Função afim - Matemática - Função Afim

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Função Afim Função Afim

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Page 1: Função afim - Matemática -  Função Afim

Função Função AfimAfim

Page 2: Função afim - Matemática -  Função Afim

Ao final dessa aula Ao final dessa aula você saberá:você saberá:

O que é uma função afim e todas as O que é uma função afim e todas as formas de representá-la.formas de representá-la.

Como identificar e construir gráficos da Como identificar e construir gráficos da função afim.função afim.

O que é coeficiente angular, coeficiente O que é coeficiente angular, coeficiente linear e zero da funçãolinear e zero da função

Identificar se uma função é crescente Identificar se uma função é crescente ou decrescente.ou decrescente.

Resolver sistemas através de Resolver sistemas através de gráficosgráficos

Resolver inequações do 1º grau. Resolver inequações do 1º grau.

Page 3: Função afim - Matemática -  Função Afim

O que é O que é função afimfunção afim??

É a função definida por uma É a função definida por uma expresão do expresão do 1º grau1º grau..

Exemplos:Exemplos: f(x) = x +1f(x) = x +1

y=y=5m

m

É apresentada na forma:

f(x) = ax + b

Page 4: Função afim - Matemática -  Função Afim

Como reconhecemos o Como reconhecemos o gráficográfico de uma função de uma função

afim?afim?O gráfico de uma função afim é O gráfico de uma função afim é sempresempre

uma uma retareta..

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5x

y

Os valores de x são as abscissas e os

valores de y são as ordenadas.

Page 5: Função afim - Matemática -  Função Afim

Como Como construímosconstruímos o o gráficográfico de uma de uma função afim?função afim?

Basta achar Basta achar dois pontosdois pontos que que pertençam à retapertençam à reta da função dada. da função dada.

Exemplo: Sendo a função f(x) = 2x + Exemplo: Sendo a função f(x) = 2x + 1.1.

1º passo: 1º passo: escolherescolher dois dois valoresvalores para para xx..

x = 0 e x = 1x = 0 e x = 1

Page 6: Função afim - Matemática -  Função Afim

f(0) = 2.0 + 1 = 1f(0) = 2.0 + 1 = 1

f(1) = 2.1 + 1 = 3f(1) = 2.1 + 1 = 3

Logo, temos que os pontos são Logo, temos que os pontos são (0,1)(0,1) e e (1,3)(1,3) Dessa forma

garantimos que esses pontos

pertencem à reta.

2º passo: 2º passo: calcularcalcular o o valorvalor de de yy para cada valor de para cada valor de x escolhido.x escolhido.

Page 7: Função afim - Matemática -  Função Afim

3º passo: 3º passo: marcarmarcar os os pontospontos no no gráfico.gráfico.

4º passo: 4º passo: ligarligar os os pontospontos..

1

1

3

2

x

y

Page 8: Função afim - Matemática -  Função Afim

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

Construa o gráfico da Construa o gráfico da função:função:

2

1x

y

Page 9: Função afim - Matemática -  Função Afim

SoluçãoSolução

1º passo: x = 3 e x = 51º passo: x = 3 e x = 5

2º passo: f(3) = 1 e f(5) = 2 2º passo: f(3) = 1 e f(5) = 2

3º e 4º passos: 3º e 4º passos:

x

y

1

1

2

2 3 4 5

Page 10: Função afim - Matemática -  Função Afim

O que é O que é coeficiente coeficiente angularangular??

É o É o valorvalor numérico numérico que multiplicaque multiplica a a

variável variável xx. Indica a . Indica a inclinação da inclinação da retareta

em relação ao eixo x.em relação ao eixo x.

Exemplo: Exemplo: y = 2x + 1 y = 2x + 1 a = 2 a = 2

y = x – 5 y = x – 5 a = 1 a = 1

Ou seja, é o valor de a na expressão:

y = ax + b.

Page 11: Função afim - Matemática -  Função Afim

O que é O que é coeficiente coeficiente linearlinear??

É o É o valorvalor de de b b em y = ax + b. em y = ax + b. IndicaIndica

o o valor de yvalor de y, onde a reta do , onde a reta do gráficográfico

corta o eixo das ordenadascorta o eixo das ordenadas. .

Exemplo:Exemplo: y = 2x + 1 y = 2x + 1 b = 1 b = 1

y = x – 5 y = x – 5 b = -5 b = -5

Page 12: Função afim - Matemática -  Função Afim

O que é O que é ZeroZero da da funçãofunção??

É o É o valor de xvalor de x onde a onde a reta do gráficoreta do gráfico

cortacorta o eixo das o eixo das abscissasabscissas..

Exemplos:Exemplos: y = 2x + 1 y = 2x + 1 0 = 2x + 1 0 = 2x + 1 x = -1/2x = -1/2

y = x – 5 y = x – 5 0 = x – 5 0 = x – 5 x = 5x = 5

Ou seja, o valor de x para y = 0.

Page 13: Função afim - Matemática -  Função Afim

Zero da função0 = 2x-1x = 1/2

f(x) = 2x – 1

f(0) = 2.0 -1 = -1

f(1) = 2.1 – 1 = 1

f(2) = 2.2 – 1 = 3

Coeficiente angular

x

y

1

1

2

2 3 4 5-1-1

3

Coeficiente linear

Coeficiente linear

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Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

I) Encontre y = f(x) sendo f uma função I) Encontre y = f(x) sendo f uma função polinomial do 1º grau, sabendo que f(-polinomial do 1º grau, sabendo que f(-6) = 8 e f(6) = 12.6) = 8 e f(6) = 12.

II) Seja f uma função real definida pela II) Seja f uma função real definida pela lei f(x) = ax – 3. Se 3 é raiz da função, lei f(x) = ax – 3. Se 3 é raiz da função, qual é o valor de f(10)?qual é o valor de f(10)?

Page 15: Função afim - Matemática -  Função Afim

III) (UF-AM) A função f definida por III) (UF-AM) A função f definida por

f(x) = -3x +m está representada f(x) = -3x +m está representada abaixo:abaixo:

Então o valor de Então o valor de é: é:

a) -1 b) 0 c) 1 d)a) -1 b) 0 c) 1 d) e) e)

)0(

)1()2(

f

ff

x

y

1

5

7

7

5

Page 16: Função afim - Matemática -  Função Afim

SoluçõesSoluçõesI) f(-6) = 8 e f(6) = 12I) f(-6) = 8 e f(6) = 12

y = ax + by = ax + b

ba

ba

612

68

20 = 2b20 = 2b

b = 10b = 10 8 = -6a + 10 8 = -6a + 10

-2 = -6a -2 = -6a

a = 1/3a = 1/3

Logo, f(x) = 1/3 x + 10

Page 17: Função afim - Matemática -  Função Afim

II) f(x) = ax - 3II) f(x) = ax - 3

f(3) = 3a - 3 = 0f(3) = 3a - 3 = 0

3a = 33a = 3

a = 1a = 1

f(x) = x – 3f(x) = x – 3

f(10) = 10 – 3f(10) = 10 – 3

f(10) = 7f(10) = 7

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III) f(x) = -3x + mIII) f(x) = -3x + m

f(1) = -3.1 + m = 0f(1) = -3.1 + m = 0

-3 + m = 0 -3 + m = 0 m = 3 m = 3

f(x) = -3x + 3f(x) = -3x + 3

f(0) = -3.0 + 3 = 3f(0) = -3.0 + 3 = 3

f(1) = -3.1 + 3 = 0f(1) = -3.1 + 3 = 0

f(2) = -3.2 + 3 = -3f(2) = -3.2 + 3 = -3

13

03

)0(

)1()2(

f

ff

Page 19: Função afim - Matemática -  Função Afim

Como identificamos se uma Como identificamos se uma função é função é crescentecrescente ou ou

decrescentedecrescente??Verificando o sinal do a em y=ax+b. Se Verificando o sinal do a em y=ax+b. Se aa

forfor negativo negativo, então a função é , então a função é decrescentedecrescente..

Se Se aa for for positivopositivo, então a função é , então a função é crescentecrescente..

Exemplos: Exemplos: y = -x + 2 y = -x + 2 a = -1 a = -1 função decrescentefunção decrescente

Y = ½ + 4 Y = ½ + 4 a = ½ a = ½ função crescentefunção crescente

Page 20: Função afim - Matemática -  Função Afim

Também podemos fazer a Também podemos fazer a análise gráfica:análise gráfica:

x

y

x

y

Função Função decrescentdecrescent

ee

Função Função crescentecrescente

Page 21: Função afim - Matemática -  Função Afim

Como resolvemos Como resolvemos sistemas sistemas através de através de

gráficosgráficos??Basta Basta traçartraçar os os gráficosgráficos das duas das duas

equações, no equações, no mesmo planomesmo plano cartesiano. Ocartesiano. O

resultadoresultado é o ponto de é o ponto de interseçãointerseção..

Exemplo:Exemplo:

Pontos da 1ª equação: (1,4) e (3,2)Pontos da 1ª equação: (1,4) e (3,2)

Pontos da 2ª equação: (0,2) e (-2,1)Pontos da 2ª equação: (0,2) e (-2,1)

42

5

yx

yx

Page 22: Função afim - Matemática -  Função Afim

Logo, S = (2,3)

x

y

1

1

2

2 3 4 5-1-1

3

4

-2

-2

I = (2,3)

Page 23: Função afim - Matemática -  Função Afim

Como é feito o Como é feito o estudo do sinalestudo do sinal de de

uma função?uma função?Seguindo os passos:Seguindo os passos:

1º passo: 1º passo: LocalizarLocalizar o o zero da funçãozero da função na reta real.na reta real.

2º passo: 2º passo: traçartraçar a a retareta do gráfico. do gráfico.

3º passo: 3º passo: analisamosanalisamos os os intervalosintervalos onde a função é onde a função é positiva positiva ou ou negativanegativa..

Page 24: Função afim - Matemática -  Função Afim

Exemplo: y = x - 2Exemplo: y = x - 2

1º passo: x – 2 = 0 1º passo: x – 2 = 0 x = 2 x = 2

2º passo: função crescente2º passo: função crescente

3º passo: y < 0, para x < 23º passo: y < 0, para x < 2

y = 0, para x = 2y = 0, para x = 2

y > 0, para x > 2 y > 0, para x > 2

x2

Page 25: Função afim - Matemática -  Função Afim

Como resolvemos Como resolvemos uma uma inequaçãoinequação do 1º do 1º

grau?grau?Fazendo o Fazendo o estudo do sinalestudo do sinal..

Exemplo: 2x – 7 > 0Exemplo: 2x – 7 > 0 zero da função: 2x – 7 = 0 zero da função: 2x – 7 = 0 x = 7/2 x = 7/2 a > 0 a > 0 função crescente função crescente

Resposta: Resposta:

x7/2

,27

Page 26: Função afim - Matemática -  Função Afim

E se for uma E se for uma inequação produtoinequação produto ou uma ou uma inequação inequação

quocientequociente??Se for uma Se for uma inequação produtoinequação produto devemosdevemos

fazer o fazer o estudo do sinalestudo do sinal de de cada fatorcada fator. . Se Se

for for inequação quocienteinequação quociente, devemos , devemos fazer o fazer o

estudo do sinalestudo do sinal do do dividendodividendo e do e do divisordivisor, ,

separadamente.separadamente.

Page 27: Função afim - Matemática -  Função Afim

Exemplos:Exemplos:

I) (x-2) (1-2x) ≥ 0I) (x-2) (1-2x) ≥ 0

x – 2 = 0 x – 2 = 0 x = 2x = 2 e 1 – 2x = 0 e 1 – 2x = 0 x = x = ½½

x1/2

x2

x21/2

+++ --------------------------

----------------------- +++++

-+-

S = [1/2 , 2]

Page 28: Função afim - Matemática -  Função Afim

II)II)

x + 3 = 0 x + 3 = 0 x = -3 e x – 1 = 0 x = -3 e x – 1 = 0 x = 1 x = 1

1,01

3

xx

x

+++++++++++++-------- x-3

x1

++++++--------------------

1x

-3

+-+

S=]-∞,-3[ U ]1,+ ∞[

Page 29: Função afim - Matemática -  Função Afim

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

(UFC-CE) O conjunto solução, nos (UFC-CE) O conjunto solução, nos númerosnúmeros

reais, da inequaçãoreais, da inequação é igual a: é igual a:1

1

1

x

x

3;)

2;)

1;)

0;)

1;)

xRxe

xRxd

xRxc

xRxb

xRxa

Page 30: Função afim - Matemática -  Função Afim

SoluçãoSolução

01

20

1

1101

1

11

1

1

xx

xx

x

x

x

x

1 + x = 0 x = -1

++++++++++++---------x

-1

S=]-1,+ ∞[

letra A