DERIVACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS

CAPÍTULO 5

Función logaritmo natural

• Propiedades:

Función exponencial

• Propiedades:

Derivada de función logaritmo natural

• Reglas de derivación:

Derivada de función exponencial

• Reglas de derivación:

DERIVACIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Funciones hiperbólicas

• Definición: combinación de ex y e-x.– Seno hiperbólico: Senh

– Coseno hiperbólico: Cosh

• Reglas de derivación:

APLICACIONES DE LA DERIVADA

• Funciones crecientes En un intervalo si:

u< v f(u) < f(v)

Si f’es postiva entonces es creciente en dicho intervalo.

• Funciones decrecientes :En un intervalo si:

u< v f(u) > f(v)

Si f’es negativo entonces es decreciente en dicho intervalo.

• Máximos y mínimos relativos:

La función f tiene un máximo relativo en x0 si f(x0) > f(x) para x en un intervalo abierto que

contenga a x0.

La función f tiene un mínimo relativo en x0 si f(x0) < f(x) para x en un intervalo abierto quecontenga a x0.

• Criterio de la primera derivada: f’(x0)=0

Caso {+, -}: Si f’ (+) en un intervalo abierto justo a la izquierda de x0 y f’ (-) en un intervalo

abierto justo a la derecha de x0, entonces f tiene un máximo relativo en x0.

Caso {+, -} : Si f’ (-) en un intervalo abierto justo a la izquierda de x0 y f’ (+) en un intervaloabierto justo a la derecha de x0, entonces f tiene un mínimo relativo en x0.

Caso {+, +} y {-, -}: Si f’ tiene el mismo signo en intervalos abiertos justo a la izquierda y justoa la derecha de x0, entonces f no tiene un máximo ni un mínimo relativo en x0.

• Máximos y mínimos absolutos:

Un máximo absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f(x) ≤ f(x0) para todo x en S.

Un mínimo absoluto de una función f en un conjunto S ocurre en x0 en S si f(x) ≥ f(x0) para todo x en S.

• Números críticos:

Un número x0 en el dominio de f tal que f’(x0) = 0 o f’(x0) no esté definido se llamaun número crítico de f.

• Criterio de la segunda derivada.

Se asume que f’(x0) = 0 y que f(x0) existe, de manera que:

Si f’’ (x0) x< 0 entonces f tiene un máximo relativo en x0;

Si f’’ (x0) x> 0 entonces f tiene un máximo relativo en x0;

Si f’’ (x0) x= 0 entonces se ignora que pasa en x0;