FUNÇÃO EXPONENCIAL · PDF fileTAREFA 1 – Página 4,...

Hewlett-Packard

Ano: 2015

FUNÇÃO

EXPONENCIAL Aulas 01 e 06

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário Equação Exponencial ................................................... 1

Equação Exponencial .......................................................................................................................................... 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

Método da redução à base comum .................................................................................................................... 1

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1

Equação Exponencial ................................................... 1

Resolução por artifícios ....................................................................................................................................... 1

1º artifício – o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência. ...... 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 2


O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................... 2

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL .............. 3


Gráficos com Translação .............................................. 4

Gráficos com reflexão ......................................................................................................................................... 4

CASO GERAL ................................................................. 5


Conjunto-Imagem ............................................................................................................................................... 5


PROBLEMAS ................................................................. 5


INEQUAÇÃO EXPONENCIAL.......................................... 6


CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01 Equação Exponencial

Equação Exponencial Uma equação exponencial é aquela cuja incógnita

aparece no expoente.

Exemplo 1

Avaliando a primeira equação do exemplo acima,

observamos que

Assim, vemos que é possível resolvermos essas

equações. No entanto, veremos a seguir que há

técnicas de resolução distintas para cada tipo de

equação exponencial.

Método da redução à base comum Um dos métodos para resolver equações exponenciais consiste em reduzir, quando possível, ambos os membros da igualdade a uma mesma base e utilizar a seguinte propriedade:

Exemplo 2

Obs.1: Com o presente conhecimento, nem sempre

conseguimos igualar as bases.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Resolva, em , as equações:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

DESAFIO: Resolva a equação exponencial

Obs.2: Lembre-se que .

AULA 02 Equação Exponencial

Resolução por artifícios Nem sempre o processo de igualar as bases é feito de

forma direta. Quando houver somas na base da

potência, pode-se tornar necessário aplicar um

artifício.

1º artifício – o primeiro artifício consiste em

colocarmos o termo comum, com incógnita, em

evidência.

Exemplo 1

Para utilizar o primeiro artifício, faça o seguinte passo-

a-passo:

Base comum

Lembre-se que a propriedade apresentada

se aplica apenas aos casos nos quais se é possível

reduzir a equação a uma igualdade com apenas

duas potências de mesma base, uma de cada lado

da igualdade. Note que, no caso a seguir,

não é possível se fazer tal redução.

Uma boa ferramenta para igualar as bases

dos membros da equação é fatorar os números em

divisores primos. Utilize também as propriedades

relacionadas às potências.

TAREFA 1 – Página 4, exercícios propostos 1, 2, 4, 6,

7 e 8.

Fração

No estudo de equações exponenciais,

evitaremos utilizar números na forma decimal.

Transforme-os em fração, pois o processo de igualar

as bases fica mais fácil nessa forma.


1º) Identifique quem é o termo comum e faça-o

aparecer livre em cada parcela.

2º) Coloque o termo comum em evidência.

3º) Isole o termo com incógnita e iguale as bases.

Determine o resultado utilizando a propriedade.

Obs.3: Utilize o primeiro artifício quando a equação

dada apresentar todas as incógnitas como expoentes

de números que podem ser reduzidos a uma mesma

base. Em geral, há somas e subtrações nos expoentes.

2º artifício – o segundo artifício consiste na criação, e

substituição, de uma variável auxiliar.

Exemplo 2

Para utilizar o segundo artifício, faça o seguinte passo-

a-passo:

1º) Identifique quem é o termo comum (por vezes faz-

se necessário fatorar alguma(s) base(s)) e faça ele

aparecer livre em cada parcela.

2º) Crie uma variável auxiliar e faça a substituição

.

Tomando , temos que

3º) Resolva a equação na nova incógnita.

ou

4º) Retorne à variável original e determine seu valor.

Obs.4: Lembre-se que é sempre positivo, se .

Obs.5: Utilize o segundo artifício quando, no processo

para evidenciar a base comum, aparecer potências da

mesma base em diferentes graus e com somas entre

elas.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Resolva, em , as seguintes equações.

a)

b)

AULA 03

O CONCEITO DE FUNÇÃO

EXPONENCIAL Uma função

é denominada função

exponencial de base a se sua lei, , puder ser

escrita como , com e .

Exemplos:

1) 3)

2)

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.1. Identifique quais funções a seguir são exemplos

de função exponencial.

a)

b)

c)

d)

e)

3.2. Dada a função , determine

a)

TAREFA 2 – Página 6, exercícios propostos 10, 11,

13 e 16.


b)

c) tal que

d) tal que

O GRÁFICO DE UMA

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Vamos começar o estudo do gráfico de uma função

exponencial por meio de dois exemplos:

Exemplo 1

Gráfico de

Para construir o gráfico de f escolhemos

alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os

valores de correspondentes. Veja os pares

ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 2 0,25 1 0,5 0 1

1 2

2 4 3 8

Marcando os pontos da última coluna da

tabela em um plano cartesiano, podemos construir o

seguinte gráfico:

Obs.1: Repare que , para todo . Por isso,

o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das abscissas, por

mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre

com uma curva, dizemos que ela é assíntótica ao eixo

das abscissas.

Exemplo 2

Gráfico de

.

Para construir o gráfico de g escolhemos

alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os

valores de correspondentes. Veja os pares

ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 2 0,25

1 0,5 0 1 1 2 2 4

3 8

Marcando os pontos da última coluna da

tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o

seguinte gráfico:

De um modo geral, o gráfico de uma função

exponencial f, tal que , com e

apresentará algumas características. São elas:

Decrescente Crescente

Passa pelo ponto Passa pelo ponto

Acima do eixo das abscissas

Acima do eixo das abscissas.

I. Todo o gráfico estará contido acima do eixo

das abscissas, pois, sendo temos

, para todo .


II. O gráfico sempre passa pelo ponto , pois

para todo .

III. Se , então o gráfico será crescente e se

, então o gráfico será decrescente.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Construa, em um sistema de eixos

perpendiculares , o gráfico de cada função

exponencial a seguir.

a)

b)

AULA 04

Gráficos com Translação Obs.1: Para auxiliar nos estudos dessa parte, você

deve fazer o download do app "geogebra". Ele é um

aplicativo gratuito.

Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das

funções a seguir.

a)

b)

c)

Observe que o gráfico da função é o gráfico de

transladado três unidades para cima e que o gráfico

de é o gráfico de transladado uma unidade para

baixo.


com e ,

será a translação do gráfico da função em:

B unidades para cima, se ,

unidades para baixo, se .

Nesses casos, a curva da função f será assintótica à

reta . Veja exemplo abaixo ( ).

Gráficos com reflexão Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das

funções a seguir.

a)

b)

Observe que o gráfico da função é o gráfico de

refletido pelo eixo .


com e ,

com , será a reflexão pelo eixo x do gráfico da

função .

Veja o exemplo abaixo.

TAREFA 3 – Ler páginas de 1 a 5 e fazer o PROPOSTO 1.

Como construir um gráfico no geogebra?

Para construir um gráfico no geogebra siga os

seguintes passos:

1. Clique no "campo de entrada"

2. Comece a escrita da função sempre com "y="

3. Depois do igual digite a função desejada,

lembrando que para escrever potência usa-se

o símbolo "^". (por exemplo, para escrever

escreve-se x^3)


Obs.2: Com a curvatura do gráfico irá se

alterar, porém ele não será refletido.

CASO GERAL

Considere a função , em

que , e são constantes reais, e .

Essa função pode ser considerada como um caso geral

para funções que envolvem exponencial. O gráfico

dessa função é gerado por translações e reflexões do

gráfico da função .

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Utilizando translação e reflexão esboce o gráfico

das funções:

a)

b)

c)

Conjunto-Imagem O conjunto-imagem da função exponencial

é limitado pelo valor

assintótico da função, ou seja, se a função tem como

assíntota a reta , então seu conjunto imagem é

Ou

Para determinar em qual dos dois casos está a

situação, basta observar se o gráfico está ou não

refletido.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.2. Determine o conjunto-imagem das funções:

a)

b)

c)

4.3. Seja a função , em que

, com e constantes reais.

Sabendo que o conjunto-imagem da função é dado

por e que é

correto afirmar que

a)

b)

c)

d)

e)

AULA 05

PROBLEMAS Considere o caso geral da função exponencial

. Encontraremos vários

problemas que envolvem funções desse tipo para

descobrirmos os valores de B, C e k.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Um produto tem seu valor dado pela função

, em que x é o tempo em anos

contados a partir de 2003 ( , e é dado em

reais. Dado que em 2005 esse produto valia 1000

reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.

a) O valor do produto em 2003.

b) O valor do produto em 2007.

c) O ano em que o produto valerá 32000 reais.

Fórmula geral e gráfico

Observe que a fórmula geral da função exponencial

altera o gráfico da seguinte maneira:

REFLEXÃO

TRANSLAÇÃO

Resumidamente:

, não reflete.

, reflete (assíntota ).

, tranlada unidades para cima.

, translada unidades para baixo.

TAREFA 4 – Ler páginas 6 e de 11 a 15.


5.2. Para um refrigerador fechado, a sua temperatura

interna segue a lei , em que é o

tempo em minutos, é a temperatura em graus

Celsius ( ) e k é uma constante real. Se após 1

minuto, a temperatura interna é de a

temperatura interna após 3 minutos será de

A) .

B) .

C) .

D) .

E) .

5.3. Num período prolongado de seca, a variação da

quantidade de água, em litros, de certo reservatório é

dada pela função , em que e são

constantes positivas, é a quantidade de água

após t semanas e é a quantidade inicial de água.

Sabe-se que gramas dessa substância foram

reduzidas a em 10 semanas. A que porcentagem

de ficara reduzida a quantidade de água após 30

semanas:

A)

B)

C)

D)

E)

Obs.2: Nem sempre é possível determinar todas as

constantes que aparecem na situação.

5.4. Em um experimento com uma colônia de

bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte

minutos após o início do experimento e, dez minutos

mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a

população da colônia cresce exponencialmente, de

acordo com a função , em que é a

população inicial, é uma constante positiva e é

a população t minutos após o início do experimento.

Calcule o valor de , desprezando a parte

fracionária de seu resultado, caso exista.

Obs.3: A constante é um número irracional também

conhecido como “número de Euler”.

AULA 06

INEQUAÇÃO

EXPONENCIAL Antes de entrarmos no estudo de inequações

exponenciais vamos fazer uma análise que é válida

para qualquer função.

Considere uma função . Vamos

avaliar o seu comportamento quanto ao

crescimento/decrescimento

Se f é crescente em todo seu domínio, então

para dois valores, e , pertencentes a ,

temos que

Se f é decrescente em todo seu domínio,

então para dois valores, e , pertencentes

a A, temos que

Determinação das constantes

Em grande parte dos problemas que envolvem

função exponencial é solicitado (ou é necessário) que

se encontre os valores das constantes. Um dos

principais métodos para se determinar constantes é

substituir valores numéricos. Estes podem ser

encontrados

No enunciado

Em gráficos

Em tabelas

Lembre-se que valores numéricos são objetos do tipo

, por exemplo.

TAREFA 5 – Exercícios propostos 2 a 9, 15, 16 e 22.


No estudo das funções exponenciais dividimos

as funções em dois casos de acordo com sua base real

a.

Decrescente Crescente

Assim podemos concluir que

Se , então

Se , então

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.1. Resolva, em , as inequações a seguir.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

EXTRA CAIU NO VEST 1. (ITA – 2013) A soma de todos os números reais x

que satisfazem a equação

. É igual a:

a) 8. b) 12. c) 16. d) 18. e) 20.

Questões extras

1) A soma das raízes da equação

é igual a

(A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 4.

(E) 5.

2) A raiz real da equação é

(A) Um divisor de 3.

(B) Um múltiplo de 2.

(C) O inverso de 13.

(D) Igual a 15.

(E) Um número primo maior do que 3.

3) Se a equação

admite como

soluções os números reais e , então pode

ser igual a

(A) 1.

TAREFA 6 – Ler páginas de 1 a 4 e fazer os PROPOSTOS 1

a 5, 9, 13 e 17. DESAFIO: 7, 8 e 12

Como resolver inequações exponenciais

O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de

inequações exponenciais:

1º) Reduza ambos os membros a uma base comum

2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que )

3º) Aplique a respectiva definição feita acima.

Note que para reduzir ambos os membros a uma base

comum, pode ser necessário fazer uso dos artifícios.


(B) 3.

(C) 6.

(D) 8.

(E) 9.

4) O conjunto-solução, em , da equação

, é igual a

a) . b) . c) . d) . e) .

5) O conjunto-solução, em , da equação

, possui

(A) Dois números reais opostos.

(B) Dois números reais cuja soma é igual a um.

(C) Um único número real cujo valor é maior que

dois.

(D) Um único número real cujo valor é igual a

dois.

(E) Um número negativo.

6) Em uma experiência observou-se que uma

substância se desintegra com o passar dos anos.

Sua massa , existente após anos do início da

experiência, é dada por

, em

que representa uma massa inicial. Decorridos

anos após o início da experiência, a

porcentagem de massa existente, em relação à

quantidade é igual a

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

(E) .

7) A massa de uma população de bactérias, ao final

de minutos, é dada pela lei .

Sabendo que ao final de 1 minuto a massa dessa

população era 64 e que ao final de 3 minutos a

massa dessa mesma população era 256, calcule a

massa dessa população de bactérias ao final de 90

segundos.

8) O gráfico a seguir é uma representação cartesiana

do gráfico da função , em que

, com e .

Dado que 1 é raiz de e a reta é uma

assíntota de , o valor de é igual a

(A) -2.

(B) -1.

(C) 0.

(D) 1.

(E) 2.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 7S b) 21S c) 0S

d) 1

6S

e) 6

5S

f) 1 6; 1 6S

2.1. a) 0S b) 2S

3.1. a, e

3.2. a) 4 b) 1

4 c) 3 d) Não existe

4.1. Gráficos

4.2. a) 2, b) 2, c) , 2

4.3. B

5.1. a) 500 b) 2000 c) 2015

5.2. C

5.3. E

5.4. 17

6.1. a) | 3S x x b) 3

|2

S x x

c) | 2S x x d) | 3S x x

e) | 5S x x

f) | 0 ou 2S x x x


CAIU NO VEST 1. D

QUESTÕES EXTRAS 1. E

2. B

3. A

4. B

5. D

6. C

7. 64 2

8. C

FUNÇÃO EXPONENCIAL · PDF fileTAREFA 1 – Página 4,...

Documents

Transcript of FUNÇÃO EXPONENCIAL · PDF fileTAREFA 1 – Página 4,...