ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO Ficha de trabalho nº5 - 10º Ano – Matemática 2004/2005

Assunto: Coordenadas no espaço / Lugares geométricos no espaço / Plano mediador / Superfície esférica / Esfera. 1 -

1

D

1.1 – Indique as coordenadas: a) dos vértices e dos pontos médios das arestas do paralelepípedo; b) do ponto ′ simétrico de D em relação ao plano XOZ;

2

1

z

x

O

B C

D A

G y3

F E

c) do ponto D ′′ simétrico de D em relação ao eixo OZ. 1.2 – Indique as equações dos planos:

a) plano que contém a face ; [ ]ABEOb) plano que contém a face [ ]; ADEFc) plano que contém a face ; [ ]ABCD

d) plano que contém a face [ ]. CDFGe) Plano que passa pelo ponto médio de [ ]AD e é paralelo ao plano XOZ. f) Plano que contém o ponto simétrico de D em relação ao plano XOY e é paralelo ao

plano de equação . 0=xg) Plano paralelo ao plano XOY e que contém o ponto médio de [ ] . AEh) Plano perpendicular ao eixo OZ que contém o ponto D.

1.3 – Indique condições que representem: a) a recta ; BOb) a recta CD; c) a recta BC; d) o paralelepípedo da figura.

2 – Escreva uma condição que represente:

a) O plano perpendicular ao eixo Ox e que contém o ponto de coordenadas (7,0,0). b) O plano perpendicular ao eixo Oy e que contém o ponto de coordenadas (4,-2,-3). c) O plano paralelo ao plano xOy e que contém o ponto de coordenadas (-5,-1,3). d) A região do espaço limitada pelos planos de equação y=0 e y=1 (planos incluídos). e) O conjunto de pontos que pertencem ao plano xOy e que estão “abaixo” deste

plano. f) A recta paralela ao eixo Oz e que contém o ponto (-4,2,3). g) A recta paralela ao eixo Oy e que contém o ponto (1/3, 5 , 2).

3 – Considere os pontos . )5,2,3( e )0,6,3( , )0,2,3( CBA −

a) Verifique que o ponto C é equidistante A e de B. b) Determine uma condição que represente o plano mediador de [ ]. AB

c) Defina algebricamente a esfera que tem centro em C e raio AC . 4 – Sendo , ) e , determine: )3,2,(aA 5,0,1(B )4,2,3(C

a) O valor de a de modo que 5=AB . b) Uma equação do plano mediador de [ ]BC .

5 – Determine t de modo que o ponto diste igualmente de )0,2,( ttP )3,0,1( e )2,1,0( −− BA . 6 – Defina algebricamente o conjunto de pontos do espaço equidistantes da origem e do ponto de coordenadas . )0,3,1( 7 – Indique o centro e o raio das superfícies esféricas: a) 16222 =++ zyx b) 044222 =−+++ zxzyx

c) ( ) ( )591,03 222

=+−+− zyx

8 – Escreva uma equação da superfície esférica :

a) de centro no ponto e raio ( 3,2,1 −P ) 14 . b) de centro no ponto e raio ( 0,0,5−P ) 23 . c) de centro em ( e que contém o ponto )1,1,2 − ( )1,0,2− .

9 – Descreva o conjunto de pontos do espaço representado por cada uma das condições: a) 16222 ≤++ zyx b) 000 ≥∧≥∧≥ zyx c) 01222 =∧=++ zzyx 10 – Determine os pontos da superfície esférica ( que pertencem ao eixo dos zz.

25)1()1()1 222 =−+−++ zyx

11 – A condição define uma circunferência. Indique o seu raio. 33622 −=∧=++ yzyx

2

12 – O cone representado na figura tem o vértice no ponto V ) e o centro da base é o ponto O origem do referencial. Os pontos A e B pertencem à circunferência da base. O ponto A pertence a Ox e B a Oy. As medidas estão em metros. Determine:

25,0,0(v25

a) O comprimento da geratriz do cone(1cd) b) O volume do cone B c) Uma condição que represente a base do

cone. y 12

A 12

x