8/18/2019 FUNÇÃO CARACTERÍSTICA-Aula08

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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA

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Função Característica

A função característica de uma !a! X   "

de#nida como$

Assim %ara todo

&ara ari'eis a(eat)rias discretas a funçãocaracterística da !a!  X   " dada %or$

( ) ∫ +∞

∞−==Φ .)()(   dx x f ee E   X 

 jx jX 

 X 

ω ω 

ω 

,1)0(   =Φ X  1)(   ≤Φ   ω  X    .ω 

∑   ==Φk 

 jk 

 X    k  X  P e ).()(  ω ω 

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.2

1 )(

2

1

 

) que tal (fazendo 

2

1

2

1 

)(fazendo 2

1)(

)2/(

 

2/

2

2/

 2/))((

2

22

 )2(2/

2

 2/

2

 2/)(

2

222222

222

2222

22

ω σ  µω σ ω σ  µω 

σ ω σ ω σ  µω 

ω σ σ  µω σ ω  µω 

σ  µ ω 

πσ ω 

πσ 

ω σ ω σ 

πσ πσ 

 µ πσ 

ω 

−∞+

∞−

−−

∞+

∞−

−+−

∞+

∞−

−−∞+

∞−

−

∞+

∞−

−−

==Φ

=

+==−

==

=−=Φ

∫ ∫ 

∫ ∫ 

∫ 

 ju j X 

 ju ju j

 j y y j y y j j

 x x j X 

edueee

duee

 ju yu j y

dyeedyeee

 y xdxee

Se X " uma ari'e( a(eat)ria -aussiana comm"dia .ero e ari/ncia a funçãocaracterística " dada %or$

,2

1)(

22 2/

2

σ  

πσ  

 x

 X 

  e x  f     −=.)(  2/22ω  σ  

ω    −=Φ   e X 

ão característica de uma !a! 0aussiana 1 ),,(  2σ  µ  N  X 

 ,σ 2

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 a(eat)ria " tam,"m c2amada de função0eradora de momentos! &ara i(ustrar esta%ro%riedade3 considere a re%resentação em

s"rie de

 Tomando4se a %rimeira deriada com re(ação aω 3 no %onto

Simi(armente3 %ara a se0unda deriada

( )

.!

)(

!2

)(

)(1 

!

)(

!

)()(

22

2

00

  +++++=

=

==Φ   ∑∑

  ∞

=

∞

=

k k 

k 

k 

k k 

k 

k 

k  jX 

 X 

k 

 X  E 

 j

 X  E 

 j X  jE 

k 

 X  E  j

k 

 X  j E e E 

ω ω ω 

ω ω 

ω    ω 

.)(1

)(or)()(

00   ==   ∂

Φ∂

==∂

Φ∂

ω ω    ω 

ω 

ω 

ω   X  X 

 j X  E  X  jE 

,)(1

)(0

2

2

2

2

=∂

Φ∂

= ω ω 

ω  X 

 j X  E 

)(ωΦ X 

0=ω

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Re%etindo este %rocedimento k   e.es o,t"m4seo k-ésimo momento de  X, ou se5a$

C'(cu(o da m"dia e da ari/ncia de uma !a! X  com distri,uição de &oisson! ∼

.1 ,)(1

)(

0

≥∂

Φ∂=

=

k 

 j

 X  E k 

 X 

k 

k 

k 

ω ω 

ω 

,)(   ω λ λ  λ ω ω    ω   je X   jeee  j−=∂Φ∂

).(  λ  P  X  )1()(   −=Φ  ω λ ω 

  je

 X    e

λ ω ω 

ω =∂Φ∂= =0

)(1)(   X  j

 X  E 

( ) ,)()( 222

2ω λ ω λ λ  λ λ 

ω 

ω    ω ω   je je X  e je jeee j j

+=∂Φ∂   −

λ λ λ λ ω 

ω 

ω 

+=+=∂Φ∂

==

2222

2

0

2

2

2

2 )(1)(1

)(   j j j j

 X  E    X 

 λ λ λ λ E(X) ) E(X σ    =−+=−= 222226as3

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+ari'e( a(eat)ria com distri,uição ,inomia(

Função característica$

1)()(   −+=

∂Φ∂   n j j X  q pe jnpe   ω ω ω 

ω 

n j

 X    q pe   )()(   +=Φ  ω ω 

np j

 X  E    X  =∂

Φ∂==0

)(1)(

ω ω ω 

( )22122

2

)()1()()(   −− +−++=

∂

Φ∂   n j jn j j X  q pe penq peenp j   ω ω ω ω 

ω 

ω 

( ) .)1(1)(1

)( 22

0

2

2

2

2 npq pn pnnp j

 X  E    X  +=−+=∂Φ∂

==ω 

ω 

ω 

.)()(

2222222

npq pnnpq pn X  E  X  E  X    =−+=−=σ 

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Em a(0uns casos3 a m"dia e a ari/ncia %odenão e*istir! &or e*em%(o3 considere uma !a! deCauc27$

,)/(

)(22  x

 x  f   X +

=α  

π  α  

∫ ∫ 

  ∞+

∞−

∞+

∞− ∞=   

 

 

 

+−=+=

 

22

2 

22

22

,1)(   dx xdx x

 x

 X  E  α 

α 

π 

α 

α π 

α 

.)( 

22∫   ∞+

∞− +=   dx

 x

 x X  E 

α π 

α Aa(iando o (ado direito da inte0r

.

 

0 22

∫ 

  ∞+

+   dx x

 x

α     θ α tan= xfa.endo

,

2

coslogcoslog

cos

)(cos 

cos

sinsec

sec

tan

2/

0

2/

0

2/

0

2

0

2/

0 2222

−∞=−=−=−=

==+

∫ 

∫ ∫ ∫ ∞+

π θ 

θ 

θ 

θ θ 

θ θ θ α 

θ α 

θ α 

α 

π π 

π π 

d 

d d dx x

 x

Como as inte0rais não coner0em a m"dia e aari/ncia são inde#nidas!Ser' isto em se0uida um (imitante 8ue estima a

dis%ersão da !a! centrado em torno da m"dia!

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Desigualdade de Chebychev

Considere um intera(o de (ar0ura 9ε  

simetricamente centrado em torno da m"dia  µ  com mostrado na #0ura! :ua( " a %ro,a,i(idadede  X  ser encontrado fora deste intera(o;

Ou se5a

 Tomando4se a de#nição de ari/ncia

( ) ? ||   ε  µ  ≥− X  P  µ ε  2

ε  µ  −   ε  µ  + X 

 X 

[ ]

( ) .||)()( 

)()()()()(

2

||

2

||

2

||

2

 

222

ε  µ ε ε ε 

 µ  µ  µ σ 

ε  µ ε  µ 

ε  µ 

≥−≥≥≥

−≥−=−=

∫ ∫ 

∫ ∫ 

≥−≥−

≥−

∞+

∞−

 X  P dx x  f  dx x  f  

dx x  f   xdx x  f   x X  E 

 x  X 

 x  X 

 x

  X  X 

nto$

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O,sere 8ue3 %ara ca(cu(ar a %ro,a,i(idade3não 2' necessidade de se con2ecer

f  X (x)! > necess'rio con2ecer somente a

ari/ncia da !a! X. Em %articu(ar3 seentão$

( ) ,||2

2

ε 

σ ε  µ    ≤≥− X  P 

,2σ 

( ) .1

||2k 

k  X  P    ≤≥−   σ  µ 

,kσ ε =

Se k=3, a %ro,a,i(idade da !a! X serencontrada fora do intera(o ?σ  em torno desua m"dia " de @3 %ara 8ua(8uer !a!O,iamente 8ue este (imite não dee ser

ri0oroso 8uando se inc(ui todas as !a!Bs ! &ore*em%(o %ara uma !a! 0aussiana com

tem4se$

)1,0(   ==   σ  µ 

( ) .0027.03|| =≥   σ  X  P