Função do 2º grau

Aula 3

RANILDO LOPES

Definição

Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como:

Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:

a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero.

b e c deve pertencer ao conjunto dos reais.

Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é:

• f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a pertencendo aos R*, e b e cpertencendo aos R.

Exemplo

Veja alguns exemplos de função do 2º grau:

122 xxxf

1

2

1

c

b

a

xxxf 22 2

0

2

2

c

b

a

2xxf

0

0

1

c

b

a

2

53 2

xxxf

2

5

2

1

2

3

c

b

a

cbxaxxf 2

Domínio e contradomínio

A função do 2º grau f(x) = x2 + 2x - 1 pode ser representada por y = x2 + 2x - 1.

Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.

Vamos dizer que x = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2.

122 xxxf

132332

f

1693 f

23 f

122 xxxf

122222

f

1442 f

12 f

122 xxxf

112112

f

1211 f

21 f

122 xxxf

102002

f

1000 f

10 f

122 xxxf

112112

f

1211 f

21 f

122 xxxf

122222

f

1442 f

72 f

Raízes de uma equação do 2º grau

Formula de Bhaskara

a

bx

2

cbxaxxf 2 2 raízes !

acb 42

a

bx

a

bx

x

2

2

"

'

Exemplo

2x² + 7x + 5 = 0

5

7

2

c

b

aacb 42

52472

4049

9

a

bx

2

a

bx

2

'

2.2

97

4

37

4

4 1' x

a

bx

2

''

2.2

97

4

37

4

10

2

5" x

Exemplo

3x² + x - 2 = 0

2

1

3

c

b

aacb 42

23412

241a

bx

2

a

bx

2

'

3.2

251

6

51

6

4 3

2' x

a

bx

2

''

3.2

251

6

51

6

6 1" x

Equações do 2º grau incompletas

4x² = 0

Tem duas raízes nulas.

4x² - 8 = 0

Tem duas raízes:

4x² + 5 = 0

Não tem raízes reais.

4x² - 12x = 0

Tem duas raízes reais: x’ = 3, x” = 0

22 "' xex

Gráfico de uma função do 2º grau

O gráfico da função definida de em por:

f(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)

É uma curva chamada parábola.

Dependendo do sinal do coeficiente a

a > 0 concavidade voltada para cima.

a < 0 concavidade voltada para baixo

A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.

Observações

Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função.

Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:

Δ > 0 A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.

Δ = 0 A parábola tangencia o eixo Ox.

Δ < 0 A parábola não corta o eixo Ox.

Observações

Levando em conta o sinal do coeficiente a e o discriminante Δ, são estas as possibilidades para o gráfico da função de 2º grau:

Pontos notáveis

Para construir o gráfico da função de 2º grau, é importante você determinar alguns pontos da parábola.

Calcule as raízes, se existirem.

Determine as coordenadas do vértice, as quais são calculadas por:

Lembre-se de que o gráfico corta o eixo Oy na imagem de 0, isto é, f(0). A ordem desse ponto é o coeficiente c.

f(x) = ax2 + bx + c → f(0) = c

aYe

a

bX vv

42

aYe

a

bX vv

42

a

bx

2

acb 42

Máximos e mínimos

Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente a.

Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola.

Sendo f(x) = ax2 +bx + c, a ≠ 0 Vamos denotar o valor máximo de f(x) por f(x)máx

Valor mínimo por f(x)min.

Exercícios

1) Resolver as equações e esboçar os gráficos:

x² + 6x + 9 = 0

3x² - x + 3 = 0

2x² - 2x - 12 = 0

3x² - 10x + 3 = 0

2) Análise do máximo ou mínimo de funções de 2º grau:

f(x) = 2x2 – 8x + 3

f(x) = - x2 – 6x + 11

3) Resolva a equação abaixo e esboçe seu gráfico:

x2 – 2x +1 =(3x - 5)(4 - x)

4) Dada a função y = 2x2 + 3x - 2. Determine as coordenadas do vértice e diga se o vértice é máximo ou mínimo da função.

5) Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.