Física I

Torque de uma força

e o

momento angularProfs.: Camilla Codeço e

Marcello Barbosa

Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva

Torque e o Momento Angular

Objetivos da aula

• Forças e variação do momento linear – recordação

• Momento de uma força e aceleração angular

• A 2a lei de Newton para rotações – o torque

• Conservação do momento angular – alguns exemplos

Força vs Torque

Tirando objetos da inércia

Força vs Torque – tirando objetos da inércia

Uma Força na atuando diretamente do CM modifica o movimento translacional enquanto uma força com momento relativo ao CM (Torque) o estado de movimento rotacional.

(caixa)𝐶𝑀Força

(porca + parafuso)𝐶𝑀

2a lei de Newton para translações - recordação

(caixa)𝐶𝑀

Uma força é aplicada ao CM de um sistema→𝐹

→𝐹 =

𝑑→𝑝𝑑𝑡

Onde o momento linear é definido como→𝑝 = 𝑚→𝑣

Força Variação do momento linear

Na ausência de forças aplicadas ao sistema

→𝑝 = 𝑐𝑡𝑒

2a lei de Newton para rotações – generalização

Momento da (TORQUE) em relação ao CM→𝐹

→𝑟 ×→𝐹 =

𝑑→?

𝑑𝑡Podemos definir alguma quantidade

→𝐿 = ?

Torque Variação do momento angular

Tal que na ausência de momentos de forças→𝐿 = 𝑐𝑡𝑒

(porca + parafuso)𝐶𝑀

Momento da força em relação a um ponto fixoExperiência cotidiana:

1) para afrouxar um parafuso precisamos de uma força PERPENDICULAR ao eixo ligando um ponto fixo ao ponto de atuação da força;

2) quanto MAIOR a distância, MENOS a força necessária

O vetor torque – definição matemática

→𝒓

→𝑭→𝝉

Aceleração angular

Aceleração angular

a velocidade angular VARIA com o tempo e nos faz definir a ACELERAÇÃO ANGULAR

 ∆ 𝜔∆  𝑡

≠ 0

Na presença de uma aceleração tangencial

𝛼 = lim∆𝑡→0

∆  𝜔∆  𝑡

=𝑑 𝜔𝑑 𝑡

=𝑑2 𝜃𝑑 𝑡2

𝛼 =𝑟𝑎𝑑𝑠2

 em unidades de

Aceleração angular – MÓDULO, DIREÇÃO e SENTIDO

Conectando torque e aceleração angular

2a lei de Newton de rotações

A 2a lei de Newton de rotações – formulação No caso de uma força PERPENDICULAR ao eixo conectando um ponto fixo e o ponto de aplicação da força, escrevemos a 2a lei de Newton:

𝐹 = 𝑚𝑎Da cinemática de rotações sabemos que

𝑎 = 𝑟𝛼

Portanto

𝜏 ≡ 𝑟𝐹 = 𝑚𝑟2𝛼Recordando a definição de momento de inércia chegamos finalmente a

→𝜏 = 𝐼 →𝛼O vetor torque tem a mesma direção e sentido que a aceleração angular !!!

Introduzindo o momento de inércia

Para um corpo rígido teremos a relação

→𝜏 𝑖 = 𝑚𝑖𝑟2𝑖  →𝛼

Como a aceleração angular é a mesma

→𝜏 𝑟𝑒𝑠 = (∑𝑖

𝑚𝑖𝑟2𝑖 ) →𝛼 = 𝐼 →𝛼

Um torque resultante produz uma aceleração angular!!!

O momento angular

Uma nova lei de conservação

Conectando: momento linear, angular e torque

Podemos escrever o momento angular em termos do momento linear

De tal forma que

→𝜏 𝑟𝑒𝑠 = →𝑟 ×  →𝐹 = →𝑟 ×

𝑑→𝑝𝑑𝑡

=𝑑(→𝑟 ×  →𝑝 )

𝑑𝑡=

𝑑→𝐿

𝑑𝑡

Sabendo que

→𝜏 𝑟𝑒𝑠 = 𝐼 →𝛼 = 𝐼𝑑→𝜔𝑑𝑡

e lembrando da cinemática rotacional que

→𝑣 = →𝜔 × →𝑟

2a lei de Newton para rotações – generalização

O momento da força em relação ao CM fixo→𝐹

→𝑟 ×→𝐹 = →𝜏 =

𝑑→𝐿

𝑑𝑡Podemos definir o MOMENTO ANGULAR

→𝐿 = →𝑟 × →𝑝 = 𝐼→𝜔

Torque Variação do momento angular

Tal que na ausência de momentos de forças→𝐿 = 𝑐𝑡𝑒

(porca + parafuso)𝐶𝑀

Momento angular – nova lei de conservação

Na ausência de FORÇAS externas

→𝑝 = 𝑚 →𝑣 →𝐿 = 𝐼 →𝜔

é conservado !!!𝑑→𝑝𝑑𝑡

= 0

Na ausência de TORQUES externos

é conservado !!!𝑑→𝐿

𝑑𝑡= 0

→𝐹 =

𝑑→𝑝𝑑𝑡

→𝑝 →𝐿

Translações e momento linear Rotações e momento angular

Lembrando agora que

→𝛼 =𝑑→𝜔𝑑𝑡

→𝜏 = 𝐼 →𝛼

2a lei de Newton para rotações

→𝜏 =𝑑

→𝐿

𝑑𝑡

Aplicações de – da cadeira giratória a gatos ninja→𝐿 = 𝐼 →𝜔 = 𝑐𝑡𝑒

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Volte ao slide “Objetivos da aula” e avalie se você compreendeu os conceitos. Por exemplo, pense se você é capaz de falar sobre eles ou explicá-los para uma outra pessoa.

Pense em perguntas sobre esses conceitos e as tragam para a aula

Não entendeu algo ou tudo? Calma! Assista o vídeo novamente, leia o livro texto e traga suas dúvidas para a aula.