Função quadrática: a função geral de 2º grau. Função quadrática ou função de 2º grau é...
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Função quadrática:a função geral de 2º grau
Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo
y = f(x) = ax2 + bx + c
Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.
O Domínio de toda função quadrática é IR.
Exemplos
y = f(x) = x2 + 3x – 1é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.
y = f(x) = –x2 + 5é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.
y = f(x) = –2x2 + 4xé uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.
y = f(x) = x2
é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.
Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.
Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva?
A = (40 + 2x).(20+2x)
40 m
20 m
x
xxx
⇒ A = 800 + 80x + 40x + 4x2
⇒ A = f(x) = 4x2 + 120x + 800
Veja seus gráficos
y = x2.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–2
–14 5–4–5
4
5
4211001–14–2
y = x2x
y = x2
Im = [0, +∞[ Mínimo = 0
Veja seus gráficos
y = – x2.
x
y
01 2 3–3 –2 –1
–2
–14 5–4–5
– 42– 1100
– 1–1– 4–2
y = – x2x
y = – x2
–3
–4
Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0
A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c. Os gráficos de funções quadráticas são curvas
chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é
chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é
chamada de eixo da parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada
para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada
para baixo.
Eixo de simetria.
V
eixo de simetria da
parábola
A A1
B B1
C1
D1
C
D
r1
r2
r3
r4
Raízes da função quadrática
Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas.Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.
Número de raízes da equação de 2º grau Para resolver uma equação de 2º grau usamos
a fórmula de Bhaskara
O número real é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.
> 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas. = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais
(ou 1 raiz real dupla). < 0 ⇔ não tem raízes reais.
a2bx
sendo = b2 – 4ac
Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto
de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;B) a altura máxima que ele atinge;C) o instante em que ele atinge o solo.
Veja o gráfico da função h(t) = –5t2 – 30t + 80
t (s)
h (m)
0 3
125
8
80