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O conhecimento é a nossa propaganda.

Função Exponencial e Função Logarítmica

Gabaritos Comentados dos Questionários Lista de Exercícios 1 01) (ESPCEX 2002) A solução de 2

(48/x) = 8

a) múltiplo de 16. b) múltiplo de 3. c) número primo. d) divisor de 8. e) divisor de 9. Resolução: Podemos fazer 2

(48/x) = 8 de outro modo:

log2

8 = 48/x

Como log2

8 = 3, temos que:

48/x = 3 → x = 48/3 → x = 16. 16 é um múltiplo de 16 (16 . 1). ALTERNATIVA A 02) (UNESP 2009) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por:

Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log10 2 = 0,3, a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros, era de: a) 5. b) 8. c) 9. d) 11. e) 12. Resolução: Temos que a fórmula da altitude do avião em função da pressão atmosférica é:

h(p) = 20.log10(1 / 0,4) h(p) = 20.log10(1 / 4/10) h(p) = 20.log10(10/4) h(p) = 20(log1010 - log10 4) h(p) = 20(log1010 - log10 2²) h(p) = 20(log1010 – 2.log10 2) h(p) = 20.(1 – 2.0,3)



h(p) = 20.(1 – 0,6) h(p) = 20.(0,4) h(p) = 8 ALTERNATIVA B 03) (UESPI 2007) Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o mesmo se dava de acordo com a função f(t) = 0,7 + 0,04(3)

0,14t, com t representando o

número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t) a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é: a) 30 dias. b) 40 dias. c) 46 dias. d) 50 dias. e) 55 dias. Resolução: 88,18 = 0,7 + 0,04.(3)

0,14t

87,48 = 0,04.(3)0,14t

2187 = (3)

0,14t

37 = 3

0,14t

7 = 0,14t t = 50 ALTERNATIVA D 04) (UFPB 2001) Sabe-se que logm 10 = 1,6610 e que logm 160 = 3,6610, m ≠ 1. Assim, o valor correto de m corresponde a: a) 4. b) 2. c) 3. d) 9. e) 5. Resolução: logm 160 = 3,6610 logm 16.10 = 3,6610 logm 4².10 = 3,6610 logm 4² + logm 10 = 3,6610 logm 4² + 1,6610 = 3,6610 logm 4² = 2 2.logm 4 = 2 logm 4 = 1 m¹ = 4 m = 4 ALTERNATIVA A 05) (MACKENZIE 2006) A soma das raízes da equação 2

2x + 1 - 2

x + 4 = 2

x + 2 - 32 é:

a) 2. b) 3. c) 4. d) 6.



e) 7. Resolução: 2

2x + 1 - 2

x + 4 = 2

x + 2 - 32

22x + 1

- 2x + 4

= 2x + 2

- 25

log 22x + 1

– log 2x + 4

= log 2x + 2

– log 25

log 2 (2x + 1) / (x + 4)

= log 2 (x + 2) / 5

(2x + 1) / (x + 4) = (x + 2) / 5 5.(2x + 1) = (x+ 2).(x + 4) 10x + 5 = x² + 2x + 4x + 8 10x + 5 = x² + 6x + 8 x² - 4x + 3 = 0 ∆ = (-4)² - 4.1.3 ∆ = 16 – 12 ∆ = 4 x1 = [-(-4) + 2] / 2 x1 = [4 + 2] / 2 x1 = 6 / 2 x1 = 3 x2 = [-(-4) - 2] / 2 x2 = [4 - 2] / 2 x2 = 2 / 2 x2 = 1 x1 + x2 = 3 + 1 = 4 ALTERNATIVA C 06) (UFPB 2000) Sabendo-se que 16

x = 9 e log3 2 = y, é verdade que:

a) x = 2 y. b) y = 2x. c) xy = 1/2. d) xy = 2. e) x + y = 4. Resolução: log3 2 = y 3

y = 2

16

x = 9

(24)x = 3

2

24x

= 32

(3y)4x

= 3² 3

4xy = 3²

4xy = 2 xy = 1/2 07) (UFLA 2003) Se log102 = 0,30103, então log105 é: a) 1,30130. b) 0,70907. c) 0,69897. d) 0,60387.



e) 1,51321. Resolução: log10 5 = log10 10/2 log10 5 = log10 10 - log10 2 log10 5 = 1- 0,30103 log10 5 = 0,69897 ALTERNATIVA C

08) (UFTM 2008) O valor de é igual a: a) 6 log 2. b) log 2. c) 1. d) 0. e) –1. Resolução: Como: Temos que:

Já que (1/8)

-1 = 8.

ALTERNATIVA E 09) (UFAC 2003) Se x e y são números reais positivos e log x + log y = t, então o valor de log (1/xy), em função de t, é: a) t. b) –t. c) 1/t. d) t². e) 2t. Resolução: Temos que log x + log y = log xy = t A partir de log xy = t, temos que: 10

t = xy

Substituindo em log (1/xy), em função de t, temos que: log (1/10

t) = log 10

-t

Assim: -t . log 10 = -t . 1 = -t.

loglog

logb

c

c

aa

b



Já que log1010

= 1. ALTERNATIVA B 10) (UFMT 2006) A magnitude de um terremoto é medida na escala Richter. Considere que as magnitudes M1 e M2 de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula

, onde E1 e E2 são as medidas das quantidades de energia liberada pelos terremotos. Em 1955, ocorreu um terremoto no norte de Mato Grosso e, em 2004, um outro na ilha de Sumatra, na costa da Indonésia, que liberaram as quantidades de energia E1 e E2, respectivamente. Admitindo-se que E1 foi equivalente à milésima parte de E2 e que o terremoto ocorrido na ilha de Sumatra teve magnitude M2 = 9, qual a magnitude M1 do terremoto ocorrido no norte de Mato Grosso? a) 6. b) 7. c) 5. d) 4. e) 3. Resolução: M1 – M2 = 2/3.log(E1/E2) M1 – M2 = 2/3.log(0,001E2/E2) M1 – M2 = 2/3.log(0,001) M1 – M2 = 2/3.log(10

-3)

M1 – M2 = 2/3.(-3) M1 – M2 = -2 M1 – 9 = -2 M1 = 7 ALTERNATIVA B Lista de Exercícios 2 01) (UFRN 2009) Numa experiência realizada em laboratório, Alice constatou que, dentro de t horas, a população P de determinada bactéria crescia segundo a função P(t) = 25×2

t .

Nessa experiência, sabendo-se que log25 ≈ 2,32, a população atingiu 625 bactérias em, aproximadamente: a) 4 horas e 43 minutos. b) 5 horas e 23 minutos. c) 4 horas e 38 minutos. d) 5 horas e 4 minutos. Resolução: Tendo a fórmula P(t) = 25 . 2

t. Se P(t) = 625, temos que:

625 = 25 . 2

t → 2

t = 625/25 → 2

t = 25

Assim temos que: log2

25 = t → log2

5² = 2 . log2

5

Se log2

5 = 2,32, temos que:

2 . log25 = 2 . 2,32 = 4,64 horas.

Temos que:



1 hora --------------- 60 minutos 0,64 hora ---------- x x = 38,4 minutos. Portanto, a população de bactérias atingiu o nível de 625 em, aproximadamente, 4 horas e 38 minutos. ALTERNATIVA C 02) (UNIFESP 2002) O valor de x que é solução da equação log10 2 + log10 (x + 1) - log10 x = 1 é: a) 0,15. b) 0,25. c) 0,35. d) 0,45. e) 0,55. Resolução: Temos que: log10 2 + log10 (x + 1) - log10 x = log102 . [(x + 1)/x] = 1 Fazendo y = 2 . [(x + 1)/x], temos que: Log10

y = 1 → 10¹ = 10

Portanto y = 10. Substituindo: 10 = 2 . [(x + 1)/x] → (x + 1)/x = 5 → 5x = x + 1 → 4x = 1 → x = ¼ x = 0,25. ALTERNATIVA B 03) (FEI 2008/2) Se logab = 2 e logac = 3 (com b > 0, c > 0, a > 0 e a ≠ 1), então: a) loga (b.c) = 6. b) loga c² = 9. c) loga (b/c) = 2/3. d) loga (b².c³) = 108. e) loga (b.c²) = 8 Resolução: loga (b.c²) loga b + loga c + loga c 2 + 3 + 3 = 8 loga (b.c²) = 8 ALTERNATIVA E 04) (UFPB 2001) Em uma comunidade de bactérias, há inicialmente 10

6 indivíduos. Sabe-se

que após t horas (ou fração de hora) haverá Q(t) = 106 x 3

2t indivíduos. Neste caso, para que a

população seja o triplo da inicial, o tempo, em minutos, será: a) 10. b) 20. c) 30. d) 40. e) 50.



Resolução: Q(3) = 3.10

6

3.10

6 = 10

6.3

2t

3 = 32t

3¹ = 32t

1 = 2t t = 0,5 horas = 30 minutos ALTERNATIVA D 05) (FEI 2007/2) Se log2(x + 112) = log2x + 3, então log4x é: a) 2. b) 1. c) 4. d) 1/2. e) 1/4. Resolução: log2(x + 112) = log2x + 3 log2(x + 112) - log2x = 3 log2(x + 112) - log2x = log28 log2 (x + 112)/x = log28 (x + 112)/x = 8 x + 112 = 8x 7x = 112 x = 16 log416 = a 4

a = 16

4a = 4²

a = 2 ALTERNATIVA A 06) (FGV-SP 2009/2) Dada a equação logarítmica 2log (x +1) - log 5 = log (x² -1), podemos afirmar que sua única raiz é um número real: a) menor que 1. b) entre 1 e 2. c) entre 2 e 3. d) entre 3 e 4. e) maior que 4. Resolução: 2log (x + 1) - log 5 = log (x² - 1) log (x + 1)² - log 5 = log (x² - 1) log (x + 1)² / 5 = log (x² - 1) (x + 1)² / 5 = (x² - 1) (x + 1)² = 5.(x² - 1) x² + 2x + 1 = 5x² - 5 4x² - 2x - 6 = 0 ∆ = (-2)² - 4.4.(-6) ∆ = 4 + 96 ∆ = 100



x1 = [-(-2) + 10] / 2.4 x1 = [2 + 10] / 8 x1 = 12 / 8 x1 = 1,5 x2 = [-(-2) - 10] / 2.4 x2 = [2 - 10] / 8 x2 = - 8 / 8 x2 = -1 Nesse caso, x + 1 > 0, ou seja, x > -1. Portanto, a única solução da raiz é x = 1,5. ALTERNATIVA B 07) (PUC-RS 2005) Na expressão log 8 – log 2 + 2log x = 0, o valor de "x" é: a) 1. b) 0,5. c) 0. d) –0,5. e) –1. Resolução: log 8 – log 2 + 2log x = 0 log 8 + 2log x = log 2 log 8 + log x² = log 2 log 8 / x² = log 2 8 / x² = 2 2x² = 8 x² = 1/4 x1 = 1/2 = 0,5 x2 = -1/2 = -0,5 x > 0, ou seja, apenas x1 é a raiz da equação. ALTERNATIVA B 08) (ESPM 2008) Considerando-se log 2 = 0,3, o valor de x na igualdade 4

x = 5

x−1 é:

a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. Resolução: 2

2x = (10/2)

x−1

log 22x

= log (10/2)x−1

2x.log 2 = (x – 1).log (10/2) 2x.log 2 = (x – 1).(log 10 – log 2) 2x.0,3 = (x – 1).(1 – 0,3) 0,6x = (x – 1).0,7 0,6x = 0,7x – 0,7 0,1x = 0,7 x = 7



ALTERNATIVA C 09) (MACKENZIE 2006) O valor de log (1/ab), sabendo que a e b são raízes da equação x² - 7x + 10 = 0, é: a) 2. b) -1. c) -1/2. d) 1. e) 1/2. Resolução: Resolvendo a equação de segundo grau temos: X² - 7x + 10 = 0 Δ = b² - 4 ac = 49 – 4 . 1 . 10 = 9

Agora: log (1/ab) = log 1 – log (ab) Como temos os valores de a e de b: log 1 – log (5 . 2) = 0 – log 10 = -1. ALTERNATIVA B 10) (UERN 2009) Sejam a, b e c números reais positivos. Sabendo-se que o valor de b é 243, é

correto afirmar que é igual a: a) 20. b) 15. c) 12. d) 10. Resolução:

Log3

b² = 2 . log3

b

Como sabemos que b = 243, temos que: 2 . log3

243 = 2 . 5 = 10.

ALTERNATIVA D Lista de Exercícios 3



01) (ESPCEX 2007) Ao encontrarmos as raízes da equação exponencial 4x - 12.2

x + 32 = 0 e

multiplicarmos essas raízes entre si, obteremos por produto o valor: a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 15. Resolução: 2

x = t

2²

x - 12.2

x + 32 = 0

t² - 12t + 32 = 0 ∆ = (-12)² - 4.1.32 ∆ = 144 – 128 ∆ = 16 t1 = [-(-12) + 4] / 2 t1 = [12 + 4] / 2 t1 = 16 / 2 t1 = 8 t2 = [-(-12) – 4] / 2 t2 = (12 – 4) / 2 t2 = 8 / 2 t2 = 4 2

x1 = 8

2x1

= 2³ x1 = 3 2

x2 = 4

2x2

= 2² x2 = 2 x1.x2 = 3 x 2 = 6 ALTERNATIVA A 02) (UFPEL 2007) A lei que mede o ruído e definida pela expressão R = 120 + 10 log I, em que I e a intensidade sonora, medida em W/m² e R e a medida do ruído, em decibéis (dB). O quadro abaixo mostra o ruído de algumas fontes de som:

Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que a intensidade sonora percebida e suportada sem dor pelo ser humano, varia entre:



a) 10

-12 e 1 W/m².

b) 10-12

e 10 W/m². c) 10

12 e 1 W/m².

d) 10-3

e 1 W/m². e) 10

12 e 10 W/m².

Resolução: R = 120 + 10 log I 0 = 120 + 10 log I 10 log I = - 120 log I = -12 I = 10

-12 W/m².

R = 120 + 10 log I 120 = 120 + 10 log I 10 log I = 0 log I = 0 I = 10

0

I = 1 W/m². ALTERNATIVA A 03) (UFJF 2005) O conjunto-verdade da equação log x + log (x + 1) – log 6 = 0 é: a) {3}. b) {2, -3}. c) {-2, 3}. d) {2, 3}. e) {2}. Resolução: log x + log (x + 1) – log 6 = 0 log x + log (x + 1) = log 6 log x.(x + 1) = log 6 x.(x + 1) = 6 x² + x = 6 x² + x – 6 = 0 ∆ = (1)² - 4.1.(-6) ∆ = 1 + 24 ∆ = 25 x1 = (-1 + 5) / 2 x1 = 4 / 2 x1 = 2 x2 = (-1 – 5) / 2 x2 = - 6 / 2 x2 = -3 Nesse caso, x > 0, ou seja, conjunto verdade é composto apenas por x = 2. ALTERNATIVA E

04) (PUC Campinas 2005) A lei da atração gravitacional, dada pela fórmula , é equivalente a:



a) log F = 1/2. (log G + log m + log M + log r). b) log m = 1/2. (log G + log M + log F + log r). c) log r = 1/2. (log G + log m + log M - log F). d) log M =1/2. (log G + log m + log F - log r). e) log F = (log G). (log m). (log M) - 2 log r. Resolução: F = G.m.M / r² r² = G.m.M / F log r² = log G.m.M / log F 2.log r = log G + log m + log M – log F log r = 1/2 . (log G + log m + log M – log F) ALTERNATIVA C 05) (ESPCEX 2004) Se log3 4 = a e log4 5 = b, então o valor de log3 5 em função de a e b é: a) 1/(a + b). b) b/a. c) 1/ab. d) a/b. e) ab. Resolução: log3 4 = a 3

a = 4

log4 5 = b 4

b = 5

log3 5 (5 = 4

b)

log3 4b

(4 = 3a)

log3 (3a)b

log3 3ab

log3 5 = log3 3ab

= ab

ALTERNATIVA E 06) (UESPI 2007) Após alguns experimentos envolvendo a mistura do enxofre com o sódio, um químico chegou a um produto cuja relação entre a quantidade y de sódio em função da quantidade x de enxofre existente na sua composição, obedecia a equação y = k. x

2n, onde k e

n são duas constantes reais. Supondo que numa dessas experiências com o produto foram obtidos os dados da tabela a seguir, e que log 3 = 0,48, calcule o valor de 100n.

a) 25. b) 26. c) 37. d) 38. e) 40.



Resolução: 15 = k.3

2n

50 = k.302n

k = 15/32n

k = 50/30

2n

15/32n

= 50/302n

3/32n

= 10/302n

3.302n

= 10.32n

log 3.302n

= log 10.32n

log 3 + log 302n

= log 10 + log 32n

log 3 + log (3.10)2n

= log 10 + log 32n

log 3 + 2n.log (3.10) = log 10 + 2n.log 3

log 3 + 2n(log 3 + log 10) = log 10 + 2n.log 3

0,48 + 2n(0,48 + 1) = 1 + 2n.0,48 0,48 + 2n.1,48 = 1 + 0,96n 0,48 + 2,96n = 1 + 0,96n 2n = 0,52 n = 0,26 100n = 100 x 0,26 = 26 ALTERNATIVA B 07) (UNESP 2008) Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02)

5 = 1,1, Cássia

computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é: a) R$ 18.750,00. b) R$ 18.150,00. c) R$ 17.250,00. d) R$ 17.150,00. e) R$ 16.500,00. Resolução: Temos uma aplicação no valor de R$ 15000,00 durante 10 meses à taxa de 2% a.m. O valor aproximado do montante recebido ao final da aplicação corresponde a: 15000 . (1 + 0,02)

10 = 15000 . (1,02)

10 = 15000 .1,21 ≈ R$ 18150,00.

ALTERNATIVA B 08) (UFRN 2007) Sabendo-se que log AB = 7 e log A/B = 3, pode-se concluir que o valor da expressão (log A)² – (log B)² é igual a: a) 21. b) 4. c) 10. d) 40. Resolução: Temos que: log AB = log A + log B = 7 log B/A = log A – log B = 3 Isolando log B em log A – log B = 3, temos: log B = log A – 3 Substituindo em log A + log B = 7, temos: log A + log A – 3 = 7



2 . log A = 10 log A = 5 log B = log A – 3 = 5 – 3 = 2 Assim: (log A)² - (log B)² = 25 – 4 = 21. ALTERNATIVA A 09) (ESPCEX 2008) O valor de x para o qual as funções f(x) =2

x e g(x) = 5

1-x reais possuem a

mesma imagem é: a) log 2 + 1. b) log 2 – 1. c) 1 – log 2. d) 2log 2 + 1. e) 1 – 2log 2. Resolução: Para possuírem a mesma imagem, f(x) = g(x). 2

x = 5

1-x

2x = (10/2)

1-x

log 2x = log (10/2)

1-x

x.log 2 = (1 – x).log 10/2 x.log 2 = (1 – x).(log 10 – log 2) x.log 2 = log 10 – log 2 – x.log 10 + x.log 2 x.log 2 - x.log 2 = log 10 – log 2 – x.log 10 0 = 1 – log 2 – x.1 0 = 1 – log 2 – x x = 1 – log 2 ALTERNATIVA C 10) (FEI 2007) A soma e o produto das raízes da equação 4.4

x - 17.2

x + 4 = 0 são,

respectivamente, iguais a: a) 17/4 e 1. b) 2 e -2. c) 0 e -4. d) 2 e 1/4. e) 17 e 4. Resolução: 2

x = t

4.4

x - 17.2

x + 4 = 0

4.22x

- 17.2x + 4 = 0

4t² - 17t + 4 = 0 ∆ = (-17)² - 4.4.4 ∆ = 289 – 64 ∆ = 225 x1 = [-(-17) + 15] / 2.4 x1 = [17 + 15] / 8 x1 = 32 / 8 x1 = 4



x2 = [-(-17) - 15] / 2.4 x2 = [17 - 15] / 8 x2 = 2 / 8 x2 = 1/4 2

x = t

2x1

= 4 2

x1 = 2²

x1 = 2 2

x = t

2x2

= 1/4 2

x2 = (1/2)²

2x2

= (2)-²

x2 = -2 x1 + x2 = 2 – 2 = 0 x1 . x2 = 2.(-2) = -4 ALTERNATIVA B

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