VETORES

Física Geral

Grandezas

 Comprimento (m)  Massa (kg)  Tempo (s)  Corrente elétrica (A)  Quantidade da substância (mole)  Temperatura (K)  Intensidade luminosa (cd)

Grandezas direcionais

  Deslocamento   Velocidade (quantidade de movimento)   Aceleração (força)   Torque   Campo Elétrico   Campo Magnético

Grandezas Vetoriais ou Vetores

São aquelas que dependem de uma especificação espacial para serem completamente definidas.

a

b

Grandezas não-direcionais Aquelas que são completamente definidas apenas por um valor numérico.

Grandezas Escalares ou Escalares

p  Temperatura p  Intensidade luminosa p  Massa p  Corrente elétrica p  Tempo p  Energia p  Potência p  Resistência elétrica p  Freqüência

Direção Orientada

x

a b

Eixo orientado

x

y

Eixos coordenados orientados x

y

Direção Orientada z

x y

θ

φx θ 0

x 0

Representação de vetores

cbaCBA !!!!!!

cbaCBA !!!!!! ,,,,,

Modo escrito: Letras maiúsculas ou minúsculas em negrito:

A, B, C, a, b, c

Modo Gráfico: Segmento de reta orientado com a mesma direção e sentido que o vetor considerado e cujo comprimento é proporcional à magnitude do mesmo.

Ou letras em itálico com uma flecha em cima:

Módulo ou magnitude de um vetor é representado por: A, B, C, a, b, c

ou

Vetores Vetor unitário é o vetor cujo módulo é a unidade.

VVVuV u==!!

ouˆ

1ou 1ˆ que talˆ ou == uu uu

Qualquer vetor pode ser escrito em termos de um vetor unitário:

Logo, se temos dois vetores paralelos podemos representá-los como:

'ˆ'eˆ VuVVuV ==!!

V!

'V!

VV

VV

u'

chamando eˆsendo == λ!

VV!!

λ=⇒ '

V1

V2

V

Soma de vetores

A

B

21 VVV +=

21 VVV +=≠

Soma de vetores

V1

V2

V

V = V1+V2 = V2+V1 (Comutativo)

A

B

Método do paralelogramo || a V1

|| a V2

Soma de vetores

222 )()()( DCADAC +=

θθ sencos 221 VDCVVBDABAD =+=+=

θθθθθ 22222

22121

22

221

2 sencoscos2)sen()cos( VVVVVVVVV +++=++=

θ

θθθ

cos2

)sen(coscos2

2122

21

222221

21

VVVVV

VVVVV

++=

+++=

V = V1+V2

V2cosθ

V2 senθ

θ D A B

V

V1

V2

C

Calculando o módulo da soma de dois vetores

V = V1+V2 α

β

V2cosθ

V2 senθ

θ D A B

V

V1

V2

C Soma de vetores

θα sensen BCACCD ==αθ

θαsensen

ou sensen 22VVVV ==↔

αββα

sensensensen forma mesma da 2121

VVVV =↔=→

αβθ sensensen:equações as juntando 21 VVV ==

Calculando a direção do vetor resultante V E

Soma de vetores

θcos2 2122

21 VVVVV ++= αβθ sensensen

21 VVV ==

22

21 VVV +=

1

2tanVV

=α

Logo, para a soma de dois vetores:

Onde no caso particular onde θ = 90°:

A B

V

V1

V2

C

Diferença entre dois vetores É obtida somando-se o primeiro com o inverso do segundo, isto é:

)(1 212 VVVVD −+=−=

V=V1+V2

V1

V2 D=V1-V2

V1

-V2

D’=V2-V1

-V1

V2

D’ = -D (a diferença é anti-comutativa)

Diferença entre dois vetores

θ

θπθπ

θπ

cos2

)sensencos(cos2

)cos(2

2122

21

2122

21

2122

21

VVVVD

VVVVD

VVVVD

−+=

−++=

−++=

V=V1+V2

V1

V2

-V2

θ

π-θ

D=V1-V2

Exemplo

Dado um vetor A de 6 unidades de comprimento e que faz um ângulo de +36º com o eixo X positivo; B com 7 unidades de comprimento e de mesma direção e sentido que o eixo X negativo. Determine: a)  A soma dos dois vetores. b)  A diferença entre eles

36º

A B

Y

X

Exemplo 36º

A

B

Y

X 0 C = A + B

com A = 6 e B = 7

C

144º

unidades 128,4144cos2 o22 =++= ABBAC

a)

O ângulo entre B e C pode ser determinado por

oo 69,58sen144sen

≈→= ααAC

Logo, temos que o ângulo β é 85,31º e, portanto, o ângulo de C em relação ao eixo X é de 121,31º.

b) D= A - B

Exemplo 36º A

-B

Y

X 0

D

unidades 12,31 144cos2

ou 36cos2o22

o22

=−+=

++=

ABBAD

ABBAD

Utilizando a lei do senos,

oo 64,16sen36sen

≈→= ααAD

O vetor diferença D faz um ângulo de 16,64º com o eixo X.

Componentes de um Vetor Qualquer vetor V pode ser considerado como o resultado da soma de dois ou mais vetores. As suas componentes ortogonais Vx e Vy são mutuamente perpendiculares.

V

Vx

Vy

Y

X 0

B

A

C No plano

z

x y

θ

φ

Segue que

2222zyx VVVV ++=

Componentes de um Vetor z

x y

θ

φ

β

βα cos , cos VVVV yx ==

Assim, temos também que

cos2α + cos2 β + cos2θ =1

Vetor posição Um caso particularmente importante é o do vetor-posição r de um ponto de P de coordenadas (x, y, z).

O vetor-posição relativo de dois pontos P1 e P2 é

Ou seja,

Exemplo Calcule a distância entre os dois pontos (6, 8,10) e (-4, 4, 10). Solução:

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos,

Aplicações aos Problemas da Cinemática

Um barco a motor desloca-se a 15 km/h com a proa voltada para o norte, num local onde a corrente é de 5 km/h na direção S 70o E. Calcule a velocidade do barco em relação às margens. Solução:

A velocidade resultante será a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água VB com a velocidade da corrente VC.

Como θ = 110o, obtém-se analiticamente

Para obter a direção aplicamos a lei dos senos,

O que resulta em na direção N19,4o E.

Aplicações aos Problemas da Cinemática Calcule a aceleração de um corpo que desliza sobre um plano inclinado segundo o ângulo θ. Solução: Seja P um corpo que desliza para baixo sem atrito sobre o plano AB, que é inclinado segundo um ângulo θ. Se não existisse, o corpo cairia livremente na vertical com aceleração igual a g = 9,8 m/s2.

As componentes da acelaração perpendicular e paralela ao plano são dadas, respectivamente, por

a ' = gcosθ e a = gsenθ