente um pe-

queno impacto?

113 CEDERJ


• Voce ve que o pulso, apos reflexao na sua mao, esta indo de novo em

direcao a parede onde sofre uma nova reflexao, voltando em direcao a

voce etc., etc., etc.?

O que voce aprendeu?

• Que o pulso longitudinal de deslocamento propaga-se ao longo de

um eixo materializado pela mola esticada e reflete-se nas suas extremi-

dades fixas, presas a parede e a sua mao.

• Voce notou tambem que o impacto na sua mao era menos forte apos

varias reflexoes, indicando que a amplitude do pulso estava dimi-

nuindo progressivamente, caracterizando uma perda de energia do sis-

tema, como no caso da propagacao de pulsos tranversais em um elastico?

O que voce ainda nao sabe e que esta experiencia e o primeiro passo no

caminho que leva ao estudo da propagacao de ondas em fluidos compressıveis,

como, por exemplo, a de ondas sonoras, que sera estudada mais adiante no

seu curso (Aula 14).

Agora, com a ajuda do seu tutor, voce pode medir o tempo ∆t decorrido

entre a producao do pulso e sua quinta volta a sua mao (de novo, o pequeno

impacto no seus dedos deve ajudar a contar o numero de reflexoes). Medindo

o comprimento Li±σLido elastico esticado, voce pode calcular a velocidade

de propagacao do pulso para 4 valores de Li = (Li−1 + 1.5) m

vi =10 Li

∆t

A partir de agora, usando de novo a Lei de Hooke e adotando um pro-

cedimento experimental identico ao da experiencia EC4 anterior, voce deve

ser capaz de verificar a proporcionalidade entre o quadrado da velocidade de

propagacao do pulso longitudinal e a tensao da mola. Bom trabalho e ate ...

sua casa, onde fara mais uma experiencia!

EC5 - Onda estacionaria transversal em uma corda vibrante

Ate agora, seja em casa, seja no polo, voce produziu um unico pulso,

transversal em um elastico ou longitudinal em uma mola, observando sua

propagacao e suas reflexoes. Vamos ver se voce possui coordenacao motora!

Volte a esticar seu elastico e comece a imprimir pequenas oscilacoes hori-

zontais de baixa frequencia a extremidade que esta na sua mao: voce gera

CEDERJ 114


assim uma sucessao de pulsos que se propagam e se refletem! A superposicao

desses pulsos resulta em um movimento muito caotico e em nada interessante

para merecer sua atencao. Entretanto, aumentando lentamente a frequencia

dessas oscilacoes forcadas, voce pode observar que o elastico, de repente,

oscila de modo bem comportado, sem nenhuma propagacao aparente.

Parabens! Voce acaba de produzir uma onda transversal estacionaria,

sem duvida parecida com a da Figura 10.3 a seguir, cujas caracterıstas mais

notaveis sao a existencia de:

• nodos onde o elastico esta sempre em repouso, isto e, onde a amplitude

da onda e nula e

• ventres (ou antinodos) onde a amplitude da onda e maxima.

Figura 10.3: Perfis de uma onda estacionaria transversal em tres instantes diferentes.Os nodos encontram-se nas posicoes 0, 1, 2 e 3 e os ventres em 0,5, 1,5 e 2,5. As escalassao arbitrarias.

Observe tambem a presenca de dois nodos extremos, um na extre-

midade presa na macaneta da porta e outro na extremidade que voce esta

chacoalhando com uma amplitude pequena. Voce deve sentir como e

difıcil manter “viva”essa onda estacionaria, pois qualquer mudanca de ritmo

no movimento da sua mao a “mata”. Entretanto, essa dificuldade tem um

lado bom: ela sugere fortemente que a existencia de uma onda estacionaria

depende do valor da frequencia da oscilacao forcada que a provoca, uma

vez fixados os outros parametros do sistema fısico (comprimento e tensao

mecanica do elastico). A confirmacao dessa hipotese esta na sua mao, pois

aumentando o ritmo das suas chacoalhadas, o movimento do elastico torna-

se de novo caotico e, de repente, para uma certa frequencia de oscilacao,

uma nova onda estacionaria, parecida com a da Figura 10.4, aparece.

115 CEDERJ


Figura 10.4: Perfis de uma onda estacionaria transversal em tres instantes diferentes.Os nodos encontram-se nas posicoes 0, 0,75, 1,5, 2,25 e 3 e os ventres em 0,375, 1,125,1,875 e 2,625. As escalas sao arbitrarias.

Um conceito muito importante, o de comprimento de onda λ, pode

ser introduzido observando com atencao as Figuras 10.3 e 10.4. Nessas figu-

ras, as curvas tracejadas indicam o perfil instantaneo do elastico oscilando,

como se uma fotografia tivesse sido tirada em um determinado instante.

Alias, voce poderia tentar tirar essa fotografia com a ajuda de um amigo!

Voce concorda que o comprimento de onda e igual ao dobro da distancia

entre dois nodos (ou antinodos) sucessivos?

Sendo L o comprimento do elatico sob tensao, voce pode verificar nessas

figuras que

L = 3λ3

2(na Figura 10.3)

L = 4λ4

2(na Figura 10.4)

Para os que preferem a teoria a experiencia, pedimos um pouco de

paciencia. As duas ultimas equacoes serao deduzidas de maneira geral, para

um numero n de antinodos, λn sendo o comprimento de onda do n-esimo

modo estacionario de vibracao de uma corda vibrante presa nas suas duas

extremidades:

L = nλn

2(10.1)

Podemos dizer que o comprimento de onda e, para a coordenada es-

pacial x, ao longo da qual uma onda se propaga, o que o perıodo de uma

oscilacao e para o tempo. Nesse sentido, o comprimento de onda traduz a

periodicidade espacial de uma onda.

Voce deve ter observado que todas as ondas que produziu precisam de

um meio material para se propagarem, como a mola ou o elastico, por exem-

plo. Estas ondas que se propagam em meios materiais recebem o nome de

CEDERJ 116


ondas mecanicas. Nem todas as ondas precisam de um meio material para

se propagarem; as ondas eletromagneticas, como a luz, podem se propagar

no vacuo.

Resumo

A observacao e a producao de ondas em casa e no polo permitiram a

introducao dos seguintes conceitos:

• onda

• onda mecanica

• ondas logitudinais e transversais

• ondas progressivas e estacionarias

• ventres e nodos

• pulso

• amplitude

• perfil de uma onda

Exercıcio complementar

Voce pode brincar a vontade e tentar obter os quatro ou cinco primeiros

modos de vibracao do seu elastico. Bom trabalho!

Auto-avaliacao

Voce gostou desta aula? Ela foi seu primeiro contato com as ondas e,

por isso, sem muita matematica. Apesar da descontracao, varios conceitos

foram apresentados a voce. Olhe para a lista apresentada no Resumo e reveja

cada conceito. Eles estao bem claros? Muito bem! Voce esta pronto para

seguir adiante.

117 CEDERJ

Ondas em uma dimensao: a equacao de ondaMODULO 2 - AULA 11

Aula 11 – Ondas em uma dimensao: a

equacao de onda

Meta da Aula

• Introduzir a equacao de onda em uma dimensao.

Objetivos


• Compreender o formalismo matematico do movimento ondulatorio

unidimensional.

• Entender e aplicar a equacao de onda.

Pre-requisitos

• Para acompanhar esta aula, voce precisara relembrar os conceitos de

Derivadas parciais e a Regra da cadeia.

Introducao

Na aula anterior, voce produziu diversos tipos de onda e pode, a partir

da observacao de suas experiencias, compreender varios conceitos fundamen-

tais ligados ao movimento ondulatorio.

Vamos, agora, estudar a matematica que explica a propagacao de uma

onda. Como esta matematica pode ser muito complexa, vamos nos restringir

ao caso unidimensional. Comecaremos estudando a propagacao de uma onda

transversal em uma dimensao.

Ondas progressivas

Observe, na Figura 11.1, a forma f(x) arbitraria do elastico esticado,

quando atingido por um pulso transversal no instante inicial t = 0. Em um

instante t posterior, este pulso animado de uma velocidade v, encontra-se a

uma distancia vt da origem O, na direcao x positiva.

119 CEDERJ

Ondas em uma dimensao: a equacao de onda

Figura 11.1: (a) Pulso em t = 0: os referenciais (x, y) e (x′, y′) coincidem. (b) Pulsoem t > 0: o referencial (x′, y′), que se move junto com o pulso, encontra-se, agora, naposicao vt.

Em um novo referencial inercial (x′, y′) que se move junto com o pulso,

a forma deste ultimo, obviamente, nao depende do tempo, o que podemos

traduzir escrevendo

y′(x′, t) = y′(x′, 0) = f(x′)

Os dois referenciais (x, y) e (x′, y′) sao relacionados pela Transformacao

de Galileu, a seguir:

y′ = y e x′ = x − vt

Portanto,

y(x, t) = f(x − vt) (11.1)

Usando a relacao

∆x = v∆t

na Equacao 11.1, temos

y(x + ∆x, t + ∆t) = f(x + ∆x − v(t + ∆t)) = f(x − vt) = y(x, t) (11.2)

Esta ultima relacao traduz o fato de que o pulso se propaga com a

velocidade v, na direcao x positiva, sem mudar de forma. Um ponto P

CEDERJ 120


qualquer do pulso, que estava na posicao x no instante t, encontra-se na

posicao x + ∆x no instante posterior t + ∆t.

Obviamente, para um outro pulso qualquer de forma arbitraria g(x),

deslocando-se na direcao x negativa, temos

y(x, t) = g(x + vt) (11.3)

OBSERVACAO: A dependencia (x ± vt), deduzida apos termos obser-

vado e estudado a propagacao de ondas unidimensionais transversais, e

geral e caracterıstica de ondas unidimensionais, sejam elas transversais

ou longitudinais.

Onda progressiva harmonica (OPH)

• Conceitos e definicoes

Seja uma funcao f(x − vt) do tipo cossenoidal. Neste caso, a Equacao

11.1 escreve-se:

y(x, t) = Y cos[k(x − vt) + δ] (11.4)

ou seja,

y(x, t) = Y cos[kx − ωt + δ] (11.5)

com uma frequencia angular de oscilacao em um ponto x qualquer

ω = 2πν =2π

τ= kv (11.6)

Nas equacoes anteriores, ν e τ , sao, respectivamente, a frequencia e o

perıodo temporal.

Considerando a Equacao 11.5 em um instante determinado qualquer t0,

podemos definir um perıodo espacial λ tal que:

k =2π

λ(11.7)

A constante k e chamada numero de onda e λ comprimento de

onda. Voce lembra que o conceito de comprimento de onda, isto e, de

periodicidade espacial, foi introduzido no final da experiencia EC5?

121 CEDERJ


Para terminar as definicoes, podemos dizer que:

δ e a constante de fase,

Y a amplitude, e

φ(x, t) = kx − ωt + δ a fase da onda.

A Figura 11.2a mostra os perfis de uma onda transversal harmonica

em dois instantes t0 e t0 + ∆t. Em um ponto x0 qualquer, o deslocamento

transversal varia com o tempo, de acordo com a Figura 11.2b.

Por que diabo, este nome de onda progressiva harmonica? Por uma

razao simples: ela e produzida por um movimento harmonico simples

(MHS) aplicado a uma extremidade de uma corda de comprimento in-

finito, pois, fazendo x = 0 na Equacao 11.5, obtemos a solucao geral da

equacao do MHS (se sua memoria falhar, viaje de volta no tempo e consulte

de novo a Aula 2 do Modulo 1!):

y(0, t) = Y cos(−ωt + δ) = Y cos(ωt − δ)

Exercıcio 11.1

Por que o comprimento da corda vibrante tem de ser infinito?

• Velocidade de fase

Volte a examinar a Figura 11.2a e considere, no instante t0, o ponto P

da corda vibrante. Este ponto, cuja fase e φ(x0, t0), encontra-se na posicao

P ′ no instante posterior t0 + ∆t. Obviamente, a fase φ(x0 + ∆x, t0 + ∆t) do

ponto P ′ e igual a fase do ponto P . Portanto, podemos escrever:

k(x0 + ∆x) − ω(t0 + ∆t) + δ = kx0 − ωt0 + δ

Obtemos, assim, a expressao da velocidade de um ponto qualquer de

fase definida e, portanto, constante, ou velocidade de fase da onda:

v =∆x

∆t=

ω

k(11.8)

Compare as Equacoes 11.6 e 11.8!

CEDERJ 122


Figura 11.2: (a) Onda progressiva em dois instantes diferentes: t0 e t0 + ∆t. (b)Dependencia temporal do deslocamento transversal da onda no ponto x0. As escalassao arbitrarias.

Equacao de onda em uma dimensao

Considere, de novo, a forma mais geral de uma onda progressiva propagando-

se na direcao x positiva:

y(x, t) = f(x′) = f(x − vt)

123 CEDERJ


Voce se lembra do conceito de derivada parcial de uma funcao de

varias variaveis e da regra da cadeia? Muito bem! Podemos, entao,

continuar.

A velocidade vy transversal de um ponto qualquer da corda vibrante

e, por definicao:

vy =∂y

∂t=

df

dx′∂x′

∂t= −v

df

dx′ (11.9)

pois∂x′

∂t=

∂

∂t(x − vt) = −v

De maneira analoga, podemos calcular a aceleracao ay transversal

desse ponto:

ay =∂2y

∂t2=

∂

∂t(∂y

∂t) = −v

∂

∂t(df

dx′ ) = −vd

dx′ (df

dx′ )∂x′

∂t= v2 d2f

dx′2 (11.10)

Agora, derivando y(x, t) em relacao a variavel espacial x, obtemos:

∂y

∂x=

df

dx′∂x′

∂x=

df

dx′

∂2y

∂x2=

∂

∂x(∂y

∂x) =

d

dx′ (∂y

∂x)∂x′

∂x=

d2f

dx′2

(11.11)

pois∂x′

∂x= 1

Combinando a Equacao 11.10 e a segunda das Equacoes 11.11, podemos

ver que o deslocamento y(x, t) satisfaz a seguinte equacao a derivadas

parciais linear de segunda ordem:

1

v2

∂2y

∂t2− ∂2y

∂x2= 0 (11.12)

Essa equacao, muito importante na Fısica e chamada equacao de

onda em uma dimensao, contem um termo v2. Sendo assim, uma funcao

do tipo y(x, t) = g(x+vt), que descreve uma onda progressiva propagando-se

na direcao x negativa, e tambem solucao dessa equacao de onda.

Exercıcio 11.2

Voce pode explicar a afirmacao anterior?

CEDERJ 124


Como a equacao de onda 11.12 e uma equacao de segunda ordem,

sua solucao geral contem duas funcoes arbitrarias determinadas pelas

condicoes iniciais impostas ao sistema fısico. No caso do movimento de

uma corda, essas condicoes sao o deslocamento e a velocidade transversal de

cada ponto da corda no instante t = 0:

y(x, 0) = Φ(x)

∂y(x, 0)

∂t= Ψ(x)

(11.13)

onde Φ(x) e Ψ(x) sao escolhidas arbitrariamente.

A linearidade da equacao de onda e o Princıpio de Superposicao

fazem com que a funcao

y(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt) (11.14)

seja tambem uma solucao dessa equacao. Como a funcao 11.14 depende de

duas funcoes arbitrarias f e g, que descrevem ondas progressivas propagando-

se nas direcoes x positivo e negativo, respectivamente, ela e a solucao geral

da equacao de onda unidimensional.

OBSERVACAO: A forma da equacao de onda unidimensional

(Equacao 11.12) e a consequencia matematica direta da dependencia es-

pacial e temporal (x ± vt) de qualquer funcao susceptıvel de representar

uma onda que se propaga em uma dimensao.

A grandeza y(x, t), que ate agora era o deslocamento transversal de

uma corda vibrante, pode, de fato, representar qualquer grandeza fısica

propagando-se em uma dimensao como, por exemplo:

• a compressao de um grupo de espiras ao longo de uma mola (onda

longitudinal);

• o deslocamento de partıculas, as variacoes de densidade e de pressao

em um fluido dentro de um tubo (ondas sonoras longitudinais);

• os campos eletrico e magnetico em ondas eletromagneticas planas

(ondas transversais) etc.

125 CEDERJ


Equacao do movimento de uma corda vibrante

A equacao de onda unidimensional foi obtida usando-se muita Ma-

tematica e pouca Fısica, fato que a torna bastante geral e universal. Porem,A densidade linear de

massa e a quantidade de

massa por unidade de

comprimento: µ =dm

dx.

e interessante obter essa equacao a partir de argumentos fısicos, o que vamos

fazer, aplicando a Segunda Lei de Newton a um elemento dx de uma corda

uniforme (como a de um violao) distendida e submetida a forcas transver-

sais. Quando a corda encontra-se em repouso ao longo do eixo x, qualquer

ponto e submetido a duas forcas iguais em modulo e de sentidos opostos,

chamadas forcas de tensao, ou simplesmente tensoes. Seja T o modulo da

tensao e µ a densidade linear de massa da corda. Vamos agora considerar

um pequeno deslocamento da corda em um plano (x, y), como ilustrado na

Figura 11.3. O deslocamento tem de ser pequeno, de maneira a podermos

desprezar tanto o alongamento da corda como a variacao da tensao T .

Figura 11.3: Tensoes aplicadas em um elemento infinitesimal de corda.

As componentes verticais das tensoes aplicadas ao elemento infinitesi-

mal dx da corda, nos pontos x e x + dx, sao expressas por:

T sen(θ) � T tg(θ) = T∂y

∂x

pois um pequeno deslocamento implica θ � 1.

A forca vertical resultante dFy aplicada ao elmento dx e, portanto,

dFy = T∂y(x + dx, t)

∂x− T

∂y(x, t)

∂x= Tdx

∂y(x + dx, t)

∂x− ∂y(x, t)

∂xdx

ou, usando a definicao da derivada segunda,

dFy = T∂2y(x, t)

∂x2dx

CEDERJ 126


Essa forca, aplicada ao elemento de corda de massa µ dx, provoca uma

aceleracao vertical

ay =∂2y(x, t)

∂t2

A Segunda Lei de Newton, dFy = µ dx ay, fornece a equacao do movi-

mento da corda:

µ dx∂2y(x, t)

∂t2= T

∂2y(x, t)

∂x2dx

ouµ

T

∂2y(x, t)

∂t2=

∂2y(x, t)

∂x2(11.15)

Essa ultima equacao, obtida por Euler e D’Alembert, em meados doO matematico, filosofo e

homem de literatura Jean Le

Rond d’Alembert nasceu em

Paris em 1717 e morreu em

1783.

seculo XVIII, e identica a equacao de onda unidimensional (11.12), com uma

velocidade de fase

v =

√T

µ(11.16)

Exercıcio 11.3

Calcule a velocidade de fase de uma onda numa corda de massa m = 5 g,

comprimento l = 60 cm, submetida a uma tensao T = 10 N .

Potencia transportada por uma OPH

Um oscilador que produz um MHS realiza trabalho e transmite energia a

corda, que passa a oscilar. Essa energia, obviamente, nao fica armazenada em

algum ponto da corda, mas, sim, propaga-se com a onda. A forca transversal

restauradora aplicada, no ponto x, a um elemento dx da corda sob tensao T ,

e, como pode ser observado na Figura 11.3,

−T∂y(x, t)

∂x

O produto dessa forca pela velocidade transversal da corda no ponto x,

isto e, o trabalho por unidade de tempo, ou potencia instantanea, e:

P (x, t) = −T∂y(x, t)

∂x

∂y(x, t)

∂t

No caso de uma onda progressiva harmonica (OPH), como a descrita

pela Equacao (11.5), obtem-se:

P (x, t) = ωkTY 2sen2(kx − ωt + δ)

127 CEDERJ


Exercıcio 11.4


Isso mostra que a potencia instantanea propaga-se tambem ao

longo da corda, com uma velocidade igual a velocidade de fase desta (v =ω

k).

Calculando a media dessa potencia em um perıodo τ de oscilacao, obtem-se

a potencia media P da OPH, tambem chamada de Intensidade I:

I = P =1

2ωkTY 2 =

1

2µvω2Y 2 (11.17)

pois sabemos que, de acordo com as Equacoes 11.6 e 11.16,

ω = kv

T = µ v2

Exercıcio 11.5

Demonstre o resultado (11.17).

Lembre-se da definicao do valor medio de uma funcao de uma variavel

contınua e a relacao trigonometrica a seguir!

P =1

τ

∫ t+τ

tP (x, t) dt

sen2x =1

2(1 − cos2x)

Seja ∆E a energia armazenada em um elemento ∆x da corda:

∆E =∂E

∂x∆x

A potencia transportada pela onda, durante o intervalo de tempo ∆t,

e, entao,

P =∆E

∆t=

∂E

∂x

∆x

∆t= v

∂E

∂x

Portanto, a potencia media dada pela Equacao 11.17 pode ser reescrita

sob a forma

P = v∂E

∂x(11.18)

CEDERJ 128


onde∂E

∂xe a densidade linear media de energia total da onda:

∂E

∂x=

1

2µω2Y 2 (11.19)

Esse ultimo resultado pode ser encontrado como segue, lembrando que

a energia mecanica total de um sistema manifesta-se sob as formas de ener-

gias cinetica e potencial. No caso presente, a corda esticada possui energia

cinetica K, porque ela esta se movendo, e potencial U , porque ela esta de-

formada sob a acao da onda que a percorre. A energia cinetica instantanea

de translacao vertical de um elemento dx de massa µdx e

dK =1

2µdx [

∂y(x, t)

∂t]2

A densidade linear dessa energia e, portanto,

∂K

∂x=

1

2µ [

∂y(x, t)

∂t]2

Usando a Equacao 11.5, temos

[∂y(x, t)

∂t]2 = Y 2ω2 sen2(kx − ωt + δ)

Em consequencia,

∂K

∂x=

1

2µ Y 2sen2(kx − ωt + δ)

Voce conseguiu resolver o Exercıcio 11.5? Claro que sim! Entao, voce

vai poder verificar facilmente que o valor medio da densidade linear de energia

cinetica, ou densidade linear media de energia cinetica, escreve-se

∂K

∂x=

1

4µ ω2Y 2 (11.20)

Mostra-se que a densidade linear media de energia potencial e

igual a densidade linear media de energia cinetica. Esse resultado e

uma surpresa para voce? Achamos que nao, pois voce resolveu o Exercıcio

2.11 da Aula 2 do Modulo I! De qualquer maneira, vamos provar isso no caso

da nossa corda vibrante. O elemento de corda dx, quando deslocado da sua

posicao de equilıbrio situada no eixo x, e submetido, no ponto x, a uma

forca restauradora vertical Fy (ver a Figura 11.3):

Fy = −T∂y

∂x

que derive de um potencial.129 CEDERJ


Portanto, podemos escrever

dU = −∫

dFy dy

ou

∂U

∂x= −

∫∂Fy

∂xdy =

∫T

[ ∂

∂x

(∂y

∂x

)]dy = T

∫ [∂2y

∂x2

] ∂y

∂xdx

ou, ainda,

∂U

∂x= T

∫ (∂y

∂x

)d(∂y

∂x

)=

T

2

(∂y

∂x

)2

Lembrando que

y(x, t) = Y cos(kx − ωt + δ)

obtemos∂U

∂x=

1

2T k2 Y 2 sen2(kx − ωt + δ)

Usando, de novo, as dicas do ultimo exercıcio, chegamos a expressao

da densidade linear media de energia potencial:

∂U

∂x=

1

4µ ω2Y 2 (11.21)

igual, portanto, a densidade linear media de energia cinetica.

Somando essas densidades lineares medias de energia cinetica

(Equacao 11.20) e potencial (Equacao 11.21), encontramos a densidade li-

near media de energia total dada pela Equacao 11.19.

Resumo

Um pulso que se propaga sem deformacao ao longo da direcao x pode

ser descrito por uma funcao do tipo f(x ± vt), onde v e a velocidade de

fase da onda. Ondas progressivas harmonicas sao aquelas em que a funcao

f(x ± vt) e cossenoidal. Essas ondas satisfazem a equacao de onda em uma

dimensao. Finalmente, a potencia transmitida por uma onda harmonica

simples e proporcional ao quadrado do produto da frequencia angular pela

amplitude da onda.

CEDERJ 130



1. Dois fios, de comprimentos A e B, e de densidades lineares de massa

µa e µB, respectivamente, estao dispostos de acordo com a figura a

seguir. Sabendo-se que no fio A uma onda se propaga com velocidade

vA e frequencia νA, determine:

a) a massa M ;

b) a velocidade vB;

c) a frequencia νB;

d) o comprimento de onda λB;

e) se A = 2B, a condicao entre µA e µB para que o ponto de juncao

entre as cordas fique permanentemente parado e a massa M seja a

menor possıvel.

2. Mariana esta brincando com a corda que serve para secar roupas no

varal. Ela desamarra uma das extremidades da corda e faz a extre-

midade oscilar para cima e para baixo, como na EC2. Esta oscilacao e

senoidal, tem frequencia de 20 Hz, amplitude de 0,075 m e a velocidade

da onda e de 12,0 m/s. A corda do varal e muito longa, e podemos

supor que nenhuma onda seja refletida durante o intervalo de tempo

em que observamos Mariana brincar. Escolhendo o instante inicial

t = 0 como aquele no qual a extremidade na mao de Mariana possui

um deslocamento nulo e comeca a se mover para cima (y positivo),

determine as seguintes caracterısticas da onda produzida por Mariana:

a) a frequencia angular;

131 CEDERJ


b) o perıodo;

c) o comprimento de onda;

d) o numero de onda;

e) a potencia intantanea maxima;

f) a taxa de transferencia media de energia que Mariana fornece a corda.

Auto-avaliacao

Esta aula e bem mais difıcil que a anterior, nao e mesmo? Mas e assim

mesmo, algumas vezes a dificuldade e maior; o importante e nao desanimar.

Voce entendeu bem os conceitos introduzidos nesta aula? Compreendeu bem

a equacao de onda? Ela foi apresentada a voce de duas maneiras, no caso

geral e na corda vibrante. Assim, com “repeteco”, as ideias envolvidas devem

ficar mais claras. Funcionou? Muito bem, siga adiante! Ainda nao? Releia

a aula com calma e refaca os exercıcios do meio da aula e os complementares

tambem. Nao esqueca que tutores podem ajuda-lo. Ate a proxima aula!

CEDERJ 132

Ondas em uma dimensao: interferenciaMODULO 2 - AULA 12

Aula 12 – Ondas em uma dimensao:

interferencia

Meta da Aula

• Introduzir o fenomeno de interferencia.

Objetivos


• Entender o fenomeno de interferencia.

• Conhecer ondas estacionarias.

• Entender o fenomeno de batimento.

• Compreender o conceito de velocidade de grupo.

• Compreender a reflexao de ondas.

Introducao

Na Aula 1 deste modulo, voce realizou algumas experiencias caseiras

com sistemas unidimensionais de extensao finita (fileira de dominos, e

elastico submetido a oscilacoes transversais). Alem da sua propagacao, voce

observou a reflexao e a superposicao de pulsos, chegando a produzir ondas

estacionarias. Entretanto, todas as consideracoes matematicas da Aula 2

foram feitas com cordas vibrantes de comprimento infinito: ondas eram

geradas em um certo ponto e se propagavam indefinidamente, seja na direcao

x positiva ou negativa. Gracas ao Princıpio de Superposicao, sabemos

que qualquer combinacao linear de ondas que se propagam em uma corda e

uma onda que, tambem, pode caminhar nessa corda. Ao longo desta aula,

voce vai estudar alguns casos muito importantes de superposicao de ondas.

133 CEDERJ

Ondas em uma dimensao: interferencia

Superposicao de OPH de mesma frequencia

Propagacao no mesmo sentido

Sejam duas ondas progressivas harmonicas (OPH)

y1(x, t) = Y1 cos(kx − ωt + δ1) = Y1 cos(ωt + ϕ1)

y2(x, t) = Y2 cos(kx − ωt + δ2) = Y2 cos(ωt + ϕ2)

ondeϕ1 = −(kx + δ1)

ϕ2 = −(kx + δ2)

A onda resultante y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) pode ser escrita

y(x, t) = Y cos(ωt + ϕ1 + β)

com

Y 2 = Y 21 + Y 2

2 + 2Y1Y2 cos(ϕ2 − ϕ1) = Y 21 + Y 2

2 + 2Y1Y2 cos(δ2 − δ1)

senβ =Y2

Ysen(ϕ2 − ϕ1) = −Y2

Ysen(δ2 − δ1)

(12.1)

Exercıcio 12.1

Demonstre os resultados anteriores.

Refresque sua memoria e consulte o Exercıcio 5.2 da Aula 5 do

Modulo I.

Voce se lembra da Equacao 11.17, que define a intensidade da onda

e mostra que essa intensidade e proporcional ao quadrado da sua ampli-

tude? Pois bem, sendo assim e levando em consideracao que as OPH y1(x, t)

e y2(x, t) possuem a mesma frequencia angular ω, e trivial mostrar, usando

a primeira das Equacoes 12.1, que:

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos(δ2 − δ1) (12.2)

onde I e a intensidade da OPH resultante, e I1 e I2 sao as intensidades

das OPHs componentes.

CEDERJ 134


Exercıcio 12.2

Mostre que

para interferencia construtiva (δ2 − δ1 = 2nπ ; n = 0,±1,±2, · · · )

- a intensidade da resultante e Imax = (√

I1 +√

I2)2, e que

para interferencia destrutiva (δ2 − δ1 = (2n + 1)π ; n = 0,±1,±2, · · · )

- essa intensidade e Imin = (√

I1 −√

I2)2

Faca um grafico de I como funcao da diferenca de fase δ2 − δ1 entre as

OPH componentes.

EC6- Ondas na praia

Para falar a verdade, a experiencia proposta aqui nao e uma experiencia

“caseira”! Trata-se, se for possıvel, de observar ondas chegando na

areia de uma praia, antes de elas arrebentarem. Essas ondas podem,

em primeira aproximacao, ser consideradas como ondas progressivas trans-

versais propagando-se em uma dimensao na agua do mar. Com um pouco de

paciencia, voce vai notar que, em intervalos de tempo bastante regulares, uma

serie de ondas de maior amplitude aparece. Da mesma maneira e com pe-

riodicidade parecida, ocorrem momentos de calmaria com ondas de pequena

amplitude. Essa alternancia, a primeira vista um pouco surpreendente, e sim-

plesmente uma manifestacao experimental da superposicao de ondas progres-

sivas de mesma frequencia propagando-se no mesmo sentido: se a diferenca

de fase entre as ondas componentes varia de maneira periodica, a ampli-

tude das ondas resultantes passa alternadamente por maximos e mınimos,

de acordo com a Equacao 12.1 e os resultados do ultimo exercıcio proposto

nesta aula. Os surfistas aproveitam esse fenomeno para descansar um pouco

e esperar a chegada de uma serie de ondas boas!

135 CEDERJ


Propagacao em sentidos opostos

Consideramos, agora, a corda vibrante percorrida por duas ondas pro-

gressivas harmonicas (OPH), de mesma amplitude I e de constantes de fase

δ2 = δ1 = 0, propagando-se em sentidos opostos:

y1(x, t) = Y cos(kx − ωt)

y2(x, t) = Y cos(kx + ωt)

E trivial mostrar que a onda resultante e descrita pela equacao

y(x, t) = 2Y cos(kx) cos(ωt) (12.3)

Exercıcio 12.3


Essa onda resultante nao se propaga e, por este motivo, e chamada

de onda estacionaria, aquela mesma que voce produziu e observou durante

sua experiencia caseira EC5. Examinando, na Figura 12.1, o perfil da corda

representado pela Equacao 12.3 em diversos instantes ti, voce pode se con-

vencer de que nao existe propagacao: todos os pontos se deslocam somente

na direcao vertical.

Figura 12.1: Perfis transversais de uma corda presa nas suas extremidades em 8instantes de tempo diferentes. As escalas sao arbitrarias.

CEDERJ 136


Exercıcio 12.4

Na Figura 12.1, sendo τ o perıodo das OPHs,

• qual o perfil da corda nos instantes t =τ

4, t =

5τ

8e t = τ ?

• onde estao os nodos e os antinodos da onda estacionaria?

EP5 - Ondas estacionarias transversais em uma corda vibrante

Fieis ao nosso princıpio de alternancia “teoria-experiencia”, sugerimos

uma visita ao seu polo para produzir, observar e analisar ondas estacionarias

transversais em uma corda vibrante. A primeira tarefa consiste em montar

seu arranjo experimental, com a ajuda de seu tutor. Voce vai precisar de um

gerador de onda senoidal, de um alto-falante, de cordas de nailon de varios

diametros, de um dinamometro e ... de paciencia. Por que tudo isso?

O gerador produz um MHS de voltagem cujas amplitude e frequencia

podem ser ajustadas. Este MHS “eletrico” e transformado em oscilacao

harmonica simples vertical pela membrana do alto-falante. A extremidade

da corda de nailon, presa no gancho solidario da membrana do alto-falante,

e assim submetida a oscilacoes harmonicas simples. A corda, de compri-

mento L, massa linear µ e sob tensao T medida pelo dinamometro, e entao

percorrida por uma OPH que sofre multiplas reflexoes nas suas extremida-

des (materializadas pelo ponto de tangencia entre a corda e a roldana e pela

ponta presa no gancho), provocando, assim, ondas tranversais verticais que,

em geral, sao caoticas.

Observacao: O papel do conjunto gerador-alto-falante e o mesmo que

o da sua mao durante as experiencias EC4 e EC5. Voce se lembra de como

era difıcil obter e manter uma onda estacionaria no elastico?

137 CEDERJ


A Figura 12.2 ilustra o princıpio da sua experiencia.

Figura 12.2: Esquema de montagem da EP2.

E agora? Aı entra a paciencia do experimentador! Regule o gerador

de maneira a obter um sinal eletrico de amplitude maxima e de frequencia

mınima: isto se traduz por um som alto e grave. Aumente muito lenta-

mente a frequencia, observando sua corda lateralmente. Para uma certa

frequencia νn, aparecera uma onda estacionaria, com n ventres (ou anti-

nodos) e consequentemente n + 1 nodos. Anote esses valores e continue

aumentando muito lentamente a frequencia, ate obter uma nova onda es-

tacionaria com n + 1 ventres para uma frequencia νn+1 . Tente obter, pelo

menos, 4 ondas estacionarias diferentes e, de posse das medidas, construa a

tabela de dados a seguir:

n

νn (s−1)

ν2n (s−2)

ν2n

n2(s−2)

CEDERJ 138


Duas perguntas surgem:

- o que fazer com esses dados?

- os valores numericos da ultima linha da sua tabela sao iguais, dentro

das incertezas experimentais?

Vamos ver que a resposta a ultima pergunta deve ser “sim” e explicar

por que!

As ondas estacionarias que voce acaba de observar sugerem que a

relacao entre os comprimentos de onda λn e o comprimento L da corda

de nailon e dada pela Equacao 10.1, ou seja,

L = nλn

2

Voce se lembra de que a experiencia caseira EC5 ja lhe sugeriu isto?

Otimo, podemos entao continuar! Combinando as Equacoes 11.6 e 11.7,

mostra-se facilmente a relacao entre comprimentos de onda λn, velocidade

de fase v e frequencias νn:

λn =v

νn

Usando as duas equacoes anteriores, temos

L =n

2

v

νn

Mas sabemos que (ver a Equacao 11.16)

v =

√T

µ

Portanto, podemos escrever

ζn ≡ ν2n

n2=

1

4L2

T

µ≡ η (12.4)

Usando uma balanca de precisao, voce pode medir a massa de um

comprimento arbitrario de fio de nailon de mesmo diametro que aquele

usado para observar as ondas estacionarias e obter, assim, sua massa linear

µ. Agora, tendo medido L com uma trena e T com o dinamometro, voce

pode calcular o valor η do segundo membro da Equacao 12.4 (atencao as

unidades!) e seu desvio padrao ση, dado pela equacao a seguir, desprezando

a incerteza sobre a massa linear µ:

ση =1

4µ

T

L2

√σ2

T

T 2+ 4

σ2L

L2

139 CEDERJ


Exercıcio 12.5

Com ou sem a ajuda da Tabela 1 da apostila Topicos de tratamento de

dados experimentais, demonstre a equacao anterior.

Se voce observou 4 ondas estacionarias diferentes, o valor medio de

conjuto ζ das suas medidas (ζn)i=1,4 e dado por

ζ =1

4

4∑i=1

(ζn)i

e o desvio padrao de conjunto, de acordo com a Equacao 6 da apostila

Topicos de tratamento de dados experimentais, por

σζ =1

3

4∑i=1

(ζn)2i − 4

3(ζ)2

Observacao: Cuidado para nao confundir o numero n de antino-

dos das ondas estacionarias com o ındice i , que identifica cada uma

dessas ondas!

Agora, voce tem tudo para discutir a compatibilidade entre ζ e η e

afirmar que suas medidas estao de acordo com a Equacao 12.4.

Voce esta curtindo o ambiente do laboratorio? Esperamos que sim, ja

que voce vai refazer a mesma experiencia usando um fio de nailon de diametro

diferente! Bom trabalho!

Se tudo correu bem, suas experiencias foram um sucesso, pois voce

produziu e observou ondas estacionarias transversais e entendeu a fısica que

esta por tras das suas observacoes. Parabens! Se nao, nao desanime! Refaca

sua experiencia e lembre-se de que voce pode pedir ajuda a seu tutor.

EP6 - Ondas estacionarias longitudinais em uma mola

Ja que voce gosta de aprender realizando experiencias, sugerimos uma

outra pratica com ondas estacionarias, agora longitudinais. Basta, no seu

arranjo anterior, trocar o fio de nailon por uma mola, como indicado na

Figura 12.3.

CEDERJ 140


Figura 12.3: Esquema de montagem da experiencia EP3. O parafuso bloqueador deveser apertado apos a medida da tensao da mola e antes de ligar o gerador de audio.

O procedimento experimental e o mesmo que o recomendado na ex-

periencia EP5 anterior. Se tudo der certo, voce deve observar n + 1 nodos

de compressao da mola, materializados por espiras imoveis, e separados

por n conjuntos de espiras vibrando, cada uma em torno do seu ponto de

equilıbrio. Os n antinodos encontram-se na posicao da espira cuja amplitude

de vibracao e maxima. Essas ondas estacionarias de compressao resultam da

superposicao de OPHs de compressao longitudinal que se propagam na mola

e se refletem nas suas duas extremidades fixas. A matematica que des-

creve essas ondas e a mesma que a das ondas transversais, sendo que, agora,

u(x, t) e o deslocamento longitudinal de uma espira. Na Figura 12.4,

nota-se que as espiras que estao nas posicoes x e x + ∆x, no instante t,

encontram-se nas posicoes x + u(x, t) e (x + ∆x) + u(x + ∆x, t), apos o

deslocamento.

141 CEDERJ


Figura 12.4: Deslocamento longitudinal de duas espiras de uma mola.

Observacao: Para evitar qualquer confusao, e preferıvel reservar a

notacao u(x, t) para ondas longitudinais e y(x, t) para ondas trans-

versais.

Repita passo a passo, com a mola, o que voce fez com o fio de nailon

na experiencia EP2: produza e observe ondas estacionarias de deslocamento

longitudinal, adquira e trate seus dados experimentais e ... verifique que esses

dados sao compatıveis com a Equacao 12.4, isto e, que essa equacao traduz

o comportamento de ondas estacionarias transversais ou longitudinais.

Exercıcio 12.6

Faca um relatorio claro e objetivo das experiencias EP2 e EP3.

Superposicao de OPH de frequencias diferentes:

Batimentos

Voce se lembra da Aula 5 do Modulo I e, mais particularmente, da

materia sobre batimentos? Pois bem, sendo assim, voce vai poder acom-

panhar o que segue sem nenhuma dificuldade! Sejam, entao, duas OPHs

propagando-se numa corda vibrante, no mesmo sentido, mas com frequen-

cias ligeiramente diferentes. Para simplificar o lado “matematico” da sua

vida, vamos supor que as amplitudes das ondas sejam iguais e que as cons-

CEDERJ 142


tantes de fase sejam nulas:

y1(x, t) = Y cos(k1x − ω1t)

y2(x, t) = Y cos(k2x − ω2t)

Assumindo que,

∆ω = ω2 − ω1 � ω =1

2(ω2 + ω1)

∆k = k2 − k1 � k =1

2(k2 + k1)

e aplicando as relacoes trigonometricas ja utilizadas no estudo dos batimentos

obtidos pela superposicao de MHS paralelos (Aula 5), chegamos rapidamente

ao seguinte resultado:

y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = Ξ(x, t) cos(kx − ωt) (12.5)

onde

Ξ(x, t) = 2Y cos(∆k

2x − ∆ω

2t)

(12.6)

Exercıcio 12.7


O que as Equacoes 12.5 e 12.6 ensinam? Em primeiro lugar, que a

onda representada pela funcao y(x, t) oscila no tempo com uma frequencia

ω e que sua amplitude Ξ(x, t) oscila tambem no tempo, mas com uma

frequencia ∆ω/2 muito mais baixa. Em segundo, que existem duas

propagacoes simultaneas: a da onda resultante y(x, t), com velocidade de

fase

v =ω

k(12.7)

e a da sua envoltoria Ξ(x, t) , com velocidade de grupo

vg =∆ω

∆k(12.8)

que pode ser aproximada por

vg ≈ dω

dk(12.9)

143 CEDERJ


O ponto A da onda resultante y(x, t), de abscissa xA no instante t0

na Figura 12.5a, aparece em A′ no instante posterior t0+∆t (Figura 12.5b),

na posicao xA + v ∆t. Durante o mesmo intervalo de tempo, um ponto B

da envoltoria no instante t0 (Figura 12.5a) percorre a distancia vg ∆t e

encontre-se em B′ (Figura 12.5b).

Figura 12.5: Onda resultante y(x, t) e sua envoltoria Ξ(x, t) em dois instantes detempo diferentes. As escalas sao arbitrarias.

Em uma corda vibrante homogenea, de massa linear µ e submetida

a uma tensao T , sabemos que a velocidade de fase v de qualquer OPH e

constante (ver a Equacao 11.16):

v =

√T

µ

Portanto, usando a definicao dessa velocidade (11.8), temos

ω1

k1=

ω2

k2=

ω

k

CEDERJ 144


ou seja, as OPH que provocam o batimento e a onda resultante y(x, t)

viajam na direcao x positiva com a mesma velocidade de fase.

Exercıcio 12.8


Outrossim, a partir da definicao da velocidade de grupo (Equacao 12.8),

e facil provar que

vg = v

isto e, que no caso particular de batimentos em uma corda vibrante ho-

mogenea, as velocidades de fase e de grupo sao iguais. Conclusao: Todo

mundo viaja junto!

Exercıcio 12.9

Voce sabe demonstrar esse ultimo resultado?

As OPH componentes que se superpoem formam uma especie de pa-

cote ou grupo contido entre os nodos da envoltoria Ξ(x, t), o que justi-

fica o nome de velocidade de grupo dado a velocidade de propagacao

dessa envoltoria.

Como as variacoes espacial e temporal da amplitude da onda resul-

tante y(x, t) sao expressas pela funcao Ξ(x, t), a velocidade de grupo pode,

tambem, ser chamada de velocidade de propagacao da amplitude da

onda resultante.

Finalmente, lembrando que a energia de uma onda e proporcional ao

quadrado da sua amplitude, voce pode entender por que a velocidade de

propagacao da energia e a velocidade de grupo e nao a de fase.

As Figuras 12.5a e 12.5b ilustram as explicacoes e as equacoes desta

seccao, no caso particular de velocidades de fase e de grupo iguais.

145 CEDERJ


Observacao: No caso mais geral de meios definidos como dispersivos, a

velocidade de fase nao e constante, mas, sim, funcao do comprimento de

onda (isto e, do numero de onda). Nesse caso,

ω = kv(k)

e temos, usando a Equacao 12.9,

vg = v(k) + kdv

dk(12.10)

o que mostra que, nesses meios, a velocidade de grupo e diferente da

velocidade de fase.

O fenomeno de dispersao e muito importante com ondas de luz (isto e,

ondas eletromagneticas), propagando-se em um meio material: como a cor

da luz e determinada pelo comprimento de onda da radiacao, observa-se

que, em um meio material dispersivo, a velocidade de fase varia com essa

cor e que, em consequencia, a velocidade de grupo e diferente da velocidade

de fase.

A Figura 12.6 permite deduzir a Equacao 12.10 de maneira simples.

Sejam duas OPHs de comprimentos de onda pouco diferentes λ1 e

λ2 = λ1 +dλ1, propagando-se na direcao x positiva com velocidades de fase

v1 e v2 = v1 + dv1. Suponhamos que, no instante t0, os antinodos M1 e

M2 estejam na mesma posicao x0. Obviamente, essa coincidencia espacial

nao ocorrera num instante posterior qualquer t0 + ∆t! Entretanto, podemos

escolher o intervalo de tempo θ de maneira a obter, no instante t0 + θ, uma

coincidencia espacial entre os antinodos N′1 e N

′2.

O antinodo M da envoltoria (ou maximo de amplitude da OPH

resultamte), com velocidade de grupo vg e que se encontrava em x0

no instante t0, esta em N′

na posicao x0 + ∆x no instante t0 + θ. O

mesmo ponto M , considerado agora como ponto da OPH resultante, com

velocidade de fase v, encontra-se em M′

no instante t0 + θ.

CEDERJ 146


Figura 12.6: Perfis das ondas componentes (y1 e y2), de sua resultante (y) e envoltoria(Ξ) em um meio dispersivo. (a) Perfil em t = t0 e (b) em t = t0 + θ, onde θ e determinadopela Equacao 12.11. As unidades sao arbitrarias.

Observando cuidadosamente a Figura 12.6, podemos deduzir que

vgθ = v1θ − λ1 = v2θ − λ2

147 CEDERJ


Usando as equacoes anteriores, obtem-se facilmente o valor de θ:

θ =λ2 − λ1

v2 − v1(12.11)

e portanto da velocidade de grupo:

vg = v1 − λ1v2 − v1

λ2 − λ1

= v1 − λ1∆v

∆λ

Tomando o limite ∆λ → 0, a ultima equacao pode ser reescrita sob a

forma

vg = v − λdv

dλ(12.12)

que e identica a Equacao (12.10). Isto parece estranho? Claro que nao, uma

vez resolvido o exercıcio a seguir!

Exercıcio 12.10

Mostre que as Equacoes 12.10 e 12.12 sao identicas.

Lembre que k =2π

λ!

Sedv

dλfor positiva, a velocidade de fase v da onda resultante y(x, t) e

maior que a velocidade de grupo da envoltoria Ξ(x, t). Neste caso, as ondas

que compoem o grupo avancam com uma velocidade v de fase maior que a

velocidade vg do grupo (ver a Equacao 12.12). Voce pode observar este

fenomeno realizando a experiencia a seguir.

EC7 - Uma pedra na agua

Tente encontrar uma area de, pelos menos, alguns metros quadrados de

agua calma e jogue uma pequena pedra nesse laguinho. Voce vai observar

a formacao de um trem de ondas circulares bi-dimensionais na superfıcie

da agua-trem que se propaga com uma velocidade de grupo menor que a

velocidade de fase das ondas individuais que o compoem. Nao fique assus-

tado com essas ondas em duas dimensoes que nao sao nem longitudinais

nem transversais; elas serao estudadas em disciplinas mais avancadas no

seu curso de Fısica. O importante aqui e poder entender experimentalmente

o significado de velocidades de fase e de grupo!

CEDERJ 148


Um fenomeno semelhante ocorre quando um barco avanca na agua

calma de um lago ou de um rio, criando um trem de ondas em forma de

V: tais ondas sao muito mais parecidas com as ondas unidimensionais, que

voce conhece bem.

Durante suas experiencias EC4 e EP4, voce observou as reflexoes de

ondas progressivas transversais ou longitudinais, mas, ate agora, sem se pre-

ocupar em analisar o que acontecia nos pontos de reflexao. Essa “falha” vai

ser corrigida a seguir.

Reflexao de ondas transversais em uma dimensao

Consideramos um pulso transversal propagando-se em um corda vi-

brante de dimensao finita na direcao x negativa e representado pela funcao

y(x, t) = g(x + vt)

de acordo com a Equacao 11.3.

Vamos examinar o que acontece quando este pulso atinge a extremidade

da corda em duas situacoes possıveis: presa ou livre.

Extremidade presa

Assumimos que a extremidade presa esta localizada no ponto x = 0.

Esta condicao de contorno, em qualquer instante, e expressa por

y(0, t) = 0

Sabemos, desde a Aula 2, que a equacao de onda 11.12 e uma equacao

de segunda ordem e que, portanto, sua solucao geral (Equacao 11.14)Equacao de onda:1

v2

∂2y

∂t2− ∂2y

∂x2= 0contem duas funcoes arbitrarias. O caso presente nao escapa dessa regra

e a funcao de onda

y(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt)

satisfaz, qualquer que seja o instante t, a condicao de contorno

f(−vt) + g(vt) = 0

Portanto, a funcao f(α) , onde α e uma variavel qualquer, e univo-

camente determinada:

f(α) = −g(−α)

149 CEDERJ


Assim, nosso pulso e representado por

y(x, t) = −g(vt − x) + g(x + vt) (12.13)

Como interpretar este resultado? De maneira muito simples, como

ilustrada na Figura 12.7, a seguir.

• Antes de ocorrer a reflexao em x = 0 (Figura 12.7a), o segundo

termo representa o pulso incidente real situado na parte positiva

do eixo x propagando-se na direcao x negativa; o primeiro termo,

um pulso virtual invertido situado na parte negativa do eixo x

propagando-se na direcao x positiva.

• Apos a reflexao (Figura 12.7c), os papeis se invertem e, enquanto o

segundo termo passa a representar um pulso virtual situado na parte

negativa do eixo x propagando-se na direcao x negativa, o pri-

meiro termo representa o pulso refletido, real e invertido, situado

na parte positiva do eixo x propagando-se na direcao x positiva.

• Durante a reflexao (Figura 12.7b), a parte AM do pulso incidente

passa a ser virtual e, portanto, sem sentido fısico, e a parte M′A

′do

pulso refletido torna-se real, isto e, com sentido fısico. Mas, cuidado,

pois a parte MQPB do pulso incidente e a parte M′A

′do pulso

refletido nao representam o movimento real. Este movimento real e

dado pela superposicao descrita pela Equacao 12.13 e ilustrada pela

parte OQPB da Figura 12.7b.

CEDERJ 150


Figura 12.7: Reflexao de um pulso em uma extremidade presa. Perfil da corda, antes(a), durante (b), e depois (c) da reflexao no ponto fixo O.

Podemos concluir que a reflexao em uma extremidade fixa provoca

uma defasagem de 180 graus, pois eiπ = −1 .

O que acontece quando a extremidade esta livre? Vamos estudar

isto agora.

Extremidade livre

Quando a extremidade esta livre, a tensao neste ponto nao pode ter

nenhuma componente Ty na direcao y perpendicular a direcao x da

corda em repouso, o que traduzimos pela nova condicao de contorno

−T∂y(0, t)

∂x= 0

Exercıcio 12.11

Voce pode justificar o sinal de menos na equacao anterior?

151 CEDERJ


Aplicando essa condicao a solucao geral (Equacao 11.14), obtemos, em

qualquer instante t,

∂f(x − vt)

∂x

∣∣∣x=0

+∂g(x + vt)

∂x

∣∣∣x=0

= 0

Essa relacao e satisfeita, desde que

f(x − vt) = g(−x + vt)

Exercıcio 12.12

Demonstre o resultado acima.

e a forma geral de pulso torna-se, assim,

y(x, t) = g(vt − x) + g(x + vt) (12.14)

Isso mostra que, quando ocorre uma reflexao numa extremidade li-

vre, um pulso se reflete sem sofrer inversao, isto e, sem mudanca de fase.

A Figura 12.8 ilustra uma reflexao de um pulso tranversal na extremidade

livre de uma corda.

Exercıcio 12.13

Observe atentamente a Figura 12.8 e

• indique qual parte do eixo x corresponde ao mundo fısico real;

• identifique, com letras, o perfil do pulso real durante a reflexao (Fi-

gura 12.8b).

Dica: Inspire-se na analise da Figura 12.7.

CEDERJ 152


Figura 12.8: Reflexao de um pulso em uma extremidade livre. Perfil da corda, antes(a), durante (b) e depois (c) da reflexao na extremidade livre.

Modos normais de vibracao

A formacao de ondas estacionarias em uma corda vibrante de compri-

mento L presa nas suas extremidades pode ser descrita por OPHs refletindo-

se nessas extremidades. Pode-se, tambem, usar um formalismo alternativo,

o dos modos normais de vibracao, descrito a seguir.

O que define um modo normal de vibracao yn(x, t) e o fato de que todos

os pontos da corda oscilam de maneira unica, a dependencia temporal da

oscilacao sendo, por exemplo, do tipo cos(ωt + δ). A dependencia espacial,

ou amplitude de oscilacao de cada ponto, e uma funcao Yn(x) caracterıstica

do modo de vibracao identificado pelo ındice n.

Estamos com meio caminho andado e so falta descobrir a forma das

funcoes Yn(x), o que faremos usando as condicoes de contorno

y(0, t) = y(L, t) = 0 (12.15)

validas em qualquer instante t.

153 CEDERJ


Tratando-se de ondas estacionarias, a funcao

yn(x, t) = Yn(x) cos(ωt + δ)

deve ser solucao da equacao de ondas (11.12).

Portanto, sendo a velocidade de fase da onda resultante yn(x, t) igual

a v, temos,

d2Yn(x)

dx2+ k2 Yn(x) = 0 com k =

ω

v

Exercıcio 12.14


Sabe-se (Se voce nao souber, de uma olhada no seu curso de Ma-E claro que voce sabe! Pois

usou esta solucao geral para

resolver os exercıcios

complementares da Aula 6

do Modulo 1, lembra?

tematica sobre equacoes diferenciais lineares de segunda ordem) que a solucao

geral desta ultima equacao pode ser escrita

Yn(x) = αn cos(kx) + βn sen(kx)

Usando a primeira das condicoes de contorno (12.15), e imediato ver

que

Yn(x = 0) = αn = 0

Portanto,

Yn(x) = βn sen(kx)

e a segunda condicao de contorno conduz a

Yn(L) = βn sen(kL) = 0

Descartando a solucao trivial e sem interesse, βn = 0, pode-se dizer,

entao, que

kL = nπ com n = 1, 2, 3, 4, ...

Assim, descobrimos por que o ındice n foi introduzido a priori, sem

razao aparente!

O numero de onda k so pode ter valores definidos pela relacao

kn =nπ

L

CEDERJ 154


e o modo normal de vibracao de ordem n e descrito pela equacao

yn(x, t) = βn sen(nπ

Lx)

cos(nπ

Lvt + δn

)com n = 1, 2, 3, 4, ...

(12.16)

As constantes de fase δn sao arbitrarias.

Concluindo, podemos afirmar que os unicos modos possıveis de os-

cilacao de uma corda vibrante de comprimento L , massa linear µ , sob tensao

T e presa nas suas extremidades, sao os descritos pela Equacao 12.16. Os

comprimento de onda e frequencia possıveis sao

λn =2L

n

νn =n

2L

√T

µ

(12.17)

Exercıcio 12.15

Demonstre as Equacoes 12.17.

O modo fundamental e caracterizado por n = 1 e os outros modos

sao chamados modos harmonicos de ordem n .

O perıodo do modo fundamental e, portanto,

τ1 =1

ν1

=2L

v(12.18)

Observacao: E importante notar que os modos normais unidi-

mensionais que aparecem no caso particular de uma corda vi-

brante presa nas suas extremidades sao, de fato, caracterısticos

de ondas de qualquer tipo (transversal ou longitudinal), confi-

nadas em uma regiao limitada do espaco tridimensional. Um

domınio muito importante de aplicacao dos modos normais e o

dos instrumentos musicais.

155 CEDERJ


Resumo

Ondas harmonicas simples que se propagam em sentidos opostos podem

dar origem a ondas estacionarias. Estas ondas estacionarias foram produzi-

das em uma corda vibrante e em uma mola, em experimentos no polo. A

superposicao de ondas de frequencias diferentes, mas proximas, dao origem

ao fenomeno de batimentos. Modos normais de vibracao permitem descrever,

de maneira alternativa, a reflexao de ondas.


1. Colocamos um amplificador ligado a dois alto-falantes que emitem on-

das senoidais em fase. Um dos alto-falantes esta a 1 m a direita do

amplificador e o outro a 2 m a esquerda. Na frente do amplificador, a

distancia de 4 m, colocamos um detector. Sabendo que a velocidade

do som e de 350 m/s, determine:

a) Para que frequencias ocorre interferencia destrutiva no detector?

b) Para que frequencias ocorre interferencia construtiva no detector?

2. Uma corda ligada a um alto-falante que vibra com frequencia de 20

Hz passa por uma polia e tem, em sua extremidade, um bloco, como

mostra a figura a seguir. A densidade da corda e 7, 6 × 10−3 kg/m e o

comprimento , do alto-falante ate a roldana, e 6 m.

a) Qual deve ser a massa do bloco, para que haja ressonancia, sabendo-

se que nao existe nenhum nodo entre a roldana e o gancho?

b) Qual deve ser a massa, para que existam 2 nodos entre a roldana e

o gancho?

CEDERJ 156


Auto-avaliacao

Voce deve estar mareado, depois de tanto tempo passado em cima de

ondas! Pois bem, chegou a hora de descansar um pouco e fazer uma auto-

avaliacao. O que voce achou desta aula? Achou tudo muito facil? Nem

tanto? Se voce conseguiu fazer todos os exercıcios do meio da aula e acom-

panhou todos os pontos abordados, esta pronto para seguir adiante. Se teve

dificuldades, refaca, com muita paciencia e disposicao, todo o caminho que

o trara de volta a esta mesma auto-avaliacao. Em seguida, na proxima aula,

voce entendera por que demos tanta importancia as ondas harmonicas.

Ate breve!

157 CEDERJ

Analise de FourierMODULO 2 - AULA 13

Aula 13 – Analise de Fourier

Meta da aula

• Introduzir a analise de Fourier.

Objetivos


• Aplicar o princıpio de superposicao.

• Descobrir a simplicidade de ondas complicadas.

Introducao

Ate agora, estudamos e combinamos ondas harmonicas representadas

pelas funcoes seno ou cosseno, como se tudo na Natureza fosse senoidal,

o que, obviamente, nao e o caso. Entao, por que essa fixacao por esse tipo

de funcoes? A resposta esta vindo aı, e podemos agradecer ao princıpio

de superposicao e ao matematico frances Joseph Fourier, que mostrou,O barao Jean Baptiste

Joseph Fourrier nasceu em

1768, na Franca. Alem de

estabelecer a analise de

Fourier, deu importantes

contribuicoes ao estudo da

difusao de calor. Morreu em

Paris, em 1830.

em 1807, que qualquer (ou quase!) funcao y(x) pode ser expandida em uma

serie infinita trigonometrica, chamada hoje Serie de Fourier, sob a condicao

obvia de que a serie seja uma serie convergente. Que sorte!

Serie de Fourier

Fourier mostrou que uma funcao f(x) que possui um numero finito

de descontinuidades, de maximos e de mınimos em um intervalo [0, X], pode

ser expressa, neste intervalo, sob a forma da serie infinita

f(x) = b0 +

∞∑n=1

(an sen(n�x) + bn cos(n�x) ) (13.1)

onde � =2π

X.

159 CEDERJ

Analise de Fourier

Os coeficientes ai e bi sao dados pelas expressoes

b0 =1

X

∫ X

0f(x)dx

bn =2

X

∫ X

0f(x) cos(n�x)dx

an =2

X

∫ X

0f(x) sen(n�x)dx

(13.2)

Observa-se que o coeficiente b0 e o valor medio da funcao f(x) no

intervalo [0, X].

Exercıcio 13.1

Sera que J. Fourier, ou a gente, esqueceu de fornecer a expressao de a0?

Justifique sua resposta.

Perfeito; mas o que o senhor Fourier tem a ver com a propagacao de

ondas? Vamos ver que tem tudo a ver!

De fato, voce deve lembrar que os modos normais de vibracao de uma

corda de comprimento L presa nas suas extremidades sao descritos pelas

Equacoes 12.16

yn(x, t) = βn sen(nπ

Lx)

cos(nπ

Lvt + δn

)com n = 1, 2, 3, 4, ...

(13.3)

que dependem de constantes arbitrarias βn e δn (se voce esqueceu isso, de

uma olhada na aula anterior).

O Princıpio de Superposicao nos ensina que qualquer combinacao

linear dessas solucoes e tambem uma solucao da equacao de ondas, o que

significa que a superposicao de modos normais e tambem um modo normal.

Assim, podemos concluir que o movimento mais geral de uma corda vibrante

e representado pela superposicao de uma infinidade de modos normais,

ou seja,

y(x, t) =

∞∑n=1

βn sen(nπ

Lx)

cos(nπ

Lvt + δn

)(13.4)

CEDERJ 160


As condicoes iniciais deste movimento (Equacoes 11.13) escrevem-se,

no intervalo 0 ≤ x ≤ L:

y(x, 0) = Φ(x) =

∞∑n=1

βn cos(δn) sen(nπ

Lx)

∂y(x, 0)

∂t= Ψ(x) = −

∞∑n=1

βnnπ

Lv sen(δn) sen(

nπ

Lx)

(13.5)

e permitem determinar as constantes βn e δn como segue.

Exercıcio 13.2

Demonstre os resultados anteriores.

Observe atentamente as condicoes iniciais (13.5) e compare-as a ex-

pressao geral da Serie de Fourier (13.1), em que X pode ser substituıdo por

2L. Voce concorda que essas condicoes sao Series de Fourier com coefici-

entes do tipo an (ver as Equacoes 13.2)? Otimo, assim voce pode obter

rapidamente, por identificacao, as expressoes a seguir:

βn cos(δn) =2

L

∫ L

0Φ(x) sen(

nπ

Lx) dx

−βnnπ

Lv sen(δn) =

2

L

∫ L

0Ψ(x) sen(

nπ

Lx) dx

(13.6)

e determinar, assim, todas as constantes βn e δn.

Exercıcio 13.3

Usando as Expressoes 13.5 mostre que, de fato,

Φ(x) =1

2L

∫ 2L

0Φ(x)dx = 0

Ψ(x) =1

2L

∫ 2L

0Ψ(x)dx = 0

(13.7)

161 CEDERJ

Analise de Fourier

Podemos tambem estudar a dependencia temporal do movimento ge-

ral de um ponto particular de abscissa x = x0. A Equacao 13.4 pode ser

reescrita sob a forma:

y(x0, t) =

∞∑n=1

βn sen(nπ

Lx0

)cos

(nπ

Lvt + δn

)

ou ainda,

y(x0, t) =

∞∑n=1

Ξn(x0) cos(ωnt + δn) (13.8)

com

Ξn(x0) = βn sen(nπ

Lx0

)e ωn = 2πνn =

nπ

Lv (13.9)

Voce lembra que o domınio espacial da funcao y(x0, t) , cuja expressao

e dada pela Serie de Fourier (13.8) e considerada como funcao da coordenada

espacial x0, e finito e definido pelo intervalo 0 ≤ x0 ≤ L, ou seja, pelo com-

primento L da corda? Pois bem! Agora, dois fatos merecem atencao. Em

primeiro lugar, o domınio temporal da funcao y(x0, t) , considerada agora

como funcao do tempo, e infinito. Outrossim, essa funcao e periodica,

com perıodo temporal igual ao perıodo τ1 do modo normal fundamental

de vibracao da corda. Surpreendente ... porem verdadeiro, pois, usando

τ1 =1

ν1=

2L

v

a equacao para o perıodo fundamental τ1 e a segunda das Equacoes 12.17,

podemos escrever

2πνn(t + τ1) = 2πνnt + 2πνn

ν1

= 2πνnt + 2π n

o que prova que τ1 e o perıodo comum a todos os modos normais

de vibracao.

Observacao: Cuidado! O fato de τ1 ser comum a todos os modos normais

de vibracao nao significa que todos os modos de vibracao possuem o mesmo

perıodo, mas somente que o perıodo do movimento geral da corda e igual

ao perıodo do modo normal fundamental.

Essa periodicidade temporal pode ser prevista com o auxılio da Trigo-

nometria! De fato, podemos escrever a Equacao 13.8 sob a forma

y(x, t) =1

2

∞∑n=1

βn sen[kn(x − vt) − δn] + sen[kn(x + vt) + δn] (13.10)

onde o numero de onda kn e, como vimos na aula anterior, por definicao,

dado por

kn =nπ

L

CEDERJ 162


Exercıcio 13.4

Demonstre a Equacao 13.10.

Assim, vemos que cada modo de vibracao resulta da superposicao de

ondas progressivas harmonicas (OPH) propagando-se em sentidos opostos.

Sabemos que ocorrem reflexoes com inversao de sinal em cada extremidade

da corda. Portanto, apos duas reflexoes, encontramos de novo as OPHs

originais propagando-se no mesmo sentido, isto e, observamos uma situacao

identica a situcao inicial.

Podemos escrever de maneira simbolica que, antes de qualquer

reflexao,

y(x, t0) = OPH2(−) + OPH1(+)

apos o primeiro par de reflexoes,

y(x, t1) = −OPH2(+) − OPH1(−)

e apos o segundo par de reflexoes,

y(x, t2) = OPH2(−) + OPH1(+)

Complicado? A Figura 13.1 vai ajudar a entender tudo isso mais facil-

mente.

Dois pulsos transversais produzidos, no instante t = 0, no meio de uma

corda de comprimento L, propagam-se com uma velocidade v em direcao

as extremidades A e B fixas.

Em um instante t0 posterior (Figura 13.1a), os pulsos OPH1(+) e

OPH2(−) encontram-se nas posicoes l0 e (L − l0), respectivamente.

A primeira reflexao em A inverte o pulso OPH1(+), transformando-o

em um pulso − OPH1(−) que se dirige em direcao a extremidade B. Da

mesma maneira, o pulso OPH2(−) , ao se refletir em B, torna-se um pulso

− OPH2(+) caminhando em direcao a extremidade A. No instante

t1 = t0 +2l0v

os pulsos invertidos podem ser observados, na Figura 13.1b, nas posicoes

l0 e (L − l0).

163 CEDERJ

Analise de Fourier

Esses pulsos − OPH1(−) e − OPH2(+), apos uma segunda reflexao

em B e em A, respectivamente, invertem-se de novo e voltam a ser identicos

aos pulsos originais OPH1(+) e OPH2(−). A Figura 13.1c mostra o perfil

da corda no instante

t2 = t1 +2(L − l0)

v

perfil esse identico ao observado no instante t0 , na Figura 13.1a.

Figura 13.1: Reflexoes sucessivas de OPHs transversais, nas extremidades A e B fixas.

O menor intervalo de tempo que separa as duas situacoes identicas

ilustradas nas Figuras 13.1a e c, por definicao o perıodo do movimento, e

igual a

τ =2L

v

de acordo com o resultado encontrado para o perıodo temporal τ1 do modo

fundamental de vibracao de uma corda vibrante.

Resumo

Ondas harmonicas sao muito importantes: qualquer onda pode ser es-

crita como uma superposicao de ondas harmonicas por meio da chamada

Serie de Fourier.

CEDERJ 164



1. A funcao dente-de-serra e frequentemente usada em Eletronica. Ela

tem a forma:

y(t) =ω

2πt − 1

2para 0 < t <

2π

ωOBSERVACAO : Esse

exercıcio requer uma certa

maturidade matematica ...y(t) =

ω

2πt − 3

2para

2π

ω< t <

4π

ω

y(t) =ω

2πt − 5

2para

4π

ω< t <

6π

ω

e, assim, sucessivamente.

a) Faca um esboco do grafico desta funcao.

b) Escreva a Serie de Fourier para esta funcao.

2. Mostre que, se uma funcao f(x) se anula para x = 0 e sua derivadadf

dxse anula em x = L, ela pode ser representada, entre x = 0 e x = L, por

uma serie de senos, contendo apenas os termos de ordem ımpar:

f(x) =∑

n=1,3,...

an sen(nπx

2L

)

Auto-avaliacao

Voce esta dominando a analise de Fourier? Sabe bem para que serve,

como usar e como extrair dela um grande numero de informacoes sobre as

suas ondas? Que otimo! Se teve dificuldades, lembre-se de que existem

outras fontes que podem auxilia-lo; este topico e tratado com muito cuidado

no Moyses, na Secao 5.8, por exemplo. Talvez voce ache interessante dar

uma olhada la tambem.

165 CEDERJ

O somMODULO 2 - AULA 14

Aula 14 – O som

Meta da aula

• Explicar a natureza fısica do som.

Objetivos

Ao final desta aula, voce devera:

• Saber que o som e uma onda.

• Entender como o som se propaga.

• Compreender o que e a intensidade de uma onda.

Pre-requisitos

Para melhor desempenho nesta aula, e importante que voce tenha claros

os conceitos de Hidrodinamica e Termodinamica.

Introducao

Desde a primeira aula deste modulo, voce tem visto diversos exemplos

de sistemas ondulatorios e ate produziu algumas ondas, seja empurrando uma

pedra de domino que gera uma fila de dominos caindo; esticando um elastico

e provocando um deslocamento transversal que se propaga; produzindo um

pulso longitudinal em uma mola etc.

Nestes casos, voce viu a onda. Nos, agora, vamos falar de outro tipo

de ondas, que voce nao podera ver, mas podera ouvir: as ondas sonoras. O

som e uma onda mecanica e, portanto, precisa de um meio material para se

propagar. Este meio pode ser solido, lıquido ou gasoso como, por exemplo,

o ar que respiramos.

EC8- Batendo panela

Va ate a cozinha da sua casa e pegue uma panela. Se voce pegar

uma colher de pau e bater no fundo da panela, imitando seu amigo da

Figura 14.1, voce vai escutar um barulho.

167 CEDERJ

O som

Figura 14.1: Batendo panela!

Ao bater no fundo da panela, voce o empurra para tras. Este deslo-

camento e pequeno e voce, muito provavelmente, nao consegue nem notar.

Depois de se mover para tras, o fundo da panela oscila em torno de sua

posicao de equilıbrio. Este deslocamento do fundo da panela faz com que o

ar a sua frente seja comprimido e rarefeito, gerando ondas de compressao e

rarefacao do ar que chegam ate o seu ouvido e voce reconhece como som.

Voce pode pedir para outra pessoa bater no fundo da panela e se colocar

em diversas posicoes: voce pode ficar na frente de quem esta batendo a

panela, atras, ao lado, pode subir numa cadeira, deitar no chao... em todas

as posicoes voce continua escutando o som. Isto prova que as ondas sonoras

se propagam em todas as direcoes.

O tratamento matematico de ondas tridimensionais e bem mais com-

plicado do que o das ondas unidimensionais que estudamos ate agora. Para

entender como o som se propaga, vamos olhar o que acontece na direcao de

propagacao perpendicular ao fundo da panela, como ilustra a Figura 14.2.

Desta forma, recairemos no caso undimensional e poderemos entender os

conceitos fısicos envolvidos na propagacao do som sem a necessidade de um

CEDERJ 168


formalismo matematico muito mais complicado. No entanto, e preciso sem-

pre ter em mente que o som se propaga em tres dimensoes.

Figura 14.2: Pequeno pedaco do fundo da panela e fatias com a mesma quantidadede ar, (a) antes de bater e (b) depois de bater.

Na Figura 14.2a, temos um pedaco do fundo da panela, antes da batida.

Os tracos verticais dividem o ar a frente da panela em fatias, todas contendo

a mesma quantidade de ar. Na Figura 14.2b, temos uma representacao do

que ocorre depois que voce bate na panela. Quando o fundo da panela vai

para tras, ele cria, logo a sua frente, uma regiao onde o ar e mais rarefeito. E

necessario uma fatia de ar mais larga para que tenhamos a mesma quantidade

de ar que havia na fatia, antes da batida. Quando o fundo da panela anda

para a frente, ele comprime o ar, e temos entao uma regiao mais densa. Numa

fatia mais fina que a original, temos a mesma quantidade de ar.

O movimento de vai-e-vem, ou oscilacao, do fundo da panela faz com

que varias destas regioes de rarefacao e compressao sejam criadas e se deslo-

quem. Temos, assim, ondas de compressao e rarefacao de ar propagando-se.

Nas regioes onde o ar e mais denso, ocorre um aumento de pressao, en-

quanto nas regioes em que o mesmo e rarefeito, ha diminuicao. A existencia

169 CEDERJ

O som

de regioes vizinhas com pressoes diferentes faz com que o ar se desloque

de uma regiao para a outra. O deslocamento do ar, por sua vez, gera

uma mudanca de densidade. Este processo pode ser resumido no diagrama

a seguir.Este diagrama foi proposto

na secao 6.1, Moyses II: de

uma olhada!

Figura 14.3: Diagrama: “como o som se propaga”.

Experiencias com ondas sonoras no polo

EP7 - Som e vibracao

Voce se lembra das experiencias EP5 e EP6, durante as quais voce

estudou ondas estacionarias transversais numa corda e longitudinais numa

mola? Voce deve tambem lembrar que essas ondas eram produzidas por

um gerador de audio acoplado a um alto-falante, e que um som, nao muito

agradavel, acompanhava suas observacoes. Pois bem, voce vai, agora, usar

tres dos seus cinco sentidos, a audicao, o tato e a visao, para entender

a relacao ıntima que existe entre vibracao e som. Como? De maneira

muito simples.

Em primeiro lugar, ligue o gerador de audio e ajuste sua frequencia em

torno de 150 Hz: voce deve ouvir um som. . . nao muito agradavel. Usando

o microfone ligado a entrada da placa de som do computador e o software

Experimentos acusticos/Cidepe, voce pode ver o som na tela do computa-

dor: a onda sonora excitou vibracoes mecanicas no microfone, que foram

transformadas em oscilacaoes de voltagem.

CEDERJ 170


Exercıcio 14.1

Responda as seguintes questoes:

• Qual e a forma da onda que voce observa no grafico superior da tela?

• Essa onda e a onda sonora? Cuidado para nao cair na armadilha!

Justifique sua resposta!


Compare seu resultado com o obtido por meio de um processo matematico

chamado de Transformada de Fourier Rapida (sigla FFT em ingles) e

mostrado na Figura 14.4.

Figura 14.4: (a) Dependencia temporal da onda sonora emitida pelo alto-falante ecaptada pelo microfone e (b) sua Transformada de Fourier. Idem (c) e (d), com a folhade papel em cima do alto-falante.

Coloque, agora, uma folha de papel de 20 x 20 cm2 sobre o alto falante

e pressione-a levemente com um dedo. Com o gerador de audio desligado,

voce nao deve sentir nada de especial no seu dedo, nem ouvir som algum

saindo do alto-falante! Na tela do computador, nenhuma onda deve aparecer

(desde que haja silencio absoluto no laboratorio!). Otimo! Ligue, entao,

o gerador, mantendo a frequencia anterior,. . . descreva suas sensacoes

tatil, auditiva e visual.

171 CEDERJ

O som

Exercıcio 14.2

• O que voce observou na tela do computador esta parecido com as

Figuras 14.4c e 14.4d?

• Qual a causa das vibracoes da folha de papel?

• Por que o som ficou mais feio ainda?

• Por que a dependencia temporal da voltagem ficou bem tumultu-

ada?

• A frequencia mudou?

Faca um relatorio objetivo das suas observacoes.

Voce esta curtindo esse som? Entao, vamos em frente!

EP8 - Batimentos sonoros

Estudamos teoricamente batimentos durante a Aula 3. Podemos ob-

serva-los, usando apenas os sentidos auditivo e visual. Para isso, conecte

os dois canais do gerador de audio a dois alto-falantes distantes 40 cm um

do outro, igualando volumes e frequencias. Use uma frequencia de 256 Hz,

que corresponde a nota do. O microfone, equidistante dos alto-falantes e

o software Experimentos acusticos/Cidepe permitem, de novo, visualisar

o som.

• Para comecar, ligue alternadamente canais: o que voce esta ouvindo e

vendo na tela do computador?

• Ligue, agora, os dois canais de audio: o que voce esta ouvindo e vendo

na tela do computador?

• Pelo que pode observar, as duas frequencias sao rigorosamente iguais?

Por que?

• Mude uma das frequencias para obter uma diferenca ∆f = 1 Hz:

o que voce esta vendo na tela do computador e ouvindo? Voce pode

determinar a frequencia do batimento, usando sua faculdade auditiva?

CEDERJ 172


• Mude uma das frequencias para obter uma diferenca ∆f = 4 Hz: o

que voce esta vendo na tela do computador e ouvindo?

• Mude uma das frequencias para obter uma diferenca ∆f = 8 Hz: o

que voce esta vendo na tela do computador e ouvindo?

• Mude uma das frequencias para obter uma diferenca ∆f = 30 Hz:

o que voce esta vendo na tela do computador e ouvindo? Qual a

frequencia do batimento? Como chegou la?

Seu resultado parece com a Figura 14.5?

Figura 14.5: Batimentos sonoros obtidos pela superposicao de duas ondas senoidaisde frequencias f1 = 256 Hz e f2 = 286 Hz. (a) Dependencia temporal da onda sonoraresultante e (b) sua Transformada de Fourier.

173 CEDERJ

O som

EP9 - Reverberacao

Chega de computador! Vamos curtir um som do jeito que ele existe no

espaco tridimensional, isto e, um som que se propaga e se reflete varias vezes

nas paredes, no chao e no teto do laboratorio. Para isso, regule a frequencia

do gerador em, aproximadamente, 650 Hz e oriente o alto-falante em direcao

a um canto do laboratorio. Fique atras do alto-falante e nao tenha medo

de aumentar bastante o volume, pois sua experiencia vai incomodar seus

colegas durante pouco tempo, isto e, durante o tempo necessario a percepcao

do fenomeno de reverberacao. Rodando sua cabeca alternadamente para a

direita e a esquerda, voce deve notar que o som parece vir de um desses lados,

dependendo da posicao da sua cabeca.

Vamos tentar entender o que esta acontecendo. A onda sonora emitida

pelo alto-falante sofre multiplas reflexoes e, em dois pontos diferentes do

espaco (por exemplo, seus dois ouvidos), as interferencias de todas essas

ondas secundarias podem ser construtivas ou destrutivas, dependendo da

posicao. Sao essas interferencias multiplas, chamadas de reverberacao, que

parecem indicar que o alto-falante esta se deslocando no laboratorio.

Voce deve poder observar reverberacao no seu dia-a-dia: basta prestar

atencao, sendo um fısico, mesmo fora do laboratorio!

Como as ondas sonoras se propagam?

Agora voce ja “viu” e ouviu as ondas sonoras em suas experiencias no

polo. Gostou? Esperamos que sim! Voce esta pronto para entender como as

ondas se propagam! Vamos voltar ao diagrama 14.3 e analisar cada trecho

do mesmo.

Mudanca de densidade gera mudanca de pressao

De que maneira uma mudanca de densidade gera uma mudanca de

pressao? Em geral, para uma dada massa de fluido M ocupando um certo

volume V , um aumento de pressao (∆P > 0) faz com que esta mesma massa

M passe a ocupar um volume menor, ou seja, ∆V < 0. Com isso, podemos

definir uma grandeza chamada modulo de compressibilidade do fluido

K = −∆V/V

∆P(14.1)

onde −∆V/V e a magnitude da variacao percentual do volume e o

sinal negativo aparece porque ∆V < 0. Para uma dada variacao de pressao,

CEDERJ 174


quanto maior a variacao do volume, maior e K, ou seja, mais compressıvel

e o fluido.

Tambem e possıvel definir B, o modulo de elasticidade do fluido:

B =1

K= −V

∆P

∆V(14.2)

Exercıcio 14.3

Qual e a unidade de K no sistema de unidades MKSA? E de B?

A densidade do fluido eA densidade volumetrica

de massa ρ e definida como

massa por unidade de

volume, como mostra a

equacao ao lado. Como nao

vamos usar outra densidade

durante esse Modulo, vamos

nos referir a ela apenas como

densidade.

ρ =M

V(14.3)

Podemos relacionar a variacao de densidade com a variacao do volume dife-

renciando a expressao acima:

∆ρ = −M∆V

V 2= −ρ

∆V

V(14.4)

Usando a expressao acima, podemos escrever B em funcao da densidade

e sua variacao:

B = ρ (∆P

∆ρ) (14.5)

Numa onda sonora, as variacoes de pressao e densidade sao muito pe-

quenas. Podemos, entao, escrever P e ρ, os valores dessas grandezas na

presenca destas ondas, como

P = p0 + p

ρ = ρ0 + δ (14.6)

onde p0 e ρ0 sao os valores nao perturbados, ou seja, na ausencia de ondas,

e p e δ sao as mudancas nesses valores nao perturbados que ocorrem quando

a onda passa. Como dissemos ha pouco, essas mudancas sao pequenas:

|p| << p0

|δ| << ρ0 (14.7)

O limiar da dor no ouvido

humano ocorre para˛˛˛

p

p0

˛˛˛ ≈ 10−3

Desta forma, podemos escrever, entao,

p

δ=

P − p0

ρ − ρ0

=∆P

∆ρ

ou, ainda, ja que a variacao da densidade e muito pequena,

175 CEDERJ

O som

p = δ∂P

∂ρ

∣∣∣0

(14.8)

Por que usamos uma derivada parcial na equacao acima? Ora, voce

deve se lembrar de que a pressao nao varia so com o volume ou a densidade,

nao e mesmo? Na Equacao 14.8 tambem usamos o sımbolo |0. Voce sabe oVoce se lembra de que a

pressao tambem muda com a

temperatura? Com certeza,

sabe que, para um gas ideal

PV = nRT ... Nao? Essa e

uma boa hora para voce

fazer uma revisao no seu

modulo de Termodinamica.

que isso quer dizer? Que a derivada deve ser calculada em torno dos valores

de equilıbrio, p0 e ρ0.

Pronto! Nos acabamos de entender como uma mudanca de densidade

gera uma mudanca de pressao. Antes de dar o proximo passo em nosso

diagrama, vamos usar um pouquinho de Termodinamica.

Vamos supor, a partir de agora, que o fluido onde suas ondas se propa-

gam, o ar, por exemplo, pode ser tratado como um gas ideal. Na sua ex-

periencia de bater panela, voce pode observar que as ondas sonoras se pro-

pagam rapidamente. Voce nao precisava esperar muito tempo apos bater

no fundo da panela, para escutar o barulho, nao e mesmo? A propagacao

de ondas sonoras se da tao rapidamente, que nao ha tempo para trocas de

calor durante o processo. Com certeza, voce se lembra de que processos em

que nao ha trocas de calor sao chamados processos adiabaticos. Como

a densidade ρ e inversamente proporcional ao volume V , em um processo

adiabatico temosVoce deve se lembrar de que,

num processo adiabatico

PV γ = constante

P = b ργ (14.9)

onde b e uma constante e γ e a razao entre os calores especıficos a pressao e

a volume constantes.

γ =CP

CV> 1 Podemos, usando a Equacao 14.9, encontrar a derivada da pressao em

relacao a ρ∂P

∂ρ= bγ ργ−1 = γ

P

ρ(14.10)

Usando os valores em torno do equilıbrio na Equacao 14.10 temos

∂P

∂ρ

∣∣∣0

= γp0

ρ0

Podemos, finalmente, encontrar o modulo de elasticidade para um gas ideal:

B = ρ∆P

∆ρ� ρ0

∂P

∂ρ

∣∣∣0

= ρ0 γp0

ρ0= γ p0 (14.11)

CEDERJ 176


Variacao de pressao produz deslocamento

Vamos, agora, entender como uma variacao de pressao produz um des-

locamento. Para tanto, usaremos a Segunda Lei de Newton, nossa velha

conhecida, e tambem a relacao entre forca e pressao. Voltando a nossa pane-

la, podemos analisar o que acontece em uma pequena regiao que tem area

transversal A, paralela ao fundo da panela, e que se estende perpendicular-

mente ao fundo desta, como mostrado na Figura 14.6. Vamos escolher o eixo

x como sendo positivo para a direita.

Figura 14.6: Forcas atuando sobre um elemento de volume do fluido.

Considere o elemento de volume do cilindro de secao reta A e compre-

endido entre x e x + ∆x. A Figura 14.6 nos ajuda a visualizar as forcas

atuando sobre este elemento de volume. Podemos definir o vetor x comoLembrete: um vetor unitario

e aquele que tem modulo

igual a 1.

um vetor unitario que aponta na direcao de x, no sentido de x positivo.

A esquerda do cilindro, ou seja, em x, a forca−−→∆F1 e dada pela pressao

em x vezes a area, e aponta para a direitaVoce deve se lembrar de que

a pressao e uma grandeza

escalar igual ao modulo de

uma forca por unidade de

area. Se precisa refrescar sua

memoria, de uma olhada no

modulo de Hidrodinamica.

−−→∆F1 = P (x, t) A x

A direita do cilindro, ou seja, em x + ∆x, a forca−−→∆F2 e dada pela pressao

em x + ∆x vezes a area, e aponta para a esquerda

−−→∆F2 = −P (x + ∆x, t) A x

A forca resultante e a soma das duas forcas

−−→∆F =

−−→∆F1 +

−−→∆F2 = [P (x, t) − P (x + ∆x, t)] A x

que podemos reescrever, considerando agora somente o modulo da forca

resultante,

∆F = −A ∆x[P (x + ∆x, t) − P (x, t)

∆x]

A essas alturas, voce ja esta cansado de saber identificar o limite, para ∆x

muito pequeno, do termo entre colchetes com uma derivada, nao e mesmo?

177 CEDERJ

O som

Mais do que isso, neste caso∂P

∂x=

∂p

∂x

de modo que

∆F = −A ∆x∂p

∂x(14.12)

Exercıcio 14.4

Mostre que∂P

∂x=

∂p

∂x

Encontramos a forca! So faltam a massa e a aceleracao, para aplicar a

Segunda Lei de Newton. A massa deste elemento de volume pode ser escrita

em termos do volume e da densidade nao perturbada ρ0

∆m = ρ ∆V � ρ0 A ∆x (14.13)

e sua aceleracao e, por definicao,

a =∂2u(x, t)

∂t2(14.14)

onde u(x, t) designa o deslocamento da area transversal de coordenada x no

instante t.

Seguindo a receita de Isaac Newton e utilizando as Equacoes 14.12,

14.13 e 14.14, temos

−A ∆x∂p(x, t)

∂x= ρ0 A ∆x

∂2u(x, t)

∂t2(14.15)

ou ainda,

ρ0∂2u(x, t)

∂t2= −∂p(x, t)

∂x(14.16)

Vemos, assim, como o deslocamento resulta de uma variacao de pressao.

CEDERJ 178


Deslocamento de fluido muda a densidade

Vamos entender o ultimo trecho do diagrama da Figura 14.3, isto e,

como o deslocamento de fluido muda a sua densidade.

O deslocamento u(x, t), sofrido pelas partıculas do fluido, esta ao longo

da direcao de propagacao da onda: e longitudinal. Podemos, com a ajuda

da Figura 14.7, encontrar o volume ocupado por uma certa quantidade de

fluido antes e depois do deslocamento.

Figura 14.7: Volume original de uma porcao de fluido e volume deslocado pelaonda sonora.

O volume antes do deslocamento, chamado volume original, e

dado por:

V = A [(x + ∆x) − x] = A ∆x (14.17)

Apos o deslocamento, este volume passa a ser V + ∆V :

V + ∆V = A {[(x + ∆x) + u(x + ∆x, t)] − [x + u(x, t)]}

Essa equacao pode ser simplificada:

V + ∆V = A {∆x + [u(x + ∆x, t) − u(x, t)]}

Vamos, agora, colocar ∆x em evidencia

V + ∆V = A ∆x{1 +[u(x + ∆x, t) − u(x, t)]

∆x}

O que acontece? Voce e capaz de reconhecer a derivada (parcial!) na equacao

acima, nao e mesmo? Vamos, entao, reescreve-la ainda mais uma vez:

V + ∆V = A ∆x(1 +∂u

∂x)

179 CEDERJ

O som

Finalmente, encontramos o volume deslocado ∆V

∆V = A ∆x∂u

∂x= V

∂u

∂x(14.18)

Mas, desde o comeco, nos queremos saber como o deslocamento muda

a densidade. Lembrando que (veja a Equacao 14.4)

−∆V

V=

∆ρ

ρ=

ρ − ρ0

ρ=

δ

ρ� δ

ρ0

(14.19)

temos, finalmente (agora, pra valer!)

δ = ρ − ρ0 = −ρ0∂u(x, t)

∂x(14.20)

equacao que nos diz como um deslocamento u(x, t) causa uma mudanca δ

na densidade.

O som e uma onda

Completamos uma volta pelo nosso diagrama! Vamos fazer um resumo

do que aprendemos com ele.

• Mudanca de densidade gera mudanca de pressao

A relacao entre a mudanca de densidade e a mudanca de pressao em

um fluido e dada pela Equacao 14.8, que repetimos a seguir:

p = δ∂P

∂ρ

∣∣∣0

• Variacao de pressao gera deslocamento

Tambem entendemos como a variacao de pressao gera um desloca-

mento. A relacao entre a p e u e dada pela Equacao 14.16

ρ0∂2u

∂t2= −∂p

∂x

CEDERJ 180


• Deslocamento de fluido muda densidade

Por fim, vimos que a relacao entre o deslocamento do fluido u e a

mudanca de densidade δ e dada pela Equacao 14.20

δ = −ρ0∂u

∂x

Tudo entendido? Otimo! Entao, por que podemos afirmar que o somAinda nao? Nao ha

problema; tenha paciencia e

releia a aula ate este ponto,

antes de seguir adiante.

e uma onda?

Vamos substituir δ, dado pela Equacao 14.20, na Equacao 14.8

p =∂P

∂ρ

∣∣∣0

δ = −ρ0∂P

∂ρ

∣∣∣0

∂u

∂x(14.21)

Agora, vamos usar a Equacao 14.16. Nela, aparece uma derivada parcial de

p em relacao a x, que vamos obter da equacao anterior:

ρ0∂2u

∂t2= −∂p

∂x= ρ0

∂P

∂ρ

∣∣∣0

∂2u

∂x2

que pode ser reescrita como

1

v2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0 (14.22)

que e a equacao de onda para o deslocamento u(x, t)! Os deslocamentos de

fluidos estao associados a existencia de um som e obedecem a uma equacao

de onda, o que justifica o tıtulo desta secao: o som e uma onda.

A velocidade v desta onda e dada por (veja a Equacao 14.11)

v =

√∂P

∂ρ

∣∣∣0

=

√B

ρ0

(14.23)

Exercıcio 14.5

Mostre que p(x, t) e δ(x, t) obedecem a mesma equacao de onda.

Assim, podemos calcular a velocidade do som em diferentes meios. Va-

mos la!

181 CEDERJ

O som

Velocidade do som

• Agua

Para encontrar a velocidade do som na agua, vamos considerar 1 litro

de agua, a temperatura ambiente e, inicialmente, a pressao atmosferica.

Ao aplicar uma pressao de 20 atmosferas = 2× 106 N / m2, vemos que

o volume sera reduzido em aproximadamente 0,9 cm3. Lembrando que

1 L = 1000 cm3, temos

−∆V

V= 9 × 10−4

Assim,

B = −∆pV

∆V=

2 × 106

9 × 10−4� 2, 2 × 109N/m2

Sabendo que a densidade da agua e ρ0 = 103 kg/m3, podemos usar a

Equacao 14.23 para encontrar a velocidade do som na agua

v = 1.483 m/s

• Solidos

Em solidos, os valores tıpicos, tanto de B quanto de ρ0, sao bem mai-

ores. Para o ferro, a 20oC, v = 5.130 m/s, por exemplo.

• Gases

Para gases, e possıvel exprimir B em funcao de p0, como vimos na

Equacao 14.11: B = γp0. Neste caso,

v =

√γp0

ρ0(14.24)

Para o ar a T = 0oC, temos v = 331, 3 m/s, enquanto para o hidrogenio,

temos v = 1.286 m/s e, para o oxigenio, v = 317, 2 m/s.

Inicialmente, Newton supos

que o processo era

isotermico. Assim, ele

chegou a conclusao que

B = p0, a velocidade

determinada teoricamente

sendo muito diferente da

observada

experimentalmente. Mais de

um seculo depois, Laplace,

assumindo que o processo

era adiabatico chegou a um

resultado compatıvel com a

experiencia. Ondas de deslocamento e ondas de pressao

Vamos estudar uma onda de deslocamento que se propaga para a

direita:

u = f(x − vt)

Se a onda e do tipo harmonica simples, temos

u(x, t) = U cos(kx − wt + ϕ)

CEDERJ 182


onde U e a amplitude longitudinal de deslocamento.

Como vimos no nosso diagrama, uma variacao de pressao produz um

deslocamento, ou seja, pressao e deslocamento estao relacionados. Sera

que uma onda de deslocamento vem acompanhada de uma onda

de pressao?

Vamos usar a expressao de B dada pela Equacao 14.11

B = ρ∂P

∂ρ

∣∣∣0� ρ0

∂P

∂ρ

∣∣∣0

Assim, podemos reescrever a Equacao 14.21:

p = −B∂u

∂x(14.25)

Desta forma, para uma onda de deslocamento harmonica,

p(x, t) = BkU sen(kx − wt + ϕ) (14.26)

Ora, essa e a expressao de uma onda de pressao harmonica. Podemos

concluir, entao, que uma onda de deslocamento vem acompanhada de

uma onda de pressao!

Exercıcio 14.6

Encontre a expressao para a onda de densidade δ(x, t).

Podemos reescrever a expressao para a onda de pressao, substituindo

B = v2ρ0 na Equacao 14.26

p(x, t) = v2ρ0kU sen(kx − wt + ϕ) = P sen(kx − wt + ϕ) (14.27)

onde

P = kρ0v2U (14.28)

e a amplitude de pressao.

Preste atencao na forma das ondas de deslocamento e de pressao:

p(x, t) = P sen(kx − wt + ϕ)

u(x, t) = U cos(kx − wt + ϕ)

Podemos ver que elas estao defasadas emπ

2.

183 CEDERJ

O som

Intensidade

Na Aula 11, quando estudavamos ondas unidimensionais, definimos a

intensidade de uma onda como igual a sua potencia media. Agora, que esta-

mos tratando de ondas que podem propagar-se em mais de uma dimensao,

vamos redefinir a intensidade: a intensidade de uma onda e igual a potencia

media por unidade de area transmitida por esta onda.

Vamos supor que tenhamos uma onda sonora propagando-se em um

tubo de secao reta A, como, por exemplo, nas Figuras 14.6 e 14.7. Podemos

escrever o modulo da forca exercida sobre uma camada de fluido como

F = p(x, t) A = P sen(kx − ωt + ϕ) A

A potencia instantanea pode ser escrita como o produto de uma forca porNao confunda! Estamos

usando P para a amplitude

da pressao, p(x, t) para a

variacao de pressao e agora

vamos voltar a usar P para a

potencia instantanea.

uma velocidade

P = Fv = F∂u

∂t= ωAPU sen2(kx − ωt + ϕ) (14.29)

Exercıcio 14.7

Mostre que a potencia media e dada por

P =1

2ωAPU (14.30)

Finalmente, podemos escrever a intensidade I

I =P

A=

1

2ωPU (14.31)

Podemos escrever a intensidade em funcao apenas da amplitude de

deslocamento U . Para tanto, vamos eliminar P da equacao anterior usando

a Equacao 14.28 e lembrando que ω = vk. Temos, entao,

I =1

2ρ0vω2U2 (14.32)

Eliminado, agora, a amplitude de deslocamento, temos

I =1

2

P2

ρov(14.33)

O que essas duas expressoes nos dizem? Em ambos os casos, a intensi-

dade e proporcional ao quadrado da amplitude; no primeiro caso, a amplitude

CEDERJ 184


de deslocamento e, no segundo caso, a amplitude de pressao. Qual a princi-

pal diferenca? A intensidade, expressa em funcao da amplitude de pressao,

e independente da frequencia.

Exercıcio 14.8

O que e mais conveniente para medir a intensidade de uma onda sonora:

usar detetores de variacao de pressao ou de variacao de deslocamento?

Por que?

Variacao da intensidade com a distancia

No inıcio desta aula, vimos que as ondas sonoras se propagam em tres

dimensoes. Se tivermos uma fonte puntiforme, isso nos leva a uma intensidade

que cai com o inverso do quadrado da distancia. Vamos entender por que!

A intensidade e a potencia media por unidade de area. No caso de

uma fonte puntiforme, as ondas que se propagam sao esfericas, por razao deVoce se lembra de que a area

de uma superfıcie esferica de

raio r e dada por A = 4πr2,

nao e mesmo?

simetria. Logo, a intensidade a uma distancia r da fonte e dada por

I =P

A=

P

4πr2

A Lei da Conservacao da Energia nos diz que, quando nenhuma energia e

absorvida, a potencia nao varia com a distancia a fonte, de modo que, para

duas distancias r1 e r2, temos:

P (r1) = P (r2)

Portanto,

4πr21I1 = 4πr2

2I2

ou seja,I1

I2

=r22

r21

(14.34)

Escala Decibel

No dia-a-dia, em vez de nos referirmos a intensidade sonora, utilizamos

o nıvel da intensidade sonora - designado pela letra grega β- que e medido

em escala logarıtmica. Isto e feito porque o ouvido humano e sensıvel num

intervalo grande de intensidades.

185 CEDERJ

O som

A unidade usada para medir o nıvel da intensidade sonora e o decibel,

que abreviamos por dB. O decibel corresponde a1

10do bel, uma unidade

Alexander Graham Bell

nasceu em Edimburgo, na

Escocia, em 1847, e morreu

em 1922. Inventou o telefone

em 1876.

de medida criada em homenangem a Alexander Graham Bell.

β = 10 logI

I0dB (14.35)

onde I0 = 10−12 W/m2 e a intensidade padrao para a qual β = 0, que corres-

ponde ao limiar da audicao humana. Para uma intensidade I = 1 W/m2, o

nıvel de intensidade sonora e 120 dB. Este corresponde ao limiar da dor para

o ouvido humano.

Resumo

O som e uma onda que se propaga em um meio material com velocidade

que depende de caracterısticas deste meio. As ondas de deslocamento e de

pressao estao defasadas uma da outra em π/2. A unidade utilizada para

medir o nıvel de intensidade sonora e o decibel.


1. O limiar da sensacao dolorosa no ouvido humano ocorre para variacoes

de pressao de cerca de 30 N/m2. Calcule o deslocamento maximo cor-

respondente a uma onda sonora, no ar, que tem frequencia de

1000 Hz.

2. No limiar de audibilidade para uma frequencia de 1000 Hz, a variacao

da amplitude de pressao vale aproximadamente 2×10−5 N/m2. Qual e a

amplitude de deslocamento correspondente? O que voce pode concluir

sobre o ouvido humano?

3. Uma exposicao de dez minutos a um som de 120 dB com uma frequencia

de 1000 Hz produz um desvio tıpico do limiar de audicao de 0 dB para

cerca de 28 dB, durante alguns segundos. Uma exposicao a um som de

92 dB e mesma frequencia, durante 10 anos, produz um desvio perma-

nente do limiar tambem para 28 dB. A que intensidades correspondem

28 dB e 92 dB?

CEDERJ 186


Auto-avaliacao

Esta foi sua primeira aula sobre som. Gostou? Esperamos que sim, pois

aı vem mais... Entendeu bem a materia, conseguiu resolver os problemas do

meio e do fim da aula? Sim? Otimo, siga em frente! Nao? Nao desanime;

releia a aula e, se precisar de ajuda, procure seu tutor. Como a proxima aula

tambem sera sobre som, nao e bom seguir adiante sem que tudo esteja claro.

Ate la!

187 CEDERJ

Sons musicaisMODULO 2 - AULA 15

Aula 15 – Sons musicais

Meta da aula

• Apresentar sons musicais.

Objetivos

Ao final desta aula, voce devera:

• Conhecer o tubo de Kundt.

• Saber a diferenca entre musica e ruıdo.

• Entender o funcionamento de algumas fontes sonoras.

Introducao

Agora, que voce ja estudou a formacao e propagacao de ondas sonoras

na aula anterior, voce esta pronto para entender um tipo especial de som: o

som musical. Voce gosta de ouvir musica? Claro, quem nao gosta?! Entao

responda por que e tao agradavel ouvir uma musica e tao desagradavel ouvir

um barulho qualquer? Tanto a musica quanto o barulho sao ondas sonoras

que vem bater no seu ouvido; por que tanta diferenca? Voce se lembra

da EP7? Nela voce estudou som e vibracao. Volte aos resultados que voce

obteve naquela experiencia. Como ficava a onda sonora quando voce colocava

uma folha de papel sobre o alto-falante? Meio “baguncada”, nao e mesmo?

A caracterıstica que distingue um som musical de um ruıdo e a

periodicidade. Uma onda de deslocamento, ou de pressao, gerada por um

som musical, e periodica! Enquanto uma onda gerada por um ruıdo

nao e.

Observacao: Uma onda harmonica e um exemplo de onda periodica, mas

nao e o unico exemplo!

Alem de conseguirmos distinguir um som musical de um ruıdo (depende

um pouco de que musica, mas vamos supor que todos nos temos bom gosto

e essa diferenca e bem clara!), exitem outras qualidades que conseguimos

distinguir num som musical: a intensidade, a altura e o timbre. Vamos, sem

desafinar, estudar essas propriedades!

189 CEDERJ

Sons musicais

Intensidade, altura e timbre

• IntensidadeAlguma duvida sobre

intensidade? Volte a aula

passada e faca uma revisao;

nunca e demais!

Depois da aula anterior, voce ja e um especialista em som e sabe bem

o que e a intensidade de uma onda sonora. Como vimos, ela e propor-

cional ao quadrado da amplitude da onda.

• Altura

O que e a altura de um som musical? E a caracterıstica que nos permite

distinguir entre sons graves e agudos. A voz do Tim Maia e mais grave

que a voz da Gal Costa, e voce nao precisa de uma aula para saber isso.

Mas, qual e a Fısica por tras disso? A altura de um som esta relacionada

com a sua frequencia: quanto maior a frequencia ν de uma onda sonora,

mais agudo sera o som. Por outro lado, sons com frequencia baixa sao

graves.

• Timbre

Se voce escutar uma nota la (que corresponde a uma frequencia de

440 Hz) produzida por um piano, uma flauta, uma guitarra eletrica e

um apito de trem, voce vai conseguir dizer qual nota la foi produzida

por cada um dos “instrumentos”. Ninguem confunde um la de uma

flauta com o de uma guitarra, ou o de um piano com o de um apito trem!

Mesmo que as notas tenham exatamente a mesma intensidade

e a mesma altura, ainda e possıvel distingui-las. Mais uma

vez, voce nao precisava de uma aula de Fısica para aprender isso, a

experiencia cotidiana ja ensinou isso a voce ha muito tempo. O que voce

talvez nao soubesse e que a qualidade que nos permite essa distincao

e chamada timbre. O ouvido humano entende como uma nota la

qualquer nota que tenha ν = 440 Hz, independente do perfil da onda.

Voce se lembra da Serie de Fourier? E claro! Lembra-se tambem de que

qualquer onda pode ser decomposta em termos de ondas harmonicas.

Isso tambem vale para ondas associadas a um som musical. Uma nota

emitida por um instrumento pode ser escrita como uma Serie de Fourier

que, alem do tom fundamental ν, contem, em geral, todos os tons

harmonicos νn = nν1 com n = 2, 3.... O timbre do som e definido

pelas diferentes contribuicoes de cada um dos tons harmonicos

para a Serie de Fourier. A Figura 15.1 vai ajudar voce a entender

CEDERJ 190


melhor o que e o timbre. Nela, voce pode ver o perfil de uma onda de

pressao de uma nota la emitida por um violino (Figura 15.1a) e por um

piano (Figura 15.1c). Note que o perfil das duas e bem diferente, mas

o comprimento de onda, e consequentemente a frequencia, sao iguais

nos dois casos. Voce tambem pode ver a contribuicao dos diferentes

tons harmonicos, para o violino (Figura 15.1b): o tom fundamental, o

segundo e o quinto harmonico contribuem com a mesma intensidade,

enquanto para o piano (Figura 15.1d) o tom fundamental predomina.

Figura 15.1: Nota la emitida por um violino (a) e por um piano (b) e intensidadesrelativas dos tons harmonicos para um violino (b) e para um piano (d).

Agora, que voce ja aprendeu algumas propriedades dos sons musicais,

vamos estudar um pouco a Fısica que explica o funcionamento de algumas

fontes sonoras. Vamos estudar fontes sonoras de tres tipos: instrumentos de

corda, instrumentos de sopro e instrumentos de percussao.

A corda vibrante

Voce certamente conhece um grande numero de instrumentos de corda:

violao, guitarra, violino, violoncelo, harpa, piano e tantos outros. O que todos

eles tem em comum? Cordas vibrantes! As cordas variam de comprimento,

tensao e material, de instrumento para instrumento, e tambem dentro de um

mesmo instrumento. E isso que faz com que o som emitido por cada uma

delas seja diferente.

191 CEDERJ

Sons musicais

Mas voce ja sabe tudo sobre cordas vibrantes! Afinal de contas, voce es-

tudou os modos normais de vibracao de uma corda vibrante, naFicou com duvidas? De uma

olhadinha na Aula 12. Aula 12. Voce viu que os unicos modos possıveis de oscilacao de uma corda

de comprimento , massa linear µ e tensao T , presa nas suas extremidades,

tem comprimento de onda

λ =2

n

e frequencia

νn =n

2

√T

µ=

n

2v

Na Figura 15.2, voce pode ver os maiores comprimentos de onda que

“cabem” em uma corda de comprimento e as respectivas frequencias.

Figura 15.2: Comprimento de onda λ e frequencia ν para o modo fundamental e ostres primeiros harmonicos de uma corda de comprimento �.

CEDERJ 192


Agora, vamos ver se voce e bem esperto e responde a uma pergunta.

Essas ondas em uma corda vibrante, representadas na Figura 15.2, sao as

ondas que chegam aos seus ouvidos?

As ondas produzidas na corda vibrante ficam “presas” a corda, portanto

nao chegam ao seu ouvido! No entanto, quando a corda vibra, faz com que

o ar em torno dela vibre tambem. E essa vibracao do ar que produz a onda

sonora (como estudamos na aula anterior!) que voce escuta.

EP10 - O tubo de Kundt

O fısico alemao August

Adolph Kundt (1839-1894)

inventou o tubo de Kundt,

em 1866. Tambem deu

contribuicoes sobre a

dispersao de luz em lıquidos,

gases e metais.

Durante as experiencias EP1 e EP3 voce produziu, observou e utilizou

ondas mecanicas longitudinais em uma mola. Essas experiencias devem

facilitar o estudo de ondas sonoras em fluidos compressıveis, pois essas

ultimas sao tambem mecanicas, uma vez que precisam de um meio ma-

terial para se propagar, e longitudinais, ja que fluidos (gases ou lıquidos)

perfeitos somente podem transmitir movimentos longitudinais. Essa ultima

afirmacao e uma consequencia das equacoes gerais da hidrodinamica para pe-

quenos movimentos.

Antes de abordar o estudo teorico de ondas sonoras estacionarias lon-

gitudinais em uma dimensao, voce vai realizar algumas experiencias com o

auxılio de um tubo de Kundt, que “obriga” as ondas sonoras tridimensio-

nais produzidas pelo conjunto “gerador de audio / alto-falante”a se tor-

narem quase unidimensionais. A palavra “quase” vem do fato de o

diametro do tubo ser pequeno, se comparado com seu comprimento, mas nao

nulo! A Figura 15.3 mostra o Professor Careca preparando essas experiencias

para voce.

Tubo aberto nas duas extremidades

1. Em primeiro lugar, introduza um pouco de po de cortica ao longo

do tubo e rode este ultimo cerca de 30 graus em torno do seu eixo,

de maneira a deixar o mınimo de po na parte inferior. Coloque o

alto-falante a 5 cm de uma das extremidades do tubo e deixe a ou-

tra extremidade aberta. Ajuste a frequencia do gerador de audio em

180 Hz. Ao ligar o gerador, uma onda sonora penetra no tubo.

193 CEDERJ

Sons musicais

alto-falante

tubo de Kundt

Figura 15.3: Professor Careca usando o tubo de Kundt.

- O que voce observa? O po esta sendo chacoalhado?

Mantendo o volume constante, aumente lentamente a frequencia, sem

tirar os olhos do po.

- Para frequencias em torno de 192, 384 e 576 Hz, voce observa alguma

coisa parecida com o que a Figura 15.3 esta mostrando, isto e, uma

alternancia de regioes de grande agitacao ou de calmaria?

- O po esta formando nodos e ventres no tubo?

- Qual a relacao numerica entre essas frequencias “magicas”?

Vamos arriscar alguns palpites? Em primeiro lugar, podemos afirmar

que a “danca do po” deve estar ligada a presenca do ar e a existencia

da onda sonora no tubo, pois sem ar (isto e, no vacuo) nao ha som,

e sem som nao ha danca. Outrossim, o aparecimento de montinhos

de po, em determinadas posicoes ao longo do tubo e somente para

certos valores bem definidos da frequencia, sugere a formacao de ondas

estacionarias no tubo. E agora que e importante voce se lembrar da ex-

periencia EP6, na qual voce observou ondas estacionarias longitudinais

numa mola onde espiras imoveis se alternavam com espiras animadas

de vibracoes longitudinais. No tubo de Kundt, o po permite visuali-

sar as vibracoes longitudinais das camadas de ar quando ondas

estacionarias sonoras sao obtidas.

CEDERJ 194


Podemos associar o centro de uma regiao onde o po esta imovel a

um nodo de deslocamento e o de uma regiao de grande agitacao a

um antinodo. Assim, podemos deduzir experimentalmente o que sera

demonstrado mais adiante nesta aula:

L = nλn

2

quando o tubo de comprimento L esta aberto em ambas as extremida-

des. λn e o comprimento de onda da onda estacionaria e n o numero

de nodos de deslocamento no tubo, isto e, a ordem do harmonico.

Exercıcio 15.1

- Demonstre a relacao a seguir, entre a frequencia νn e a velocidade v do

som:

νn = nv

2L

- Faca um grafico de νn contran

2Le encontre a velocidade do som. Qual

a incerteza sobre esta velocidade? Relate seu procedimento experimental

de maneira clara e objetiva; a apostila “Topicos de tratamento de dados

experimentais” vai lhe dar uma maozinha!

2. Muito bem! Vamos dar mais um passo para a frente e “ouvir”essas on-

das estacionarias. Deixe o gerador de audio ligado com uma frequencia

de 192 Hz e reduza o volume do som, de maneira a ouvir quase nada

no laboratorio: este conselho e muito importante para nao es-

tourar seus tımpanos! Tome o lugar do Professor Careca e coloque

o estetoscopio nos seus ouvidos, estando a extremidade livre do tubo

de aco ligado ao estetoscopio na extremidade aberta do tubo de Kundt.

Comece a enfiar lentamente o tubo de aco no tubo de Kundt.

- O que voce esta observando? Alternancias de regioes silenciosas

e sonoras?

- Faca um esboco do tubo, indicando as posicoes dos nodos e dos ventres

de po e das regioes silenciosas e sonoras.

- Quem coincide com quem?

195 CEDERJ

Sons musicais

- Sabendo que seu ouvido e sensıvel as variacoes de pressao, voce pode

dizer em que posicoes encontram-se os nodos e os ventres de variacao

de pressao?

Repita o procedimento anterior para as frequencias de 384 e 576 Hz.

Relate sua experiencia sem poupar figuras.

3. Agora, com o microfone e o computador substituindo seus ouvidos,

como foi o caso nas experiencias EP7 e EP8, voce pode, de novo, au-

mentar o volume do som para facilitar suas observacoes! Repita o

procedimento do item 2 e compare os resultados: como seu ouvido, o

microfone responde a variacoes de pressao. Portanto, voce deve obser-

var no computador alternancias de intensidade alta e baixa, parecidas

com as das Figuras 15.4 e 15.5, quando o microfone estiver posicionado

nos ventre ou nos nodos de variacao de pressao, respectivamente.

Figura 15.4: Intensidade alta.

Figura 15.5: Intensidade baixa.

CEDERJ 196


Mais uma vez, relate sua experiencia cuidadosamente, usando desenhos

e graficos.

Tubo aberto em uma extremidade e fechado na outra

Com a ajuda do seu tutor, feche a extremidade do tubo de Kundt que

recebe o estetoscopio ou o microfone e repita, passo a passo, as experiencias

realizadas com o tubo aberto nas duas extremidades.

Entre outras descobertas, voce vai perceber que, quando o tubo esta

fechado em uma extremidade e aberto na outra, a relacao entre os compri-

mentos de onda das ondas estacionarias e comprimento do tubo e:

L = (2n − 1)λn

4

onde n e o numero de nodos de deslocamento (ou ordem do harmonico

observado).

Exercıcio 15.2

- Demonstre a relacao a seguir, entre a frequencia νn e a velocidade v

do som:

νn = (2n − 1)v

4L

- Faca um grafico de νn contra2n − 1

4Le encontre a velocidade do som. Qual

a incerteza sobre esta velocidade? Relate seu procedimento experimental

de maneira clara e objetiva; a apostila “Topicos de tratamento de dados

experimentais” vai, de novo, ajudar voce!

Uma observacao interessante: em tubos abertos nas duas extremidades,

todos os harmonicos estao presentes, mas em tubos abertos em uma extre-

midade e fechados na outra, somente harmonicos de ordem ımpar existem.

As ondas sonoras estacionarias em uma dimensao nao tem mais segredo

para voce? Do ponto de vista experimental, esperamos que sim! Vamos ver,

a seguir, o lado teorico dessa historia.

197 CEDERJ

Sons musicais

Colunas de ar

Quantos instrumentos de sopro voce conhece? Flauta, clarinete, saxo-

fone, orgao e tantos outros. Todos eles tem em comum a presenca de colunas

de ar. Depois de passar um tempo se divertindo com o tubo de Kundt, as

colunas de ar nao tem mais segredos para voce, nao e mesmo? Como voce

viu em suas experiencias, o fato de manter uma extremidade aberta e uma

fechada, ou as duas extremidades abertas, afeta o comprimento de onda e a

frequencia das ondas produzidas em um determinado tubo. Vamos estudar

cada um deles separadamente.

Tubo aberto nas duas extremidades

Quando voce sopra em uma extremidade de uma flauta, por exemplo,

a coluna de ar dentro da flauta comeca a vibrar e podem ocorrer diferentes

modos normais, assim como numa corda vibrante. A extremidade onde voce

sopra esta aberta, logo a pressao na abertura e igual a pressao atmosferica:

temos, entao, um nodo de pressao. Como vimos antes, as ondas de pressao

e deslocamento estao defasadas em π/2; assim, teremos sempre um antinodo

de deslocamento em uma extremidade aberta.

Para um tubo, como o de uma flauta, que e aberto nas suas duas ex-

tremidades, teremos sempre dois antinodos de deslocamento nas extremida-

des. Quantos perıodos de onda conseguimos colocar em um tubo de compri-

mento ? A Figura 15.6 e as experiencias que voce realizou com o tubo de

Kundt, com as duas extremidades abertas, devem ajudar voce a responder a

esta pergunta!

Vemos que o maior comprimento de onda possıvel e

λ1 = 2

Comprimentos de onda menores, como os indicados na Figura 15.6,

sao possıveis

λn =2

n(15.1)

onde n = 1, 2, 3, .... Como conhecemos a relacao entre comprimento de

onda e frequencia (ν = v/λ), podemos encontrar as frequencias dos modos

normais, como se segue

νn =nv

2(15.2)

onde, mais uma vez, n = 1, 2, 3, ....

CEDERJ 198


Figura 15.6: Comprimento de onda λ e frequencia ν para o modo fundamental e ostres primeiros harmonicos em um tubo de comprimento � aberto nas duas extremidades.Os modos e antinodos sao os de deslocamento.

Tubo aberto em uma extremidade e fechado em outra

Voce tambem ja sabe o que acontece quando excitamos modos normais

em um tubo com uma extremidade aberta e uma fechada. Afinal de contas,

voce fez essa experiencia com um tubo de Kundt ainda ha pouco! Vamos

refrescar a sua memoria.

Na extremidade que esta aberta, temos um nodo de pressao e um

antinodo de deslocamento. E na extremidade fechada, o que acontece? Nessa

extremidade, temos um nodo de deslocamento. A Figura 15.7 nos ajuda a vi-

sualizar o que acontece em um tubo de comprimento . O maior comprimento

de onda que conseguimos colocar no tubo e

λ1 = 4

Como temos uma extremidade aberta e uma fechada, teremos sempre um

nodo de deslocamento de um lado e um antinodo do outro lado; assim, os

199 CEDERJ

Sons musicais

comprimentos de onda possıveis sao

λn =4

2n − 1(15.3)

onde, agora, n = 1, 2, 3, ..., e as frequencias permitidas sao

νn =(2n − 1)v

4(15.4)

Assim, concluimos que apenas os harmonicos ımpares estao presentes.

Figura 15.7: Comprimento de onda λ e frequencia ν para o modo fundamental e ostres primeiros harmonicos em um tubo de comprimento � aberto em uma extremidade efechado na outra. Os modos e antinodos sao os de deslocamento.

Membranas e placas vibrantes

Os instrumentos de percussao, como tambores, bumbos etc., sao forma-

dos por membranas esticadas ou placas. Quando batemos em um tambor,

a deformacao que geramos se desloca sobre a membrana, dando origem a

um pulso bidimensional. Este pulso e refletido nas bordas do tambor e

pode dar origem a ondas estacionarias bidimensionais. Como dissemos

antes, a matematica envolvida na descricao de ondas bidimensionais e mais

CEDERJ 200


complicada do que a que voce viu ate agora. Nos nao vamos aborda-la ja.

Por outro lado, mesmo sem fazer a conta, queremos que voce saiba algumas

coisas sobre ondas bidimensionais.

A primeira delas, que discutimos ha pouco, e que e possıvel formar

ondas estacionarias bidimensionais. A segunda, e que os modos normais

de vibracao de uma membrana nao sao harmonicos do tom fundamental,

ou seja, as frequencias excitadas na membrana nao sao multiplos do tom

fundamental.

A Figura 15.8 mostra os cinco primeiros modos de vibracao de um

tambor. O sinal + indica as regioes da membrana que sobem e o sinal –

indica as regioes que descem. No modo fundamental, a placa inteira sobe

e desce, no segundo modo normal (a direita do primeiro, na figura) temos

uma linha nodal separando uma regiao que sobe de uma que desce. A linha

nodal e o equivalente bidimensional do nodo (unidimensional!) que voce pode

observar em uma corda vibrante, por exemplo. No caso bidimensional, em

vez de um unico ponto em repouso, separando um vale de uma crista de

onda, aqui temos uma linha inteira, separando uma regiao de vale (sinal –)

de uma regiao de crista (sinal +).

Figura 15.8: Modos normais de vibracao de uma membrana circular.

201 CEDERJ

Sons musicais

Resumo

A caracterıstica que distingue um som musical de um barulho e a peri-

odicidade das ondas. Pode-se distinguir a intensidade, a altura e o timbre em

uma onda sonora. Cordas vibrantes, colunas de ar e placas ou membranas vi-

brantes sao fontes sonoras, nas quais se podem produzir ondas estacionarias.

Exercıcios finais

1. O comprimento de uma corda de violino e 50 cm. Ela esta fixada

em seus extremos e sua massa e 2,0 g. A corda emite uma nota la

(ν = 440 Hz) quando nao se exerce pressao sobre ela. Onde deve ser

colocado o dedo para que a nota emitida seja do (ν = 528 Hz)?

2. Encontre a frequencia fundamental e a frequencia de cada um dos tres

primeiros sobretons de um tubo de 45 cm de comprimento,

sabendo que:

(a) o tubo possui as duas extremidades abertas;

(b) uma das extremidade do tubo esta fechada.

Use o valor v = 344 m/s.

(c) Para cada um dos casos anteriores, qual e o numero de harmonicos

superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir

frequencias no intervalo entre 20 Hz e 20.000 Hz?

Auto-avaliacao

Curtiu esta aula? Claro que sim! Pronto para tocar uma sinfonia

com o que aprendeu? Claro que nao! Mas voce deve estar pronto, isso sim, a

explicar para alguem como funcionam alguns instrumentos musicais! Se voce

se julga capaz de explicar para alguem, e porque realmente entendeu! Voce

conseguiu fazer as experiencias e os problemas do fim da aula? Siga adiante!

Caso contrario, voce ja deve saber que a perseveranca e uma qualidade que

deve ser cultivada! Volte ao inıcio da aula e refaca seu caminho ate aqui.

Bom trabalho, e ate a proxima aula!

CEDERJ 202

Efeito Doppler e ondas de choqueMODULO 2 - AULA 16

Aula 16 – Efeito Doppler e ondas de choque

Meta da aula

• Explicar o que acontece quando as fontes sonoras entram em

movimento.

Objetivos


• Compreender o Efeito Doppler.

• Saber o que e uma onda de choque e quando ela ocorre.

Introducao

Ate agora, nos estudamos a propagacao de ondas sonoras que ocorriam

com a fonte em repouso. O que acontece quando ela entra em movimento?

E se o observador entrar em movimento? Voce deve ter experimentado essas

situacoes no seu dia a dia. Que tal tentar entender esses fenomenos?

Efeito Doppler

O matematico Christian

Andreas Doppler nasceu em

1803, na Austria, e morreu

em 1853, na Italia. Em 1842,

estudando as cores de

estrelas duplas, ele propos

que o movimento da fonte

altera tanto a frequencia de

ondas sonoras como de

ondas luminosas, o que ficou

conhecido como Efeito

Doppler. O exame Doppler,

que utiliza o ultra-som para

medir a velocidade da

circulacao sanguinea,

especialmente no coracao e

no cerebro, tomou esse nome

do matematico e fısico

austrıaco. (Houaiss, 2001)

Voce ja deve ter notado, a partir de suas experiencias andando pelas

ruas da sua cidade que, quando uma ambulancia se aproxima, a frequencia

do som aumenta; quando ela se afasta, a frequencia diminui. Este fenomeno

foi estudado, pela primeira vez, por Christian Doppler e, por isso, recebeu

o nome de Efeito Doppler. Vamos entender o que esta acontecendo, para

os casos em que fonte e/ou observador se movem com velocidade constante,

menor que a velocidade do som no meio onde ele se propaga e ao longo da

linha que os une. Vamos supor, em ambos os casos, que a fonte e puntiforme,

ou seja, emite ondas esfericas que se propagam em tres dimensoes.

Observador em movimento e fonte em repouso

Vamos estudar primeiro o caso em que o observador (voce!) esta em

movimento uniforme, com velocidade vo, e a fonte sonora (a ambulancia) esta

parada, como mostra a Figura 16.1.

203 CEDERJ

Efeito Doppler e ondas de choque

Figura 16.1: Voce andando com velocidade constante vo em direcao a uma ambulanciaparada com a sirene ligada.

Vamos encontrar, em primeiro lugar, o numero n de cristas de onda que

o observador receberia em um intervalo de tempo ∆t, se ele nao estivesse em

movimento. Voce se lembra que o comprimento de onda λ e a distancia entre

duas cristas, nao e mesmo? Entao, e possıvel escrever n como a distancia

d percorrida pela onda durante um intervalo de tempo ∆t dividida pelo

comprimento de onda

n =d

λ=

v ∆t

λonde d = v ∆t e v e a velocidade do som no meio em que ele esta se propa-

gando (neste caso, o ar!).

Como o observador esta em movimento, em direcao a fonte, ele recebe

mais cristas de onda no mesmo intervalo de tempo. Quantas a mais?

n′ =vo∆t

λ

onde vo e a velocidade com que ele se aproxima da ambulancia e n′ o numero

de cristas que o observador cruza, supondo-se essas cristas imoveis.

A frequencia ν emitida pela ambulancia e diferente da frequencia ν ′

ouvida pelo observador. Essa ultima e dada pelo numero de cristas que

chegam ao observador por intervalo de tempo. Desta forma,

ν ′ =n + n′

∆t=

v∆t

λ+

vo∆t

λ∆t

=v + vo

λ

Lembrando que λ = v/ν, temos

ν ′ = ν (v + vo

v) = ν (1 +

vo

v) (16.1)

CEDERJ 204


Se, em vez de se aproximar da fonte, o observador se afasta com velo-

cidade vo, ele vai receber um numero menor de cristas de onda por unidade

de tempo.

ν ′ = ν (1 − vo

v) (16.2)

Para fonte em repouso e observador em movimento, temos

ν ′ = ν (v ± vo

v) (16.3)

onde o sinal + indica que o observador se aproxima e o sinal – que se afasta.

O som e mais agudo (frequencia maior) para a aproximacao e mais grave

(frequencia menor) para o afastamento.

Entendeu como a frequencia emitida por uma fonte em repouso e per-

cebida por um observador em movimento? Nao e tao complicado assim, nao

e mesmo? Mas o que sera que acontece quando a fonte entra em movimento

e o observador permanece parado? Vamos responder a essa pergunta agora!

Fonte em movimento e observador em repouso

Para responder a pergunta anterior, vamos supor que o observador

esteja em repouso (como havıamos combinado!) e que a fonte se mova com

velocidade uniforme vf em direcao ao observador.

Se a fonte estivesse parada, o observador perceberia um comprimento

de onda λ

λ =v

ν

que e o proprio comprimento de onda emitido pela fonte; mas, isso e obvio

para voce!

No entanto, a fonte nao esta parada! A Figura 16.2 mostra diversas

cristas de onda emitidas pela fonte em movimento em intervalos de tempo

∆t igualmente espacados. A fonte se aproxima do observador, andando a

mesma distancia d = vf ∆t a cada intervalo de tempo ∆t. Desse modo, para

um observador de quem a fonte se aproxima, o intervalo entre as cristas, ou

seja, o comprimento de onda percebido e menor que o comprimento emitido

pela fonte:

λ′ =v − vf

ν

205 CEDERJ


Figura 16.2: Observador em repouso e fonte em movimento.

Podemos encontrar a frequencia percebida pelo observador, substituindo

λ′ obtido na equacao anterior na equacao para a frequencia

ν ′ =v

λ′ =v

(v − vf)/ν(16.4)

Quando a fonte esta se aproximando do observador, a frequencia au-

menta (de acordo com a sua experiencia cotidiana, nao e mesmo?)

ν ′ = ν (v

v − vf

) (16.5)

Quando a fonte esta se afastando, o comprimento de onda percebido

pelo observador e maior. Imagine um outro observador na Figura 16.2, sen-

tado do outro lado da ambulancia, e veja, tambem na Figura 16.2, o compri-

mento de onda λ′′ que ele perceberia. A frequencia e menor que a original:

ν ′ =v

λ′′ = ν (v

v + vf) (16.6)

Para fonte em movimento e observador em repouso, temos

ν ′ = ν (v

v ∓ vf) (16.7)

onde o sinal - indica que a fonte se aproxima e o sinal + indica que se afasta.

O som e mais agudo para aproximacao e mais grave para afastamento.

CEDERJ 206


Fonte e observador em movimento

Para os casos em que a fonte e o observador se movem, podemos jun-

tar as equacoes para o observador em movimento (16.3) e para a fonte em

movimento (16.7). Desta forma, temos

Fonte e observador em movimento

ν ′ = ν (v ± vo

v ∓ vf) (16.8)

onde o sinal +, no numerador, indica que o observador se aproxima e o

sinal – indica que se afasta, enquanto o sinal -, do denominador, indica que

a fonte se aproxima e o sinal + indica que a fonte se afasta.

Observacao: Uma pessoa desatenta poderia pensar que os efeitos da fonte

e do observador em movimento poderiam ser levados em conta usando a

velocidade relativa de um em relacao ao outro. Mas voce nao vai cair nessa

armadilha, nao e mesmo? As ondas sonoras sao ondas mecanicas, logo

precisam de um meio material para se propagarem. Com isso, a atmosfera

se torna um referencial privilegiado para a propagacao do som, portanto

devemos levar em consideracao as velocidades da fonte e do observador em

relacao ao ar!

Ondas de choque

Voce ja deve ter ouvido falar do Concorde, um aviao que voava com

velocidades maiores do que a do som, ou seja, um aviao supersonico. Voce

tambem deve ter ouvido falar no estrondo supersonico, que ocorre quando

a barreira do som e quebrada. Essas coisas poderiam parecer muito miste-

riosas, mas agora, que voce e um especialista em ondas sonoras, vai ver que

tudo isso e, na verdade, muito simples de ser compreendido.

Vamos imaginar um Concorde, nossa fonte sonora que pode alcancar

velocidades altas, voando, e voce, o observador, parado, ouvindo-o e vendo-

o passar. Vimos, ha pouco, que o comprimento de onda percebido pelo

observador, quando ele esta em repouso e a fonte em movimento, e

λ′ =v − vf

ν

207 CEDERJ


Pela Equacao anterior temos que, a medida que a velocidade da fonte vf

se aproxima da velocidade do som v, o comprimento de onda diminui. Para

v = vf , o comprimento de onda vai a zero e as cristas das ondas se agrupam.

Quando isso ocorre, o ar agrupado exerce uma forca enorme sobre a fonte e

ocorre um aumento da resistencia do ar: este e o fenomeno conhecido como

barreira do som. Essa barreira era temida, nos anos 40, pelos pilotos de

jatos que tentavam ultrapassa-la; o efeito era tao violento que alguns deles

morreram, pois os avioes se quebravam.

Quando a fonte tem velocidade supersonica (vf > v), as equacoes do

efeito Doppler deixam de ter significado fısico (afinal de contas, um compri-

mento de onda negativo nao faz sentido, nao e mesmo?). Ao se mover, a fonte

desloca o ar das vizinhancas e produz ondas sonoras. Estas ondas sao emi-

tidas pela fonte em todas as direcoes, dando origem a ondas esfericas, cujos

centros coincidem com a posicao da fonte no instante em que foram emitidas,

de modo semelhante ao que acontece para uma sirene em movimento e um

observador em repouso, que estudamos ha pouco. Entao, qual e a diferenca

entre a ambulancia (vf < v) e o Concorde (vf > v)? Para o Concorde, apos

um intervalo de tempo t, a onda emitida em um certo ponto se propagou em

uma esfera de raio r = vt, enquanto que a fonte andou uma distancia maior

vf t. Assim sendo, todas as ondas geradas pela fonte ficaram contidas em um

cone, conhecido como Cone de Mach, como indicado na Figura 16.3.Ernst Mach nasceu em 1838,

na Austria, e morreu em

1916. Fısico, filosofo e

psicologo, realizou estudos

sobre diversos temas, entre

eles, a propagacao de ondas,

Optica e Mecanica. Em

1887, estabeleceu os

prinicıpios da Supersonica e

o Numero

de Mach.

Figura 16.3: Cone de Mach. Na figura, representamos apenas cortes das ondas esfericasemitidas pela fonte.

Na Figura 16.3, todas as ondas chegam ao mesmo tempo a reta que faz

um angulo θ com a direcao de propagacao da fonte. Isso faz com que exista

CEDERJ 208


uma interferencia construtiva, que da origem a uma onda com grande

amplitude ao longo desta reta, conhecida como onda de choque.

O angulo θ e dado por

sen θ =v

vf(16.9)

e a razao vf/v chama-se Numero de Mach.

A chegada desta onda de choque ao solo produz o chamado estrondo

sonico, que voce ouve depois que o Concorde passa acima de sua cabeca.

Resumo

A frequencia de uma fonte sonora em movimento e diferente da frequen-

cia percebida por um observador em repouso ou em movimento em relacao a

fonte. De maneira semelhante, um observador em movimento percebe uma

frequencia diferente da emitida por uma fonte em repouso. Este efeito e

conhecido como Efeito Doppler. Ondas de choque sao produzidas quando

a velocidade da fonte ultrapassa a velocidade do som no meio em que este

se propaga.


1. Um carro e uma ambulancia andam em uma rua de mao dupla, em

sentidos opostos. A sirene da ambulancia esta ligada e o motorista do

carro percebe uma frequencia que varia entre 593,8 Hz, quando estao

se aproximando, e 416,7 Hz, quando estao se afastando. A velocidade

do som no ar e de 340 m/s. Sabendo-se que a velocidade do carro e o

dobro da da ambulancia, calcule a velocidade do carro e a frequencia

da sirene.

2. Um Concorde esta voando a Mach 1,75, a uma altura de 8000 m, onde

a velocidade do som e igual a 320 m/s. Quanto tempo depois de o

aviao passar em cima da sua cabeca, voce ouvira o estrondo sonico?

209 CEDERJ


Auto-avaliacao

Voce entendeu bem os conceitos apresentados nesta aula? Se ficou tudo

bem claro, voce deve ter conseguido fazer os exercıcios sem pestanejar. Se

teve dificuldades, ja sabe, tenha paciencia e volte ao comeco da aula. Esta foi

sua ultima aula deste modulo; esperamos que voce tenha gostado! A seguir,

voce encontrara uma lista de problemas sobre ondas.

CEDERJ 210


Aula 17 – Aula de exercıcios

Voce vai encontrar, a seguir, uma lista com problemas variados, co-

brindo toda a materia vista no Modulo II. Como no modulo anterior, nem

todos os exercıcios tem o mesmo grau de dificuldade e, mais uma vez, para

que voce possa distingui-los, aqueles com grau de dificuldade intermediario

estao identificados com •, enquanto os mais difıceis, com ••. Faca primeiro

os mais faceis; depois de compreende-los bem, passe aos intermediarios, dei-

xando os mais difıceis para o fim. Nao se esqueca de que os tutores poderao

ajuda-lo. Bom trabalho!

1. •• Na Figura 17.1, mostramos uma mola, de constante elastica k1 e

comprimento 1, ligada a um alto-falante e a uma outra mola, de cons-

tante elastica k2 e comprimento 2 que, por sua vez, esta presa ao teto.

Sabendo-se que, na mola 1, uma onda se propaga com velocidade v1 e

frequencia ν1, determine:

Figura 17.1: Duas molas acopladas em serie, uma delas ligada a um alto-falante.

a) a velocidade v2 na mola 2;

b) a frequencia ν2 na mola 2;

c) a condicao entre k1 e k2, sabendo que 1 = 22, para que o ponto de

juncao entre as molas (A) fique permanentemente parado.

211 CEDERJ

Aula de exercıcios

2. Na Figura 17.2, mostramos um interferometro acustico, usado para de-

monstrar a interferencia de ondas sonoras. A e um alto-falante que

vibra com frequencia ν. Voce coloca o seu ouvido em O. O com-

primento do caminho ABO e fixo, mas o do caminho ACO pode

ser variado.

Figura 17.2: Interferometro acustico.

O interferometro contem ar, e verifica-se que a intensidade do som apre-

senta um mınimo de 100 unidades arbitrarias para certa posicao de C

e cresce continuamente ate o maximo de 900 unidades arbitrarias para

uma segunda posicao de C, localizada a 1,65 m da primeira. Sabendo-se

que a velocidade do som no ar e de 330 m/s:

a) calcule a frequencia ν do som emitido pelo alto-falante;

b) encontre a relacao entre as amplitudes das ondas resultantes que

chegam ao detetor na primeira e na segunda posicao de C;

c) como e possıvel estas ondas resultantes terem amplitudes diferentes,

se foram produzidas pela mesma fonte?

CEDERJ 212


3. Um alto-falante A esta a uma distancia d de seu ouvido O. Verifica-

se que uma onda recebida diretamente de A chega a O em fase com

uma onda refletida por uma camada horizontal situada a altura H .

Os raios incidentes e refletidos formam angulos iguais com a camada

refletora, como mostra a Figura 17.3. Se esta camada se elevar de uma

distancia h, nenhum sinal e recebido em O. Despreze a absorcao no

meio onde se encontra o alto-falante e determine a relacao entre d, H ,

h e o comprimento de onda λ.

Figura 17.3: Percursos diferentes que a onda pode fazer.

4. Um morcego voa dentro de uma caverna, guiando-se pelo uso de “bips”

ultra-sonicos. Suponha que a frequencia da emissao do som do morcego

seja de 39.000 Hz. Durante um voo em direcao a uma parede plana, o

morcego desloca-se com velocidade igual a 1/40 da velocidade do som

no ar. Qual e a frequencia da onda que ele ouve quando esta e refletida

na parede?

5. A velocidade do som em um metal e V .Uma das extremidades de uma

barra deste metal, de comprimento , recebe um golpe forte. Uma

pessoa, na outra extremidade, ouve dois sons, um oriundo da onda que

se propagou pela barra e outro da onda que se propagou pelo ar.

a) Se v e a velocidade do som no ar, qual o intervalo de tempo ∆t que

decorre entre os dois sons?

b) Suponha ∆t = 1 s e que o metal seja o ferro. Determine o compri-

mento .

213 CEDERJ

Aula de exercıcios

6. Voce dirige um carro do Corpo de Bombeiros em direcao a um predio,

com velocidade v = 10 m/s. A sirene esta ligada e emite ondas sonoras

com frequencia de 1000 Hz.

a) Qual a frequencia do som que voce ouve, proveniente diretamente

da sirene?

b) Qual a frequencia do som que voce ouve, proveniente da reflexao

no predio?

c) Voce consegue ouvir os batimentos?

7. • Um tubo fechado de orgao emite som nas vizinhancas de uma gui-

tarra, fazendo uma de suas cordas vibrar com grande amplitude. Faze-

mos a tensao da corda variar ate achar a amplitude maxima. A relacao

entre os comprimentos do tubo t e da corda c e conhecida: c = 0, 8t.

Sabendo-se que o tubo e a corda vibram com a mesma frequencia fun-

damental, calcule a razao entre a velocidade de propagacao da onda na

corda e a velocidade de propagacao do som no ar.

8. • Uma das cordas de uma guitarra, com comprimento de 63,5 cm, e

afinada para produzir uma nota B3, que tem frequencia de 245 Hz,

quando esta vibrando no modo fundamental.

a) Calcule a velocidade da onda transversal que percorre a corda.

b) Se a tensao da corda aumentar 1%, qual deve ser a nova frequencia

fundamental da corda?

c) Se a velocidade do som no ar for de 344 m/s, ache o comprimento

de onda e a frequencia da onda sonora produzida quando a corda vibra

com a nota B3.

d) Como se comparam a frequencia e o comprimento de onda do item

anterior com os obtidos para a onda estacionaria na corda?

CEDERJ 214

Conclusao

Conclusao

Esperamos que voce tenha gostado do modulo de ondas (e tambem do

de oscilacoes!) e tenha se divertido observando osciladores e gerando ondas.

Voce, agora, sabe que a natureza esta repleta de osciladores e deve ter

percebido que as ondas estao presentes em quase tudo a sua volta, desde

ondas na superfıcie de uma lagoa ate ondas sonoras de uma ambulancia em

movimento e tantas outras que voce estudou durante este modulo.

Este foi seu primeiro contato formal com as ondas, mas nao sera o

ultimo! Como sempre, em uma primeira visita, muitas coisas nao podem ser

abordadas. Neste caso, tanto o tempo disponıvel quanto a complexidade ma-

tematica de alguns temas nos fizeram deixa-los de lado. Como mencionamos

varias vezes, as ondas encontradas na natureza sao, em sua grande maioria,

tridimensionais, mas neste modulo estudamos apenas ondas unidimensionais

(com uma pequena excecao “ilustrativa” na Aula 15: os modos normais de

vibracao de uma membrana).

Mas voce ainda vai se deparar com ondas muitas vezes e tera a chance

de aprender varias coisas que ficaram de lado agora. Voce vai aprender sobre

o carater ondulatorio da luz, sobre a dualidade partıcula-onda, que e a base

da mecanica quantica, e ainda muitas outras coisas interessantes ao longo

das disciplinas que esperam por voce.

215 CEDERJ

Referencias bibliograficas

Referencias bibliograficas

NUSSENZVEIG, H. Moyses. Curso de fısica basica. 3.ed. Sao Paulo:

Edgar Blucher, 1996.

RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Fısica 4.ed. Rio de Janeiro:

LCT, 1984.

RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth S. Fısica

4.ed. Rio de Janeiro: LCT, 1996.

217 CEDERJ

Agradecimentos

Agradecimentos

Final de Disciplina...chegou a hora de agradecer:

– aos estudantes do Instituto de Fısica da UFRJ, Cristina Schoch Vi-

anna, pela ajuda na realizacao das experiencias, e Kazuyoshi Akiba, pela

geracao de graficos no MAPLE;

– a Anna Maria Osborne, Ana Tereza de Andrade, Anna Carolina da

Matta Machado e Jose Meyohas, pelas aulas de Portugues durante a revisao

do texto;

– a Fabio Muniz, que criou o Professor Careca, pela competencia na

confeccao das figuras;

– a Eduardo Bordoni, pela coordenacao eficiente de ilustracao;

– a Mirelle Mota, que, com muita paciencia e competencia, colocou

figuras e texto no seu devido lugar, ganhando todas as batalhas contra o

LATEX;

– ao CEDERJ, que nos deu a oportunidade de contribuir para o desen-

volvimento do ensino a distancia;

– a todos os funcionarios do CEDERJ, elos da corrente entre os con-

teudistas e os alunos;

– antecipadamente, a esses alunos, que motivaram nossos esforcos para

escrever este livro.

219 CEDERJ

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