FÍSICA 3 ANO DO ENSINO MÉDIO FRENTE III Turmas Platão e ...
Transcript of FÍSICA 3 ANO DO ENSINO MÉDIO FRENTE III Turmas Platão e ...
fisicaprofessordanilocom
1
FIacuteSICA
FRENTE III
Professor Danilo
3 ANO DO ENSINO MEacuteDIO
Turmas Platatildeo e Soacutecrates
Atualizado em 01Jan2022
httpfisicaprofessordanilocom
fisicaprofessordanilocom
2
optica
IacuteNDICE OacutePTICA 8
1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3 8
a) AVALIACcedilAtildeO 8
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO 8
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA 8
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 9
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS 11
b) TIPOS DE MEIOS 11
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS 11
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO 13
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 16
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA PROPAGACcedilAtildeO
RETILIacuteNEA DA LUZ 17
a) SOMBRA 17
b) PENUacuteMBRA 17
c) CAcircMARA ESCURA 17
d) A LUA 18
e) AcircNGULO VISUAL 19
5 LEIS DA REFLEXAtildeO 21
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO 21
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO 21
6 IMAGENS EM ESPELHOS PLANOS 22
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS 22
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS 23
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM ESPELHO PARA SE
VER POR COMPLETO 23
8 CAMPO VISUAL 24
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANOOBJETO
25
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANO 29
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS ESPELHOS 30
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS 32
fisicaprofessordanilocom
3
a) RAIOS NOTAacuteVEIS 33
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO 33
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO 34
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO 35
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 39
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 41
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS 41
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES 42
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 42
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL 42
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-DESCARTES 45
a) VELOCIDADE DA LUZ 45
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT 47
c) LEI DE SNELL-DESCARTES 47
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO TOTAL 48
Dioptro plano 48
Reflexatildeo Total 50
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS 51
16 FIBRA OacutePTICA 52
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE DOS
ASTROS 53
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros 53
(B) Miragem 53
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA 55
19 PRISMAS 57
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo 57
(B) Dispersatildeo 58
(C) Desvio miacutenimo 59
20 LENTES ESFEacuteRICAS 60
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO 60
(B) NOMENCLATURA 61
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS 66
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS 70
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO 77
fisicaprofessordanilocom
4
(G) REFERENCIAL DE GAUSS 78
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE LENTES 81
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES 82
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM ESPELHOS 83
24 OacutePTICA DA VISAtildeO 84
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA VISAtildeO) 86
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS 89
------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE
ONDULATOacuteRIA -- ------------------------------------------------ 94
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO 94
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(C) SISTEMA MASSA MOLA 94
2 SISTEMA MASSA-MOLA 95
3 ENERGIA NO MHS 97
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS 99
5 PEcircNDULO SIMPLES 99
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS 101
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t) 102
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t) 103
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t) 106
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS 109
(E) ENERGIA NO MHS 110
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS 113
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS 117
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza
em 117
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo 120
8 ELEMENTOS DAS ONDAS 122
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA 123
10 ONDAS MECAcircNICAS 126
(A) O SOM 126
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS 126
fisicaprofessordanilocom
5
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS 127
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E
TRIDIMENSIONAIS 130
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS 133
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO 133
PRINCIacutePIO DE HUYGENS 133
(B) POLARIZACcedilAtildeO 135
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA 137
(D) RESSONAcircNCIA 138
(E) BATIMENTO 141
13 ACUacuteSTICA 141
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA 141
(B) NIacuteVEL SONORO 144
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA 145
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA 146
(E) CONE DE MACH 147
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS 148
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS 150
(A) INTRODUCcedilAtildeO 150
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES 153
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ 154
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS 154
TUBOS SONOROS 155
-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE
FIacuteSICA MODERNA -- --------------------------------------------------
157
1 TERORIA DA RELATIVIDADE 157
(A) INTRODUCcedilAtildeO 157
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY 163
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 164
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA 171
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO 175
fisicaprofessordanilocom
6
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 176
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA 178
(A) TEORIA DOS QUANTAS 178
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO 180
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ 186
(D) O AacuteTOMO DE BORH 187
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA 188
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA 189
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG 189
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES 191
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932) 191
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924) 192
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947) 192
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956) 192
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962) 194
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964) 196
fisicaprofessordanilocom
7
NOTA DO AUTOR AOS LEITORES
Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino
meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP
O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer
pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre
O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018
segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada
revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir
com isso enviando e-mail para o professor Danilo para
daniloprofessordanilocom
Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas
referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima
que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material
Campinas 21 janeiro de 2020
Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link
httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57
NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS
O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto
apesar deste material estar completo com resumos e figuras
recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e
use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar
alguns links utilizados em aula pelo professor
Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o
professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e
textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo
o conteuacutedo deste arquivo
Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material
acessando o link
fisicaprofessordanilocom
Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom
Campinas 21 janeiro de 2021
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
2
optica
IacuteNDICE OacutePTICA 8
1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3 8
a) AVALIACcedilAtildeO 8
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO 8
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA 8
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 9
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS 11
b) TIPOS DE MEIOS 11
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS 11
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO 13
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA GEOMEacuteTRICA 16
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA PROPAGACcedilAtildeO
RETILIacuteNEA DA LUZ 17
a) SOMBRA 17
b) PENUacuteMBRA 17
c) CAcircMARA ESCURA 17
d) A LUA 18
e) AcircNGULO VISUAL 19
5 LEIS DA REFLEXAtildeO 21
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO 21
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO 21
6 IMAGENS EM ESPELHOS PLANOS 22
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS 22
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS 23
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM ESPELHO PARA SE
VER POR COMPLETO 23
8 CAMPO VISUAL 24
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANOOBJETO
25
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO PLANO 29
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS ESPELHOS 30
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS 32
fisicaprofessordanilocom
3
a) RAIOS NOTAacuteVEIS 33
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO 33
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO 34
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO 35
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 39
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 41
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS 41
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES 42
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 42
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL 42
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-DESCARTES 45
a) VELOCIDADE DA LUZ 45
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT 47
c) LEI DE SNELL-DESCARTES 47
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO TOTAL 48
Dioptro plano 48
Reflexatildeo Total 50
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS 51
16 FIBRA OacutePTICA 52
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE DOS
ASTROS 53
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros 53
(B) Miragem 53
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA 55
19 PRISMAS 57
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo 57
(B) Dispersatildeo 58
(C) Desvio miacutenimo 59
20 LENTES ESFEacuteRICAS 60
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO 60
(B) NOMENCLATURA 61
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS 66
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS 70
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO 77
fisicaprofessordanilocom
4
(G) REFERENCIAL DE GAUSS 78
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE LENTES 81
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES 82
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM ESPELHOS 83
24 OacutePTICA DA VISAtildeO 84
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA VISAtildeO) 86
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS 89
------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE
ONDULATOacuteRIA -- ------------------------------------------------ 94
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO 94
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(C) SISTEMA MASSA MOLA 94
2 SISTEMA MASSA-MOLA 95
3 ENERGIA NO MHS 97
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS 99
5 PEcircNDULO SIMPLES 99
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS 101
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t) 102
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t) 103
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t) 106
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS 109
(E) ENERGIA NO MHS 110
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS 113
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS 117
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza
em 117
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo 120
8 ELEMENTOS DAS ONDAS 122
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA 123
10 ONDAS MECAcircNICAS 126
(A) O SOM 126
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS 126
fisicaprofessordanilocom
5
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS 127
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E
TRIDIMENSIONAIS 130
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS 133
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO 133
PRINCIacutePIO DE HUYGENS 133
(B) POLARIZACcedilAtildeO 135
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA 137
(D) RESSONAcircNCIA 138
(E) BATIMENTO 141
13 ACUacuteSTICA 141
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA 141
(B) NIacuteVEL SONORO 144
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA 145
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA 146
(E) CONE DE MACH 147
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS 148
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS 150
(A) INTRODUCcedilAtildeO 150
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES 153
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ 154
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS 154
TUBOS SONOROS 155
-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE
FIacuteSICA MODERNA -- --------------------------------------------------
157
1 TERORIA DA RELATIVIDADE 157
(A) INTRODUCcedilAtildeO 157
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY 163
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 164
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA 171
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO 175
fisicaprofessordanilocom
6
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 176
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA 178
(A) TEORIA DOS QUANTAS 178
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO 180
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ 186
(D) O AacuteTOMO DE BORH 187
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA 188
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA 189
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG 189
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES 191
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932) 191
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924) 192
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947) 192
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956) 192
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962) 194
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964) 196
fisicaprofessordanilocom
7
NOTA DO AUTOR AOS LEITORES
Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino
meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP
O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer
pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre
O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018
segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada
revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir
com isso enviando e-mail para o professor Danilo para
daniloprofessordanilocom
Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas
referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima
que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material
Campinas 21 janeiro de 2020
Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link
httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57
NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS
O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto
apesar deste material estar completo com resumos e figuras
recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e
use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar
alguns links utilizados em aula pelo professor
Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o
professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e
textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo
o conteuacutedo deste arquivo
Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material
acessando o link
fisicaprofessordanilocom
Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom
Campinas 21 janeiro de 2021
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
3
a) RAIOS NOTAacuteVEIS 33
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO 33
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO 34
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO 35
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 39
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 41
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS 41
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES 42
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS 42
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL 42
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-DESCARTES 45
a) VELOCIDADE DA LUZ 45
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT 47
c) LEI DE SNELL-DESCARTES 47
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO TOTAL 48
Dioptro plano 48
Reflexatildeo Total 50
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS 51
16 FIBRA OacutePTICA 52
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE DOS
ASTROS 53
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros 53
(B) Miragem 53
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA 55
19 PRISMAS 57
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo 57
(B) Dispersatildeo 58
(C) Desvio miacutenimo 59
20 LENTES ESFEacuteRICAS 60
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO 60
(B) NOMENCLATURA 61
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS 66
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS 70
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO 77
fisicaprofessordanilocom
4
(G) REFERENCIAL DE GAUSS 78
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE LENTES 81
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES 82
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM ESPELHOS 83
24 OacutePTICA DA VISAtildeO 84
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA VISAtildeO) 86
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS 89
------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE
ONDULATOacuteRIA -- ------------------------------------------------ 94
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO 94
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(C) SISTEMA MASSA MOLA 94
2 SISTEMA MASSA-MOLA 95
3 ENERGIA NO MHS 97
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS 99
5 PEcircNDULO SIMPLES 99
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS 101
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t) 102
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t) 103
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t) 106
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS 109
(E) ENERGIA NO MHS 110
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS 113
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS 117
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza
em 117
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo 120
8 ELEMENTOS DAS ONDAS 122
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA 123
10 ONDAS MECAcircNICAS 126
(A) O SOM 126
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS 126
fisicaprofessordanilocom
5
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS 127
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E
TRIDIMENSIONAIS 130
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS 133
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO 133
PRINCIacutePIO DE HUYGENS 133
(B) POLARIZACcedilAtildeO 135
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA 137
(D) RESSONAcircNCIA 138
(E) BATIMENTO 141
13 ACUacuteSTICA 141
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA 141
(B) NIacuteVEL SONORO 144
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA 145
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA 146
(E) CONE DE MACH 147
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS 148
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS 150
(A) INTRODUCcedilAtildeO 150
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES 153
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ 154
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS 154
TUBOS SONOROS 155
-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE
FIacuteSICA MODERNA -- --------------------------------------------------
157
1 TERORIA DA RELATIVIDADE 157
(A) INTRODUCcedilAtildeO 157
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY 163
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 164
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA 171
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO 175
fisicaprofessordanilocom
6
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 176
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA 178
(A) TEORIA DOS QUANTAS 178
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO 180
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ 186
(D) O AacuteTOMO DE BORH 187
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA 188
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA 189
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG 189
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES 191
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932) 191
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924) 192
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947) 192
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956) 192
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962) 194
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964) 196
fisicaprofessordanilocom
7
NOTA DO AUTOR AOS LEITORES
Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino
meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP
O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer
pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre
O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018
segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada
revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir
com isso enviando e-mail para o professor Danilo para
daniloprofessordanilocom
Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas
referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima
que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material
Campinas 21 janeiro de 2020
Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link
httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57
NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS
O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto
apesar deste material estar completo com resumos e figuras
recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e
use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar
alguns links utilizados em aula pelo professor
Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o
professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e
textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo
o conteuacutedo deste arquivo
Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material
acessando o link
fisicaprofessordanilocom
Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom
Campinas 21 janeiro de 2021
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
4
(G) REFERENCIAL DE GAUSS 78
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE LENTES 81
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES 82
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM ESPELHOS 83
24 OacutePTICA DA VISAtildeO 84
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA VISAtildeO) 86
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS 89
------------------------------------------------ -- SEGUNDA PARTE
ONDULATOacuteRIA -- ------------------------------------------------ 94
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO 94
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS 94
(C) SISTEMA MASSA MOLA 94
2 SISTEMA MASSA-MOLA 95
3 ENERGIA NO MHS 97
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS 99
5 PEcircNDULO SIMPLES 99
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS 101
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t) 102
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t) 103
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t) 106
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS 109
(E) ENERGIA NO MHS 110
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS 113
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS 117
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza
em 117
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo 120
8 ELEMENTOS DAS ONDAS 122
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA 123
10 ONDAS MECAcircNICAS 126
(A) O SOM 126
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS 126
fisicaprofessordanilocom
5
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS 127
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E
TRIDIMENSIONAIS 130
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS 133
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO 133
PRINCIacutePIO DE HUYGENS 133
(B) POLARIZACcedilAtildeO 135
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA 137
(D) RESSONAcircNCIA 138
(E) BATIMENTO 141
13 ACUacuteSTICA 141
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA 141
(B) NIacuteVEL SONORO 144
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA 145
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA 146
(E) CONE DE MACH 147
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS 148
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS 150
(A) INTRODUCcedilAtildeO 150
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES 153
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ 154
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS 154
TUBOS SONOROS 155
-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE
FIacuteSICA MODERNA -- --------------------------------------------------
157
1 TERORIA DA RELATIVIDADE 157
(A) INTRODUCcedilAtildeO 157
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY 163
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 164
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA 171
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO 175
fisicaprofessordanilocom
6
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 176
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA 178
(A) TEORIA DOS QUANTAS 178
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO 180
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ 186
(D) O AacuteTOMO DE BORH 187
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA 188
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA 189
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG 189
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES 191
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932) 191
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924) 192
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947) 192
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956) 192
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962) 194
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964) 196
fisicaprofessordanilocom
7
NOTA DO AUTOR AOS LEITORES
Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino
meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP
O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer
pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre
O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018
segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada
revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir
com isso enviando e-mail para o professor Danilo para
daniloprofessordanilocom
Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas
referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima
que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material
Campinas 21 janeiro de 2020
Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link
httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57
NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS
O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto
apesar deste material estar completo com resumos e figuras
recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e
use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar
alguns links utilizados em aula pelo professor
Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o
professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e
textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo
o conteuacutedo deste arquivo
Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material
acessando o link
fisicaprofessordanilocom
Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom
Campinas 21 janeiro de 2021
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
5
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS 127
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS 128
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E
TRIDIMENSIONAIS 130
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS 133
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO 133
PRINCIacutePIO DE HUYGENS 133
(B) POLARIZACcedilAtildeO 135
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA 137
(D) RESSONAcircNCIA 138
(E) BATIMENTO 141
13 ACUacuteSTICA 141
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA 141
(B) NIacuteVEL SONORO 144
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA 145
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA 146
(E) CONE DE MACH 147
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS 148
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS 150
(A) INTRODUCcedilAtildeO 150
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES 153
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ 154
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS 154
TUBOS SONOROS 155
-------------------------------------------------- -- TERCEIRA PARTE
FIacuteSICA MODERNA -- --------------------------------------------------
157
1 TERORIA DA RELATIVIDADE 157
(A) INTRODUCcedilAtildeO 157
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY 163
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 164
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA 171
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO 175
fisicaprofessordanilocom
6
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 176
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA 178
(A) TEORIA DOS QUANTAS 178
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO 180
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ 186
(D) O AacuteTOMO DE BORH 187
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA 188
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA 189
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG 189
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES 191
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932) 191
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924) 192
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947) 192
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956) 192
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962) 194
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964) 196
fisicaprofessordanilocom
7
NOTA DO AUTOR AOS LEITORES
Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino
meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP
O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer
pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre
O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018
segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada
revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir
com isso enviando e-mail para o professor Danilo para
daniloprofessordanilocom
Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas
referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima
que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material
Campinas 21 janeiro de 2020
Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link
httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57
NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS
O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto
apesar deste material estar completo com resumos e figuras
recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e
use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar
alguns links utilizados em aula pelo professor
Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o
professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e
textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo
o conteuacutedo deste arquivo
Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material
acessando o link
fisicaprofessordanilocom
Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom
Campinas 21 janeiro de 2021
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
6
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 176
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA 178
(A) TEORIA DOS QUANTAS 178
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO 180
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ 186
(D) O AacuteTOMO DE BORH 187
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA 188
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA 189
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG 189
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES 191
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932) 191
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924) 192
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947) 192
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956) 192
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962) 194
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964) 196
fisicaprofessordanilocom
7
NOTA DO AUTOR AOS LEITORES
Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino
meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP
O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer
pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre
O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018
segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada
revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir
com isso enviando e-mail para o professor Danilo para
daniloprofessordanilocom
Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas
referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima
que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material
Campinas 21 janeiro de 2020
Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link
httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57
NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS
O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto
apesar deste material estar completo com resumos e figuras
recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e
use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar
alguns links utilizados em aula pelo professor
Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o
professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e
textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo
o conteuacutedo deste arquivo
Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material
acessando o link
fisicaprofessordanilocom
Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom
Campinas 21 janeiro de 2021
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
7
NOTA DO AUTOR AOS LEITORES
Este material foi desenvolvido como notas de aula para o ensino
meacutedio do coleacutegio EliteCol Campinas SP
O Conteuacutedo deste material eacute livre para ser utilizado por qualquer
pessoa para fins educacionais A coacutepia e divulgaccedilatildeo eacute livre
O presente arquivo eacute a terceira ediccedilatildeo (primeira em 2018
segunda em 2019 e terceira em 2021) que estaacute sendo revisada
revista e reformulada ao longo de 2021 e vocecirc pode contribuir
com isso enviando e-mail para o professor Danilo para
daniloprofessordanilocom
Se vocecirc viu alguma figura com direitos autorais sem as devidas
referecircncias por gentileza envie e-mail para o endereccedilo acima
que providenciarei o quanto antes a adequaccedilatildeo do material
Campinas 21 janeiro de 2020
Vocecirc tambeacutem pode avaliar as aulas com seu professor no link
httpsformsgleoaRnHxBHQUi3gHA57
NOTA DO AUTOR AOS SEUS ALUNOS
O material de 2021 natildeo seraacute idecircntico ao material de 2019 portanto
apesar deste material estar completo com resumos e figuras
recomendo fortemente que copie o conteuacutedo da sala de aula e
use este arquivo mais como um apoio e para poder visualizar
alguns links utilizados em aula pelo professor
Ao longo do ano conforme as aulas forem sendo dadas o
professor iraacute modificar este material adicionando links figuras e
textos que antes natildeo tinham bem como melhorando ou corrigindo
o conteuacutedo deste arquivo
Vocecirc poderaacute visualizar as melhorias semanais deste material
acessando o link
fisicaprofessordanilocom
Erratas e contato com o professor daniloprofessordanilocom
Campinas 21 janeiro de 2021
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
8
OacutePTICA 1 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FRENTE 3
a) AVALIACcedilAtildeO bull Apenas provas
b) CONTEUacuteDO PROGRAMAacuteTICO bull Frente 3
o Oacuteptica geomeacutetrica Luz Sombras Espelhos Lentes Instrumentos oacutepticos O olho humano
o Ondulatoacuteria o Fiacutesica moderna
bull A Fiacutesica trata do mundo real o O descrevemos usando a Matemaacutetica
2 INTRODUCcedilAtildeO Agrave FIacuteSICA FIacuteSICA
o Do grego physis natureza o A Fiacutesica trata do mundo real
O descrevemos usando a Matemaacutetica o Modo de estudo
Princiacutepios
bull Assume-se como verdade sem poder ser demonstrado
Teoremas
bull Podem ser demonstrados Leis
bull Podem ser Princiacutepios ou Teoremas Oacuteptica
o Do grego optikeacute visatildeo o O termo oacutetica (sem ldquoprdquo) estaacute relacionado ao ouvido
(exemplo otite) mas a grafia oacutetica muitas vezes eacute empregada como sinocircnimo de oacuteptica
o Divisotildees Oacuteptica geomeacutetrica
bull O que estudaremos neste semestre
bull Trata a luz como raio
bull Ferramenta principal Geometria Oacuteptica ondulatoacuteria
bull Estudaremos no proacuteximo semestre
bull Trata a luz como uma onda
bull Explica a difraccedilatildeo da luz (se vocecirc apontar um laser verde para um fio de cabelo iraacute obter as figuras a seguir)
Fonte httpwwwscielobrimgrevistasrbefv37n40102-4744-rbef-37-4-
4311-gf04jpg
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
9
Oacuteptica fiacutesica
bull Veremos no fim do ano
bull Trata a luz como partiacutecula
bull Explica por que quando a luz com determinada cor consegue retirar eleacutetrons de alguns metais (efeito fotoeleacutetrico)
3 INTRODUCcedilAtildeO Agrave OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA Conceitos fundamentais
o Raios de luz Linhas orientadas que representam o caminho
percorrido pela luz indicando tambeacutem o sentido
Veja na figura a seguir diversos tipos de pontos que seratildeo muito importantes para entendermos o que eacute imagem e objeto reais virtuais ou improacuteprios Siga a legenda abaixo para melhor entender o que estaacute na figura
bull POR
o Ponto objeto real
bull POV o Ponto objeto virtual
bull PIR o Ponto imagem real
bull PIV o Ponto imagem virtual
bull POI o Ponto objeto improacuteprio
bull PII o Ponto imagem improacutepria
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd
fisicaprofessordanilocom
10
o Fontes de luz Primaacuterias (emitem luz como o Sol lacircmpadas
estrelas etc) Secundaacuterias (que refletem luz como a Lua o
caderno os planetas etc) o A luz pode ser
Simples ou Monocromaacutetica (uma soacute cor) Composta ou Policromaacutetica (duas ou mais
cores superpostas ndash a luz do Sol eacute a mistura de todas as cores visiacuteveis)
o Velocidade da luz
No vaacutecuo eacute 83 10 ms e representado pela
letra c Uma ano-luz eacute a distacircncia percorrida pela luz
em um ano Isto eacute
8 15mal 1 ano (365 24 60 60) s 3 10 946 10 m1
s c= =
Ou
12al 946 10 km 240000000 de voltas na T1 ra er
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
11
a) AS CORES DO ARCO-IacuteRIS DECORE
b) TIPOS DE MEIOS
Exemplos de meios o Transluacutecidos
Vidro canelado papel de seda etc o Transparentes
Lacircmina de aacutegua limpa vidro liso ar etc o Opacos
Cimento lousa madeira etc
c) FENOcircMENOS OacutePTICOS bull REFLEXAtildeO quando a luz incide em um objeto e volta para o
meio de propagaccedilatildeo original como quando incidimos uma luz laser no espelho
o Reflexatildeo regular Feixe paralelo incidente em uma superfiacutecie
plana e polida manteacutem o paralelismo
Vermelho Alaranja Amarelo Verde Azul Anil Violeta
VAAVAAV
fisicaprofessordanilocom
12
o Reflexatildeo difusa Feixe de raios paralelos incidentes em uma
superfiacutecie natildeo manteacutem o paralelismo
bull REFRACcedilAtildeO quando a luz incide em um meio e o atravessa
bull ABSORCcedilAtildeO quando a luz ao incidir em um meio natildeo eacute refletida e natildeo eacute refratada dizemos que o meio absorveu a luz
bull TODOS OS TREcircS FENOcircMENOS ACIMA PODEM OCORRER SIMULTANEAMENTE
fisicaprofessordanilocom
13
d) COR DE UM CORPO POR REFLEXAtildeO bull Ceacutelulas da visatildeo
o Bastonetes Ceacutelulas mais finas e responsaacuteveis por detectar
presenccedila e ausecircncia de luz independente da cor
Em ambientes mais escuros somente usamos estas ceacutelulas
Por isso enxergamos branco e preto no escuro o Cones
Trecircs tipos Responsaacuteveis por vermos cores Menos sensiacuteveis por isso soacute enxergamos
cores quando haacute maior intensidade luminosa (mais luz)
Maior sensibilidade nas cores Red (Vermelho) Green (Verde) e Blue (Azul)
Por isso televisores celulares e projetores utilizam apenas estas trecircs cores cujo padratildeo eacute chamado de RGB (Red Green Blue)
bull Cores primaacuterias aditivas o Chamamos de cores primaacuterias aditivas estas trecircs cores
(RGB) que sensibilizam os cones o Se misturarmos todas elas obtecircm o branco
Disco de Newton (viacutedeo YouTube) Inkscape (download e explicaccedilotildees pelo
programa)
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
bull Cores primaacuterias subtrativas o A vida real eacute mais complicada as cores primaacuterias das
tintas satildeo Cyan (Ciano)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Verde
Magenta (Magenta)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Azul e Vermelho
Yellow (Amarelo)
bull Natildeo absorve (reflete) somente as cores Vermelho e Verde
fisicaprofessordanilocom
14
blacK (Preto ndash Key)
bull Absorve Todas as cores Abreviando CMYK Note que se misturarmos
bull CIANO e MAGENTA as cores Vermelho e Verde seratildeo absorvidas restando apenas o AZUL
bull MAGENTA e AMARELO as cores Verde e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERMELHO
bull CIANO e AMARELO as cores Vermelho e Azul seratildeo absorvidas restando apenas o VERDE
bull Se misturarmos todas as cores entatildeo o Vermelho o Verde e o Azul
seratildeo absorvidos resultando em preto
bull Pigmentos Puros o Vamos simplificar as coisas
Uma superfiacutecie eacute verde porque ela reflete somente a cor verde se a substacircncia for feita de pigmentos puros
Isso vale para as demais cores
Mapa mental do que acabamos de ver
fisicaprofessordanilocom
15
fisicaprofessordanilocom
16
4 PRINCIacutePIOS DA OacutePTICA
GEOMEacuteTRICA bull Na verdade natildeo satildeo princiacutepios pois podem ser demonstrados
bull Satildeo trecircs ldquoprinciacutepiosrdquo o Princiacutepio da propagaccedilatildeo retiliacutenea da luz
o Princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
o Princiacutepio da independecircncia dos raios luminosos
Aconselho que vocecirc faccedila os
exerciacutecios do volume 2
capiacutetulo 8 paacuteginas 193 194 e
195 com especial atenccedilatildeo para
os exerciacutecios 2 4 9 10 11 16
17 18 19 e 20
Em meios homogecircneos e transparentes a luz se propaga
em linha reta
Se a luz percorre um caminho ao ir de um ponto A para
um ponto B entatildeo ao ir do ponto B para o A ela faraacute o
mesmo caminho
Quando raios de luz se cruzam eles se interferem
mutuamente apenas na regiatildeo onde se cruzam mas cada
um segue seu caminho como se os demais natildeo existissem
fisicaprofessordanilocom
17
APLICACcedilOtildeES DO PRINCIacutePIO DA
PROPAGACcedilAtildeO RETILIacuteNEA DA LUZ
a) SOMBRA bull Fonte pontual
Semelhanccedila de triacircngulos
l hk
L H= =
Haacute uma relaccedilatildeo tambeacutem para as aacutereas
2ak
A=
b) PENUacuteMBRA bull Fonte extensa
c) CAcircMARA ESCURA
Novamente semelhanccedila de triacircngulo
i p
o p=
fisicaprofessordanilocom
18
d) A LUA bull ECLIPSES
o LUNAR
o SOLAR
bull FASES DA LUA o O sentido de rotaccedilatildeo da Terra em torno do proacuteprio eixo
da Lua em torno do proacuteprio eixo de translaccedilatildeo da Terra em torno do Sol e o de translaccedilatildeo da Lua em torno da Terra satildeo os mesmos
o Usando a ldquoregra da matildeo direitardquo vocecirc pode determinar este sentido de rotaccedilatildeo apontando seu dedatildeo para o norte geograacutefico
fisicaprofessordanilocom
19
e) AcircNGULO VISUAL bull Acircngulo formado entre os raios que saem das extremidades do
objeto e atingem o observador
No SisQ toda a lista de nome
ldquoIntroduccedilatildeo ao estudo da
oacutepticardquo podem ser resolvidos
O capiacutetulo 8 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Sugiro que comece com os exerciacutecios
resolvidos (21 a 35) faccedila todos os de
reforccedilo (36 a 43) e tente tambeacutem
fazer todos os de aprofundamento (44
a 47)
Muita atenccedilatildeo ao resolver o exerciacutecio 29 da paacutegina
201 do livro 2 uma vez que os caacutelculos estatildeo
incorretos e a resposta correta eacute R = 18 m
fisicaprofessordanilocom
20
fisicaprofessordanilocom
21
5 LEIS DA REFLEXAtildeO
PRIMEIRA LEI DA REFLEXAtildeO
SEGUNDA LEI DA REFLEXAtildeO
O ldquoRESTOrdquo Eacute GEOMETRIA REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE PLANA
REFLEXAtildeO EM SUPERFIacuteCIE CURVA
O raio refletido a normal e o raio incidente
estatildeo situados no mesmo plano
O acircngulo de reflexatildeo eacute igual ao acircngulo de incidecircncia
No SisQ faccedila os exerciacutecios 8
18 19 20 21 26 28 29 e 30
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
fisicaprofessordanilocom
22
6 IMAGENS EM ESPELHOS
PLANOS
IMAGENS DE OBJETOS PONTUAIS
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 1 agrave 10 da
paacutegina 208 a 211
fisicaprofessordanilocom
23
IMAGENS DE OBJETOS EXTENSOS
7 TAMANHO MIacuteNIMO DE UM
ESPELHO PARA SE VER POR
COMPLETO
Sabe-se que eu tenho altura H e estou a uma distacircncia d do espelho
Qual o tamanho miacutenimo de um espelho para que eu possa me ver por
completo O tamanho do espelho depende da distacircncia d
2
2
H d HMN
dMN= =
E qual a distacircncia que o espelho deve ficar do chatildeo Sabe-se que a altura
dos meus olhos eacute h
2
2
h d hMC
dMC= =
fisicaprofessordanilocom
24
8 CAMPO VISUAL
Eacute a regiatildeo que um observador pode ver atraveacutes de um espelho Note que tudo o que estaacute no campo visual eacute visto pelo observador e devido ao princiacutepio da reversibilidade dos raios luminosos qualquer observador no campo visual de algueacutem pode ver este algueacutem
No SisQ faccedila os exerciacutecios 1
ao 7 9 11 ao 15 22 24 25
34 ao 38 40 ao 42 49 e 56
da lista ldquoOs Espelhos Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 11 agrave 32 da
paacutegina 213 a 219
fisicaprofessordanilocom
25
9 TRANSLACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANOOBJETO
APROFUNDANDO O ASSUNTO
TRANSLACcedilAtildeO DE ESPELHOS PLANOS
Vamos estudar a relaccedilatildeo da velocidade da imagem de um objeto com a
velocidade do espelho e a velocidade do objeto Para isso podemos analisar
o problema de duas maneiras uma vetorial tal como foi feito em sala de aula e outra geomeacutetrica
Para apresentar uma outra maneira talvez mais simples vamos apresentar aqui apenas a anaacutelise geomeacutetrica
ANAacuteLISE GEOMEacuteTRICA
Vamos dividir o problema estudando o movimento somente do objeto e
depois somente da imagem e por fim compor o movimento final que considera o movimento do objeto e do espelho
OBJETO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO ESPELHO
Imagine um caminhatildeo de fronte do espelho e se move ao longo do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual agrave velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
fisicaprofessordanilocom
26
Observe que se o objeto se desloca s a imagem se desloca da mesma
quantidade s Logo concluiacutemos que
objeto imagemV V= (1)
O siacutembolo ldquordquo representa ldquoparalelordquo isto eacute objetoV eacute a velocidade do
objeto paralela ao espelho e imagemV eacute a velocidade da imagem paralela ao
espelho
OBJETO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO ESPELHO
Seja este mesmo caminhatildeo agora se aproximando do espelho Nesse caso a velocidade da imagem eacute igual ao moacutedulo da velocidade do objeto pois a distacircncia percorrida pelo objeto eacute igual agrave distacircncia percorrida pela sua imagem Veja isso em dois instantes diferentes
Observe que se a imagem se desloca s a imagem se desloca da
mesma quantidade s Podemos dizer entatildeo que
objeto imagemV Vperp perp
= minus (2)
Aqui o siacutembolo ldquo perp rdquo quer dizer ldquoperpendicular ao espelhordquo assim a
velocidade do objeto na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute objetoV
perp e a
velocidade da imagem na direccedilatildeo perpendicular ao espelho eacute imagemV
perp
Observe tambeacutem que em moacutedulo a velocidade da imagem eacute igual agrave do objeto poreacutem elas estatildeo em sentidos opostos por isso haacute um sinal negativo na equaccedilatildeo (2)
ESPELHO SE MOVENDO PARALELAMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Ainda pensando no esquema anterior pense no caminhatildeo parado e o
espelho se movendo com velocidade espelhoV O que acontece com a imagem
do caminhatildeo
fisicaprofessordanilocom
27
A resposta eacute NADA Ou seja a imagem do caminhatildeo natildeo muda sua posiccedilatildeo quando o espelho se move na direccedilatildeo indicada assim o movimento do espelho ao longo de seu plano natildeo influencia na posiccedilatildeo da imagem
ESPELHO SE MOVENDO PERPENDICULARMENTE AO SEU PROacutePRIO PLANO
Agora suponha que o espelho esteja indo para a direita espelhoV
perp O que
acontece com a imagem do caminhatildeo
Observe a imagem acima e note que
isd d d d+ + = +
2 2 isd d+ =
2 2( )i ed ds s+ + =
2i es s =
Com isso podemos dizer que a velocidade da imagem eacute o dobro da velocidade do espelho portanto
2imagem espelhoV Vperp perp
= (3)
Note que natildeo haacute sinal negativo na relaccedilatildeo como na equaccedilatildeo (2) isso porque a velocidade da imagem eacute na mesma direccedilatildeo e sentido que a velocidade do espelho
SOBREPONDO TODOS OS EFEITOS
Agora imagine que tanto objeto como espelho se movam Podemos fazer uma composiccedilatildeo de movimento
1 Considere que o objeto possui velocidade objetoV paralela ao espelho
e objetoV
perp a velocidade perpendicular ao espelho Isso implica que a
velocidade da imagem eacute imagem objetoV V= paralela ao espelho e
imagem objetoV Vperp perp
= minus
2 Se o espelho se move com velocidade espelhoV
perp na direccedilatildeo perpendicular
ao seu plano a velocidade da imagem seraacute 2imagem espelhoV Vperp perp
=
3 Por superposiccedilatildeo a velocidade da imagem deve ser a soma das velocidades da imagem devido aos movimentos do espelho e do objeto assim a velocidade da imagem seraacute
imagem objetoV V= (4)
e
2imagem espelho objetoV V Vperp perp perp
= minus
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+= (5)
fisicaprofessordanilocom
28
Note que a velocidade do espelho ao longo se seu plano isto eacute espelhoV natildeo
eacute relevante neste caso Vamos para um exemplo Seja um caminhatildeo se aproximando com velocidade de 30 ms na direccedilatildeo
indicada na figura abaixo com 30 = O espelho se move para a direita com
10 ms Determine
a)
objetoV e objetoV
perp
b) imagemV
c) imagemV
perp
d) O acircngulo
e) o moacutedulo da velocidade da imagem RESOLUCcedilAtildeO a) Decompomos a velocidade do objeto
0 senobjetoV v=
130
2objetoV =
15 msobjetoV =
Agora para a outra direccedilatildeo
0 cosobjetoV vperp
=
330
2objetoV
perp=
15 3 msobjetoVperp
=
b) A velocidade da imagem paralela ao espelho eacute igual agrave velocidade do objeto na direccedilatildeo paralela ao espelho
15 msimagem objetoV V= =
c) Para calcular imagemV
perp usamos a equaccedilatildeo (5)
2
imagem objeto
espelho
V VV
perp perp
perp
+=
15
2
310
imagemVperp
+=
5(4 3 3) msimagemVperp
= minus
d) Vamos usar a tangente de
tany imagem
x imagem
v
v =
fisicaprofessordanilocom
29
| |tan
| |
imagem
imagem
V
Vperp
=
15tan
5(3 3 4) =
minus
3
3 3a ctan
4r
minus
=
Note que como 3 3 4 o moacutedulo de imagemV
perp eacute 5(3 3 4)minus
e) Por fim para determinarmos a velocidade da imagem utilizamos o Teorema de Pitaacutegoras
2 2 2
imagem imagemiv V V
perp= +
( )2
2 215 5(4 3 3)iv = + minus
2 2225 25(4 3 3)i
v = + minus
2 225 25(16 12 3 27)i
v = + minus +
2 225 400 300 3 675i
v = + minus +
2 1300 300 3i
v = minus
10 13 3 3 msi
v = minus
Natildeo entendeu Penguantaecirc daniloprofessordanilocom
10 ROTACcedilAtildeO DE UM ESPELHO
PLANO
fisicaprofessordanilocom
30
11 IMAGEM FORMADA POR DOIS
ESPELHOS
nota importante
Os exerciacutecios 10 11 12 13 33 39 43 44 e 56 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo satildeo bastante difiacuteceis Se tiver dificuldades natildeo se assuste
No SisQ faccedila os exerciacutecios
10 16 17 23 27 31 32 33
39 43 ao 48 50 ao 55 e 57
ao 60 da lista ldquoOs Espelhos
Planosrdquo
O capiacutetulo 9 do livro 2 pode ser
resolvido por completo
Faccedila os exerciacutecios de 33 agrave 65 da
paacutegina 222 a 234
fisicaprofessordanilocom
31
fisicaprofessordanilocom
32
12 OS ESPELHOS ESFEacuteRICOS bull Definiccedilatildeo
bull Elementos do espelho esfeacuterico
bull Representaccedilatildeo usual
bull O ponto C eacute o centro do espelho
bull O ponto V eacute a intersecccedilatildeo entre o eixo principal e o espelho (veacutertice)
bull O foco (F) eacute o ponto meacutedio entre o veacutertice (V) e o centro (C) do
espelho
bull Quando eacute muito pequeno ( lt 15 graus) dizemos que o espelho
eacute gaussiano
fisicaprofessordanilocom
33
a) RAIOS NOTAacuteVEIS RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO COcircNCAVO
Figura 1 raio incidindo
paralelamente ao eixo principal e saindo
passando pelo foco
Figura 2 raio incidindo no foco e saindo paralelo ao eixo principal
Note que se usarmos o princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz
concluiacutemos que o que eacute representado na figura 1 corresponde ao que eacute
apresentado na figura 2
Figura 3 raio incidindo passando pelo centro do espelho e voltando pelo
mesmo caminho
Figura 4raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
34
RAIOS NOTAacuteVEIS NO ESPELHO CONVEXO
Figura 5 raio incidindo paralelamente ao eixo principal sairaacute na direccedilatildeo do
foco Note que o raio refletido natildeo pode passar sobre o foco
Figura 6 raio incidindo na
direccedilatildeo do foco do espelho sai paralelamente
ao eixo principal
Novamente pelo princiacutepio da reversibilidade dos raios de luz podemos
concluir que a figura 5 e a figura 6 satildeo equivalentes
Figura 7 raio incidindo na direccedilatildeo do centro de curvatura volta pelo mesmo
caminho que chegou
Figura 8 raio incidindo no veacutertice V do espelho O acircngulo entre o raio
incidente e o eixo principal eacute igual ao acircngulo entre o raio emergente (raio
refletido) e o eixo principal
fisicaprofessordanilocom
35
b) LOCALIZANDO O FOCO SECUNDAacuteRIO
ESPELHO COcircNCAVO
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico cocircncavo tal como na figura a
seguir Note que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um
raio notaacutevel assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 9 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raio notaacutevel
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 10 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 11
bull Por fim o raio incidente iraacute passar pelo foco secundaacuterio assim obtido
conforme figura 12
Figura 10 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
fisicaprofessordanilocom
36
Figura 11 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 12 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute passar pelo foco secundaacuterio
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico cocircncavo
ESPELHO CONVEXO
O processo eacute praticamente o mesmo mas vamos repeti-lo
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Seja um raio incidente num espelho esfeacuterico tal como na figura a seguir Note
que este raio pelo que se pode perceber pela figura natildeo eacute um raio notaacutevel
assim natildeo podemos saber a priori para onde o raio vai
Figura 13 Raio incidindo em um espelho esfeacuterico cocircncavo O raio natildeo eacute
nenhum dos casos de raios notaacuteveis
fisicaprofessordanilocom
37
Para sabermos onde este raio vai utilizamos um eixo secundaacuterio e
determinamos um foco secundaacuterio assim o raio passaraacute pelo foco
secundaacuterio Vamos ao meacutetodo
bull Trace uma linha tracejada paralela ao raio incidente passando pelo
centro C do espelho conforme figura 14 assim vocecirc teraacute obtido o
eixo secundaacuterio
bull Trace uma linha tambeacutem tracejada perpendicular ao eixo principal
passando pelo foco O encontro das duas retas eacute o local onde se
encontra o foco secundaacuterio conforme figura 15
bull Por fim o raio incidente sairaacute na direccedilatildeo do foco secundaacuterio assim
obtido conforme figura 16
Figura 14 A linha tracejada passando pelo centro de curvatura do espelho
e eacute paralela ao raio incidente corresponde ao eixo secundaacuterio
Figura 15 Ao traccedilarmos a linha vertical obtemos o foco secundaacuterio pois
este eacute a interseccedilatildeo entre o eixo secundaacuterio essa reta vertical
Figura 16 O raio incidente que eacute paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser
refletido iraacute sair na direccedilatildeo do foco secundaacuterio uma vez que eacute um espelho
esfeacuterico convexo
Chamamos de F o foco secundaacuterio localizado no eixo secundaacuterio do
espelho esfeacuterico convexo
fisicaprofessordanilocom
38
RESUMINDO
Note que podemos ter novos raios notaacuteveis Resumindo para o caso dos
espelhos cocircncavos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
passando pelo foco secundaacuterio
bull Um raio que incide passando pelo foco secundaacuterio sai paralelo ao
eixo secundaacuterio
Agora para espelhos convexos
bull Um raio que incide paralelo ao eixo secundaacuterio ao ser refletido sai
na direccedilatildeo do foco secundaacuterio
bull Um raio que incide na direccedilatildeo do foco secundaacuterio ao ser refletido
sai paralelo ao eixo secundaacuterio
Note que o ldquocentro de curvatura secundaacuteriordquo continua sendo no mesmo lugar
como tinha que ser
Por fim lembre-se que estamos falando de um espelho esfeacuterico gaussiano
ou seja vaacutelido apenas para a aproximaccedilatildeo paraxial (acircngulos pequenos)
CAIU NO VESTIBULAR
(UFSCAR) Os refletores das antenas paraboacutelicas funcionam como espelhos
esfeacutericos para a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica emitida por sateacutelites
retransmissores localizados em oacuterbitas estacionaacuterias a cerca de 36000 km
de altitude A figura agrave esquerda representa esquematicamente uma
miniantena paraboacutelica cuja foto estaacute agrave direita onde E eacute o refletor e F eacute o
receptor localizado num foco secundaacuterio do refletor
a) Copie o esquema da figura da esquerda e represente o traccedilado da
radiaccedilatildeo eletromagneacutetica proveniente do sateacutelite retransmissor que incide no
refletor E e se reflete convergindo para o foco secundaacuterio F (faccedila um traccedilado
semelhante ao traccedilado de raios de luz) Coloque nessa figura uma seta
apontando para a posiccedilatildeo do sateacutelite
b) Nas miniantenas paraboacutelicas o receptor eacute colocado no foco secundaacuterio e
natildeo no foco principal localizado no eixo principal do refletor como ocorre
nas antenas normais Por quecirc
(Sugestatildeo lembre-se que a energia captada pelo refletor da antena eacute
diretamente proporcional agrave aacuterea atingida pela radiaccedilatildeo proveniente do
sateacutelite)
fisicaprofessordanilocom
39
c) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS CONSTRUCcedilAtildeO
GEOMEacuteTRICA
Figura 17 objeto aleacutem do centro de curvatura C
no espelho esfeacuterico cocircncavo
[Natureza real Orientaccedilatildeo invertida Tamanho menor]
Figura 18 objeto localizado
exatamente sobre o centro de curvatura
C do espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real
Orientaccedilatildeo invertida Tamanho
igual]
Figura 19 objeto entre o centro de curvatura C e o foco F de um
espelho esfeacuterico cocircncavo [Natureza real Orientaccedilatildeo
invertida Tamanho maior]
IMPORTANTE se o objeto estiver sobre o
foco os raios que saiacuterem de um ponto do
objeto e atingirem o espelho sairatildeo todos
paralelos entre si portanto natildeo haacute encontro
dos raios e com isso natildeo haveraacute formaccedilatildeo
imagem
Com isso dizemos que a imagem eacute improacutepria
fisicaprofessordanilocom
40
Figura 20 objeto entre o foco e o veacutertice V de um espelho
esfeacuterico cocircncavo [Natureza virtual Orientaccedilatildeo direita
Tamanho maior]
Figura 21 objeto diante de um espelho esfeacuterico convexo Todos
os casos de formaccedilatildeo de imagem para um objeto em frente agrave
um espelho esfeacuterico convexo seratildeo iguais [Natureza virtual
Orientaccedilatildeo direita Tamanho menor]
Perceba que ateacute o momento soacute vimos os casos de
formaccedilatildeo de imagem para espelhos esfeacutericos cocircncavos
A seguir o uacutenico caso relevante de formaccedilatildeo e
classificaccedilatildeo de imagens para o espelho esfeacuterico
convexo
IMPORTANTE perceba que toda imagem real
eacute invertida e toda imagem virtual eacute direita
fisicaprofessordanilocom
41
d) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
i ndash O REFERENCIAL DE GAUSS
Espelho cocircncavo
Espelho convexo
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 1 a 23 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
Iniciamos o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 1 a 10 com iniacutecio
na paacutegina 235
Faccedila os exerciacutecios de 1 a 21 com
iniacutecio na paacutegina 243
fisicaprofessordanilocom
42
ii ndash PADROtildeES IMPORTANTES
p abscissa do objeto
p abscissa da imagem
y = o ordenada do objeto
y = i ordenada da imagem
f abscissa do foco
2f abscissa do centro do espelho
p gt 0 Objeto Real
p gt 0 Imagem Real
p lt 0 Objeto Virtual
p lt 0 Imagem Virtual
Se i e o tiverem o mesmo sinal entatildeo a imagem eacute direita jaacute se
tiverem sinais opostos ela eacute invertida Segue entatildeo que
0i o Imagem Direita
0i o Imagem Invertida
Com relaccedilatildeo ao tipo de espelho
f gt 0 Espelho Cocircncavo
f lt 0 Espelho Convexo
iii ndash EQUACcedilAtildeO DE GAUSS
1 1 1
f p p= +
iv ndash EQUACcedilAtildeO DO AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
|| | | |
| | | |
| | |
| o | | |
io i
p
p
p p ==
i p
o p= minus
= = minus =minus
i p fA
o p f p
fisicaprofessordanilocom
43
No SisQ faccedila os exerciacutecios
de 24 a 52 da lista ldquoOs
Espelhos Esfeacutericosrdquo
O 51 eacute um bom desafio
Continuando o capiacutetulo 10 do livro 2
estude as seccedilotildees 11 a 12 com iniacutecio
na paacutegina 250
Faccedila os exerciacutecios de 22 a 57 com
iniacutecio na paacutegina 254
fisicaprofessordanilocom
44
fisicaprofessordanilocom
45
13 REFRACcedilAtildeO E LEI DE SNELL-
DESCARTES
a) VELOCIDADE DA LUZ bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO
o A luz eacute a entidade mais raacutepida na natureza apenas quando ela se propaga no vaacutecuo
o A maacutexima velocidade que qualquer coisa (seja mateacuteria energia ou apenas informaccedilatildeo) eacute a chamada velocidade da luz
o Seu valor eacute de 83 10 msc =
o Quando a luz se propaga em meios materiais ela seraacute mais lenta que este valor
o Chamamos de iacutendice de refraccedilatildeo n a razatildeo entre a
velocidade da luz no vaacutecuo e a velocidade da luz no meio em que estamos estudando a luz Ou seja
cn
v=
Apenas por curiosidade quando um eleacutetron supera a velocidade da luz em um meio o eleacutetron emite radiaccedilatildeo e esta radiaccedilatildeo eacute chamada de radiaccedilatildeo Cherenkov em homenagem ao cientista sovieacutetico Pavel Cherenkov (a coloraccedilatildeo azul de reatores nucleares se deve agrave radiaccedilatildeo Cherenkov como na figura abaixo)
Fonte httpcienciaxreligiaoblogspotcombr201303o-universo-dos-taquions-parte-3html
bull Utilizamos a letra c para representar a velocidade da luz porque o fato da velocidade da luz ter um certo limite influencia a relaccedilatildeo de causalidade entre fenocircmenos
bull Lembre-se no entanto que a velocidade da luz eacute constante (c)
Na tabela a seguir vemos alguns valores de iacutendices de refraccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
46
bull Em breve estudaremos ondas e veremos que o iacutendice de refraccedilatildeo depende da frequecircncia e que quanto maior a frequecircncia da radiaccedilatildeo tanto maior seraacute o iacutendice de refraccedilatildeo
bull Observe que apesar de ter certa dependecircncia esta natildeo eacute tatildeo perceptiacutevel poreacutem isso que explica a dispersatildeo da luz como visto em aulas passadas
bull Dizemos que um meio B eacute mais refringente que um meio A quando
B An n
bull IacuteNDICE DE REFRACcedilAtildeO RELATIVO o Podemos definir um iacutendice de refraccedilatildeo de um meio A em
relaccedilatildeo ao meio B como
AAB
B
nn
n=
fisicaprofessordanilocom
47
b) PRINCIacutePIO DE FERMAT bull Lembre-se que a luz procura natildeo o menor caminho mas o que leva o
menor tempo
bull Chamamos de dioptro agrave interface entre dois meios (A e B) homogecircneos Um exemplo disso eacute o sistema ar-aacutegua como a seguir
bull Natildeo faremos aqui mas eacute possiacutevel demonstrar uma relaccedilatildeo entre os
iacutendices de refraccedilatildeo dos meios e os acircngulos de incidecircncia i e de
refraccedilatildeo r
bull Com isso podemos concluir que o Quando um raio vai de um meio menos refringente para um
meio mais refringente o raio se aproxima da normal o Quando um raio vai de um meio mais refringente para um
meio menos refringentes o raio se afasta da normal
c) LEI DE SNELL-DESCARTES bull O resultado da aplicaccedilatildeo apresentada anteriormente para o Princiacutepio
de Fermat pode servir para provar a chamada lei de Snell-Descartes A saber
ˆ ˆsen senA B
i n rn =
fisicaprofessordanilocom
48
14 DIOPTRO PLANO E REFLEXAtildeO
TOTAL
Dioptro plano bull A interface entre dois meios com propriedades oacutepticas
diferentes como aacutegua e ar eacute chamado de dioptro Vamos estudar agora o caso em que essa interface eacute plana
bull Quando o observador em um meio A com iacutendice de refraccedilatildeo
An olha um objeto dentro de um outro meio com
iacutendice de refraccedilatildeo Bn de tal forma que o acircngulo de
incidecircncia i e de refraccedilatildeo r sejam pequenos podemos encontrar uma equaccedilatildeo que relaciona as posiccedilotildees do objeto p e imagem p com os iacutendices de refraccedilatildeo
Vejamos como
bull Observe primeiramente a figura a seguir onde representamos aleacutem das variaacuteveis jaacute mencionadas uma distacircncia horizontal entre a normal do ponto onde o raio incide na interface e a vertical do objeto
bull Aqui eacute importante mencionar que isso soacute eacute certo se o objeto e observador estiverem na mesma vertical ou seja
= =ˆ ˆ 0i r Se no entanto considerarmos os acircngulos i e r muito pequenos podemos assumir que a imagem do objeto e o objeto estatildeo na mesma vertical
No SisQ toda a lista de nome
ldquoRefraccedilatildeo e lei de Snell-
Descartesrdquo podem ser
resolvidos
Resolva os exerciacutecios de 1 a 22 do
capiacutetulo 11 livro 2
Sugiro a leitura do capiacutetulo 113 sobre
iacutendice de refraccedilatildeo relativo
fisicaprofessordanilocom
49
Para aproximaccedilatildeo para pequenos acircngulos temos que
sen
sen
ˆ ˆ ˆtan
ˆ ˆ ˆtan
i i i
r r r
desde que estejamos trabalhando com unidades de medidas de acircngulos em radianos
Com estas informaccedilotildees podemos substituir os senos que aparecem na lei de Snell por tangentes isto eacute
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
ˆ ˆtan tanA Bi nn r
Mas pela figura anterior podemos encontrar as tangentes
=
=
ˆtan
ˆtan
xi
p
xr
p
Substituindo as equaccedilotildees do sistema acima na equaccedilatildeo da lei de Snell anterior ao sistema temos a relaccedilatildeo do dioptro plano
A B
x xnn
p p
A
B
n p
n p
Esta eacute a equaccedilatildeo do dioptro plano e vocecirc deve ter cuidado ao usaacute-la pois ela eacute vaacutelida apenas quando objeto e observador estiverem numa mesma vertical
fisicaprofessordanilocom
50
Eacute recomendaacutevel que memorize esta foacutermula embora vocecirc deva saber tambeacutem como demonstraacute-la
Reflexatildeo Total bull Imagine um raio de luz indo do meio mais para o meio
menos refringente
bull Aumentando-se o acircngulo de incidecircncia aumenta-se o acircngulo de refraccedilatildeo
bull Existe um acircngulo chamado de acircngulo limite L tal que se o
raio incidente refratar e sai formando um acircngulo = ˆ 90r
Assim se =ˆ ˆi L temos
= ˆ ˆsen senA Bi n rn
= ˆsen sen90A BL nn
=ˆsen B
A
nL
n
Observe a figura a seguir isso deve lhe ajudar
Falamos sobre lacircminas de faces paralelas mas natildeo foi demonstrada a foacutermula do desvio lateral
fisicaprofessordanilocom
51
15 LAcircMINAS DE FACES PARALELAS bull Uma lacircmina de material transparente tais como vidros
planos de carros janelas etc constituem lacircminas de faces
paralelas
bull Representamos da seguinte maneira um raio de luz
atravessando uma lacircmina de faces paralelas
bull Observe que um raio incidente na lacircmina sofre um desvio
lateral d ou seja a direccedilatildeo e o sentido de propagaccedilatildeo da luz natildeo mudam quando ela atravessa uma lacircmina de faces paralelas
bull Se soubermos a espessura e da lacircmina e o acircngulo de incidecircncia podemos determinar o desvio lateral
bull Primeiramente vamos determinar x e y conforme a figura a
seguir
bull Vamos ter que utilizar um pouco de matemaacutetica Observe que as seguintes relaccedilotildees satildeo vaacutelidas
cos
sen
ˆ
ˆ )(
er
xd
i rx
=
minus
=
cos
d x sen
ˆ
ˆ )(
ex
r
i r
=
minus
=
( )ˆ ˆsen
cos( )
i rd e
r
minus=
fisicaprofessordanilocom
52
16 FIBRA OacutePTICA bull Atualmente estamos utilizando ondas eletromagneacuteticas
com frequecircncias tatildeo altas que chegaram na frequecircncia do visiacutevel
bull Fibras oacutepticas satildeo como ldquofiosrdquo que satildeo capazes de direcionar a luz
bull Para isso a luz deve ser ldquoaprisionadardquo dentro de um meio oacuteptico
bull Seja uma fibra oacuteptica imersa em um meio (geralmente o ar) cujo iacutendice de refraccedilatildeo eacute arn com centro tendo iacutendice de
refraccedilatildeo inn e revestido por material de iacutendice de refraccedilatildeo
revn
bull Vamos determinar qual o maior acircngulo de incidecircncia que o raio pode ter
Usamos o triacircngulo a seguir para finalizar as contas
bull Utilizamos tambeacutem a condiccedilatildeo para reflexatildeo total
(necessaacuterio para que a luz se mantenha dentro da fibra)
fisicaprofessordanilocom
53
17 MIRAGEM E ELEVACcedilAtildeO APARENTE
DOS ASTROS
(A) Posiccedilatildeo aparente dos astros
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar natildeo eacute EXATAMENTE igual agrave 1 a luz proveniente dos astros sofre refraccedilatildeo ao entrar na atmosfera aproximando-se da normal
(B) Miragem bull Em dias quentes temos a impressatildeo que o asfalto agrave nossa
frente eacute quase que como um lago
bull Como o iacutendice de refraccedilatildeo do ar mais quente eacute menor a luz eacute desviada
bull Eacute importante notar que natildeo ocorre em momento algum a reflexatildeo total tal como vemos anteriormente jaacute que a direccedilatildeo dos raios muda lentamente
fisicaprofessordanilocom
54
bull Podemos utilizar entatildeo o princiacutepio da reversibilidade da luz para justificar que a luz deve ldquoentortarrdquo para cima e natildeo sair paralelamente ao solo
bull Mas cuidado pois jaacute caiu em vestibular mais de uma vez em que a resposta certa associa o fenocircmeno agrave reflexatildeo total
bull Mas e se o dia for frio podemos ver miragens Sim Vejamos a Fata Morgana
bull O professor estaacute falando seacuterio Prove mostre fotos
MIRAGEM NO DESERTO (NAtildeO HAacute AGUA A FRENTE)
Disponiacutevel em httpsthumbsdreamstimecombmiragem-no-deserto-13581435jpg
Mais fotos Mais uma entatildeo
Disponiacutevel em httpswwwfatosdesconhecidoscombrwp-
contentuploads2015022113-600x450jpg
FATA MORGANA
fisicaprofessordanilocom
55
Disponiacutevel em httpsmgtvwhtmfileswordpresscom201505mirage1jpgw=650
18 DISPERSAtildeO CROMAacuteTICA bull Se a luz branca atravessar um dioptro ela iraacute se dispersar
isto eacute as cores seratildeo separadas
bull Lembre-se que a velocidade da luz para todas as frequecircncias eacute a mesma no vaacutecuo
fisicaprofessordanilocom
56
bull Mas quando as ondas se propagam em meios materiais quanto maior a frequecircncia menor a velocidade Entatildeo segundo a Lei de Snell podemos ver que a onda mais lente sofre maior desvio
bull Por fim isso explica os arco-iacuteris
bull Explique porque ao olhar o arco-iacuteris vemos a parte vermelha acima e a azul em baixo Isso natildeo parece ser contraditoacuterio com o que foi apresentado aqui
bull Resposta parcial natildeo eacute contraditoacuterio Tente entender por que
fisicaprofessordanilocom
57
19 PRISMAS
(A) Prisma ndash introduccedilatildeo bull O que eacute um prisma
Disponiacutevel em https3bpblogspotcom-NdqnllPVzMUV7XxlLTS9wIAAAAAAAAAL8r1rmj5EgbMMPoOrS6ffqqevGxrIr72mfQCLcBs1
600prismas-3-728jpg
bull Na fiacutesica vamos trabalhar apenas com o prisma de base triangular e o representaremos por um simples triacircngulo
No SisQ toda a lista da
apostila 1 de nome ldquoDioptro
plano e reflexatildeo totalrdquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 23 ateacute o 63 do
capiacutetulo 11 livro 2
fisicaprofessordanilocom
58
Disponiacutevel em httpalunosonlineuolcombruploadconteudoimagesprisma-triangularjpg
bull Chamaremos o acircngulo de abertura A do prisma de acircngulo de refringecircncia do prisma
(B) Dispersatildeo
fisicaprofessordanilocom
59
(C) Desvio miacutenimo
bull Chamamos de desvio o desvio angular sofrido pelo raio incidente ao atravessar o prisma
1 1 2 2i r i r = minus + minus
1 2(90 r ) (90 r ) 180A+ minus + minus = 21r rA = +
bull Se variarmos o acircngulo de incidecircncia poderaacute ter um
valor miacutenimo que chamaremos de
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoPrismas
e dispersatildeo cromaacuteticardquo podem
ser resolvidos
Resolva os exerciacutecios 64 ateacute o 76 do
capiacutetulo 11 livro 2
Resolva do 77 ateacute o 86 para uma
revisatildeo
fisicaprofessordanilocom
60
20 LENTES ESFEacuteRICAS
(A) DIOPTRO ESFEacuteRICO bull A figura abaixo apresenta uma ideia do que seria um
dioptro esfeacuterico imagine duas esferas de vidro Agora
imagine que fazemos uma interseccionar a outra por fim
selecionamos apenas a interseccedilatildeo
bull Com esta interseccedilatildeo podemos formar o que chamamos de
dioptro esfeacuterico e entatildeo podemos definir o que seria raio
de curvatura
bull Vamos estudar lentes esfeacutericas delgadas Isso significa que
a espessura e da lente deve ser bem pequena comparada
com os raios de curvatura das partes que formam as lentes
fisicaprofessordanilocom
61
(B) NOMENCLATURA bull Para nomear comeccedilamos com a face de raio maior
primeiro
LENTE BICONVEXA
fisicaprofessordanilocom
62
LENTE BICOcircNCAVA
LENTE PLANO-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
63
LENTE PLANO COcircNCAVA
LENTE COcircNCAVA-CONVEXA
fisicaprofessordanilocom
64
LENTE CONVEXA-COcircNCAVA
(C) COMPORTAMENTO OacutePTICO
LENTES DE BORDOS FINOS
LENTES DE BORDOS GROSSOS
fisicaprofessordanilocom
65
bull Vamos estudar o comportamento oacutetico das lentes esfeacutericas
delgadas considerando que elas sejam feitas de material
cujo iacutendice de refraccedilatildeo seja maior que o iacutendice de refraccedilatildeo
do meio em que estejam inseridas
bull Representaremos as lentes esfeacutericas delgadas de forma
mais simples Vejamos a representaccedilatildeo de uma lente de
bordos finos (que diremos ser convergente uma vez que
em geral a lente teraacute iacutendice de refraccedilatildeo maior que do meio
em que se encontra)
LENTES CONVERGENTES (BORDOS FINOS)
bull Lentes de bordos grossos teraacute representaccedilatildeo similar
LENTES DIVERGENTE (BORDOS GROSSOS)
fisicaprofessordanilocom
66
(D) RAIOS NOTAacuteVEIS bull Vamos comeccedilar com a lente convergente (bordos finos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal passa pelo foco
Exerciacutecios do livro texto
2 5 6 e 7 da paacutegina 303
fisicaprofessordanilocom
67
bull Raio que chega passando pelo foco sai paralelo
bull Raio que chega passando pelo antiprincipal sai passando
pelo outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
68
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
bull Vamos ver agora os raios notaacuteveis para a lente divergente
(bordos grossos)
bull Raio que chega paralelo ao eixo principal sai na direccedilatildeo do
foco
fisicaprofessordanilocom
69
bull Raio que chega na direccedilatildeo do foco sai paralelo
bull Raio que chega na direccedilatildeo do antiprincipal sai na direccedilatildeo
do outro antiprincipal
fisicaprofessordanilocom
70
bull Raio que chega passando pelo veacutertice natildeo sofre desvio
(E) FORMACcedilAtildeO DE IMAGENS Vocecirc pode conferir uma apresentaccedilatildeo de slide com a formaccedilatildeo de imagem detalhada no link
httpfisicaprofessordanilocomextras2021oticaMC20120-20FormaC3A7C3A3o20de20imagens20-20Lentespdf
Vamos aqui apenas colar os slides finais da apresentaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
71
fisicaprofessordanilocom
72
fisicaprofessordanilocom
73
fisicaprofessordanilocom
74
fisicaprofessordanilocom
75
fisicaprofessordanilocom
76
Exerciacutecios do livro texto
9 10 12 13 15 17 18 19
20 21 22 23 e 24 da paacutegina
309
fisicaprofessordanilocom
77
(F) FOCO SECUNDAacuteRIO bull Se raios chegarem paralelos entre si mas natildeo paralelos ao
eixo principal como proceder
bull Primeiro desenhe um eixo que passe pelo veacutertice da lente e que seja paralelo aos raios incidentes (chamaremos este eixo de eixo secundaacuterio)
bull Segundo trace retas perpendiculares ao eixo principal que passa pelos pontos notaacuteveis Esta reta cruzaraacute o eixo secundaacuterio nos focos e antiprincipais secundaacuterios
bull Os raios se cruzam no foco imagem secundaacuterio
Exerciacutecios do livro texto
25 28 30 31 32 33 e 34 da
paacutegina 315
fisicaprofessordanilocom
78
(G) REFERENCIAL DE GAUSS bull Para um estudo analiacutetico devemos primeiro escolher um
referencial
bull Esse referencial eacute chamado de referencial de Gauss e associa coordenadas reais (onde realmente passam os raios) com sinal positivo enquanto as coordenadas virtuais (por onde representamos apenas os prolongamentos) associa-se a sinal negativo
bull No caso das lentes as convenccedilotildees de sinais satildeo as mesmas que para os espelhos
o p abscissa do objeto
o p abscissa da imagem
o y o= ordenada do objeto
o y i= ordenada da imagem
o f abscissa do foco
bull Para objetos reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Geralmente consideramos a abscissa dos Objetos positivas
o 0o
bull Se a imagem for direita em geral temos
o 0i
bull Se a imagem for invertida em geral temos
o 0i
bull A rigor a imagem eacute invertida quando o e i possuem sinais opostos e direita quando possuem mesmo sinal
bull Para imagens reais o 0p
bull Para objetos virtuais o 0p
bull Lente convergente o 0f
bull Lente divergente o 0f
bull Diferente dos espelhos as imagens reais estaratildeo do lado oposto em relaccedilatildeo aos objetos reais entatildeo devemos adotar dois referenciais de Gauss para cada tipo de lente um para objetos e outro para imagens
fisicaprofessordanilocom
79
Figura 1 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Convergente
Figura 2 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Convergente
Figura 3 Referencial de Gauss para objeto real agrave esquerda Lente Divergente
Figura 4 Referencial de Gauss para imagem real agrave direita Lente Divergente
fisicaprofessordanilocom
80
bull Tendo esta convenccedilatildeo de sinais em mente podemos usar a dita Equaccedilatildeo de Gauss
1 1 1
f p p= +
Obs uma demonstraccedilatildeo da Equaccedilatildeo de Gauss pode ser encontrada na paacutegina 320 do livro texto
bull Vamos agora ver a equaccedilatildeo do aumento
Figura 5 Caacutelculo do Aumento Linear Transversal
bull Por semelhanccedila de triacircngulo entre os triacircngulos BCV e
DEV | | | | | |
| |
o i i p
p p o p= =
bull Como a imagem eacute invertida temos
i p
o p= minus
bull Por definiccedilatildeo o aumento linear eacute i
Ao
=
Assim i p
Ao p
= = minus
Nota Se vocecirc isolar o p na equaccedilatildeo de Gauss e substituir na
equaccedilatildeo do aumento vocecirc obtecircm mais uma relaccedilatildeo que pode ser bem uacutetil
i p fA
o p f p= = minus =
minus
Esta equaccedilatildeo condensa as equaccedilotildees de aumento e de Gauss IMPORTANTE Agora podemos falar em vergecircncia de uma lente ou ldquograurdquo de uma lente A unidade de medida quando tudo do SI eacute a dioptria
1V
f=
fisicaprofessordanilocom
81
21 EQUACcedilAtildeO DOS FABRICANTES DE
LENTES Equaccedilatildeo dos fabricantes
1 2
1 1 11lente
meio
nV
f n R R
= = minus +
Os raios satildeo determinados pelas esferas imaginaacuterias que definiram
as lentes e seu valor pode ser positivo ou negativo
Faremos um exerciacutecio para melhor entender
Exerciacutecios do livro texto
36 37 39 40 41 43 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 e
55 da paacutegina 321
fisicaprofessordanilocom
82
Isso significa portanto que uma lente eacute divergente ou convergente
dependendo do meio em que se encontra
22 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES LENTES DELGADAS JUSTAPOSTAS
Quando justapostas a vergecircncia total eacute a soma das vergecircncias de
cada lente da associaccedilatildeo
1 2 eq nV V V V= + + +
Nota isso eacute vaacutelido quando falamos e lentes delgadas justapostas apenas Assim apoacutes a associaccedilatildeo de diversas lentes a lente equivalente deixa de ser delgada e esta equaccedilatildeo deixa de valer
Em geral isso vale para algumas poucas lentes apenas
LENTES NAtildeO JUSTAPOSTAS
Faremos um exerciacutecio sobre isso
Exerciacutecios do livro texto
57 59 60 61 62 63 64 e
65 da paacutegina 327
fisicaprofessordanilocom
83
23 ASSOCIACcedilAtildeO DE LENTES COM
ESPELHOS Faremos um exerciacutecio sobre isso e teremos maiores aplicaccedilotildees
quando estudarmos instrumentos oacuteticos
Aprofundamento pp 334
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoLentes
Esfeacutericasrdquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
68 69 70 71 72 74 75 76
77 e 79 da paacutegina 331
fisicaprofessordanilocom
84
24 OacutePTICA DA VISAtildeO
bull Caracteriacutestica da imagem
Fonte httpprofessorhondablogbrindexphp20140307como-se-forma-a-imagem-no-olho
bull Note que a imagem eacute real invertida e menor
bull A retina possui dois tipos de ceacutelulas os cones e os
bastonetes
bull Os bastonetes satildeo mais sensiacuteveis e natildeo diferenciam as
cores
bull Os cones se subdividem em trecircs tipos cada um mais
sensiacutevel em determinada cor o que possibilita que vejamos
diversas cores
Fonte httpsmuralcientificofileswordpresscom201710000jpg
fisicaprofessordanilocom
85
bull Acomodaccedilatildeo visual
o Um olho humano dito normal tem uma
profundidade entorno de 17 mm
o Ou seja p = 17 mm
o Para que a imagem seja sempre formada na retina
eacute necessaacuterio que o foco da lente seja modificada
1 1 1(em mm)
17f p= +
bull Note que quanto maior a distacircncia do objeto maior deve
ser a distacircncia focal
Fonte
httpcmapspublic3ihmcusrid=1291095162365_1862553055_19093MUSCULO20CILIAR20Y20CRI
STALINOjpg
bull Note que quando o cristalino eacute comprimido o raio de
curvatura diminui Quando isso ocorre podemos ver pela
equaccedilatildeo dos fabricantes de lentes que a o foco diminui
bull Podemos portanto concluir que quanto menor a distacircncia
do objeto ao olho mais os muacutesculos devem comprimir o
cristalino
bull Isso justifica porque haacute certo incocircmodo quando tentamos
observar um objeto muito perto
1 2
1 1 11
1 1 1
17
lente
meio
n
f n R R
f p
= minus + rarr
= +
bull Quando um objeto estaacute agrave miacutenima distacircncia que se pode ver
com nitidez dizemos que o objeto estaacute no ponto proacuteximo
o Para uma visatildeo dita normal essa distacircncia varia de
7 cm (aos 10 anos) agrave 40 cm (aos 50 anos)
bull Quando o objeto estaacute na maacutexima distacircncia dizemos que o
objeto estaacute no ponto remoto
o Para uma visatildeo normal dizemos que o ponto
remoto estaacute no infinito ( p rarr )
fisicaprofessordanilocom
86
25 AMETROPIAS (PROBLEMAS DA
VISAtildeO) bull Miopia
o Dificuldade de se enxergar de longe
o O raio de curvatura do cristalino eacute pequeno eou o
olho eacute alongado
o Vecirc melhor de perto tendo seu ponto proacuteximo mais
proacuteximo que o ldquonormalrdquo
o A imagem de um objeto distante eacute formada antes
de chegar na retina
Fonte httpwwwaptomedcombrcanalOftalmologiaErros-RefracionaisMiopia
Exerciacutecios do livro texto
1 2 3 5 7 8 9 10 11 12 e
13 da paacutegina 343
fisicaprofessordanilocom
87
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
divergente pois ela aproxima a imagem
o Se a distacircncia maacutexima que um miacuteope pode ver eacute D
entatildeo temos que produzir a imagem de um objeto
ldquono infinitordquo pelo menos nessa distacircncia
o Com isso podemos dizer que p rarr e p D= minus pois
a imagem eacute virtual
o Por Gauss
1 1 (grau da
1 1 1lente no SI)V
f Df D = =
+
minus=
minus
bull Hipermetropia
o Dificuldade de se enxergar de perto
o O raio de curvatura do cristalino natildeo se reduz o
suficiente para ver objetos proacuteximos ndash olho mais
curto que o normal
o A imagem de um objeto distante eacute formada depois
da retina
Fonte httpsstatictuasaudecommediaarticler5pshipermetropia_4696_sjpg
o A lente necessaacuteria para correccedilatildeo visual eacute a
convergente pois ela afasta a imagem de um objeto
proacuteximo
o Considera-se que uma pessoa com visatildeo normal vecirc
com nitidez objetos localizados agrave 25 cm ou mais
fisicaprofessordanilocom
88
o Digamos que um hipermetrope possa ver no
miacutenimo um objeto agrave uma distacircncia d gt 25 cm
o Com isso podemos dizer que p = 25 cm e p = -d
para que um hipermetrope possa ver um objeto
localizado a 25 cm pois sua imagem formaraacute a um
ponto mais distante localizado no ponto proacuteximo
do hipermetrope
o Assim pela equaccedilatildeo de Gauss o ldquograu da lenterdquo e
dioptrias seraacute
1 1 1
025
1 4 1(di)
dV
f d f d
minus == +
minus=
bull Presbiopia
o Conhecida como vista cansada
o Tanto a visatildeo para curta distacircncia (no iniacutecio) como
a visatildeo para longas distacircncias satildeo prejudicadas
o Deve-se usar lentes convergentes (base) e
divergente (topo)
Figura httplentes-hoyacombropticowp-contentuploads201504Bifocal-
Progressivapng
bull Outras anomalias
o Astigmatismo
o Estrabismo
o Daltonismo
fisicaprofessordanilocom
89
26 INSTRUMENTOS OacutePTICOS Material a parte usaremos slides em aula
Viacutedeo
httpsyoutubeG3Ttl3o0Mtk
Material para impressatildeo
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105IstrumentosOticosImpressaopdf
Slides (conteuacutedo replicado no corpo deste material)
httpestudeadistanciaprofessordanilocomwp-
contentuploads202105SlidesInstrumentosOticospdf
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome ldquoOptica
da visatildeordquo podem ser
resolvidos
Exerciacutecios do livro texto
14 15 17 18 19 20 e 21 da
paacutegina 349
fisicaprofessordanilocom
90
fisicaprofessordanilocom
91
fisicaprofessordanilocom
92
No SisQ toda a lista da
apostila 2 de nome
ldquoInstrumentos oacutepticosrdquo podem
ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
93
ENCERRAMOS OacuteTICA
VAMOS AO SEGUNDO ASSUNTO ONDULATOacuteRIA
Exerciacutecios do livro texto 1 3
4 5 6 8 10 11 12 13 16 17
18 19 20 21 22 e 24 ateacute 34 A
partir da paacutegina 353
fisicaprofessordanilocom
94
------------------------------------------------
-- SEGUNDA PARTE ONDULATOacuteRIA --
------------------------------------------------
1 MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ndash INTRODUCcedilAtildeO
(A) SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Pecircndulos um bloco em uma mola uma folha em uma aacutervore etc
(B) GRANDEZAS EM SISTEMAS OSCILATOacuteRIOS
bull Definiccedilatildeo de periacuteodo
tempo de uma voltanuacutemero de oscilaccedilotildees
tT =
= (1)
o No sistema internacional o periacuteodo eacute medido em segundos
bull Definiccedilatildeo de frequecircncia
nuacutemero de oscilaccedilotildees oscilaccedilotildees por segundo
tf =
= (2)
o No sistema internacional a frequecircncia eacute medida em hertz (Hz) e equivale ao inverso de um segundo
bull Relaccedilatildeo entre periacuteodo e frequecircncia
1 1T f
f T= = (3)
(C) SISTEMA MASSA MOLA
bull Vamos estudar inicialmente um bloco em uma mola
bull Natildeo consideraremos forccedila de atrito
bull Lembremos da segunda lei de Newton
resF m a= (4)
bull Vejamos a lei de Hook
elF k x= minus (5)
bull Se a uacutenica forccedila que age sobre o corpo eacute a elaacutestica entatildeo ela eacute a resultante
fisicaprofessordanilocom
95
m a k x = minus (6)
bull A equaccedilatildeo 6 eacute a equaccedilatildeo chave do estudo de oscilaccedilotildees e comeccedilaremos com uma pergunta que parece simples mas por seacuteculos a humanidade natildeo sabia a resposta
o Qual a equaccedilatildeo horaacuteria de ( )x t e ( )a t que
satisfaz a equaccedilatildeo (6)
bull Todo sistema que sofre a accedilatildeo de uma forccedila de acordo com a equaccedilatildeo (6) eacute dito um sistema que se move em um MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES ou MHS
bull Vamos entatildeo estudar o sistema massa-mola
2 SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicamhshtml
bull Seja um bloco preso em uma mola de acordo com a figura anterior que oscila na horizontal e que natildeo haja atrito
fisicaprofessordanilocom
96
bull Note que haacute um referencial considerado positivo para a direita
bull Assim se 0x (deslocamento para a direita) a forccedila elaacutestica eacute para a esquerda ou seja 0elF
bull Isso justifica porque consideramos um sinal negativo na equaccedilatildeo da Lei de Hook
bull Graacutefico do moacutedulo da forccedila versus moacutedulo da posiccedilatildeo
Fonte httpsalunosonlineuolcombrfisicarepresentacao-grafica-lei-hookehtml
bull O graacutefico na forma escalar seria
Fonte httpfisicaevestibularcombrnovomecanicadinamicamhsmhs-sistema-massa-
molaexercicios-de-vestibulares-com-resolucao-comentada-sobre-mhs-sistema-massa-mola
bull Periacuteodo no MHS
2m
Tk
= (7)
Sendo m a massa do bloco oscilando
fisicaprofessordanilocom
97
bull Frequecircncia no MHS
1
2
kf
m=
(8)
bull Note tambeacutem que a inclinaccedilatildeo do graacutefico nos fornece a constante elaacutestica
Fonte http4bpblogspotcom-xA_2nd9A5CYVlBdq-
4MxWIAAAAAAAADb4rjkGwok73MEs1600Pic-Hooke-03abmp
3 ENERGIA NO MHS
bull Como natildeo haacute atrito dizemos que no MHS natildeo haacute forccedilas dissipativas e por isso dizemos que eacute um sistema conservativo
bull Um sistema conservativo em mecacircnica eacute um sistema que manteacutem constante a energia mecacircnica total de um sistema
bull Lembre-se que a energia mecacircnica eacute a soma da energia potencial mais a energia cineacutetica
mec pot cinE E E= + (9)
bull Lembremos que
2
2cin
m vE
= (10)
bull A energia potencial estaacute relacionada ao trabalho que a mola eacute capaz de fazer quando liberada assim podemos determinaacute-la pelo graacutefico da forccedila elaacutestica
bull Consideremos o graacutefico do moacutedulo da forccedila elaacutestica
fisicaprofessordanilocom
98
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosMecanicaDinamicaenergia2php
2 2
x F x kxAacuterea
= =
2
2pot
xE
k = = (11)
bull Como o sistema eacute conservativo a energia mecacircnica total do sistema eacute constante
2 2
2 2mecE
k x m v = + (12)
Fonte httpslabanimationwordpresscomsistema-massa-mola
bull Observe que quando x eacute maacuteximo a velocidade eacute miacutenima
fisicaprofessordanilocom
99
bull A posiccedilatildeo varia de A x Aminus assim o maacuteximo valor de x eacute A e x vai de ndashA a A
bull Observe que quando a energia potencial eacute maacutexima toda a energia mecacircnica estaacute na forma de energia potencial
2
2mec
kE
A= (13)
bull Quando a velocidade eacute maacutexima a energia mecacircnica estaacute na forma de energia cineacutetica
2
2m
mecaacutexm v
E
= (14)
bull Igualando (13) com (14)
22
2 2maacutexm vk A
=
maacutexk
v Am
= (15)
4 OUTROS SISTEMAS EM MHS
Exerciacutecios do livro texto paacutegina 376 nuacutemeros 12 13 e extra
5 PEcircNDULO SIMPLES
bull Demonstraccedilatildeo da equaccedilatildeo do pecircndulo simples
A forccedila restauradora em um pecircndulo simples eacute
senmg
A posiccedilatildeo x eacute dada por
x L
Para pequenos
sen
Exerciacutecios do livro texto
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 e 14
ao 29 A partir da paacutegina 375
fisicaprofessordanilocom
100
Com isso
senx
ma mgmg maL
=
Como a forccedila eacute restauradora fica mais bem escrita como
mgma x
L= minus
Comparando com a equaccedilatildeo do MHS (sistema massa-mola)
ma kx= minus
Vemos que k mg L= assim temos
2 L
2m m
k mgT = =
2L
Tg
= (16)
Ou se preferir
1
2
g gf
L Le =
= (17)
bull Como exerciacutecio extra
Vocecirc fez um tuacutenel ligando o Elite ao Japatildeo Ao soltar uma maccedila esta comeccedilou um movimento harmocircnico simples
Em funccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade no Elite g e do raio da Terra R determine o tempo que a maccedila leva para atingir o Japatildeo considerando despreziacutevel a resistecircncia do ar e que a densidade da Terra seja constante
Na superfiacutecie da Terra
32 2 2
3
33
4
4
3
3
4Mx
GM m G Gmg m m
x xx
Rd
= = =
3 3
GMmm
GMmg x x
Rm
Rg= =
Esta forccedila eacute restauradora e por isso podemos comparar com a forccedila elaacutestica no MHS
3
GMmma x
R= minus
ma kx= minus
Vemos que 3
GMmk
R= com isso
fisicaprofessordanilocom
101
32
RT
GM= (18)
Note que na superfiacutecie da Terra 2 2
GMmmg
R
GMg
R == logo
2
12 2
RT R T
gGM R= = =
O tempo de viagem do Elite ao Japatildeo eacute
2
Tt =
Substituindo os dados (210 msg = e 6400 kmR = ) temos
346400 10
64 1010
Rt
g
= = = 2513 st
41min 53 st
6 EQUACcedilAtildeO DO MHS
Lembremos que o problema fundamental no MHS eacute resolver a seguinte equaccedilatildeo
m a k x = minus (19)
Entendemos por resolver esta equaccedilatildeo encontrar ( )x t e ( )a t
que satisfaccedila esta equaccedilatildeo Note que ( )x t eacute a posiccedilatildeo em
funccedilatildeo do tempo e ( )a t eacute a aceleraccedilatildeo em funccedilatildeo do tempo
isto eacute queremos encontrar duas funccedilotildees que satisfaccedila o problema acima
Esse tipo de problema eacute ineacutedito para qualquer aluno do ensino meacutedio e natildeo vamos estudar em detalhes como chegar nessa soluccedilatildeo
Entretanto precisamos saber de duas coisas
1 sabe-se que se encontrarmos alguma soluccedilatildeo para tal problema esta soluccedilatildeo eacute uacutenica
2 as equaccedilotildees que resolvem o problema satildeo na verdade a projeccedilatildeo do movimento circular uniforme em uma reta (digamos no eixo x para um corpo que executa um movimento circular uniforma no sentido anti-horaacuterio em uma circunferecircncia de raio R centrada na origem do sistema cartesiano que usaremos como referecircncia e
velocidade angular )
fisicaprofessordanilocom
102
Entendemos a projeccedilatildeo do movimento natildeo somente a projeccedilatildeo da posiccedilatildeo mas tambeacutem de todo vetor que caracteriza o movimento do corpo Satildeo elas
bull Posiccedilatildeo
bull Velocidade
bull Aceleraccedilatildeo
Comecemos calculando a posiccedilatildeo x da projeccedilatildeo da posiccedilatildeo do corpo que representaremos por um ponto
(A) EQUACcedilAtildeO DA POSICcedilAtildeO x(t)
Figura 1 projeccedilatildeo horizontal da posiccedilatildeo de um corpo em mcu
Lembremos da matemaacutetica que a abscissa x eacute o cosseno do acircngulo vezes o raio R da circunferecircncia Assim
cos )(x R= (20)
Lembremos que no movimento circular a velocidade angular eacute dada por
t
=
Que desenvolvendo chega-se a
0
0t t
minus =
minus
0( )t t = + (21)
Note que se costuma escrever a equaccedilatildeo (21) na forma
0( )t t = +
Ambas as formas satildeo equivalentes e o que importa eacute lembrar que a velocidade angular sempre multiplicaraacute o tempo
Agora substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) na equaccedilatildeo (20)
0cos( )tx R + =
fisicaprofessordanilocom
103
Como dissemos esta equaccedilatildeo descreve o movimento de um corpo em MHS logo natildeo faz sentido em falar de acircngulo inicial
0 velocidade angular ou mesmo raio R e por isso
identificamos as grandezas equivalentes no sistema harmocircnico simples
Chamaremos
bull de fase
bull 0 de fase inicial
bull de frequecircncia angular
bull R seraacute a amplitude de movimento e a uacutenica grandeza
que trocaremos o seu siacutembolo usaremos A para indicaacute-la
Agora podemos escrever a equaccedilatildeo do MHS para a posiccedilatildeo
0( ) cos )( tx t A + = (22)
(B) EQUACcedilAtildeO DA VELOCIDADE v(t)
Observe a figura a seguir onde estaacute representada a velocidade instantacircnea do corpo em mcu (movimento circular e uniforme)
Figura 2 projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em mcu
Note que pela propriedade dos acircngulos alternos internos serem iguais a velocidade instantacircnea ser perpendicular ao raio e a soma dos acircngulos internos de um triacircngulo retacircngulo ser 180deg podemos ver onde se encontra no triacircngulo superior
Observe que a velocidade da projeccedilatildeo horizontal v eacute a velocidade do movimento circular vezes seno pois
fisicaprofessordanilocom
104
mcumcu
sen nse vV
Vv
= = (23)
Lembremos que no movimento circular a velocidade eacute p produto da velocidade angular pelo raio
para uma volta
mcu mcu2 2
VS R
t T TV R
⎯⎯⎯⎯⎯rarr = =
=
mcuV R= (24)
Substituiacutemos a equaccedilatildeo (21) e (24) em (23) e usamos as substituiccedilotildees do mcu para o MHS descritas no subitem (A)
0sen( )v R t= +
0sen( )v A t= +
Mas estaacute ainda natildeo eacute a soluccedilatildeo final uma vez que o sinal da velocidade deve ser dado pela equaccedilatildeo que procuramos pois assim a soluccedilatildeo fica completa
Vamos comeccedilar analisando o sinal da funccedilatildeo seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico Isso eacute feito na figura a seguir
Figura 3 sinais da funccedilatildeo seno em cada quadrante
Compare com o sinal da velocidade em cada quadrante do ciacuterculo Antes lembremos os nomes dos quadrantes
fisicaprofessordanilocom
105
Figura 4 nome dos quadrantes em um ciacuterculo trigonomeacutetrico
Agora observe o sentido da projeccedilatildeo da velocidade em cada quadrante Lembrando que estamos falando da velocidade no MHS que eacute a projeccedilatildeo do vetor velocidade no mcu no sentido anti-horaacuterio
Figura 5 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da velocidade de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave velocidade de um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
106
Observe que os sinais entre a funccedilatildeo seno e a velocidade que encontremos eacute exatamente oposta conforme apresentado na tabela a seguir
Tabela 1 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo seno e os sinais da velocidade que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo seno Sinal da velocidade
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo + minus
Terceiro minus +
Quarto minus +
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) portanto
0( ) sen( )v t A t= minus + (25)
(C) EQUACcedilAtildeO DA ACELERACcedilAtildeO a(t)
Por fim faremos o mesmo para a aceleraccedilatildeo
Antes disso lembremos que se um corpo possui movimento circular uniforme isto eacute se a velocidade vetorial do corpo possuir velocidade vetorial de moacutedulo constante ele possui aceleraccedilatildeo pois o vetor velocidade muda com o tempo (altera a sua direccedilatildeo)
Esta aceleraccedilatildeo eacute a centriacutepeta cuja foacutermula eacute
2mcu
cpV
aR
=
Usando a equaccedilatildeo (24) obtemos
( )2
cp
2 2Ra
R
R
R
= =
2mcu
cpV
aR
= (26)
Agora vamos calcular a componente horizontal desta aceleraccedilatildeo como fizemos com a posiccedilatildeo e com a velocidade
fisicaprofessordanilocom
107
Figura 6 projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo de um corpo em mcu
A componente horizontal desta velocidade eacute
cpcos coscp
aa a
a = =
Substituindo as equaccedilotildees (26) e (21) obtemos
20cos( )tRa = +
Fazendo a troca de R por A obtemos
20cos( )a A t= +
Fazendo as mesmas anaacutelises de sinais entre o seno e a aceleraccedilatildeo que obtemos vemos que novamente possuem sinais opostos
Figura 7 sinais da funccedilatildeo cosseno em cada quadrante
fisicaprofessordanilocom
108
Figura 8 anaacutelise dos sinais da projeccedilatildeo horizontal da aceleraccedilatildeo centriacutepeta de um corpo em movimento circular e uniforme (mcu) Note que esta eacute a direccedilatildeo
correspondente agrave aceleraccedilatildeo de um corpo em MHS
Tabela 2 Comparaccedilatildeo entre os sinais da funccedilatildeo cosseno e os sinais da aceleraccedilatildeo que encontramos
Quadrante Sinal da funccedilatildeo
cosseno Sinal da aceleraccedilatildeo
(encontrada)
Primeiro + minus
Segundo minus +
Terceiro minus +
Quarto + minus
Assim fica faacutecil ver que devemos multiplicar por 1minus a funccedilatildeo que encontramos (equivale a adicionar um de menos na equaccedilatildeo obtida) logo
20( ) cos( )a t A t= minus + (26)
fisicaprofessordanilocom
109
(D) VERIFICANDO AS SOLUCcedilOtildeES ENCONTRADAS
Vamos organizar as ideias
bull Primeiro queriacuteamos encontrar as funccedilotildees que satisfaccedilam a identidade
m a k x = minus
bull Utilizando-se da ideia de que a componente horizontal do mcu satisfaz isso (historicamente isto foi ldquochutadordquo e posteriormente calculado) encontramos
0( ) cos )( tx t A + =
0( ) sen( )v t A t= minus +
20cos( )a A t= minus +
bull Vamos verificar se realmente isso eacute satisfeito
Substituiacutemos ( )x t e ( )a t na equaccedilatildeo
m a k x = minus
m Aminus 02 cos( )t + ( ) k A= minus 0cos( )t +
2m kminus = minus
2 k
m =
k
m = (27)
Certo as funccedilotildees encontradas satisfazem m a k x = minus desde que a frequecircncia angular seja escrita como na equaccedilatildeo (27) Se notarmos que o periacuteodo (tempo de uma volta) de um movimento circular uniforme cuja projeccedilatildeo horizontal eacute igual ao MHS deve ser o mesmo periacuteodo do MHS (tempo de uma oscilaccedilatildeo) podemos dizer que
2 2T
T
= =
2Tm
k= (28)
E como a frequecircncia eacute o inverso do periacuteodo temos
1f
T=
1
2
k
m =
(29)
fisicaprofessordanilocom
110
Como eacute a frequecircncia f vezes 2 isto eacute um acircngulo
podemos justificar porque eacute chamado de frequecircncia angular
bull Por fim podemos garantir que se estas equaccedilotildees
resolvem m a k x = minus entatildeo estas satildeo as uacutenicas equaccedilotildees que satisfazem o problema (haacute um teorema que garante isso)
Portanto podemos resumir todas as equaccedilotildees que descrevem o movimento harmocircnico simples em (30)
Note que estas equaccedilotildees descrevem o movimento portanto natildeo estatildeo relacionadas as energias no MHS
0
0
20
( ) co )
( ) sen( )
s(
2
1
2
( ) cos( )
t
v t A t
a t A
x t A
m a k x m
k k
m
t
k
m
T
+
= minus +
= minus +
=
= minus =
=
=
(E) ENERGIA NO MHS
Vamos escrever as equaccedilotildees das energias para o MHS comeccedilando pela energia potencial
2
pot2
k xE
=
( )02
potcos(
2
)tk AE
+ =
Lembremos que
2kk
mm
= =
Assim
2
pot 02
2cos (
2)t
mAE
+ =
Cujo graacutefico fica assim
fisicaprofessordanilocom
111
Figura 9 Energia potencial em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Agora para a energia cineacutetica
2
cin2
m vE
=
( )02
cinsen
2
( )mE
A tminus + =
2
cin
22
0sen ( )2
tmA
E
+ =
Cujo graacutefico fica
Figura 10 Energia cineacutetica em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Para facilitar vamos representar as duas energias em um mesmo graacutefico
Figura 11 Graacutefico comparativo entre as energias potencial e cineacutetica em
funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
fisicaprofessordanilocom
112
Qual seria a energia total Bom podemos calcular somando as duas equaccedilotildees que obtemos
Total pot cinE E E= +
2 2 22
0
22
To 0tal cos ( ) sen ( )22
mA mAt tE
+ ++ =
( )2
2Total
22
0 0c ) sens )o (2
(t tmA
E
= ++ +
Lembremos a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
2 2cos 1sen + =
Entatildeo
2
Total
2
2
mAE =
Observe que a energia mecacircnica total eacute constante ou seja natildeo
depende do tempo t
Vamos ver como ficaria o graacutefico das trecircs energias entatildeo
Figura 12 Graacutefico comparativo entre as energias potencial cineacutetica e energia mecacircnica total em funccedilatildeo do tempo para um corpo em MHS
Neste caso note que a amplitude eacute a metade da energia de oscilaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
113
(F) OUTRAS RELACcedilOtildeES NO MHS
Observe que ( )x t depende do cosseno enquanto ( )v t
depende do seno Vamos isolar as funccedilotildees trigonomeacutetricas destas funccedilotildees e utilizar a relaccedilatildeo fundamental da trigonometria para ver aonde chegamos
0
0
)
( ) sen(
) os(
)
( c t
v
x t A
t A t
+
= minus +
=
0
0
)
sen(
c
)
os(x
tAv
tA
+ =
+ =
Da relaccedilatildeo fundamental da trigonometria
0 022 csen os (( ) ) 1t t + + + =
Temos
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
Provavelmente vocecirc natildeo se lembra mas a equaccedilatildeo de uma elipse eacute
2 2
2 2
( ) ( )1c cx x y y
a b
minus minus+ =
Sendo a o semieixo horizontal b o semieixo vertical cx o ldquoxrdquo
do centro da elipse e cy o ldquoyrdquo do centro da elipse
Como exemplo tomemos 2a = 1b = 2c cx y= = disso a
equaccedilatildeo dessa nossa elipse fica
2 2( 2) ( 2)1
4 1
x yminus minus+ =
Cujo graacutefico seraacute
fisicaprofessordanilocom
114
Figura 13 Exemplo de uma elipse
Voltando agrave equaccedilatildeo do MHS vemos que
2 2
2 2 21
x v
A A+ =
representa uma elipse onde a velocidade substitui o eixo y
0c cx y= = (elipse centrada na origem) a A= (semieixo ao
longo do eixo x que correspondo ao valor maacuteximo da posiccedilatildeo) e b A= (semieixo vertical cujo valor corresponde ao maacuteximo valor da velocidade) Assim podemos representar esta relaccedilatildeo graficamente
Figura 14 Elipse representando a elaccedilatildeo entre velocidade e posiccedilatildeo
Por fim podemos fazer o mesmo com a aceleraccedilatildeo e a velocidade
0
20
( ) sen( )
(t) cos( )
v t A t
a A t
= minus +
= minus +
fisicaprofessordanilocom
115
0
0 2
sen( )
cos( )
vt
A
at
A
+ = minus
+ = minus
( )
( ) ( )
22
0 2
22
0 22
2 2
2 22
sen ( )( )
cos ( )
1
vt
A
at
A
v a
A A
+ =
+
+ =
+ =
Observe que A eacute a velocidade maacutexima e 2A eacute a aceleraccedilatildeo
maacutexima logo nosso diagrama (note que uma elipse natildeo eacute funccedilatildeo) fica assim
Figura 15 Elipse representando a relaccedilatildeo entre velocidade e aceleraccedilatildeo
BOcircNUS
Vamos fazer mais algumas manipulaccedilotildees Vejamos
0
0
20
)
( ) sen( )
( ) cos( )
( ) cos( t
v t A t
a t A t
x t A +
= minus +
= minus
=
+
Isolemos as funccedilotildees trigonomeacutetricas novamente
fisicaprofessordanilocom
116
0
0
0 2
)
sen( )
cos
cos(
( )
t
vt
A
x
A
at
A
+
+ = minus
= minus
=
+
Multipliquemos a primeira equaccedilatildeo pela uacuteltima e elevemos a segunda ao quadrado
0 2
22
2
0 2
)
sen
c
(
s
)(
(
)
oa
tA
vt
x
A
A
+
= minus
+ =
0 2
22
2
0 2
)( )
s
c
en (
os (
)( )
axt
A
vt
A
+
+ =
minus
=
Somando as duas equaccedilotildees temos
2
2 21
( ) ( )
v ax
A Aminus =
2
21
( )
v ax
A
minus=
2 2( )v A ax= +
Como a velocidade maacutexima eacute
maacutexV A=
Podemos reescrever esta equaccedilatildeo de forma que fique parecida com a equaccedilatildeo de Torricelli
2 2maacutexv V ax= +
Por esta razatildeo esta equaccedilatildeo eacute por vezes chamada de equaccedilatildeo de Torricelli no MHS
No SisQ toda a lista da apostila 2 de nome ldquoMovimento
Harmocircnico Simplesrdquo podem ser resolvidos
fisicaprofessordanilocom
117
7 CLASSIFICACcedilAtildeO DAS ONDAS
Comecemos com um exemplo
bull Imagine uma corda e que cada ponto desta corda esteja com um movimento harmocircnico simples
bull Imagine agora que cada ponto comeccedilou esta oscilaccedilatildeo em um instante de tempo ligeiramente diferente um do outro
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
(A) As ondas podem ser classificadas quanto agrave sua natureza em
bull Ondas mecacircnicas
o Ondas governadas pelas leis de newton
o Precisa de mateacuteria para existirem
o Exemplos
Ondas do mar
Ondas sonoras
Ondas em uma corda
Ondas siacutesmicas
Ondas em uma mola
Etc
fisicaprofessordanilocom
118
Fonte httpbrunofrancescocombrwp-contentuploads201107guitar-tilt-315x169jpg
bull Ondas eletromagneacuteticas
o Ondas governadas pelo eletromagnetismo
o Possuem velocidade constante quando no vaacutecuo
299 792 458 msc =
o Campos eleacutetricos e magneacuteticos oscilam simultaneamente no espaccedilo
o Natildeo precisam de mateacuteria para existir e se propagar
o Exemplos
Luz
Raio X
Raio gama ( )
Micro-ondas
Ondas de raacutedio (AM e FM)
Ondas de telecomunicaccedilotildees (raacutedio amador walkie talkies celular wi-fi televisatildeo internet etc)
Radar
Infravermelho
Ultravioleta
Etc
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons335Onde_electromagnetiquesvg
fisicaprofessordanilocom
119
bull Ondas de Mateacuteria
o Governada pelas leis da mecacircnica quacircntica (fiacutesica moderna)
o Partiacuteculas elementares se comportam como ondas Por se tratar de mateacuteria recebem este nome
o Exemplos
Eleacutetrons
Proacutetons
Necircutrons
Quarks (up down strange charm bottom e top)
Aacutetomos e moleacuteculas
Muitas outras partiacuteculas estudadas pela fiacutesica de partiacuteculas
Fonte httplh3ggphtcom-
zFmz7XQUXoYT9IapEMEnmIAAAAAAAAGB4ZK0WixCQPHAo252520chap2525C32525A9u252520de252520Schrodinger_thumb25255B225255Djpgimgmax=800
fisicaprofessordanilocom
120
(B) Podemos classificar as ondas com relaccedilatildeo agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
bull Ondas longitudinais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute a mesma que a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas sonoras no ar uma mola quando comprimida etc
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-longitudinal-1jpg
Fonte http4bpblogspotcom-6vAmv79j8B4Ttth5jdgg-
IAAAAAAAAAzcG5ddUOarA5Us1600Terremotos_Explos25C325B5es_01jpg
Veja esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorrn3epzo98b
bull Ondas transversais
o Direccedilatildeo de vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) eacute perpendicular (transversal) agrave de propagaccedilatildeo (velocidade)
Ondas eletromagneacuteticas (todas) ondas em uma corda etc
fisicaprofessordanilocom
121
Fonte httpwwwinfoescolacomwp-contentuploads201001onda-transversaljpg
Veja novamente esta simulaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatorzss3gtpywk
bull Ondas mistas
o Possui vibraccedilatildeo (oscilaccedilatildeo) tanto na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo como na direccedilatildeo perpendicular agrave esta
o Ou seja eacute longitudinal e transversal ao mesmo tempo
Ondas siacutesmicas ondas na superfiacutecie da aacutegua etc
Fonte httpslideplayercombr899647626images9Ondas+Mistasjpg
fisicaprofessordanilocom
122
8 ELEMENTOS DAS ONDAS
bull Comprimento de onda
bull Crista
bull Vale
Fonte httpsmundoeducacaoboluolcombruploadconteudoimagescrista-e-vale-de-uma-
ondajpg
bull Periacuteodo (T )
o Tempo em que um elemento retorna agrave posiccedilatildeo original
o Portanto eacute o tempo que a onda gasta para recuperar sua posiccedilatildeo original
o Volte a ver a simulaccedilatildeo a seguir para ficar mais claro
httpswwwdesmoscomcalculator8pn1az5gfg
bull Portanto a velocidade de propagaccedilatildeo da onda eacute
tv
T
S
= =
bull Frequecircncia ( f )
o Inverso do periacuteodo
1 1f T
T f= =
o Portanto podemos reescrever a velocidade de propagaccedilatildeo de uma onda
EQUACcedilAtildeO FUNDAMENTAL DA ONDULATOacuteRIA
v f=
fisicaprofessordanilocom
123
9 FUNCcedilAtildeO DE ONDA
Lembremos um pouco sobre translaccedilatildeo de uma funccedilatildeo em um
graacutefico Seja a funccedilatildeo 2( )f x x=
Figura 1 Graacutefico da funccedilatildeo 2( )f x x=
Se quisermos deslocar este graacutefico para a direita temos que subtrair um valor Vamos subtrair 2 unidades da variaacutevel x para ver o que ocorre
Figura 2 Graacutefico da funccedilatildeo 2( ) ( 2)f x x= minus
Note que temos que subtrair da variaacutevel
fisicaprofessordanilocom
124
Vamos aplicar esta ideia numa onda
Primeiramente imaginemos uma fotografia de uma onda em uma corda como na figura a seguir
Figura 3 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda
Eacute de supor que uma onda pode ser adequadamente descrita por uma funccedilatildeo trigonomeacutetrica De fato foi usada a funccedilatildeo
( ) cosy x x=
Vamos transladar esta onda para direita de duas unidades ou seja vamos ver como fica a funccedilatildeo
2( ) cos( 2)y x x= minus
Figura 4 Ilustraccedilatildeo graacutefica que representa uma fotografia (instantacircneo) de uma onda em uma corda quando transladada
de duas unidades para a direita em relaccedilatildeo agrave figura anterior
Se quisermos representar esta onda de fato podemos simplesmente dizer que em um instante t a onda transladou
para a direita de uma distacircncia vt para a direta (onda progressiva)
Assim temos que uma onda poderia ser descrita pela funccedilatildeo
depende de
1 2
depende d
3
e
( ) cos( a )
x t
y x t a a= minus +
Natildeo se assuste aqui pois vamos discutir cada termo
Notemos o seguinte
bull Quando decorrido um tempo igual ao periacuteodo a onda
deveraacute andar exatamente ou seja quando t T= (periacuteodo) a onda volta a ser o que era Por uma regra de trecircs
22
22T
t aa t
T
=
=
fisicaprofessordanilocom
125
bull Quando ldquoandarmosrdquo voltamos a ver a onda com o mesmo formato assim podemos dizer que
11
22
x aa x
T
=
=
Assim chegamos jaacute no seguinte
32 2
( ) cosy x t x t aT
= minus +
Lembremos que a frequecircncia angular eacute
2
T
=
Assim podemos melhorar nossa funccedilatildeo de onda
32
( ) cosy x t x t a
= +
minus
Temos uma nova grandeza que eacute na verdade um vetor e eacute chamado de nuacutemero de onda k
2k
=
Melhorando entatildeo essa nossa funccedilatildeo
( )3( ) cosy x t k x t a= minus +
Por fim quem seria 3a
Eacute apenas ldquouma faserdquo ou seja eacute um valor que usamos para adaptar nossa funccedilatildeo agrave onda que chamamos simplesmente de
0
( )0( ) cosy x t k x t= minus +
Falta incluir a amplitude obtendo portanto
( )0( ) cosy x t A k x t minus +=
fisicaprofessordanilocom
126
10 ONDAS MECAcircNICAS
(A) O SOM
bull O Som eacute uma onda longitudinal e percebido pelos seres humanos por fazer vibrar em nosso ouvido uma membrana chamada tiacutempano
bull Sons mais agudos possuem frequecircncias maiores e mais graves menores frequecircncias Dizemos que sons mais agudos possuem maiores alturas
bull Diferimos dois sons produzidos por instrumentos diferentes atraveacutes do seu timbre
Fonte httpsqphfsquoracdnnetmain-qimg-ebb09e35af145475d220f10e368276f0
(B) VELOCIDADE DE ONDAS MECAcircNICAS
bull Seja uma onda propagando-se em uma corda esticada sob uma traccedilatildeo T massa m e comprimento L Definimos como densidade linear
m
L =
A velocidade de uma onda mecacircnica transversal nesta corda seraacute dada por
Fv =
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatore4qf7h1egh
bull Seja uma cuba com aacutegua A profundidade da lacircmina drsquoaacutegua eacute constante e igual agrave h num local onde a gravidade eacute g A velocidade de uma onda que se propaga nessa superfiacutecie eacute
v gh=
fisicaprofessordanilocom
127
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculatormoqiez2eri
Eacute importante notar que isso soacute ocorre para pequenas profundidades ( 2h ) Para meios profundos a
velocidade dependeraacute da frequecircncia mas essa dependecircncia eacute complicada
bull Em gases a velocidade da onda eacute
vp
d=
Sendo d a densidade do meio p a pressatildeo e o
coeficiente de Poisson que varia de gaacutes para gaacutes
(C) ONDAS UNI BI E TRIDIMENSIONAIS
bull Uma onda em uma corda eacute unidimensional pois soacute se propaga em uma direccedilatildeo
bull Ondas na superfiacutecie da aacutegua eacute bidimensional pois podem se propagar por duas direccedilotildees
bull Ondas esfeacutericas como a luz emitida pelo Sol eacute tridimensional pois pode se propagar em trecircs direccedilotildees distintas
Chamamos de frente de onda uma linha que passa por todos os pontos consecutivos onde haacute uma crista Vejamos como exemplo a frente de onda de uma onda na superfiacutecie da aacutegua
fisicaprofessordanilocom
128
As linhas pontilhadas representam os vales de uma onda e as linhas cheias as frentes de ondas ou seja as cristas da onda
bull Chamamos de raio de onda a direccedilatildeo de propagaccedilatildeo das frentes de ondas tal como usamos em eleacutetrica para representar o campo eleacutetrico
Fonte httpswwwsofisicacombrconteudosOndulatoriaOndasfigurasclas5gif
11 REFLEXAtildeO E TRANSMISSAtildeO DE ONDAS
bull Os fenocircmenos de transmissatildeo e reflexatildeo normalmente ocorrem juntos
bull Quando a onda eacute transmitida dizemos que ela sofreu refraccedilatildeo
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO EM FIOS
bull Temos que diferenciar as extremidades de um fio como presa ou livre
fisicaprofessordanilocom
129
bull Reflexatildeo em extremidade livre natildeo inverte a fase (inversatildeo da onda verticalmente)
bull Reflexatildeo em extremidade livre eacute acompanhada de inversatildeo de fase
Veja animaccedilotildees
1) Extremidade fixa
httpswwwdesmoscomcalculatorgcj8taqbiw
2) Extremidade livre
httpswwwdesmoscomcalculator7tmafi2ley
bull Quando a onda muda de meio ela sofre refraccedilatildeo pois refraccedilatildeo eacute a mudanccedila de meio com mudanccedila de velocidade
bull A reflexatildeo tambeacutem pode ocorrer
fisicaprofessordanilocom
130
REFLEXAtildeO E REFRACcedilAtildeO DE ONDAS BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
bull Reflexatildeo de onda devido a fonte pontual
Veja animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator5ikw071fon
bull Reflexatildeo devido agrave uma frente de onda reta (no caso bidimensional) ou plana (no caso tridimensional)
bull Refraccedilatildeo de uma onda retaplana
Veja animaccedilatildeo httpswwwdesmoscomcalculator8waauky7y8
fisicaprofessordanilocom
131
Animaccedilatildeo do fenocircmeno da refraccedilatildeo no caso de ondas planas
httpswwwdesmoscomcalculatortkuimo5fsm
ALGUMAS PROPRIEDADES CURIOSAS DE SUPERFIacuteCIES PARABOacuteLICAS E ELIPSOacuteIDES
bull Reflexatildeo em uma superfiacutecie paraboacutelica raios que chegam paralelos entre si concentram-se no foco
fisicaprofessordanilocom
132
bull Se em um dos focos de uma elipse estiver uma fonte pontual entatildeo eles se concentraratildeo no segundo foco
bull Eco
o Ondas satildeo uteis para determinar distacircncia entre objetos e a fonte
o Emite-se uma onda e mede-se o tempo de ida e volta da onda
o Com a diferenccedila de tempo determina-se a distacircncia requerida
o Esse eacute o princiacutepio de funcionamento do sonar por exemplo
2V
S
t
x
t= =
2x
tV =
bull Reverberaccedilatildeo
o Quando ouvimos dois sons um emitido e o outro refletivo e podemos reconhecer os dois chamamos de eco
fisicaprofessordanilocom
133
o Quando natildeo reconhecemos os dois sons chamamos de reverberaccedilatildeo
o Para distinguir dois sons o intervalo de tempo percebido entre os dois sons deve ser superior a 01 s Sabendo que o som possui velocidade de 340 ms determine esta distacircncia
340 0117 m
2 2
V tx
= = =
bull Refraccedilotildees sucessivas
bull Como explicar as ondas no mar ao quebrarem na praia sempre incidirem perpendicularmente agrave orla
12 FENOcircMENOS ONDULATOacuteRIOS
(A) DIFRACcedilAtildeO E ESPALHAMENTO
bull A difraccedilatildeo eacute a capacidade de contornar objetos de dimensotildees proacuteximas ao comprimento de onda da onda incidente
bull O espalhamento ocorre quando as dimensotildees dos objetos satildeo muito menores que o comprimento de onda da onda incidente
bull Falaremos disso em detalhes mais adiante
PRINCIacutePIO DE HUYGENS
bull Cada ponto de uma frente de onda se comporta como se fosse uma fonte de onda
fisicaprofessordanilocom
134
bull Podemos explicar o espalhamento e a difraccedilatildeo usando este princiacutepio
Difraccedilatildeo a fenda se comporta como uma fonte e a parede interromperaacute as ondas nas laterais
fisicaprofessordanilocom
135
Quanto maior a frequecircncia maior o espalhamento Os pontos entorno das partiacuteculas se comportam como fontes
(B) POLARIZACcedilAtildeO
bull Soacute podemos polarizar ondas transversais
bull Um polarizador funciona como um filtro permitindo a passagem de uma parte da onda que oscila em direccedilatildeo especiacutefica
bull Eacute muito usado em oacuteptica (display de calculadora lentes etc)
fisicaprofessordanilocom
136
bull Digamos que uma onda eletromagneacutetica incide oscilando em uma direccedilatildeo z e haja uma lente
polarizadora inclinada de um acircngulo em relaccedilatildeo agrave essa direccedilatildeo Se a intensidade do campo incidente eacute
0E a intensidade que atravessa eacute
0 cospassa EE =
bull Como a intensidade da onda eletromagneacutetica eacute proporcional ao quadrado do campo eleacutetrico
20 cospassa II =
bull A polarizaccedilatildeo pode ocorrer por reflexatildeo quando o raio refratado forma um acircngulo de 90deg com o acircngulo refletido a polarizaccedilatildeo eacute maacutexima
bull Esta condiccedilatildeo implica na chamada lei de Brewster Vamos demonstraacute-la
Se o raio refratado forma 90deg com o refletido entatildeo sendo i o acircngulo de incidecircncia e r o refratado podemos escrever
90 sen cosr i r i+ = =
Pela lei de Snell supondo que o raio vai do meio A para o B
fisicaprofessordanilocom
137
sen senA Bn i n r =
sen cosA Bn i n i =
tg B
A
ni
n=
Esta eacute conhecida como lei de Brewster
(C) REFLETAcircNCIA E TRANSMITAcircNCIA
bull Como vimos quando a luz atinge uma interface ela pode sofrer reflexatildeo e transmissatildeo
bull Sendo 0I a intensidade da onda incidente TI a
intensidade da onda transmitida e RI a intensidade d
onda refletida podemos definir a
Transmitacircncia
0
TITI
=
E
Refletacircncia
0
RIRI
=
Note que se natildeo houver absorccedilatildeo
0 1T RI I I T R= + = +
O graacutefico a seguir representa a transmitacircncia e a refletacircncia de forma qualitativa para um acircngulo de incidecircncia que varia de 0 agrave 90deg quando a luz vai do meio menos refringente para o mais refringente
fisicaprofessordanilocom
138
O graacutefico a seguir representa a situaccedilatildeo em que a radiaccedilatildeo vai do meio mais para o menos refringente
Observe neste exemplo que o acircngulo limite eacute um pouco maior que 40deg
(D) RESSONAcircNCIA
Veremos por meio de exemplos
Exemplo 1
Quando vocecirc balanccedila algueacutem em um balanccedilo a forccedila deve ser aplicada no momento certo
fisicaprofessordanilocom
139
Exemplo 2 (ATENCcedilAtildeO)
O forno de microondas aquece somente substacircncias polares Sendo a aacutegua polar e sabendo que um dipolo (tal como a moleacutecula de aacutegua) se alinha ao campo eleacutetrico uma onda eletromagneacutetica faz a aacutegua se alinhar ora em uma direccedilatildeo e ora em outra Eacute importante saber que a frequecircncia natural de oscilaccedilatildeo da aacutegua eacute muito maior que a frequecircncia do forno portanto NAtildeO SE TRATA DE UM EXEMPLO DE RESSONAcircNCIA
Veja abaixo um esquema que representa cargas eleacutetricas livres (a esquerda) e dipolos eleacutetricos (lado direito) Em ambos os casos haacute transferecircncia de energia da onda eletromagneacutetica para as partiacuteculas Natildeo tendo partiacuteculas carregadas livres o aquecimento natildeo ocorre tal como num prato de vidro vazio
Exemplo 3
Quando sintonizamos uma radio ou quando recebemos um sinal eletromagneacutetico atraveacutez do nosso celular estamos fazendo o uso da ressonacircncia Isso porque temos um circuito eleacutetrci com pelo menos um capacitor e um indutor o que faz com que as cargas eleacutetricas fiquem se movendo no circuito
O indutor eacute basicamente uma espira que eacute capaz de armazenar energia associada a um campo magneacutetico (podemos contrapor agrave um capacitor que armazena energia associada agrave um campo eleacutetrico Quando um campo eleacutetrico (ou mesmo magneacutetico) variaacutevel atua de alguma forma no circuito haacute corrente eleacutetrica gerada Se a frequecircncia da onda atuante for igual agrave frequecircncia de oscilaccedilatildeo natural do circuito temos a condiccedilatildeo de ressonacircncia
fisicaprofessordanilocom
140
Abaixo temos uma figura que representa um circuito com uma fonte alternada de corrente eleacutetrica Nele temos um indutor L e um capacitor C associados em seacuterie permitindo assim que haja um circuito ressonante A resistecircncia R confere ao circuto uma propriedade de amortecimento isto eacute devido agrave resistecircncia eleacutetrica parte da energia eacute dissipada Fazendo um anaacutelogo mecacircnico eacute como se vocecirc estivesse balanccedilando uma pessoa em um balanccedilo com algum atrito se vocecirc parar de balanccedilar em algum tempo o balanccedilo para
A figura a seguir mostra os dados experimentais de ressonacircncia de um alto falante Note qua a ressonacircncia corresponde ao pico da curva e corresponde agrave frequecircncia em que a taxa de transmissatildeo de energia eacute maacutexima
O curioso do deste eacute que alto falantes possui um melhor desempenho (melhor qualidade do som) quando prabalham na faixa linear (para o graacutefico acima frequecircncias
menores que 1000 Hz) Como a curva de ressonacircncia eacute diferente para cada modelo de alto falante costumamos fazer uso de vaacuterios ao mesmo tempo (eacute o caso do tweeter ndash alta frequecircncia ndash e do subwoofer ndash baixa frequecircncia)
fisicaprofessordanilocom
141
(E) BATIMENTO
Falaremos melhor deste assunto quendo estudarmor interferecircncia mas de forma simplificada podemos dizer que se duas ondas de frequecircncias parecidas se sobrepotildeem entatildeo a onda resultante teraacute uma frequecircncia resultante resultf igual agrave
meacutedia das duas frequecircncias
1 2
2result
ff
f=
+
Se vocecirc ouvir dois sons com frequecircncias proacuteximas vocecirc iraacute perceber que surgiraacute altos e baixos isto eacute a intensidade do som se altera com o tempo Sendo batf a frequecircncia destes
altos e baixos chamada de frequecircncia de batimento temos
1 2| |batf f f= minus
Deixaremos para nos aprofundar no assunto mais para frente
13 ACUacuteSTICA
(A) INTENSIDADE DE UMA ONDA
bull Ondas tridimensionais se espalham por todo o espaccedilo
bull Intensidade eacute a potecircncia sobre uma aacuterea Eacute como uma densidade superficial de potecircncia
bull Se a fonte for isotroacutepica (envia energia de forma uniforme em todas as direccedilotildees) e o meio tambeacutem for isotroacutepico entatildeo a energia se espalha por todas as direccedilotildees de forma igual
A intensidade dessa onda em um ponto eacute
PI
A=
Sendo P a potecircncia e A a aacuterea Se estivermos falando de uma fonte pontual em um meio isotroacutepico a energia se espalha de forma igualitaacuteria em todas as direccedilotildees A aacuterea pela qual ela se espalha corresponde agrave aacuterea de uma esfera de raio r Assim
24I
r
P=
fisicaprofessordanilocom
142
Relaccedilatildeo entre intensidade e amplitude
2 2I f A=
Exemplo 1
Sabendo que a constante solar eacute 21 367 WmF = determine a
potecircncia do Sol Dado sabe-se que a distacircncia do Sol agrave Terra eacute de 150000000 km e que a constante solar eacute a intensidade da luz solar na Terra
2
9 2
24
4
13674 (150 10 )
386 10 W
PI
r
P
P
=
=
Se no entanto a direccedilatildeo de irradiaccedilatildeo natildeo for perpendicular temos uma modificaccedilatildeo na foacutermula
Seja I a intensidade incidente em uma superfiacutecie de aacuterea A conforme a figura anterior A intensidade Irsquo na superfiacutecie depende da direccedilatildeo de incidecircncia e da normal agrave superfiacutecie
= cosI I
Isso explica as estaccedilotildees do ano e o porquecirc quando eacute veratildeo no hemisfeacuterio norte eacute inverno no hemisfeacuterio sul
Exemplo 2
Suponha que hoje seja o maior dia do ano no hemisfeacuterio norte ou seja eacute veratildeo laacute e o Sol estaacute a pino no troacutepico de cacircncer numa latitude de 235deg no hemisfeacuterio norte Sabe-se que nestas condiccedilotildees a intensidade luminosa ao meio-dia em uma cidade
localizada no troacutepico de cacircncer eacute de 500 2 Wm2 Em uma
fisicaprofessordanilocom
143
cidade um pouco ao norte de Campinas numa latitude de 215deg ao meio-dia de quanto seraacute a intensidade luminosa
=
=
=
cos
2 500 2
2 500 W
I I
I
I
Exemplo 3
Duas fontes A e B satildeo percebidas com uma mesma intensidade por um observador distante x da fonte A e 2x da fonte B Tanto o observador como as fontes estatildeo alinhados e a potecircncia da fonte A eacute de 100 W Qual a potecircncia da fonte B
2 24 4 (2 )
1004
400 W
A B
A B
B
B
I I
P P
x x
P
P
=
=
=
=
fisicaprofessordanilocom
144
(B) NIacuteVEL SONORO
Nosso ouvido natildeo detecta a intensidade sonora Por exemplo se dobrarmos a intensidade natildeo percebemos dobrar o que estamos ouvindo
Nosso ouvido tem sensibilidade que obedece a uma relaccedilatildeo logariacutetmica isto eacute nosso ouvido percebe o que chamamos de niacutevel sonoro
0log
I
I
=
unidade de medida bel
Sendo 0I uma intensidade sonora que utilizamos como padratildeo
e vale
120
2 m10 WI minus=
Normalmente utilizamos a unidade de medida do niacutevel sonoro em decibel
010 log
I
I
=
Em decibel
A intensidade de referecircncia eacute a miacutenima audiacutevel em determinada frequecircncia
A sensibilidade varia de pessoa para pessoa com a frequecircncia Fatores como sexo e idade tambeacutem influenciam Como exemplo mulheres e pessoas mais novas possuem sensibilidade maior para altas frequecircncias
fisicaprofessordanilocom
145
Sensibilidade auditiva
(C) EFEITO DOPPLER DE UMA ONDA SONORA
bull Seja uma onda sonora de comprimento de onda
bull Note que este comprimento natildeo pode depender da velocidade do observador
bull Seja um observador se movendo na direccedilatildeo da fonte com velocidade obv a velocidade com que ele vecirc a
onda se aproximando seraacute
som obv v
O sinal considerado eacute o de ldquo+rdquo se o observador estiver se movendo contraacuterio agrave velocidade do som e ldquondashrdquo se o observador estiver se movendo no mesmo sentido
bull Se a fonte estiver se movendo com velocidade fntv
em relaccedilatildeo agrave fonte o som teraacute velocidade
som fntv v
Mesma regra de sinal anterior
fisicaprofessordanilocom
146
bull Tanto fonte como observador concordam com o comprimento de onda Da equaccedilatildeo fundamental da ondulatoacuteria sabemos que
somv
f =
bull Vamos igualar os comprimentos considerados notando que agora a velocidade do som eacute diferente para cada observador
ob fnt
som fntsom ob
ob fnt
v vv v
f f=
=
ob
som ob som fnt
fntff
v v v v=
Esta eacute a equaccedilatildeo do efeito Doppler Note que a velocidade do som eacute medida em relaccedilatildeo ao meio (ar) por onde ela se propaga Assim se o ar estiver se movendo devemos calcular tudo no referencial do ar
Legenda
somv moacutedulo da velocidade do som em relaccedilatildeo ao ar
obv moacutedulo da velocidade do observador em relaccedilatildeo ao ar
fntv moacutedulo da velocidade da fonte em relaccedilatildeo ao ar
obf frequecircncia observada pelo observador
fntf frequecircncia emitida pela fonte eacute a frequecircncia que o
observador perceberia se estiver parado em relaccedilatildeo agrave fonte
Animaccedilatildeo em
httpswwwdesmoscomcalculator80tpkllhu3
(D) EFEITO DOPPLER DE ONDA ELETROMAGNEacuteTICA
fntfc
vf
=
Sendo f a diferenccedila entre as frequecircncias emitida e
observada v a diferenccedila entre as velocidades radiais da fonte
e do observador c eacute a velocidade da luz e fntf eacute a frequecircncia
emitida pela fonte
fisicaprofessordanilocom
147
Usa-se efeito Doppler para medir velocidade de veiacuteculos estrelas e em medicina
Procure por ultrassonografia Doppler
(E) CONE DE MACH
bull Se uma fonte de ondas mecacircnicas viaja a uma velocidade superior agraves ondas produzidas o conjunto de ondas produzidas permaneceratildeo sempre dentro de um cone (caso tridimensional)
bull Este cone eacute chamado de cone de Mach
bull A figura a seguir representa tal ideia
Veja animaccedilatildeo em httpswwwdesmoscomcalculator9qaa4pa6fp
Sd distacircncia percorrida pela onda (som por exemplo)
Ad distacircncia percorrida pela fonte (aviatildeo por exemplo)
acircngulo de Mach
bull Por geometria temos
fisicaprofessordanilocom
148
sen S
A
d
d =
bull Note que se o acircngulo for medido e a velocidade da onda conhecida (esta hipoacutetese eacute bem razoaacutevel) entatildeo podemos determinar a velocidade do aviatildeo
sen senA
A
tS
S
dd d
d tt
= =
senS
Av
v =
bull Unidade MACH
o Eacute comum ouvir em filmes que a velocidade de um aviatildeo supersocircnico eacute MACH 1 por exemplo Esta medida expressa de quantas velocidade do som corresponde agrave velocidade do aviatildeo Por exemplo MACH n significa que a velocidade do aviatildeo eacute aviatildeo somv n v=
bull Note como o acircngulo se relaciona com a unidade MACH
sen senS S
A Sv v
v n v= =
1 1sen
senn
n= =
14 ONDAS ELETROMAGNEacuteTICAS
Fonte httpsstatictodamateriacombrupload57dc57dc0a05e97d3-ondas-eletromagneticasjpg
fisicaprofessordanilocom
149
Fonte
httpsipinimgcomoriginalsb90588b90588b273d6d018779dad9201cb9023png
Vermelho
Alaranjado
Amarelo
Verde
Azul
Anil
Violeta
Em um ponto o campo Eleacutetrico e Magneacutetico oscila
No vaacutecuo a velocidade da luz eacute constante bem como qualquer onda eletromagneacutetica
83 10 msc
Em meios materiais a velocidade das ondas eletromagneacuteticas eacute a velocidade da luz no vaacutecuo pelo iacutendice de refraccedilatildeo n do meio
cv
n=
Em cada instante a razatildeo entre o campo eleacutetrico e o campo magneacutetico eacute constante
Ec
B=
Nunca confunda
Raios gama e raios X satildeo ondas eletromagneacuteticas bem como ondas de raacutedio tv infravermelho luz visiacutevel e micro-ondas
Uma carga acelerada emite radiaccedilatildeo eletromagneacutetica
A diferenccedila entre Raios X e raios gama eacute que raios X satildeo produzidos por aceleraccedilatildeo de eleacutetrons como num tubo de tv
Frequ
ecircn
cia
Co
mp
rimen
to d
e on
da
fisicaprofessordanilocom
150
antiga enquanto raios gama satildeo produzidos por decaimento radioativo (reaccedilatildeo nuclear)
Uma carga em movimento circular emite radiaccedilatildeo pois estaacute acelerada mesmo que o moacutedulo da velocidade seja constante A essa radiaccedilatildeo damos o nome de radiaccedilatildeo sincrotron
Fonte httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsthumb660SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg400px-SchC3A9ma_de_principe_du_synchrotronjpg
Essa radiaccedilatildeo eacute utilizada para estudar estrutura de materiais assim como os raios X
Veremos um pouco sobre isso quando estudarmos interferecircncia
15 INTERFEREcircNCIA DE ONDAS
(A) INTRODUCcedilAtildeO
bull Sabemos que uma onda pode ser descrita matematicamente atraveacutes de funccedilotildees
bull Da experiecircncia sabemos que quando duas ondas se superpotildeem o resultado equivale agrave soma das duas funccedilotildees que descrevem as duas ondas
bull Natildeo faremos isso matematicamente apenas geometricamente
fisicaprofessordanilocom
151
bull Quando duas ondas estatildeo em fase e se interferem a amplitude final seraacute a soma das duas ondas e chamamos isso de interferecircncia construtiva
bull Quando duas ondas estatildeo em oposiccedilatildeo de fase se superpotildeem (interferem) a amplitude resultante seraacute a diferenccedila das duas amplitudes e a isso chamamos de interferecircncia destrutiva Particularmente se as duas ondas possuem a mesma amplitude quando a amplitude resultante daacute zero chamamos isso de interferecircncia totalmente destrutiva
bull Eacute importante destacar que a interferecircncia eacute local as duas ondas seguiratildeo seus caminhos apoacutes interagirem uma com a outra como se nada tivesse acontecido
Veja uma postagem com mais conteuacutedo para vocecirc em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1610
bull Se as duas ondas que interferirem possuiacuterem frequecircncias proacuteximas ocorreraacute um fenocircmeno chamado de batimento cuja frequecircncia seraacute batf
1 2| |batf f f= minus
Enquanto a onda resultante teraacute frequecircncia resultf dada por
1 2
2result
ff
f=
+
Observe alguns casos de interferecircncias
fisicaprofessordanilocom
152
Em representaccedilatildeo bidimensional os vales satildeo representados por linhas pontilhadas e as cristas por linhas cheias
Para animaccedilotildees sobre interferecircncia veja
2) Interferecircncia Construtiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Construtiva
2) Interferecircncia Destrutiva
httpswwwglowscriptorguserdjkcondfolderOndasprogramInterferencia-Destrutiva
Um exemplo de representaccedilatildeo graacutefica usando escala de cinza (quanto mais escuro maior eacute o valor da ordenada da onda) eacute representado a seguir
fisicaprofessordanilocom
153
A imagem acima foi gerada por um programa escrito em Python Se tiver interesse baixe-o aqui
httpfisicaprofessordanilocomdownloaddiversosprogramasPythonripplestxt
As duas animaccedilotildees anteriores tambeacutem foram escritas em Python
(B) INREFEREcircNCIA EM DUAS DIMENSOtildeES
bull Dadas duas fontes a diferenccedila de fase total eacute
o Devido agrave diferenccedila de caminho
1 2caminho
|d d |2
minus =
o Devido agraves reflexotildees
reflexatildeo = para cada reflexatildeo
bull A diferenccedila de fase total seraacute
n
o Se n for par a interferecircncia eacute construtiva
o Se n for iacutempar a interferecircncia eacute destrutiva
bull Soma-se ou subtrai uma fase dependendo das condiccedilotildees iniciais do problema
fisicaprofessordanilocom
154
(C) INTERFEREcircNCIA DA LUZ
bull Dupla fenda de Thomas Young
xD
ky
=
(calculando a espessura de um fio de cabelo)
bull Peliacuteculas (filmes) finas
bull Iridescecircncia
16 ONDAS ESTACIONAacuteRIAS
Mais detalhes em
httpestudeadistanciaprofessordanilocomp=1664
bull Imagine uma onda produzida em uma corda com ambas as extremidades presas
bull Quando refletida ela volta com inversatildeo de fase
bull Se o comprimento do fio tiver tamanho adequado dizemos que a onda no fio eacute uma onda estacionaacuteria pois vemos a onda como se estivesse parada
bull Vamos estudar os harmocircnicos nesse caso
1deg Harmocircnico 12
1
L =
fisicaprofessordanilocom
155
2deg Harmocircnico 22
2
LL = =
3deg Harmocircnico 32
3
L =
4deg Harmocircnico 42
24
LL = =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
Para o n-eacutesimo harmocircnico temos
2n
n n
Lv
FFv
fn
f
=
=
= =
2n
n
FLf =
2nf
n F
L=
TUBOS SONOROS
bull Instrumentos musicais cujo som eacute produzido por sopro segue a mesma loacutegica
bull Em geral um dos lados eacute aberto e o outro eacute ou aberto ou fechado
DUAS EXTREMIDADES ABERTAS
1deg Harmocircnico 11 1
4 42
4 2 2 1
L LL
= = =
fisicaprofessordanilocom
156
2deg Harmocircnico 22
44
4 2 2
LL
= =
3deg Harmocircnico 34
2 3
L =
4deg Harmocircnico 42
4
L =
ndeg Harmocircnico 2
nL
n =
UMA EXTREMIDADE ABERTA E OUTRA FECHADA
1deg Harmocircnico 11
41
4 1
LL
= =
2deg Harmocircnico Natildeo existe
3deg Harmocircnico 34
3
L =
4deg Harmocircnico Natildeo existe
ndeg Harmocircnico 4
nL
n =
bull Note que natildeo existe os harmocircnicos pares para tubos com uma extremidade aberta e outra fechada
fisicaprofessordanilocom
157
--------------------------------------------------
-- TERCEIRA PARTE FIacuteSICA MODERNA --
--------------------------------------------------
1 TERORIA DA RELATIVIDADE
(A) INTRODUCcedilAtildeO
No seacuteculo XIX a maior velocidade jaacute observada era a velocidade
da luz ( 83 10 ms )1 Por volta de 1860 o britacircnico James Clerk
Maxwell trabalhando com as equaccedilotildees da eletrostaacutetica e do
magnetismo encontrou uma onda que se propagava com a
velocidade 0 01c = no vaacutecuo (sendo 0 a constante de
permissividade magneacutetica no vaacutecuo e 0 a constante de
permissividade eleacutetrica no vaacutecuo) Dessa forma ele conseguiu
mostrar que a luz e ondas de radiofrequecircncia entre outras eram
ondas da mesma natureza unificou-se assim a teoria do
1 Atualmente o valor da velocidade da luz eacute definido como sendo exatamente igual agrave
299792458 ms Isto porque a unidade de comprimento do SI (o metro) eacute definido como sendo a distacircncia que a luz percorre em 1299792458 s
magnetismo com a teoria da eletricidade tornando-as numa
uacutenica teoria que eacute o eletromagnetismo
Na mesma eacutepoca (por volta de 1880) surgiu um outro problema
da mesma forma que o som se move com uma velocidade da
ordem de 340 ms em relaccedilatildeo ao ar a luz se move com
velocidade c com relaccedilatildeo a que Qual o referencial para o qual
as equaccedilotildees de Maxwell valeriam
TRANSFORMACcedilOtildeES GALILEANAS
Antes de continuar vamos estudar o que jaacute sabemos vejamos
como mudar de referencial utilizando as transformaccedilotildees de
Galileu
z
x
y
z
x
y
S S
u v
Figura 1 Referenciais S e Srsquo Este uacuteltimo se movendo para a direita com moacutedulo da velocidade igual agrave
v relativamente agrave S
fisicaprofessordanilocom
158
Seja um referencial S no qual noacutes nos encontramos e um
referencial S se movendo com velocidade v na direccedilatildeo de x
relativamente a S Suponha que no instante t = 0 s a origem de
ambos os referenciais fossem coincidentes e que os eixos x-x y-
y e z-z sejam paralelos assim para mudarmos de referencial
isto eacute para obtermos a medida obtida por um observador em S
fazemos
x x v t
y y
z z
t t
= minus
=
= =
Agora imaginemos um objeto se movendo em relaccedilatildeo a S na
direccedilatildeo de x com velocidade u Dividindo as equaccedilotildees pelo
tempo
d 0 0
d
0 0
x x v tu u v
t t t
y y
t t
z z
t t
= minus = minus
= =
= =
Observe que encontramos a equaccedilatildeo da velocidade relativa
u u v= minus Agora ao dividirmos esta equaccedilatildeo pelo tempo (veja
que se as componentes da velocidade em y e z satildeo nulas
tambeacutem seratildeo as componentes em y e z) obtemos a aceleraccedilatildeo
que se multiplicada pela massa (supondo que natildeo dependa do
referencial) obtemos a equaccedilatildeo da forccedila
0
u u va a ma ma
t t t
= minus = minus =
F F=
Isto eacute a forccedila medida em um referencial inercial (uma vez que
nosso sistema S natildeo estaacute acelerado) eacute igual agrave forccedila medida em
outro referencial Observe que esta eacute a primeira lei de Newton e
uma das suas consequecircncias eacute que as leis da Dinacircmica satildeo vaacutelidas
em todos os referenciais Inerciais
Observe que fizemos vaacuterias observaccedilotildees ldquooacutebviasrdquo como t t=
m m= se o corpo natildeo tem velocidade em y entatildeo natildeo teraacute em
y Embora assim pareccedilam oacutebvias assim tambeacutem achou Newton
quando formulou suas teorias entretanto nem todas essas
observaccedilotildees se comprovaram verdadeiras isto eacute o tempo e a
massa podem depender do referencial
Por volta de 1900 muitas pessoas perceberam que as leis da
Dinacircmica eram todas invariaacuteveis ao mudar de referencial
Entretanto as novas descobertas de Maxwell natildeo eram
fisicaprofessordanilocom
159
invariaacuteveis ao mudar de referencial embora 0 e 0 natildeo mudem
de referencial para referencial as suas equaccedilotildees mudam o que
sugeriria que a velocidade da onda eletromagneacutetica c mudasse
gerando uma incoerecircncia nas suas equaccedilotildees Isso sugeria uma
coisa haveria um meio com repouso absoluto no qual a luz se
propagaria sempre com a mesma velocidade c Este meio ficou
conhecido como Eacuteter
O PROBLEMA DA RELATIVIDADE DO MOVIMENTO NAS
CARGAS ELEacuteTRICAS
Lembremos do eletromagnetismo quando uma carga eleacutetrica q
com velocidade v se move em um campo magneacutetico de
intensidade B fica sujeita agrave uma forma magneacutetica magF dada por
senmagF q v B=
Mas quem eacute esta velocidade v Eacute medida em relaccedilatildeo a quem E
se movermos a fonte de campo magneacutetico a forccedila deveria ser a
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
160
mesma poreacutem se adotarmos o referencial na carga eleacutetrica
entatildeo segundo a equaccedilatildeo anterior a forccedila magneacutetica sobre a
carga eacute nula Encontramos aqui uma possiacutevel inconsistecircncia
Vocecirc deve ter estudado em eletromagnetismo a lei de induccedilatildeo
de Faraday-Neumann-Lenz em que uma fonte de campo
magneacutetico em movimento pode induzir uma corrente em um
condutor mas o que seria induzir uma corrente eleacutetrica se natildeo a
produccedilatildeo de um campo eleacutetrico que produz uma forccedila sobre as
cargas livres em um condutor
O resultado eacute que temos que usar uma teoria quando a carga se
move e outra teoria quando a fonte de campo magneacutetico se
move mas como bem sabemos eacute bem verdade que esperamos
que todas as leis da fiacutesica devem valer em todos os referenciais
inerciais mas aqui tiacutenhamos uma inconsistecircncia
A conclusatildeo final eacute que campo magneacutetico e campo eleacutetrico satildeo
comportamentos distintos de uma mesma grandeza ou seja o
campo magneacutetico pode ser entendido como um campo eleacutetrico
visto em outro referencial
NOS
NORTE
SUL
NORTE
SUL
NO
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
161
Ou seja aqui temos uma ideia para embasar uma importante
unificaccedilatildeo das forccedilas na natureza estudadas pela fiacutesica a
unificaccedilatildeo da forccedila eleacutetrica com a magneacutetica
Mas uma simples ideia eacute insuficiente precisamos de resultados experimentais Para comeccedilar vamos voltar agrave teoria da relatividade de Galileu que certamente impotildee que os resultados observados em um referencial inercial devem ser iguais aos obtidos em outros referenciais inerciais Vamos entatildeo analisar como a luz poderia ser influenciada pelo eacuteter
MEDINDO A VELOCIDADE EM RELACcedilAtildeO AO EacuteTER
Muitos experimentos para medir a velocidade da luz em relaccedilatildeo
ao Eacuteter foram criados mas o mais preciso na eacutepoca (plusmn1850 a
1890) e o mais conhecido era o interferocircmetro de Michelson e
Morley Antes de entendermos tal experimento vamos procurar
entender a ideia principal do experimento Para isso vamos
substituir o eacuteter por um rio que se move com velocidade v
paralelamente em relaccedilatildeo agrave margem e dois barcos que
percorrem dois caminhos perpendiculares entre si ambos de
comprimento L e ambos os barcos com velocidade c A figura a
seguir representa esta proposta
A L
L
v v
v
c 2 2c vminus 2 2c vminus
c
C
B
Figura 2 O problema dos dois barquinhos um atravessando e voltando o rio com direccedilatildeo
perpendicular agrave margem (de A a B) de largura L e o outro percorrendo uma distacircncia L
paralelamente agrave margem e voltando ao ponto inicial (de A agrave C)
NOR
SNORTE
SUL
NORTE
SUL
fisicaprofessordanilocom
162
Para o barco que saiacutea de A ateacute B e depois volta ao ponto A
podemos determinar o tempo de ida e volta com o auxiacutelio dos
triacircngulos tambeacutem apresentados na figura acima Observe que a
velocidade relativa agrave margem eacute dada por 2 2c vminus assim o
tempo 1t pode ser calculado somando os tempos de ida e volta
1 A B B A2 2 2 2
L Lt t t
c v c vrarr rarr
= + = + minus minus
122
1 2
21
L vt
c c
minus
= minus
O barco que sai do ponto A e vai ao ponto C e depois volta leva
um tempo t2 para realizar o trajeto que pode ser calculado por
2 A C B C 2 2
2L L Lct t t
c v c v c vrarr rarr
= + = + = + minus minus
2 2
2
2 1
1
Lt
vc
c
=
minus
Podemos utilizar a aproximaccedilatildeo
( )1 1n
x nx+ + se x ltlt 1
Quando a velocidade v c podemos utilizar tal aproximaccedilatildeo
122 2 2
2 2 2
1 11 1 1
2 2
v v v
c c c
minus
minus minus minus = +
e
12 2
2 2 2
2
11 1
1
v v
v c c
c
minus
= minus +
minus
Portanto
2 2
2 1 2 2
2 2 11 1
2
L v L vt t t
c c c c
= minus + minus +
2
3
Lvt
c =
Supondo que os dois barcos tenham partido do ponto A esta eacute a
diferenccedila de tempos gastos entre os tempos de ida e volta para
ambos os barcos quando saiacuterem ao mesmo tempo do ponto A
ateacute C e B e voltarem ao ponto A
fisicaprofessordanilocom
163
(B) O EXPERIMENTO DE MICHELSON E MORLEY
Michelson (em 1881) e posteriormente Michelson e Morley (em
1887) realizaram um experimento para medir a velocidade da luz
em relaccedilatildeo ao Eacuteter O experimento era muito parecido com o
problema dos barquinhos descrito acima
O esquema abaixo representa o aparelho utilizado por eles
conhecido como interferocircmetro de Michelson-Morley ES eacute um
espelho semi-reflexivo que permite que parte da luz o atravesse
e incida no espelho E2 e parte seja refletido e atinja o espelho E1
Ao refletir nestes espelhos os feixes luminosos voltam a incidir
no espelho ES e parte deles atingem o observador O Em O seraacute
formada uma imagem de interferecircncia e se a teoria do Eacuteter
estiver correta quando a fonte estiver se movendo
relativamente ao Eacuteter podemos utilizar os resultados do
problema dos barcos discutido anteriormente Observe que se as
distacircncias entre ES e E1 e entre ES e E2 forem iguais deveria
observar uma diferenccedila de tempo
2
3
Lvt
c =
E1
E2
ES
O
Fonte
Figura 3 O interferocircmetro de Michelson-Morley eacute formado por uma fonte um espelho semi-
reflexivo (ES) e dois espelho (E1 e E2)
A teoria do Eacuteter estacionaacuterio implica que necessariamente em
algum momento o interferocircmetro estaraacute em movimento
absoluto Por exemplo supondo que o Sol esteja em repouso
absoluto (parado em relaccedilatildeo ao Eacuteter) a Terra estaacute se movendo
Supondo que por exemplo a Terra esteja em determinado
momento parada em relaccedilatildeo ao Eacuteter entatildeo seis meses depois a
Terra estaraacute em movimento perpendicular ao Eacuteter O
experimento descrito seria capaz de determinar este tempo
mesmo para velocidades muito menores que a velocidade da
Terra em torno do Sol (~30 kms)
fisicaprofessordanilocom
164
Ao contraacuterio do que era esperado o resultado foi
0t =
Independente da velocidade da fonte observador e espelhos o
resultado seraacute sempre o mesmo Com isso concluiu-se que a
velocidade da luz eacute a mesma em ambas as direccedilotildees assim
surgiram muitas teorias para tentar explicar esses resultados
Dentre as teorias propostas a que melhor explica esses e
inuacutemeros outros resultados foi a Teoria da Relatividade Vale a
pena comentar que haacute fortes indiacutecios de que Einstein quando
propocircs esta teoria por volta de 1900 (em 1905 que seu artigo foi
publicado) natildeo sabia dos resultados da experiecircncia de
Michelson e Morley
(C) A TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
O Alematildeo Albert Einstein na tentativa de conservar as equaccedilotildees
da onda de Maxwell propocircs dois postulados
1 Todas as Leis da Fiacutesica (e natildeo mais somente a da Dinacircmica) satildeo
as mesmas para todos os referenciais Inerciais Ou seja natildeo
existe nenhum referencial inercial preferencial assim deixa-se
de lado a ideia de Eacuteter (Princiacutepio da Relatividade)
2 A velocidade da Luz no vaacutecuo tem o mesmo valor c em todos
os referenciais (Princiacutepio da constacircncia da velocidade da luz)
Este segundo postulado eacute particularmente interessante se
pensarmos que Einstein natildeo teve conhecimento dos resultados
experimentais de Michelson e Morley
Einstein inicia seu artigo publicado originalmente em alematildeo
discutindo o problema para sincronizar marcadores de tempo
(poderiacuteamos entender como reloacutegios) em um sistema
referencial
fisicaprofessordanilocom
165
Imaginando um sistema de referecircncia qualquer por exemplo
um laboratoacuterio no qual seratildeo realizados vaacuterios experimentos que
ocorreratildeo em pontos diferentes Digamos que os resultados
seratildeo coletados automaticamente por um computador
localizado junto a cada experimento Por simplicidade
assumimos que todos os eventos (experimentos) ocorram ao
longo de uma linha no laboratoacuterio que vamos chamar de
referencial S Tambeacutem por conveniecircncia supomos que este
laboratoacuterio fique dentro de um vagatildeo de trem que inicialmente
se encontra em repouso relativamente agrave estaccedilatildeo
Como poderiacuteamos sincronizar os reloacutegios de todos os
computadores localizados nos pontos dos experimentos
x
y S
Figura 4 Reloacutegios localizados na posiccedilatildeo dos experimentos no referencial S
Se tiveacutessemos uma forma de enviar um sinal instantacircneo para
todos os reloacutegios garantiriacuteamos que eles fiquem todos
sincronizados Entretanto a maior velocidade observaacutevel eacute a da
luz logo poderiacuteamos enviar um sinal luminoso partindo do
reloacutegio contido na origem quando este marca t0 = 0 e ao receber
o sinal cada reloacutegio ajusta o seu horaacuterio descontando o tempo
gasto para a luz sair da origem e chegar no seu destino Isto eacute
digamos que um reloacutegio localizado na posiccedilatildeo x = L ao receber
o sinal ajustaraacute o seu horaacuterio para t = Lc que eacute o tempo gasto
pela luz para percorrer a distacircncia entre os dois reloacutegios
Assim para o referencial S poderiacuteamos ajustar todos os reloacutegios
de tal forma que eles possam ficar sincronizados conforme o
esquematizado na figura 5
x
y S
Figura 5 Todos os reloacutegios no referencial S estatildeo sincronizados para um observador localizado na
origem (x = 0 e y = 0)
Agora imaginemos que este laboratoacuterio localizado no trem
esteja se movendo em relaccedilatildeo agrave plataforma (referencial S) Como
a velocidade da luz natildeo depende do referencial eacute bastante
razoaacutevel afirmar que os reloacutegios podem ser sincronizados
utilizando-se deste meacutetodo De fato para um observador
localizado em S todos os reloacutegios estatildeo sincronizados Imagine
um feixe luminoso emitido de dois pontos simeacutetricos em relaccedilatildeo
fisicaprofessordanilocom
166
agrave origem de S um localizado no ponto A e o outro em B ambos
localizados a uma distacircncia L da origem Para facilitar o
entendimento imagine que a luz eacute proveniente da explosatildeo de
uma pequena bomba que permite fazer duas marcas no
laboratoacuterio uma em A e outra em B Suponha que devido a esta
explosatildeo duas marcas tambeacutem aparecem no referencial S da
plataforma conforme o esquema da figura 7a indicadas pelas
letras A e B Por fim suponha que a velocidade do
tremlaboratoacuterio seja comparaacutevel agrave da luz poreacutem menor que
esta
Na plataforma da mesma maneira que no laboratoacuterio estatildeo
localizados vaacuterios reloacutegios que foram sincronizados utilizando-se
do mesmo meacutetodo (figura 6) Se estas duas bombas explodirem
no mesmo instante para um referencial na plataforma ocorreraacute
a sucessatildeo de eventos descritas a seguir e representadas na
figura 7
x
y S
Figura 6 Todos os reloacutegios no referencial S (plataforma) estatildeo sincronizados para um observador
localizado na origem (x = 0 e y = 0)
A O B A O B
(a)
v
A O B A O B (b)
v
A O B (c)
S S
S S
A O B v
S S
A O B (d) A O B
v S
S
Figura 7 Duas pequenas bombas explodem no vagatildeo deixando duas marcas A e B no vagatildeo e duas
marcas na plataforma A e B (a) As duas bombas explodem e deixam suas marcas (b) O sinal luminoso
proveniente de B chega na origem de S (c) Os sinais luminosos proveniente das duas explosotildees
chegam simultaneamente em O (d) O sinal proveniente de A atinge o ponto O
fisicaprofessordanilocom
167
Figura 7
(a) Duas bombas explodem simultaneamente para um
observador localizado na plataforma S
(b) O Observador localizado na origem de S vecirc um sinal luminoso
chega do ponto A
(c) Os dois sinais emitidos por A e B chegam simultaneamente
na origem O do sistema S isto eacute satildeo observados
simultaneamente
(d) O sinal emitido em A finalmente chega ao observado O
localizado na origem do referencial S
Podemos concluir que dois eventos considerados simultacircneos
para um observador localizado na plataforma natildeo seratildeo
considerados simultacircneos para um referencial localizado no
trem As figuras a seguir ilustram os tempos para referenciais
diferentes isto eacute para um observador em S os reloacutegios
localizados em S natildeo estatildeo sincronizados e para referenciais em
S os reloacutegios em S natildeo estatildeo sincronizados
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
v
Figura 8 Para um observador em S (plataforma) o tremlaboratoacuterio se desloca para a direita com
velocidade v
Observe na figura 8 que os reloacutegios para x gt 0 estatildeo atrasados
em relaccedilatildeo agrave origem de S quando observado de S e os reloacutegios
em x lt 0 estatildeo adiantados O problema eacute simeacutetrico para o
referencial S quando observado de S na figura 8 podemos ver
que os reloacutegios localizados em S para um observador em S
fisicaprofessordanilocom
168
possuem seus reloacutegios atrasados quando x lt 0 (no sentido da
velocidade da plataforma para um observador em Srsquo) e
adiantados quando x gt 0
x
y S
x
y S
Observado na plataforma
vminus
Figura 9 Para um observador em S (tremlaboratoacuterio) a plataforma (S) se desloca para a esquerda
com velocidade vminus
Eacute possiacutevel deduzir as equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anaacutelogas agraves transformaccedilotildees de Galileu para quais as equaccedilotildees
do magnetismo de Maxwell satildeo invariaacuteveis Natildeo deduziremos
aqui estas equaccedilotildees apresentando apenas as transformaccedilotildees
2
2
1
x v tx
v
c
minus=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Note que como no esquema apresentado nas figuras 8 e 9 o
tempo possui uma dependecircncia com a posiccedilatildeo e velocidade
Observe tambeacutem que se v c entatildeo v2c2 ltlt 1 e as equaccedilotildees
acima se resumem agraves apresentadas no iniacutecio deste texto
x x v t= minus y y= z z= t t=
Algumas discussotildees pertinentes devem ser feitas Dentre elas
temos que o comprimento de um objeto qualquer seraacute sempre
o maacuteximo se medido de um referencial para o qual o objeto
esteja em repouso e este comprimento eacute chamado de
comprimento proacuteprio e seraacute o mesmo para todo referencial
(cuidado pois o comprimento proacuteprio eacute o mesmo para todo o
referencial Digamos que obtemos um comprimento qualquer de
um corpo qualquer que se move com velocidade constante Ao
fazermos a mudanccedila de referencial podemos calcular o
comprimento proacuteprio e este valor seraacute o mesmo para qualquer
referencial) Da mesma forma um intervalo de tempo entre dois
eventos (no mesmo ponto para um determinado referencial)
seraacute miacutenimo quando observado de um referencial parado em
fisicaprofessordanilocom
169
relaccedilatildeo aos eventos e este tempo eacute chamado de tempo proacuteprio
Aleacutem disso veremos que a massa varia de acordo com o
referencial2 e o miacutenimo valor para a massa seraacute obtido quando
medido no referencial para o qual ela esteja em repouso e esta
massa eacute chamada de massa de repouso ou de forma estendida
massa proacutepria
Se tivermos as coordenadas do sistema S e quisermos passar
para o sistema S basta inverter o sinal de v e permutar as
grandezas com linha e sem linha
2
2
1
x v tx
v
c
+=
minus
y y= z z= 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
+=
minus
Suponha que haja um objeto no referencial S com velocidade u
na direccedilatildeo positiva de x que medido do referencial S a
velocidade seja u A relaccedilatildeo entre estas duas velocidades pode
ser obtida substituindo a segunda equaccedilatildeo abaixo na primeira
2 Cabe aqui observar que alguns autores natildeo entendem o aumento da ineacutercia de um
corpo com o aumento da velocidade como sendo um aumento da ineacutercia Entretanto
2
2
1
x v tx u t
v
c
minus= =
minus
e 2
2
2
( )
1
t v c xt
v
c
minus=
minus
Obtemos 2
1
u vu
u v c
+=
+
Uma deduccedilatildeo muito comum em livros didaacuteticos seraacute
apresentada a seguir
Imagine que algueacutem dentro do tremlaboratoacuterio emita do chatildeo
um raio de luz que incide no teto do trem conforme o esquema
a seguir
S
c
t
Figura 10 Um raio eacute emitido a partir do solo no referencial do trem A distacircncia entre o laser e o
espelho eacute dada por c t
utilizamos a ideia de que eacute a massa que aumenta pois natildeo cabe uma discussatildeo mais detalhada do assunto
fisicaprofessordanilocom
170
O mesmo evento observado por um observador fixo na
plataforma pode ser representado pela figura a seguir
c
t
S
v t
c t
S
v
x
y
Figura 11 Um raio que foi emitido a partir do solo no referencial do treme observado por um
observador na plataforma
Na figura 11 podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras
( ) ( ) ( )2 2 2
c t c t v t = +
Resolvendo esta equaccedilatildeo para t obtemos
2
2
1
tt
v
c
=
minus
Este resultado natildeo foi amplamente discutido uma vez que esta
discussatildeo pode ser encontrada no livro texto utilizado no curso
entretanto vale mostrar que podemos obter o mesmo resultado
utilizando das equaccedilotildees de mudanccedila de referencial
anteriormente apresentadas
Sabendo que 2
ff
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
e que 2
ii
2
2
( )
1
t v c xt
vc
+=
minus
sendo ft eacute o
instante final do evento (quando o feixe de luz atinge o espelho)
e it quando o feixe eacute emitido Assim temos que
fisicaprofessordanilocom
171
2 2 2 2
f i f if i
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
t v c x t v c x t v c x t v c xt t t
v v vc c c
+ + + minus minus = minus = minus =
minus minus minus
f i
2
2
1
t tt
vc
minus =
minus2
2
1
tt
vc
=
minus
De uma maneira semelhante podemos imaginar que existe um
objeto de comprimento L quando medido em S e L quando
medido em S A relaccedilatildeo entre L e L seraacute
2
2 1 vL Lc
= minus
Por fim tambeacutem eacute possiacutevel obter uma relaccedilatildeo entre as massas
que eacute dada por
0
2
21
mm
v
c
=
minus
Sendo a massa m0 medida no referencial de repouso da massa e
v o moacutedulo da velocidade da massa (ou do referencial para o qual
a massa esteja em repouso)
(D) POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
Einstein criou dois postulados que pareciam resolver o problema
do Eletromagnetismo mas que carregava consigo resultados
nenhum pouco intuitivos Satildeo eles
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os
referenciais Inerciais
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante c
independente da velocidade da fonte ou do observador
Vamos agora para um resumo das principais equaccedilotildees vistas
anteriormente ou natildeo
Seja o chamado coeficiente de Lorentz sendo
2
2
11
1v
c
=
minus
Observe que para 0v entatildeo 1 Com isso vamos agraves
equaccedilotildees
fisicaprofessordanilocom
172
CONTRACcedilAtildeO DOS ESPACcedilOS
Visto de um referencial parado uma barra possui comprimento
L0 Se esta barra for medida de um referencial que se move ao
longo do comprimento da barra a medida seraacute menor logo
0 L L=
DILATACcedilAtildeO DOS TEMPOS
Sejam dois eventos ocorridos no mesmo lugar para um
determinado referencial O intervalo de tempo entre ambos os
eventos seraacute miacutenimo se medido desse referencial sendo
chamado de tempo proacuteprio 0t Para qualquer outro referencial
se movendo relativamente agravequele o intervalo de tempo medido
seraacute maior
0t t =
AUMENTO DA MASSA
A mesma discussatildeo do tempo vale para a massa
3 Note que ao dizer que haacute uma dependecircncia da velocidade eacute sinocircnimo de dizer que haacute uma
dependecircncia de
0m m=
Aqui no entanto eacute possiacutevel que apareccedilam duas interpretaccedilotildees
1 ndash a mais comum afirma que a massa m depende da velocidade3
2 ndash outra interpretaccedilatildeo afirma que a massa de um corpo eacute
constante e vale 0m poreacutem outras grandezas como as que
veremos a seguir variam dependendo da velocidade
EQUIVALENTE MASSA-ENERGIA
A energia total de um corpo eacute dada por
2E mc=
Isso amplia tudo o que estudamos a respeito de conservaccedilatildeo de
energia e conservaccedilatildeo de massa uma vez que o que agora eacute
conservado eacute o equivalente massa-energia
fisicaprofessordanilocom
173
De acordo com as duas interpretaccedilotildees a respeito da massa
podemos escrever de forma mais geral que a energia total de um
corpo eacute dada por
2
0E m c=
Ela fica melhor escrita como
2E m c =
Esta equaccedilatildeo relaciona por exemplo a energia dissipara numa
fissatildeo nuclear com a variaccedilatildeo da massa de combustiacutevel da
reaccedilatildeo
Ela eacute conhecida como o ldquoEquivalente massa-energiardquo Eacute
interessante notarmos portanto que o que Einstein fez foi
unificar os conceitos de massa e energia em um soacute
IMPORTANTE natildeo podemos dizer que numa explosatildeo nuclear
por exemplo houve uma transformaccedilatildeo de massa em energia
pois energia possui ineacutercia e massa equivale agrave energia
Vejamos alguns mais dois exemplos
1 ndash PRODUCcedilAtildeO DE PARES um foacuteton (veremos mais adiante que
a radiaccedilatildeo eletromagneacutetica se comporta como partiacuteculas
chamadas de foacutetons) ao interagir com uma partiacutecula pesada
como o nuacutecleo de um aacutetomo pode se decair transformando-se
em um eleacutetron e um antieleacutetron
Eacute importante frisar que sem o nuacutecleo natildeo seria possiacutevel a
conservaccedilatildeo da energia e a quantidade de movimento
simultaneamente
O antieleacutetron eacute conhecido como poacutesitron e possui mesma massa
mesmo spin mas com carga oposta ao eleacutetron e eacute uma dentre
muitas partiacuteculas que constitui a antimateacuteria
fisicaprofessordanilocom
174
2 ndash ANIQUILAMENTO eacute o processo inverso da produccedilatildeo de pares
que ocorre quanto uma partiacutecula e uma antipartiacutecula se
encontram Quando isso ocorre haacute um aniquilamento das
partiacuteculas produzindo foacutetons natildeo sendo necessaacuterio um terceiro
corpo
Vamos agora falar um pouco sobre uma unidade de medida
muito usual no mundo das partiacuteculas de alta energia o eleacutetron-
volt Esta energia corresponde ao trabalho sofrido por um
eleacutetron ao atravessar uma diferenccedila de potencial de 1 V Como e
x U eacute o trabalho sendo e a carga de um eleacutetron temos
191eV 16 10 C 1Vminus= 191eV 16 10 Jminus=
A unidade de massa usual eacute a de energia pela velocidade da luz
mantendo a unidade de energia em eleacutetron-volt isto eacute
2
2
EmE mc
c ==
2
1 eV[ ] m
c=
Algumas massas de partiacuteculas conhecidas
2511 keVceleacutetronm = e 2940 MeVc neutronm =
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA FORCcedilA
3
0mF a=
CORRECcedilAtildeO RELATIVISTICA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
0Q m v=
MUDANCcedilA DE COORDENADA
Utilizando-se do esquema ao lado podemos determinar a relaccedilatildeo de transformaccedilatildeo O comprimento x medido de S seraacute x Com isso
x
x v t= +
( )x x v t= minus
x
x
y y S S
x
x
v t
v
fisicaprofessordanilocom
175
VELOCIDADE RELATIVA
Diferente da velocidade relativa de Galileu Assim seja um
referencial Rrsquo no qual haacute um corpo com velocidade v ao longo
do eixo xrsquo conforme figura abaixo Este referencial possui uma
velocidade em relaccedilatildeo a outro referencial R
Assim a velocidade v do moacutevel em relaccedilatildeo agrave R eacute dada por
2
1
vv
v
c
+=
+
4 Com velocidade acima da velocidade da luz
(E) SOBRE VIAGENS NO TEMPO
Como discutido no comeccedilo deste material o problema se inicia
quando passamos a ter certa dificuldade em sincronizarmos os
reloacutegios de um referencial De forma muito simplificada
podemos imaginar um pulso supra luminar4 partindo da posiccedilatildeo
B em direccedilatildeo agrave posiccedilatildeo A no sistema S na figura 7 Suponha que
em A tenhamos um dispositivo que ao receber este sinal a
bomba seja desativada Se a velocidade for grande o suficiente
seria possiacutevel enviar um sinal impedindo que a bomba em A natildeo
exploda
Agora vamos ver o que eacute observado para o referencial S Natildeo faz
sentido pensar que a bomba exploda em um referencial e
exploda em outro por isso admitimos que a bomba em A natildeo
iraacute explodir Assim sendo como para um observador em S ambas
as bombas explodem simultaneamente entatildeo para que o
evento em A natildeo ocorra o pulso que foi emitido em B deveraacute
viajar para o passado para informar ao dispositivo em A que a
bomba natildeo poderaacute explodir
fisicaprofessordanilocom
176
Aqui damos um exemplo de que o objeto com velocidade supra
luminar poderia voltar no tempo e por conta disso muitos
cientistas acreditam que seria impossiacutevel passar de tal
velocidade Note tambeacutem que na equaccedilatildeo da massa (acima) se
v gt c a raiz no denominador seraacute complexa Aleacutem disso se v se
aproxima de c a raiz tende a zero e a massa tende ao infinito
Muitos entatildeo acreditam que apenas partiacuteculas sem massa de
repouso5 poderiam passar da velocidade da luz
O nome dado a essas partiacuteculas supra luminares se existirem eacute
de taacutequion Aleacutem disso existem muitas discussotildees a respeito de
contradiccedilotildees as viagens no tempo dentre elas a possibilidade
de mudar o passado e por isso o presente deixar de ser como eacute
O graacutefico a seguir representa o resultado esperado para a
velocidade de um corpo quando submetido agrave uma forccedila
constante de acordo com as leis de Newton natildeo haacute limite
superior para a velocidade mas de acordo com a teoria da
relatividade a velocidade da luz eacute o limite superior para a
velocidade de um corpo
5 Partiacuteculas para as quais natildeo existe um referencial no qual ela esteja em repouso
Como exemplo podemos citar o foacuteton uma vez que natildeo existe nenhum referencial no qual o foacuteton esteja em repouso
(F) TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
O que vimos ateacute agora eacute a Teoria da Relatividade Restrita ela trabalha apenas com sistemas de referenciais inerciais Mas e se quisermos trabalhar com referenciais acelerados A Teoria da Relatividade Geral trabalha tambeacutem com referenciais acelerados sendo possiacutevel entender melhor o paradoxo dos gecircmeos
A teoria da relatividade geral tambeacutem possui dois postulados
fisicaprofessordanilocom
177
1 ndash Todas as leis da Fiacutesica devem ter a mesma forma em todos os referenciais Inerciais e NAtildeO INERCIAIS
2 ndash A luz se propaga no vaacutecuo com uma velocidade constante independente da velocidade da fonte ou do observador
Assim qualquer experimento feito em um laboratoacuterio deveria permitir tirar as mesmas conclusotildees independentemente do sistema de referecircncia (laboratoacuterio) estar ou natildeo com velocidade constante ou acelerado
fisicaprofessordanilocom
178
2 FIacuteSICA QUAcircNTICA
(A) TEORIA DOS QUANTAS
Quando um corpo eacute aquecido este emite ondas
eletromagneacuteticas cuja frequecircncia (e consequentemente do
comprimento de onda) de maior intensidade tem um pico que
depende da temperatura A lei que descreve esta relaccedilatildeo eacute
chamada de Lei do deslocamento de Wien
maacutex
b
T =
Sendo 328977685 10 m Kb minus= a constante de Wien e T a
temperatura do corpo medida em kelvin Note que o graacutefico
abaixo mostra esta relaccedilatildeo os picos das curvas de emissatildeo
estatildeo contidos numa hipeacuterbole
Como este espectro natildeo eacute uma caracteriacutestica que depende da
composiccedilatildeo quiacutemica dos corpos mas somente da temperatura
dos corpos podemos estudar um corpo ideal que natildeo seja
capaz de refletir nenhuma radiaccedilatildeo para que assim nenhuma
radiaccedilatildeo refletida nos faccedila confundir com a radiaccedilatildeo emitida
pelo corpo Tal corpo ideal ficou conhecido como corpo negro
ideal por absorver toda a radiaccedilatildeo incidente
Ateacute por volta de 1900 a teoria eletromagneacutetica ateacute entatildeo
desenvolvida previa que um corpo aquecido emitia mais
radiaccedilatildeo do que o que se media experimentalmente Tal
problema ficou conhecido como a cataacutestrofe do ultravioleta
uma vez que a previsatildeo teoacuterica concluiacutea que a quantidade de
energia emitida para corpos muito aquecidos (conforme figura
abaixo) era absurdamente elevada
A teoria ateacute entatildeo utilizada considerava que a mateacuteria era feita
de pequenos osciladores harmocircnicos e como era previsto pela
fisicaprofessordanilocom
179
teoria do eletromagnetismo as cargas eleacutetricas oscilantes na
mateacuteria deveriam entatildeo emitir radiaccedilatildeo
Nota o comprimento de onda do ultravioleta varia em torno de 10 a 400 nm
Tal hipoacutetese se mostrou falha poreacutem uma pequena adaptaccedilatildeo
aparentemente um tanto quanto estranha coincidia
perfeitamente com o que era observado se assumiacutessemos que
a mateacuteria oscilasse tal como a teoria anterior mas propunha
que a energia de oscilaccedilatildeo poderia ter apenas alguns valores
possiacuteveis Mais tarde tal ideia foi usada tambeacutem para a luz de
modo que entendemos que a luz transporta energia em
quantidades determinadas conhecidas como foacuteton A energia
transportada por cada foacuteton eacute dada por
E h f=
Sendo E a energia transportada por cada foacuteton f a frequecircncia
associada ao foacuteton (note que aqui misturamos a ideia de ondas
com partiacuteculas e esta frequecircncia eacute tambeacutem a frequecircncia da
onda eletromagneacutetica) e 1 23662607004 10 m kgsh minus= eacute chamada
de constante de Planck
Radiaccedilatildeo emitida por um corpo negro
httpsphetcoloradoedusimshtmlblackbody-
spectrumlatestblackbody-spectrum_pt_BRhtml
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo didaacutetica que mostra
como varia o espectro de emissatildeo de um corpo quando
aquecido
Acesse e verifique qual o comprimento de onda mais intenso
emitido por noacutes seres humanos
Natildeo podiacuteamos deixar de falar que
fisicaprofessordanilocom
180
(B) EFEITO FOTOELEacuteTRICO
As ideias de Planck foram de fundamental importacircncia muito
embora muitas vezes referimos a elas como antiga mecacircnica
quacircntica
Como primeiro impacto podemos ver a ideia de quantizaccedilatildeo da
mateacuteria permitiu agrave Einstein explicar um fenocircmeno que antes
natildeo era possiacutevel ser explicado o efeito fotoeleacutetrico
Vamos separar este item em trecircs partes
bull Primeiro vamos entender o fenocircmeno
bull Depois vamos usar as ideias da ondulatoacuteria para e
verificar que elas natildeo podem explicar o fenocircmeno
bull Por fim vamos utilizar a ideia proposta por Planck e ver
que neste caso a experiecircncia condiz com a teoria
O FENOcircMENO
Quando um material metaacutelico eacute iluminado este emite eleacutetrons
ficando assim carregados positivamente O eleacutetron ejetado eacute
chamado de fotoeleacutetron (veja esquema abaixo)
Vamos falar sem nos atermos agrave realidade cronoloacutegica de um
experimento que permite fazer algumas medidas o
experimento de Linard
Na figura abaixo vemos uma fonte de tensatildeo ligada agrave um
catodo (conectado ao negativo de uma fonte de tensatildeo) um
anodo (conectado ao positivo) ambos dentro de um tubo onde
se foi feito um vaacutecuo Podemos verificar que como esperado
natildeo haacute corrente eleacutetrica dentro do tubo pois natildeo existe
mateacuteria mas isso muda quando um feixe de luz ilumina o
catodo o amperiacutemetro comeccedila a medir uma certa corrente
fisicaprofessordanilocom
181
Sem a fonte de tensatildeo for ajustaacutevel podemos controlar este
valor e montar um graacutefico da corrente eleacutetrica em funccedilatildeo da
tensatildeo na fonte Note que uma tensatildeo negativa significa que o
catodo teraacute uma tensatildeo maior que o anodo
Ao fazer os devidos testes o resultado experimental eacute
apresentado no graacutefico abaixo
Ao variar a intensidade da luz que ilumina o catodo vocecirc
verifica as diversas correntes de saturaccedilatildeo 1i
2i e 3i (quanto
maior a intensidade da radiaccedilatildeo maior a corrente eleacutetrica)
Note que se os eleacutetrons satildeo ejetados com determinada energia
cineacutetica o potencial negativo 0U implica uma corrente nula pois
entendemos que todos os eleacutetrons satildeo freados e nenhum
eleacutetron consegue sair do catodo e chegar no anodo
Este experimento simples permite calcularmos a energia
cineacutetica do eleacutetron mais raacutepido
0CmaacutexE q U=
Outro resultado interessante eacute que se alterarmos a intensidade
da luz o potencial 0U natildeo se altera permitindo-nos concluir
fisicaprofessordanilocom
182
que a energia cineacutetica do fotoeleacutetron natildeo depende da
intensidade da radiaccedilatildeo incidente
Outro resultado interessante eacute que esse potencial eacute diferente
para cada metal
Substacircncia U0 (V)
rubiacutedio 211
ceacutesio 215
potaacutessio 220
soacutedio 228
alumiacutenio 406
cobre 472
carbono 481 Tabela 1 potencial de corte para diversos materiais
Aleacutem disso verificamos experimentalmente que a cor da luz
incidente importa Com isso montamos uma tabela com os
mesmos materiais da tabela 1 mas com a frequecircncia a partir da
qual ocorre efeito fotoeleacutetrico e tambeacutem eacute indicado se a
frequecircncia estaacute na faixa visiacutevel do espectro eletromagneacutetico ou
se corresponde ao ultravioleta
Substacircncia fc (1014 Hz) Faixa
rubiacutedio 510 Visiacutevel
ceacutesio 520 Visiacutevel
potaacutessio 530 Visiacutevel
soacutedio 550 Visiacutevel
alumiacutenio 980 Ultravioleta
cobre 1140 Ultravioleta
carbono 1160 Ultravioleta Tabela 2 frequecircncia de corte a partir da qual ocorre o efeito fotoeleacutetrico
Agora temos que explicar tais fenocircmenos como dito
anteriormente usando a teoria ondulatoacuteria natildeo conseguimos
explicar tal fenocircmeno
POSSIacuteVEL INTERPRETACcedilAtildeO DA ONDULATOacuteRIA
Inicialmente tentaremos prever alguns resultados esperados
segundo nosso conhecimento de ondulatoacuteria
bull Podemos supor que a onda eletromagneacutetica interage
com os eleacutetrons da mesma maneira que ocorre no
aquecimento da aacutegua num forno de micro-ondas uma
fisicaprofessordanilocom
183
forccedila eleacutetrica surge nos eleacutetrons e isso ldquochacoalhardquo os
eleacutetrons ateacute dar energia suficiente para que ele seja
removido do material
bull Sendo verdadeira a hipoacutetese anterior esperamos que
quanto mais intensa eacute a onda (maior amplitude da
onda) maior a forccedila que a onda faz nas cargas e por
que natildeo mais eleacutetrons satildeo removidos
bull A energia dos eleacutetrons ejetados devem ser
proporcionais agrave energia da radiaccedilatildeo incidente Como
esta energia eacute proporcional ao quadrado da amplitude
e ao quadrado da frequecircncia devemos supor que
mesmo uma onda infravermelha por exemplo seria
capaz de produzir o efeito fotoeleacutetrico bastando
aumentar a intensidade da onda
Veja que tais hipoacuteteses natildeo condizem com os experimentos
uma vez que existe uma frequecircncia de corte isto eacute existe uma
frequecircncia da radiaccedilatildeo incidente a partir da qual ocorre efeito
fotoeleacutetrico (se usarmos uma onda de menor frequecircncia
mesmo aumentando a intensidade o efeito fotoeleacutetrico natildeo
ocorre) Aleacutem disso a ondulatoacuteria natildeo explica a tensatildeo de corte
0U depender unicamente da frequecircncia (natildeo depende da
intensidade) Vamos entatildeo para a explicaccedilatildeo considerada hoje
(e dada no iniacutecio do seacuteculo XX)
INTERPRETACcedilAtildeO QUAcircNTICA
Primeiramente a palavra ldquoquacircnticardquo e seus derivados (quantum
ndash singular ndash e quanta ndash plural) se refere a algo ldquoquantizaacutevelrdquo
isto eacute a algo empacotado Como exemplo imagine que a
energia luminosa estaacute para o refrigerante assim como o foacuteton
(um quantum de luz) estaacute para uma latinha de refrigerante
Talvez um sinocircnimo aceitaacutevel eacute entender que coisas
quantizaacuteveis vatildeo coisas contaacuteveis (antocircnimo de incontaacutevel ou
contiacutenuo)
Agora vamos agrave nossa hipoacutetese sensacional
bull E se assim como propocircs Planck a luz transportasse
energia como se fosse bolinhas e a energia destas
bolinhas dadas pela relaccedilatildeo de Planck
E h f=
Uma segunda hipoacutetese se faz necessaacuterio
fisicaprofessordanilocom
184
bull Cada eleacutetron absorve somente um uacutenico foacuteton que eacute
transformado integralmente em energia mecacircnica
Digamos que o foacuteton esteja ligado ao metal (natildeo eacute uma ligaccedilatildeo
com o aacutetomo pois bem sabemos que em metais o eleacutetron estaacute
livre) e a energia necessaacuteria para remover um eleacutetron eacute
chamada de funccedilatildeo trabalho Por conservaccedilatildeo de energia
podemos concluir que
foacuteton cineacuteticaE E= +
Isto eacute se o fotoeleacutetron absorve toda a energia do foacuteton entatildeo a
parcela de energia que o eleacutetron natildeo usar para vencer a sua
energia de ligaccedilatildeo com o metal ( ) seraacute usada como energia
cineacutetica Esta eacute justamente a ideia que rendeu o precircmio Nobel
de Fiacutesica agrave Albert Einstein em 1921
Note que isso explica por que baixas frequecircncias de radiaccedilatildeo
incidente natildeo emite fotoeleacutetrons (foacutetonE ) porque quanto
maior a intensidade da luz maior a corrente eleacutetrica (maior o
nuacutemero n de foacutetons que atingem uma determinada aacuterea
iluminada a cada segundo) e explica o potencial de corte 0U
Seja PIA
= a intensidade de uma onda (potecircncia por aacuterea) que
atravessa uma seccedilatildeo de aacuterea A e n o nuacutemero de foacutetons que
atravessam essa mesma aacuterea a cada segundo Note a seguinte
relaccedilatildeo
foacuteton
I In
E h f= =
Voltando entatildeo a falar do experimento de Lenard vamos variar
a frequecircncia da onda incidente e determinar a energia cineacutetica
do fotoeleacutetron mais energeacutetico Fazendo tal experimento
obteremos um graacutefico linear como o que se segue
Conforme jaacute discutido
0CmaacutexE q U=
fisicaprofessordanilocom
185
Usando a relaccedilatildeo de Planck e a ideia de Einstein podemos
escrever
foacuteton cineacute
Cmaacutex
Cmaacutex
tica
h f
E f
E
h
E
E
= +
=
+
minus
=
Vocecirc deve ter se perguntado por que substituiacutemos a energia
cineacutetica (qualquer uma) pela energia cineacutetica maacutexima e a
resposta eacute simples porque esta eacute a energia que conseguimos
medir com o experimento de Lenard Vamos entatildeo comparar
este resultado com a equaccedilatildeo da reta
coeficiente coeficiente angula
eixo
r linea
y eixo x
r
Cmaacutex
hE f= minus
Note que como mostrado na figura o coeficiente angular eacute a
constante de Planck Aleacutem disso o valor da frequecircncia miacutenima
(chamada de frequecircncia de corte ndash ponto onde a reta cruza o
eixo horizontal) e o valor da funccedilatildeo trabalho podem ser obtidas
a partir da anaacutelise deste graacutefico
Portanto para aleacutem de explicar um problema ateacute entatildeo
incompreendido a teoria elaborada por Einstein permitiu
graccedilas ao experimento de Lenard medir a constante de Planck
e determinar experimentalmente a funccedilatildeo trabalho de diversos
materiais
Na tabela abaixo apresentamos os mesmos metais tratados
anteriormente mas agora apresentando o valor da funccedilatildeo
trabalho em eV
Substacircncia (eV) Faixa
rubiacutedio 211 Visiacutevel
ceacutesio 215 Visiacutevel
potaacutessio 220 Visiacutevel
soacutedio 228 Visiacutevel
alumiacutenio 406 Ultravioleta
cobre 472 Ultravioleta
carbono 481 Ultravioleta Tabela 3 funccedilatildeo trabalho para diversos materiais
Compare os valores da tabela 1 com a tabela 3 e tente
responder porque eacute mais praacutetico trabalharmos em eV (eleacutetron-
volt) no lugar de J (joule)
A semente para uma revoluccedilatildeo na Fiacutesica foi plantada Veremos
mais algumas implicaccedilotildees destas ideias
fisicaprofessordanilocom
186
Apesar do foacuteton natildeo ter massa de repouso afinal a luz nunca
estaacute parada em referencial nenhum ainda sim ele possui
quantidade de movimento Q
h
Q =
Outros efeitos de interaccedilatildeo entre foacuteton e mateacuteria
Efeito Compton
Um foacuteton interage com um eleacutetron livre mudando sua direccedilatildeo e
frequecircncia dando energia ao foacuteton
Efeito Thomson
Foacuteton interagem com eleacutetron fortemente ligado ao aacutetomo e
natildeo sofre mudanccedila de sua frequecircncia
Experimento de Lenard
httpsphetcoloradoedusimscheerpjphotoelectriclatestp
hotoelectrichtmlsimulation=photoelectricamplocale=pt_BR
No link acima vocecirc confere uma simulaccedilatildeo do experimento de
Lenard e pode verificar ldquoexperimenterdquo os resultados aqui
apresentados
(C) NATUREZA DUAL DA LUZ
A luz se comporta hora como onda (refraccedilatildeo difraccedilatildeo reflexatildeo
e interferecircncia) e hora como partiacutecula (espalhamentos
Compton e Thomson efeito fotoeleacutetrico)
O que a luz eacute entatildeo Onda ou partiacutecula O Princiacutepio da
Complementaridade de Niels Bohr explica
Em cada fenocircmeno observado a luz se comporta apenas como
onda ou apenas como partiacutecula mas natildeo como ambas
simultaneamente Assim ambas as formas de descrever a luz
satildeo complementares
fisicaprofessordanilocom
187
(D) O AacuteTOMO DE BORH
Ficou conhecido como modelo
planetaacuterio o modelo de aacutetomo de
Bohr Este modelo deveria ser
instaacutevel de acordo com as leis do
eletromagnetismo claacutessico
Bohr entatildeo postulou que o aacutetomo
deveria obedecer a algumas
regras
Primeiro postulado de Bohr
O eleacutetron pode se mover em determinadas oacuterbitas sem irradiar
Essas oacuterbitas estaacuteveis satildeo denominadas estados estacionaacuterios
Segundo postulado de Bohr
As oacuterbitas estacionaacuterias satildeo aquelas nas quais o momento
angular do eleacutetron em torno do nuacutecleo eacute igual a um muacuteltiplo
inteiro de 2
h=
Isto eacute 2
hmvr n=
sendo m a massa do eleacutetron v a velocidade
do eleacutetron r o raio da oacuterbita do eleacutetron e por fim n eacute o nuacutemero
quacircntico principal que corresponde agrave um nuacutemero inteiro
positivo 1 2 3n =
Terceiro postulado de Bohr
O eleacutetron irradia quando salta de um estado estacionaacuterio para
outro mais interno sendo a energia irradiada dada por
f iE h f E E= = minus
onde f eacute a frequecircncia associada ao foacuteton emitido pelo eleacutetron
(ou absorvido pelo eleacutetron) Ef a energia potencial final do
eleacutetron e Ei a energia potencial inicial do eleacutetron
Animaccedilatildeo mostrando o experimento que levou Rutherford e
Bohr a abandonarem o modelo de pudim com passas
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
fisicaprofessordanilocom
188
(E) DUALIDADE ONDA-PARTIacuteCULA
De Broglie fascinado com a ideia de que a luz se comporta
como partiacutecula se perguntou se o oposto natildeo seria possiacutevel
partiacutecula se comportando como onda
De Broglie entatildeo propocircs que a mateacuteria deveria se comportar
como onda e a equaccedilatildeo da quantidade de movimento de um
corpo (em geral partiacuteculas como eleacutetrons proacutetons necircutrons
etc) deveria obedecer a mesma equaccedilatildeo que o foacuteton
h
Q =
Mas da mecacircnica sabemos que
Q m v=
portanto
v
h
m =
Assim a mateacuteria deve sofrer refraccedilatildeo difraccedilatildeo e interferecircncia
Experimentos jaacute foram realizados e foi possiacutevel verificar que
eleacutetrons podem se comportar como ondas inclusive sofrer o
fenocircmeno da difraccedilatildeo Na figura abaixo temos uma imagem
obtida pela interferecircncia eletrocircnica quando um feixe de
eleacutetrons sofre difraccedilatildeo
Uma animaccedilatildeo interessante pode ser acessada neste viacutedeo
httpswwwyoutubecomwatchv=zKiCEU6P3U0ampab_channel
=QuantumAcademy
Podemos aplicar nossos conhecimentos de ondas estacionaacuterias
no modelo de Bohr se considerarmos que o comprimento da
oacuterbita de um eleacutetron em um aacutetomo corresponde agrave um nuacutemero
inteiro de meios comprimentos de onda noacutes obtemos o
segundo postulado de Bohr Veja isso nos desenhos a seguir
fisicaprofessordanilocom
189
Note que o nuacutemero n correspondente ao harmocircnico eacute
equivalente ao nuacutemero quacircntico principal
(F) PRINCIacutePIO DA CORRESPONDEcircNCIA
Parece estranho a natureza e o comportamento de objetos
minuacutesculos serem tatildeo distintos do que noacutes estamos
acostumados Esta grande diferenccedila natildeo seria paradoxal
Princiacutepio da Correspondecircncia de Bohr
A mecacircnica Quacircntica se reduz agrave Mecacircnica Claacutessica quando
aplicada ao comportamento de objetos macroscoacutepicos
(G) PRINCIacutePIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
O princiacutepio da incerteza de Heisenberg impotildee imprecisotildees na
medida de energia tempo posiccedilatildeo e velocidade Vamos dividi-
lo em trecircs partes
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 1
Natildeo eacute possiacutevel saber simultaneamente e com precisatildeo
arbitraacuteria a posiccedilatildeo e a quantidade de movimento de uma
partiacutecula Sendo a incerteza na posiccedilatildeo e a incerteza na
quantidade de movimento
4
hx p
fisicaprofessordanilocom
190
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 2
Isso vale para a energia e o tempo
4
hE t
Eacute importante notar que este princiacutepio natildeo se refere ao meacutetodo
de se fazer a medida e que a imprecisatildeo deve ser entendida
como algo muito mais profundo
Como exemplo imagine que resfriamos um material ateacute 0 K A
energia interna do aacutetomo natildeo poderaacute ser nula
Princiacutepio da incerteza de Heisenberg ndash 3
A energia de um oscilador eacute dada por
11
2E h f
= +
ou seja o corpo natildeo teraacute energia nula
Texto complementar
httpswwwscielobrjrbefayFLHKMG9B4HWKZfPtDNgPsnlang=ptampformat=pdf
fisicaprofessordanilocom
191
3 PARTIacuteCULAS ELEMENTARES
Este eacute um toacutepico extra que natildeo seraacute muito aprofundado em
aula O principal objetivo aqui eacute trazer um panorama histoacuterico
para vocecirc ter uma ideia do tempo que faz que descobrimos
algumas partiacuteculas elementares
Vou entatildeo apresentar a partiacutecula o periacuteodo de descobrimento
e algumas caracteriacutesticas de tais partiacuteculas Vou me basear no
livro Introduction to elementary particles (Wiley 1987) de
Griffiths D
(A) ERA CLAacuteSSICA (1887 ndash 1932)
Neste periacuteodo temos basicamente tudo o que estudamos no
ensino meacutedio dos modelos atocircmicos ateacute eleacutetrons e as
partiacuteculas nucleares (proacutetons e necircutrons) O eleacutetron por
exemplo foi observado por Thomson (~1897) atraveacutes dos raios
catoacutedicos (ele descobriu que estes ldquoraiosrdquo possuiacuteam cargas
eleacutetricas portanto natildeo poderia ser um tipo de luz ou raio x)
O experimento de Thomson fez ele pensar que a mateacuteria
deveria ter cargas positivas e negativas mas as negativas
certamente seriam mais faacuteceis de serem removidas da mateacuteria
chegando no famoso modelo de pudim com passas
Posteriormente os o experimento de espalhamento de
Rutherford mostrou que a hipoacutetese de Thomson natildeo era
suficiente para explicar o ocorrido com os raios alpha (o
equivalente a feixes de nuacutecleos do aacutetomo de heacutelio) quando este
passava por uma fina camada de ouro
Entenda a diferenccedila entre estes dois modelos na simulaccedilatildeo
abaixo
httpsphetcoloradoedusimshtmlrutherford-
scatteringlatestrutherford-scattering_pt_BRhtml
Bohr entra na histoacuteria e consegue explicar alguns dados
experimentais usando as ideias de Planck mas ainda tiacutenhamos
um problema os isoacutetopos que consistia em aacutetomos com
mesma propriedade quiacutemica mas com massas diferentes Daiacute
temos s descoberta do necircutron em 1932
Pronto descobrimos todas as partiacuteculas na natureza (eleacutetrons
proacutetons necircutrons e foacutetons) correto
Natildeo A aventura soacute estaacute comeccedilando pois temos dezenas de
novas partiacuteculas descobertas
fisicaprofessordanilocom
192
(B) O FOacuteTON (1900 ndash 1924)
A histoacuteria do foacuteton ( ) eacute extensa mas jaacute falamos sobre ela
quando estudamos o efeito fotoeleacutetrico e a cataacutestrofe do
ultravioleta Sua descoberta natildeo eacute tatildeo simples pois natildeo foi uma
simples proposiccedilatildeo e constataccedilatildeo de sua existecircncia Deixemos
isso para o iniacutecio do capiacutetulo 2 logo acima
(C) MEacuteSONS (1934 ndash 1947)
Tentando responder agrave pergunta ldquoo que manteacutem o nuacutecleo de um
aacutetomo coesordquo eacute que chegamos agrave ideia da forccedila forte (ou forccedila
nuclear forte)
Impondo a quantizaccedilatildeo na forccedila nuclear forte Yukawa (1932)
calcula a massa de uma partiacutecula mediadora (meacuteson tem
exatamente este significado)
Com isso temos uma nova nomenclatura partiacuteculas leves
como o eleacutetron eacute chamado de leacutepton jaacute as partiacuteculas pesadas
como o proacuteton e o necircutron satildeo chamadas de baacuterions (pesado)
Em 1937 dois grupos independentes conseguem detectar
atraveacutes do estudo dos raios coacutesmicos partiacuteculas que se
comportam como previsto por Yukawa
O verdadeiro meacuteson de Yukawa ficou conhecido como meacuteson
piacuteon ou meacuteson poreacutem outra partiacutecula mediadora foi
descoberta o meacuteson (ou muacuteon)
(D) ANTIPARTIacuteCULAS (1930 ndash 1956)
Descoberto em 1931 mas proposto quase uma deacutecada antes o
poacutesitron eacute uma partiacutecula muito similar ao eleacutetron mesma
massa mesmo spin e carga idecircntica em moacutedulo mas positiva
Quanto um poacutesitron se encontra com um eleacutetron eles
simplesmente se transformam em foacuteton um aniquilando a
existecircncia do outro como se um fosse a antiacutetese do outro
levando assim agrave ideia de antimateacuteria
Assim como feixe de eleacutetrons era conhecido tambeacutem como
raios beta os feixes de poacutesitrons ficaram conhecidos como
raios beta mais ou raios + e os feixes de eleacutetrons acabaram
sendo chamados de raios beta menos ou raios minus
Mas imagine que possa existir uma antipartiacutecula para toda
partiacutecula conhecida Pois eacute isso que muitos fiacutesicos de partiacuteculas
pensaram e eles natildeo estavam errados a chuva de descobertas
ainda estava por vir
fisicaprofessordanilocom
193
Vamos entender uma notaccedilatildeo importante seja um proacuteton
denotado pela letra p entatildeo chamaremos o antiproacuteton pela
mesma letra com uma barra em cima p Podemos fazer isso
para o necircutron ( n para o necircutron e n para o antinecircutron)
Algumas partiacuteculas por possuiacuterem uma carga eleacutetrica eacute usual
diferenciar a partiacutecula da antipartiacutecula pelo seu sinal assim o
eleacutetron costuma ser representado por eminus e o poacutesitron
(antieleacutetron) por e+ o mesmo vale para o muacuteon ( minus ) com sua
antipartiacutecula o antimuacuteon ( + ) Em alguns casos quando uma
partiacutecula natildeo possui carga entatildeo a sua partiacutecula eacute idecircntica a ela
mesma como ocorre com o foacuteton portanto foacuteton e antifoacuteton eacute
a mesma coisa e representado por
Aqui vocecirc deve estar se perguntando mas se o necircutron eacute uma
partiacutecula sem carga o que seria um antinecircutron
Responderemos isso quando falarmos dos quarks Mas por hora
vamos resumir o que foi visto acima em uma tabela
Note que na tabela a seguir natildeo incluiacutemos o piacuteon e isso porque
existem trecircs + 0 e minus Mas natildeo deveria ser somente
partiacutecula e antipartiacutecula Pois eacute veremos mais adiante que sim
mas outras partiacuteculas devem entrar nessa histoacuteria
Partiacuteculas Antipartiacuteculas
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Proacuteton p Antiproacutetons p
Necircutron n Antinecircutrons n
Eleacutetron eminus Antieleacutetrons e+
Muacuteon minus Antimuacuteon +
Foacuteton Foacuteton
A histoacuteria comeccedila a ficar seacuteria agora pois podemos ter uma
partiacutecula se transformando em outra como ocorre quando um
poacutesitron e um eleacutetron se encontram
e e+ minus+ rarr +
Mas fique tranquilo pois natildeo entraremos em detalhes nisso
aqui
fisicaprofessordanilocom
194
(E) O NEUTRINO (1930 ndash 1962)
Vamos comeccedilar com o problema do decaimento beta algumas
reaccedilotildees nucleares emitem eleacutetrons conhecido tambeacutem como
raios beta como exemplo seja a fusatildeo de dois hidrogecircnios
(triacutetios) se fundindo e se transformando em heacutelio
3
1
3
2
3
1H H He eminusrarr ++
Como vocecirc deve se lembrar das aulas de quiacutemica sendo o triacutetio
um elemento de massa atocircmica 3 e nuacutemero atocircmico 1 ele teraacute
2 necircutrons 1 proacuteton e 1 eleacutetron o heacutelio possui 2 proacutetons 2
necircutrons e 2 eleacutetrons Assim a reaccedilatildeo acima pode ser reescrita
como
2(2 ) 2 2(2 )n p e n p e n p e eminusminus minus minus+ + ++ rarr + ++ +
que simplificando fica
n p eminusrarr +
Ou seja na fusatildeo de dois triacutetios temos a transformaccedilatildeo de um
necircutron em um proacuteton e um eleacutetron
Natildeo somente na reaccedilatildeo apresentada acima mas em vaacuterias
outras reaccedilotildees nucleares com decaimento beta a energia
esperada para o eleacutetron era de um valor constante
Novamente indo contra a teoria ateacute entatildeo desenvolvida a
energia detectada dos eleacutetrons varia de forma que
aparentemente a energia total do sistema natildeo eacute conservada
A figura acima apresenta o nuacutemero de contagem de eleacutetrons
por faixa de energia (eixo y) por energia (eixo x) O que importa
aqui eacute que tem algo estranho na teoria ou o princiacutepio da
conservaccedilatildeo de energia natildeo pode ser aplicado aqui
fisicaprofessordanilocom
195
(considerado por Bohr) ou o decaimento beta emite uma
partiacutecula (apoiado por Pauli) O problema eacute que esta partiacutecula
deveria ter massa muito menor que a massa de um eleacutetron
carga nula e ser muito mas muito difiacutecil de ser detectada Tal
partiacutecula foi chamada de neutrino e somente foi detectado em
1950
O siacutembolo do neutrino eacute a letra (ldquonurdquo) o antineutrino eacute
quanto o neutrino eacute produzido junto com a emissatildeo de um
eleacutetron temos a formaccedilatildeo de um antineutrino do eleacutetron
simbolizado por e e assim por diante
Temos trecircs tipos de antineutrinos um associado ao eleacutetron
outro ao muacuteon e outro ao tau6 Temos trecircs neutrinos um
associado ao poacutesitron outro ao antimuacuteon e outro ao antitaon
Vejamos todos os siacutembolos aqui apresentados
Neutrino Antineutrino
e e
6 O tau foi descoberto em 1975 portanto ele e o neutrino associado ao tau
foram colocados aqui apenas para ficar mais completo
Vejamos algumas reaccedilotildees possiacuteveis
decaimento beta
decaimento do piacuteon
decaimento do muacuteon
e
e
e
p e
e
e
n minus
minus minus
minus minus
+ +
+ +
rarr + +
rarr
rarr
+
+
+ +
+
rarr
rarr +
Existem muitas outras reaccedilotildees mas por hora vamos parar por
aqui
fisicaprofessordanilocom
196
(F) O MODELO DOS QUARKS (1964)
Uma partiacutecula fundamental natildeo eacute formada de subpartiacuteculas e
todos os leacuteptons satildeo partiacuteculas fundamentais
Leacuteptons Antileacuteptons
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Eleacutetron eminus Antieleacutetron e+
Neutrino do eleacutetron
e Antineutrino do eleacutetron
e
Muacuteon Antimuacuteon
Neutrino do muacuteon
Antineutrino
do muacuteon
Tau Antitau
Neutrino do tau
Antieutrino
do tau
Os quarks satildeo as partiacuteculas que compotildeem os meacutesons e os
barions uma vez que estas duas natildeo partiacuteculas fundamentais
As partiacuteculas que constitui estas duas classes de partiacuteculas satildeo
chamadas de quarks (e antiquarks) Satildeo elas
Quarks Antiquarks
Nome Siacutembolo Nome Siacutembolo
Up u Antiup u
Down d Antidown d
Charm c Anticharm c
Strange s Antistrange s
Top t Antop t
Botton b Antibotton b
Observe na tabela abaixo o valor da carga eleacutetrica dos quarks
fisicaprofessordanilocom
197
Os baacuterios satildeo sempre formados por trecircs quarks e os antibarios
satildeo formados por trecircs antiquarks O proacuteton eacute um barion e eacute
constituiacutedo de dois quarks up (de carga +23 cada um7) e um
quark down (de carga -13) totalizando +23 +23 -13 = +1
Representaccedilatildeo do proacuteton constituiacutedo de dois quarks up e um down
Representaccedilatildeo do necircutron constituiacutedo de um quark up e dois quarks down
7 Note que a carga aqui eacute medida em termos da carga do eleacutetron
Com isso podemos montar uma nova tabela com os barions
mais comuns proacuteton necircutron antiproacuteton e antinecircutron
Barionantibarion Quarksantiquarks constituintes
Proacuteton uud
Antiproacuteton uud
Necircutron udd
Antinecircutrons udd
Os meacutesons aquelas partiacuteculas mediadoras satildeo sempre
formadas por um quark e um antiquark Veja abaixo alguns
exemplos
Meson Quark e antiquarks constituintes 0 uu + ud minus du
dd 0 ds + us minus su 0
sd