FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU … DA RETA Introdução Observamos no estudo sobre função do...
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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
1- Definição
Denomina-se função do 1º grau (ou afim) a toda função do tipo f(x) = ax+b
com a * e b .
Exemplos
a) f(x) = 2x – 6 (a = 2 e b = -6) b) y = -x + 4 (a = -1 e b = 4)
c) f(x) = 5x – 2 (a = 5 e b = -2) d) 2
1
5
2
xy (a = 2/5 e b = -1/2)
Notas:
1ª) Domínio da função afim é o conjunto dos reais.
2ª) Conjunto imagem é o conjunto dos reais.
3ª) O gráfico é uma reta.
4ª) O gráfico intercepta o eixo das abscissas em (x, 0) e o eixo das ordenadas em
(0, y).
5ª) Quando b = 0, a função do 1º grau é denominada particularmente de função
linear [f(x) = ax] cujo gráfico passa pela origem dos eixos cartesiano.
Exemplos:
a) f(x) = 3x (a = 3 e b = 0) b) y = -5x (a = -5 e b = 0)
c) f(x) = 2x/3 (a = 2/3 e b = 0)
2- GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM OU DO 1º GRAU
O gráfico de uma função do 1º grau é representado por uma reta.
3- CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM
Como o gráfico da função afim é uma reta, precisamos de apenas dois
pontos distintos para construir a mesma, pois, ao estudarmos geometria,
verificamos que, dois pontos distintos determinam uma única reta, logo, atribuímos
dois valores arbitrários para a variável independente x, em seguida, obtemos os
valores da variável dependente y. Observe o exemplo abaixo:
1- Construir o gráfico da função f(x) = 3x – 1.
x y (x, y)
0 -1 (0, -1)
1 2 (1, 2)
f(0) = 3.0 – 1 = -1
f(1) = 3.1 – 1 = 2
EXERCÍCIO
01- Em cada função abaixo, determine:
a) O domínio.
b) O conjunto imagem.
c) O gráfico.
d) Os pontos em que o gráfico intercepta os eixos dos x e dos y.
a) f(x) = 2x – 4 b) y = -x + 3 c) f(x) = x d) y = -2x
Solução:
a) f(x) = 2x - 4
y f(x) = 3x-1
2
0 1 x
-1
a.1) D =
a.2) Im =
a.3)
x y (x, y)
0 -4 (0, -4)
1 -2 (1, -2)
f(x) = 2x – 4
f(0) = 2.0 – 4 = 0 – 4 = - 4 (valor numérico da função)
f(1) = 2.1 – 4 = 2 – 4 = -2
a.4)
)4,0(440.2)0(0
)0,2()(20420
2
1
pfx
pfunçãodaraisxxy
b) y = -x + 3
b.1) D =
b2) Im =
y
p1
2
0 1 x
-2
-4 p2
b.3)
x y (x, y)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)
f(x) = -x + 3
f(0) = 0 + 3 = 0 + 3 = 3
f(1) = -1 + 3 = 2
b.4)
)3,0(330)0(0
)0,3()(3030
2
1
pfx
pfunçãodaraizxxy
c) f(x) = x (função identidade)
c.1) D =
c2) Im =
c.3)
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
f(x) = x
f(0) = 0
y
3 p1
2
P2
0 1 3 x
f(1) = 1
3.4) P(0, 0) (origem dos eixos)
d) f(x) = -2x
d.1) D =
d.2) Im =
d.3)
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 -2 (1, -2)
f(x) = -2x
f(0) = -2.0 = 0
f(1) = -2.1 = -2
d.4) P(0, 0) (origem dos eixos)
y
1
0 1 x
y
p
0 1
x
-2
Observações:
1ª) Na reta f(x) = ax + b, o valor do coeficiente da variável independente x,
no caso a, é denominado Coeficiente Angular, sendo determinado pela tangente
do ângulo que a reta forma com o eixo positivo dos x (a = tg ) no sentido anti-
horário. Este coeficiente representa uma variação na variável dependente y (y)
ocasionado por uma modificação ocorrida na variável independente x (x). O valor
de b é denominado Coeficiente Linear, que equivale à distância da origem ao
ponto onde o gráfico intercepta o eixo-y.
2ª) Em relação à reta f(x) = 2x – 4 temos a = 2 e b = -4.
* Como a = tg , temos: tg = 2 = arctg 2 63º
3ª) Em relação à reta f(x) = -x + 3 temos a = -1 e b = 3.
* Como a = tg , temos: tg = -1 = arctg (-1) 135º
4ª) A função f(x) = 2x – 4 apresenta o coeficiente angular positivo (a = 2),
logo, é uma função crescente [x2 > x1 f(x2) > f(x1) ou x2 < x1 f(x2) < f(x1)]. Já, a
função f(x) = -x + 3, apresenta o coeficiente angular negativo (a = -1), logo, é uma
função decrescente [x2 > x1 f(x2) < f(x1) ou x2 < x1 f(x2) > f(x1)].
y
2
0 1 x
-2
-4
y
3
2
0 1 x
3- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Já vimos que estudar o sinal de uma função significa encontrar os valores
de x que a torna positiva, negativa ou nula. Então, vamos resolver o seguinte
problema:
- Estude o sinal de cada função abaixo:
a) f(x) = 2x – 4 b) f(x) = -x + 3
Solução:
a) f(x) = 2x – 4
1- Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo. Neste caso, a é positivo
(a = 2).
2- Calcula-se a raiz da função.
f(x) = 2x - 4
2x – 4 = 0 x = 2
Em outras palavras, dizemos que, se x assumir qualquer valor maior que
dois, a função f(x) será sempre positiva; se assumir qualquer valor menor que
dois, a função será sempre negativa e, se assumir o valor 2, a função será nula.
b) f(x) = -x + 3
Mesmo procedimento do anterior.
1) a < 0
2) x = 3
4- INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
4.1- Definição
É toda sentença matemática aberta do tipo ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0
e ax + b 0 com a e b e a 0.
Exemplos:
a) 2x – 6 > 0 b) -4x + 2 < 0 c) 4x 0 d) 5 – x 0
e) (4x + 4).(-2x + 4) 0 f) 084
123
x
x
4.2- Resolução
Já resolvemos algumas inequações do 1º grau quando do estudo do
domínio de uma função, então, encontremos o conjunto solução das inequações
acima.
a) 2x – 6 > 0
2x > 6 x > 3
S = {x / x > 3} ou ]3, +)
Outra maneira de resolver
2x – 6 > 0
- Transforma-se numa função do 1º grau e, em seguida, estuda-se o sinal
da mesma.
f(x) = 2x - 6
- Determina-se o sinal de a.
3
O x
a = 2 a > 0
- Calcula-se a raiz:
2x – 6 = 0 x = 3
- Esquematiza-se o resultado:
Observa-se que a função apresenta resultado positivo (f(x) > 0), quando x
assumir qualquer valor maior ou igual a 3. Então, o conjunto solução é S = {x
/ x > 3} ou ]3, +).
b) -4x + 2 < 0
Sendo a negativo (-4), deve-se multiplicar toda a inequação por -1,
conseqüentemente, troca-se todos os sinais, inclusive da inequação.
-4x + 2 < 0 x (-1)
4x – 2 > 0
4x > 2
x > 2/4
x > 1/2
S = {x / x > 1/2} ou ]1/2, +)
c) 4x 0
x 0/4
x 0
S = {x / x 0} ou (-, 0]
c/a (-) 3 m/a (+) x
O
1/2
0 x
d) 5 – x 0
-x -5 x (-1)
X 5
S = {x / x 5} ou (-, 5]
e) (4x + 4).(-2x + 4) 0 (Inequação produto)
- Separa-se em duas funções, em seguida estuda-se o sinal de cada uma.
f(x) = 4x + 4 g(x) = -2x + 4
1) a = 4 a > 0 1) a = -2 a < 0
2) 4x + 4 = 0 2) -2x + 4 = 0
x = -1 x = 2
c/a -1 m/a x
3) f(x) - ---------- +++++++++++++++++++++++ +
2
g(x) - +++++++++++++++++++ + -------------- +
f.g) - ----------- +++++++++++ --------------- +
-1 2
- Como os valores da inequação deverão ser positivos ou nulos ( 0), temos:
- 0 x
- 5 x
V = {x / -1 x 2} ou [-1, 2]
f) 084
123
x
x (Inequação quociente)
- Utiliza-se o mesmo processo da inequação produto, isto é, separa-se em duas
funções, em seguida estuda-se o sinal de cada uma.
f(x) = 3x + 12 g(x) = -4x + 8
1) a = 3 a > 0 1) a = -4 a < 0
2) 3x + 12 = 0 2) -4x + 8 0
x = -4 x = 2
* Sendo 2 raiz do denominador devemos excluí-la da resposta (x 2).
3) -4
f(x) - ++++++ ----------------------------------------- +
2
g(x) - ------------------------------- -- +++++++++++++ +
f/g) ------------- ++++++++++ ------------------- +
-4 2
- Como os valores da inequação deverão ser negativos ou nulos ( 0), temos:
V = {x / x -4 ou x 2} ou (-, -4] U ]2, +)
ESTUDO DA RETA
Introdução
Observamos no estudo sobre função do 1º grau que, através de dois
pontos distintos, construímos o gráfico da mesma, no caso, uma reta. Agora,
utilizando esses pontos, vamos encontrar a equação que representa essa reta.
Contudo, antes de determinarmos a equação da reta, vamos verificar como se
calcula a distância entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e, em seguida, o ponto
médio de um segmento.
Observe o gráfico abaixo:
yemiaçãoyyy
xemiaçãoxxx
var
var
12
12
Nele, surge um triângulo retângulo P1ÂP2. Logo, utilizando o Teorema de
Pitágoras (o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos),
encontramos a fórmula que possibilita o cálculo do valor da distância(d) entre os
pontos P1 e P2:
222
xyd 22
xyd 2
12
2
12xxyyd
y
y2 P2
d y = y
2- y
1
y1 P1
A
x = x
2- x
1
0 x1 x2 x
Exemplos:
01- Encontrar a distância entre os seguintes pontos:
a) (2, 4) e B(0, 6) b) C(-3, 5) e D(2, -1) c) E(6, 43) e F(-2, 3)
Solução:
a)
228
)2(2
2046
60
42
)6,0()4,2(
22
22
2
12
2
12
22
11
AB
AB
AB
AB
d
d
d
xxyyd
yex
yex
BeA
b)
612536
)32()6(
)3(251
12
53
)1,2()5,3(
22
22
2
12
2
12
22
11
CD
CD
CD
CD
d
d
d
xxyyd
yex
yex
DeC
c)
916427
)8()33(
62)343(
32
346
)3,2()34,6(
22
22
2
12
2
12
22
11
EF
EF
EF
EF
d
d
d
xxyyd
yex
yex
FeE
02- Dados os pontos P(2, 3), Q(1, 4) e S(0, 2):
a) Verifique se dPQ + dQS > dPS + dQS.
b) Traçar as retas que passam pelos pontos P e Q, pelos pontos P e S, no mesmo
plano cadtesiano.
Solução:
a)
2
12
2
12xxyyd
2213422
PQ
d
5203222
PS
d
5104222
QS
d
dPQ + dQS = 52
dPS + dQS = 5255
Logo, dPQ + dQS é menor que dPS + dQS..
b) 4 Q PS
3 P
2 S
PQ
0 1 2 x
02- Um indivíduo programou uma viagem de férias com a família saindo da
cidade A para a cidade C com parada obrigatória na cidade B. Verificou no
mapa a localização de cada cidade (figura abaixo). Sabendo que com o tanque
de combustível de seu carro cheio (70 litros) consegue rodar em torno de 80
km. Pergunta-se: o indivíduo pode fazer a viagem sem abastecer na cidade B?
y (km) 50
40 C(70,40)
30 20 B(30,20)
10
x (km) A (0, 0) 10 20 30 40 50 60 70
Solução:
2.1) Cálculo da distância do ponto A até o B.
y
kmd
d
d
xxyyd
yex
yex
BeA
CD
CD
CD
CD
3613101300900400
)30()20(
030020
2030
00
)20,30()0,0(
22
22
2
12
2
12
22
11
2.2) Cálculo da distância do ponto B até o C.
kmd
d
d
xxyyd
yex
yex
BeB
CD
CD
CD
CD
45520000.21600400
)40()20(
30702040
4070
2030
)40,70()20,30(
22
22
2
12
2
12
22
11
2.3) Somando as distâncias, temos, aproximadamente, 81 km.
2.4) Pelo resultado total (81 km), verifica-se que o indivíduo tem que
abastecer na cidade B.
03- Suponha que na figura acima, AB e BC representam cabos elétricos instalados
do ponto A ao ponto C passando por B. Se o preço cobrado por metro linear de A
até B for de R$ 4,50 e de B até C de R$ 6,40.
a) Qual o custo total da instalação do cabo?
b) Se a dívida for paga à vista, há um desconto de 15%. Então, qual será o custo
total da instalação se a dívida for quitada antes do inicio da obra?
c) Segundo o contrato, se acontecer atraso no pagamento será cobrado uma
multa de 12,5% em cima do total. Então, caso aconteça o atraso, qual será o valor
da dívida?
Solução:
a)
a.1) Como a distância de A até B é, aproximadamente, 36 km, temos:
36 km = 36.000 metros x 4,50 = 162.000,00
a.2) A distância de B até C é, aproximadamente, 45 km, temos:
45 km = 45.000 metros x 6.40 = 288.000,00
a.3) O custo total (Ct) será, Ct = CAB + CBC = 450.000,00
b) 450.000 x 0,15 = 67.500,00 (desconto).
450.000,00 – 67.500,00 = 382.500,00 (custo total após o desconto)
c) 450.000 x 0,125 = 56.250,00 (multa)
450.000,00 + 56.250,00 = 506.250,00 (custo total com atraso)
04- Calcule o perímetro da figura abaixo.
Solução:
Para encontrar o perímetro de uma figura, devemos somar os valores de
seus lados, logo, nesse caso, vamos encontrar a soma das medidas dos lados
do triângulo que aparece na figura. Para isso, necessitamos calcular as
distâncias entre os vértices do triângulo dAB, dBC e dCA.
Sendo A(2, 3), B(6, 4) e C(4, 5) os vértices, temos:
Após o aprendizado do cálculo da distância entre dois pontos, vamos
verificar, através do gráfico abaixo, como se determina o ponto médio de um
segmento.
Pelo teorema de Tales, temos:
2
1
2
1
2
1
2
1
MP
MP
yy
yye
MP
MP
xx
xx
m
m
m
m
, como
2
1
MP
MP= 1, temos:
21
21
12
21
2
1
12
21
2
1
yyyyyyy
yy
yy
xxxxxxx
xx
xx
mmm
m
m
mmm
m
m
kmd
kmd
kmd
xxyyd
BC
AC
AB
514)45()64(
228443524
171612634
22
22
22
2
12
2
12
Logo, o ponto médio é
2,
2
1212yyxx
M .
* Nota-se que os valores da abscissa e da ordenada do ponto médio do
segmento AB, são calculados pela média aritmética das abscissas e das
ordenadas desses pontos.
Exemplos:
01- Encontre o ponto médio do segmento A(6, 5) e B(-4, 3), representando-o
graficamente.
Solução:
)4,1(
42
53
2
12
64
2
35,4,6
12
12
2121
Myy
y
xxx
yeyxx
m
m
02- Calcule os valores de p e q, sendo M(3, -2) o ponto médio do segmento A(p,
4) e B(-6, q).
Solução:
:,23,
2
4
2
2
6
2
4,6,
12
12
2121
temosyexComo
qyyy
pxxx
qyeyxpx
mm
m
m
822
4
1232
6
pp
EQUAÇÕES DE RETA
A partir desse momento, vamos utilizar alguns processos para encontrar a
equação de uma reta.
Primeiramente, partimos para as definições de Inclinação e Declividade
(Coeficiente Angular) de uma reta não paralela aos eixos x e y. Observe o gráfico
abaixo.
Denominamos Inclinação de uma reta ao ângulo () formado pela intersecção dela, com o eixo-x, no sentido anti-horário.
Chama-se Declividade ou Coeficiente Angular (a) o valor da tangente desse
ângulo (a = tg ). Se o ângulo pertencer ao 1º quadrante (0o 90o), o valor da
declividade será positiva, entretanto, se estiver no 2º quadrante (90o 180o),
será negativa.
Observe no gráfico o surgimento de um triângulo retângulo ACB. Em geometria,
ao estudarmos as razões trigonométricas, constatamos que a tangente de um
ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto
adjacente a esse ângulo, logo, o Coeficiente Angular é dado pela fórmula:
12
12
xx
yy
AC
BCTga
Exemplos:
01- Uma determinada reta forma um ângulo de 60º com o eixo-x, no sentido anti-
horário. Determine:
a) O valor da inclinação.
b) O valor do coeficiente angular.
Solução:
a) A inclinação é o ângulo que a reta forma com o eixo-x, ou seja, 60º.
b) O coeficiente angular é a tangente da inclinação, nesse caso, a = tg 60º = 3 .
02- Calcule o coeficiente angular (declividade) da reta abaixo:
Solução:
Como a inclinação é 145º, a declividade da reta r é a = tg 145º = -tg 45º a = - 1.
03- Determine o coeficiente angular e a inclinação de cada reta determinada pelos
pontos abaixo:
a) A(2, 6) e B(-2, 4)
b) C(-1, 4) e D(-3, 8)
Solução:
a) A(2, 6) e B(-2, 4)
)(º6,262
1
2
1
)(
2
1
4
2
22
64
46
22
12
12
21
21
inclinaçãoarctgtg
inversaricatrigonométfunçãoarctgatga
edeclividadouangularecoeficientxx
yya
yey
xex
b) C(-1, 4) e D(-3, 8)
)(º104º7644
)(
41
4
)2(3
48
84
32
12
12
21
21
inclinaçãoarctgtg
inversaricatrigonométfunçãoarctgatga
edeclividadxx
yya
yey
xex
A partir desse momento, vamos encontrar as equações de reta.
Equação da reta que passa por um ponto e tem a, como declividade
(coeficiente angular).
Imagine uma reta r, pertencente a um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, que passa por um ponto A(x1, y1) e apresenta o coeficiente angular
tg = a, conforme o gráfico abaixo.
Ao estudarmos Geometria, verificamos que uma reta é determinada por dois
pontos, portanto, utilizemos um ponto B, diferente de A, pertencente à reta, para
encontrarmos a equação da mesma. Pela relação trigonométrica no triangulo
retângulo, temos:
)(
)(
).(
:),(,
11
11
12
1
1
1
1
xxayy
yyxxa
xxxx
yya
temosangularecoeficientatgcomoxx
yyTg
x
yTg
A equação acima representa a equação da reta que passa por um ponto A(x1, y1)
e tem, tg = a, como declividade (coeficiente angular) da mesma.
Exemplo:
- Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2,4) e apresenta coeficiente
angular igual a 3.
Solução:
Utilizando a fórmula y – y1 = a.(x - x1), temos:
y – 4 = 3.(x - 2)
y = 3x – 6 + 4
y = 3x – 2 (1)
Igualando a zero a equação acima, temos:
y = 3x – 2
-3x + y + 2 = 0 ou 3x - y - 2 = 0 (2)
A equação (1) é denominada equação reduzida da reta (y = Ax + B) e a (2),
equação geral da reta (Ax + By + C = 0).
Equação da reta que passa por dois pontos
Observe o gráfico abaixo.
Para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2),
devemos calcular, inicialmente, o valor do coeficiente angular através da fórmula
12
12
xx
yya
, em seguida, substituir na fórmula ).(
11xxayy ou aplicar a
fórmula )(1
12
12
1xx
xx
yyyy
.
Exemplo:
1- Determinar a equação da reta representada pelo gráfico.
Observe que a reta passa pelos pontos A(1, 4) e B(3, 6), logo:
)(03)(3
4)1.(1
)1.(2
24
)1.(13
464
)(1
12
12
1
geralequaçãoyxoureduzidaequaçãoxy
xy
xy
xy
xxxx
yyyy
Equação segmentária de uma reta
Agora que verificamos como se determina a equação da reta nas formas reduzida
e geral, vamos verificar os procedimentos para determinar a equação da reta na
forma segmentária.
Seja r, uma reta não paralela aos eixos x e y e que passa pelos pontos A(m, 0) e
B (0, n), onde m ≠ 0 e n ≠ 0. Vamos determinar a equação geral da mesma
utilizando a fórmula y - y1 = a.(x – x1).
- Calculando o coeficiente angular.
m
n
m
n
xx
yya
0
0
12
12
- Encontrando a equação geral da reta.
)(0
).(
).(01
retadageralequaçãomnmynx
nmnxmy
mxm
ny
xxay
- A partir da equação geral encontrada, vamos determinar equação segmentária
da mesma.
))(1
)(
0
retadaasegmentáriequaçãon
y
m
x
mnmnnxmy
mnmynx
Exemplo:
Encontre a equação segmentária da reta r: -3x + y + 2 = 0.
Inicialmente, devemos determinar a intersecção da mesma com os eixos x e y,
como segue:
1) Quando a reta intercepta o eixo-y, o valor da abscissa vale zero (x = 0), logo:
x = 0 -3.0 + y + 2 = 0 y = -2 (0, -2) ponto em que a reta intercepta o eixo-y.
2) Quando a reta intercepta o eixo-x, o valor da ordenada vale zero (y = 0), logo:
y = 0 -3x + 0 + 2 = 0 x = 2/3 (2/3, 0) ponto em que a reta intercepta o
eixo-x.
A equação segmentária é .12
3
21
yx
n
y
m
x
Observe que n é a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo-y e m, é a
abscissa do ponto onde a reta intercepta o eixo-x. Graficamente temos:
Equações paramétricas de uma reta
Quando encontramos uma equação da reta na forma de sistema
00 couacom
dcty
batx, denominamos de equações paramétricas de
uma reta.
Exemplo
1- Verificar se o sistema
12
23
ty
tx representa a reta r: 2x – 3y - 7 = 0.
Isolando t na equação y = 2t – 1.
2
11212
ytytty
Substituindo o valor de t na equação x = 3t + 2.
0732
4332
22
33
22
1.3
23
yx
yx
yx
yx
tx
Como, o sistema representa a reta r, damos o nome, ao mesmo, de equações
paramétricas da reta.
02- Dê a equação da reta que passa pelo ponto A(-1, 4) e forma com o eixo-x, no
sentido anti-horário, um ângulo de 30º.
Solução:
Utilizando a fórmula )(11
xxayy , temos:
)(0)123(33
123.33
)(43
3
3
3
)1.(3
34
))1(º.(304
geralformayx
xy
ou
reduzidaformaxy
xy
xtgy
03- Os pontos A(0, 5) e B(-2, 1) pertencem a reta r. Determine sua equação.
5
3
Solução:
052
52
25
)0(02
515
)(
)(
15
20
1
12
12
1
11
21
21
yx
ou
xy
xy
xy
xxxx
yyyy
xxayy
yey
xex
04- Os pontos A(-2, 3) e B(0, 5) pertencem a reta r. Encontre sua inclinação.
Solução:
angularecoeficientxx
yya
yey
xex
12
2
)2(0
35
53
02
12
12
21
21
Agora, se uma reta estiver paralela a um dos eixos cartesianos, como ficará sua equação?
Para responder esse questionamento, vamos verificar os dois casos:
1º- Quando a reta r estiver paralela ao eixo-x (ou perpendicular ao eixo-y):
nesse caso, o coeficiente angular é bem definido e seu valor é igual a 0 (tg 0 = 0).
Logo, podemos aplicar a equação )(11
xxayy .
2º- Quando a reta r estiver paralela ao eixo-y (ou perpendicular ao eixo-x):
nesse caso, o coeficiente angular não está definido (tg 90º). Logo, não podemos
aplicar a equação )(11
xxayy . Porém, uma reta vertical ao eixo-x, caracteriza-
se por apresentar em todos os seus pontos a mesma abscissa, logo, sua equação
é dada por x = x1.
Respostas: a) y = 3 b) y = -1 c) x = 2 d) x = -1
Notas:
1ª) para verificar se um ponto pertence a uma reta, devemos substituir suas
coordenadas na equação e constatar se a igualdade prevalece.
Exemplo:
1- Verifique se os pontos A(2, -4) e B(-3, 5), pertencem à reta x – 2y + 13= 0.
Solução:
Substituindo A(2, -4) na equação x – 2y + 13= 0, temos:
2 – 2(-4) + 13 = 0
2+8 + 13 = 0
23 = 0 (F)
Observe que a proposição é falsa, logo, A(2, -4) não pertence à reta.
Substituindo B(-3, 5) na equação x – 2y + 13= 0, temos:
-3 – 2.5 + 13 = 0
-3 - 10 + 13 = 0
-13 + 13 = 0
0 = 0 (V)
Nesse caso, a proposição é verdadeira, logo, B(-3, 5) pertence à reta.
2ª) Para encontrar o ponto de intersecção entre duas retas, devemos resolver o
sistema formado pelas equações das mesmas.
Exemplo:
1- Encontre o ponto onde as retas x + 2y – 2 = 0 e y = 3x - 6 se interceptam.
Solução:
Resolvendo o sistema.
20147
02126
02)63(2
:,12
)2(63
)1(022
xx
xx
xx
temosemdoSubstituin
xy
yx
Substituindo x = 2 em (1) ou em (2), encontramos y = 0, logo, (2, 0) é o ponto onde
as retas se interceptam. Graficamente, temos:
EXERCÍCIOS
01- Em relação aos pares de pontos abaixo, determine:
1.1) A distância entre eles;
1.2) A equação da reta que passa pelos mesmos;
1.3) Represente graficamente os itens a e b.
a) P(2, 3) e Q(1, 4)
b) P(-1, 5) e Q(3, -2)
c) P(-2, 0) e Q(-4, -5)
d) P(2/3, -1) e Q(3/2, 0)
02- Dados os pontos A(4, 2) e B(1, 5):
a) Calcule a distância entre os pontos A e B.
b) Trace a reta que passa por A e B.
c) Encontre o coeficiente angular.
d) Determine a equação da reta que passa por A e B.
02- Um fabricante obteve os seguintes dados relacionando o custo C (em unidade
de milhar) ao número de unidades produzidas Q de certo bem.
Q 0 10 20 30 40 50
C 2 2,5 3,0 3,8 4,0 4,5
a) Represente graficamente o Custo (C) em função da quantidade produzida
(Q).
b) Trace a reta que passa pelos pontos (0; 2) e (50; 4,5).
c) Determine a equação da reta quer passa pelos pontos do item b.
d) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre custo
total e o nível de produção, estime o custo de se produzirem 45 unidades
do bem em questão.
03- Dados os pontos P(2, 3), Q(1, 4) e S(0, 2):
a) Verifique se dPQ + dPS > dQS .
b) Trace as retas PQ e PS.
c) Encontre o coeficiente angular de cada reta.
d) Determine a equação na forma geral e reduzida de cada reta acima.
MODELO MATEMÁTICO
Agora, vamos verificar através de exemplos, a maneira de encontrar um modelo
matemático.
01- Constituir a equação y = Ax + B de uma reta que aproxima o seguinte conjunto
de pontos P={(1,3), (2, 4), (4, 8), (5, 15)}.
Solução
A equação da reta que aproxima um conjunto de pontos através do critério dos
mínimos quadrados é:
y = Ax + B
Onde,
xAyB
e
xnx
yxnxyA
22)(
xy = soma dos produtos xy
n = número de pontos observados
x2 = soma dos quadrados dos valores de x
)( saritméticamédiasn
yye
n
xx
Para facilitar os cálculos construímos uma tabela.
x y x.y x2
1 3 3 1
xyLogo
xB
x
xxA
8,29,0,
9,038,25,7
8,210
28
3446
5,734118
2
* y = -09 + 2,8x ou y = 2,8x – 0,9 representa o modelo procurado.
02- Uma pesquisa sobre a oferta de mercado de certo produto M, levou à seguinte
escala de oferta:
Escala de Oferta de Mercado do Produto M
P = Preço
(R$/unidade)
S = Quantidade Ofertada
(em unidades/mês)
30
35
42
48
80
22
28
34
42
75
Identificar o modelo linear que melhor se ajusta à escala de oferta do produto M.
Represente graficamente no plano cartesiano.
04- Um fabricante obteve os seguintes dados relacionando o custo C (em unidade
de milhar) ao número de unidades produzidas Q de certo bem.
Q 0 10 20 30 40 50
C 2 2,5 3,0 3,8 4,0 4,5
a) Represente graficamente o Custo (C) em função da quantidade produzida
(Q).
b) Trace a reta que passa pelos pontos (0; 2) e (50; 4,5).
c) Determine a equação da reta quer passa pelos pontos do item b.
2
4
5
4
8
15
8
32
75
4
16
25
12 30 118 46
d) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre
custo total e o nível de produção, estime o custo de se produzirem 45
unidades do bem em questão.