funcao afim

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F u n ç ã o A f i m

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F u n ç ã o

A f i m

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FUNÇÃO AFIM Uma função f: IR em IR recebe o nome de

função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x)=ax+b,para cada x € IR associa o elemento (ax + b) € IR em que a ≠ 0 e b são números reais dados.

f(x) = ax + b onde a ≠ 0 Na função f(x) = ax + b, o número a é

chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções afim: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

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GRÁFICO “O gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b (a ≠ 0) é uma

reta”Exemplo: construir o gráfico da função f(x) = 2x + 1Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los

com o auxílio de uma régua, para obter os pontos vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes valores de y

a)Para   x = 0, temos   f(x) = 2 · 0 + 1 = 1b) Para x = 1, temos f(x) = 2. 1 + 1 = 3

O gráfico é uma reta quepassa pelos pontos(0 ,1) e (1, 3)

x f(x) = 2x + 1

y

0 f(0) = 2·0+1 11 f(1)= 2. 1 + 1 3

y

x

1

2

3

1

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COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR O coeficiente “a” da função f(x) = ax +b é

denominado coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano

 O coeficiente “b” da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear.

Exemplo: Na função y = 2x + 1 o coeficiente angular é 2

e o coeficiente linear é 1. Observe que se x = 0, temos y = 1. Portanto, o coeficiente Linear é a ordenada do

ponto que a reta corta o eixo yhttp://matematicalicenciatura2.blogspot.com.br

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ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃOZero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é f(x)=0.Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equação do 1º

grauax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:1- Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:f(x) = 0      2x - 5 = 0       

2- o zero da função f(x) = 2x – 1 é x= ½ pois fazendo 2x – 1 = 0, vem x= ½ .

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Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x

Exemplo : Fazendo o gráfico da função f(x) = 2x – 1Podemos notar que a reta intercepta o eixo dos x

em x = ½ isto é, no ponto (1/2, 0).

x f(x)= 2x - 1

y

0 f(0)= 2.0 - 1

-1

1 f(1)= 2.1 - 1

1

y

x

-1 (0, -1)

1

1 (1, 1)

(1/2, 0)

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CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Função Crescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o

coeficiente de x é positivo Ex: 2x + 1 (a > 0)Sabemos que a função é crescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o

valor de y também aumenta

x -3 -2 -1 0 1 2 3y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Função Decrescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo Ex: -2x + 1 (a < 0); Sabemos que a função é decrescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o valor de y diminui

x -3 -2 -1 0 1 2 3y 8 5 2 -1 -4 -5 -10

y diminui

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GRÁFICOS DAS FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE

Função crescentef(x) = 2x + 1 (a > 0);

Função decrescenteF(x)= -2x + 1 (a < 0);

x f(x)= 2x + 1

y

0 f(0)= 2.0 + 1

1

1 f(1)= 2.1 + 1

3

y

x

12

3

10

x f(x)= -2x + 1

y

1 f(0)= -2.1 + 1

-1

2 f(2)= -2.2 + 1

-3

y

x

1

-1

1

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ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO

Estudar o sinal de uma função qualquer, y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo(y>0), os valores de x para os quais y é zero(y=0) e os valores de x para os quais y é negativo (y<0). Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz .

Há dois casos possíveis:

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1º) a > 0 (a função é crescente)y > 0       ax + b > 0         x > y < 0      ax + b < 0         x <

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz.

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2º) a < 0 (a função é decrescente)y > 0  ax + b > 0            x < y < 0  ax + b < 0        x >

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

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BIBLIOGRAFIA Matemática Completa – 2º grau – 1ª série

(Giovanni, Bonjorno)

Fundamentos da Matemática Elementar – volume 1

(Gelson Iezzi, Carlos Murakami)

Matemática - Volume Único (Marcondes Gentil Sérgio)

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EXERCICIOS 1ª) Descobrir a função do 1º grau que contém os pontos

(3,9) e (5,13) .

Solução: A função do 1º grau tem a forma y = ax + b . Vamos substituir nessa expressão os dois dados.

Substituindo ( 3,9 ) 9 = a . 3 + b Substituindo (5 , 13 ) 13 = a . 5 + bOrganizando essas equações, temos um sistema : 3a + b = 9 5a + b

= 13 Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equação e depois somar :

3 a + b = 9 . (-1) 5 a + b =13

-3 a – b = - 9 5 a + b = 132 a = 4 a = 2

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Substituindo a = 2 na primeira equação temos - 3 . 2 + b = -9 b = - 9 + 6 b = 3 Logo a função procurada e y = 2.x + 3

2º) Dado o gráfico da função de ℝ em ℝ, escreva a função f(x) = ax + b correspondente.

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Solução :Para encontrarmos a função necessitamos de dois pontos.

Olhando o gráficopodemos observar que os pontos onde a reta corta os eixos x

e y são fáceis dedeterminar sua coordenada. Assim os pontos, cujos pares

ordenados são (–3,0) e (0,4), pertencem à reta.Temos que encontrar os valores de a e b. Necessitamos

construir um sistema de equações com duas variáveis.0 = -3a + b (I)4 = 0a + b (II)Na segunda equação temos que b = 4, então substituímos o

valor de b na primeira temos0= - 3a + 4 a= 4/3Substituindo os valores de a e b em f(x) = ax + b

encontramos f(x) = 4/3x + 4 http://

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3º)Uma firma que conserta televisores cobra de visita uma taxa fixa de R$40,00 mais R$10,00 por hora de mão-de-obra. Sabendo-se que o preço a ser pago pelo conserto de um televisor é dado em função do número de horas de trabalho, encontre sua lei de formação. Quanto pagará um cliente por um conserto que durou 3 horas para ser realizado?

Solução:Há a cobrança de uma taxa de visita (R$40,00), valor

este que independe do tempo do conserto do televisor. Esta taxa é o termo constante b. A variável x será o tempo do conserto, assim, o valor de a (coeficiente de x) será igual a R$10,00 (valor cobrado por hora de mão-de-obra) A lei de formação ou função f(x) será o valor a ser pago por um conserto.

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Assim, a lei de formação será dada pela expressão f(x) = 10x + 40 Um cliente gastará por 3 horas de conserto o valor

de:f(3)=10.3+40f(3)= 10 . 3+40f(3) = 30+40f(3) = 70

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