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A palavra trigonometria significa medida das partes de um tringulo. No se sabe ao certo se o conceito da medida de ngulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilizao babilnica, adotaram suas fraes sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemtico das relaes entre ngulos - ou arcos - numa circunferncia e os comprimentos de suas cordas.

Desde a Antiguidade, babilnios, egpcios e gregos privilegiaram o estudo da trigonometria porque precisavam dela para efetuar clculos importantes na Astronomia e Arquitetura. O problema do clculo do comprimento de uma corda, num crculo, em funo da medida do ngulo ao centro era um problema complicado naquele tempo.

O astrnomo Hiparco de Nicia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria" pois, na segunda metade do sculo II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construo do que deve ter sido a primeira tabela trigonomtrica, incluindo uma tbua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses clculos para us-los em seus estudos de Astronomia. As principais contribuies Astronomia, atribudas a Hiparco constituram-se na organizao de dados empricos derivados dos babilnios, bem como na elaborao de um catlogo estrelar, melhoramentos em constantes astronmicas importantes - durao do ms e do ano, o tamanho da Lua, o ngulo de inclinao da eclptica - e, finalmente, a descoberta da precesso dos equincios. Ptolomeu, sc. II d.C., redigiu um tratado de Astronomia Almagesto , considerado at ao sc. XVI, como a Bblia dos astrnomos. Neste livro, exps toda a Trigonometria da Antiguidade, incluindo a primeira tabela de senos.

Para determinar as razes trigonomtricas de um ngulo , usamos um qualquer tringulo

rectngulo que tenha um ngulo geometricamente igual a .

Exemplo: Considera o seguinte tringulo retngulo: Calcula as razes trigonomtricas do ngulo .

Resoluo:

cateto oposto ao ngulo de 5sen

hipotenusa 8

= =

cateto adjacente ao ngulo de 1cos

hipotenusa 8

= =

cateto oposto ao ngulo de 5tg 5

cateto adjacente ao ngulo 1

= = =

sen = cateto oposto ao ngulo deHipotenusa

cos = cateto adjacente ao ngulodeHipotenusa

tg = cateto oposto ao ngulo decateto adjacente ao ngulo

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DETERMINAR O NGULO SABENDO OS LADOS DO TRINGULO RETNGULO

= !!

= !! !!

54!

RELAES ENTRE AS RAZES TRIGONOMTRICAS DO MESMO NGULO

Observa o tringulo [ABC], Relao entre o seno, o co-seno e a tangente de um mesmo ngulo.

FRMULA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

Relao entre o seno e o co-seno do mesmo ngulo.

Exerccios:

1. Em cada caso, determina o valor da incgnita: 1.1.

1.2.

1.3.

2. A torre tem 60 metros de altura e x o comprimento de um cabo de tenso que faz um ngulo de 55 com o solo. Qual o comprimento do cabo?

sen tan

cos

=

2 2sen cos 1 + =

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3. Observa o desenho da figura 1: o teodolito (instrumento que faz medies no terreno e em declives), est apoiado num trip, a 1,50 m do solo e distncia de 20 m da elevao. Calcula a altura do monte.

4. Para medir a largura de um rio fizeram-se as medies

indicadas na figura. Qual a largura (L) do rio?

5. A altura do poste

Um poste eltrico, com 2,9 m de altura, foi colocado verticalmente no solo, ficando enterrado 30 cm.

5.1. Qual o comprimento da sombra projetada pelo poste hora representada no desenho?

5.2. Qual a distncia da extremidade superior do poste extremidade da sua sombra?

6. A sombra 6.1. s 9 horas da manh, um mastro com 8 m de altura projetava uma

sombra que media 6 m. Qual a amplitude do ngulo ?

6.2. Qual a altura de uma rvore que nesse mesmo momento projetava

uma sombra de 3,8 m?

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7. A luz

Observa o efeito da luz projetada por um holofote. Determina o raio do crculo de luz no cho.

8. Seja 5sen 6

= e um ngulo agudo.

8.1. Calcula o valor exato de cos . 8.2. Calcula o valor exato de tg 8.3. Determina valores aproximados com 3 c.d. de cos e tg , determinando previamente

9. Sendo cos 1cos 3

= e um ngulo agudo, determina o valor exato de:

9.1. sen . 9.2. cos

10. O ngulo agudo e sen 0,86 = . Determinando previamente calcula: 10.1. cos . 10.2. tg

11. O ngulo agudo e 6cos 7

=

11.1. Calcula o valor exato de cos . 11.2. Calcula o valor exato de sen

12. Observa a figura e determina a distncia entre

as duas embarcaes.

13. De acordo com as condies da figura, a quantos metros de altura se eleva a torre do edifcio desde a cobertura do telhado?