Patricia Figuereido de Sousa - Engenharia Civil

Função do 1° Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2

Equações do primeiro grau

Equação é toda sentença matemática aberta queexprime uma relação de igualdade. A palavra equaçãotem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual”.

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Exemplos:

Determine o valor de 𝑥 :

1. 2𝑥 − 4 = 0

2. 𝑥 + 3 = 2𝑥 − 1

3.𝑥+2

3=

2𝑥+1

5

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Funções

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• Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como:

“Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da

outra”.

• A ideia de um fator variar em função do outro e de se

representar essa variação por meio de gráficos, de certa

forma, já se tornou familiar em nossos dias.

Domínio de uma função

Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função, pois representa as entradas paraa função f. Ou seja, os valores que podem ser usadosna função. O domínio da função indicaremos porD(f).

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0.

1.

2.

3.

.0

.2

.4

.6

.1

.3

.5

A B

Imagem de uma função

Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos osvalores de y obtidos através de x é chamado deconjunto imagem da função f. Ou seja, ele é oresultado de f(x), que representa os valores reaisobtidos quando aplicamos um x do domínio nafunção e é indicado por Im(f).

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0.

1.

2.

3.

.0

.2

.4

.6

.1

.3

.5

D(f) Im(f)

Função do 1° grau

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Se (A,B) pertence a uma função 𝑓, o elemento B é chamado

imagem de A pela aplicação de 𝑓 ou valor de 𝑓 no elemento

A.

f: 𝐴 → 𝐵

BAf )(

Lê-se: f é função de A em B.

𝑦 = 𝑓(𝑥) Lê-se: 𝑦 é função de 𝑥, com x ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵.

Função do 1° grau

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A remuneração de um vendedor de uma loja é feita em duas

parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável,

correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas

realizadas na semana.

𝑅(𝑥) = 500 + 0,12. 𝑥

Função polinomial do 1º Grau f:ℝ → ℝ, sendo

f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com a, b ∈ ℝ e a≠0.

Função do 1° grau

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2

3f d)

)3f( c)

f(-3) b)

f(2) a)

:Calcule .23)(por definida em de função a Seja

xxfRRf

Funções do 1° Grau

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• Características importantes da função do 1º grau:

• Coeficiente angular: o coeficiente a é denominado

coeficiente angular.

• Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado

coeficiente linear.

A função do primeiro grau é crescente em ℝ quando 𝑎 > 0e decrescente em ℝ quando 𝑎 < 0.

Função Crescente e Decrescente

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Determine se a função é crescente ou

decrescente:

a)y = 3x+2

b)y = - (x+3) + (x+9)

c)y = -x/3

Funções do 1° Grau

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• Para função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4.

• O coeficiente angular 𝑎 é o número 2;

• O coeficiente linear 𝑏 é o número 4.

• Como a>0, a função é crescente em ℝ.

• Para função 𝑓 𝑥 = −2

3𝑥 +

1

2.

• O coeficiente angular 𝑎 é o número −2

3;

• O coeficiente linear 𝑏 é o número 1

2.

• Como a<0, a função é decrescente em ℝ.

Casos Particulares

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Função Linear: a função polinomial do 1º grau em que otermo 𝑏 é nulo (𝑏 = 0) passa a ser chamada de funçãolinear e tem forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥.

Exemplo:

𝑦 = 3𝑥

𝑦 = −2

3𝑥

𝑦 = 2𝑥

A função linear sempre é representada por uma reta!

Casos Particulares

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Função Identidade: a função polinomial do 1º grau em que otermo 𝑏 é nulo (𝑏 = 0) e 𝑎 = 1 passa a ser chamada defunção identidade e tem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑥.

Casos Particulares

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Função Constante: Caso o termo 𝑎 seja nulo (𝑎 = 0) naexpressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑏 ∈ ℝ, a função 𝑓 não é umafunção do primeiro grau e tem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑏.

Exemplo:

𝑓 𝑥 = 3 𝑦 = 7

𝑦 = 0 𝑓 𝑥 = −1

4

Função Afim, Definição:

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.0 com a epertencent )(

elemento o associadoestiver a epertencent

elemento cada a quando ' afim função'

de nome o recebe em de aplicação Uma

aRbax

R

x

RRf

Função Afim, Definição:

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0a b,ax x

RR:f

𝑎 é o coeficiente angular da reta.

Praticando!

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1) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto

(1,3) e tem coeficiente angular igual a 2.

2) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto

(-2,1) e tem coeficiente linear igual a 4.

Praticando!

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1) Obtenha a equação da reta com coeficiente angular

igual a -1/2 e passando pelo ponto (-3,1).

2) Obtenha a equação da reta com coeficiente linear igual

a -3 e passando pelo ponto (-3,-2).

Raiz ou Zero da função

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Raiz ou zero da função é um valor do seu domínio cuja

imagem é zero.

Em resumo, é o valor de 𝑥 para que 𝑦 seja nulo (𝑦 = 0).

Sendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, tem-se:

𝑥 é zero ou raiz de 𝑓 ↔ 𝑓 𝑥 = 0

Assim, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, que apresenta uma única solução, nos

leva a 𝑥 = −𝑏

𝑎para 𝑎 ≠ 0.

Raiz ou Zero da função

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Exemplo:

Seja a função 𝑦 = 2𝑥 − 4.

Para obtermos sua raiz ou zero, faremos 𝑦 = 0.

2𝑥 − 4 = 0 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2

Taxa de variação média ou inclinação

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• Considerando uma função numérica 𝑓, sendo𝑥1 e 𝑥2 dois elementos de seu domínio e 𝑥2 >𝑥1.

• A taxa de variação média entre 𝑥1e 𝑥2 dafunção 𝑓 em relação a 𝑥 pode ser expressa

pelo quociente:𝐴

𝐵=

𝑦2−𝑦1

x2−x1.

Taxa de variação média ou inclinação

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Assim, uma função do 1º grau tem como taxa devariação:

𝐴

𝐵=𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

O coeficiente 𝑎 édenominado taxa devariação oucoeficiente angular.

Taxa de variação média ou inclinação

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O estudo dos sinais da função do 1º grau, 𝑦 =𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), consiste em saber para quevalores de 𝑥:

• 𝑦 > 0;

• 𝑦 = 0;

• 𝑦 < 0.

Estudo do sinal

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Função Crescente:𝑦 = 2𝑥 − 4

Para 𝑥 = 0; 𝑦 = −4.

Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 2.

Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0;Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0;Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.

Estudo do sinal

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Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0;

Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0;

Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.

• A Função Crescente assume:

• Valores positivos para todo 𝑥 > −𝑏

𝑎;

• Valor zero para 𝑥 = −𝑏

𝑎;

• Valores negativos para todo 𝑥 < −𝑏

𝑎

Estudo do sinal

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Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0;

Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0;

Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.

Função Decrescente:𝑦 = −3𝑥 + 9

Para 𝑥 = 0; 𝑦 = 9.

Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 3.

Para 𝑥 < 3, temos 𝑦 > 0;Para 𝑥 = 3, temos 𝑦 = 0;Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 < 0.

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Obrigada!!!

Obrigada pela atenção!

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