funçao de varias variaveis exercicio ufcg

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  • 8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg

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    Captulo 4

    Funes de duas variveis

    4.1 Funes de varias variveis - Definio e exemplos

    Definio 1: Chamamos de funo real com n variveis a uma funo do tipo

    f : D R com D Rn = R R.

    Ou seja, uma funo cujo domnio D (ou D(f)) um subconjunto de Rn e seu contra-

    domnio R.

    Exemplo:

    1. f : R2

    R, (x, y)

    2x + 3y

    D = R, uma funo real de duas variveis ( tambm uma funo linear).

    2. f : R3 R, (x, y, z) x2 + 3y + z

    D = R3, uma funo real de trs variveis ( tambm uma funo polinomial)

    3. f : R3 {(0,0,0)} R, (x, y, z) 2xx2 + y2 + z2

    D = R3{(0,0,0)} R3 uma funo real de trs variveis ( tambm uma funo

    racional, isto , quociente de duas funes polinomiais).

    Usamos, tambm, a notao ( mais resumida) para representar funes reais de n variveis;

    y = f(x1, , xn)

    Neste caso D(f) o conjunto D(f) = {(x1, , xn) Rn; f(x1, , xn) R}

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    4.2 Domnio - Representao Grfica

    Exemplo : Determine e represente geometricamente os domnios das funes

    1. f(x, y) = 3x2 + 1

    D(f) = R2

    O x

    y

    Representao grfica

    Figura 1

    2. f(x, y) =3x2 1

    x2 + y2 + 1

    x2 + y2 + 1 = 0, no tem soluo, logo D(f) = R2.

    Representao grfica: Figura 1

    3. f(x, y) =3x2 + y

    x2 + y2

    x2 + y2 = 0. Como x2 0 e y2 0 entox2 + y2 = 0 x2 = 0 e y2 = 0 x = 0 e y = 0.Logo D(f) = R2

    {(0,0)

    }.

    x

    y

    O

    Representao grfica

    4. f(x, y) =x3

    x yD(f) = {(x, y) R2; x y = 0},ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz.

    x

    y

    O

    Representao grfica

    y=x

    Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 41

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    5. f(x, y) =2x + y

    x2 yD(f) = {(x, y) R2; x2 > y}

    x

    y

    O

    Representao grfica

    y=

    x2

    6. f(x, y) = ln

    x yy 1

    D(f) =

    (x, y) R2; x yy 1 > 0

    equivalente a x y > 0 e y 1 > 0ou x

    y < 0 ou y

    1 < 0.

    x

    y

    O

    Representao grfica

    y=x

    y = 1

    7. f(x, y) = arcsec(x2 + y2)

    D(f) = {(x, y) R2; x2+y2 1 ou x2+y2 1},ou melhor, como x2 + y2 1 no ocorre paranenhum (x, y) R2,D(f) = {(x, y) R2; x2 + y2 1}.

    x

    y

    O

    Representao grfica

    8. f(x, y) = arccos

    x2 +y2

    4

    D(f) = {(x, y) R2; 1 x2 + y2

    4 1}, ou

    melhor, como

    1

    x2 +

    y2

    4

    para todo (x, y)

    R

    2

    D(f) = {(x, y) R2; x2 + y2

    4 1} x

    y

    Representao grfica

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    4.3 Construo de grficos e curvas de nvel

    Grfico

    Definio: Dado uma funo f : D B seu grfico o conjunto {(a, f(a); a D}.No caso de funes reais de uma varivel temos:

    f : D R; D R seu grfico uma curva do R2.

    Para uma funo de duas variveis

    f : D R, D R2

    (x, y) f(x, y)O grfico da funo f uma superfcie de R3.

    Exemplo: A esfera x2 + y2 + z2 = 1 uma superfcie de R3 que no grfico de funo

    z = f(x, y).Da equao da esfera tem-se,

    z =

    1 x2 y2

    Sejam as funes f(x, y) =

    1 x2 y2 eg(x, y) = 1 x2 y2D(f) = D(g) = {(x, y) R2; x2 + y2 1}(O crculo x2 + y2 = 1 e seu interior)

    O grfico de f a semi-esfera superior (z 0)e o grfico de g a semi-esfera inferior (z 0).

    Curvas de nvel

    Um recurso auxiliar para esboar grficos so as curvas de nvel da funo.

    Definio: Dados uma funo z = f(x, y) e k R, a curva de nvel de f em z = k oconjunto {(x, y) R2; f(x, y) = k}. Ou seja, o conjunto dos elementos do domnio de

    f que possuem imagens igual a k. tambm a interseco do grfico de f com o plano(paralelo a XOY ) de equao z = k

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    Exemplo 1: Determine e esboce a curva de nvel de f(x, y) =y

    xem z = 2.

    A curva de nvel o conjunto dos pontos (x, y) R2que satisfazem a

    2 =y

    x y = 2x com x = 0. Ou seja, trata-se da reta

    de equao y = 2x exceto o ponto (0,0) x

    y

    Representao grfica

    Exemplo 2: Dada a funo

    f(x, y) =x

    y2 1determine e represente seu domnio e as suas curvas de nvel.

    D(f) = {(x, y) R2; y = 1 e y = 1} (ou seja, todoo plano exceto as retas y = 1 e y = 1).

    x

    y

    Representao grfica

    Curvas de nvel

    Seja a equao xy2 1 = k que equivalente a x = k(y

    2 1) com y = 1 e y = 1.Para k = 0, temos a parbola x = k(y2 1) com exceo dos pontos (0, 1) e (0,1)Para k = 0 temos x = 0 com y = 1 e y = 1, ou seja, o eixo OY exceto os pontos

    (0,1) e (0, 1).

    x

    y

    Representao grfica

    k 0

    x

    y

    k < 0Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 44

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    x

    y

    kk

    k > 0

    Representao grfica das curvas de nvel

    Como todas as curvas de nvel so crculos com centros em (0,0) conclu-

    mos que o grfico de f(x, y) uma superfcie de revoluo em torno de

    OZ.

    iii) Intersees com os planos coordenados.

    XOY : J foi obtido, corresponde curva no nvel z = 0.

    XOZ : Fazendo y = 0 na equao z = x2 + y2. obtm-se z = x2, equao de

    uma parbola

    Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = x2 + y2. obtm-se z = y2, a parbola

    obtida em XOZ.

    Conclumos que o grfico um parabolide de revoluo

    II) Grfico de f

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    Exemplo 1.2 f(x, y) = 1 y2

    i) D(f) = R2

    Representao grfica de D(f) : Figura 1

    ii) Curvas de nvel

    Seja a equao 1

    y2 = k. Extraindo o valor de y temos y =

    1

    k

    Logo, para k > 1 (isto , 1 k < 0 ) a curva de nvel correspondente o vazio. Para k = 1 temos y = 0 e x qualquer. Ento a curva de nvel o eixo OX.

    Para k < 1, y assume os dois valores de () e x qualquer. Ento a curva denvel constituda das duas retas paralelas a OX, y = 1 k e y = 1 k.

    x

    y

    1 k

    1 k

    Representao grfica das curvas de nvel

    iii) Interseces com os eixos coordenados

    XOY : z = 0 1 y2 = 0 y = 1. Ou seja, as duas retas y = 1 ey = 1.

    XOZ : y = 0

    1

    02 = z

    z = 1. Ou seja, a reta z = 1.

    Y OZ : x = 0 1y2 = z. Neste caso, no plano Y OZ, temos uma parbola.

    II) Grfico: Trata-se de uma superfcie cilndrica de geratrizes paralelas ao eixo OX

    tal que a parbola do plano Y OZ de equao z = 1 y2 uma diretriz ( o queacontece com funes que independem de uma das variveis x ou y )

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    x

    y

    k

    k

    k > 0

    k > 0

    kk

    k < 0k < 0

    Representao grfica das curvas de nvel

    iii) Interseces com os planos coordenados

    XOY : J foi obtido, corresponde curva no nvel z = 0.

    XOZ : Fazendo y = 0 na equao z = y2 x2. obtm-se z = x2, equaode uma parbola

    Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = y2 x2. obtm-se z = y2, equao deuma parbola

    II) Grfico: Trata-se do parabolide hiperblico

    Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 49

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    Exemplo 1. 4 f(x, y) = ln

    x2

    9+ y2

    i) D(f) = {(x, y) R2; x2

    9+ y2 > 0} =

    R2

    {(0,0)

    }.

    O x

    y

    Representao grfica

    Figura 1

    ii) Curvas de nvel

    Seja a equao

    ln

    x2

    9+ y2

    x2

    9+ y2 = ek

    Como ek maior que zero para todo k, ento a curva de nvel em z = k a elipse

    de equaox2

    (3ek/2)2+

    y2

    (ek/2)2= 1

    cujo semi-eixo no eixo OX sempre trs vezes maior que e o semi-eixo no eixo OY.

    Representao grfica

    (Ou seja, "quase"uma superfcie de revoluo)

    iii) Interseces com os planos coordenados

    XOY : Significa a curva de nvel em z = 0, ou seja a elipse de equao

    x2

    (3)2+ y2 = 1

    Representao grfica: Veja figura anterior

    XOZ: Fazendo

    y= 0 na equao

    z= ln

    x2

    9 +y2

    = 1

    obtm-se z = ln

    x2

    9

    = 2ln |x| ln 9Representao grfica

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    Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = ln

    x2

    9+ y2

    = 1

    obtm-se z = ln (y2) = 2ln |y|Representao grfica

    II) Grfico

    OBS: Dada a funo z = f(x1, , xn) a superfcie de nvel de f em z = k definida demodo anlogo s curvas de nvel para n = 2.

    Exemplo : Determine e represente graficamente as superfcies de nvel da funo

    f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

    Seja a equao

    x2 + y2 + z2 = k

    Se k > 0 ento temosx2 + y2 + z2 = (

    k)2

    a equao de uma esfera de centro em (0,0,0) e raio

    k.

    Se k = 0 ento temos o ponto (0,0,0).

    Para Se k < 0 a superfcie de nvel o vazio.

    Representao grfica das superfcies de nvel

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    4.3.1 Exerccios

    [1] Determine o domnio de cada uma das funes abaixo e represente-o graficamente:

    (1.1) f(x, y) =1

    x2 1 +

    y x2 (1.2) f(x, y) = y2 4 ln (x y)

    (1.3) f(x, y) = ln (x2 y2) (1.4) f(x, y) = ln x2 + y2 1

    x

    (1.5) f(x, y) = arccos(x y) (1.6) f(x, y) = arcsec x2

    4+ y2

    [2] Determine o domnio; determine e trace as intersees do grfico com os planos coor-

    denados; determine e trace as curvas de nvel; e esboce o grfico das funes:(2.1) f(x, y) = 16 x2 y2 (2.2) f(x, y) = 9x2 + 4y2

    (2.3) f(x, y) = x2 (2.4) f(x, y) =1

    1 + y2

    (2.5) f(x, y) = 8 2x 4y (2.6) f(x, y) = 4x2 + 4y2

    (2.7) f(x, y) = 4

    x2 + y2

    [3] Descreva as curvas/superfcies de nvel da cada funo:

    (3.1) f(x, y) = e4x2y2

    (3.2) F(x, y, z) = 2x + 3y + 6z(3.3) F(x, y, z) = x2 y2 + z2

    Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 52