FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA · 6 4 6 5 1 " 1 6 5 1 ' 5 1 2.3 ( 5) 1 2 x x x fórmulade...
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FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
1- Definição
É toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a *, b e c .
dependenteiávely
teindepemdemiávelx
teconstermoouteindependentermoc
xexdeescoeficientbea
reaisnúmeroscba
var
var
tan
,,
2
Exemplos
a) f(x) = x2 – 4x + 3 (a = 1, b = -4, c = 3) b) f(x) = -4x2 - 16 (a = -4, b = 0, c = -16) c) y = x2 – 3x (a = 1, b = -3, c = 0) d) f(x) = -3x2 (a = -3, b = c = 0)
2- Raízes ou zeros de uma função do 2º grau
Para calcular as raízes ou os valores de x que anulam uma função do 2º
grau, devemos igualar a zero a mesma transformando-a numa equação do 2º grau e, em seguida, resolvendo-a através da fórmula de Bháskara. Exemplo: 1) Encontre as raízes de cada função abaixo: a) y = 3x2 – 5x + 2 b) y = -x2 + 6x - 9 c) y = 2x2 – 4x + 5 d) f(x) = x2 – 5x e) y = 20x2 – 320 f) f(x) = x2 + 4 Solução: a) y = 3x2 – 5x + 2 3x2 – 5x + 2 = 0 (a = 3, b = -5, c = 2) - Cálculo do discriminante (delta).
1
2.3.4)5(
..4
2
2cab
- Cálculo das raízes.
3
2
6
4
6
15"
16
15'
6
15
3.2
1)5(
2
x
x
x
Bháskaradefórmulaa
bx
1 e 2/3 são os únicos números que anulam a função. Logo, V = {1, 2/3} b) y = -x2 + 6x - 9 -x2 + 6x - 9 = 0 .(-1) x2 - 6x + 9 = 0 (a = 1, b = -6, c = 9)
32
6
2
06"
32
6
2
06'
2
06
1.2
0)6(
2
036369.1.4)6(2
x
x
a
bx
3 é o único número que anula a função. Logo, V = {3} c) y = 2x2 – 4x + 5 2x2 – 4x + 5 = 0 (a = 2, b = -4, c = 5)
2440165.2.4)4(2
1.2
24)4(
2 a
bx x’ e x”
- Observa-se que não é possível calcular, no campo real, 24 , por ser um número que faz parte
do Conjunto dos Números Complexos, logo, a equação não apresenta raízes reais, isto é, o
conjunto verdade é representado pelo conjunto vazio V = ou { }. * O resultado significa dizer que não existe nenhum número real que anula essa função. d) f(x) = x2 – 5x x2 – 5x = 0 (a = 1, b - -5, c = 0)(equação incompleta: coloca-se x em evidência) x(x – 5) = 0 x’ = 0 ou x – 5 = 0 x” = 5 V = {0, 5}
e) y = 20x2 – 320 20x2 – 320 = 0 (:20) (equação incompleta) x2 – 16 = 0 (a = 1, b = 0, c = -16) x2 = 16
x = 16
x = 4
4"
4'
x
x
V = {4, -4} f) f(x) = x2 + 4 x2 + 4 = 0 (equação incompleta) x2 = -4
x = 4 x’ e x”
V = ou { } Obs.: todas as equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas pela fórmula de Bháskara. Observe a resolução do exemplo anterior d. d) f(x) = x2 – 5x
)0,5,1(052
cbaxx
250.1.4)5(..422
cab
02
55"
52
55'
2
55
1.2
25)5(
2
x
x
x
Bháskaradefórmulaa
bx
V= {0, 5}
3- Gráfico de uma Função Quadrática. - O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada de Parábola. Ela apresenta vértice, concavidade e eixo de simetria.
4- Cálculo do Vértice. - Observamos acima que o vértice de uma parábola é um ponto que pode ser de mínimo, se o coeficiente de x2 for maior que zero (a > 0) ou de máximo, se for menor que zero (a < 0). Para calcular esse ponto devemos utilizar as seguintes fórmulas:
1- Abscissa do vértice: a
bx
v
2
(ponto de mínimo ou de máximo da função)
2- Ordenada do vértice:a
yv
4
(valor de mínimo ou de máximo da função)
Logo, o vértice é representado pelo ponto
aa
bV
4;
2.
Procedimentos para encontrar o vértice.
1º Procedimento y = ax
2 + bx + c fórmula geral da Função Quadrática
Isola-se ax
2 + bx
y – c = ax2 + bx
Adiciona-se aos dois membros o termo
2
2
a
ba
y – c +
2
2
a
ba = ax
2 + bx +
2
2
a
ba
Resolve-se a potência do 1º membro e coloca-se a em evidência no 2º
y – c + 2
2
4 a
ab = a
2
2
2 a
b
a
bxx
Simplifica-se 2
2
4 a
ab e fatora-se o 2º membro (quadrado da soma de dois termos):
y – c + a
b
4
2
= a
2
2
a
bx
Isola-se y e determina-se o mínimo nos dois últimos termos do 2º membro
y = a
2
2
a
bx + c -
a
b
4
2
y = a
2
2
a
bx -
a
acb
4
42
cab ..42
y = a
2
2
a
bx -
a4
a) Quando a > 0, a função (y) apresenta um mínimo para
2
2
a
bx = 0.
2
2
a
bx = 0
02
a
bx x =
a
b
2 (abscissa do vértice)
Como
2
2
a
bx = 0, temos.
y = a.0 - a4
y = -
a4
(ordenada do vértice)
V =
aa
b
4,
2
b) Quando a < 0, a função (y) apresenta um máximo para
2
2
a
bx = 0.
2
2
a
bx = 0
02
a
bx x =
a
b
2 (abscissa do vértice)
Como
2
2
a
bx = 0, temos.
y = a.0 - a4
y = -
a4
(ordenada do vértice)
V =
aa
b
4,
2
3) Quando a > 0, y = -a4
continua negativo (y < 0), logo, a função apresenta um mínimo.
4) Quando a < 0, y = -a4
torna-se positivo (y > 0), logo, a função apresenta um máximo.
2º Procedimento O vértice da parábola y = ax
2 + bx + c pertence ao eixo de simetria (s). Então, para encontrar sua
abscissa deve-se calcular o ponto médio do segmento de extremos (x’, 0) e (x”, 0) da seguinte maneira:
Para encontrar a ordenada do vértice deve-se substituir o valor da abscissa do vértice
a
bx
v
2na função y = ax
2 + bx + c do seguinte modo:
Então:
aa
bV
4,
2
Exemplo 1- As funções abaixo são do 2º grau, logo, seus gráficos são representados por parábolas. Determine o vértice de cada parábola especificando se representa ponto de máximo ou de mínimo. a) f(x) = x2 – 9x + 20 b) y = -2x2 + 5x + 1 c) y = 3x – x2 Solução: a) f(x) = x2 – 9x + 20 (a = 1, b = -9, c = 20)
a
ba
b
a
bb
a
b
a
b
xxx
v
22
2
2
2
2
2
22
2
"'
aa
acb
a
acb
a
acbbc
a
b
a
bc
a
b
a
bac
a
bb
a
bay
44
)4(
4
4
4
42
2424.
2.
2.
22
22222
2
22
1) Cálculo da abscissa do vértice:
5,42
9
1.2
)9(
2
a
bx
v
2) Cálculo da ordenada do vértice:
1808120.1.4)9(..422
cab
25,04
1
1.4
1
4
ay
v
Logo,
4
1,
2
9V
* Como a é positivo (a = 1), dizemos que o vértice representa um ponto de mínimo. b) y = -2x2 + 5x + 1 (a = -2, b = 5, c = 1)
1) 25,14
5
4
5
)2.(2
5
2
a
bx
v
2) 318251).2.(45..422
cab
875,38
31
8
31
)2.(4
31
4
ay
v
Logo,
8
31,
4
5V
* Como a é negativo (a = -2), dizemos que o vértice representa um ponto de máximo. c) y = 3x – x2 (a = -1, b = 3, c = 0)
1) 5,12
3
2
3
)1.(2
3
2
a
bx
v
2) 9090).1.(43..422
cab
25,24
9
4
9
)1.(4
9
4
ay
v
Logo,
4
9,
2
3V
* Como a é negativo (a = -1), dizemos que o vértice representa um ponto de máximo. . 5- Construção de uma Parábola. Verificou-se que para construir o gráfico de qualquer função deve-se conferir a x (variável independente) valores arbitrários, em seguida, substituem-se os mesmos na função achando valores para y (variável dependente),
conseqüentemente, formando pares ordenados (x, y). Porém, para facilitar nossa tarefa, vamos colocar ordem nos valores de x, da seguinte maneira:
1- Calculam-se as raízes da função (x’ e x”);
2- Determina-se o vértice da parábola
aa
bV
4;
2;
3- Construa-se uma tabela acrescentando um valor inteiro a x menor que a menor raiz e outro maior que a maior raiz, em seguida, esboçar o gráfico.
Nota: se a equação apresentar raízes reais e iguais (x’ = x”) ou não apresentar raízes reais (x’ e x” ) , deve-se atribuir a x dois valores inteiros menores e dois maiores que o valor da abscissa do vértice (xv). Exemplo: 1- Construir o gráfico de cada função abaixo: a) f(x) = x2 – 3x + 2 b) y = -x2 + 4x - 4 c) y = 2x2 + 4 Solução: a) f(x) = x2 – 3x + 2 1) Cálculo das raízes. f(x) = x2 – 3x + 2 x2 – 3x + 2 = 0 (a = 1, b = -3, c = 2)
1892.1.43..422
cab
12
13"
22
13'
2
13
1.2
1)3(
2x
x
a
bx
2) Cálculo do vértice.
5,12
3
2
3
1.2
)3(
2
a
bx
v
25,24
1
1.4
1
4
ay
v
4
1,
2
3V
c) Construção da Tabela e do gráfico.
x y (x, y)
0 2 (0, 2)
1 0 (1, 0)
2
3
4
1
4
1,
2
3
2 0 (2, 0)
3 2 (3, 2)
f(x) = x2 – 3x + 2 f(0) = 02 – 3.0 + 2 = 2 f(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0 f(2) = 22 – 3.2 + 2 = 0 f(3) = 32 – 3.3 + 2 = 2 b) y = -x2 + 4x - 4 1) Cálculo das raízes. -x2 + 4x – 4 = 0 (-1) x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1, b = -4, c = 4)
04.1.44..422
cab
22
04"
22
04'
2
04
1.2
0)4(
2x
x
a
bx
2) Cálculo do vértice.
y
2
3/2
-2 -1 0
1
2 3 x
-1/4
-1
22
4
1.2
)4(
2
a
bx
v
04
0
1.4
0
4
ay
v
0,2V
3) Construção da Tabela e do gráfico.
x y (x, y)
0 -4 (0, -4)
1 -1 (1, -1)
2 0 (2, 0)
3 -1 (3, -1)
4 -4 (4, -4)
y = -x2 + 4x - 4 y(0) = 02 + 4.0 -4 = -4 f(1) = -12 + 4.1 - 4 = -1 f(2) = -22 + 4.2 - 4 = 0 f(3) = -32 + 4.3 - 4 = -1 f(4) = -42 + 4.4 – 4 = -4 c) y = 2x2 + 4 1) Cálculo das raízes. y = 2x2 + 4 2x2 + 4 = 0 (equação incompleta do 2º grau) 2x2 = -4 x2 = -2
ouVoexxx ,log,"'2
2) Cálculo do vértice. y = 2x2 + 4 (a = 2, b = 0, c = 4) 32
y
0 1 2 3 4 x
-1
-4
04
0
2.2
0
2
a
bx
v
48
32
2.4
)32(
4
ay
v
4,0V
3) Construção da tabela e do gráfico.
x y (x, y)
-2 12 (-2, 12)
-1 6 (-1, 6)
0 4 (0, 4)
1 6 (1, 6)
2 12 (2, 12)
y = 2x2 + 4 f(-2) = 2.(-2)2 + 4 = 12 f(-1) = 2.(-1)2 + 4 = 6 f(1) = 2.12 + 4 = 6 f(2) = 2.22 + 4 = 12 Notas:
1ª) É relevante observar que quando as raízes reais x’ e x “ são diferentes (∆ > 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos; quando as raízes reais são iguais (∆ = 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto e, quando não existirem raízes reais, a parábola não intercepta a curva.
2ª) Pontos Notáveis da Parábola. 2.1) Intersecção da parábola com o eixo das abscissas (OX): São as raízes e para calcular
deve-se atribuir à variável y o valor nulo (y = 0), em seguida, resolve-se a equação encontrada.
y = ax2 + bx + c ax
2 –bx + c = 0
2.2) Intersecção da parábola com o eixo das ordenadas (OY): Deve-se atribuir à variável x o
valor nulo (x = 0) encontrando, em seguida, o valor de y. y = ax
2 + bx + c
y = a.02 + b.0 + c y = c
2.3) Vértice da parábola: Utiliza-se as fórmulas citadas acima, isto é,
ay
a
bx
4
2 .
3ª) O domínio da função do 2º grau é o conjunto dos Reais e o conjunto imagem é
a
yRy4
/ se a > 0 ou
a
yRy4
/ se a < 0.
y
12
6
4
-2 -1 0 1 2
x
06- Estudo do sinal da Função do 2º Grau (ou Quadrática).
- Para estudar o sinal da função (valores de x que à torna positiva, negativa ou
nula) do 2º grau f(x) = ax2 + ba + c, utiliza-se o seguinte procedimento:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.
2) Calculam-se as raízes.
3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X).
3.1) Se as raízes são diferentes, y assume valores com sinais de a à direita
de x” e à esquerda de x’. Entre as duas raízes, y assume valores com sinais
contrários de a.
3.2) Se as raízes são iguais, tanto à direita como à esquerda das raízes, o y
assume valores com sinais de a. Neste caso, não tem sinal contrário de a, apenas
y admite valor nulo quando x = x’ = x”.
3.3) Se não apresentar raízes, y assume o mesmo sinal de a.
Exemplo:
1- Estudar o sinal de cada função: a) y = x2 - 2x – 8 b) y = -x2 + 6x – 5 c) y = 4x2 – 4x + 1 d) y = -2x2 – 8
Solução:
a) y = x2 - 2x – 8
1) a = 1 a > 0 (positivo) 2) Iguala-se a zero a função y = x2 - 2x – 8. x2 - 2x – 8 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
2"
4'
x
x
3)
42,0
4,242,0
,42,42,0
xouxsey
xsey
xouxsey
Obs.: Os sinais + e – que aparecem no gráfico acima são sinais da função y e não de x, isto é, se
substituir qualquer valor de x menor que -2 ou maior que 4 na função y = x2 - 2x – 8, o
resultado (valor numérico) será sempre positivo; se substituir qualquer valor de x compreendido entre -2 e 4, o resultado da função será sempre negativo e se x assumir valor -2 ou 4 o resultado será nulo.
b) y = -x2 + 6x – 5
1) a = -1 a < 0 2) -x2 + 6x – 5 = 0 x(-1) x2 6x + 5 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
1"
5'
x
x
3)
51,0
,51,51,0
5,151,0
xouxsey
xouxsey
xsey
c) y = 4x2 – 4x + 1
1) a = 4 a > 0 2) Iguala-se a zero a função y = 4x2 – 4x + 1. 4x2 – 4x + 1 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
2
1"
2
1'
x
x
3)
2/1,0
2/1,0
xsey
Rxsey
Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna negativa a função. d) y = -2x2 – 8
1) a = -2 a < 0 2) Iguala-se a zero a função y = -2x2 – 8. -2x2 – 8 = 0 x(-1)
2x2 + 8 = 0 Resolvendo verificamos que não temos raízes, logo, x’ e x” R.
3)
,,0 Rxy
Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna positiva ou nula a função.
Em regra geral, a discussão da variação de sinal de uma função quadrática recairá em um dos casos:
07- Inequações do 2º grau
Chama-se inequação do 2º grau toda desigualdade que pode ser escrita nas seguintes formas:
0
0
0
0
2
2
2
2
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
(a 0).
A resolução de uma inequação do 2º grau pode ser feita da seguinte maneira:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo. 2) Transforma-se a inequação do 2º grau numa equação (= 0) calculando em
seguida, as raízes. 3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X) escolhendo o intervalo
que satisfaz a inequação.
Exemplo: 1- Resolva as inequações:
a) x2 – 8x + 12 > 0 b) -3x2 + 6 0 c) x2 – 6x + 9 < 0
d) -2x2 – 8 0 e) (x2 – 9).(x2 – 4x) 0 f) 03
54
2
2
xx
xx
Solução: a) x2 – 8x + 12 > 0
a.1) a = 1 a > 0 a.2) x2 – 8x + 12 = 0
2"
6'
x
x
Como a inequação tem que ser positiva (>0), temos:
V =
62/ xouxRx ou (-, 2[ ]6, +)
b) -3x2 + 6 0
b.1) a = -3 a < 0 b.2) -3x2 + 6 = 0
2"
2'
x
x
Como a inequação tem que ser positiva ou nula (0), temos:
V = 22/ xRx ou 2,2
c) x2 – 6x + 9 < 0
c.1) a = 1 a > 0 c.2) x2 – 6x + 9 = 0
3"
3'
x
x m/a m/a
+ 3 + x
c.3) - o +
Como a inequação tem que ser negativa (< 0), temos:
V = { } ou
d) -2x2 – 8 0
d.1) a = -2 a < 0 d.2) -2x2 – 8 = 0
VRxex "'
m/a
d.3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + x
Como a inequação tem que ser negativa ou nula ( 0), temos:
V = R 0]ou (-, +)
e) (x2 – 9).(x2 – 4x) 0 (Inequação produto) f(x) = x2 – 9 g(x) = 2x2 – 8x
1) a = 1 a > 0 1) a = 2 a > 0 2) x2 – 9 = 0 2) 2x2 – 8x = 0
3"
3'
x
x
4"
0'
x
x
3)
Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:
V = {x R / x -3 ou 0 x 3 ou x 4} ou (-, -3] U [0, 3] U [4, +)
f) 03
54
2
2
xx
xx
f(x) = x2 – 4x – 5 g(x) = -x2 + 3x
1) a = 1 a > 0 1) a = -1 a < 0
2) x2 – 4x – 5 = 0 2) -x2 + 3x 0
1"
5'
x
x
3"
0'
x
x (raízes do denominador)
3)
Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:
V = {x R / -1 x < 0 ou 3 < x 5} ou [-1, 0[ U ]3, 5]
Aplicações de Equações do 2o Grau 01) Um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 30. Encontre o triplo desse número. R) 15 02) A terça parte de um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 2. Qual é esse Número? R) 1/3 03) O produto de dois números é igual a 45. Determine a soma desses números. R) 4 04) Qual é o número que multiplicado pelo seu quádruplo é igual a 256? R) 13 e -13. 05) Sejam dois números ímpares e consecutivos. Determine esses números sabendo que seu produto excede sua soma em 167. R) 13 e 15 ou -13 e -11. 06) Um número natural menor que três somado com seu inverso é igual a 4. Determine esse número. R) 1 07) Determinar dois números cuja soma vale 3 e o produto 54. R) 9 e -6 08) O triplo do quadrado de gols conseguido por determinado jogador é igual a 17 vezes esse número de gols adicionado a 6. Quantos gols foram marcados pelo jogador? R) 6 09) Um painel cuja área é igual a 28m2, apresenta um lado excedendo de 3 metros do outro. Determine as dimensões do painel. R) 4m e 7m 10) O produto da idade de Saulo pela idade de Olga é igual a 374, Saulo é 5 anos mais velho que Olga. Qual a idade de cada um? R) 27anos e 22 anos
11) O gráfico abaixo representa uma piscina que, internamente necessita de 54 m2 de revestimentos. Determine: a) O valor de x; b) A área da base
12) Uma indústria fabrica certo produto na área de designe. Os responsáveis pela parte financeira estimam que o lucro que a indústria pode alcançar na fabricação/venda de uma determinada quantidade desse bem é dado pela regra L(x) = -0,01x2 + 80x – 50.000 (L lucro em R$ e x quantidade fabricada), determine o lucro mensal quando o nível de produção/venda alcançar: a) 850 e 1.200 unidades; b) Interprete os resultados. 13) Sabendo que f(x) = x2 + 2x - 8 representa uma função do segundo grau, determine:
a) As raízes; b) O vértice c) O gráfico para x > -1.
Bibliografia
DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática. IEZZI, G. et AL. (2004) Matemática: C´^encia e Aplicações. 2a Ed. São Paulo:Atual SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Função de 2º Grau"; Brasil Escola.