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Hewlett-Packard Ano: 2016 FUNÇÃO QUADRÁTICA Aulas 01 a 07 + EXTRA Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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Hewlett-Packard

Ano: 2016

FUNÇÃO

QUADRÁTICA Aulas 01 a 07 + EXTRA

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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Sumário O CONCEITO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA ................................................................................................................. 2

(Função polinomial do 2° grau) ............................................................................................................................... 2

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2

RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA ..................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

NÚMERO de RAÍZES de uma FUNÇÃO QUADRÁTICA ............................................................................................. 2

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2

RELAÇÕES DE GIRARD ............................................................................................................................................. 2

Soma das raízes ........................................................................................................................................... 2

Produto das raízes ....................................................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

FORMA FATORADA do trinômio 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 ...................................................................................................... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ..................................................................................................................................... 3

ELEMENTOS IMPORTANTES ................................................................................................................................ 3

I. CONCAVIDADE .................................................................................................................................................. 3

II. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒙 ......................................................................................................................... 3

III. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒚 ..................................................................................................................... 4

IV. COORDENADAS do VÉRTICE: 𝑽(𝒙𝑽; 𝒚𝑽)..................................................................................................... 5

FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICE ............................................................................. 5

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5

CONJUNTO-IMAGEM ................................................................................................................................................ 6

ESBOÇO/ CONSTRUÇÃO DO ARCO DE UMA PARÁBOLA ..................................................................................... 6

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6

ESTUDO DO SINAL ................................................................................................................................................... 6

PARA REFLETIR .................................................................................................................................................... 6

ESTUDO DO SINAL ............................................................................................................................................... 7

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA ........................................................................................... 7

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7

INEQUAÇÃO PRODUTO e QUOCIENTE .................................................................................................................... 7

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 8

CAIU NO SIGMA ..................................................................................................... Erro! Indicador não definido.

CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 9

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AULA 01

O CONCEITO DE FUNÇÃO

QUADRÁTICA (Função polinomial do 2° grau) Uma função 𝑓:ℝ → ℝ é denominada função

quadrática se existem constantes reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐, com

𝑎 ≠ 0, tais que 𝑓(𝑥) pode ser escrita como 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, para todo 𝑥 ∈ ℝ.

Obs.1: Note que 𝑏 e 𝑐 podem ser nulos, portanto a

função cuja lei é 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² é, também, um exemplo

de função quadrática.

Obs.2: Note que, segundo a definição, a condição

necessária para a existência de uma função

quadrática, é que o coeficiente 𝒂 deve ser diferente de

zero (𝒂 ≠ 𝟎).

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.1. Praticando em sala 1(a, d, f), 2(a, c,e), 3(b, c, d).

RAIZ OU ZERO DE UMA

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Se um número 𝛼 ∈ ℝ é raiz de uma função

quadrática 𝑓, então 𝑓(𝛼) = 0. Ou seja,

𝑎𝛼² + 𝑏𝛼 + 𝑐 = 0

Para determinarmos os valores de 𝛼, geralmente

fazemos uso da fórmula

𝛼 = 𝑥 = −𝑏 ± √∆

2𝑎 , onde ∆ = 𝑏² − 4𝑎𝑐.

Obs.3: Observe que, em geral, quando um exercício

nos fornece uma equação, suponha na incógnita 𝑥, e o

valor de uma das suas raízes, podemos substituir o “𝑥”

da expressão dada pela raiz fornecida.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2. Determine os valores do parâmetro real 𝑘, para os

quais a equação 𝑥² + 3(𝑘 − 2)𝑥 − 2𝑘² + 8 = 0

admita uma raiz nula.

1.3. Determine, em ℝ, as raízes da função 𝑓:ℝ → ℝ

com 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 9) ∙ (1 − 𝑥).

NÚMERO de RAÍZES de uma

FUNÇÃO QUADRÁTICA ESTUDO DO DISCRIMINANTE (∆)

I. Para que 𝑓 tenha duas raízes reais e distintas,

precisa-se ter ∆ > 0.

II. Para que 𝑓 tenha duas raízes reais e iguais (ou

uma raíz de multiplicidade 2 ou uma raiz dupla),

precisa-se ter ∆ = 0.

III. Para que 𝑓 não tenha raízes reais, precisa-se ter

∆ < 0.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.4. Determine em função de 𝑝 a quantidade de

raízes reais da função 𝑓, de ℝ em ℝ, com 𝑓(𝑥) =

−𝑥2 + 4𝑥 + (−2𝑝 + 2).

RELAÇÕES DE GIRARD As relações de Girard nos mostram as relações

existentes entre os coeficientes reais (𝑎, 𝑏 e 𝑐) e as

raízes (𝑥1 e 𝑥2), de uma equação do 2° grau.

Soma das raízes

𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

Produto das raízes

𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.5. Considere a equação 𝑥² − 6𝑥 + 12 = 0. Se 𝑥1 e

𝑥2 são as raízes dessa equação, calcule o valor de

cada expressão a seguir.

a) 1

𝑥1+

1

𝑥2

b) (𝑥1)2 + (𝑥2)

2

1.6. Obtenha uma equação do segundo grau de

raízes: 2 e −5.

TAREFA 1 – LER os exercícios resolvidos 2, 3, 5 e 6 e

FAZER os PSA 4(a,c,d,f), 5(a,c,d,e), 7, 8 e 11.

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AULA 02

FORMA FATORADA do

trinômio 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄

Considere 𝑎 um número real não-nulo e uma função

𝑓:ℝ → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐. É possível

mostrar que se conhecermos as raízes de 𝑓, 𝑥1 e 𝑥2,

poderemos escrever o trinômio 𝑎𝒙2 + 𝑏𝒙 + 𝑐 na

forma fatorada:

𝑎(𝒙 − 𝑥1)(𝒙 − 𝑥2) .

Obs.4: A forma fatorada é uma ferramenta muito útil

na obtenção da lei 𝑦 = 𝑓(𝑥), em especial, nos

exercícios que fornecem as duas raízes da função

quadrática e mais um de seus pares ordenados.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Obtenha uma equação do segundo grau de raízes:

2 e −5.

2.2. Dado que 1 e 5 são as raízes de uma função

quadrática de lei 𝑦 = 𝑓(𝑥) e que 𝑓(2) = 6,

determine 𝑓(0).

REPRESENTAÇÃO

GRÁFICA A representação cartesiana de uma função quadrática

𝑓:ℝ → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0,

é uma curva denominada PARÁBOLA.

𝐴 = (𝑥1; 0)

𝐵 = (𝑥2; 0)

𝐶 = (0; 𝑐)

𝑉 = (𝑥𝑉; 𝑦𝑉)

ELEMENTOS IMPORTANTES Para fazermos a representação gráfica de uma função

quadrática, devemos buscar identificar/analisar

quatro de seus elementos importantes. São eles:

I. Concavidade

II. Intersecção com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

III. Intersecção com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

IV. Coordenadas do Vértice

I. CONCAVIDADE

Considere a expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Se 𝒂 > 0, a concavidade da parábola é voltada

para cima.

Se 𝒂 < 0, a concavidade da parábola é voltada

para baixo.

II. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

Considere a expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.

TAREFA 3 – Fazer os PSA 15(a, b, d), 23(a, b, c), 24 e

42.

TAREFA 2 – Fazer os PSA. 9, 10, 13(a, b, c, d) e 20.

EXTRA: PSA. 18.

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as raízes de 𝑓, digamos 𝑥1 e 𝑥2, são os

valores de 𝑥 que fazem 𝑓(𝑥) = 0.

os pontos de intersecção da parábola com o

𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ , (𝑥1 ; 0) e (𝑥2 ; 0), têm as suas

abscissas iguais aos zeros da função.

Obs.5: Lembre-se que já estudamos as RAÍZES DE

UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA na AULA 01.

III. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

Considere a expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.

O ponto (0; 𝑐) pertence ao gráfico de 𝑓. Isto é, a

parábola intersecta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗ no valor de 𝑐.

Observe que se 𝑥 = 0, tem-se

𝑓(0) = 𝑎. 02 + 𝑏. 0 + 𝑐

𝑓(0) = 𝑐

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AULA 03

IV. COORDENADAS do VÉRTICE: 𝑽(𝒙𝑽; 𝒚𝑽)

Primeiramente, o vértice de uma parábola é um

de seus infinitos pontos. Mas, o que ele tem de

especial?

Se 𝒂 > 0,

o vértice será um ponto de mínimo da

parábola (ponto mais “baixo”). E suas

coordenadas nos dizem

o valor MÍNIMO que essa função assume

(𝒚𝑽). Isto é, a menor de todas as imagens

geradas por 𝑓.

o elemento do domínio (𝑥𝑉) que, quando

substituído na lei 𝑓(𝑥), gera o valor

MÍNIMO de 𝑓.

Se 𝒂 < 0,

o vértice será um ponto de máximo da

parábola (ponto mais “alto”). E suas

coordenadas nos dizem

o valor MÁXIMO que essa função assume

(𝒚𝑽). Isto é, a maior de todas as imagens

geradas por 𝑓.

o elemento do domínio (𝑥𝑉) que, quando

substituído na lei 𝑓(𝑥), gera o valor

MÁXIMO de 𝑓.

FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICE

Obs.6: O eixo de simetria da parábola passa por 𝑥𝑉.

Assim:

𝑥𝑉 =𝑥1 + 𝑥2

2

É possível demonstrar que:

𝑥𝑉 = −𝑏

2𝑎

Se

𝒂 > 𝟎

Se

𝒂 < 𝟎

𝑦𝑣 = −Δ

4𝑎 ou 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣)

Obs.7: Forma canônica de uma função quadrática:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑉)2 + 𝑦𝑉

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Exercícios PROPOSTOS 26 e 36.

3.2. Exercício COMPLEMENTAR 12.

TAREFA 4 – Fazer os PSA. 25, 29, 30, 31, 32, 33 e 37.

CONHECENDO AVALIAÇÕES: 4 e 19.

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AULA 04

CONJUNTO-IMAGEM Podemos dizer que os elementos do conjunto-imagem

de uma função são todos os valores reais de 𝑦,

obtidos a partir de 𝑓(𝑥).

Se 𝒂 > 0, a função terá um valor mínimo em

𝑦𝑉 e, portanto

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ | 𝒚 ≥ 𝒚𝑽}

Se 𝒂 < 0, a função terá um valor máximo em

𝑦𝑉 e, portanto

𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ | 𝒚 ≤ 𝒚𝑽}

ESBOÇO/ CONSTRUÇÃO DO

ARCO DE UMA PARÁBOLA

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Construa, em um plano cartesiano, o gráfico

de cada função 𝑓:ℝ → ℝ , tal que a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3

AULA 05

ESTUDO DO SINAL

PARA REFLETIR Observe a representação cartesiana de uma função

polinomial 𝑓:ℝ → ℝ, a seguir.

1) Ele toca o 𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ ? Onde?

O que pode ser considerado como o mínimo

necessário para se esboçar um arco de parábola ?

O mínimo necessário são 3 pontos que, quando

marcados no plano cartesiano, tenham a disposição

de um V – de cabeça pra cima (quando 𝑎 > 0) ou de

cabeça pra baixo (quando 𝑎 < 0) – com o ponto do

meio sendo, necessariamente, o vértice.

No entanto, sempre que possível, buscamos

destacar:

I. As intersecções com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 − 𝑶𝒙⃗⃗⃗⃗ ⃗

II. A intersecção com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 − 𝑶𝒚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

III. As coordenadas do Vértice

TAREFA 5 – Fazer os PSA 34, 38, 39. E o CONHECENDO

AVALIAÇÕES 25.

Como construir uma parábola em poucas etapas?

1) Calcular as coordenadas do Vértice.

2) Escolher um valor para x (próximo ao xv) e

substituí-lo na função para achar o seu y

correspondente. Assim, você tem um novo

ponto.

3) Espelhar o ponto encontrado em relação ao

eixo de simetria (que passa pelo xv).

4) Traçar o arco de parábola unindo os pontos

marcados.

Obs.: As etapas 2 e 3 podem ser repetidas até que

você se sinta confiante o bastante para fazer a

etapa 4.

TAREFA 6 – Fazer os PSA 40, 41 e 42.

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2) Todos os seus pontos estão de um mesmo lado

(acima ou abaixo) do 𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ ?

3) É possível dividir o 𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ em “pedaços” de

tal forma que, em cada um deles, os pontos do

trecho do gráfico associado a esses pedaços

tenham uma característica comum? Que

característica é essa?

ESTUDO DO SINAL Fazer o estudo do sinal de uma função é buscar

determinar para quais intervalos do domínio a função

admite imagem (𝑦) positiva e para quais intervalos do

domínio a função admite imagem (𝑦) negativa

Isto é, responder à pergunta: Quais são todas as

abscissas dos pontos que tem ordenada 𝑦, com 𝑦

positivo e quais são todas as abscissas dos pontos que

tem ordenada 𝑦, com 𝑦 negativo?

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Faça o estudo do sinal da função apresentada no

tópico “PARA REFLETIR”

ESTUDO DO SINAL DE UMA

FUNÇÃO QUADRÁTICA Para estudar o sinal de uma função quadrática, basta

seguir os procedimentos à seguir (os mesmos de uma

função afim).

No entanto, note que, o dispositivo prático acabará se

encaixando em um dos 6 “modelos” a seguir:

INEQUAÇÃO DO 2° GRAU

Para resolver uma inequação do 2° grau, basta reduzí-

la à forma

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

≥≤><

0

e, então, fazer o estudo do sinal da expressão

encontrada.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.2. Propostos 46 (b) e 50.

AULA 06

INEQUAÇÃO PRODUTO e

QUOCIENTE Sejam 𝑓 e 𝑔 funções definidas de Reais em Reais.

Chamaremos de inequação produto uma

inequação que pode ser escrita na forma

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

≥≤><

0 .

Chamaremos de inequação quociente uma

inequação que, respeitando-se as condições de

existência, pode ser escrita na forma

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

≥≤><

0 .

TAREFA 7 – Fazer os PSA. 45, 46(a,c,e), 47, 48(a,d,e) e 49. .

1. Análise do sinal de 𝒂 2. Raízes de f

3. Dispositivo prático

4. Estudo do sinal

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Como resolver uma inequação produto ou quociente?

1) Nomeie cada uma das funções envolvidas

como 𝑦1 , 𝑦2 , …

2) Faça o estudo do sinal de cada uma das

funções envolvidas, somente até o

“dispositivo prático”.

3) Faça o quadro de sinais.

4) Marque, na última reta do quadro, o intervalo

que representa os valores de 𝑥 que satisfazem

à inequação.

Obs.8: SOBRE AS “BOLINHAS”:

Se a questão está com um dos símbolos “ > ” ou

“ < ”, as bolinhas sempre ficam “vazias”, pois as

raízes das funções não fazem parte do conjunto-

solução.

Se a questão está com um dos símbolos “ ≥ ” ou

“ ≤ ”, as bolinhas, a princípio, ficam “cheias”,

exceto nas raízes das funções que fazem parte do

denominador de uma inequação quociente, pois

esses números geram uma divisão por zero, o que

não é definido.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Leia os exercícios resolvidos 28 e 29.

EXTRA

Questões extras 1) Determine a soma de todos os números naturais

que satisfazem a inequação quociente 2𝑥+1

5−𝑥≥ 0.

2) O gráfico da função 𝑓:ℝ → ℝ com 𝑓(𝑥) = 𝑥² +

3𝑥 − 10 intersecta o eixo das abscissas nos

pontos A e B. Determine a distância entre A a B.

3) Um terreno retangular tem dimensões 6 m por

10 m. Aumentando-se cada dimensão em 𝑥

metros, obtém-se um novo terreno retangular de

área 117 m². Determine o valor de 𝑥.

4) O figura a seguir é uma representação cartesiana

da função 𝑓:ℝ → ℝ, em que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 +

𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes reais e 𝑎 ≠ 0.

Dado que P(5;-7) é um ponto dessa parábola,

determine f(x).

5) No quadrado ABCD a seguir, P, N e M são pontos

tais que P ∈ DC̅̅̅̅ , N ∈ CB̅̅̅̅ e M ∈ AB̅̅ ̅̅ .

Dado que 𝐴𝐵 = 6 e que 𝑃𝐶 = 𝐶𝑁 = 𝐴𝑀 = 𝑥,

determine o valor de 𝑥, para que a área da região

sombreada seja máxima.

6) Construa, em um sistema de eixos

perpendiculares xOy, em que O = (0; 0), um

esboço do gráfico da função f: ℝ → ℝ, tal que

f(x) = x2 − 4x. Em seguida, determine o

conjunto-imagem dessa função.

7) Resolvendo, em ℝ, a equação (2𝑥2 − 7𝑥 + 6) ⋅

(2𝑥 + 1) = 0, tem-se que a soma de suas raízes é

igual a

TAREFA 8 – Fazer os PSA. 55, 56(c), 57 e 58(a,b).

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 9

a) −7

b) −4

c) 0

d) 1

e) 3

8) As raízes da equação 2𝑥2 − 6𝑥 + 3 = 0 são 𝑥1 e

𝑥2. O valor de 𝑥12 + 𝑥2

2 é igual a

a) 36

b) 30

c) 9

d) 6

e) 12

9) Em um mercado de pescados, o gerente sabe que,

quando o quilograma de peixe de primeira

qualidade é anunciado, no início do dia, por um

preço de 𝑝 reais, o mercado vende uma

quantidade 𝑛 = 400 − 5𝑝 quilogramas nesse dia.

O preço do quilograma, em reias, para que o

gerente tenha uma arrecadação máxima é

a) 30

b) 40

c) 50

d) 60

e) 70

10) Seja a função 𝑔:ℝ → ℝ, tal que 𝑔(𝑥) = 𝑥2 +

(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚 − 2. Dado que 𝑆 é o conjunto de

todos os valores reais de 𝑚 para os quais 𝑔 possui

duas raízes reais iguais, tem-se que a soma de

todos os elementos de 𝑆 é igual a

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 8.

e) 10.

11) Uma empresa de turismo cobra, por um passeio,

R$ 30,00 por uma pessoa para um grupo de 50

pessoas. Para cada pessoa acrescida nesse grupo

o preço por pessoa é reduzido em R$ 0,50. Desse

modo, determine o número de pessoas que

devem compor um grupo para que a empresa

obtenha a receita máxima em um passeio.

CAIU NO VEST .1) (UnB – 2014)

A curva na figura acima representa o acúmulo de 𝐶𝑂2

na atmosfera da Biosfera II, durante alguns dias, como

resultado de falha no sistema de purificação de ar.

Níveis de 𝐶𝑂2 inferiores a 2000 ppm são

considerados normais. Acima desse valor, o acúmulo

de 𝐶𝑂2 afeta o ser humano, conforme mostrado na

figura. A referida curva pode ser representada por

parte do gráfico da função 𝐶(𝑡) =1

164(196𝑡 − 𝑡2 +

133), em que 𝐶(𝑡) é dado em 103 ppm, e o valor de 𝑡

em dias.

1. Se os níveis de 𝐶𝑂2, na atmosfera fossem

determinados pela função 𝐶(𝑡) =1

164(3𝑡𝑗 − 𝑡2 +

133), em que 𝑗 é um número natural maior ou igual a

3, toda a população humana presente na Biosfera II

estaria morta no 18º dia.

2. O nível mais alto de 𝐶𝑂2 ocorreu após 97° dia de

observação.

3. Considerando-se que o gráfico de 𝐶(𝑡) - para todo 𝑡

em que 𝐶(𝑡) ≥ 0 - represente a curva de acúmulo de

𝐶𝑂2 na Biosfera II, infere-se que os níveis de 𝐶𝑂2

voltaram à normalidade somente 8 meses após o

início da falha no sistema de purificação de ar.

4. A função 𝐶(𝑡) pode ser reescrita como 𝐶(𝑡) =

𝑘(𝑎 − 𝑡)(𝑏 − 𝑡), em que 𝑘 é um valor positivo e

𝑎, 𝑏 ∈ (0,190).

5. O período, em dias, durante o qual o valor de 𝐶𝑂2

permaneceu nos níveis da faixa I foi

a) inferior a 20. b) superior a 21 e inferior a 28.

c) superior a 28 e inferior a 33.

d) superior a 33.

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2) (UnB – 2013) A umidade relativa do ar em Brasília,

em agosto, normalmente atinge índices muito baixos.

Considerando que, em Brasília, a variação da umidade

relativa do ar durante certo dia de agosto, dia X, está

descrita, em porcentagem, pela função 𝑓(𝑡) =

0,4𝑡2 − 11𝑡 + 92, com 4 ≤ 𝑡 ≤ 24, em que 𝑡 é o

tempo, em horas, julgue os itens a seguir:

1. Entre 9h e 17h do dia X, a umidade do ar em

Brasília ficou abaixo de 22%.

2. Às seis horas do dia X, a umidade relativa do ar em

Brasília foi superior a 40%.

3. No dia X, a umidade relativa do ar em Brasília

atingiu valores inferiores a 15%.

3) (ENEM - 2013) A parte interior de uma taça foi

gerada pela rotação de uma parábola em torno de um

eixo 𝑧, conforme mostra a figura

A função que expressa a parábola, no plano

cartesiano da figura, é dada pela lei 𝑓(𝑥) =3

2𝑥2 −

6𝑥 + 𝐶, onde 𝐶 é a medida da altura do líquido

contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto

𝑉, na figura, representa o vértice da parábola,

localizado sobre o eixo x.

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça,

em centímetros, é

a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.

4) (UNICAMP – 2014 – 2º fase) Se 𝑎 e 𝑏 são reais.

Considere as funções quadráticas da forma 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, definidas para todo 𝑥 real.

a) Sabendo que o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) intercepta o

eixo 𝑦 no ponto (0; 1) e é tangente ao eixo 𝑥,

determine os possíveis valores de 𝑎 e 𝑏.

b) Quando 𝑎 + 𝑏 = 1, os gráficos dessas funções

quadráticas têm um ponto em comum. Determine as

coordenadas desse ponto.

GABARITO:

FUNDAMENTAIS

1.1. Livro

1.2. 2k

1.3. 3 e 1

1.4.

3 duas raízes reais iguais

3 duas raízes reais distintas

3 não tem raízes reais

p

p

p

1.5. a) 1

2 b) 12

1.6. 2 3 10 0x x

2.1. 2 3 10 0x x

2.2. 22 12 10f x x x

3.1. Livro

3.2. Livro

4.1. Gráficos

5.1.

0 2, 1 ou 3

0 2 1 ou 3

0 2 ou 1 3

f x x x x

f x x x

f x x x

5.2. Livro

6.1. Livro

QUESTÕES EXTRAS

1) 1

| 52

x x

2) 7

3) 3

4) 2 4 12f x x x

5) 3

6) Gráfico e Im 4,f

7) E

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 11

8) D

9) B

10) D

11) 55

CAIU NO VEST

1) C C E E C

2) C C E

3) E

4) a) 1 e 2b a

b) 1, 2