Função quadrática: a função geral de 2º grau

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Prof. André Aparecido da Silva [email protected] Função quadrática: a função geral de 2º grau
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Função quadrática: a função geral de 2º grau. Onde se usa equações do 2º Grau ?. Na engenharia. Na medição de áreas. Na medição de áreas. Áreas de retângulos A = b . H, então teríamos: (x + 3) * (x -1) Neste caso seria aplicada um distributiva. Na medição de áreas. - PowerPoint PPT Presentation

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Função afim: a função geral de 1º grauFunção quadrática:
~ XANDE
~ XANDE
(x + 3) * (x -1)
~ XANDE
A = (x + 3) * (x - 1)
x*x + x*(-1) + 3*x + 3*(-1)
~ XANDE
x² - x + 3x - 3 = 0
~ XANDE
x² + 2x - 3 = 0
~ XANDE
x² + 2x - 3 = 0
A = 1 b = 2 c = -3
~ XANDE
~ XANDE
Curiosidade: Formula de Bhaskara
Só no Brasil esta formula é conhecida como formula de Bhaskara, nos demais países esta formula é conhecida como formula para resolução de equações do Segundo grau.
~ XANDE
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
Resolvendo....
~ XANDE
Resolvendo....
~ XANDE
Resolvendo....
~ XANDE
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
A = 1
x’ = 1 x’’ = -3
Prof. André Aparecido da Silva [email protected]
Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.
~ XANDE
Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva?
A = (40 + 2x).(20+2x)
~ XANDE
Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo
y = f(x) = ax2 + bx + c
Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.
O Domínio de toda função quadrática é IR.
~ XANDE
Exemplos
y = f(x) = x2 + 3x – 1
é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.
y = f(x) = –x2 + 5
é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.
y = f(x) = –2x2 + 4x
é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.
y = f(x) = x2
é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.
~ XANDE
e
Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda a = –1.
Domínio é o conjuntos dos números reais (R).
~ XANDE
~ XANDE
A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c.
Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas.
O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice.
A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola.
Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima.
Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo.
~ XANDE
A
A1
B
B1
C1
D1
C
D
r1
r2
r3
r4
Funções quadráticas
(y = ax2)
y = 2x2
y = x2
Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
O vértice das três parábolas é a origem do plano.
0
x
y
Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
O vértice das três parábolas é a origem do plano.
0
Funções quadráticas
(y = ax2 + c)
~ XANDE
Os gráficos das funções do tipo y = ax2 + c, com a ≠ 0 e c ≠ 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax2. Desloca-se esse último para cima ou para baixo, conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo, respectivamente.
~ XANDE
Im = [2, +∞[
Im = [–1, +∞[
Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 2) e V(0, –1).
2
–1
~ XANDE
1
–2
Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.
O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 1) e V(0, –2).
Prof. André Aparecido da Silva [email protected]
Funções quadráticas
~ XANDE
Vamos analisar, agora, o caso mais geral da função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. É o caso em que o coeficiente b é diferente de 0.
Para b ≠ 0, o vértice não fica mais sobre o eixo y das ordenadas.
~ XANDE
f(x) = c
⇒ a.x2 + b.x = 0
⇒ x(a.x + b) = 0
x = 0 é a abscissa de P, logo k = –b/a.
Devido à simetria da parábola,
xV = k/2
Ordenada do vértice
A ordenada do vértice pode ser obtida calculando-se f(xV), ou seja, a imagem da abscissa do vértice da função. Veja
f(x) = ax2 +bx +c
f(xV) = a(xV)2 +bxV +c
f(xV) = a(b2/4a2) – b2/2a +c
V
V
yV
yV
~ XANDE
Exemplos
Para a função quadrática y = f(x) = 2x2 – 8x + 5 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.
Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5
Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um valor mínimo.
A abscissa do vértice é:
=
y = f(2) = 2 . 22 – 8 . 2 + 5
= –3
y = 2x2 – 8x + 5
V
Eixo
~ XANDE
Exemplos
Para a função quadrática y = f(x) = –x2 + 3x + 1 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.
Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1
Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.
A abscissa do vértice é:
=
y = f(3/2) = –1 . (3/2)2 + 3 . 3/2 + 1
= 13/4
y = –x2 + 3x + 1
V
Eixo
1
3
~ XANDE
Exemplo
Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
A função h(t) = –5t2 + 30t + 80 é quadrática, com a = –5, b = 30 e c = 80.
Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.
~ XANDE
Exemplo
Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
=
t =
–b
2a
–(30)
~ XANDE
Exemplo
Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s.
h(3) = –5.32 + 30.3 + 80 = 125 m
~ XANDE
Exemplo
Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0.
h(t) = 0
⇒ t = 8 s
h(t) = –5t2 – 30t + 80
Raízes da função quadrática
~ XANDE
Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas.
Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.
~ XANDE
Número de raízes da equação de 2º grau
Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de Bhaskara
O número real é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.
> 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.
= 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais
(ou 1 raiz real dupla).
< 0 ⇔ não tem raízes reais.
sendo = b2 – 4ac
~ XANDE
Exemplos
Obter as raízes, esboçar o gráfico e estudar os sinais da função y = 3x2 – x – 2.
O discriminante da função é
= b2 – 4ac
Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3
⇒ A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0)
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c =–2, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –2)
~ XANDE
y = 3x2 – x – 2
y < 0 para –2/3 < x < 1.
Raiz
Raiz
x
y
–2/3
0
1
0
0
–2
1/6
–25/12
~ XANDE
Exemplos
Na função quadrática y = x2 + 2x + 3, mostrar que y > o para todo x real.
O discriminante da função é
= b2 – 4ac
⇒ = (2)2 – 4.1.(3)
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3)
< 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta o eixo x.
~ XANDE
y = x2 + 2x + 3
–2
3
–2
2
–1
3
0
y
x
~ XANDE
Exemplos
A função y = –x2 + 4x + k, tem duas raízes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o gráfico da função.
Se a função tem uma raiz dupla = 0.
b2 – 4ac = 0
⇒ 16 + 4k = 0
A função é y = –x2 + 4x – 4, tem concavidade para baixo.
A raiz dupla é –b/2a = 2.
⇒ k = –4
⇒ A parábola intercepta o eixo x em (2, 0).
c = –4, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –4)
~ XANDE
y = –x2 + 4x – 4