Física I

2º Semestre de 2013

Instituto de Física- Universidade de São Paulo

Aula – 5 Trabalho e energia

Professor: Valdir Guimarães

E-mail: valdirg@if.usp.br Fone: 3091.7104

Trabalho realizado por uma força constante

Diferentemente do conceito intuitivo, o trabalho está associado com a transferência de energia devido a uma força.

Trabalho é uma grandeza escalar (positiva ou negativa).

Trabalho é realizado sobre um corpo por uma força, quando o ponto de aplicação da força se desloca.

O trabalho realizado sobre um corpo é positivo se energia é transferida para esse corpo.

xFW

W é o Trabalho realizado

xFxFW x cos

Trabalho realizado por diversas forças

O trabalho total sobre um sistema é a soma do trabalho realizado por cada força.

332211 xFxFxFW xxx

Se o trabalho é realizado sobre uma partícula, então todos os deslocamentos são idênticos.

xFxFFFWxresxxx )( 321

0W

No SI, a unidade para o Trabalho é o Joule (J)

1 J = 1 N.m

Se a aceleração é nula, então

O teorema do Trabalho-Energia CinéticaQuando forças realizam trabalho sobre uma partícula, o resultado é uma variação da energia cinética da partícula.

Se a força resultante é constante, a aceleração é constante.

Teorema do Trabalho-Energia Cinética:

xres maFx

Definimos a energia cinética como sendo:

xavv xif 222 )(2

1 22

ifx vvx

a

)(2

1 22

ifres vvx

mFx

iftotal

ifres

KKW

mvmvxFx

22

2

1

2

1

2

2

1mvK

KWtotal

No SI, a unidade para a Energia Cinética é o Joule (J)

O teorema do Trabalho-Energia CinéticaSuponha que voce tenha que puxar um trenó de massa 80 kg, com uma

força de 180 N a 40° em relação à horizontal.

(a) Qual o trabalho que voce irá realizar?

(b) Qual a rapidez do trenó após se deslocar 5,0 m, tendo partido dorepouso?

(a)

smv

m

Wv

mvmvW

f

totalf

iftotal

/2,4

2

2

1

2

1

2

22

JW

xFxFW

total

xtotal

689

cos

(b)

O Trabalho realizado por força variávelFrequentemente as forças têm intensidade ou direção de aplicação variável.

Para força constante, temos

Numericamente igual a área sob a curva Fx versus x

i

ixix

xFW0

lim

f

i

x

x

xdxFW

Se a força varia com x, podemos dividir o movimento em pequenas seções.

nCttv )(

1

11)()(

n

nCtdttvtx

nCtx

1 nCntdt

dx

Integralderivada

2

1

)()()( 12

t

tdttvtxtxIntegrais definidas

attv )(

)()()( 2

1

2

2212

211

12

2

1

2

1

atatatdtattxtxt

t

t

t

suponha

O Trabalho realizado por uma mola (Lei de Hooke)

Considere um bloco sob a ação de uma mola.

A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke

22

22

2

21

2

1

2

1

22

)(

fi

x

x

ifx

x

x

x

x

x

x

kxkxW

xxkxkxdxkW

dxkxdxFW

f

i

f

i

f

i

f

i

Note que a força não é constante e varia com x.

O Trabalho realizado por uma mola (Lei de Hooke)

Considere um bloco sob a ação de uma mola com k=400N/m.

A força exercida pela mola é dada pela Lei de Hooke

J

kxxxkxarea

5.02/)05.0(400

2/2/)(

2

2

1121

Área sob a curva Fx versus x

Jx

kxx

kxkxdxk

dxkxdxFW

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

i

f

i

5.0222

)(

2

1

2

1

2

22

21

2

1

2

1

O Produto Escalar – Movimento tridimensional

O trabalho depende da componente da força na direção do movimento.

dlFdlFdW cos//

Esta combinação de dois vetores com o cosseno do ângulo entre suas orientações é chamada de Produto Escalar dos vetores.

cosABBA

Produto escalar

O Produto Escalar

Ou alternativamente,

cosABBA

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

Mas, como:

0ˆˆ

1ˆˆ

ji

ii

zzyyxx BABABABA

O Produto Escalar

a) Determine o ângulo entre os vetores

a) Determine a componente de A na direção de B.

cosABBA

20,6 mBABABA yyxx

mjiA )ˆ0,2ˆ0,3(

mjiB )ˆ0,3ˆ0,4(

AB

BA

cos

mAAAAA yx 0,1322

mBBBBB yx 0,522

333,0cos

71

B

BAA

cos mA 2,1cos

a)

b)

O Trabalho em notação de Produto Escalar

Considerando-se deslocamentos infinitesimais (dl)

dlFdlFdW cos//

ldFdW

Para um deslocamento de uma posição 1 para uma posição 2, o trabalho realizado é

2

1

P

P

ldFW

Esta integral é conhecida como Integral de Linha.

Uma partícula sofre um deslocamento

Durante esse deslocamento, uma força constante atua sobre a partícula. Determine

(a) o trabalho realizado pela força

(b) a componente da força na direção do deslocamento.

ldFdW

Como a força é constante

2

1

P

P

ldFW

mjil )ˆ0,50,2(

NjiF )ˆ0,40,3(

JjijiW 0,14)ˆ0,50,2()ˆ0,40,3(

lFlFW //

l

lFF

//

2952 22 l

NF 6,2// lFldFW

P

P

2

1

Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam na base da colina, através de caminhos diferentes. Um caminho é mais curto e íngreme do que o outro. Qual esquiador terá maior velocidade no ponto de chegada?

22

2

1

2

1iftotal mvmvKW

Os esquiadores podem ser tomados como partículas, portanto vale o Teorema do Trabalho-Energia Cinética.

Temos a força peso e a força normal.

gntotal WWW

0

0

n

nn

W

ldFdW

mghymgW

jyixjmgW

lFldFldFW

ldFdW

g

g

gggg

gg

)ˆˆ(ˆ

O mesmo para os dois esquiadores.

2

2

1ftotal

gtotal

mvW

mghWW

ghv f 2

2

fmvmgh

PotênciaA taxa, ou seja, a variação temporal do trabalho que uma força realiza échamada de Potência (P). Em outras palavras, a Potência é a taxa detransferência de Energia, através da realização de um Trabalho.

ldFdW

vFP

Dois motores que elevam uma certa carga até uma dada alturagastam a mesma quantidade de energia, mas a potência émaior para a força que realiza o trabalho no menor tempo.

No SI, a unidade para a Potência é o Watt (W) 1 W = 1 J/s

As companhias de energia elétrica usam o kW.h como unidade de energia. Esta é a energia transferida em 1 hora a uma taxa constante de 1 kW.

1 kW.h = (103W)(3600s) = 3,6x106 W.s = 3,6 MJ

Potência

dt

ldv

dtvFdW

vFdt

dW dtvld

Exemplo

Um pequeno motor é usado para operar como um elevador que levanta uma carga de tijolos que pesa 500 N até a altura de 10 m, em 20 s, com rapidez constante. O elevador pesa 300 N. Qual é a potência desenvolvida pelo motor?

FvFvvFP cos

Ws

mNP 400

20

10)800(

tijoloselevador PPF

Funny car

Funny car

A potencia de um motor é a taxa com a qual o motor pode realizar trabalho.

O trabalho está relacionado coma variação da energia cinética.

dt

dWP

PdtdKdW

tK

PdtdK00

Ptmv

PtK

2

21

2/12

m

Ptv

dKdW

if KKKW

Precisamos agora relacionar a potencia do funny car com a distânciapercorrida e o tempo. Veja que a velocidade não é constante.

Dvdtxt

0

Distância em função da velocidade e potencia.

ttt

dttm

Pdt

m

PtvdtD

0

2/12/1

0

2/1

0

)2

()2

(

2/32/1

3

2)

2( t

m

PD

3/13/2 )2

()2

3(

P

mDt