Função do 2º grau ou função Quadrática

1 – A parábola

O estudo da função do 2º grau é necessário o

conhecimento de uma curva plana denominada

parábola.

A parábola é composta por dois ramos simétricos em

relação a uma reta e chamado de eixo de simetria, o

ponto “v” representa o vértice da parábola. Ex:

Vértice

Eixo de simetria

Função do 2º grau ou função Quadrática

Forma geral de uma função do 2º grau.

F(x) = ax² + bx + c, (a # 0)

Vamos demonstrar os gráficos de y = x 1º grau

y = x² 2º grau

Função do 2º grau ou função Quadrática

y=x

y=x²

X Y=x

1 1

3 3

X Y = x²

2 Y = 2² = 4

1 Y = 1² = 1

0 Y = 0² = 0

-1 Y = (-1)² = 1

-2 Y = (-2)² = 4

Y=x

Y=x²

Função do 2º grau ou função Quadrática

- O gráfico y = x é uma reta, o gráfico é crescente

- O quadrado de um situado entre o 0 e 1, é menor do

que o próprio número, ou seja, x² < x para 0 < x < 1.

- O gráfico y = x² encosta suavemente no eixo “x”.

- A curva corresponde a uma parábola.

Exercício

Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das

seguintes funções:

a) f(x) = x²

b) f(x) = 2x²

c) f(x) = 10x²

d) f(x) = 1/10x²

e) f(x) = -x²

f) f(x) = -2x²

g) f(x) = -10x²

h) f(x) = -1/10x²

Função do 2º grau ou função Quadrática

F(x) = ax² + bx + c

F(X) = x² - 4x + 3

Forma fatorada

F(x) = (X – X1) (X – X2) a

- É uma equação do 2º grau, mas vamos ter a idéia da função de 2º grau.

- Vamos determinar o gráfico da função;

- Através de um gráfico determinar a função;

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Vamos determinar o gráfico desta função > x² - 4x + 3

- Para determinar este gráfico vamos precisar de 4 pontos

- Nós não vamos atribuir valores aleatórios para “x” e

achar o “y” correspondente.

- Vamos calcular pontos que são notáveis e através

deles, vamos formar nossa parábola.

- Toda função do 2º grau terá como gráfico uma parábola.

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Uma parábola é uma curva, que vai ter sua

concavidade, para cima ou para baixo.

- O que vai determinar a concavidade é o valor de “a”, se

for positivo a concavidade é para cima, se negativo a

concavidade é para baixo

A > 0 A < 0

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Se a sua conta no banco está positiva, você fica feliz, se

a sua conta está negativa você fica triste.

- Também vamos ter que calcular as raízes da nossa

função.

- As raízes vão ser os pontos onde a nossa função vai

cortar o eixo “x”, vai ser onde meu “y” vai valer “0”.

- Raízes f(x) = 0 OU Y = 0 (quando o “y” for “0”)

Função do 2º grau ou função Quadrática

X² - 4X + 3 = 0

- Podemos resolver por soma e produto ou utilizando a fórmula de Bhaskara.

x² - 4x + 3 = 0

-1 -3

------- + ------ = -4

-1 -3

------- x -------= 3

(x - 1 = 0) (x – 3) = 0

x = 1 x = 3

Função do 2º grau ou função Quadrática

-Achamos as duas raízes “1” e “3”

-Devemos lembrar que o Y=0 ou f(x) = 0

Y = 0

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Temos que localizar os vértices de nossa parábola:

- Quando a minha função tem a concavidade para cima o

vértice é o ponto mínimo, que está mais abaixo.

- Quando a minha concavidade é para baixo o vértice é o

ponto máximo.

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Nossa função tem a concavidade para cima, então o

vértice, vai ter um ponto mínimo.

- Para calcular o vértice, vamos ter duas coordenadas, ele

é um ponto: a coordenada “x” e a coordenada “y”

x² - 4x + 3 = 0

Xv = - b -(-4) = 4 = 2

2 a 2.1 2

Yv = - delta = b² - 4ac

4a

Função do 2º grau ou função Quadrática

x² - 4x + 3 = 0

Delta = b² - 4ac

Delta = (-4)² - 4.1.3

Delta = 16 -12

Delta = 4

Yv = - delta = -4 = -4 = -1

4 a 4.1 4

Função do 2º grau ou função Quadrática

-Achamos as duas raízes “1” e “3”

- Agora temos os vértices Xv = 2 e Yv = -1

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Podemos ainda melhorar calculando mais um ponto,

onde o x = 0, ponto que corta o eixo “y”.

- Substituindo “x” por “0” na equação

- x² - 4x + 3 = 0

- Y = 0² - 4.0 + 3 = 0

- Y = 3

Função do 2º grau ou função Quadrática

Relembrando

1 – temos que calcular as raízes da nossa função.

(as raízes são os valores de “x”, quando o “y” é zero.)

2 – localizando as raízes, vou calcular as coordenadas do

vértice.

3 – posso calcular o ponto onde a parábola corta o eixo “y”,

atribuindo zero para “x”.

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Lembrando da forma fatorada:

- F(x) = (X – X1) (X – X2) a

- Agora nós já sabemos o que é o x1 e o x2, são as raízes da minha função.

- A forma fatorada será útil, quando temos um gráfico e precisamos determinar a função.

- Para determinar a função através de um gráfico, eu preciso somente de 3 pontos da parábola

Função do 2º grau ou função Quadrática

Vamos supor que a questão, indicasse o gráfico, para que

nós descobríssemos a função, desse gráfico?

Função do 2º grau ou função Quadrática

- Para determinar a função através de um gráfico, eu

preciso de três pontos.

F(x) = (X – X1) (X – X2) a

Substituindo o x1 e x 2 que são nossas raízes, multiplicado

por “a’ que não sei quem é.

F(x) = (x – 1) (x – 3) a

F(x) = (X² - 3X – X + 3) a

F(x) = (X² - 4X + 3) a

Função do 2º grau ou função Quadrática

Nós não sabemos o valor do “a”

F(x) = (X² - 4X + 3) a

Vou substituir o valor de um ponto, no nosso caso vou

utilizar o ponto do vértice Vx = 2 e Vy = -1

(2, -1)

F(x) = (x² - 4x + 3) a

-1 = (2² - 4.2 + 3) a

-1 = (4 - 8 + 3) a

-1 = -a

a = 1

Função do 2º grau ou função Quadrática

Descobrimos o valor de “a” = 1, que multiplica toda nossa

função.

F(x) = (x² - 4x + 3) a

F(x) = x² - 4x + 3

Exemplo 1

Função do 2º grau ou função Quadrática

F(x) = -x² não deixa de ser uma função do 2º grau,

somente o “b” e o “c” valem zero.

Obs. Sobre as raízes da função, as raízes é aonde o

gráfico vai cortar o eixo “x”.

1 – Pode ocorrer da função, não ter raízes reais

(aprendemos em equações do 2º grau), significa que o

gráfico não vai cortar o eixo “x”.

2 – Pode ocorrer também de ter duas raízes com o mesmo

valor. Significa que o gráfico vai pegar um ponto só no

eixo “x” (uma tangente).

Função do 2º grau ou função Quadrática

F(x) –x²

- Vamos definir quão vão ser nossas raízes.

- 0 = -x²

X² = 0

X = 0

Como o “a” é negativo nossa concavidade vai ser para baixo

Função do 2º grau ou função Quadrática

Continuação....posteriormente.......