FUNÇÃO DO 2º GRAU

OU

FUNÇÃO QUADRÁTICA

RANILDO LOPES

DEFINIÇÃO:

A função f: IR em IR dada por

f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c

reais e a ≠ 0, denomina-se

função quadrática ou função

do 2º grau.

São exemplos de função de função do 2º grau:

f(x) = x² - 4x – 3, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3

f(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0 e c = - 9

f(x) = 6x², onde a = 6, b = 0 e c = 0

f(x) = - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0

Ex.: Considere a função do 2º grau f(x) = ax² + bx + c. Sabendo que

f(0) = 5, f(1) = 3 e f(- 1) = 1, calcule os valores de a, b e c e escreva

a função f.

Solução:

Inicialmente iremos substituir o valor de x e f(x) na

função f(x) = ax² + bx + c. Assim:

f(0) = a.0² + b.0 + c, como f(0) = 5 vem que:

C = 5

f(1) = a.1² + b.1 + c

a + b + c = 3, substituindo o valor de c fica:

a + b + 5 = 3

a + b = - 2

f(- 1) = a.(- 1)² + b(- 1) + c

a – b + c = 1

a – b + 5 = 1

a – b = - 4

Resolvendo o sistema:

4

2

ba

ba

3

2

6

62

4

2

a

a

a

ba

ba

Substituindo o valor de a em uma das equações teremos:

1

32

23

2

b

b

b

ba

Portanto os valores de a = - 3, b = 1 e c = 5. A função tem sua

representação algébrica f(x) = - 3x² + x + 5

GRÁFICO DA FUNÇÃO

DO 2º GRAU

Para construir o gráfico de uma função

quadrática ou do 2º grau no plano

cartesiano, vamos proceder da

seguinte maneira:

1.Atribuindo valores a x;

2.Representando os pontos no plano

cartesiano;

3.Ligando os pontos de variável real.

Ex.: represente no plano cartesiano a função real

f(x) = x² - 6x + 5.

Solução:

Construindo uma tabela com valores arbitrários para x vem

x f(x) = x² - 6x + 5 (x, y)

1 f(1) = 1² - 6.1 + 5 = 1 – 6 + 5 = - 5 + 5 = 0 (1, 0)

2 f(2) = 2² - 6.2 + 5 = 4 – 12 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (2, - 3)

3 f(3) = 3² - 6.3 + 5 = 9 – 18 + 5 = -9 + 5 = - 4 (3, - 4)

4 f(4) = 4² - 6.4 + 5 = 16 – 24 + 5 = - 8 + 5 = - 3 (4, - 3)

5 f(5) = 5² - 6.5 + 5 = 25 – 30 + 5 = - 5 + 5 = 0 (5, 0)

Representando os pontos no plano cartesiano teremos:

E por fim a representação gráfica da função quadrática

ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Denomina-se zeros ou raízes de uma função quadrática os

valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0.

•Se ∆ > 0, a função tem dois zeros reais e distintos (x’ ≠ x’’)

•Se ∆ = 0, a função apresenta tem dois zeros iguais (x’ = x’’)

•Se ∆ < 0, a função não tem zero real

Ex.: Vamos encontrar, se existir, os zeros da

função f(x) = x² - 4x – 5.

Solução:

054² xx

)5.(1.4)²4(

4²

acb

0362016

Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim:

a

bx

2

Calculemos agora seus zeros:

1.2

36)4( x

12

2

2

64''

52

10

2

64'

2

64

x

x

x

Logo, os zeros da função são – 1 e 5

Ex.: Determinar os zeros da função y = x² - 2x + 6.

0202446.1.4)²2(

Como ∆ < 0, a função não tem zero real

Ex.: Determinar os zeros da função y = 4x² + 20x + 25.

Solução:

Solução:

040040025.4.4)²20(

Como ∆ = 0 a função tem dois zeros reais e iguais.

Continuemos então a resolução:

4.2

020x

8

020 x

2

5

8

20'''

xx

INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DOS ZEROS DE UMA FUNÇÃO

QUADRÁTICA

Pela definição dada anteriormente, vimos que os zeros ou

raízes da função f(x) = ax² + bx + c sâo os valores de x para os

quais f(x) = 0

Ex.: Construir o gráfico da função f(x) = x² - 2x – 3.

x y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

3 0

4 5

f(x) = x² - 2x – 3.

Note que a função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos

distintos, ou seja, para esses dois valores f(x) = 0.

Portanto temos os zeros da função quadrática.

ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA

A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx

+ c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordena-

das são:

)(2

abscissaa

bxv )(

4ordenada

ayv

Os esboços dos gráficos, nos diversos casos são os seguintes:

0

a

b

2

a4

0

0

Logo: O vértice da parábola é o ponto

aa

bV

4,

2

O pensamento é muito

mais importante do que o

conhecimento “Albert

Heinstein”