Função polinomial

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO

Função polinomial com uma variável ou Função polinomial com uma variável ou

simplesmente função polinomial é aquela simplesmente função polinomial é aquela

cuja fórmula matemática é expressa por um cuja fórmula matemática é expressa por um

polinômio.polinômio.

GRAU DE UMA FUNÇÃO GRAU DE UMA FUNÇÃO POLINOMIALPOLINOMIAL

É dado pelo grau do polinômio dado É dado pelo grau do polinômio dado

na fórmula.na fórmula.

O grau corresponde ao maior O grau corresponde ao maior

expoente da variável considerada.expoente da variável considerada.

FUNÇÃO FUNÇÃO COMPOSTACOMPOSTA

Uma revenda de celular recebe através Uma revenda de celular recebe através de um banco as prestações de suas de um banco as prestações de suas

vendas pelo crediário.vendas pelo crediário.

Em determinado mês faz uma promoção Em determinado mês faz uma promoção de todo cliente que pagar suas parcelas de todo cliente que pagar suas parcelas na primeira quinzena terá um desconto na primeira quinzena terá um desconto

de 20% sobre o valor da prestação.de 20% sobre o valor da prestação.

O cliente pagará o valor definido pela O cliente pagará o valor definido pela funçãofunção

FUNÇÃO COMPOSTAFUNÇÃO COMPOSTA

0,8f x x


O banco faz a intermediação desse O banco faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa.dinheiro cobra da loja uma taxa.

Para cada quantia de t reais Para cada quantia de t reais recebidos, o banco transfere para a recebidos, o banco transfere para a

conta da loja a quantia conta da loja a quantia g(t)g(t) dada pela dada pela funçãofunção 0,95g t t


f x t

Entenda o esquema

Cliente Banco Loja

x g t


A prestação de um cliente é de R$ A prestação de um cliente é de R$ 150,00, se pagá-la na 1ª quinzena, 150,00, se pagá-la na 1ª quinzena,

quanto pagará?quanto pagará?

A resposta para essa questão é dada A resposta para essa questão é dada pela funçãopela função

O cliente vai pagarO cliente vai pagar

0,8f x x

150 0,8 150 120f


Que parcela desse dinheiro será Que parcela desse dinheiro será transferida para a loja? transferida para a loja?

A resposta para essa questão é dada A resposta para essa questão é dada pela funçãopela função

Como o banco terá recebido Como o banco terá recebido t = 120t = 120

do cliente, a loja receberá do banco:do cliente, a loja receberá do banco:

0,95g t t

120 0,95 120 114g


A prestação de um cliente é de A prestação de um cliente é de xx reais. reais.

Se pagá-la na 1ª quinzena terá o Se pagá-la na 1ª quinzena terá o

desconto oferecido pela loja.desconto oferecido pela loja.

Que função da o valor recebido pela loja Que função da o valor recebido pela loja

em função de x, sabendo que a em função de x, sabendo que a

prestação será paga na primeira prestação será paga na primeira

quinzena?quinzena?


0,8f x x 0,95g t t

0,95 0,8g f x x

0,76g f x x

0,8f x x 0,95g t t

0,76h x xA função h é chamada de função composta de g com f.


Existe a composta de g com f, isto é, g ο f, se e somente se CD(f) = D(g).

Se existem as composições de funções f ο g e g ο f , não necessariamente se

tem quef ο g = g ο f , ou seja a composição de

funções não é comutativa.

FUNÇÃO FUNÇÃO INVERSAINVERSA

FUNÇÃO INVERSAFUNÇÃO INVERSA

Observe as funções f e g de domínio Observe as funções f e g de domínio real dadas porreal dadas por

3 e 3

xf x x g x

3

5 5 15

1 1 3

f x x

x f

x f

315 15 5

3 3 1

xg x

x g

x g

Obtemos os pares da função g Obtemos os pares da função g invertendo-se a ordem dos elementos invertendo-se a ordem dos elementos

nos pares obtidos pela função f.nos pares obtidos pela função f.

Nesse caso dizemos que g é a função Nesse caso dizemos que g é a função inversa da função f e representamos por inversa da função f e representamos por


g

f

1g x f x


O contradomínio de f coincide com sua O contradomínio de f coincide com sua

imagem, ou seja, todo elemento do imagem, ou seja, todo elemento do

contradomínio é correspondente de contradomínio é correspondente de

algum elemento do domínio.algum elemento do domínio.

Cada elemento do contradomínio de f é Cada elemento do contradomínio de f é

imagem de um único elemento do imagem de um único elemento do

domínio.domínio.

FUNÇÃO CONSTANTEFUNÇÃO CONSTANTE

Uma função polinomial cuja lei é do tipoUma função polinomial cuja lei é do tipo

é chamada de função constante, pois para é chamada de função constante, pois para

qualquer valor real atribuído a variável x qualquer valor real atribuído a variável x

sua imagem será sempre a mesma: ksua imagem será sempre a mesma: k

, onde f x k k

FUNÇÃO CONSTANTEFUNÇÃO CONSTANTE

x

y

k

Im

D

k

FUNÇÃO DE 1º GRAUFUNÇÃO DE 1º GRAU

Denomina-se função polinomial de 1º grau Denomina-se função polinomial de 1º grau toda função que pode ser reduzida a formatoda função que pode ser reduzida a forma

Sendo Sendo aa e e bb números reais e a ≠ 0. números reais e a ≠ 0.

Os números representados por Os números representados por aa e e bb são são chamados coeficientes, enquanto chamados coeficientes, enquanto xx é a é a

variável independente.variável independente.

f x ax b

Assim, são funções polinomiais de 1º Assim, são funções polinomiais de 1º grau:grau:

5

3f x x

Coeficientes: 2 e 1a b

Coef 3icien e tes: 4a b

Coeficientes: 8 e 0a b

Coef1

e 23

icientes: a b

Coeficientes: 5

1 e 3

a b

2 1f x x

3 4f x x

23

xf x

8f x x

FUNÇÃO LINEARFUNÇÃO LINEAR

Toda função de 1º grau onde Toda função de 1º grau onde b = 0b = 0, , é chamada de função linearé chamada de função linear

Uma característica é que quando Uma característica é que quando atribuímos 0 para x, sua imagem atribuímos 0 para x, sua imagem também será 0.também será 0.

f x ax

0 0

0 0 0

f x ax f a

f y

Usamos ainda um nome especial para a Usamos ainda um nome especial para a função linearfunção linear

em que em que a = 1a = 1

Essa função, dada porEssa função, dada por

chama-se chama-se função identidadefunção identidade

f x x

FUNÇÃO LINEARFUNÇÃO LINEAR

f x ax

GRÁFICOGRÁFICO

O gráfico da O gráfico da função de 1º função de 1º

graugrau

É uma reta que É uma reta que intercepta o eixo intercepta o eixo das ordenadas no das ordenadas no

ponto (0,b)ponto (0,b)

com 0f x ax b a

x

y

0

b

x

y

0

1f x

2f x

1x

f x

2x

Aumentando os valores atribuídos a x, aumentam os

valores correspondentes da imagem f(x).

0a

é crescentef x

1 2 1 2x x f x f x

x

y

0

1f x

2f x

1x

f x

2x

Aumentando os valores atribuídos a x, diminuem os

valores correspondentes da imagem f(x).

0a

é decrescentef x

1 2 1 2x x f x f x

RAIZ DE UMA FUNÇÃO RAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAUDE 1º GRAU

Raiz ou zero da função de 1º grauRaiz ou zero da função de 1º grau

é o valor de x que anula a função, isto é o valor de x que anula a função, isto é, tornaé, torna

, 0f x ax b a

0f x

0f x ax b ax b

bx

a

RAIZ DE f(x)

b

a

RAIZ DE UMA FUNÇÃO RAIZ DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAUDE 1º GRAU

Geometricamente o zero da função de Geometricamente o zero da função de 1º grau é a abscissa do ponto em que 1º grau é a abscissa do ponto em que

a reta corta o eixo x.a reta corta o eixo x.

x

y

0

b

a

x

y

0

PROBLEMAPROBLEMAJoão possui um terreno de 1000 mJoão possui um terreno de 1000 m22, no qual , no qual

pretende construir uma casa. Ao engenheiro pretende construir uma casa. Ao engenheiro

responsável pela planta, ele impõe as seguintes responsável pela planta, ele impõe as seguintes

condições: a área destinada ao lazer deve ter condições: a área destinada ao lazer deve ter

200m200m22, e a área interna da casa mais a área de , e a área interna da casa mais a área de

lazer devem ultrapassar 50% do terreno. O custo lazer devem ultrapassar 50% do terreno. O custo

total deverá ser de, no máximo, R$ 200 000,00. total deverá ser de, no máximo, R$ 200 000,00.

Sabendo que a construção do metro quadrado Sabendo que a construção do metro quadrado

custa R$ 500,00, qual a área interna que o custa R$ 500,00, qual a área interna que o

engenheiro poderá projetar?engenheiro poderá projetar?

x Área interna da casa

Área interna da casa + área de lazer maior que 50% do terreno (1000 m2) 200 500x

Custo tem que ser menor que R$ 200 000,00 500 200000x

Chegamos ao sistema

200 500

500 200000

x

x

200 500

500 200000

x

x

200 500x

500 200x

300x

300

500 200000x

200000

500x

400x

400

I II

I

II

I II

300

400

300 400

A casa deve ser projetada entre 300 m2 e 400 m2

ESTUDO DO SINAL DA ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO 1º GRAUFUNÇÃO 1º GRAUEstudar o sinal de uma funçãoEstudar o sinal de uma função

significa determinar para que valores significa determinar para que valores xx do do

domínio da função a imagem domínio da função a imagem f(x)f(x) será será

positiva, negativa ou nula.positiva, negativa ou nula.

Em outras palavras, estudar o sinal de uma Em outras palavras, estudar o sinal de uma

função função ff significa determinar para que significa determinar para que

valores de valores de xx temos: temos:

y f x

0, 0 ou 0f x f x f x

x

b

a

x

0f x

b

a

0f x

0f x b

xa

para

0f x b

xa

para

0f x b

xa

para

0ay

MACETEMACETE

x

b

a x

b

a

0a 0a

contrário de a

mesmo de a

contrário de a

mesmo de a

C A M A

PROBLEMAPROBLEMADetermine o domínio da seguinte função:Determine o domínio da seguinte função:

5y x x

Condição de existência

5 0x x

5 0x x

f x x

0x

5g x x

5 0x

5x

0

5

0

5

0 5

f x

g x

f x g x

| 0 5S x x

PROBLEMAPROBLEMADetermine o domínio da seguinte função:Determine o domínio da seguinte função:

2

4

xy

x

Condição de existência

4 0x

20

4

x

x

4 0x

20

4

x

x

2f x x

2 0x

4g x x

4 0x

4x

2

4

4

2

4 2

f x

g x

:f x g x

| 4 2S x x

2x

4h x x

4 0x

4x

4

FUNÇÃO POLINOMIALFUNÇÃO POLINOMIALDE 2º GRAUDE 2º GRAU

Definição:

A função dada por A função dada por

, com , com a, , b e e c reais e , denomina-se reais e , denomina-se

função polinomial do 2º grau ou função função polinomial do 2º grau ou função

quadrática. Os números representados por quadrática. Os números representados por a, , b e e c são os coeficientes da função. são os coeficientes da função.

Note-se que se , Note-se que se ,

temos uma função do 1º grau ou uma temos uma função do 1º grau ou uma

função constante.função constante.

:f 2f x ax bx c

0a

0a

Assim, são funções polinomiais de 2º Assim, são funções polinomiais de 2º grau:grau:

25f x x

Coeficientes 1, 4: 3 e ca b 2 3 4f x x x

28 1f x x

2 3

2f x x x

Coeficientes 8, 1: 0 e ca b

Coeficientes: 3

1, e c 02

a b

Coeficientes 5,: 0 e c 0a b

ZEROS OU RAÍZESZEROS OU RAÍZES

Zeros ou raízes de uma função são os Zeros ou raízes de uma função são os

valores do domínio para os quaisvalores do domínio para os quais

Assim, as raízes da função quadráticaAssim, as raízes da função quadrática

são as raízes da equaçãosão as raízes da equação

0f x

2f x ax bx c

2 0ax bx c

ZEROS OU RAÍZESZEROS OU RAÍZES

Se , a função possui dois zeros reais Se , a função possui dois zeros reais

distintosdistintos

0

Se , a função possui um zero real duploSe , a função possui um zero real duplo0

Se , a função não possui zeros reaisSe , a função não possui zeros reais0

Relembrando:Relembrando:

2 4b ac2 4

2

b b acx

a

GRÁFICOGRÁFICO

O gráfico de uma função de 2º grau é uma O gráfico de uma função de 2º grau é uma

curva chamada parábola.curva chamada parábola.

A concavidade depende do sinal de A concavidade depende do sinal de a,

quando quando a >0 a concavidade é para a concavidade é para cima,

quando quando a < 0 a concavidade é para a concavidade é para baixo..

x

0a y

0

VÉRTICEVÉRTICE

O vértice de todas as parábolas é dado O vértice de todas as parábolas é dado pelas coordenadas:pelas coordenadas:

,2 4

bV

a a

|2

bx x

a

f(x) é decrescente para

0a

Im |4

f y ya

x

y

V

O conjunto imagem é

4vy a

É denominado valor mínimo da

função

|2

bx x

a

f(x) é crescente para4vy a

2v

bx

a

|2

bx x

a

f(x) é crescente para

0a

Im |4

f y ya

x

yV

O conjunto imagem é

4vy a

É denominado valor máximo da

função

|2

bx x

a

f(x) é decrescente para

4vy a

2v

bx

a

Os valores vistos Os valores vistos anteriormente são anteriormente são

válidos para válidos para quaisquer valores quaisquer valores

de delta.de delta.

Você já sabe que estudar o sinal de uma Você já sabe que estudar o sinal de uma funçãofunção

significa determinar os valores reais de x significa determinar os valores reais de x que tornam a funçãoque tornam a função

PositivaPositiva

NegativaNegativa

NulaNula

Vamos considerar então os seguintes Vamos considerar então os seguintes casos:casos:

ESTUDO DO SINAL DA ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA

y f x

0f x

0f x

0f x

Neste caso a função admite dois zeros reais Neste caso a função admite dois zeros reais diferentes: diferentes: x’ e e x”

0 0a

'x x

x'x ''x

''x

0f x 0f x 0f x

para0 ' ''ouf x x x x x

0 par ' 'a 'f x x x x

para0 ' ''ouf x x x x x

M A C A M A

Neste caso a função admite um zero real duplo: Neste caso a função admite um zero real duplo: x’ = = x”

0 0a

' ''x x x

x' ''x x 0f x 0f x


para0 'f x x x

0 x realf x

Neste caso a função admite um zero real duplo: Neste caso a função admite um zero real duplo: x’ = = x”

0 0a

' ''x x x

x' ''x x

0f x 0f x


para0 'f x x x

0 realf x x

Neste caso a função não admite zero realNeste caso a função não admite zero real

0 0a

x

x 0f x

0 x realf x

para todo 0 real f x x

0 x realf x

Neste caso a função não admite zero realNeste caso a função não admite zero real

0 0a

x

x 0f x

0 realf x x

0 x realf x

0 para todo realf x x

Função polinomial

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