Função do 1º grau

Exemplo 1

Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré – estabelecido. Vamos determinar:

a) A função correspondente a cada plano. b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem.

a) Plano A: f(x) = 20x + 140 Plano B: g(x) = 25x + 110 b) Para que o plano A seja mais econômico:

g(x) > f(x) 25x + 110 > 20x + 140 25x – 20x > 140 – 110 5x > 30 x > 30/5 x > 6

Para que o Plano B seja mais econômico: g(x) < f(x) 25x + 110 < 20x + 140 25x – 20x < 140 – 110 5x < 30 x < 30/5 x < 6

Para que eles sejam equivalentes: g(x) = f(x) 25x + 110 = 20x + 140 25x – 20x = 140 – 110 5x = 30 x = 30/5 x = 6

O plano mais econômico será: Plano A = quando o número de consultas for maior que 6. Plano B = quando número de consultas for menor que 6.

Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.

Exemplo 2

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine:

a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; b) Calcule o custo de produção de 400 peças.

Respostas

a) f(x) = 1,5x + 16

b) f(x) = 1,5x + 16 f(400) = 1,5*400 + 16 f(400) = 600 + 16 f(400) = 616

O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.

Exemplo 3 Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros?

f(x) = 0,9x + 4,5 f(22) = 0,9*22 + 4,5 f(22) = 19,8 + 4,5 f(22) = 24,3

O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30.

MÁXIMO E MÍNIMO ABSOLUTOS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c com a, b e c números reais,

sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada

através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja: 

No estudo da função do 2º grau percebemos que seu gráfico é uma parábola e que esse gráfico apresenta pontos notáveis e de bastante aplicação na vida cotidiana e no estudo de outras ciências. Esses pontos são: as raízes da função e o vértice da parábola. As raízes determinam quais os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (eixo x); o vértice pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função, ou seja, o maior ou o menor valor que a função pode assumir em todo o seu domínio.

Iremos fazer um estudo dos pontos de máximo e mínimo absolutos da função do 2º grau e compreender sua utilidade nos contextos mais diversos.

Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de acordo com o coeficiente a. Ou seja,

Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo;Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima;

Sabemos também que o valor de Δ = b2 – 4ac determina quantos pontos a parábola intercepta o eixo x. Ou seja,Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos;Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x;Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto;

Vimos anteriormente que o vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola.

Se a concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto.Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto.

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:

Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice

da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas: 

O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras. 

Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis. Biologia: na análise do processo de fotossíntese. Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos. 

Exemplo 1: Dadas as funções abaixo, determine se elas possuem ponto de máximo ou mínimo absoluto e as coordenadas desses pontos.a) f(x) = 3x2 – 4x + 1

Solução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. Portanto, o gráfico da função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isso implica que a função apresenta um ponto de mínimo absoluto. Vimos que esse ponto é o vértice da parábola e para determinar suas coordenadas utilizamos as fórmulas:

Dessa forma, o ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola, tem coordenadas:

Exemplo 2.

O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = – 5x 2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:

a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.

Solução: Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) = – 5x2 + 100x – 80, é uma função do 2º grau, percebemos que a = – 5 < 0. Isso implica que a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada para baixo, tendo, portanto, um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola. O lucro máximo da empresa será dado pelo Yv (coordenada y do vértice). Assim, teremos:

Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00.

b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.

Solução: O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pelo

Xv (coordenada x do vértice). Teremos:

Concluímos que a fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado.

Exemplos 

1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que 

a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as

coordenadas do vértice da parábola. 

As coordenadas do vértice são (1, 0).

2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui

concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados

da seguinte maneira: 

As coordenadas do vértice são (-0,5; 3,25). 

01) Segundo afirmam os fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto para um indivíduo sadio em repouso, varia em função da temperatura ambiente T, em graus Celsius , e é dado pela função: N(T)= (0,1) T² - 4T + 90. 

a) Essa função possui máximo, ou mínimo?

b)A que temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e em repouso será 90?

c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto com refrigeração de 20ºC, qual será o número de batimentos cardíacos por minuto?

02) Um menino chutou uma bola que atingiu uma altura máximo de 12 metros e voltou ao solo em 8 segundos após o chute. Sabendo  que uma função quadrática expressa a altura y da bola em função do tempo t de percurso encontre tal função. Construindo o gráfico da função pelos dados teremos:

03)  Um projétil é lançado verticalmente, para cima e sua trajetória é uma curva de equação  s = - 40 t2 + 200t, onde s é o espaço percorrido, em metros, em t segundos. Encontre a  altura máxima atingida por esse projétil, em metros. Represente graficamente essa trajetória.

A altura máxima será o “y” do vértice.

Assim a altura máxima atingida é 250 metros.

Para desenhar o gráfico dessa função sabemos que a concavidade dessa parábola é para baixo e que a parábola intercepta o eixo de origem pois o termo independente “c” é nulo. Portanto uma das raízes será zero. Encontremos a outra raiz colocando “t” em evidência em

Para encontrar as raízes (ou zeros da função) devemos igualar “s” a zero:

Vamos também encontrar o tempo onde o projétil atinge sua altura máxima, ou seja, o “x” do vértice:

Ou seja, dois segundos e meio após o lançamento o projétil atinge a altura máxima de 250 metros. Para termos certeza disso podemos substituir t = 2,5 segundos em  

04) Um teste que avaliou o consumo de gasolina de uma nova motocicleta revelou que, quando a velocidade está no intervalo de 50km/h, a distância “d”, em km, percorrida por litro de gasolina, em função da velocidade “v”, em km/h, é dada por d(v) = –v²/150 +16v/15. Encontre a velocidade, no intervalo considerado, onde se dá a maior economia de combustível e após construa o gráfico dessa função.

Essa função representa a distância máxima percorrida em função de uma velocidade, ou seja, haverá velocidades onde a motocicleta irá percorrer menores distâncias e em outras maiores devido à economia de combustível. Portanto coma  velocidade de 80km/h a motocicleta irá percorrer a maior distância (“y” do vértice) sendo assim a velocidade de maior economia. Vamos agora construir o gráfico da função. Encontremos as raízes da função. Como não há termo independente nessa função já sabemos que o gráfico corta a origem e a concavidade é para baixo pois o termo “a” é negativo.

O gráfico então fica:

Resolução

a) O tempo no qual o objeto atingirá a altura máxima é o xV.h(t) = 5t2 + 20t

 

Resposta: t = 2 s

b) Resposta: hmáx = 20 mc) No solo h = 0   – 5t2 + 20t = 0t = 0 ou t = 4Resposta: 4s03. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = –x2 + 30x – 5, onde x é a quantidade mensal vendida.a) Qual o lucro mensal máximo possível?b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?Resolução

a) Lucro máximo = yV

b) Para que o lucro seja 195 devemos ter:195 = –x2 + 30x – 5   –x2 + 30x –200 = 0x = 10 ou x = 20

04. (Unirio-RJ) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula:

m(t) = –32t – 3t+1 + 108

Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente é:

a) inferior a 15 minutos.b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos.e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.

Resolução

m(t) = –32t – 3t+1 + 108 = – 32t – 3t· 31 + 108

m (t) = –(3t)2 – 3 · (3t) + 108

Quando o material estiver todo volatilizado teremos que a massa do material, no estado sólido ou líquido, será igual a zero. Assim,

–(3t)2 – 3 · (3t) + 108 = 0, fazendo 3t = x

–x2 – 3 · x + 108 = 0   x = 9 ou x = –12(n.c.)

x = 9   3t = 9 ou 3t = 32   t = 2

Analisando o gráfico, observamos que 10   x  20Resposta: 10   x   20

t = 2 horas = 120 minutos

Resposta: E

05. (Faap-SP) Supondo que no dia 5 de dezembro de 1995, o Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às 14 horas, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo “t” medido em horas, dada por f(t) = –t2 + bt – 156, quando 8 < t < 20.

Obtenha o valor de b.

a) 14 b) 21 c) 28d) 35e) 42

Resolução

O horário da temperatura máxima corresponde à abscissa do vértice. Assim,

b = 28Resposta: C06. (Faap-SP) Com os dados do problema anterior, pode-se afirmar que a temperatura máxima atingida no dia 5 de dezembro de 1995 foi:a) 40b) 35c) 30d) 25e) 20

Resolução

A temperatura máxima ocorreu às 14 horas, logotmáx = f(14) = – (14)2 + 28 · 14 – 156 = 40.Resposta: A07. (ITA-SP) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em mols) após 2,5 segundos é:Tempo (s)            Concentração (mols)    1                                    3,00    2                                    5,00    3                                    1,00

Resolvendo o sistema, encontramos:a = –3 ; b = 11 e c = –5Portanto f(x) = –3x2 + 11x – 5. Para x = 2,5, temos:f(2,5) = –3 · (2,5)2 + 11 · (2,5) · 5 = 3,75Resposta: D 

08. Álgebra do vôo à Lua.Muita gente manifesta o temor de que seja extremamente difícil acertar exatamente num alvo sideral tão diminuto, já que o diâmetro da Lua é percebido por nós sob um ângulo de apenas meio grau. No entanto, examinando-se o problema com mais vagar, verifica-se que o objetivo proposto será sem dúvida alcançado, se se conseguir que o foguete ultrapasse o ponto em que a força de atração da Terra e da Lua são equivalentes. Uma vez conseguido isso, a nave cósmica avançará inexoravelmente na direção da Lua, impulsionada pela força de atração desta. Busquemos esse ponto de atração equivalente.De acordo com a lei de Newton, a força de atração recíproca de dois corpos é diretamente proporcional ao produto das massas que se atraem, e inversamenteproporcional ao quadrado da distância que as

separa . Se denotarmos por M a

a) 3,60               d) 3,75b) 3,65               e) 3,80c) 3,70

Resolução

Como a “linha” é uma parábola, a função que relaciona a concentração com o tempo é uma função do 2oGrau:f(x) = ax2 + bx + c. Sabemos ainda que f(1) = 3; f(2) = 5 e f(3) = 1. Assim,

massa da Terra, m’ a massa da espaço-nave e por x a distância entre ela e o foguete, a força com que a Terra atrai cada grama de massa da espaço-nave se exprimirá por

 

A força com que a Lua atrai cada grama do foguete nesse mesmo ponto será mG/(d – x)2, onde m é a massa da Lua e d a distância que a separa da Terra, na pressuposição de achar-se o foguete sobre a reta que une os centros da Lua e da Terra. O problema exige que