CONJUNTOS SA teoria moderna dos conjuntos geralmente considerada ter sido criada em 1859 pelo matemtico famoso Georg Cantor (1845-1918), que notou a necessidade de uma tal teoria quando estudava sries trigonomtricas. Cantor escreveu: Por um `conjunto entenderemos qualquer coleo dentro de um todo de objetos distintos definidos, de nossa intuio ou pensamento". Esta definio no proibe ningum de considerar o conjunto" de todos os conjuntos, como o fez Bertrand Russel. A diculdade real na definio de Cantor de um conjunto a palavra coleo". O que uma coleo? claro que podemos procura-la em um dicionrio e encontrar algo.

Um conjunto de elementos pode ser representado de trs formas diferentes. Vejamos o caso do conjunto M, formado por janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro, dezembro. a) pela enumerao de seus elementos: M ={janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}. b) atravs de uma propriedade caracterstica de seus elementos: M = {m/ m um ms do ano que possui 31 dias}. c) graficamente, atravs de diagramas: Denominamos como n(A) o nmero de elementos distintos de um conjunto A qualquer. Com isto, um conjunto pode ser caracterizado conforme a quantidade de elementos distintos que a eles pertencem. I Se um conjunto no possuir elementos (n(A) = 0), ser chamado de 1.2 Conjunto vazio. II Quando um conjunto tiver apenas um elemento (n(A) = 1), ser chamado de conjunto unitrio. De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos. Exemplos: a) A = {-10, 2, 10, 27} um conjunto finito e n(A) = 4. b) B = {x / x> 8 e x < 2} no possui elementos: n(B) = 0. B um conjunto vazio.

1.1.Definio Teoria dos Conjuntos admitir que conjunto e elemento de um conjunto so conceitos primitivos(aceitamos como conhecidos sem definio), e no como conceitos definidos. Estes conceitos so relativos, ou seja o elemento de um conjunto pode no ser elemento de outro conjunto Exemplos: a) P = Conjuntos dos nmeros primos entre 1 e 9. Elementos: 2, 3, 5, 7. b) N = Conjunto dos algarismos do nmero 4.123: Elementos: 1, 2, 3, 4. Associamos idia de constituir ao conceito de pertencer. Dizemos ento que o elemento pertence ao conjunto. Os smbolos e so usados para relacionar elementos com conjuntos. = pertence = no pretence

c) O conjunto dos nmeros naturais, , um conjunto infinito: n() = . Se todos os elementos de um conjunto A tambm pertencerem a um conjunto B, dizemos que A est contido em B, ou ainda que A subconjunto de B. Notao: A B ("x A x B) Significa dizer que o conjunto A est contido no conjunto B se e somente se todo elemento do conjunto A tambm elemento do conjunto B. Exemplo: Dados os conjuntos: A = {a, g, t, o}. B = {g, a, t, o}. Todo elemento do conjunto A elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto B pertence ao conjunto A. Logo: A B e B A. Isso ocorre sempre que tivermos dois conjuntos iguais e equivale a dizer que todo conjunto est contido em si mesmo. Exerccios 01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as nicas matrias dadas so matemtica e portugus, 240 alunos estudam matemtica e 180

1

alunos estudam portugus. O nmero de alunos que estudam matemtica e portugus :

a)120

b)60 c)90

d) 180

e) N.d.a.

07) (UF-BH) Um colgio ofereceu cursos de ingls e francs, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto ingls quanto francs; em francs, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em ingls? 08) (FAAP) Os scios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual o nmero de scios do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes? 09) (MED. RIO PRETO) Num almoo, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leites. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leito e 21 comeram dos dois, o nmero de pessoas que no comeram nem frango nem leito : a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 18 10) (UNIV. FED. PAR) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemtica, 9 ensinam Fsica, 7 Qumica e 4 ensinam Matemtica e Fsica. Nenhum deles ensina Matemtica e Qumica. Quantos professores ensinam Qumica e Fsica e quantos ensinam somente Fsica? a) 3 e 2. b) 2 e 5. c) 2 e 3. d) 5 e 2. e) 3 e 4. O que funo?

02) (PUC-CAMPINAS) Numa indstria, 120 operrios trabalham de manh, 130 trabalham tarde, 80 trabalham noite; 60 trabalham de manh e tarde, 50 trabalham de manh e a noite, 40 trabalham tarde e noite e 20 trabalham nos trs perodos. Assim: a) 150 operrios trabalham em 2 perodos; b) h 500 operrios na indstria; c) 300 operrios no trabalham tarde; d) h 30 operrios que trabalham s de manh; e) N.d.a. 03) (UNIV. FED. PAR) Num colgio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado est resumido na tabela abaixo. n(A)n(B)n(C)n(AB)n(AC) n(CB)n(ABC) 150 180 100 30 40 25 20 n()n(ABC) 245

O

nmero

total

de

alunos

da

escola

:

uma correspondncia entre dois conjuntos onde um nico elemento do conjunto A se corresponde com algum elemento de B.

a)790 335

b)600

c)675

d) 570

e)

04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de nmeros naturais contm 12 mltiplos de 4, 7 mltiplos de 6, 5 mltiplos de 12 e 8 nmeros mpares. O nmero de elementos de X : a) 22 b) 27 c) 24 d) 32 e) 20 05) (CESGRANRIO) Em uma universidade so lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lem ambos : a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80% 06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas vrias pessoas acerca de suas preferncias em relao a trs produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 compram o produto A. 210 compram o produto B. 250 compram o produto C. 20 compram os trs produtos. 100 no compram nenhum dos trs produtos. 60 compram os produtos A e B. 70 compram os produtos A e C. 50 compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas?

As relaes acima so funes, pois todo elemento do conjunto A, est associado a somente um elemento do conjunto B. A relao acima no uma funo, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que est associado a mais de um elemento do conjunto B.

2

Portanto x1, x2 e x3 so razes da funo. DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO: O domnio de uma funo sempre o prprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x estiver associado a um elemento y A B, dizemos que y a imagem de x (indica-se y=f(x) e l-se y igual a f de x). PROPRIEDADES DE UMA FUNO Essas so algumas propriedades caracterizam uma funo f:A : B que

a) Funo sobrejetora: Dizemos que uma funo

Exemplo: se f uma funo de IN em IN (isto significa que o domnio e o contradomnio so os nmeros naturais) definida por y=x+2. Ento temos que:

sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomnio, isto , se Im=B. Em outras palavras, no pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas.

b) Funo Injetora: A funo injetora seelementos distintos do domnio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos no podem ter a mesma imagem. Portanto no pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Por exemplo, a funo f:IRIR definida por f(x)=3x injetora pois se x1 x2 ento 3x1 3x2, portanto f(x1) f(x2).

A imagem de 1 atravs de f 3, ou seja, f(1)=1+2=3; A imagem de 2 atravs de f 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x atravs de f x+2, ou seja: f(x)=x+2. Numa funo f de A em B, os elementos de B que so imagens dos elementos de A atravs da aplicao de f formam o conjunto imagem de f.

c) Funo Bijetora: Uma funo bijetora

Com base nos diagramas acima, conclumos que existem 2 condies para uma relao f seja uma funo:

quando ela sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a funo f: IRIR definida por y=3x injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela tambm sobrejetora, pois Im=B=IR. Logo, esta funo bijetora. J a funo f: ININ definida por y=x+5 no sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomnio CD=IN, mas injetora, j que valores diferentes de x tm imagens distintas. Ento essa funo no bijetora.

Observaes:

FUNO PAR E FUNO MPAR Dada uma funo f: AB, dizemos que f par se, e somente se, f(x)=f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simtricos devem possuir a mesma imagem. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo par:

Como x e y tm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variveis. A varivel x chamada varivel independente e a varivel y, varivel dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x. Uma funo f fica definida quando so dados seu domnio (conjunto A), seu contradomnio (conjunto B) e a lei de associao y=f(x). RAZES DE UMA FUNO

Por exemplo, a funo f: IR IR definida por f(x)=x2 uma funo par, pois f(x)=x 2=(x)2=f(-x). Podemos notar a paridade dessa funo observando o seu grfico:

Dada uma funo y=f(x), os valores, os valores de x para os quais f(x)=0 so chamados razes de uma funo. No grfico cartesiano da funo, as razes so abscissas dos pontos onde o grfico corta o eixo horizontal. Observe o grfico abaixo: No grfico acima temos: f(x1)=0, f(x2)=0 e f(x3)=0.

3

Notamos, no grfico, que existe uma simetria em relao ao eixo vertical. Elementos simtricos tm a mesma imagem. Os elementos 2 e -2, por exemplo, so simtricos e possuem a imagem 4.

Existem algumas variaes desta definio, se b for iguala zero, teremos uma funo linear e se a for igual a zero termos uma funo constante.

Por outro lado, dada uma funo f: AB, dizemos que f mpar se, e somente se, f(-x)=f(x) para todo x A. Ou seja: valores simtricos possuem imagens simtricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de funo mpar:

Equaes e grficos Por exemplo, a funo f: IR IR definida por f(x)=x3 uma funo mpar, pois f(-x)=(-x)3=x3=-f(x). Podemos notar que a funo mpar observando o seu grfico: Notamos, no grfico, que existe uma simetria em O grfico da funo do primeiro grau uma reta e sua equao muito importante quanto sua inclinao. Veja

relao a origem 0. Elementos simtricos tm imagens simtricas. Os elementos 1 e -1, por exemplo, so simtricos e possuem imagens 1 e -1 (que tambm so simtricas). Obs: Uma funo que no par nem mpar chamada funo sem paridade. Funes Elementares Funo do Primeiro grau Definio : Uma aplicao de R em R chamada de funo afim quando cada valor x do domnio estiver associado a ax + b do contra domnio Funes crescentes . Seja y = ax + b uma funo do primeiro grau, ento se a> 0 a funo crescente.Veja o grfico Caso contrrio a tangente estaria no segundo quadrante e portanto seria negativa. Logo teremos:

4

OBSERVAO O coeficiente angular, tambm chamado declividade da reta, a tangente do ngulo formado entre a reta e o eixo das abcissas, medido no sentido anti-horrio. Primeiramente, se a > 0, e fazendo a = 1, a =1/ 2, a =1/3 , por exemplo, observe na figura abaixo: para cada valor no nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente , respectivamente, x, 2x, 1/2x, 1/3x. Alm disso, para x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem. Dessa maneira, variando o coeficiente a > 0 em y = ax, observamos que o ngulo de inclinao da reta varia: se a > 1, o ngulo maior que 45o; se 0 < a < 1, o ngulo menor que 45o

na equao y = ax + b. Basta observar um caso simples e, a partir da, a generalizao imediata. De fato, comparando os grficos de y = x e de y = x +1, observamos que, ao fazer o segundo grfico, para um mesmo valor de x a ordenada foi acrescida de uma unidade quando comparada quela do ponto correspondente no grfico de y = x. Por isso, no grfico de y = x + 1 ocorreu uma translao vertical de uma unidade quando comparado ao grfico de

1) Obtenha a lei das funes de 1 grau que passam pelos pares de pontos abaixo: a) (-1, 2) e (2, -1) b) (-1, 0) e (3, 2) 2) Determine a lei da funo do 1 grau cujo grfico est representado abaixo: y

3

2 Nova mente, se a < 0, observe na figura abaixo, onde a = 1, a = 2, a = , a = : para cada valor no nulo da abscissa x, o valor da ordenada correspondente , respectivamente, x, 2x, x, x. Alm disso, como antes, para x = 0 temos sempre y = 0, o que significa que todas essas retas passam pela origem. Dessa maneira, o coeficiente a < 0 em y = ax tambm faz mudar o ngulo de inclinao da reta: se a < 1, temos a reta numa posio mais prxima da vertical; se 1 < a < 0, a reta se encontra numa posio mais prxima da horizontal.

x

3) Determine a lei da funo do 1 grau cujo grfico passa pelo ponto (2, 3) e cujo coeficiente linear vale 5. 4) Dada a funo y = 3x 2, calcule os valores de x que tornam a funo negativa. 5) Dada a funo y = 2x + 1, calcule os valores de x que tornam a funo positiva. 1. Funo do 1 grau Aplicao prtica 1) O preo a pagar por uma corrida de txi depende da distncia percorrida. A tarifa P composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte varivel que depende do nmero d de quilmetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilmetro rodado, R$ 1,20. a)Expresse o preo P em funo da distncia d percorrida. b)Quanto se pagar por uma corrida em que o txi rodou 10 km?

Uma vez entendida a ao do coeficiente a, precisamos entender qual o papel do coeficiente b

5

c)Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distncia percorrida pelo txi. 2) Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para limpeza e para isso uma bomba que retira gua razo de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informaes, pede-se: a)a expresso que fornece o volume (V) de gua na piscina em funo do tempo (t) que a bomba fica ligada. b)a expresso que fornece o volume de gua que sai da piscina (VS) em funo do tempo (t) que a bomba fica ligada. c)o tempo necessrio para que a piscina seja esvaziada. d)quanto de gua ainda ter na piscina aps 3 horas de funcionamento da bomba? e)o esboo do grfico que representa o volume de gua na piscina em funo do tempo em que a bomba fica ligada. Exerccios de fixao: 1) Determinar a lei da funo do 1 grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular -4.

c)

Determine o domnio e a imagem desta funo.

6) Um botijo de cozinha contm 13 kg de gs. Sabendo que em mdia consumido, por dia, 0,5 kg de gs: a) Expresse a massa (m) de gs no botijo, em funo do nmero (t) de dias de consumo. b) Esboce o grfico desta funo. c) Depois de quantos dias o botijo estar vazio ?

7) A gua congela a 0 C e a 32 F; ferve a 100 C e 212 F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius (C). a) Expresse a temperatura em F em funo de C e faa o grfico desta funo.

b) A temperatura do corpo humano no febril de 37 C. Qual esta temperatura em graus Fahrenheit? c) d) A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20 F. 8) Dois txis tm preos dados por: Txi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilmetro rodado; Txi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilmetro rodado. Obtenha a expresso que fornece o preo de cada txi (PA e PB) em funo da distncia percorrida. a) Para que distncias vantajoso tomar cada txi ?

2) Dadas

as

funes

f ( x) = x +

g( x ) = 2x 4 , calcule os valores de x para os quais g( x ) < f ( x ).3) Determine a lei da funo do 1 grau que passa pelos pares de pontos abaixo: a) (0, 1) e (1, 4) b) (-1, 2) e (1, -1) 4) Faa os grficos das seguintes funes: a) y = 2x + 3 b) y = a)

1 2

e

Respostas dos exerccios:

3 x + 1 2

1. y = -4x 7y= -3 x + 1 2

2x 4 c) m > 5 ou m < -5 d) m = -5 ou m = 5 e) m 0

10

21.(UFRS) A parbola na figura a seguir tem vrtice no ponto (- 1, 3) e representa a funo quadrtica f(x) = a x2 + b x + c. Portanto, a + b

26.(CFTMG) A funo f(x) = ax2 - 2x + a tem um valor mximo e admite duas razes reais e iguais. Nessas condies, f(- 2) igual a a) -4 b -1 c) 1 d) 16

GABARITO 01.b 02.b 03.b 04.d 05. 24o 06. a) M1 = 1,04C + 60 M2 = 1,03C + 150 b) R$ 9.000,00 07.a 08. B = 1600 e q = 11/5 b) R$ 3 360,00 09.d 10.d 11.d 12.b 13.a 14.e 15.c 16.a) R$ 12 000,00 b) R$ 50,00 17.e 18.e 19.c 20.a 21.a 22. a) R$ 800,00 b) R$ 5,50 23. 1506 g 24.b 25. 12,5 m2 26.b Srie 2 1-(ANGLO) O vrtice da parbola y= 2x- 4x + 5 o ponto a) (2,5) b)

22.(UFG) Um supermercado vende 400 pacotes de 5 kg de uma determinada marca de arroz por semana. O preo de cada pacote R$ 6,00, e o lucro do supermercado, em cada pacote vendido, de R$ 2,00. Se for dado um desconto de x reais no preo do pacote do arroz, o lucro por pacote ter uma reduo de x reais, mas, em compensao, o supermercado aumentar sua venda em 400x pacotes por semana. Nestas condies, calcule: a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$ 1,00. b) O preo do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja mximo, no perodo considerado. 23.(UNESP) O desenvolvimento da gestao de uma determinada criana, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20 semana, aproximadamente, pelas funes matemticas h(t) = 1,5t - 9,4 e p(t) = 3,8 t 2 - 72 t + 246, onde t indica o tempo em semanas, t 20, h(t) a altura em centmetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemtico, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era 35,6 cm. 24.(PUCMG) Certo posto vende diariamente uma mdia de 10.000 litros de gasolina ao preo de R$ 2,60 por litro. Um estudo demonstrou que, para uma reduo de 1 centavo no preo do litro, corresponde um aumento de 50 litros nas vendas dirias. Com base nesse estudo, o preo por litro de gasolina que garante a maior receita : a) R$ 2,20 b) R$ 2,30 c) R$ 2,40 d) R$ 2,50 25.(FGV) No retngulo ABCD da figura a seguir, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, so tais que AM = AN = CP = CQ.

( 1, 3) e) (1,3)a) 8 14

( 1,

11

)

c) (-1,11)

d)

2-(ANGLO) A funo f(x) = x- 4x + k tem o valor mnimo igual a 8. O valor de k : b) 10 e) 16 c)12 d)

3-(ANGLO) Se o vrtice da parbola dada por y = x - 4x + m o ponto ( 2 , 5), ento o valor de m : a) 0 b) 5 e) -9 c) -5 d) 9

4- ( VUNESP) A parbola de equao y = ax passa pelo vrtice da parbola y = 4x - x. Ache o valor de a: a) 1 -1 b) 2 e) nda c) 3 d)

5-(METODISTA) O valor mnimo da funo f(x) xkx + 15 -1. O valor de k, sabendo que k g(x) para 0 < x < 2. b) f(x) = g(x) para x = 4. c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1. d) f(x) > g(x) para x > 10. g(x) para qualquer valor de x. e) f(x) >

A equao da reta r : a) y = -2x + 2 b) y = x + 2. = 2x + 2. e) y = -2x 2 c) y = 2x + 1 d)y

30-(PUCCAMP)A soma e o produto das razes de uma funo do 2 grau so, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mnimo dessa funo -4, ento seu vrtice o ponto a) (3, -4) b) (11/2, -4) (-4; 3) e) (-4, 6) c) (0, -4) d)

21-(MACK) Se a funo real definida por f(x) = x+ (4 k) possui um mximo positivo, ento a soma dos possveis valores inteiros do real k : a) - 2. 1. b) - 1. e) 2. c) 0. d)

31-(PUCRIO) O nmero de pontos de interseco das duas parbolas y=x e y=2x -1 : a) 0. 3. b) 1. e) 4. c) 2. d)

22-(GV) A funo f, de R em R, dada por f(x)=ax4x+a tem um valor mximo e admite duas razes reais e iguais. Nessas condies, f(-2) igual a a) 4 1/2 b) 2 e) 2 c) 0 d) -

32-(UFV) O grfico da funo real f definida por f(x)=ax+bx+c, com a < 0, passa pelos pontos (1,10) e (0,5). Logo o conjunto de todos os valores possveis de b : a) {b IR | b -4} b) {b IR | b < -5} c) {b IR | b -3} d) {b IR | b -2} e) {b IR | b -1} 33-( UFMG-01) Nessa figura, esto representados os grficos das funes

23-(UFPE) Qual o maior valor assumido pela funo f:[-7.10] R definida por f(x) = x - 5x + 9? 24-(FUVEST) O grfico de f(x)=x+bx+c, onde b e c so constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Ento f(-2/3) vale a) - 2/9 1/4 b) 2/9 e) 4 c) - 1/4 d)

25-(PUCMG) Na parbola y = 2x - (m - 3)x + 5, o vrtice tem abscissa 1. A ordenada do vrtice : a) 3 b) 4 e) 7 c) 5 d) 6 f(x) = x/2 e g(x) = 3x - 5. Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o grfico da funo f e a outra extremidade sobre o grfico da funo g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S a) 1/2 5/4 b) 3/4 c) 1 d)

26-(UFMG) O ponto de coordenadas (3,4) pertence parbola de equao y = ax + bx + 4. A abscissa do vrtice dessa parbola : a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2

27-(UEL) Uma funo f, do 2grau, admite as razes -1/3 e 2 e seu grfico intercepta o eixo y no ponto (0;-4). correto afirmar que o valor

13

34-(UNIFESP-02) O grfico da funo f(x) = ax + bx + c (a, b, c nmeros reais) contm os pontos (-1, -1), (0,-3) e (1, -1). O valor de b : a) -2. e) 2. b) -1. c) 0. d) 1

a) [-20,

[ d) ]-

, 20]

b) [20,

[ e) ]-

, 25]

c)

]-

,

-20]

41-(UFMG-04) O intervalo no qual a funo f(x) = x - 6x + 5 crescente : a) x < 5 GABARITO 1) E 2) C 3) D 4) A 5)B 6) A 7) E 8)D 9)C 10)A 11)D 12) C 13)D 14)C 15)C 16)A 17)A 18) a) 4x + y + 8 = 0 b) y = - x + 2x c) x = -1 19)D 20)D 21)C 22)E 23) 93 24)A 25)A 26)C 27)E 28)B 29) A 30)A 31)C 32)B 33) A 34)C 35)D 36)A 37)C 38)E 39)B 40)A 41)D TESTES 1-) Seja a funo f(x) = x2 2x + 1 e g(x) = 2x + 10. ilustradas na figura a seguir; b) 1 < x < 5 d) x > 3 c) x > 1

35-(PUCCAMP-01) Considere a funo dada por y=3t -6t+24, na qual y representa a altura, em metros, de um mvel, no instante t, em segundos. O valor mnimo dessa funo ocorre para t igual a a) -2 e) 2 b) -1 c) 0 d) 1

36-(PUCCAMP-01) (Considere a funo dada por y=3t-6t+24, na qual y representa a altura, em metros, de um mvel, no instante t, em segundos. O ponto de mnimo da funo corresponde ao instante em que a) a velocidade do mvel nula. b) a velocidade assume valor mximo. c) a acelerao nula. d) a acelerao assume valor mximo. e) o mvel se encontra no ponto mais distante da origem. 37-(PUCPR-01) O grfico da funo definida por f(x) = x + bx + cos 8 /7:, x R a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes. d) intercepta o eixo das abscissas na origem. e) no intercepta o eixo das abscissas. 38-(UFAL) O grfico da funo quadrtica definida por f(x)=4x+5x+1 uma parbola de vrtice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A rea do tringulo AVB a) 27/8 b) 27/16 e) 27/128 c) 27/32 d) 27/64

calcule o maior dos comprimentos na regio indicada. 2-EXPCEX-98) O grfico abaixo fornece a relao entre o custo das ligaes telefnicas locais de um assinante e o nmero de pulsos utilizados pelo mesmo.

Considerando-se que: I Em Maio/98 o assinante utilizou 100 pulsos. II Em Junho/98 o valor de sua conta telefnica foi o dobro do valor de Maio/98. III S foram realizadas ligaes locais mesma tarifa. Pode-se afirmar que o nmero de pulsos utilizados por esse assinante em Junho/98 foi: 3-EXPCEX-98)A temperatura T de aquecimento de um forno, em oC, varia com o tempo t, em minutos, segundo a funo abaixo:

39-(UFES-00) O grfico da funo y = x - 1 transladado de 3 unidades na direo e sentido do eixo x e de 1 unidade na direo e sentido do eixo y. Em seguida, refletido em torno do eixo x. A figura resultante o grfico da funo a) y = -(x + 3) b) y = -(x - 3) c) y = -(x + 3) - 2 d) y = (x - 3) - 2 e) y = (x + 3) 40-(PUCPR-04) O grfico de uma funo do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, ento seu conjunto imagem :

O tempo necessrio para que a temperatura do forno passe de 160 oC para 564 oC ?

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4-) Na figura, a reta r encontra o grfico de y = log3 x no ponto (9, b) . O valor de a + b ?

Logaritmos 5-) Suponha que um projtil de ataque partiu da origem do sistema de coordenadas cartesianas descrevendo uma parbola, conforme a figura. Definio: Seja b 1 um nmero real positivo. Dado um nmero positivo x qualquer, existe um nico nmero real y tal que x = by . Este nmero y chamado logaritmo do nmero x na base b e ser denotado por y = Log bx . Temos, ento, a igualdade:

a) Sabendo-se que o vrtice da parbola do projtil de ataque dado pelas coordenadas (15,45) e baseado nos dados da figura, calcule a equao da parbola do projtil de ataque. b) Um projtil de defesa lanado a partir das coordenadas (6,0) e sua trajetria tambm descreve uma parbola segundo a equao y = 0,25x2 + 9x 45. Considerando-se que o projtil de defesa atingir o projtil de ataque, calcule as coordenadas onde isto ocorrer e diga se o alvo estar a salvo do ataque. 6-) Uma pessoa parte de carro de uma cidade X com destino a uma cidade Y. Em cada instante t (em horas), a distncia que falta percorrer at o destino dada, em dezenas de quilmetros, pela funo D, definida por:

Logaritmos 1)Funo logartmica Considere a funo

y = a x ,denominada de funo

exponencial, onde a base um nmero positivo e diferente de 1, definida para todo x pertencente ao conjunto dos reais. Observe que nestas condies, a x um numero positivo para todo o nmero positivo, para todo x IR ( Conjunto dos nmeros reais). Denotando o conjunto dos nmeros reais

positivos por

R

* + ,poderemos

escrever a funo

exponencial como se segue:* f : R R+ ; y = a x , 0 < a < 1

Considerando o percurso da cidade X at a cidade Y, a distncia, em mdia, por hora, que o carro percorreu foi: (A) 40 km. (B) 60 km. (D) 100 km. (E) 120 km (C) 80 km.

Esta bijetora, pois: a) injetora ,ou seja:elementos distintos possuem imagens distintas. b) sobrejetora,pois seu conjunto imagem coincide com seu conjunto contradomnio. Assim sendo, a funo exponencial Bijetora e, portanto, uma funo inversivel, ou seja, admite uma funo inversa:* f : R+ R; y = Log a x, 0 < a 1 .

Funo exponencial.

Mostramos a seguir que os grficos relacionados pela funo exponencial e a funo logartmica( inversa a ela), so curvas simtricas em relao bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simtricos em relao reta y= x. Grficos

y = a x y = Log a x;(a > 1)

A funo ser crescente se a.>1 e decrescente se 0 < a < 1. uma funo Injetora.

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Uma das principais aplicaes das funes exponenciais, so suas aplicaes nos ambientes tecnolgicos.

Modelo 1:

Grficos

y = a x y = Log a x, (0 < a < 1)

Usado em:Da simples observao podemos concluir que: dos grficos acima,

Matemtica financeira ( juros compostos). crescimento de bactrias. crescimento de sistemas populacionais.

Para a > 1, as funes exponencial e logartmica so CRESCENTES; Para 0 < a 1, elas so DECRESCENTES. O domnio da funo

y = Log a x

o conjunto R*+ . O conjunto imagem da funo

y = Log a x o conjunto R dos nmeros reais.O domnio da funo

Modelo 2

y = ax

o conjunto R dos

nmeros reais. O conjunto imagem da funo

y = ax

o conjunto R* +. Condies de existncia

dos logaritmos : b>0,a>0,e a1 Conseqncias da definio:

log a 1 = 0 log a a = 1 log a a m = m alog a b

Usado em: Matemtica financeira ( juros compostos). Decrescimento radioativo. decrescimento de frmacos.

=bNomes dados constante k: Constante de crescimento ou decaimento Taxa de juros compostos.

log a b = log a c b = cPropriedades operacionais dos logaritmos 1) Logaritmo do produto

log b (a.c) = log b a + log b c2) Logaritmo de um quociente

log b

a = log b a log b c c

Modelo 3 Dentre as funes que apresentam crescimento limitado, destacamos a funo definida por: f(t) = A Ce -kt , com t 0 e a e k positivos Aps o estudo16

3) Logaritmo de uma potncia

log b a n = n. log b c

dos limites, ser fcil verificar que esta funo apresenta um crescimento limitado, isto , medida que x cresce o valor de f(t) fica prximo de a, sem ultrapass-lo. Seu grfico :

N(t) = No ekt

Modelo 4: Curva sigmoidal:

A funo :

Desintegrao radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no incio do sculo por Rutherford e outros. Alguns tomos so naturalmente instveis, de tal modo que aps algum tempo, sem qualquer influncia externa sofrem transies para um tomo de um novo elemento qumico e durante esta transio eles emitem radiaes. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t representa o nmero de tomos da substncia radioativa no instante t, No o nmero de tomos no instante t=0 e k uma constante positiva chamada de constante de decaimento, ento: N(t) = No e-kt Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psiclogos e educadores na descrio do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

Usado em: Propagao de doenas. Propagao de boatos.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a populao presente em um ambiente em funo do tempo. Considerou N=N(t) o nmero de indivduos em certa populao no instante t. Tomou as hipteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais populao presente e a variao do tempo conhecida entre os dois perodos. Chegou seguinte equao para descrever a populao presente em um instante t:

Exerccios 1) A figura abaixo mostra o grfico da funo logartmica na base b. O valor de b :

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duplicado, aps 6 horas o nmero de bactrias ser a)4a. b) 2a2. c) 6a. d) 8a. e) 8a2. 2-UNESP) A funo f(x)=500 . (5/4)x/10 com x em anos, fornece aproximadamente o consumo anual de gua no mundo, em km3, em algumas atividades econmicas, do ano 1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100). Determine, utilizando essa funo, em que ano o consumo de gua quadruplicou em relao ao registrado em 1900. Use as aproximaes log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7. 1960 3-UEG) Certa substncia radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda no desintegrada da substncia S = S0 2-0,25t em que S0 representa a quantidade de substncia que havia no incio. Qual o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se? 4 anos 4-UNICAMP) A funo L(x) = aebx fornece o nvel de iluminao, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lmpada. a) Calcule os valores numricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distncia da lmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distncia recebe 30 luxes. 120 b)Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distncia entre a lmpada e esse objeto. -ln2 5-UFU) Uma pea metlica foi aquecida at atingir a temperatura de 50 C. A partir da, a pea resfriar de forma que, aps t minutos, sua temperatura (em graus Celsius) ser igual a 30 + 20e-0,2t. Usando a aproximao ln 2 = 0,7, determine em quantos minutos a pea atingir a temperatura de 35 C. 7 minutos 6-UNIFESP) Uma droga na corrente sangnea eliminada lentamente pela ao dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Qo miligramas, aps t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t)=Qo(0,64) t miligramas. Determine: a) a porcentagem da droga que eliminada pelos rins em 1 hora. 36% b) o tempo necessrio para que a quantidade inicial da droga fique reduzida metade. Utilize log 2 = 0,30. 1,5 horas 7-UNICAMP) Um capital de R$12.000,00 aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que no foram feitas novas aplicaes ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado aps 2 anos. b) O nmero inteiro mnimo de anos necessrios para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital

a) 1 / 4 b)2

c)3

d)4

e)10

2) Na figura est representado o grfico da funo

1 f ( x) = log 2 ax + b

Qual o valor de f(1)? 3) Seja

f :]0, [

dada por f (x) =

log 3 x

.

Sabendo que os pontos (a, -), (b, 0), (c, 2) e (d, ) esto no grfico de f, calcule b + c + ad. 4) A figura abaixo exibe um esboo do grfico da funo logaritmo na base b.

Calcule o valor de 5b.

EXERCICIOS CONTEXTUALIZADOS 1-UNESP) Uma cultura de bactrias cresce segundo a lei N(t) = a10 xt , onde N(t) o nmero de bactrias em t horas, t 0, e a e x so constantes estritamente positivas. Se aps 2 horas o nmero inicial de bactrias, N(0),

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inicial. (Se necessrio, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477). 8-UFSM) Carros novos melhoram o escoamento do trnsito e causam menos poluio. Para adquirir um carro novo, um cidado fez um investimento de R$10.000,00 na poupana, a juros mensais de 1%, o qual rende, ao final de n meses, o valor de C(n) = 10.000 (1,01)n reais. O nmero mnimo de meses necessrio, para que o valor aplicado atinja R$ 15.000,00, (Dados: log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 101 = 2,004) a)44 b) 46 c) 47 d) 48 e) 50 9-UFBA) A temperatura Y(t) de um corpo - em funo do tempo t 0, dado em minutos - varia de acordo com a expresso Y(t) = Ya + Bekt, sendo Ya a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e k constantes. Suponha que no instante t = 0, um corpo, com uma temperatura de 75C, imerso em gua, que mantida a uma temperatura de 25C . Sabendo que, depois de 1 minuto, a temperatura do corpo de 50C, calcule o tempo para que, depois de imerso na gua, a temperatura do corpo seja igual a 37,5C. 10-UNIFESP) A tabela apresenta valores de uma escala logartmica decimal das populaes de grupos A, B, C, ... de pessoas. Por algum motivo, a populao do grupo E est ilegvel. A partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a populao do grupo E

Aps cinco dias da liberao do predador, o nmero de indivduos desse grupo presentes no ambiente ser igual a: a)3 b) 4 c) 300 d) 400 13-UFMS) Qual a base do sistema de logaritmos em que o quntuplo do logaritmo de qualquer nmero real positivo nessa base uma unidade superior ao logaritmo, na base 2, da metade desse nmero real positivo? 14-UNICAMP) O decaimento radioativo do estrncio 90 descrito pela funo P(t) = P0 . 2bt, onde t um instante de tempo, medido em anos, b uma constante real e P0 a concentrao inicial de estrncio 90, ou seja, a concentrao no instante t = 0. a) Se a concentrao de estrncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto , se a meia-vida do estrncio 90 de 29 anos, determine o valor da constante b. b) Dada uma concentrao inicial P0, de estrncio 90, determine o tempo necessrio para que a concentrao seja reduzida a 20% de P0. Considere log210 3,32. 15-UNESP) A expectativa de vida em anos em uma regio, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no ano x (x 1900), dada por L(x) = 12(199 log10 x - 651). Considerando log10 2 = 0,3, uma pessoa dessa regio que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver: a) 48,7 anos. b) 54,6 anos. c) 64,5 anos. d) 68,4 anos. e) 72,3 anos.

16-) Uma certa bactria se alastra de tal forma que o nmeros de indivduos 50% maior em 10 horas. Se o nmero de bactrias dado por Q= Q0 ekt determine a constante de crescimento. 17-) Um certo istopo se desintegra de tal forma que sua massa se reduz a metade do inicial em 400 anos . Sabendo que sua massa dada por M = M0 e-kt 18-) Um certo antibitico eliminado no do corpo humano de tal forma que sua quantidade no corpo humano dada por : Q = Q0 e-kt. Se em 10 horas a quantidade de 20% do inicial . Determine a constante de decaimento. 19-) Uma colnia de bactrias esta sob a ao de um novo bactericida que mata indivduos da colnia de tal forma que a quantidade de integrantes da colnia se reduz a 80% do inicial em 20 minutos. Calcule o tempo necessrio para que a colnia se reduza a metade considerando19

11-UFG) A lei de resfriamento de Newton estabelece para dois corpos, A e B, com temperatura inicial de 80oC e 160oC, respectivamente, imersos num meio com temperatura constante de 30oC, que as temperaturas dos corpos, aps um tempo t, sero dadas pelas funes TA = 30 + 5010- kt e TB = 30 + 13010-2kt onde k uma constante. Qual ser o tempo decorrido at que os corpos tenham temperaturas iguais? a) (1/k).log5 b) (2/k).log(18/5) c) (1/k).log(2/5) d) (2/k).log(5/2) e) (1/k).log(13/5) 12-UERJ) O nmero, em centenas de indivduos, de um determinado grupo de animais, x dias aps a liberao de um predador no seu ambiente, expresso pela seguinte funo:

que a quantidade do bactericida dada por Q = Q0 e -kt 20-) Um pesticida experimental que aumenta a imunidade de plantas em relao de mutualismo com formigas, diminui 40% da quantidade inicial de vespas na plantao em 20 horas. Determine depois de quantas horas a quantidade de vespas reduz a 90% considerando Q = Q0 e kt 21-PSS 1- 2005) Um antibitico age no corpo humano de tal forma que sua concentrao se reduz a 20% do inicial em 12 horas. Determine o tempo necessrio para que a quantidade seja de 40% 22-) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura T0 obedece seguinte relao:

P0 . 2bt, onde t um instante de tempo, medido em anos, b uma constante real e P0 a concentrao inicial de estrncio 90, ou seja, a concentrao no instante t = 0. a) Se a concentrao de estrncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto , se a meia-vida do estrncio 90 de 29 anos, determine o valor da constante b. b) Dada uma concentrao inicial P0, de estrnciTo 90, determine o tempo necessrio para que a concentrao seja reduzida a 20% de P0. Considere log210 3,32.

Nesta relao, T medida na escala Celsius, t o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c so constantes a serem determinadas. Considere uma xcara contendo caf, inicialmente a 1000 C, colocada numa sala de temperatura 200 C. Vinte minutos depois, a temperatura do caf passa a ser de 400 C.

23-UNICAMP) O decaimento radioativo do estrncio 90 descrito pela funo P(t) =

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