Função Quadrática Revisão

Definição de Função Quadrática

Uma função f: chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a 0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x .

f: x ax² + bx + c

Alguns exemplos:

* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0

* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1

* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4

* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0

Observe que não são funções quadráticas:

* f(x) = 3x* f(x) = 2* f(x) = x³ + 2x² + x + 1

Exercícios Propostos

1) As seguintes funções são definidas em . Verifique quais delas são funções quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c:

a) f(x) = 2x (3x - 1)

b) f(x) = (x + 2) (x - 2) – 4

c) f(x) = 2(x + 1)²

2) Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine:

a) f(1) c) f( ) e) f(h + 1)

b) f(0) d) f(-2) f) x de modo que f(x) = -1

3) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x.

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3

Observe a tabela abaixo:

Gráfico:

Zeros da Função Quadrática

Os zeros de f(x) = ax² + bx + c são os números x tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta.

Determinação dos Zeros da Função Quadrática

A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x = com = b² - 4.a.c (discriminante).

Observações:

1) Quando > 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos).

x Y = f(x) = x² -4x + 3 (x, y)0 3 (0, 3)1 0 (1, 0)2 -1 (2, -1)3 0 (3, 0)4 3 (4, 3)

2) Quando = 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola intersecta o eixo x em um só ponto).

3) Quando < 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não intersecta o eixo x).

4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a 0.Existindo zeros reais tal que:

x = e x = , obtemos:

x + x = + = =

Logo, x + x = .

x . x = . = = =

Logo, x . x = .

Exercícios Propostos

1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x² - 3x c) f(x) = -x² +2x + 8

b) f(x) = x² +4x + 5 d) –x² +3x – 5

2) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais?

3) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila?

Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c

Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax² + bx + c.

Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.

Parâmetro b:

Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das ordenadas poderá estar subindo ou descendo.

Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola está no eixo das ordenadas.

Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.

A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).

Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.

Exercícios Propostos

1) Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:

a) f(x) = -2x² - 8x + 4 b) f(x) = 2x² - 8x + 4 c) f(x) = 2x² + 8x +4

2) O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax² + bx + c.

Pode se afirmar que:

a) a < 0, b > 0 e c < 0b) a < 0, b = 0 e c < 0c) a < 0, b > 0 e c > 0d) a > 0, b < 0 e c < 0e) a < 0, b < 0 e c < 0

Imagem da Função Quadrática

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.As coordenadas do vértice V(x , y ) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem ser calculadas de duas maneiras:

1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas:

x = e y =

2ª Maneira:

* Para calcular o x , obtemos as raízes x e x da equação do 2º grau e calculamos o ponto médio das mesmas. Assim:

x =

* Substituímos o valor do x na função quadrática para que possamos obter a coordenada y .

Examine os exemplos:

1º) f(x) = 2x² - 8x

Obtendo as raízes, teremos x = 0 e x = 4. Portanto, x = = = 2

Substituindo x = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice: y = f(x ) = 2 (x )² - 8(x )

y = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8

2º) f(x) = -4x² + 4x + 5

Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a 0, também

pode ser calculado assim: V = (x , y ) = , .

Neste caso, temos:

f(x) = -4x + 4x + 5

x = = =

y = = = 6

V = (1/2, 6)

* O vértice é o ponto (2, 8).* A função assume valor mínimo -8 quando x = 2* Im(f) = {y │y 0}* Essa função não tem valor máximo.

* O vértice é o ponto (1/2, 6).* A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2* Im(f) = {y │y 6}* Essa função não tem valor mínimo.

De modo geral, dada a função f: tal que f(x) = ax² + bx + c, com a 0, se V (x , y ) é o vértice da parábola correspondente, temos então:

a > 0 y é o valor mínimo de f Im(f) = {y │y y }

a < 0 y é o valor máximo de f Im(f) = {y │y y }

Exercícios Propostos

1) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o conjunto imagem das funções:

a) f(x) = -3x² + 2x b) f(x) = 2x² - 3x – 2 c) f(x) = -4x² + 4x - 1

2) Qual o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo?

3) Determine k de modo que o valor máximo da função f(x) = (m + 3)x² + 8x – 1 seja 3.

4) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por C = x² - 80x + 3000. Nessas condições, calcule:

a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;

b) o valor mínimo do custo.

Estudo do sinal da função quadrática

f(x) = 0 para x = x 1 ou x = x 2

f(x) > 0 para x < x 1 ou x > x 2

f(x) < 0 para x 2 < x < x 1

Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a 0, significa determinar os valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é negativa (f(x) < 0).O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante = b² - 4ac da equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a.Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos. Acompanhe:

1º Caso: > 0

Neste caso:

* A função admite dois zeros reais distintos, x e x ;* A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.

2º Caso: = 0

Neste caso:

* A função admite um zero real duplo x = x* A parábola que representa a função tangencia o eixo x.

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x ou x = xf(x) > 0 para x < x < x

f(x) < 0 para x < x ou x > x

a > 0 a < 0

f(x) = 0 para x = x = xf(x) > 0 para x x

f(x) = 0 para x = x = xf(x) < 0 para x x

3º Caso: < 0

Neste caso:

* A função não admite zeros reais;* A parábola que representa a função não intersecta o eixo x.

Exemplos:

1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções:

a) f(x) = x² - 7x + 6 b) f(x) = 9x² + 6x + 1 c) f(x) = -2x² +3x – 4

a) f(x) = x² - 7x + 6

a = 1 > 0= (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0

Zeros da função: x = 6 e x = 1

Então:

* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6* f(x) < 0 para x < 1 ou x > 6 * f(x) < 0 para 1 < x < 6

Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e negativa para x entre 1 e 6.

b) f(x) = 9x² + 6x + 1

a = 9 > 0

a > 0 a < 0

f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real

= (6)² - 4 (9) (1) = 0Zeros da função: x = -1/3

Então:

* f(x) = 0 para x = -1/3* f(x) > 0 para todo x -1/3

c) f(x) = -2x² +3x – 4

a = -2 < 0= (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0

Portanto, < 0 e a função não tem zeros reais.

Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.

2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para todo x real?

Condições:

* a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0)* < 0

Cálculo de :

= (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k

Daí:

4 – 4k < 0 -4k < -4 4k > 4 k >4/4 k > 1

Logo, k │k > 1.

Exercícios Propostos

1) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas:

a) f(x) = x² - 10x + 25 b) -3x² + 2x + 1 c) -4x² + 1

2) Dada a função f(x) = -2x² + 3x, determine os valores reais de x para os quais f(x) > 0.

3) Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x² - 6x – 2 assume valores negativos para todo x real?

4) Dada a função quadrática f(x) = –x² + 6x – 9, determine:

a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou para baixo;b) Os zeros da função;c) O vértice V da parábola definida pela função;d) A intersecção com o eixo x e com o eixo y;e) O domínio D e o conjunto Im da função;f) Os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou constante;g) O esboço do gráfico.